SIMULACIÓN DE MODELOS DEFORMABLES 3D BASADOS EN PARTÍCULAS

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1 FARAUTE Cens. y Tec., 2(2): 72-80, 2007 ISSN Depósto Legal PP200402CA1617 SIMULACIÓN DE MODELOS DEFORMABLES 3D BASADOS EN PARTÍCULAS Smulaton of 3D Deformable Models based on Partcles DEYBI EXPOSITO 1 y MÁXIMO MERO 2 Unversdad de Carabobo. Facultad de Cenca y Tecnología. CEMVICC 1 Departamento de Computacón. 2 Departamento de Matemátcas Carabobo. Venezuela {dexposto, mmero}@uc.edu.ve Fecha de Recepcón: 26/02/2007, Fecha de Revsón: 13/07/2007, Fecha de Aceptacón: 01/11/2007 Resumen El estudo de la deformacón de un obeto bao certas condcones y/o restrccones es de sumo nterés en dversas áreas del conocmento. Exsten múltples aplcacones en computacón gráfca de modelos matemátcos que son empleados para realzar el estudo de deformacones. Estas aplcacones van desde las deformacones basadas en modelos matemátcos que solo usan restrccones geométrcas hasta las deformacones en las cuales se ncorporan propedades físcas al modelo en estudo. En este trabao se presenta la smulacón de la deformacón de obetos volumétrcos basados en propedades de materal, empleando el método de mallas lbres de los Mínmos Cuadrados (MLS) para resolver las ecuacones que surgen de la teoría de la elastcdad lneal. Palabras Claves: Elastcdad Lneal, MLS, Mallas Lbres. Abstract The study of the deformaton of an obect under certan condtons and/or restrctons s of large nterest n dverse areas of the knowledge. Multple applcatons n graphcal computaton of mathematcal models exst that are used to make the study of deformatons. These applcatons go from the deformatons based on mathematcal models that sngle use geometrc restrctons untl the deformatons n whch physcal propertes to the model n study are gotten up. In ths work the smulaton of the deformaton of volumetrc obects based on materal propertes appears, usng the method of free meshes of Movng Least-Squares (MLS) to solve the equatons that arse from the theory of the lnear elastcty. Keywords:Lnear Elastcty, MLS,Mesh-free. 72

2 Deyb Expósto y Máxmo Mero 1. Introduccón Los modelos deformables son esquemas teórcos que permten representar las deformacones que ocurren en un obeto a través del tempo. En Computacón Gráfca y Anmacón estos modelos se han empleado en la smulacón de tela, expresones facales, segmentacón de mágenes, tedo de órganos humanos, etc. Los modelos deformables se pueden clasfcar según se ncorporen propedades no físcas y físcas, (Gbson & Mrtnch, 1997). Los prmeros, son empleados para crear y modfcar curvas compleas, superfces y sóldos. Estos modelos no utlzan propedades físcas del materal, sólo se necestan ecuacones mplíctas y/o explíctas para la deformacón del obeto. Dentro de estos modelos se pueden menconar los splnes, parches paramétrcos (parametrc parches) y deformacón lbre (Free-form deformaton) Los modelos basados en propedades físcas son aquellos que permten una representacón más realsta del obeto a ser deformado. En estos modelos las ecuacones que defnen la deformacón son representadas medante ecuacones dferencales. La solucón de estas ecuacones se realza empleando dferentes métodos, entre los cuales cabe menconar: Masa Muelle (Masssprng models), Elementos Fntos (Fnte Element), Volumen Fnto (Volumetrc Element), Dferenca Fnta (Fnte Dfference), Mallas Lbres (Mesh Free). La presente nvestgacón tene como meta dseñar e mplementar una aplcacón para la smulacón de deformacones basadas en propedades físcas en un obeto 3D, utlzando el método de mallas de lbres MLS. Este artículo está organzado como sgue. En la seccón 2 se presentan comentaros de trabaos prevos y se da una clasfcacón breve de modelos deformables. El modelo físcomatemátco de este trabao se muestra en la seccń 3. En la seccón 4 se explcará la dnámca del modelo de partículas y de la superfce del obeto. En la seccón 5 se presentarán los resultados obtendos. Fnalmente, en la seccón 6, se menconarán las conclusones obtendas y los posbles trabaos futuros a esta nvestgacón. 2. Trabaos Relaconados En el área de Computacón Gráfca y Anmacón se han realzado muchas nvestgacones sobre los modelos deformables. En el año 1987, Terzopoulos y otros (Terzopoulos et al., 1987), en su publcacón ttulada Elastcally Deformable Models, utlza la teoría de la elastcdad para construr las ecuacones dferencales que modelan el comportamento de curvas, superfces y sóldos no rígdos. Los métodos de Mallas Lbres son aquellos donde el obeto es modelado por medo de una nube de partículas sn conectvdad preva. Fres (Fres & Hermann-Georg, 2004) expone una dversdad de métodos de mallas lbres específcos, entre los cuales mencona: SPH (Smoothed Partcle Hydrodynamcs) (Lucy, 1977), DEM (Method Element Dfuse), EFG (Element Free Galerkn), Mínmos Cuadrados (Movng Least- Squares), LBIE (Local Boundary Integral Equaton), PUM (Partton of Unty Method), entre otros. Desbrun y Gascuel en su trabao ttulado Smoothed Partcles: A new paradgm for anmatng hghly deformable bodes (Desbrun & Gascuel,1996), presentan una técnca para la smulacón de cuerpos con grandes deformacones dentro de un sstema de partículas. Tambén, ellos hablan sobre smulacón de fludos para la anmacón de cuerpos no elástcos con un amplo rango de rgdez y vscosdad. En el trabao ttulado Pont Based Anmaton of Elastc, Plastc and Meltng Obects, realzado por Müller y otros (Müller et al., 2004), se presenta un método para modelar y anmar una ampla gama de obetos volumétrcos con propedades de materal que van desde los elástcos-rígdos hasta los altamente plástcos. El movmento de estas partículas es realzado por medo de esquemas de ntegracón del tempo de forma explícta. Investgacones smlares en el campo de los modelos deformables se muestran en: Mesh Methods: An Overvew and Recent Develop- FARAUTE Cens. y Tec., 2(2)

3 Smulacón de modelos deformables 3D basados en partículas sguente manera: J = Ju T Jv T Jw T (3) Fg. 1. Partícula con sus respectvo vecnos. La fgura del lado zquerdo muestra el obeto sn deformacones. La fgura del lado derecho representa un obeto con su deformacón (X +U). Donde X es el conunto de partículas que representan las coordenadas del materal y X + U son las coordenadas de las partículas del obeto deformado. ment (Flemng et al., 1996), y Physcally Based Deformable Models n Computer Graphcs (Müller et al., 2006). 3. Teoría de Elastcdad Lneal A contnuacón se muestra el modelo físcomatemátco que surge de la teoría de elastcdad lneal y cuyas leyes son las que gobernan el modelo deformable en estudo, (Cook et al., 1995). Consdérese un obeto 3D cuyas coordenadas de materal son: X = [ x y z ] T. Para descrbr la deformacón de dcho obeto se utlza un campo vectoral de desplazamento: U = [ u v w ] T, donde u = u(x, y, z ), v = v(x, y, z ) y w = w(x, y, z ) son funcones de las coordenadas de materal. En la Fg. 1 se puede ver que las coordenadas de una partícula orgnalmente se encuentran en X y en su poscón deformada son X + U. Se denota por X el vector dferenca entre los vectores poscón de las partículas y. X = X X (1) En el análss de elastcdad lneal el Jacobano J de una transformacón es fundamental. Éste se expresa para cada partícula como: J = U T + I (2) donde I es la matrz dentdad 3x3. Por comoddad en la escrtura, el Jacobano se escrbe de la Para medr el grado de deformacón (stran) de una partícula se empleó el tensor de Green- Sant-Venant el cual está defndo por la sguente matrz: ε = (J T J ) I (4) De la teoría de elastcdad lneal se tene que el grado de deformacón ε y la tensón (stress) σ están lnealmente relaconados, es decr: σ = Cε (5) donde C es un tensor de rango cuatro relaconado con la ley consttutva de los materales y tanto ε como σ son tensores smétrcos. Para materales sotrópcos C tene sólo dos coefcentes ndependentes llamados móodulo de Young y tasa de Posson. Para calcular stress, stran y fuerzas elástcas es necesaro calcular el campo de desplazamento U. Para ello se hace uso del método de mallas lbres MLS sguendo las pautas del trabao de Müller (Müller et al., 2004). En este caso, las dervadas en una partícula son estmadas a partr de sus vecnos Aproxmacón de U empleando el método de MLS El cálculo de las dervadas parcales u, v, w del vector desplazamento U de la partícula, sguendo el método de mallas lbres MLS, se muestran a contnuacón. Hacendo uso de la expansón de Taylor en cada una de las coordenadas de U, mdendo el error de aproxmacón promedado con el núcleo polnomal de soporte compacto, se tene que las dervadas que mnmzan este error satsfacen, para u, lo sguente: X X T W u = (u u ) X W (6) 74 FARAUTE Cens. y Tec., 2(2). 2007

4 Deyb Expósto y Máxmo Mero La expresón A = ( X X T W ), (7) es conocda como la matrz de momentos. Medante estas ecuacones: u = A 1 ((u u ) X ) W (8) De forma smlar se obtene un resultado para v, w. Se deduce entonces que U T es: U u T T = v T (9) w T Para calcular la matrz A 1 se utlzó el algortmo de Descomposcón en Valores Sngulares (SVD - Sngular Values Decomposton) tomado de (Teukolsky et al., 1992) Funcones de Peso El cálculo de la masa, densdad y volumen de una partícula se hace utlzando una estratega smlar a la usada con el método SPH. La masa de una partícula es fa y se calcula como: m = s r 3 ρ (10) donde s es un factor de escala gual para todas las partículas, ρ es la densdad del materal y r es la dstanca promedo de las k partículas más cercanas a la partícula. La masa m esta dstrbuda alrededor de un núcleo polnomal ó funcón de peso. En este proyecto se usan los sguentes núcleos polnomales, obtendos de (Müller et al., 2004; Fres & Hermann-Georg, 2007). W 3 (r, h) = W 4 (r, h) = W 5 (r, h) = 2 3 4( r h )2 + 4( r h )3 s r h ( r h ) + 4( r h )2 4 3 ( r h )3 s 1 2 < r h 1 0 s r h > 1 (13) { 1 6( r h )2 + 8( r h )3 3( r h )4 s r h 1 0 s r h > 1 (14) ( 2 3h h 2 ( r h ) ( r h )3) s r h ( (2 r h )3) s 1 < r h 2 0 s r h > 2 (15) de estas ecuacones se defne W por: W = W ( X 2, h ), (16) sendo X 2 la norma euclídea. Las gráfcas de estos núcleos se pueden observar en las Fg. 2, 3 y 4. El índce representa la partícula vecna de la partícula. Las funcones asocadas a estos núcleos relaconan una partícula con sus vecnos, donde r es la dstanca entre la partícula y, y h es el rado de soporte de estos núcleos. La esfera centrada en la coordenada de materal de la partícula tene como rado de soporte: h = 3 r, donde r es la dstanca promedo entre la partícula y sus vecnos. La densdad de una partícula vene dada por ρ = m W y el volumen de una partícula se obtene de la forma sguente vol = m ρ { 315 W 1 (r, h) = 64πh 9 (h2 r 2 ) 3 s r < h 0 en caso contraro (11) W 2 (r, h) = { e ( r 0,4h )2 s r h 1 0 s r h > 1 (12) FARAUTE Cens. y Tec., 2(2)

5 Smulacón de modelos deformables 3D basados en partículas Fg. 2. Funcón W 1 (r, h). Fg. 4. Funcón W 4 (r, h) (zquerda) y Funcón W 5 (r, h) (derecha). y repulsón entre partículas. Para cada partícula esta fuerza es representada por: F l = L(α, d ) p (20) Fg. 3. Funcón W 2 (r, h) (zquerda) y Funcón W 3 (r, h) (derecha) Cálculo de las Fuerzas Las fuerzas nternas están formadas por fuerzas elástcas, fuerzas de conservacón del volumen y fuerzas de Lennard Jones. Las prmeras son descrtas de la sguente manera: donde L(α, d ) = 4β ( 12 α12 d 13 ) 6 α6, β es el d 7 mínmo del potencal de energía de Lennard Jones, d es la dstanca entre la partícula y (d = X X 2 ), p = 1 X X 2 ( X X ) y α es el dámetro de la esfera que representa la partícula. En la Fg. 5 se puede observar que h defne el rado de la esfera de la vecndad de la partícula y α va asocado sólo a la partícula. F e = (2vol J σ )A 1 ( ) X W (17) estas fuerzas conservan momento angular y lneal. Las fuerzas de conservacón del volumen se defnen como: F v = vol kv( J 1)ϕ A 1 ( ) X W (18) donde kv es una constante de conservacón del volumen que penalza la desvacón del Jacobano y ϕ = (Jv Jw ) T (Jw Ju ) T (Ju Jv ) T (19) Las fuerzas de Lennard Jones (F l ) (Lennard-Jones, 1931) son fuerzas de atraccón Fg. 5. Dferenca entre h y α. En la Fg. 6 se puede ver la gráfca de la funcón L(α, d ). Por lo tanto, las fuerzas nternas de una partícula son representadas por la sguente expresón: 76 FARAUTE Cens. y Tec., 2(2). 2007

6 Deyb Expósto y Máxmo Mero y otros (Pauly et al., 2003). Una vez calculadas las nuevas poscones, velocdades y desplazamentos de las partículas nternas se procede a determnar el desplazamento de las partículas de las superfce. El desplazamento de una partícula de la superfce con respecto a las partículas nternas vecnas se obtene de la sguente manera: Fg. 6. Funcón de Lennard Jones L(α, d ). F nt = (F e + F v )A 1 ( X W ) + F l (21) A las fuerzas nternas se le pueden agregar fuerzas externas tales como: gravedad, presón atmosférca entre otras. La suma de las fuerzas nternas y externas es la fuerza total en el modelo. 4. Dnámca La dnámca del modelo de partículas se basa en las leyes de Newton y para ello fue necesaro utlzar un esquema de ntegracón explícto de las fuerzas totales. Así, de la ecuacón f t+ t = m a t+ t (22) donde f t+ t es la fuerza total, a t+ t es la aceleracón y m la masa de la partícula, se deducen tanto la velocdad v t+ t = v t + a t+ t t (23) como la poscón de una partícula x t+ t = x t + v t+ t t. (24) 4.1. Dnámca de la Superfce del obeto 3D El esquema utlzado en este trabao para representar la superfce del obeto en deformacón se basa en el utlzado en el trabao de Pauly u surf = 1 ω(r ) ω(r )(u + u T (x surf x )) (25) donde x surf es la poscón de la partícula de la superfce, ω(r ) = x surf x 2 = e r h 2 es una funcón de peso gaussano y h es la dstanca del rado de la esfera que contene a la partícula de la superfce y sus partículas nternas vecnas. Una vez calculado el nuevo desplazamento de la partícula de la superfce se procede a obtener su nueva poscón, la cual se determna de la sguente manera: 5. Resultados x t+ t surf = xt surf + u surf (26) La aplcacón fue corrda en varos sstemas operatvos (Wndows, Lnux y Solars). Los equpos utlzados para las anmacones se muestran en la tabla 1 Equpo Característcas Computador AMD Athlon 64 1 de 2.20 GHZ con 512 MB de memora RAM Laptop Toshba Satelte 2 Moble Intel Pentum 4, 2.80 GHZ y 752 MB de memora RAM Tabla 1. Equpos utlzados. La construccón de la aplcacón permte al usuaro realzar cambos en las propedades físcas (Modulo de Young, tasa de Posson, Gravedad, etc) con la fnaldad de smular la deformacón de un obeto 3D. En la Fg. 7 se puede observar la nterfaz gráfca, donde el usuaro puede cargar un obeto, modfcar sus propedades físcas y smular su deformacón. 2 FARAUTE Cens. y Tec., 2(2)

7 Smulacón de modelos deformables 3D basados en partículas Para construr esta aplcacón se utlzó el lenguae de programacón C++, y las lbrerías de GTK y OpenGL para el lenguae selecconado. Los compladores usados fueron: Vsual C++, G++ y CC. Fg. 8. Anmacón de un Octaedro con 299 partículas cayendo dentro de una caa. Fg. 7. Interfaz Gráfca de la aplcacón. En la tabla 2 se muestra la nformacón de cada obeto smulado con la aplcacón. La prmera anmacón se realzó sobre el obeto 1 que cae dentro de una caa por efecto de la fuerza de gravedad. Las mágenes de la anmacón se muestran en la Fg. 8. Obeto Característcas 1 Octaedro formado por 299 partículas nternas. 2 Elpsode formado por 568 partículas nternas. 3 Clndro formado por 305 partículas nternas y 540 de la superfce y 1076 trángulos. Tabla 2. Obetos smulados. La segunda anmacón se realzó sobre el obeto 2 que cae por fuerzas de gravedad dentro de un clndro. Las mágenes de la anmacón se muestran en la Fg. 9. En la Fg. 10 se muestra la anmacón del obeto 3 deformándose dentro de otro clndro. En en la tabla 3 se muestran los FPS (Frames por segundo) y TPIS (tempo promedo por teracón en segundos) por obetos y equpos usados. En las fguras de las anmacones presentadas se puede notar que los obetos se adaptan al recpente que los contenen. En las tablas Fg. 9. Anmacón de un Elpsode con 568 partículas cayendo dentro de un clndro. mostradas se puede notar que cuando aumenta la cantdad de partículas de un obeto los FPS van reducéndose y el TPIS va aumentado, lo cual hace que no sea posble la eecucón de la anmacón en tempo real. 6. Conclusones y Trabaos Futuros Los modelos deformables basados en propedades físcas son aquellos que meor se austan a la realdad. Así, el método basado en partículas MLS es uno de los más apropa- Obeto FPS TPIS Equpo 1 7,2944 0, ,9943 0, ,2751 0, ,029 0, ,2731 0, ,5186 0, Tabla 3. FPS y TPIS de la anmacones realzadas en los dstntos equpos en Wndows. 78 FARAUTE Cens. y Tec., 2(2). 2007

8 Deyb Expósto y Máxmo Mero deformable bodes. Proceedngs of the Eurographcs workshop on Computer anmaton and smulaton 96. Poters. France Flemng, M., D. Organ, T. Belytschko, & Y. Krongauz. (1996). Meshless methods: An overvew and recent development. Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng. 139(1):3-47. Fg. 10. Anmacón de un Clndro con 305 partículas nternas, 540 partículas de la superfce y 1076 trángulos dentro de un clndro. dos para la smulacón de cuerpos 3D altamente elástcos, pero a medda que se aumenta la cantdad de partículas se ncrementa la demanda de cálculo y esto ndca que la tasa de cuadros por segundo (FPS) dsmnuye, hacendo que la smulacón dnámca no se eecute en tempo real. La construccón de la aplcacón gráfca permtó la nteraccón con el obeto a ser deformado de modo tal que se modfcaron, en línea, las dferentes propedades físcas del msmo. Este trabao srve para que se sgan desarrollando estudos que optmcen tanto la nteraccón de la nterfaz con el usuaro así como el tempo de eecucón del modelo. En este sentdo se pueden buscar estrategas que mnmcen el tempo de búsqueda de vecnos de las partículas. Meorar la técnca que se auste meor a la superfce del obeto volumétrco. Implementar modelos que sean de utldad en otras áreas de nvestgacón. 7. Bblografía Cook, R., D. Malkus & M. Plesha. (1995). Fnte element modelng for stress analyss. John Wle & Sons. New York. Desbrun, M. & M. Gascuel. (1996). Smoothed Partcles: A new paradgm for anmatng hghly Fres, T.& M. Hermann-Georg. (2004). Classfcaton and overvew of meshfree methods. Tech. Rep. Informatkbercht-Nr Insttute of Scentfc Computng. Techncal Unversty Braunschweg. Braunschweg. Germany. Gbson, S. & B. Mrtnch. (1997). A survey of deformable modelng n computer graphcs. Tech. Report No. TR Lennard-Jones, J.(1931). Coheson. Proceedngs of the Physcal Socety. Brstol. England. 43(5): Lucy, L. (1977). Numercal approach to the testng of the fsson hypothess. Astronomcal Journal. 82(12): Müller, M., R. Keser, A. Nealen, M. Pauly, M. Gross & M. Alexa. (2004). Pont based anmaton of elastc, plastc and meltng obects. Proceedngs of the 2004 ACM SIGGRAPH/Eurographcs symposum on Computer anmaton. Grenoble. France Müller, M., R. Keser, E. Boxerman, M. Carlson, & A. Nealen. (2006). Physcally based deformable models n computer graphcs. Computer Graphcs Forum. 25(4): Pauly, M, R. Keser, L. Kobbelt & M. Gross. (2003). Shape modelng wth pont-sampled geometry. Internatonal Conference on Computer Graphcs and Interactve Technques. ACM SIG- GRAPH 2003 Papers. San Dego, USA Terzopoulos, D., J. Platt, A. Barr & K. Flescher. FARAUTE Cens. y Tec., 2(2)

9 Smulacón de modelos deformables 3D basados en partículas (1987). Elastcally deformable models. SIG- GRAPH 87: Proceedngs of the 14th annual conference on Computer graphcs and nteractve technques. New York. USA Teukolsky, S., W. Press, W. Vetterlng & B. Flannery. (1992). Numercal recpes n C: The art of scentfc computng. Cambrdge Unversty Press. New York. 80 FARAUTE Cens. y Tec., 2(2). 2007