PRÉSTAMOS DE TÉRMINO AMORTIZATIVO CONSTANTE EN TÉRMINOS REALES

Transcripción

1 PRÉSTAMOS DE TÉRMINO AMORTIZATIVO CONSTANTE EN TÉRMINOS REALES Salvador Cruz Rambaud Departameto de Dreccó y Getó de Emprea Uverdad de Almería e-mal: cruz@ual.e Joé Gozález Sáchez Departameto de Método Cuattatvo para la Ecoomía y la Emprea Uverdad de Graada e-mal: jozalez.ol@telefoca.et Reume E eta poeca e troduce lo prétamo de térmo amortzatvo cotate e térmo reale, etededo como tale aquello e lo que el térmo amortzatvo e crecete e fucó del IPC. Eto hace que el pretataro dete la mma proporcó de u ueldo a la devolucó del prétamo, y o vea morado u poder adqutvo debdo a ete cremeto, pero co la vetaja de que e calcularía u prmer térmo de meor cuatía, para la amortzacó total del prcpal e el período etpulado. Para ello, utlzaremo leye facera co la flacó mplícta y etudaremo la depedeca de la taa de flacó co el tpo de teré; teedo e cueta que e epera ua correlacó etre amba matude, e de eperar que la duracó fal del prétamo, o e vea amplamete modfcada co repecto a la calmete pactada. Ete trabajo preeta el tratameto teórco y aplcacoe práctca de ete producto que e propoe. Palabra clave: prétamo, térmo amortzatvo, flacó, tpo de teré. Área temátca: Ecoomía y Emprea.

2 . INTRODUCCIÓN. Lo prétamo co térmo amortzatvo ajutado e fucó de la taa de flacó correpodete a lo período de duracó de la operacó fuero troducdo por De Pablo (99, pp. 83-9; 998, pp. 9-40). E eto trabajo e plateaba el cálculo del prmer térmo amortzatvo utlzado el método fracé y el de aualdade crecete e proreó eométrca, para, poterormete, r corredo lo uete de acuerdo co la taa de flacó del período correpodete. Eta correccó de lo térmo amortzatvo teía como coecueca medata, e el cao de ua tuacó flacoara alcta, ua reduccó e la duracó del prétamo, motvo por el cual fuero deomado prétamo de duracó varable. Ammo, e recalculaba toda la matude facera mplcada e el cuadro de amortzacó del prétamo: cuota de amortzacó y de teré, captale pedete de amortzar y captale vvo. Má tarde, Cruz et al. (996, pp. 9-4) ajutaro lo térmo amortzatvo de u prétamo a lo reo prevto por emprea perteecete al ector arícola y, poterormete, García et al. (00, pp. 5-3) eeralzaro el reultado ateror a lo redmeto eto eerado por la operacó de veró a la que e deta el omal pretado, ya ea e ambete de certeza, de reo o de certdumbre, elaborádoe u tema de amortzacó a medda para la emprea facada. Ahora be, ua lmtacó que preeta lo trabajo aterore e que el tpo de teré e cotate durate toda la vda del prétamo, por lo que, e la poeca que preetamo, euremo ete mmo plateameto pero troducedo la ovedad de lo tpo de teré varable que repreeta el ecearo de la ra mayoría de lo prétamo coceddo e la actualdad, obre todo, lo hpotecaro. E ete etdo, eperamo que la duracó del prétamo o e vea afectada demaado ya que e etma ua correlacó muy fuerte etre la taa de flacó y lo tpo de teré. La orazacó de ete trabajo e la uete: E la eccó e platea el problema de ajutar el térmo amortzatvo de u prétamo e fucó de la taa de flacó vete e el período ateror y de acuerdo co el tpo de teré correpodete al período. Eto erá reuelto de do forma: recalculado e cada tate el uevo térmo amortzatvo, o be calculado ólo el prmer térmo amortzatvo para ajutar, poterormete, lo uete e fucó de la taa de flacó, y la cuota de teré e fucó de lo tpo de teré correte. Aí, e propoe ejemplo e ecearo alcta, bajta y plao de la taa de flacó. E la eccó 3 e etuda el ajute etre taa de flacó y tpo de teré reale, cocluyedo que exte ua fuerte depedeca lo que o permte preetar aplcacoe empírca de prétamo co la taa de flacó y lo tpo de teré ya coocdo, y otro proyectado eta matude e el futuro. E cualquera de lo cao etudado e oberva que o exte ua varacó fcatva e la duracó del prétamo, tal y como habíamo prevto. Por últmo, e la eccó 4 e preeta la aplcacó empírca y e la 5 la cocluoe.

3 . AJUSTE DEL TÉRMINO AMORTIZATIVO DE UN PRÉSTAMO EN FUNCIÓN DE LAS TASAS DE INFLACIÓN E INTERÉS. E ete trabajo coderaremo prétamo de térmo amortzatvo varable e proreó eométrca, edo la razó de la proreó uo má la taa meda de flacó eperada para el período de duracó del prétamo, ya que hemo de teer e cueta que la taa de flacó calculada o prevta para dferete período de tempo o acumulatva. Como abemo, el valor actual de ua reta medata, varable e proreó eométrca, popaable, temporal de térmo, dcreta de período uforme y co u tpo de teré perodal cotate, utlzado la ley facera de captalzacó compueta, e repreeta por A, dode a e la cuatía del prmer térmo y q la razó de la proreó: ( a, q) A q a =. ( ) ( a, q) q E ete trabajo utlzaremo, como razó de la proreó, q =, edo la taa de flacó e el período ateror al comezo del prétamo que e toma, e u prcpo, como la taa de flacó meda eperada para el período [0,]. Ademá, utlzaremo el tpo de teré (eurbor má dferecal) vete para ee período. Por tato, e ete cao, plateamo: C 0 a =, () edo C 0 el prcpal del prétamo y a el prmer térmo amortzatvo. Ahora be, al falzar el prmer período de vda del prétamo, la taa de flacó real para ee año habrá do e luar de, por lo que recalcularemo el térmo amortzatvo para el eudo año e fucó de y o de : C = a, () edo C el captal vvo (por la derecha) del prétamo e el tate, a el eudo térmo amortzatvo e el tpo de teré vete para el eudo año. Reptedo el razoameto para u año má, tedríamo: 3

4 3 3 3 a C =, (3) y aí ucevamete. E eeral, platearíamo: a C =, = 0,,,, (4) edo: C el captal vvo (por la derecha) e el tate, el térmo amortzatvo correpodete al período, a la taa de flacó habda e el período, e el tpo de teré vete e el período. Supoamo que el tpo de teré cal y la taa de flacó cale tea cremeto o decremeto aboluto medo k x y x, repectvamete, e el período [0,]. S tuvéramo que calcular el uevo prmer térmo amortzatvo (que evdetemete e fucó de x), ) ( x a, platearíamo: ) ( 0 x x k k x a C =. (5) Teedo e cueta que el cocete de la expreó (5) depede, etre otra, de la varable x, vamo a deotarlo por f(x), e decr: ) ( x x k k x f =. E prmer luar, para etudar u crecmeto o decrecmeto, vamo a calcular la dervada de f(x); a cotuacó, etudaremo la relacó de deualdad etre f(0) y el cocete de la expreó () para deducr, falmete, e bae al crecmeto o decrecmeto de f(x), el crecmeto o decrecmeto del uevo térmo amortzatvo ). E efecto, e puede comprobar fáclmete que: ( x a 4

5 k ( ) k x f ( x) =. ( x) A cotuacó, vamo a etudar qué relacó uarda f(0), e decr, cuado lo cremeto o decremeto aboluto medo e [0,] de y cocde, co el cocete cal de la ecuacó (). Pue be, e puede demotrar que, cuado e meor que (que e el ecearo má probable e uetro etudo): k S k > 0, que a ( x) < a. < k, de dode k k >, por lo k S k < 0, que a ( x) > a. > k, de dode k k <, por lo S e produjera u decrecmeto de lo tpo de teré y de la taa de flacó, pero ete decrecmeto fuera meor e lo tpo de teré, etoce k < 0 y x > 0. Pue be, teedo e cueta que, para x = 0, a ( 0) > a y que, e el tervalo [0, ], ( x) > 0, e verfcará que a ( x) > a. f a (0) a (x) a Por tato, eto hace prever uo térmo amortzatvo mayore a lo laro de lo prmero período de vda del prétamo que, evetualmete, podría vere compeado por u meor valor de la razó de la proreó (téae e cueta que o hemo tuado e el ecearo e que la taa de flacó e decrecete). No obtate, ete procedmeto e muy laboroo, por lo que vamo a mplfcar lo cálculo, del uete modo: x 5

6 Ua vez calculado el prmer térmo amortzatvo, tal y como e hzo e el puto ateror, vamo a mateer ee prmer térmo hata el fal de la operacó, pero co la dfereca de que, dado que etamo ate u prétamo de térmo amortzatvo e proreó eométrca, la taa de actualzacó del térmo que utlzaremo cada año, erá la taa de flacó del período ateror, obteedo el llamado prétamo de térmo amortzatvo cotate e térmo reale, ya que durate toda la veca del mmo etaremo paado el mmo térmo amortzatvo que calculamo para el prmer período e térmo reale; eto o túa, por tato, ate ua operacó de prétamo de duracó varable. Eta modaldad de prétamo e puede realzar tato co tpo de teré fjo, como varable; embaro, como veremo má adelate, deberemo optar por el tpo de teré varable, co objeto de mmzar la varabldad de la duracó del prétamo. Por tato, e cada período tedremo que calcular lo teree deveado e el mmo co la taa de teré vete e ee período. Se trata ahora, por tato, de ua operacó de prétamo de térmo amortzatvo crecete e proreó eométrca, de razó uo má la flacó del período ateror, lo que lo hace cotate e térmo reale, y de tpo de teré varable; u duracó, por tato, també erá varable. Como coecueca de lo ateror, el tema de amortzacó propueto proporcoa u cuadro de amortzacó co ua caracterítca propa e la que lo térmo amortzatvo ólo puede coocere ua vez coocda la taa de flacó del período ateror, metra que, para el cálculo de la cuota de teree y la cuota de amortzacó, erá ecearo, ademá, el coocmeto prevo del valor del tpo teré de refereca para el período. El procedmeto de elaboracó del cuadro de amortzacó del prétamo erá el uete:. Coocda la taa de teré vete para el prmer período y la taa de flacó del período ateror (la cual e tomará como refereca, para el cálculo del prmer térmo) calcularemo el prmer térmo del prétamo, que tomaremo como refereca para el cálculo del reto de térmo amortzatvo: a C0 ( ) = y a = m a ( k ), C ( ). k = 6

7 . Calcularemo la cuatía de lo teree deveado e el prmer período y, por dfereca co u correpodete térmo amortzatvo, obtedremo la cuatía de la cuota de amortzacó que, e lo prmero período, podría llear a er eatva; co ella calcularemo el captal vvo y el amortzado: C I A C0 =, a I =, C0 A =. 3. Lleado el eudo período, co la taa de flacó del prmero que ya e coocda, calcularemo la cuatía del eudo térmo amortzatvo y, aáloamete al apartado ateror, remo calculado la cuota de teré y de amortzacó, y lo captale vvo y amortzado: I A = C, = a I, C = C A. Ete procedmeto teratvo e repetrá hata u tate tal que: e cuyo cao ( k ) C > C k = a, A. = C 3. CORRELACIÓN ENTRE TIPOS DE INTERÉS E INFLACIÓN. E coocdo que la flacó () etá correlacoada drectamete co lo tpo de teré () y, por tato, teedo e cueta que: podemo afrmar lo uete: A = m a ( k ) C, C, k =. E el cao de prétamo compreddo e período e lo que la taa de flacó e cotate, e epera que lo tpo de teré també lo ea y, por tato, el período de amortzacó, que como decmo e varable, erá ual al prevto. 7

8 . E el cao de período de flacó al alza, lo tpo de teré també aumetará, por lo que el aumeto de la cuota debdo al cremeto de la flacó, e verá corredo por el efecto cotraro, provocado por la ubda de lo tpo de teré. 3. S decede la taa de flacó, també lo teree dmurá, por lo que la dmucó provocada e la cuota de amortzacó por la dmucó de la taa de flacó, e verá correda por el aumeto orado por la bajada de lo tpo de teré. S be e certo que e lo prmero térmo del prétamo, el efecto de lo teree e mayor que el de la flacó, e la últma cuota e produce el efecto cotraro, por lo que e epera que el plazo fal de amortzacó del prétamo eté compreddo detro de u pequeño mare de tempo. 4. APLICACIÓN PRÁCTICA. Veamo ahora uo ejemplo práctco de cómo e amortzaría u mmo prétamo ate dtta perpectva co la dtta pobldade acerca de la evolucó de la taa de flacó y de lo tpo de teré, decrta e el puto ateror. Para ello, vamo a upoer tre ecearo. El prmero de ello repreetará u período e el que lo tpo de teré, aí como la flacó, permaece cotate. El eudo recoe el cao e el que amba matude crece, y, por últmo, el tercero de lo ecearo cotempla el cao de que amba matude dmuye. Para eta prmera aplcacó, vamo a upoer, u prétamo a 0 año partedo de uo valore cale de 3,0% para el tpo de teré y 3,0% para la flacó. PRIMER ESCENARIO: La matude permaece cotate. Período a I A C 0 3,0% 3,0% ,00 3,0% 3,0% 0.65, , , ,9 3,0% 3,0% 0.593,56.877, , ,4 3 3,0% 3,0% 0.93,56.638, , ,38 4 3,0% 3,0%.8,40.38, , ,57 5 3,0% 3,0%.643,44.05, , ,79 6 3,0% 3,0%.06,03.809, , ,76 7 3,0% 3,0%.400,54.493, , ,83 8 3,0% 3,0%.797,36.55,49.64, ,96 9 3,0% 3,0% 3.06,87 794,59.4,8 3.9,68 0 3,0% 3,0% 3.69,49 409,8 3.9,68 0,00 8

9 SEGUNDO ESCENARIO: Lo tpo de teré aumeta u 0,5% aualmete y la flacó u 0,0%. Período a I A C 0 3,0% ,00 3,0% 3,0% 0.65, , , ,9 3,5% 3,40% 0.593, , , ,49 3 3,40% 3,60% 0.974,93.898, ,4 77.8,35 4 3,55% 3,80%.39,98.739, , ,35 5 3,70% 4,00%.847,66.535,6 9.3, ,3 6 3,85% 4,0%.345,6.79, , ,96 7 4,00% 4,40%.888,45.966, 0.9, ,63 8 4,5% 4,60% 3.48,3.586,57.894, ,88 9 4,30% 4,80% 4.8,4.3,44.995, ,90 0 4,45% 5,00% 4.834,84 593,63 4.4, 90,3 Como puede obervare, e ete ecearo el últmo térmo amortzatvo tedría que er feror al correpodete a la taa de flacó cal, ya que, e cao cotraro, para termar de amortzar el prétamo e amortzaría má captal del pedete. Pero el ajute e efectuaría e u úco período. TERCER ESCENARIO: Lo tpo de teré dmuye u 0,5% aualmete, metra que la taa de flacó dmuye e u 0,0% aualmete. Período a I A C 0 3,0% 3,0% ,00 3,0% 3,0% 0.65, , , ,9 3,00% 3,05% 0.578,6.785, , 85.04,80 3,90%,90% 0.884,93.466, 8.48, ,08 4,80%,75%.84,7.45, , ,6 5,70%,60%.475,06.84, , ,98 6,60%,45%.756,0.506,8 0.49, ,07 7,50%,30%.06,59.9, , ,58 8,40%,5%.85,6 884,39.400, ,8 9,30%,00%.530,86 585,3.945, ,6 0,0%,85%.76,69 97,07.465,6.037,65 E ete cao, vemo como erá ecearo u período má co u pequeño térmo amortzatvo, ya que, al etar e u proceo de dmucó de la flacó, ecetamo má tempo para termar de amortzar por completo el prcpal. 9

10 Veamo ahora como etá correlacoado lo tpo de teré co la taa de flacó. Como e coocdo, Durate lo período flacota, lo pretamta exe ua compeacó por la deprecacó del poder adqutvo del dero que preta. Por tato, el tpo de teré omal o tpo de mercado tede a llevar coo ua prma ual a la taa de flacó eperada (hpóte de Fher) (Mochó, 000), y ademá, la fluctuacó de lo tpo de teré de refereca també cottuye ua medda de polítca macroecoómca, be para fometar el coumo (dmucó de lo tpo de teré) y por tato aumetar la flacó, o be para frearlo, e cuyo cao e aumeta lo tpo para coeur que dmuya la taa de flacó. E por ete motvo, por lo que ademá de etar muy correlacoada amba matude, preeta u ra retardo e u correlacó, o, e palabra de Blachard (003): La relacó extete etre lo tpo de teré omale y la flacó e lo dtto paíe olo e cumple a medo plazo. No ería de eperar que la flacó y lo tpo de teré omale evolucoara al uíoo e ú paí y e ú mometo. E uetro cao, de toda la combacoe practcada, la que preeta ua mayor correlacó e aquélla e la que e rerea lo tpo de teré obre la taa de flacó retardada u período y co u retardo de e período, e cuyo cao la rereó, co u ídce de correlacó del 89,47%: Depedet Varable: MIBOR Method: Leat Square Date: 03/0/05 Tme: 0: Sample(adjuted): Icluded obervato: 3 after adjut edpot Varable Coeffcet Std. Error t-stattc Prob. C VARIPC(-) VARIPC R-quared Mea depedet var Adjuted R-quared S.D. depedet var S.E. of rereo Akake fo crtero 4.4 Sum quared red Schwarz crtero Lo lkelhood F-tattc Durb-Wato tat Prob(F-tattc) queda del uete modo:,467,53 7,. = 6 Eta etmacó e ha realzado co lo dato de lo últmo 4 año, para el cao de lo tpo de teré, y de lo últmo 0, para el cao de la flacó, que e puede obervar e el uete ráfco, e el que queda pueto de mafeto la alta correlacó extete etre amba matude. 0

11 Eurbor Mbor CECA 5 IRPH IRPH-B IRPH-C var-pc Por lo que, para lo valore prevto de la flacó e lo ecearo de la aplcacó práctca del puto 4, teedo e cueta lo valore ya coocdo, lo tpo de teré co u dferecal de 0,80% quedaría del uete modo: Período (etmado) 3,0% 3,0% 3,40%,69% 3 3,60% 4,66% 4 3,80%,98% 5 4,00% 5,5% 6 4,0% 3,4% 7 4,40% 4,6% 8 4,60% 5,% 9 4,80% 5,8% 0 5,00% 6,4% 3,0% 3,0% 3,05%,69% 3,90% 4,5% 4,75%,95% 5,60% 3,7% 6,45%,36% 7,30%,05% 8,5%,60% 9,00%,5% 0,85% 0,70%

12 4.. Aplcacó retropectva. E ete epírafe queremo preetar u ejemplo de cómo e hubera amortzado u prétamo utlzado ete uevo tema de amortzacó, comparádolo co el tema de amortzacó fracé tradcoal. CUADRO DE AMORTIZACIÓN SISTEMA FRANCÉS TRADICIONAL Año A I a C MIBOR , ,7%.893,4 6.68,00 8.6, ,58 5,7% 99 3,93%.65,0 3.66, , ,38,93% 99 5,5%.684, , , ,60 4,5% 993 9,4% 4.54, ,55 3.4, ,6 8,4% 994 0,45% 4.649,34 9.8, , ,9 9,45% 995 0,4% 5., , , ,0 9,4% 996 6,99% 6.546, ,8.09, ,80 5,99% 997 5,6% 7.357, ,95.397, ,86 4,6% 998 4,4% 8.05,63.734, , ,3 3,4% 999 4,8% 8.39,88.709,78.039, ,35 3,8% 000 5,89% 8.543,40.89,86.373, ,94 4,89% 00 4,9% 9.64,66.693, , ,8 3,9% 00 3,88% 9.700,70.7, , ,58,88% 003 3,38% 0.0,4 695, , ,5,38% 004 3,30% 0.443,5 345, ,0 -,30% TOTALES , , ,65 CUADRO DE AMORTIZACIÓN TÉRMINO AMORTIZATIVO CONSTANTE EN TÉRMINOS REALES Año A I a C MIBOR Var-IPC , ,7%.9,4 6.68, ,58 0.9,4 5,7% 6,50% 99 3,93% 5,6 4.33, , ,58,93% 5,50% 99 5,5%.7, , , ,63 4,5% 5,30% 993 9,4% 5.94, , , ,55 8,4% 4,90% 994 0,45% 5.94,7 0.8,07 6., ,38 9,45% 4,30% 995 0,4% 7.545, ,7 6.99, ,3 9,4% 4,30% 996 6,99%.50, 5.94, , ,09 5,99% 3,0% 997 5,6% 3.68,8 4.8, , ,7 4,6%,00% 998 4,4% 5.56,73.533, , ,55 3,4%,40% 999 4,8% 6.458,53.5, , ,0 3,8%,90% 000 5,89% 7.69,6.634,6 9.36, ,75 4,89% 4,00% 00 4,9% 0.064,75 43, ,3 0,00 3,9%,70%

13 00 3,88%,88% 4,00% 003 3,38%,38%,60% 004 3,30%,30% 3,0% TOTALES , , ,63 Como podemo obervar e lo cuadro de amortzacó aterore, e el cao de haber olctado u prétamo por el tema fracé para u amortzacó e 5 año a tpo de teré varable, el prmer térmo hubee do 8.6,4, y el mporte total de lo teree aboado, 9.703,65. Por otro lado, el mmo prétamo hubee do olctado para u amortzacó por el tema que aquí e propoe, el prmer térmo amortzatvo e hubera tuado e 3.346,58, metra que el total de lo teree aboado hubera do 9.687,63. Ademá, el plazo de amortzacó hubee do de tre año meo que e el cao ateror. 4.. Aplcacó práctca co lo teree proyectado. Por últmo, veremo como e amortzaría lo ejemplo de la eccó 4, pero utlzado lo teree proyectado. ESCENARIO : INFLACIÓN CRECIENTE Período a I A C 0 3,0% 3,0% ,00 3,0% 3,0% 0.65, , , ,9 3,5%,69% 0.583, , , ,76 3 3,40% 4,66%.076,48.899,4 8.77, ,4 4 3,55%,98%.406,56.736, ,8 68.4,60 5 3,70% 5,5%.005,40.53, , ,80 6 3,85% 3,4%.44,79.69, , ,50 7 4,00% 4,6%.988,35.95,0.036, ,5 8 4,5% 5,% 3.666,34.567,30.099, , 9 4,30% 5,8% 4.460,36.03, ,67.30,55 0 4,45% 6,4% 5.387,7 547, ,45.58,90 Obérvee que, co lo tpo de teré etmado, el plazo de amortzacó e matee cotate, reularzado, úcamete, el últmo térmo, ya que ete últmo erá meor al correpodete por el propo crecmeto del térmo. 3

14 ESCENARIO 3: INFLACIÓN DECRECIENTE Período a I A C 0 3,0% 3,0% ,00 3,0% 3,0% 0.65, , , ,9 3,00%,69% 0.54,.785, , ,76 3,90% 4,5% 0.978,67.467,8 8.5, ,37 4,80%,95%.9,75.43, , ,50 5,70% 3,7%.608,0.83, , ,49 6,60%,36%.765,88.50, , ,69 7,50%,05%.007,08.86,7 0.80, ,33 8,40%,60%.99,9 879,56.39, ,70 9,30%,5%.339,48 58,56.756,9 3.57,78 0,0% 0,70%.45,86 98,58.7,8.444,5 E ete cao, cuado la taa de flacó e decrecete, e el ejemplo, ecetaremo u período má para u últmo térmo muy reducdo. 5. CONCLUSIONES. El objetvo de ete poeca ha cotdo e la reduccó de lo prmero térmo amortzatvo co objeto de facltar el acceo al crédto de aquello ectore de la poblacó co meore reo, ya que e ua práctca habtual el cremeto de lo ueldo coforme a la taa de flacó y, e coecueca, matedría, durate toda la vda del prétamo la mma capacdad adqutva, ya que el térmo amortzatvo empre repreetará la mma proporcó de u ueldo. E la eccó 4. hemo vto cómo la reduccó del prmer térmo e muy coderable, ya que co el tema de amortzacó propueto, e reduce e u 6%. Por otro lado, y e comparacó co la refereca ya extete e ete tema, la troduccó de lo tpo de teré varable e ete tema de amortzacó, o permte cetrar, e mayor medda, la duracó del prétamo, ya que, tal y como e explcó e la eccó 4, lo efecto de la fluctuacoe de lo tpo de teré o, e certo modo, compeado por la fluctuacoe de la taa de flacó que e epera e produzca e el mmo etdo. REFERENCIAS. Blachard, O. (003): Macroecoomía. Ed. Pretce Hall, Madrd. De Pablo, A. (99): Prétamo de duracó varable e fucó de la taa de flacó. Cuadero Araoee de Ecoomía, Nº 6, pp De Pablo, A. (998): Some factor for the correcto of the flato effect facal traacto. Acta del Frt Spah-Itala Meet o Facal Mathematc. Servco de Publcacoe de la Uverdad de Almería, pp

15 Cruz, S.; García, J. y Adújar, A. S. (996): Prétamo al Sector Arícola: propueta de u uevo tema de amortzacó. Revta Epañola de Ecoomía Arara, Nº 75, pp Cruz, S. y Vall, M. C. (003): Itroduccó a la Matemátca Facera. Ed. Prámde, Madrd. García, J.; Cruz, S. y Adújar, A. S. (00): Método de amortzacó de captal aocado a operacoe de veró. Dreccó y Orazacó, Nº 5, pp Mochó, F. (000): Ecoomía. Teoría y Polítca. Ed. McGraw-Hll, Madrd. 5