TÉCNICAS CUANTITATIVAS 3 Grado en Marketing e Investigación de Mercados

Transcripción

1 DPTO. MÉTODOS CUATITATIVOS PARA A ECOOMÍA Y A EMPRESA UIVERSIDAD DE GRAADA TÉCICAS CUATITATIVAS 3 Grado e Marketg e Ivestgaó de Merados Teoría eeros.

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3 ÍDICE. Muestreo aleatoro smple Defoes oeptos básos Seleó de ua muestra aleatora smple. úmeros aleatoros Muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas Meda, varaza proporó muestrales: Propedades. Error de estmaó Estmaó putual. Itervalos de ofaza. Cotrastes de hpótess...3 Determaó del tamaño muestral Muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas Estmaó de la meda, proporó total poblaoales Determaó del tamaño muestral Eeros resueltos Muestreo aleatoro estratfado Seleó de ua muestra aleatora estratfada Estmaó de la meda, proporó total poblaoales Determaó del tamaño muestral Asgaó de la muestra Asgaó Óptma Asgaó de ema Asgaó Proporoal Estratfaó después de seleoar la muestra Eeros resueltos Muestreo o formaó auxlar Itroduó Estmaó de razó Estmaó de la meda total poblaoales Determaó del tamaño muestral Estmaó de regresó Estmaó de la meda total poblaoales Determaó del tamaño muestral Estmaó de dferea Estmaó de la meda total poblaoales Determaó del tamaño muestral Eeros resueltos Muestreo sstemáto Seleó de ua muestra sstemáta. Usos. Vetaas Estmaó de la meda, proporó total poblaoales Comparaó o el muestreo aleatoro smple: Poblaoes ordeadas, aleatoras peródas Determaó del tamaño muestral Eeros resueltos Muestreo por oglomerados eesdad vetaas del muestreo por oglomerados Formaó de los oglomerados. Coglomerados estratos Estmaó de la meda, proporó total poblaoales Determaó del tamaño muestral

4 Eeros resueltos Estmaó del tamaño de la poblaó Estmaó del tamaño de la poblaó usado muestreo dreto Estmaó del tamaño de la poblaó usado muestreo verso Muestreo por uadros Estmaó de la desdad del tamaño de la poblaó Muestreo por uadros e el espao temporal Cuadros argados Eeros resueltos Muestreo o probabldades desguales Itroduó Probabldades de lusó Pesos del dseño muestral Alguos métodos o probabldades desguales Estmaó de la meda, proporó total poblaoales El problema de la estmaó de la varaza de estmadores: métodos de remuestreo Aplaoes e euestas ofales Desó e ambete de ertdumbre Elemetos de u problema de desó Tablas de desó Valoraó de los resultados Clasfaó de los problemas de desó Toma de desoes e ambete de ertdumbre Crtero de aplae Crtero de Wald (maxm) Crtero de Hurwz Crtero de Savage (mmax) Desó e ambete de resgo El rtero del valor moetaro esperado Ioveetes del rtero del valor moetaro esperado El rtero de la pérdda de oportudad esperada Valor moetaro esperado o formaó perfeta El valor de la formaó perfeta Desó baesaa Probabldad odoada. Probabldad total. Teorema de Baes Iterpretaoes del oepto de probabldad Modfaó de las reeas del desor Valor moetaro esperado o formaó mperfeta. Valor de la formaó mperfeta Relaó de eeros Muestreo aleatoro smple Muestreo aleatoro estratfado Muestreo o formaó auxlar Muestreo sstemáto Muestreo por oglomerados

5 Muestreo o probabldades desguales Estmaó del tamaño de la poblaó Desó e ambete de ertdumbre Desó e ambete de resgo Desó baesaa Formularo Muestreo aleatoro smple Muestreo aleatoro estratfado Muestreo o formaó auxlar Muestreo por oglomerados Muestreo o probabldades desguales Estmaó del tamaño de la poblaó

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7 . Muestreo aleatoro smple..0 Defoes oeptos básos.. Seleó de ua muestra aleatora smple. úmeros aleatoros. Rutas aleatoras.. Muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas... Meda, varaza proporó muestrales: Propedades. Error de estmaó... Estmaó putual. Itervalos de ofaza. Cotrastes de hpótess...3 Determaó del tamaño muestral..3 Muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas..3. Estmaó de la meda, proporó total poblaoales..3. Determaó del tamaño muestral..0 Defoes oeptos básos uestro obetvo a lo largo de la asgatura será ooer o vestgar algua araterísta de ua poblaó, por eemplo el osumo de determados produtos, la audea televsva de u programa, la teó de voto,... Claramete la reogda de formaó sobre toda la poblaó resultaría ara leta. Por ello es preferble utlzar u subouto pequeño de la poblaó, la muestra. a muestra debe ser represetatva, es der, ua versó a esala reduda de la poblaó que reflee las araterístas de toda la poblaó. Para obteer ua muestra represetatva ha dferetes métodos. os métodos de muestreo más utlzados so: Muestreo aleatoro smple. Muestreo aleatoro estratfado. Muestreo sstemáto. Muestreo por oglomerados. Muestreo o probabldades desguales El error de muestreo es el que surge al osderar ua muestra o examar toda la poblaó. El error de muestreo puede ser otrolado meddo medate el dseño de la muestra. Otros errores, más dfíles de otrolar, puede ourrr al estudar ua muestra. Estos otros errores se llama errores de o muestreo. E muhas muestras, el error de muestreo ometdo para esa muestra puede ser despreable e omparaó o los errores que o so de muestreo. 7

8 os errores de o muestreo más omues so: Sesgo de seleó. Este error ourre uado algua parte de la poblaó obetvo o puede ser elegda omo parte de la muestra. Por eemplo, s haemos ua euesta por los domlos e horaro de trabao, estamos vetado que ertos dvduos pueda ser elemetos de la muestra. Sesgo de medó. El sesgo de medó ourre uado los datos observados dfere del valor verdadero, por eemplo: - os dvduos o reooe la verdad porque pudera estar mal vsto. - o omprede las pregutas. - a formulaó el orde de las pregutas puede afetar a las respuestas obtedas. - o respuesta. a o respuesta de u dvduo seleoado para formar parte de la muestra puede ausar u sesgo e los datos muestrales smlar al sesgo de seleó. Puede ourrr que las persoas que respoda o represete a la poblaó obetvo. os errores de o muestreo debe otrolarse o aoes omo reetrevstas, verfaó de los datos, So muhas las razoes para el uso del muestreo, etre otras destaamos: Evtar la destruó de la poblaó. E alguos asos, por eemplo e el otrol de aldad, la observaó de los elemetos lleva a su destruó. Rapdez. os datos se puede reur más rápdo, de modo que las estmaoes se puede publar de ua maera programada. Por eemplo las eleoes. Eoomía presó. El muestreo puede proporoar formaó fable o ostes muho meores que los de u eso (toda la poblaó). U eso ompleto mpla muho trabao e la reoleó de los datos debdo a su ompledad se puede ometer muhos errores. E ua muestra, por su meor tamaño, se puede dedar más ateó a la aldad de los datos.. Seleó de ua muestra aleatora smple. úmeros aleatoros. Rutas aleatoras. S ada muestra posble de tamaño tee la msma probabldad de ser seleoada, el proedmeto de muestreo se deoma muestreo aleatoro smple a la muestra así seleoada se le llama muestra aleatora smple. 8

9 a odó de que ada muestra tega la msma probabldad de ser seleoada equvale a que ada elemeto tega la msma probabldad de perteeer a la muestra. Para ello la seleó de ada elemeto de la muestra se debe haer o u sorteo ompletamete aleatoro. Para faltar la obteó de los resultados de ese sorteo aleatoro exste lo que se ooe omo tablas de úmeros aleatoros que suele apareer e u apéde al fal de muhos lbros de estadísta. Cada vez más, estas tablas de úmeros aleatoros so susttudas por la geeraó de úmeros aleatoros medate programas de ordeador (Exel, SPSS, R,...). Para asoar el valor de esos úmeros aleatoros o los elemetos de la poblaó eestamos que ésta esté umerada, e aso otraro deberíamos formar ua lsta umerarla. Esto últmo, e muhos asos, o es ta sello. Ua alteratva a la formaó de ua lsta umerada para la seleó medate úmeros aleatoros de los elemetos de la muestra es el método de las rutas aleatoras. Segú este método ada úmero aleatoro o grupo de úmeros aleatoros desrbe el amo hasta el elemeto de la muestra. Veamos ómo se aplaría este método o u sello eemplo: Se ha seleoado el úmero aleatoro 0703, las dos prmeras fras () da el dstrto de la udad, las dos sguetes (07) la alle del dstrto, las dos sguetes (0) el úmero de la alle, la sguete (3) la plata del edfo la últma () la letra B de dha plata. E muhos asos para llevar a abo este proedmeto se reurre a la guía telefóa, sobre todo s la etrevsta es por teléfoo, así el úmero aleatoro 7836 podría terpretarse omo que se seleoa la pága 78 de la guía detro de ésta al aboado del teléfoo que aparee e el lugar 36 de dha pága. E ÚMERO TOTA DE EEMETOS QUE FORMA UA MUESTRA TIEE MEOS IMPORTACIA QUE E PRICIPIO DE SEECCIÓ AEATORIA. Utlzar u método más sello para seleoar la muestra, o el que fálmete se obtega muhas observaoes, o garatza ua meor formaó que ua muestra aleatora smple o muhos meos datos.. Muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas. Supogamos que la araterísta e estudo de la poblaó está represetada por la varable Y (o meda µ varaza σ ), ua muestra aleatora smple de tamaño estará represetada por varables: Y,..., Y, depedetes e détamete dstrbudas (..d.). ota: observaoes e poblaoes ftas també e poblaoes ftas, s se hae o reemplazameto, os odue a varables..d. 9

10 .. Meda, varaza proporó muestrales: Propedades. Error de estmaó. Como estmador de la meda de la poblaó, µ, se utlza la meda muestral,. = = U valor aslado del estmador revela poo aera de la meda poblaoal, deberíamos evaluar també su bodad. Este estmador tee propedades deseables omo ser sesgado teer míma varaza ( ) µ ( ) σ E = V = Como estmador de la varaza de la poblaó, σ, se utlza la uasvaraza muestral, ( ) S = = que també tee la propedad de ser sesgado ( ) E S = σ de forma que la varaza de la meda muestral se estma de forma sesgada por S V ( ) = S. Cuado las varables Y, Y,..., Y so dotómas o bomales, sólo toma dos valores (0 ), su meda µ represeta ua proporó que se ota omo p el estmador de la msma, la proporó muestral, por p p = = 0, = Este estmador, omo meda muestral que es, tee las msmas propedades meoadas ates. a varaza de la poblaó es e este aso σ = pq, dode q=-p. Como ates, el estmador sesgado de la varaza es la uasvaraza muestral que para este tpo de varables es gual a S = ɵ pq la varaza estmada de la proporó muestral es ɵ ( pq V p) = 0

11 S ooemos más araterístas de las varables aleatoras Y, Y,..., Y, ooeremos más sobre el omportameto de la meda muestral, aparte de lo a meoado. S S µ (0,) σ Y ( µ, σ ) σ ooda µ t (0,) S Y ( µ, σ ) σ desooda ( e la práta para > 30, t (0,)) µ µ S Y ualquer dstrbuó (0,) σ S (por el Teorema Cetral del ímte uado, e la práta para >30) U aso partular del ateror es Y B(, p), varable dotóma, dode µ = p = p p p p p p p = (0,) pq ɵ pq ɵ pq (e la práta para >30) Todo lo ateror puede resumrse dedo que la meda muestral (de varables uméras,, o dotómas, p ) sgue ua dstrbuó ormal o se puede aproxmar por ella s el tamaño de la muestra es sufetemete grade. De forma que podemos ooer la probabldad de que dha varable tome determados valores, por eemplo (tomado ua de las aterores expresoes de la meda muestral tpfada, sedo váldo lo que sgue també para las otras) o e u aso más geeral α=vel de sgfaó µ P, 96, 96 = 0,95 σ µ P Zα Zα = α σ -α=vel de ofaza

12 Para u vel de ofaza del 95% (el más habtual) se suele redodear el ateror valor,96. E todos los aputes que sgue trabaaremos o u vel de ofaza del 95% o Z α =. E el formularo osderaremos dsttos veles de ofaza, por tato dsttos valores de smplfar la otaó. Z α que otaremos Z para De las probabldades aterores se puede haer dos leturas. a prmera: σ σ σ P µ = 0, 95 P µ = 0, 95 E esta expresó aparee valores expresoes fudametales e las téas de estmaó: -α=0,95= vel de ofaza del 95%. µ = error de estmaó o dferea etre la estmaó que haemos,, el verdadero valor del parámetro que se quere estmar, µ. σ = ota o límte para el error de estmaó, es el máxmo error de estmaó que se puede estar ometedo, o ua ofaza del 95%. E la práta, σ es desooda se estma por S. a seguda letura: σ σ P µ + = 0, 95 expresa la ofaza que teemos de que el verdadero valor del parámetro µ se euetre σ σ etre los extremos del tervalo, +. Todo lo ateror se puede asegurar s el estmador sgue ua dstrbuó ormal (s el tamaño de la muestra es sufetemete grade, >30, está garatzado). Pero qué ourre s o es así. E ese aso la desgualdad de Thebhev os da la respuesta. a desgualdad de Thebhev asegura que s X es ua varable aleatora o meda E( X ) = µ varaza V ( X ) σ =, sea ual sea su dstrbuó de probabldad

13 P X µ kσ k Aplado lo ateror a la meda muestral para k= se obtee σ P µ = 0, 75 4 resultado paredo al que obteíamos aterormete σ P µ = 0,95 salvo que e este aso lo más que podemos asegurar es que dha probabldad es maor que 0,75... Estmaó putual. Itervalos de ofaza. Cotrastes de hpótess. Cuado estmamos el valor de u parámetro poblaoal o el valor que ha presetado e ua determada muestra el estmador asoado, haemos ua estmaó putual. S dha estmaó putual se aompaña de u marge de error (límte para el error de estmaó) de ua medda de la ertdumbre que se tee e tal estmaó (vel de ofaza), hablamos de tervalo de ofaza. Por eemplo, utlzado muestras grades, el tervalo de ofaza para la meda poblaoal µ o u vel de ofaza del 95% es S S, + E oasoes se quere otrastar o los valores observados e ua muestra la posbldad de que el verdadero valor de u parámetro de la poblaó sea u valor dado, por eemplo, se quere otrastar la hpótess ula H 0 : µ = µ 0 o u vel de sgfaó del 5%. o ateror equvale a omprobar s S S µ 0, + e uo aso se aeptaría la hpótess ula, rehazádose e aso otraro...3 Determaó del tamaño muestral. S se fa de atemao el máxmo error de estmaó que estamos dspuestos a aeptar e ua σ estmaó, = B, la atdad de formaó eesara para osegurlo depede del tamaño de la muestra segú la sguete expresó 3

14 E la práta la varaza poblaoal σ σ σ 4, B D 4 B 4 = B = = D = σ es desooda. S dspoemos de ateror podemos obteer el valor de susttuedo e la ateror expresó S de u estudo σ por S o se dspoe de formaó preva para estmar la varaza podemos usar que e varables ormales el rago de la muestra es aproxmadamete uatro vees su desvaó típa σ R R 4 6 σ S. a proporó poblaoal p es la meda µ de ua varable dotóma ( Y B(, p), E( Y ) = p, V ( Y ) aáloga susttuedo σ por pq = pq ), luego el problema de determar el tamaño muestral se hae de forma pq B =, D = D 4 E la práta p se desooe. Ua aproxmaó se obtee reemplazádolo por el valor estmado p obtedo e muestras prelmares. S o se ueta o formaó ateror, supoedo p = se obtee u tamaño muestral oservador (maor que el requerdo para obteer la ota del error de estmaó fada). Eemplo.. U hpermerado desea estmar la proporó de ompras que los letes paga o su Tareta de Compras. Durate ua semaa observaro al azar 00 ompras de las uales 35 fuero pagadas o la tareta. a) Estme o u tervalo de ofaza la proporó de ompras pagadas o dha tareta. b) Cuátas ompras debería observarse para estmar, o u error feror al 3%, la proporó de ompras pagadas o la tareta? (Cosdere los datos aterores omo ua muestra preva) ) S o se tuvera gua formaó aera de los letes que utlza la tareta, uátas ompras deberíamos observar para asegurar que la ateror estmaó se realza o u error feror al 3%. d) Este msmo hpermerado desea estmar també el valor medo de las ompras realzadas o su Tareta de Compras. Basádose e los aterores datos se observa que 4

15 el valor total de las ompras hehas o la tareta fue de 5600 (sedo la uasvaraza de los datos 65). Estme el valor medo de las ompras pagadas o la tareta el error de estmaó asoado. Soluó: a) 35 ɵ 0,75 00 ɵ 0,75 0,85 ( pq p = = = = q = = V p) = = 0, = ( ) B = V ( p) = 0,0539 p,%,,89% b) ) d) B pq B = 0, 03 D = = 0, 0005 = = 64, D B pq B = 0, 03 D = = 0, 0005 p = q = 0,5 = =, 4 D 5600 = 35 = = = = S 65 S = 65 V ( ) = = = 7,857 B = V ( ) = 8, Muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas. Supoemos que la poblaó es fta, tee elemetos, además que la muestra se seleoa s reemplazameto (lo que suele ser habtual, e aso otraro estaríamos ate el msmo modelo que el muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas o varables..d.).3. Estmaó de la meda, proporó total poblaoales. Estmaó de la meda poblaoal. Para estmar la meda poblaoal, µ, se utlza la meda muestral µ = = = Este estmador es sesgado su varaza deree oforme ree el tamaño de la muestra 5

16 ( ) µ ( ) σ E = V = E este tpo de muestreo la uasvaraza muestral o es u estmador sesgado de la varaza de la poblaó E ( S ) = σ E S = σ De lo ateror se sgue que la varaza de la meda muestral puede ser estmada sesgadamete por V ( ) S = S = expresó gual a la del aso de poblaoes ftas, S V ( ) =, salvo el oefete que se deoma oefete orretor para poblaoes ftas (.p.f.). E la práta el oefete.p.f. suele desprearse s está próxmo a, 0, 95 o lo que es equvalete s 5%. E muhos asos o está laramete defdo o se desooe, pero s se supoe sufetemete grade el.p.f. se omte,. Para alular el límte para el error de estmaó, o u 95% de ofaza, se halla V ( ). Igual que e el aso de poblaoes ftas, se habla de u vel de ofaza del 95% uado trabaamos o el oefete,96. Pero e alguos asos, segú la desgualdad de Thevhev, sólo se puede asegurar que este vel es maor que u 75%. Estmaó del total poblaoal. τ Para estmar el total poblaoal, τ, dado que µ = τ = µ utlzaremos el estmador 6 ɵ τ = =. Para hallar su varaza usamos que V ( kx ) = k V ( X ), por tato: Varaza estmada de ɵ τ = S S V ( ɵ τ ) = V ( ) = V ( ) = = ( )

17 Como e el aso de la meda, el límte para el error de estmaó o ua ofaza del 95% está dado por V ( ɵ τ ). Valedo ometaros aálogos a los hehos aterormete. E lo suesvo se dará solamete el valor de la varaza del estmador para los dsttos tpos de muestreo, omtédose el límte para el error de estmaó. Eemplo.. U audtor exama las uetas abertas o dferetes letes de ua empresa. Supoga que exste 000 uetas de las uales se exama 300. a meda muestral de las uetas fue = 040 la uasvaraza muestral es S = Estme el promedo de la deuda el total de la deuda por obrar para las 000 uetas abertas o u tervalo de ofaza al 95%. Soluó: S V ( ) = = = 05 V ( ) = 05 = 0, ɵ τ = = = ( 040 0, 49) = ( 09,5, 060, 49) V ( ɵ τ ) = V ( ) = 000 0, 49 = 0490 ( valor exato 0493,9) ( ) = ( 0950, ) Estmaó de la proporó poblaoal. Para estmar la proporó poblaoal p, dado que se trata de ua meda, usaremos la meda muestral o la sguete otaó e este aso p = = 0, = su varaza estmada, teedo e ueta que S ɵ pq =, es gual a ɵ ( S pq V p) = = Para estmar el total poblaoal de ua varable dotóma usamos ɵ τ = p ɵ pq V ( ɵ τ ) = V ( p) = V ( p) = ( ) 7

18 Eemplo.3. Se toma ua muestra aleatora smple de 00 estudates de u etro o 900 estudates para estmar a proporó que votará a u determado represetate de etro. a proporó de ellos que tee algú tpo de trabao. Sea, z ( =,...,00) las respuestas del -ésmo estudate seleoado ( = 0 uado respode O, = uado respode SI, aálogamete para z ). Segú la muestra = 70 z = 5 = = Usado los datos de la muestra, estme p (proporó de estudates que votará a u determado represetate), p (proporó de estudates o algú tpo de trabao), τ (úmero de estudates o algú tpo de trabao) los límtes para los errores de estmaó orrespodetes. Soluó: p z = = = = 0, 70 (70%) p = = 0, 5 (5%) ɵ p ɵ q p q V ( p) = = 0, V ( p) = = 0, V ( p ) = 0, 0868 (8, 68%) V ( p ) = 0, 08 (8, %) ɵ τ = p = 900 0, 5 = 5 V ( ɵ τ ) = 900 0, 08 = 73,89.3. Determaó del tamaño muestral. El úmero de observaoes eesaras para estmar µ o u límte para el error de estmaó de magtud B se obtee resolvedo V ( ) ( ) = B B V ( ) = B V = = D 4 σ σ V ( ) = = D = ( ) D + σ Para estmar el total poblaoal o u límte para el error de estmaó B, dado que V ( ɵ τ ) = V ( ) = B, se llega a la msma expresó de pero o B D = 4 8

19 Habtualmete la varaza poblaoal σ es desooda. S dspoemos de ateror podemos obteer el valor de susttuedo e la ateror expresó S de u estudo σ por S o se dspoe de formaó preva para estmar la varaza podemos usar que e varables ormales el rago de la muestra es aproxmadamete uatro vees su desvaó típa σ R R 4 6 σ S. a proporó poblaoal p es la meda µ de ua varable dotóma ( Y B(, p), E( Y ) = p, V ( Y ) = pq ), luego el problema de determar el tamaño muestral se hae de forma aáloga susttuedo σ por pq, obteédose = pq ( ) D + pq B D = (para la proporó) 4 B D = (para el total) 4 E la práta p se desooe. Ua aproxmaó al msmo se obtee reemplazádolo por el valor estmado p obtedo e euestas prelmares. S o se ueta o formaó ateror, supoedo p = se obtee u tamaño muestral oservador (maor que el requerdo para obteer la ota del error de estmaó fada). Eemplo.4. Euetre el tamaño de la muestra eesaro para estmar el valor total de 000 uetas por obrar o u límte para el error de estmaó de Auque o se ueta o datos aterores para estmar la varaza poblaoal, se sabe que la maoría de las uetas ae detro del tervalo (600, 400). Soluó: B 0000 D = = = σ 800 σ 00 σ σ = = 65, 6 66 ( ) D + σ S se realza dos medoes (o más) sobre ada elemeto de la muestra, se alulará los tamaños muestrales que satsfae los límtes para el error de estmaó fados para ada estmaó falmete el maor de los dos será el tamaño de la muestra que satsfae ambos límtes. 9

20 Eemplo.5. os alumos de TC3 de ua faultad o 3000 estudates desea realzar ua euesta para determar la proporó de estudates que está a favor de haer los exámees e sábado o u límte para el error de estmaó del 0%. a formaó preva dspoble da que el 60% prefería los exámees e sábado. També se quere estmar la proporó de estudates que apoa al equpo deaal o u error de estmaó del 5%. Determíese el tamaño muestral que se requere para estmar ambas proporoes o los límtes de error espefados. Soluó: p = proporó de estudates que prefere los exámees e sábado. p q B (0,0) D = = = 0, , 60 0, 40 = = = ( ) D + pq (999 0, 005) + (0, 60 0, 40) p = proporó de estudates que apoa al equpo deaal. p q B (0, 05) D = = = 0, ,50 0, 50 93, = = = ( ) D + pq (999 0, 00065) + (0,50 0, 50) 353, para umplr o ambos obetvos habría que tomar =354 o lo que el límte para el error de la estmaó de p dsmuría (o u 95% de ofaza) hasta: ɵ pq 0, 60 0, V ( p) = = = 0, 0489 ( 4,9%) o be la ota del error de estmaó del 0% se tee o u vel de ofaza muho maor ɵ pq 0, 60 0, z V ( p) = z = z = 0,0 α α α z 0, 0445 = 0,0 z = 4, 09 α α busado e la tabla de la ormal (o o auda de la hoa de álulo Exel,...) la probabldad ompredda etre (-4,09, 4,09), se obtee 0, , es der, prátamete u vel de ofaza del 00%. 0

21 EJERCICIOS RESUETOS. Se seleoa ua m.a.s. de 9 ompras de letes de u etro omeral para estmar el valor medo de las ompras por lete. VAOR e 33, ,5 39 a) Obteer u tervalo de ofaza para el valor medo de las ompras. b) Podemos aeptar que la ompra meda es de 45? ) Qué tamaño muestral deberíamos tomar para que el EE sea de? SOUCIÓ: a) 33, µ = = = 40,89 9 (( ) ( ) ) S = 33,5 40, ,89 = 35, 67 9 S V ( ) B V ( ) = = 3,963 = = 3, 98 ( 40,89 3,98 ; 40,89 + 3,98) = ( 36,9; 44,87) b) o, porque 45 ( 36,9; 44,87) ) σ S 35,67 = = = 35, ompras B B 4 4. Se ha etrevstado 000 veos, elegdos aleatoramete etre los más de e ml habtates de ua udad para ooer su opó sobre los uevos mpuestos mupales. 655 mafestaro su opó desfavorable. Estme la proporó de veos que está e otra de los uevos mpuestos estableza el límte para el error de estmaó. Se puede afrmar que la maoría de los habtates está e otra? SOUCIÓ: 655 p = = 0, 655 p = 65,5% 000 ɵ pq 0,655 ( 0,655) V ( p) = = = 0, ( ) 0, 030 3, 0% V p = (65,5% 3,0%, 65,5% + 3,0%) = (6,49%, 68,5%)

22 p (6, 49%, 68,5%) p > 50% sí se puede afrmar que la maoría de los habtates está e otra 3. El Cetro de Estadísta desea estmar el salaro medo de los trabaadores de los veraderos de ua regó. Se dede lasfarlos e dos estratos, los que posee otrato fo los que tee u otrato temporal. El salaro de los otratos fos está ompreddo etre los euros mesuales, el salaro de los otratos temporales está ompreddo etre euros mesuales. Cuál debe ser el tamaño muestral total su asgaó para que se estme el salaro medo de los otratos fos o u error feror a 00 el salaro medo de los otratos temporales o u error feror a 0? SOUCIÓ: R 00-00= =00 R σ σ σ σ = = = = = 5 D 0000 B σ σ = = = = = D B 0 = + = Etre todas las ofas baaras de ua pequeña udad se tee oeddos 000 préstamos hpotearos. Exste razoes para pesar que el préstamo hpotearo de meor uatía es de algo más de 00 euros, sedo de as 000 euros el de maor uatía. uál es el tamaño muestral eesaro para estmar estos dos parámetros: - la uatía meda de los prestamos ometedo u error de estmaó meor de 400 euros - la proporó de préstamos pedetes de amortzar más de la mtad de la deuda ometedo u error máxmo del 5%? SOUCIÓ: = 000 R R = = 9800 σ = 450 σ B 400 D = = =

23 σ = = 39, ( ) D + σ B 0,05 D = = = 0, pq p = q = 0,5 = = 333, ( ) D + pq Para osegur estmar los dos parámetros o los veles de error espefados eestamos u tamaño muestral gual al máxmo de = Se desea estmar el salaro medo de los empleados de ua empresa la proporó de empleados que apoa a la atual dretva. a empresa tee 0 empleados se sabe que el salaro está ompreddo etre los euros mesuales. Cuál debe ser el tamaño muestral para que al estmar el salaro medo la ota de error se stúe e 0 euros al estmar la proporó de los que apoa a la atual dretva el error máxmo ometdo sea del %? SOUCIÓ: = R = = R σ = 4 σ B 0 D = = = σ = = 74, 75 ( ) D + σ B 0,0 D = = = 0, pq p = q = 0,5 = = 05, 4 06 ( ) D + pq 6. Ua empresa de trabao temporal quere vestgar las eesdades de empleo de las empresas de u pueblo. Para ello dede seleoar ua muestra de 5 de las 5 srtas e el regstro meratl. El úmero de baas e el últmo año, el úmero de empleados la respuesta de ada empresa sobre s utlzaría los servos de la empresa de trabao temporal fuero los sguetes: 3

24 Empresa Baas Empleados Respuesta 7 S 5 o S o 5 o a) Estme el úmero de baas e el últmo año e las empresas del pueblo. Calule el límte para el error de estmaó. b) Estme el úmero de empresas que usaría los servos ofertados. Calule el límte para el error de estmaó. SOUCIÓ: a) = 5 = 5 4 = =,8 ɵ τ = = 70 5 S,7 V ( ɵ τ ) = ( ) = 5 0 = 70 5 B = V ( ɵ τ ) = 7,74 ota: este apartado podrá resolverse de otra forma uado estudemos el muestreo por oglomerados. Véase eero resuelto 4 del tema 5. b) p = = 0, 4 ɵ τ = p = 0 5 ɵ pq 0, 4 V ( ɵ τ ) = ( ) = 5 0 = 30 4 B = V ( ɵ τ ) = 0, El osumo medo de ombustble de los taxs de ua udad es 5,6 ltros ada 00 Km. 4 Puesto que se osdera que el osumo es demasado elevado, e 600 taxs se mota u dspostvo para dsmurlo. Pasado erto tempo se toma ua muestra aleatora de 0 taxs, elegdos etre los 600 que oloaro el dspostvo. El osumo e ltros de ombustble por ada 00 Km. se reoge e la sguete tabla Tax º Cosumo Tax º Cosumo Tax º Cosumo Tax º Cosumo 5,4 6 6,3 3,6 6 5,4 5,5 7 5,4 6,7 7 4,8 3 6, , 8 4,7 4 3,9 9 4,5 4 5, 9 5,8 5 4,5 0 4,4 5 5,4 0 6, a) Estímese medate u tervalo de ofaza la proporó de taxs o u osumo feror a 5,6 ltros/00 Km.

25 b) Cuátos taxs debe observarse para estmar la ateror proporó o u error SOUCIÓ: meor o gual que u 0%? a) 5 de los 0 taxs o supera el osumo de 5,6 ltros/00 Km, por tato 5 ɵ p = = 0,75 pq 0,75 0, V ( p) = = = 0, V ( p ) = 0,953 ( 0, 75 0,953, 0, ,953) = ( 0,5547, 0,9453) ( 55, 47%, 94,53% ) b) ( 0,0) B = 0,0 D = = 0, pq 600 0, 75 0, 5 = = = 66, ( ) D + pq 599 0, , 75 0, 5 ( ) ( ) 8. Ua muestra aleatora smple de 6 deudas de letes de ua farmaa es seleoada para estmar la atdad total de deuda de las 00 uetas abertas. os valores de la muestra para estas ses uetas so los sguetes: Dero adeudado ( ) 35,50 3,00 43,00 4,00 44,00 4,50 Estme el total del dero adeudado estableza u límte para el error de estmaó. SOUCIÓ: = 35,50 3,00 43,00 4,00 44,00 4,50 = 38,00 = 60,5 04,00 849,00 68,00 936,00 806,5 = 9556,50 ɵ τ = = = = 00 38=3966,6 6 5

26 = 38 = ( ) = 5 6 S = = = 9556,50 = 3,667 S 3,667 V ( ɵ τ ) = ( ) = 00(00 6) = 38, 0 6 os aterores álulos que se ha realzado a mao o o auda de ua aluladora bása se smplfa otablemete s utlzamos ua aluladora etífa de uso omú. Estas aluladoras os proporoa los valores de u grupo de fuoes estadístas x, x, x, σ σ de forma medata. σ = sx = desvaó típa σ = Sx = uasdesvaó típa 9. E u estudo soológo, realzado e ua pequeña udad, se hero llamadas telefóas para estmar la proporó de hogares dode habta por lo meos ua persoa maor de 65 años de edad. a udad tee 5000 hogares, segú la guía de teléfoos más reete. Ua muestra aleatora smple de 300 hogares fue seleoada de la guía. Al termar la vestgaó de ampo, de los 300 hogares muestreados, e 5 habta al meos ua persoa maor de 65 años. Cotraste la hpótess de que e el 5% de los hogares de esa udad habta al meos ua persoa maor de 65 años. SOUCIÓ: =5000, =300 5 ɵ ɵ pq p = = 0,7 q = p = 0,83 V ( p) = = 0, V ( p ) = 0, % 7% 4, % =, 79%,, % ( ) ( ) luego se rehaza la hpótess de que e el 5% de los hogares de esa udad habta al meos ua persoa maor de 65 años. 0. El gerete de u taller de maquara desea estmar el tempo medo que eesta u operador para termar ua tarea sella. El taller tee 45 operadores. Se seleoaro aleatoramete 5 operadores se les tomó el tempo. os resultados obtedos so los sguetes: Tempo(mutos) 4, 5, 7,9 3,8 5,3 Se puede aeptar la hpótess de que el tempo medo que eesta los operaros del taller para termar dha tarea es feror a 6 mutos? 6

27 SOUCIÓ: ( o las fuoes del modo SD de la aluladora ) = = 5,6 S = =,563 =45, =5 ( ) S = = V ( ) = = 0, 4556 V ( ) =,35 Itervalo de ofaza : ( 3,9 m., 6,6 m. ) Valores maores e gual a 6 mutos perteee al tervalo de ofaza, por tato o podemos aeptar esa hpótess.. Co obetvos beéfos, ua asoaó flatrópa ha soltado frmas para ua petó e 700 hoas. Cada hoa tee espao sufete para 40 frmas pero e muhas de las hoas se ha obtedo u úmero meor. Cotado el úmero de frmas por hoa e ua muestra aleatora de 50 hoas se ha observado los sguetes resultados: Y = 450; Y = = = Cuál sería la prevsó más optmsta más pesmsta e uato al úmero total de frmas reogdas para la petó? SOUCIÓ: =700, =50 = = = = = = S = = 50 ɵ 0300 S τ = = V ( ɵ τ ) = ( ) = 3400 B = V ( ɵ τ ) = 3040, 66 Prevsó más optmsta: 3340 Prevsó más pesmsta: 759 ( , 66) = ( 759,34, 3340, 66) 7

28 . Muestreo aleatoro estratfado.. Seleó de ua muestra aleatora estratfada.. Estmaó de la meda, proporó total poblaoales..3 Determaó del tamaño muestral..4 Asgaó de la muestra..4. Asgaó Óptma..4. Asgaó de ema..4.3 Asgaó Proporoal..5 Estratfaó después de seleoar la muestra.. Seleó de ua muestra aleatora estratfada. Ua muestra aleatora estratfada se obtee medate la separaó de los elemetos de la poblaó e outos que o presete terseó, llamados estratos, la seleó posteror de ua muestra aleatora smple e ada estrato. os estratos debe formarse de maera que los elemetos de ada estrato sea lo más homogéeos que se pueda etre sí (más homogéeos que el outo de la poblaó) las dfereas etre u estrato otro sea las maores posbles. Esta forma de ostrur los estratos odue a muestras o poa varabldad etre las medoes que produrá pequeñas varazas de los estmadores por tato meores límtes para los errores de estmaó que o otros dseños de la muestra. Otras vetaas adoales que preseta este tpo de muestreo so las sguetes: A vees los estratos se orrespode o zoas ompatas be defdas o lo que se redue el oste de la muestra. Además de las estmaoes para toda la poblaó, este muestreo permte haer estmaoes de los parámetros poblaoales para los estratos. Ates de otuar femos la otaó que va a utlzarse: = úmero de estratos = tamaño de la poblaó = tamaño del estrato = tamaño de la muestra = tamaño de la muestra del estrato = = = = µ = meda poblaoal del estrato = meda muestral del estrato τ = total poblaoal del estrato σ = varaza poblaoal del estrato S = uasvaraza muestral del estrato 8

29 p = proporó poblaoal del estrato p = proporó muestral del estrato = oste de ua observaó del estrato. Estmaó de la meda, proporó total poblaoales. E ada estrato se ha realzado u muestreo aleatoro smple, sabemos que e ada estrato es u estmador sesgado del total τ, estmaremos τ = τ por = st = = ɵ τ la meda poblaoal τ µ = medate st = = OTA: st e geeral ( = meda muestral de las observaoes) ɵ ɵ st e geeral ( τ τ ɵ τ = = estmador del total segú u m.a. smple.) Varaza estmada de st S V ( st ) = ( ) V = = = Se obtee aplado que la varaza de la suma de varables depedetes es la suma de sus varazas que V ( kx ) = k V ( X ). Varaza estmada de ɵ τ st S V ( ɵ τ st ) = V ( st ) = = E el aso de varables dotómas los estmadores de la proporó total poblaoales así omo sus varazas toma valores smlares a los aterores, salvo las dfereas a ometadas e la leó ateror. Estmador de la proporó poblaoal p p st = p = Varaza estmada de p st ɵ p q V ( pst ) = ( ) V p = = = Estmador del total poblaoal τ ɵ τ st = p st = p = 9

30 Varaza estmada de ɵ τ st ɵ p q V ( ɵ τ st ) = V ( pst ) = = Eemplo.. Se está teresado e determar la audea de la publdad televsva e ua adea loal de u mupo, se dede realzar ua euesta por muestreo para estmar el úmero de horas por semaa que se ve la televsó e las vvedas del mupo. Éste está formado por tres barros o dferetes perfles soo-ulturales que afeta a la audea televsva. Ha 0 hogares e el barro A, 84 e el barro B 6 e el barro C. a empresa publtara tee tempo dero sufetes para etrevstar 30 hogares dede seleoar muestras aleatoras de tamaños: 5 del barro A, 6 del barro B, 9 del barro C. Se seleoa las muestras aleatoras smples se realza las etrevstas. os resultados, o medoes del tempo que se ve la televsó e horas por semaa, se muestra e la sguete tabla: BARRIO A BARRIO B BARRIO C Estme el tempo medo que se ve la televsó el límte para el error de estmaó, e horas por semaa, para: a) os hogares del barro A. b) os hogares del barro B. ) os hogares del barro C. d) Todos los hogares Soluó: e prmer lugar se alula las medas uasvarazas muestrales e ada estrato = 34, 67 horas / semaa = 8,7 h / s = 7, 56 h / s S = 3, 4 S =,57 S = 9, 8 3 = = 8,3 S 9,74 3 A partr de estos valores alulamos las varazas de los estmadores de la meda e ada estrato los límtes para los errores de dhas estmaoes = 0 = 84 = 6 = + + = = 5 = 6 = 9 = + + =

31 S S S3 3 3 V ( ) = =,44 V ( ) = = 7, 4 V ( 3) = =, V ( ) =, 40 h / s V ( ) = 8,35 h / s V ( ) =,8 h / s 3 Para el outo de todos los hogares el estmador de la meda es 3 = = 8, 3 h / s st = la varaza de este estmador la podemos alular basádoos e las varazas de los estmadores de la meda e ada estrato medate o, s se prefere, utlzado 3 V ( ) = V ( ) =, 4 st = 3 S V ( st ) = = el error para la estmaó de la meda para todos los hogares está dado por V ( ) =, h / s st Eemplo.. E el aso ateror, també se desea saber qué proporó de hogares ve u determado programa, para dedr la oveea de sertar u auo e los termedos del msmo. a respuesta a la preguta de s ve dho programa e los hogares de la muestra ateror se reoge a otuaó: BARRIO A BARRIO B BARRIO C SI SI O O SI O SI O SI O SI SI O O O SI O SI SI SI SI O SI SI O SI SI SI SI O Estme o u tervalo de ofaza la proporó de hogares del mupo dode se ve el programa. Soluó: e prmer lugar se alula las proporoes muestrales e ada estrato p = = 0, 4667 p = = 0,8333 p3 = = 0, a estmaó putual de la proporó de hogares del mupo dode se ve el programa es p st 3 = p = 0,60 = la varaza error de estmaó asoados so 3 ɵ p q V ( p ) 0, ( st = ) 0,73 = V pst = = el tervalo de ofaza expresado e poretaes es 3

32 ( 60% 7,3% ) = ( 4, 7%, 77,3% ).3 Determaó del tamaño muestral. El tamaño muestral para osegur u límte para el error de estmaó de la meda, B, vee dado por V ( st ) = B dode V ( ) = st σ. = o podemos despear el valor de todos los de ua sola euaó a meos que oozamos la relaó etre los dferetes estratos. Ha dversas formas de asgar el tamaño muestral e los (problema de la asgaó de la muestra que estudaremos a otuaó), susttuedo = ω e V ( ) se puede despear e fuó de los ω st obteedo el tamaño muestral aproxmado que se requere para estmar µ o u límte para el error de estmaó B. = D σ ω = + σ = B B D = la msma expresó vale para el total tomado D =. 4 4 Al gual que e el m.a.s. para poder usar la ateror euaó eestamos ooer las varazas poblaoales de los estratos o valores aproxmados de ellas, para lo ual se puede usar las uasvarazas muestrales de ua muestra preva o basaros e el rago de varaó de las observaoes detro de ada estrato. E el aso de varables dotómas se obtee ua expresó smlar, teedo e ueta que e este aso partular σ = p q = = D + p q ω = p q B D = (para estmar p) la msma expresó vale para el total tomado 4 B D =. 4.4 Asgaó de la muestra. Ha dversas formas de asgar el tamaño muestral e los dsttos estratos. El obetvo del dseño de ua euesta por muestreo es proporoar estmadores o varaza pequeña (por tato, pequeño error de estmaó) al meor oste posble. 3

33 El meor esquema de asgaó está fludo por: El úmero total de elemetos e ada estrato. a varabldad de las observaoes e ada estrato. El oste de obteer ua observaó e ada estrato..4. Asgaó Óptma. a asgaó que mmza el oste para u límte para el error de estmaó fado, B, se deoma asgaó Óptma está dada por ω = σ = susttuedo los ω e la expresó que obteíamos ates para se tee el tamaño total de la muestra segú la asgaó Óptma = σ σ = = D + σ = E el aso dotómo las aterores expresoes toma los valores σ ω = = p q pq = p q pq = = D + pq = B B D = (para estmar la meda o p), D = (para estmar el total). 4 4 E alguas oasoes teresa eotrar la asgaó que mmza el error de estmaó para u oste total fo de obteó de la muestra, C. E este aso la asgaó Óptma també es la respuesta el tamaño total de la muestra,, vee dado por: = C = = σ σ 33

34 Aálogamete para el aso dotómo susttuedo σ = pq..4. Asgaó de ema. Cuado los ostes de observaó de ada estrato so los msmos, las expresoes de la asgaó Óptma se smplfa trasforma e: Caso uméro ω = = D σ = σ ( σ ) = + σ = Caso dotómo p q ω = pq = ( pq) = = D + p q A este tpo de asgaó se le deoma de ema que ode o la asgaó Óptma solamete uado los ostes de observaó so guales e todos los estratos. Esta asgaó se utlza aú uado los ostes de observaó o so détos, a vees, sellamete o se ooe. =.4.3 Asgaó Proporoal. S además de los ostes, ode el valor de las varazas e ada uo de los estratos, las expresoes de la asgaó Óptma de ema se smplfa redue a Caso uméro ω = 34 = = D + σ = σ

35 Caso dotómo ω = pq = = D + pq a asgaó Proporoal puede suele utlzarse uado las varazas ostes de observaó o so guales para ada estrato, por la smpldad de los álulos por las vetaas que preseta frete a los aterores tpos de asgaoes: = Cuado se utlza la asgaó Proporoal el estmador st ode o la meda muestral de la muestra que reúe a todas las muestras de ada estrato, el total). st = (aálogamete para p st Cuado se observa más de ua varable e ada udad muestral para estmar más de u parámetro poblaoal aparee omplaoes e la asgaó determaó del tamaño muestral. Co la asgaó Proporoal tomado omo el máxmo de los valores eotrados para ada estmaó se resuelve el problema omo puede verse e el sguete eemplo: E la asgaó Óptma e la de ema los ω depede de las varazas puede ser dsttos de ua varable a otra ª estmaó: = 00 ω = 0,0 = 0 ω = 0,90 = 90 ª estmaó: = 40 ω = 0,50 = 0 ω = 0,50 = 0 Aú tomado el maor de los tamaños muestrales (00) pasado la euesta a 0 dvduos del estrato 90 del estrato o teemos garatzado que se satsfaga el error de estmaó fado para la seguda estmaó que eesta al meos 0 dvduos de ada estrato. E la asgaó Proporoal o ourre lo ateror pues los ω = so guales para todas las varables al o depeder de sus varazas, así s e dos estmaoes para los veles de error requerdos teemos lo sguete ª estmaó: = 00 ω = 0,30 = 30 ω = 0, 70 = 70 ª estmaó: = 40 ω = 0,30 = ω = 0, 70 = 8 tomado omo el máxmo de los dos ( e geeral para k varables), se tee garatzado que se umple o los límtes para el error fados para todas las estmaoes. 35

36 Eemplo.3 Cotuado o el eemplo. a) Qué tpo de asgaó se ha utlzado? Debdo a los traslados eesaros o uesta lo msmo obteer ua observaó e u barro que e otro. Se estma que el oste de ua observaó del barro A es de, 9 para el barro B 4 para el barro C. b) Cuátos hogares debería etrevstarse para estmar el úmero medo de horas a la semaa que se ve la televsó e los hogares del mupo o u error feror a hora. (Tómese los aterores datos omo ua muestra preva para estmar los parámetros eesaros). ) Supógase que se tee sólo 600 para gastar e el estudo, determe el tamaño de la Soluó: muestra la asgaó que mmza el error de estmaó. (Como e el apartado ateror, tómese los datos de la tabla omo ua muestra preva para estmar las varazas de los estratos). a) Podemos omprobar que se umple = ω = = = = 0,5 = = 0, = = 0, luego la asgaó utlzada ha sdo la Proporoal. b) Segú los datos aterores estmamos las varazas de ada estrato por σ = S = 3, 4 σ = S =,56 σ 3 = S = 9, 8 σ 3 σ σ o equvaletemete que ,808 0,6094 4, , , ,5068 0,368 97,063 76, ,4 9455,04 49, , , ,7 B D = = = 0, σ = = 3 D + σ = σ 479, , 0579 = = = 4, , , 7 ( ) σ 36

37 σ ω = = 0, 6383 ω = 0,873 ω = 0, σ = = ω = 79, 7 80 = ω = 3,39 4 = ω =, = = 6 ) E el supuesto de que se dspoga sólo de 600 para realzar el estudo 3 σ 600 = ,0679 = = = 3 98,57 479, 4436 σ = la asgaó de la muestra e ada estrato está dada por la asgaó Óptma = 0, 6383 = 6, 75 6 = 0,873 = 37, = 0,744 = 34, = = 97 o be resolvedo la euaó = 600 dode = ω ω + ω + ω = = = = 98,57 ω + ω + ω 3, A partr de se obtee los = ω segú la asgaó Óptma. Eemplo.4 Cotuado o el eemplo. a) Cuátos hogares debería etrevstarse s se qusera haer dha estmaó o u error feror al 5%. (Supógase que se realza la etrevsta por teléfoo el oste de las observaoes es el msmo para todos los asos al o ser eesaros los traslados. Tómese los aterores datos omo ua muestra preva para estmar los parámetros eesaros) b) Respódase a la preguta ateror pero supoedo que o se tee gua formaó preva sobre la proporó de hogares dode se ve el programa. 37

38 Soluó: a) p 0,4667 0,8333 0,6667 q pq 0,5333 0,667 0,3333 5,67,6685 7,9986 pq 04,7669 3, , ,934 95,4699 B 0,05 D = = = 0, ( pq) = 3 D + pq = 95, 4699 = = = 88, , ,934 ω ( ) = = = = 3 = p q p q 04, ,98 0, , 4699 aálogamete = 30, = 57, 4 58 = = 9 b) p q pq ,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 5,5 3, = = = = D + p q = 0 04,878 0, p q ( 40 0, 00065) 04,878 = = aálogamete 3 = 40,98 4 = 6, 46 6 = = 06 El muestreo estratfado o sempre odue a u estmador o meor error de estmaó, esto suele ourrr uado los estratos o está formados por elemetos sufetemete homogéeos. Muhas vees es debdo a que predoma el deseo de obteer estmaoes e ada estrato (por eemplo, e u estudo regoal també se quere obteer estmaoes a vel proval) frete al obetvo de mmzar los errores de los estmadores. Este problema queda be lustrado o el sguete eemplo. Eemplo.5 U dstrbudor de produtos de lmpeza desea ooer el osumo por hogar durate u año de u determado produto e ua omara formada por uatro mupos. 38

39 Para estmar de paso també el osumo e ada mupo dede usar muestreo estratfado tomado ada mupo omo u estrato. Se sabe que el 0% de la poblaó de la omara vve e el mupo, el 30% e el mupo, el 5% e el mupo 3 el 5% restate e el mupo 4. El dstrbudor tee medos sufetes para otrolar obteer datos sobre el osumo aual de 0 hogares. Dado que o tee formaó preva respeto a las varazas de los estratos porque el oste del muestreo es el msmo e ada mupo, dede aplar asgaó Proporoal, la ual odue a = = 0 0, 0 = 4 de forma smlar = 6 3 = 5 4 = 5. Obteedo los resultados de la tabla sguete (osumo expresado e euros). Estrato Estrato Estrato 3 Estrato = 507,5 S = 09,67 = 505 S = = 49 S3 = = 498 S4 = 440 Estme el osumo aual medo por hogar fe u límte para el error de estmaó. 3 4 Soluó: = 0, 0 = 0,30 = 0, 5 = 0, 5 = = = 0, 0 507, 5 + 0, , , = 500,5 4 4 st = = ( ) ( ) ( ) ( ) Obsérvese que uado se utlza la asgaó Proporoal st =, efetvamete = 0 = = = 500,5 E la sguete expresó osderamos los oefetes orretores para poblaoes ftas e ada estrato guales a la udad 4 4 S S S V ( st ) = = = = = = = 09, = = , 0 0,30 0, 5 0, 5 88,9 V ( ) = 8,79 st 39

40 Supogamos que el dstrbudor hubera deddo tomar ua muestra aleatora smple de 0 hogares, los msmos 0 de la tabla ateror, etoes el estmador de la meda hubera sdo 0 = = 500,5 = que ode o el estmador del muestreo estratfado por las razoes meoadas aterormete, pero la varaza estmada error de estmaó asoados tomaría los valores S = 50, 79 S 50, 79 V ( ) = = = 76,04, se supoe 0 V ( ) = 7, 44 Se observa que el error de estmaó es meor e el aso del muestreo aleatoro smple, esto es debdo a que el dstrbudor o tuvo e ueta que el osumo varía muho detro del uarto mupo. Pudo haber obtedo u error meor s hubera estratfado e base al tamaño de las famlas u hogares, esto es, oloado los hogares pequeños e u estrato, los medaos e otro,..., es der, formado los estratos o hogares que tega u osumo smlar..5 Estratfaó después de seleoar la muestra. A vees o se sabe a qué estrato perteee u dato hasta que o se observa (por eemplo, estratos segú sexo etrevsta telefóa). Supógase ua muestra aleatora smple de persoas para ua euesta. a muestra puede ser dvdda e masulos femeos después de que ha sdo realzada. Etoes e lugar de usar para estmar µ, podemos usar st sempre que sea oodo para todo. Obsérvese que e esta stuaó los so aleatoros, a que varía de ua muestra a otra auque sea fo. uego esto o es ua muestra aleatora estratfada e pleo setdo, pero s es oodo 0, etoes este método de estratfar después de la seleó es as ta exato omo el muestreo aleatoro estratfado o asgaó Proporoal. Este método o debe usarse s o ua buea aproxmaó de su valor se desooe. 40

41 Eemplo.6 E ua udad se sabe que el 30% de los hogares tee alefaó elétra. Al realzar ua euesta sobre el osumo de eergía (valor e euros de la fatura bmesual) se obtuvero los sguetes resultados: Tpo Calefaó º asas Valor total de las faturas uasdesvaó típa muestral Elétra o elétra Obtega ua estmaó del valor medo de la fatura de eletrdad e la udad el límte para el error de estmaó. Soluó: Ya que la proporó observada de faturas de hogares o alefaó elétra (0,60=60/00) está mu aleada de la proporó verdadera (0,30), es oveete la estratfaó después de que se ha seleoado la muestra aleatora smple. Además el proedmeto se ustfa pues tato omo supera = = 95,5 = = = = = (0, 30 95,5) + (0, 70 5) = 65, 05 st = = S S V ( st ) = = = = omtedo el oefete orretor por poblaoes ftas se tee S S V ( st ) = = 0,30 0, 70 59, 5 = + = = = V ( ) =5,4 st A vees este método de estmaó se utlza para austar por o respuesta. Por eemplo, s muhos de quees o respodero a ua muestra aleatora smple so varoes, etoes la proporó de varoes e la muestra va a ser pequeña, se podría osegur u estmador austado medate la estratfaó después del muestreo. Así, e este eemplo la baa represetaó e la muestra de faturas s alefaó elétra la alta de faturas o alefaó elétra odue a ua sobreestmaó del valor medo de las faturas s se utlza muestreo aleatoro smple o se austa la estmaó de la meda o la estratfaó después de seleoar la muestra: = = = 78,

42 Co el muestreo aleatoro smple sobrevaloraríamos el osumo medo de eletrdad por hogar (78,0>>65,05). EJERCICIOS RESUETOS. U aalsta de la opó públa tee u presupuesto de 0000 euros para realzar ua euesta sobre el úmero medo de ohes por hogar. Se sabe que de los 0000 hogares de la udad, 9000 tee teléfoo. as etrevstas por teléfoo uesta 0 euros por hogar llamado las etrevstas persoales uesta 30 euros por hogar vstado. Supoga que las varazas e los estratos o s teléfoo so guales. Co el obetvo de mmzar el límte de error de estmaó Cuátos hogares debe ser etrevstados e ada estrato s los hogares que ueta o servo telefóo so etrevstados por teléfoo los hogares s teléfoo so etrevstados persoalmete? SOUCIÓ: σ σ C C Cσ C = = = = ,64 = = = = = = 784, , 76 σ σ σ = = = = ω , ,5 846,05/308,64=0, , ,6 8,574/308,64=0, , ,76,0000 O be = ω = 784,8 0,9397 = 677, 677 = ω = 784,8 0, 0603 = 07, = + = = 0000 ω + ω = , 397 +,809 =, 06 = = 784,8 =, 06 Y a partr de se obtee omo ates. 4

43 . Se desea ooer el úmero de fes de semaa que las famlas de ua gra udad sale fuera de ella. Se sabe que el 4 5% de las famlas tee de 0 a hos, el 30% tee de 3 a 5 hos el 7 5% tee más de 5 hos. Se realzó u muestreo segú el úmero de hos se pregutó a las famlas sobre los fes de semaa que pasa fuera, obteédose los sguetes datos: úmero de hos Más de Estmar el úmero medo de fes de semaa que las famlas pasa fuera de la udad = dar el límte de error de estmaó. Omtr el orretor por poblaó fta. SOUCIÓ: st = = S = = 9,56 = = 9,6 3 = = 4, = = = 0, 45 9, , 30 9,6 + 0, 75 4,87 = 8,5 ( ) ( ) ( ) S S S S S = V ( st ) = = = = = = = = = 60,77 63,0 78, 4 = + + = , 45 0,30 0, 75,07,07 =, 3. Ua ompañía de autobuses está plaeado ua ueva ruta para dar servo a uatro barros. Se tomaro muestras aleatoras de hogares e ada barro se soltó a los membros de la muestra que valorase e ua esala de (totalmete opuesto) a 5 (totalmete a favor) su opó sobre el servo propuesto. os resultados se resume e la tabla aduta: Barro ,5 3,6 3,9 3,8 S 0,8 0,9, 0,7 a) Halle u tervalo de ofaza para la opó meda de los hogares que dspodrá del uevo servo. b) S se asga la muestra de 00 hogares de la meor forma, determe uátos perteeería al barro 3. (Supoga guales los ostes de observaó) 43

44 SOUCIÓ: a) S = = 000 st = = 3, 75 V ( st ) = 0, = b) = = = ( ) B = V ( ) = 0,973 µ 3,577, 3,93 st σ 350, = = = = ω (40 0,8) + (90 0,9) + (350,) + (0 0,7) σ = = 00 0, 448 = 44, Ua empresa espealzada e seguros está pesado e ofreer sus servos a las empresas de los polígoos dustrales de ua udad. Para austar sus tarfas desea estmar el gasto e pequeñas reparaoes de matemeto (obeto del seguro) de dhas empresas. Se lasfa las empresas e fuó de su tamaño. El úmero de empresas de ada tpo, el oste de obteó de esta formaó e ada empresa así omo los valores mímos, medos máxmos de u estudo smlar heho hae dos años se expresa e la sguete tabla (los ostes gastos está expresados e euros) Tpo de úmero de Costes de Gastos de reparaó empresa empresas observaó Mímo Meda Máxmo A B C S la empresa de seguros dspoe de hasta 600 para llevar a abo la estmaó, uátas empresas de ada tpo tee que observar para osegur que sea mímo el error de estmaó asoado? SOUCIÓ: a asgaó que mmza la ota del error de estmaó para u oste fo es la asgaó Óptma. Usamos que R 4σ por tato estmamos que R R σ. 4 σ σ ω = ( = ω ) 600 = = = 600/ = = ω = = ω = = ω 3 =

45 C = (6 8) + (9 34) + (4 36) = 578 < E ua poblaó ompuesta por aproxmadamete gual úmero de hombres que de mueres se desea estmar el gasto medo mesual por habtate e oo. Se lleva a abo la euesta por teléfoo medate ua muestra aleatora smple de 500 úmeros de teléfoo del tado mupo. Después de obtedos los datos se observa que sólo 00 de los euestados fuero hombres el resto mueres. Por ello se dede llevar a abo ua estratfaó después de seleoar la muestra obteédose los sguetes datos HOMBRES MUJERES S Estme la meda poblaoal de gasto mesual e oo su ota de error, medate muestreo aleatoro estratfado después de seleoar la muestra. SOUCIÓ: S S , , st = = = 87,5 500 = S V ( st ) = 9,6 = = 9,6 = 0,8 500 = 6. E ua poblaó ompuesta por aproxmadamete gual úmero de hombres que de mueres se desea estmar la proporó de dvduos que ve u determado programa de televsó. Se lleva a abo la euesta por teléfoo medate ua muestra aleatora smple de 300 úmeros de teléfoo. Después de obtedos los datos se observa que sólo 50 de los euestados fuero hombres el resto mueres. Por ello se dede llevar a abo ua estratfaó después de seleoar la muestra obteédose los sguetes datos HOMBRES MUJERES Euestados Ve el programa 30 Estme la proporó de la poblaó que ve el programa de televsó su ota de error, medate muestreo aleatoro estratfado después de seleoar la muestra. 45

46 SOUCIÓ: 30 p ɵ = = 0, 4 p = = 0,5 q = p p = p = p = 0, 50 0, 4 + 0,50 0,5 = 0,38 p = 38% ( ) ( ) st st = = S = ɵ ɵ ɵ ɵ p q p q p q p q V ( pst ) = = = = = = = = = 0, 4 0, 76 0,5 0, 48 = + = ,50 0,50 0, V ( p ) = 0, ,87% st 7. Se quere haer u estudo sobre gasto e ropa e ua omara dode el 4% de los habtates so mueres. a) Se dede tomar ua muestra aleatora estratfada de 300 observaoes o asgaó proporoal. Cuátos hombres mueres debe etrevstarse? Se toma la ateror muestra, obteédose los sguetes valores: meda muestral (e euros) uasvaraza muestral HOMBRES MUJERES b) Estme el gasto medo e ropa para toda la omara el límte del error de estmaó asoado. ) Quere repetrse el estudo sólo e la poblaó de mueres para estmar el gasto medo e ropa de ellas o u error feror a 0 euros. A uátas mueres habría que pregutarle? SOUCIÓ: = 0,59 = 0, 4 = 300 = 0,59 = 77 = 0, 4 = 3 a) = = = 0, , 4 70 = 40,5 b) ( ) ( ) st = = S S V ( st ) = 0, 59 0, 4 0,7 = = + = = = 77 3 V ( ) = 8,9846 st 46 ) B σ 9000 B = 0 D = = 5 = = = D 5

47 8. Ua orporaó desea estmar el úmero total de horas perddas debdo a adetes de sus empleados, e u determado mes. Ya que los obreros, téos admstratvos tee dferetes tasas de adetes, la orporaó dede usar muestreo estratfado, formado o ada grupo u estrato. Datos de años prevos sugere las uasvarazas mostradas e la sguete tabla para el úmero de horas perddas por empleado e los tres grupos, de datos atuales se obtee los tamaños de los estratos. o habedo dferea etre los ostes de observaó de ada grupo, determe la meor asgaó para ua muestra de 40 empleados. SOUCIÓ: Obreros Téos Admstratvos S σ σ 6 79 S , = 460 0, = 8 0, = 333 Dode se ha aplado la asgaó de ema al ser los ostes de observaó guales: ω = σ = σ 3 ω = 40 0,594 = 3,8 4 = 40 0, 345 = 3,8 4 = 40 0, 0608 =, 4 = Se dspoe de la sguete formaó sobre tamaños poblaoales de los estratos, ostes de observaó estmaoes de las proporoes Tamaño del estrato Coste de observaó Proporoes e % ESTRATO ESTRATO ESTRATO Determe la meor asgaó para ua muestra de 00 observaoes. SOUCIÓ: p 0,90 0,55 0,70 q ɵ 0,0 0,45 0,30 ɵ p q 0,3 0,4975 0,4586 ɵ p q ω , ,695 = ,909 04,695 = 343, , 695 0,396 04,695 = 04,695 47

48 Dode se ha aplado la asgaó Óptma: p q ω = pq = 3 = 00 0, 4795 = 95,9 96 = 00 0,909 = 38, 38 = 00 0,396 = 65,9 66 = a produó de pezas de ua fatoría se realza e dos máquas. El 40% de las pezas las produe la máqua A el 60% restate la máqua B. Se les pasó otrol de aldad a 00 pezas; 67 produdas por la máqua A dos de ellas resultaro defetuosas; las 33 restates proedía de la máqua B, sedo 6 de ellas defetuosas. Estmar la proporó de pezas defetuosas de la fatoría dar el límte de error de estmaó. Omta el oefete orretor por poblaó fta. SOUCIÓ: Estrato A B 0, , p ( ) ( ) p /67=0,030 6/33=0,045 ɵ p q 0, ,00036 = + = + = ( 0,40 0,030 0,60 0,045 ) (( 0, 40 0,030) ( 0,60 0,045) ) 0,039 ( 3,9% ) ( ) (( ) ( )) = (( 0, 40 ) ( )) 0, , 60 0, = 0, V p = 0, 40 0, , 60 0, = B = 0, = 0, 074 (, 74% ). Para la omeralzaó de u produto se le lasfa, atededo al albre, e tres ategorías: pequeña, medaa grade. U establemeto dspoe de 300 pezas pequeñas, 500 medaas 00 pezas grades. Para estmar el peso total de produto almaeado se dede tomar ua muestra aleatora que otega pezas de todas las ategorías, resultado Categoría º de pezas Peso e gramos Pequeña 5, 4,, 5, Medaa 6 6,, 4, 0, 0, 8 Grade 4 30, 33, 3, 34 Cosderado los aterores datos omo ua muestra preva, obtega el úmero de udades que ada ategoría debe aportar a la muestra para que el error e la estmaó del peso total o supere el medo klo. 48

49 SOUCIÓ: Peso e gramos ( o las fuoes del modo SD de la aluladora ), 4,, 5, S =, 44 S = 6,, 4, 0, 0, 8 S =,884 S = 8 30, 33, 3, 34 S =,857 S = 3, σ σ σ σ ω = σ = σ = 7,66ω 300,44 44, ,95 3, , , ,648 45, ,857 3, ,4 666,66 0,657,87 = ,6 566,66 = 7 B D = = = 0, ( σ ) = = = D + σ = 7,66. Ua spetora de otrol de aldad debe estmar la proporó de rutos tegrados de ordeador defetuosos que provee de dos dferetes operaoes de esamble. Ella sabe que de etre los rutos tegrados que va a ser speoados, 60% proede de la operaó de esamble A 40% de la operaó de esamble B. E ua muestra aleatora de 00 rutos tegrados resulta que 0 provee de la operaó A 80 de la operaó B. De etre los rutos tegrados muestreados de la operaó A, so defetuosos. De etre las pezas muestreadas de la operaó B, 6 so defetuosas. SOUCIÓ: a. Cosderado úamete la muestra aleatora smple de 00 rutos tegrados, estme la proporó de los defetuosos e el lote, estableza u límte para el error de estmaó. b. Estratfque la muestra, después de la seleó, e rutos tegrados proveetes de la operaó A B, estme la proporó de los defetuosos e la poblaó, fe u límte para el error de estmaó.. Qué respuesta euetra más aeptable? Por qué? a. 8 ɵ p = = 0,8 (8%) pq V ( p) = = 0, V ( p ) = 0, 077 ( 7, 7% ) 49

50 b. p = p = p = 0, , 40 = 0,4 ( 4% ) st = = ɵ ɵ ɵ p q p q p q V ( pst ) = = = = = = = 0,0 0,90 0, 0 0,80 = ( 0,60) + ( 0, 40) = 0, V p = ( ) ( ) 0, 090 9, 0% st. Auque e el outo de la poblaó ha más elemetos que proede de A (60%) que de B (40%), la muestra global o represeta adeuadamete este heho, predomado los elemetos de B (80) frete a los de A (0), esto oasoa que e el apartado a. la estmaó esté sesgada haa el valor de B ( p = 0, 0 ) frete al de A ( p = 0,0 ). E el apartado b. este heho se orrge dado a p p las poderaoes 0,60 0,40 respetvamete para estmar p. 3. Ua adea de restaurates tee 00 establemetos e Madrd, 70 e Bareloa 30 e Sevlla. a dreó está osderado añadr u uevo produto e el meú. Para otrastar la posble demada de este produto, lo troduo e el meú de muestras aleatoras de 0 restaurates de Madrd, 5 de Bareloa 5 de Sevlla. Usado los íde, 3 para desgar Madrd, Bareloa Sevlla, respetvamete, las medas las desvaoes típas muestrales del úmero de peddos de este produto rebdos por restaurate e las tres udades durate ua semaa fuero: =, S = = 3, 3 S = = 6, S = a. Estmar el úmero medo de peddos semaales por restaurate para los restaurates de la adea. Dar u límte del error de estmaó. b. Determar el tamaño muestral la asgaó para repetr el estudo ateror ometedo u error feror a 3 peddos. SOUCIÓ: a st = = = 9,7 peddos / semaa 00 = S V ( ) 6, 965 st = ( ) 5, 0 / = V st = peddos semaa = 50

51 b. σ σ σ σ ω = σ = σ = 43,5ω ,5357 3, ,3438 4, ,05 5,4 6 = = 45 B 9 D = = =, ( σ ) = = = D + σ = 43,5 4. De ua udad o 350 asas, se sabe que 64 de ellas tee alefaó elétra. Al a. realzar ua euesta sobre el osumo de eergía (e klovatos-hora) se obtuvero los sguetes resultados: Tpo Calefaó º asas Meda muestral Cuasvaraza muestral Elétra ,396 o elétra ,7 a. Obtega ua estmaó del úmero medo de klovatos-hora utlzado e la SOUCIÓ: udad. Dé u límte para el error de estmaó. b. Obtega ua estmaó del úmero medo de klovatos-hora utlzado por las asas que o tee alefaó elétra. Dé u límte para el error de estmaó. S S , , , , , , ,45 st 4556 = = = 70, = S 6864, 45 V ( st ) =,9 = = 350 =,9 =,96 b. = 463 5

52 S 96, V ( ) = = =, ,7 =, 94 5

53 3. Muestreo o formaó auxlar. 3. Itroduó. 3. Estmaó de razó. 3.. Estmaó de la meda total poblaoales. 3.. Determaó del tamaño muestral. 3.3 Estmaó de regresó Estmaó de la meda total poblaoales Determaó del tamaño muestral. 3.4 Estmaó de dferea Estmaó de la meda total poblaoales Determaó del tamaño muestral. 3. Itroduó. S etre dos varables exste ua fuerte relaó es posble utlzar la formaó auxlar que tegamos de ua varable, omo puede ser la meda o el total poblaoal, para estmar la meda o el total de la otra varable. otaremos por Y X Varable bao estudo Varable que proporoa la formaó auxlar De las que tomaremos ua muestra osttuda por pares de datos: ( x ),...,( x, ), A partr de los datos muestrales se puede estmar la relaó exstete etre ambas varables. Puede utlzarse dsttos dseños de muestreo e la estmaó o formaó auxlar. Aquí supoemos que se emplea el muestreo aleatoro smple. a estmaó o formaó auxlar es mportate uado se pretede estmar el total s ooer el úmero de elemetos de la poblaó pero sí el valor total de la varable que proporoa la formaó auxlar. Por eemplo, debdo a que exste ua fuerte relaó etre reta ahorro, se puede estmar el valor total de los ahorros de los dvduos de ua poblaó s se ooe el valor total de las retas de dhos dvduos. Así, s se sabe que por térmo medo el 0% de la reta se deda al ahorro se ooe la reta total, el ahorro total se estma gual al 0% de la reta total. Observemos que la estmaó del total de ahorro se ha llevado a abo s eesdad de ooer el úmero de dvduos de la poblaó,. 53

54 Depededo de la relaó etre las varables X e Y utlzaremos: Estmadores de razó ( = bx o o otra otaó = rx) Estmadores de regresó ( = a + bx) Estmadores de dferea ( = a + x o o otra otaó = d + x) Estos estmadores sólo se debe utlzar s etre las dos varables exste ua fuerte relaó leal postva, r x >. 3. Estmaó de razó Dada ua poblaó de tamaño e la que se osdera las varables X e Y, se defe la razó omo el oete: τ R = τ Es der, la proporó del total de Y respeto del total de X. Puesto que τ x = µ x, obteemos x τ = µ De estas defoes se dedue que τ Y µ Y µ Y R = = = τ µ µ X X X τ = Rτ x µ = Rµ x Por tato, s se ooe los valores de la meda el total de la varable X, para estmar la meda el total de Y sólo ha que estmar el valor de R (que otaremos omo R ˆ τ = rτ x ˆ µ = rµ x = r ): Puesto que la razó R es el oete etre las medas poblaoales, tomado ua muestra aleatora smple: (, ),...,(, ) medas muestrales: x x, podemos estmar R tomado el oete etre las = = ESTIMADOR DE A RAZÓ: r = = = x x x = = VARIAZA ESTIMADA DE r : S ˆ( ) r V r = µ x, S = ( ) r rx = 54

55 3.. Estmaó de la meda el total poblaoales Hemos de supoer que etre X e Y exste ua alta orrelaó leal postva que el modelo leal, dode X es la varable explatva e Y la explada, pasa por el orge, ( = bx, e este otexto se ota b = r dado su sgfado, = rx) ESTIMADOR DE A MEDIA: ˆ µ = rµ x Para estmar µˆ eestamos ooer el verdadero valor de µ x. o vale la estmaó µ x x VARIAZA ESTIMADA DE S Vˆ µ = µ xv ˆ( r) = r µˆ : ( ˆ ) ESTIMADOR DE TOTA: ˆ τ = rτ x VARIAZA ESTIMADA DE τ x Sr Sr ( ) x ( ) µ τˆ : Vˆ ˆ τ = τ Vˆ r = = ( ) x S µ x so desoodos o podemos utlzar la expresó ateror. Etoes s = aproxmado µ x por x se tee x Sr V ( ɵ τ τ ) x Cometaros sobre estos estmadores: So estmadores sesgados. Cuado es desoodo s estmamos que 5%, es der que 0, 95, etoes. (Véase eero resuelto 4) τ x De la relaó µ x =, se sgue que ooedo dos de estos elemetos se puede τ 3840 alular el terero. (Véase eemplo 3.: µ = x = = 5, ha / soo ) x 750 A la hora de estmar el total, auque oozamos el tamaño de la poblaó, uado exste ua fuerte orrelaó etre las varables, se omporta meor el muestreo o formaó auxlar ( τ = ) eemplo 3.5) ˆ que el muestreo aleatoro smple ( τˆ = ) rτ x. (Véase 55

56 Eemplo 3. Medate ua tasaó preva se desea estmar la produó meda la produó total de los 750 soos de ua ooperatva agríola. Se sabe que el total de superfe platada es de 3840 hetáreas. Se realzó u sorteo etre los soos para elegr a 0 de ellos a los que se les pregutó por la superfe platada se les tasó su produó. os resultados fuero: Superfe Produó Superfe Produó 3, , , 5, ,4 4 5,5 6 5,5 8 3, ,9 8 5, 5 5,6 7 5, , Estme la produó meda total medate los estmadores de razó muestreo aleatoro smple. Calule sus respetvos límtes para el error de estmaó ompárelos. Soluó Y = produó (toeladas, tm) X = Superfe platada (hetáreas, ha) x x x 3,7 3, ,4 4,3 4 8, , 4, 6,8 45, ,5 6 30, ,8 4, , , 5 6,0 5 76,5 5,7 8 3, , ,4 6 9, ,4 4,4 4 9, ,6 5,5 8 30, ,9 8 34, , 5,6 7 3, , , 5, ,4 TOTAES 05, 30 58, , 56

57 Del euado de la tabla ateror obteemos: = 0 = 750 soos τ x = 3840 ha x = 05, = 30 x = 58, 96 = 5398 x = 770, = = = = = ( ) 05, 58, 96 x = x = = s = x x = x x = = 5, 6 x 5, 6, 4304 = 0 = = 0 ( ) = = = s = = = = 6 6 3,9 = 0 = = 0 ( )( ) ( ) 770, s = x x = x x = 5, 6 6 = 4,35 0 x = = S queremos alular las uasvarazas a partr de las varazas: 0 0 S = x sx, 4304,5057 S s 3,9 4, 636 = 9 = = = 9 = hallado las raíes uadradas obteemos las desvaoes típas ( x, ) uasdesvaoes típas ( x, ) S S. s s las os aterores álulos que se ha realzado a mao o o auda de ua aluladora bása se smplfa otablemete s utlzamos ua aluladora etífa de uso omú. Estas aluladoras os proporoa los valores de u grupo de fuoes estadístas de forma medata: σ = = σ = = x x x sx desvaó típa Sx uasdesvaó típa a relaó etre las varables es alta, r x sx 4,35 = = = 0, Esto, uto o la s s,96 3, 78 x formaó auxlar que dspoemos de la varable X, ustfa el uso de estmadores de razó. Por otra parte, dado el otexto, es lógo que la relaó pase por el orge (a 0 ha de superfe le orrespode ua produó de 0 tm). 0 = 30 r = = = 3,04 tm/ha 0 05, x = ˆ τ = rτ = 3, = 680,6 tm x τ 3840 µ = x = = 5, ha / soo x 750 ˆ µ = rµ x = 3,04 5, = 5,57 tm/soo 57

58 Sr = ( rx ) = r x r x 0, 706 = + = = = = S ˆ r V ( ˆ µ ) 0, 0344 ˆ ( ˆ = = Bµ = V µ ) = 0,37 tm/soo ˆ τ S ( ˆ S V τ ) 936,75 ˆ( ˆ = = = Bτ = V τ ) = 78,04 tm µ x r r x o B = 750 B = 750 0,37 = 77,5 tm (los dos proedmetos o ode por smples τ µ errores de redodeo e el valor de B µ ). A otuaó lo estmaremos utlzado muestro aleatoro smple: ( ) 30 4, / ˆ S = = tm soo V = = = 0, B = 0, 7 = µ, 69 tm / soo 30 ˆ τ = = 750 = 000 tm 0 S 4, ˆ ( ˆ V τ ) = = 750 = , Bτ = , 47 = 65,76 tm o B = 750 B τ µ Observemos que el límte del error de estmaó, tato para la meda omo para el total, es muho maor que el ometdo utlzado estmadores de razó. 3.. Determaó del tamaño muestral Tamaño muestral mímo para que la estmaó de la razó, la meda el total o supere ua ota de error B dode para estmar: la razó: D = B µ x 4 = σ r σ r + D la meda: D = B 4 B el total: D = 4 58

59 Cometaros: σ r se estma utlzado ua muestra preva: ˆ σ r = S r. S µ x es desoodo, ˆ µ = x x Eemplo 3. (otuaó del eemplo 3.) Supogamos que queremos redur el límte para el error de estmaó de la meda a 0,5 tm/soo el del total o debe superar las 00 tm a uátos soos se les debe tasar su produó ates de realzar ua ueva estmaó? Soluó σ r 750 0, 706 MEDIA: = = = 4,6 43 soos B 0,5 σ r + 0, σ r σ r 750 0, 706 TOTA: = = = = 37, 7 38 soos B B 00 σ r + σ r + 0, eestamos al meos 43 soos para umplr o ambos veles de error. 3.3 Estmaó de regresó El uso del estmador de razó es más efetvo uado la relaó etre las varables X e Y es leal pasa por el orge de oordeadas (e este aso proporoa estmadores sesgados). E aso de relaó leal que o pase por el orge de oordeadas es preferble utlzar estmadores de regresó. E el modelo leal smple b de la sguete forma: Y = a + bx, el método de mímos uadrados permte estmar a s b = = s x x a = bx = ( )( x x ) = ( x x ) dode s x x x x x = ( ) = = = s = x x = x x ( )( ) x = = 59

60 3.3. Estmaó de la meda el total poblaoales 60 ˆ x x x ESTIMADOR DE A MEDIA: µ = a + bµ = bx + bµ = + b( µ x ) Para estmar ˆ µ eestamos ooer el verdadero valor de µ x. o vale la estmaó µ x x VARIAZA ESTIMADA DE sedo Vˆ µ S = µˆ : ( ˆ ) S la varaza resdual e el modelo leal smple: S b x x s s s r = + = = x = sx x ( ( ( ))) ( ) ESTIMADOR DE TOTA: ˆ τ = µ ˆ E este aso para estmar el total es eesaro ooer el tamaño de la poblaó. o se puede estmar omo ˆ τ = a + bτ x a que la reta de regresó o pasa por el puto ( τ x, τ ). VARIAZA ESTIMADA DE ˆ Eemplo 3.3 τ : V ˆ ( ˆ τ ) = Vˆ ( ˆ µ ) Para u grupo de 000 pequeños establemetos se desea realzar u estudo sobre las vetas daras. Se tee formaó de que, por térmo medo, el gasto e publdad es de 5 euros. Se elge al azar ua muestra de 8 establemetos se toma datos de su gasto e publdad vetas daros. os resultados so: Gastos Vetas 3,7 0 4,3 40 4, ,5 60 3, , 50 5, ,4 50 4,4 0 5, ,9 50 6,6 70

61 Estme el total de vetas daras la meda utlzado estmadores de regresó. Obtega el límte para el error de estmaó. Soluó Y = vetas dara (euros) X = gastos daros e publdad (euros) = 8 establemetos = 000 establemetos µ x = 5 Tal omo se expló e la resoluó del eemplo 3. obteemos: x = 5, 0556 = 38,889 s s x = =, 6375 sx, 684 0,34 s 4,654 = = s x = 7, 784 a relaó etre las varables es fuerte: r x = 0,8336. s 7,784 b = = = 0,34 ˆ µ = + b( µ x x) = 38, , 34( 5 5,0556) = 38, 34 s,684 x x S = s ( rx ) = 4, 6 B ( ˆ ) ˆ τ = ˆ µ = 3834 ˆ S V ( ˆ µ ) = = 7, 73 = Vˆ = 5,56 B = B = 000 5,56 = 5560 µ µ τ µ 3.3. Determaó del tamaño muestral Tamaño muestral mímo eesaro para que al estmar la meda el total poblaoales la ota de error o supere el valor B dode para estmar: = σ σ + D la meda: D = B 4 B el total: D = 4 σ se estma utlzado ua muestra preva: ˆ σ = S Eemplo 3.4 (otuaó del eemplo 3.3) Se quere repetr el estudo ateror de forma que el error para la estmaó del total o supere los 000 euros uál debe ser el tamaño muestral? 6

62 Soluó σ 000 4, 6 = = = 36, 6 36 B 000 σ + 4, establemetos. 3.4 Estmaó de dferea El uso del estmador de dferea tee u bue omportameto (ota de error más baa) uado la relaó etre las varables es leal la pedete del modelo es uo. ( = a + x ó = + ( x x ) a = x = d ) Comúmete se emplea e proedmetos de audtoría Estmaó de la meda el total poblaoales ESTIMADOR DE A MEDIA: = + ( µ x) = µ d µˆ d = x D x x + Para estmar ˆ µ D eestamos ooer el verdadero valor de µ x. o vale la estmaó µ x x VARIAZA ESTIMADA DE D Vˆ µ ( ( x + d ) = ( d d ) S D = = uasvaraza de los d. S = D µˆ : ( ˆ ) = D, dode d = x, por tato S D es la ESTIMADOR DE TOTA: ˆ τ D = µ ˆ D E este aso para estmar el total es eesaro ooer el tamaño de la poblaó. o se puede estmar omo ( ) e el estmador de regresó. τ = + τ x = τ + d por aálogas razoes a las expuestas ˆ x x VARIAZA ESTIMADA DE YD τˆ : V ˆ ( ˆ τ ) = Vˆ ( ˆ µ ) D D Eemplo 3.5 Para u grupo de 00 establemetos se desea realzar u estudo sobre el gasto daro. Se tee formaó de que los gresos medos daros so de 500 euros. Se elge al azar ua muestra de 0 establemetos se toma datos de gresos gastos, obteédose: 6

63 X=Igresos Y=Gastos Estme el gasto medo el gasto total daro para los 00 establemetos utlzado muestreo aleatoro smple, estmadores de razó, regresó dferea. Obtega el límte para el error de estmaó e ada aso. Soluó Y = gasto daro (euros) X = gresos daros (euros) = 0 establemetos = 00 establemetos µ x = 500 Tal omo se expló e la resoluó del eemplo 3. obteemos: x = 56 = 453,5 s s x = = 5, 797 sx 3409 = = 5,738 s 3395,3 S = 4883,7 s = 3396,5 a relaó etre las varables es mu fuerte: x r x = =. 0,99958 rx 0,9996 MUESTREO AEATORIO SIMPE ˆ µ = = 453,5 ˆ τ = = ˆ S V( ˆ µ ) = 43,94 B V( ˆ = ˆ µ = µ ) = 75,0 Bτ = 00 B µ =5040,97 ESTIMADORES DE RAZÓ r = = 0,879 τ ˆ ˆ x = µ x = τ = rτ x = µ = rµ x = 439,5 x ( ) Sr = rx = r x r x 7, 77 = + = = = = ˆ Sr V ( ˆ µ ) = =, 63 Bµ = 9,3 B = B τ µ =860 63

64 ESTIMADORES DE REGRESIÓ ˆ s 3396,5 b 0, s 3409 = = = µ ˆ b( µ x x) x x ˆ = + = 437,55 ˆ τ = ˆ µ = ( ) ˆ S 4,05 ( ˆ S = s rx = V µ ) = =,33 B =, 304 B = B = 46, 09 µ τ µ ESTIMADORES DE DIFERECIA d = 6,5 ˆ µ = µ + d = 437,5 ˆ τ = ˆ µ = D x D D (o la aluladora hallamos σ sobre las dfereas d lo elevamos al uadrado) = ( ) SD = d d =,5 S ˆ D V ( ˆ µ ),875 ˆ ( ˆ D = = Bµ = V µ D ) =,79 Bτ = Bµ = 435, Determaó del tamaño muestral Tamaño muestral mímo eesaro para que la estmaó o supere u ota de error B al estmar la meda el total poblaoales dode para estmar: = σ D σ D + D la meda: D = B 4 B el total: D = 4 σ D se estma utlzado ua muestra preva: ˆ σ D = S D Eemplo 3.6 (otuaó eemplo 3.5) Se quere repetr el estudo ateror utlzado u estmador de dferea ometedo u error omo máxmo de 300 euros al estmar el total uál debe ser el tamaño muestral? Soluó σ D 00,5 = = = 0 establemetos B 300 σ D +,

65 EJERCICIOS RESUETOS. E ua poblaó de 500 hogares, para la que es oodo que el gasto total geeral durate u año es de , se quere estmar el gasto total e almetaó durate u año, para lo que se obtee ua muestra aleatora smple de 4 hogares que proporoa los sguetes valores auales e : Gasto e almetaó Gasto geeral Estme o u estmador de razó el total de gasto e almetaó medate u tervalo de ofaza. SOUCIÓ (trabaaremos e etos de euros) x x x = = r = = = = r = = etos de 0 x = , 4955 ɵ τ τ x 0, = ( ) ɵ τ = , Sr = rx = r x r x 0, 73 + = = = = = = 3 Sr V ( ɵ τ ) ( ) 85, 4667 = = V ( ɵ τ ) = 67,568 τ 7057, 43 ; 7659,568 e etos de ( ) Para expresarlo e ha que multplarlo por e.. U trabaador soal quere estmar la rato persoas/habtaó e u determado barro. El trabaador soal seleoa ua muestra aleatora smple de 5 vvedas de las 75 del barro. Sea x el úmero de persoas e ada vveda e el úmero de habtaoes por vveda. A partr de los datos sguetes: = = = x = 9,; =, 6; x = 40; = 69; x = 5 Estme la razó persoas/habtaó e el barro estableza el límte para el error de estmaó o ua ofaza del 95%. 65

66 SOUCIÓ (los papeles de las varables x e debe permutarse e las expresoes del formularo) x x = = r = = = pers hab = = = ,5./. µ, 6 6, 76 ( ) = Sr = x r = x r r x 7,34375 = + = = = = ( ) Sr V ( r) = = 0,47 V ( r) = 0, 767 µ 3. Se desea estmar el agua utlzada e la presete ampaña por ua omudad de rego osttuda por 50 parelas. Se seleoa al azar 0 parelas uo tamaño metros úbos utlzados e rego aparee e la sguete tabla 3 m Hetáreas Estme la meda de dha estmaó. SOUCIÓ: Y = osumo de 3 m /hetárea que utlza la omudad de regates la ota del error de 3 m de agua, X = tamaño de la parela e hetáreas x x x = 990 '8 3 r = = = m / hetarea 840 x = ( ) Sr = rx = r x r x = + = = = = = ( ' ) = 4'84 9

67 840 µ x = x = = 84 0 Sr 40 4'84 V ( r) = = = 0'0877 µ x V ( r ) = 0' Se desea estmar el osumo mesual de ua udad. Se sabe que los gresos e dha udad, vía delaraó de la reta, asede a euros mesuales. Se realza ua euesta etre hogares elegdos al azar los resultados de reta osumo se reoge e esta tabla. Reta Cosumo 70, , , , , , , , , , , , Estme el osumo total mesual para todos los hogares de la udad medate el estmador de razó. Obtega el límte para el error de estmaó. SOUCIÓ: Deotemos por Y = osumo mesual X = gresos mesuales De la formaó muestral obteemos = = 6808 euros x = 69, 46 euros = = omo formaó auxlar sabemos que τ x = euros. sx Podemos omprobar que el oefete de orrelaó leal es alto, r x = = 0, s s Esto uto o la formaó auxlar os permte utlzar muestreo o formaó auxlar, e oreto utlzaremos estmadores de razó. x 67

68 r = = = x = 0, Para alular ˆ τ x Sr V ( ˆ τy ) = µ x ˆ τ = rτ = 6 0 0, 0 7 x teemos e ueta que: ( ) o ooemos, pero e la udad ha muhos hogares, observado x < 5% τ estmamos que < ( 5% ) µ x = x = 885, 79 Sr = ( rx ) = r x r x 6479, 7 = + = = = = Vˆ ( ˆ τ ) = , 67 B = Vˆ ( ˆ τ ) = 59053,37 Y Y = x 5. as dfereas etre gresos gastos, e 5 de las 50 ofas que tee abertas ua agea de seguros, e el presete mes, ha sdo (e euros) Este mes el gasto medo para el outo de todas las ofas ha sdo 764 euros, estme el total de gresos el límte para el error de estmaó. SOUCIÓ: =50, =5, µ x = 764, X=gastos, Y=gresos ( o las fuoes del modo SD de la aluladora ) : d = S D = ,5 µ = µ + = 3396 ɵ τ D = µ = D x d D SD SD V ( ɵ τ ) ( ) D = = = V ( ɵ τ D ) = 466,4 6. Ua adea de eletrodoméstos está teresada e estmar el total de gaaas por las vetas de televsores al fal de u perodo de tres meses. Se tee fras del total de gaaas de todas las tedas de la adea para ese msmo perodo de tres meses orrespodete al año ateror, ese total es de 800. Ua muestra aleatora smple de 5 tedas es seleoada de las 3 tedas de la adea resultado los datos de la sguete tabla: 68

69 Ofas Datos de 3 meses del año ateror Datos de 3 meses del año atual Usado u estmador de razó, estme el total de gaaas o u tervalo de ofaza. SOUCIÓ: =3, =5, τ x = 800, X=gaaas del año ateror, Y=gaaas del año atual ( o las fuoes del modo SD de la aluladora ) : = = x = x = x = = = = = = = r = = =, x x = ɵ τ = rτ = 34304,76 x 5 = x x = Sr = ( rx ) = r x r x 640, 5 = + = = = = Sr V ( ɵ τ ) ( ) 47634, 07 = = V ( ɵ τ ) = 4364, 09 τ ( 9940, 67, 38668,85) 7. Ua agea de publdad está teresada e el efeto de ua ueva ampaña de promoó regoal sobre las vetas totales de u produto e partular. Ua muestra aleatora smple de 5 tedas es seleoada de 45 tedas regoales e las uales se vede el produto. os datos de las vetas trmestrales so obtedos para el perodo atual de tres meses para el perodo de tres meses prevo a la ueva ampaña. Teda Vetas ates de la ampaña Vetas atuales

70 Usado los aterores datos para estmar los parámetros eesaros, determe el tamaño de la muestra para estmar ˆ τ o u límte para el error de estmaó de 000, uado se utlza el estmador de razó. SOUCIÓ: =45, =5, X=vetas ates de la ampaña, Y=vetas atuales ( o las fuoes del modo SD de la aluladora ) : , = = x = x = x = , = = = = = 5 = r = = =, x x = 5 = x x = Sr = ( rx ) = r x r x 09, 4775 ' = ' + = = = = B D = = 4,8947 σ r = Sr = 09, σ r = =,3 D + σ r 70

71 4. Muestreo sstemáto. 4. Seleó de ua muestra sstemáta. Usos. Vetaas. 4. Estmaó de la meda, proporó total poblaoales. 4.3 Comparaó o el muestreo aleatoro smple: Poblaoes ordeadas, aleatoras peródas. 4.4 Determaó del tamaño muestral. 4. Seleó de ua muestra sstemáta. Usos. Vetaas. E el muestreo sstemáto los elemetos de la poblaó se eumera, o se ordea. Ua muestra sstemáta de e k es la que se extrae de la sguete forma:. Se seleoa aleatoramete u elemeto (llamado puto de o o pvote) de los prmeros k elemetos de la poblaó.. Después se seleoa ada k -ésmo elemeto hasta osegur ua muestra de tamaño. k se toma omo el úmero etero meor o gual que el oete : k. os podemos eotrar o las sguetes stuaoes:.. k = etero. Etoes se obtee exatamete observaoes. o es etero. Por eemplo s = 03 = 5, etoes = 0, 6 k = 0. Segú el puto al os podemos eotrar o: a. S elegmos, por eemplo, el º omo puto al, obtedríamos: º, º, 4º, 6º, 8º, 0º tomamos Al dvdr la poblaó e 5 tervalos de 0 elemetos, sobra 3. Podríamos elegr també el 0º la muestra sería de tamaño 6. b. S se elge, por eemplo, la observaó 8º omo la al, obtedríamos ua muestra de tamaño 5: 8º, 38º, 58º, 78º, 98º 3. es desoodo. E este aso, la desó sobre el valor de k se tomará de forma que se asegure el úmero mímo deseado de elemetos de la muestra. se estma por defeto, así k será meor de lo eesaro, por tato, el tamaño muestral será maor o gual de lo requerdo. 7

72 Vetaas del muestreo sstemáto frete al muestreo aleatoro smple: E la práta el muestreo sstemáto es más fál de llevar a abo está expuesto a meos errores del euestador. E el muestreo aleatoro smple podría ser u problema s dos úmeros aleatoros fuera oseutvos o mu próxmos. Por eemplo, sería dfíl esoger ua muestra aleatora smple de persoas etre las que etra a u supermerado. Al seleoar las persoas al azar podríamos eotraros que o hemos aabado de haer la euesta a u lete uado el sguete a euestar a ha pasado. Pero sí sería fál oger de ada 0 persoas que pase hasta ompletar la muestra. Freuetemete, o gual tamaño de muestra, el muestreo sstemáto proporoa meor formaó que el muestreo aleatoro smple. Esto se debe a que la muestra sstemáta se extede uformemete a lo largo de toda la poblaó, metras que e el muestreo aleatoro smple puede ourrr que u gra úmero de observaoes se oetre e ua parte de la poblaó desude otras. Por eemplo, supogamos que e ua fábra los prmeros 3000 motores se fabra orretamete los últmos 3000 so defetuosos por u desauste e la líea de motae. Ua muestra aleatora smple podría seleoar u gra úmero o luso todos del msmo grupo, dado ua mala estmaó de la proporó de defetuosos. El muestreo sstemáto, e ambo, seleoa el msmo úmero de motores de ambos grupos, dado ua estmaó meor. E este aso, dode e erta medda ha u orde e la poblaó, el muestreo sstemáto es meor que el muestreo aleatoro smple. Usos: Este tpo de muestreo es mu utlzado por los plaes de muestreo para el otrol de aldad detro del proeso de fabraó, los audtores uado se efreta a largas lstas de aputes para omprobar los vestgadores de merados uado se efreta a persoas e movmeto. 4. Estmaó de la meda, proporó el total poblaoales ESTIMADOR DE A MEDIA POBACIOA: ˆ µ = = + ( ) s k = k =puto de o o pvote 7

73 VARIAZA ESTIMADA DE s S V s = : ˆ ( ) Cometaros. - S se desooe el tamaño poblaoal por su gra magtud, etoes. - Cuado o es múltplo exato de, el estmador es sesgado. Como puede observarse, la varaza del estmador de la meda se estma gual que e el muestreo aleatoro smple (véase 4.3 Comparaó o el muestreo aleatoro smple). Auque las varazas de los estmadores o so realmete guales, éstas so: V ( ) σ = σ [ ρ] ( ) = + ( ) V s dode ρ = oefete de orrelaó etre los elemetos de ua muestra sstemáta. El tamaño poblaoal se desooe e muhas stuaoes prátas e las que se usa el muestreo sstemáto. Cuado es oodo també se puede estmar el total poblaoal. ESTIMADOR DE TOTA POBACIOA: τˆ = s Vˆ τ = V VARIAZA ESTIMADA DE τˆ : ( ˆ) ˆ( ) s = S Eemplo 4. os fuoaros de u museo está teresados e el úmero total de persoas que vstaro el lugar durate u perodo de 80 días uado ua ostosa oleó de atgüedades estuvo e exhbó. Puesto que el otrol de vstates e el museo ada día es mu ostoso, los fuoaros dedero obteer estos datos ada dez días. a formaó de esta muestra sstemáta de e 0 se resume e esta tabla Día º persoas que vsta el museo = 4868 = 3450 = = Use estos datos para estmar el úmero total de persoas que vstaro el museo durate el perodo espefado el límte para el error de estmaó. 73

74 Soluó = ˆ τ = s = 80 = vstates 8 S ( 4868) 3450 = = 89, 79 V ˆ ( τ S - ˆ) = = 46946,8 B 370,34 τ = Como e el muestreo aleatoro smple, las propedades del estmador de la proporó so aálogas a las propedades de la meda muestral: ESTIMADOR DE A PROPORCIÓ POBACIOA: pˆ s = + ( ) k, = 0, VARIAZA ESTIMADA DE s = k =puto de o o pvote pˆ : ˆ s s ( ˆ ) V p s = pˆ qˆ otemos, de uevo, que las varazas estmadas so guales a las del muestreo aleatoro smple. Eemplo 4. a Guarda Cvl de Tráfo está teresada e la proporó de automovlstas que lleva el permso de odur. Se stala u puesto de otrol e ua arretera aoal se detee u odutor de ada sete. Use los datos de la tabla aduta para estmar la proporó de odutores que porta su lea. Estableza u límte para el error de estmaó. Supoga que 800 autos pasa por el puesto de verfaó durate el perodo de muestreo. Soluó 34 p ˆ s = s = = 0, Automóvl Respuesta = 34 ˆ ˆ ˆ psqs 0,8( 0,8) V ( pˆ s ) = = = 0, B = 0, =

75 S la estratfaó de la poblaó fuese vetaosa, el muestreo sstemáto puede utlzarse detro de ada estrato e lugar del muestreo aleatoro smple, apládose las fórmulas del muestreo aleatoro estratfado, aálogamete a omo se ha utlzado las del muestreo aleatoro smple para aproxmar el omportameto del muestreo sstemáto. 4.3 Comparaó o el muestreo aleatoro smple: Poblaoes ordeadas, aleatoras peródas Veamos bao qué odoes la varaza estmada de los estmadores e el muestreo sstemáto se puede supoer gual a la del muestreo aleatoro smple. Segú las expresoes V ( ) σ = éstas será smlares uado σ [ ρ] ( ) = + ( ) V s ρ 0, pero e otros asos o. Dstgumos los sguetes asos: A. Poblaó ordeada ( ρ 0) Ua poblaó es ordeada uado los elemetos que la osttue está ordeados de auerdo a los valores, reetes o dereetes, de ua determada araterísta. E este aso es preferble el uso del muestreo sstemáto, a que la muestra se extede uformemete a lo largo de toda la poblaó: ρ 0 V ( s ) V ( ) Por eemplo, e ua lsta de uetas por obrar que esté ordeadas de maor a meor atdad, las estmaoes de ua muestra sstemáta tedría e geeral ua varaza meor que las de ua muestra aleatora smple (es posble que ésta últma otega solo atdades grades o atdades pequeñas). Al utlzar las varazas estmadas de los estmadores del muestreo aleatoro smple e el muestreo sstemáto osegumos ua estmaó oservadora del error (maor que el error real que ometemos e el muestreo sstemáto). B. Poblaó aleatora ( ρ 0) Se de que ua poblaó es aleatora uado sus elemetos está ordeados al azar. E este aso es dferete el uso del muestreo aleatoro smple el muestreo sstemáto a que ρ 0 V ( s ) V ( ). 75

76 Por eemplo, e ua lsta de estudates por orde alfabéto, la estmaó de sus alfaoes sería smlar o ambos muestreos a que las alfaoes o depede del apelldo del estudate. C. Poblaó peróda ( ρ 0) Ua poblaó es peróda uado los valores de la varable obeto de estudo tee ua varaó íla. E este aso es preferble el muestreo aleatoro smple dado que ρ 0 V ( s ) > V ( ). Por eemplo: a. Supogamos que teemos ua lsta e la que los ombres de mueres hombres se altera. Ua muestra sstemáta o k par proporoaría solo ua lsta de mueres o de hombres. b. Vetas daras de u supermerado a partr de ua muestra sstemáta o k = 7. Para evtar este problema, el vestgador puede ambar varas vees el puto de o aleatoro. Esto tee el efeto de mezlar los elemetos de la poblaó omportarse omo ua poblaó aleatora, e uo aso el uso de las expresoes del muestreo aleatoro smple e el muestreo sstemáto estaría ustfado. 4.4 Determaó del tamaño muestral El tamaño muestral requerdo para estmar la meda poblaoal o u límte B para el error de estmaó se obtee de las expresoes del muestreo aleatoro smple. o que odue a obteer muestras más grades de las eesaras e poblaoes ordeadas muestras más pequeñas e poblaoes peródas (s o se mezlara los elemetos ambado el puto de o). E poblaoes aleatoras o tedremos problemas. Tamaño muestral requerdo para estmar µ τ o u límte B para el error de estmaó B σ para estmar la meda 4 = o D = ( ) D + σ B para estmar el total 4 Tamaño muestral requerdo para estmar p τ o u límte B para el error de estmaó pq = ( -)D+ pq o B 4 D = B 4 para estmar p para estmar el total 76

77 Eemplo 4.3 (otuaó del eemplo 4.) E u uevo otrol, la Guarda Cvl de Tráfo espera que pase uos 5000 automóvles por el puesto de verfaó. Determe el tamaño de muestra k para estmar p o u error feror al %. Repta esta eero pero supoedo que o se dspoe de formaó preva. Soluó UTIIZADO A IFORMACIÓ PREVIA p = 0,8 qɵ = p = 0,9 pq ,8 ( 0,8) = = = 76,97 77 automóvles B 0,0 ( ) + pq (5000 ) ( 0,8 ( 0,8) ) k = 4, S tomáramos k=5 = = 000. Tomado k=4 5 SI UTIIZAR IFORMACIÓ PREVIA p = 0,5 qɵ = 0, = = pq ,5 0, 5 = = = 666, automóvles B 0,0 ( ) + pq (5000 ) ( 0,5 0, 5) k =,9994 Co k= debemos obteer u tamaño muestral superor a 667 automóvles. E efeto, se obtee: 5000 = = 500 Co k=3 se debería obteer u tamaño feror a 667, tal omo se ha explado o aterordad, pero e esta oasó el oete =,9994 está mu próxmo a 3 suede lo sguete: 5000 = = 666,667 3 E deftva, s la muestra de tamaño 500 resulta mu elevada se puede optar por utlzar el valor k=3, deteer el muestreo sstemáto uado haa pasado por el otrol de la Guarda Cvl 500 automóvles, puesto que e este aso la muestra será del tamaño deseado: 500 = =

78 EJERCICIOS RESUETOS. a gerea de ua ompañía prvada o 000 empleados está teresada e estmar la proporó de empleados que está a favor de ua ueva políta de versó. Ua muestra sstemáta de e 0 es obteda de los empleados que sale del edfo al fal de u día de trabao (las respuestas a favor se ha represetado omo ) Empleado muestreado Respuesta = = 0 Se quere volver a repetr el ateror estudo pero o u error de estmaó feror al 5% (osderado la muestra ateror omo ua muestra preva para estmar los parámetros eesaros). Qué tpo de muestra sstemáta deberá obteerse? (dque k). SOUCIÓ 0 ɵ 0, 05 = 000 p = = 0,55 q = p = 0, 45 D = = 0, pq = = 330, 7 33 k = 6, 04 k = 6 ( ) D + pq. U audtor se efreta a ua larga lsta de 000 uetas por obrar de ua empresa. El valor de ada ua de estas uetas o suele superar los 000. El audtor quere estmar el valor total de las deudas por obrar o u error feror a o ua ofaza del 95%. Para ello dede tomar ua muestra sstemáta de e k. Determe el valor de k. SOUCIÓ = 000 R = 000 σ = D = = σ = = 99,39 00 k = = 0 ( ) D + σ 3. a tabla aexa muestra el úmero de ametos la tasa de ataldad por ada 000 dvduos para Estados Udos durate ses años seleoados sstemátamete. 78

79 Año a.masulos a.femeos Total de a. ataldad , , , , , ,9 Estme el úmero medo de varoes ados por año para el perodo , estableza u límte para el error de estmaó. SOUCIÓ Desde 955 hasta 980, ambos lusve, ha 6 años. = 6. ˆ µ = s = = 5660 = = S = ,0 (o las fuoes estadístas e el modo SD de la aluladora) S ˆ V ( s ) = = ,85 B = 39437,35 4. a seó de otrol de aldad de ua empresa usa el muestreo sstemáto para estmar la atdad meda de lleado e latas de 33l que sale de ua líea de produó. os datos de la tabla aduta represeta ua muestra sstemáta e 300 de ua produó dara de 800 latas. Catdad de lleado e l 33 3,5 33, Determe el tamaño de la muestra k para estmar el otedo medo de las latas o u error de estmaó feror a 0,4l, osderado la muestra ateror omo ua muestra preva para estmar los parámetros eesaros. SOUCIÓ: =800 =6 ( o las fuoes estadístas del modo SD de la aluladora ) : S = 0,8 σ = S ' ' B D = = 0, σ 800 = = 7,97 8 k = = 00 ( ) D + σ 8 5. os fuoaros de erta soedad profesoal desea determar la proporó de membros que apoa varas emedas propuestas e las prátas de arbtrae. os fuoaros tomaro ua muestra sstemáta de e 0, a partr de ua lsta e orde alfabéto de los 650 membros regstrados, obteedo que 47 estaba a favor de los ambos propuestos. Se quere repetr el estudo ateror o u error de estmaó 79

80 feror al 5%. Cosderado la muestra ateror omo ua muestra preva para estmar los parámetros eesaros, qué tpo de muestra sstemáta deberá obteerse? (dque k). SOUCIÓ: =650 =65 47 p = = 0, 73 qɵ = 0, 73 = 0, B B = 0, 05 D = = 0, pq 650 = = 4,8 5 k = 3, 0 k = 3 ( ) D + pq 5 80

81 5. Muestreo por oglomerados. 5. eesdad vetaas del muestreo por oglomerados. 5. Formaó de los oglomerados. Coglomerados estratos. 5.3 Estmaó de la meda, proporó total poblaoales. 5.4 Determaó del tamaño muestral. 5. eesdad vetaas del muestreo por oglomerados. Ua muestra por oglomerados es ua muestra aleatora e la ual ada udad de muestreo es ua oleó (o oglomerado) de elemetos. El muestreo por oglomerados es útl para obteer formaó e las sguetes stuaoes: Es omplado dspoer de ua lsta de los elemetos de la poblaó, metras que es fál lograr u maro que lste los oglomerados. (Alumos que asste a lase = elemeto, aulas = oglomerados) El oste de obteó de las observaoes es meor debdo al agrupameto de los elemetos. 5. Formaó de los oglomerados. Coglomerados estratos. os elemetos de u oglomerado debe ser dferetes etre sí, así ua muestra o poos oglomerados reogería gra atdad de formaó sobre el parámetro poblaoal. S los elemetos detro de u oglomerado preseta araterístas smlares, tomar varas observaoes detro de u oglomerado o aporta más formaó. Reordemos que los estratos debía ser ta homogéeos omo fuera posble dferr tato omo se pudera uo de otro o respeto a la araterísta que está sedo estudada. os oglomerados, s embargo, debe ser ta heterogéeos detro de ellos omo sea posble mu smlar uo a otro para que el muestreo por oglomerados esté dado proporoe bueos resultados. Ua vez espefados los oglomerados, se seleoa ua muestra aleatora smple de oglomerados. 5.3 Estmaó de la meda, proporó total poblaoales. Vamos a utlzar la sguete otaó: = oglomerados e la poblaó. m = elemetos e el oglomerado = suma de las observaoes e el oglomerado = oglomerados e la muestra. 8

82 M m elemetos e la poblaó (o freuea es desoodo) = = = m elemetos e la muestra = m = = M m = = = tamaño medo de los oglomerados de la poblaó (o freuea es desoodo) m = m = = tamaño medo de los oglomerados de la muestra (se utlza para estmar M ). (A) Estmaó de la meda. El estmador de la meda poblaoal µ es la meda, = µ = = = m = a meda tee la forma de u estmador de razó, por lo que la varaza estmada de toma la forma de la varaza de u estmador de razó. S V ( ) M ( M es estmado por m, s se desooe) = = dode ( ) m S = m = a varaza estmada es sesgada sería u bue estmador de V ( ) s es grade ( 0 ). El sesgo desaparee uado los tamaños de los oglomerados so guales ( m = m =... = m ). otas: a expresó de S V ( ) = o se suele smplfar omo M ( ) S V ( ) = para poder alularla fálmete uado M sea desoodos. M A vees o se ooe debdo a su gra tamaño se aproxma por. S M es desoodo M debe ser estmada por m. S la varable que estamos estudado es dotóma, hablaremos de la proporó poblaoal p de la proporó muestral p. E este aso al úmero total de elemetos 8

83 e el oglomerado que posee la araterísta de terés se ota omo a e lugar de omo es habtual e varables uméras. Así tedremos que = p = = = Salvo esta dferea e la otaó, todo lo aterormete expuesto para varables uméras es váldo para varables dotómas. a m (B) Estmaó del total. De la relaó etre la meda el total poblaoal estmador del total poblaoal τ la varaza estmada del msmo ɵ τ = M τ µ = se sgue que τ = M µ, sedo el M S M S V ( ɵ τ ) = M V ( ) = ( ) m (sea ual sea el valor de M, éste o afeta a la varaza al error del estmador, auque sí al valor del estmador del total) Como e la estmaó del total o u estmador de razó, uado M es desooda se estma por m se aproxma por debdo al gra tamaño de, la varaza del estmador del total se aproxma por M m S. (C) Estmaó del total uado se desooe el tamaño de la poblaó. Freuetemete el úmero de elemetos e la poblaó o es oodo e problemas dode se apla el muestreo por oglomerados. E ese aso o podemos utlzar el estmador del total ɵ τ = M, debemos ostrur u estmador del total que o depeda de M. a atdad t = =, es el promedo de los totales de los oglomerados de la muestra u estmador sesgado del promedo de los totales de los oglomerados de la poblaó. Por el msmo razoameto empleado e el muestreo aleatoro smple, t es u estmador sesgado de la suma de los totales de todos los oglomerados, o equvaletemete del total poblaoal τ. 83

84 E resume ɵ τ t = t ( ) St V ɵ τ t = V ( t ) = ( ) dode St V ( t ) S = = ( ) t t = t = = S exste ua gra varaó etre los tamaños de los oglomerados además los tamaños está altamete orrelaoados o los totales de los oglomerados, la varaza de ɵ τ t = t es geeralmete maor que la varaza de ɵ τ = M. Esto es debdo a que el estmador ɵ o usa la formaó proporoada por los tamaños de los oglomerados, m, τ t = t por ello puede ser meos preso. Cuado los tamaños de los oglomerados so guales, los dos estmadores del total ode, además el estmador de la meda,, es u estmador sesgado de la meda poblaoal també es sesgado el estmador de su varaza, V ( ) (lo msmo vale para el total). Eemplo 5. E ua udad se quere estmar la proporó de hogares teresados e otratar el sstema de televsó dgtal, para lo ual se osdera la udad dvdda e 00 mazaas de vvedas. Se extrae ua muestra ploto de 5 mazaas se terroga a ada famla aera de s estaría teresada e otratar la televsó dgtal. os datos de la euesta se euetra e la tabla: Mazaa º hogares e la mazaa º hogares teresados a) Estme la proporó de hogares teresados e otratar el sstema de televsó dgtal. Calule el límte para el error de estmaó. b) Co u tervalo de ofaza estme el úmero de hogares teresados e otratar dho sstema. ) Respoda al apartado b) supoedo que el úmero de hogares e la udad es

85 SOUCIÓ Auque e u aso de varables dotómas omo éste se suele usar e los textos la otaó a e lugar de, utlzaremos esta últma para ufar la otaó a emplear e el muestreo por oglomerados, tato para varables uméras omo dotómas. m m m a) =00 =5 = 3 p = = = = 0,374 p = 37,4% 35 m = ( ) 3,3 S = m = m + m = = 0,8306 = = = = 4 Ya que M es desoodo, M debe ser estmada por m 35 m = m = = 7 hogares / mazaa 5 = S V ( ) = = 0, V ( ) = 0,5,5% m S b) = t t 3 = = =,6 ɵ τ t = t 50 5 = = ( t ) = = = = = 0,3 ɵ ( 43,5 ; 66,75 ) V ( τ t ) = 96,75 ( ) St V ( ɵ τ t ) = = 340 ) ɵ 500 τ = M = 557,4 M = = 7,5 S V ( ) = = 0, M Observe que al ooer M, la estmaó de V ( ) es dferete de la obteda e a). V ( ɵ τ ) = M V ( ) = 6478,8 V ( τ ) = 60,98 ɵ ( 396,6 ; 78, ) 85

86 El límte para el error de estmaó es más pequeño e b) que e ), debdo a que los tamaños de los oglomerados o está orrelaoados o los totales de los oglomerados ( r m = 0,08 ). E otras palabras, los tamaños de los oglomerados proporoa poa formaó sobre los totales de los oglomerados. 5.4 Determaó del tamaño muestral. Supogamos que los oglomerados a está formados vamos a seleoar el úmero de oglomerados para osegur u determado límte para el error de estmaó B = σ D + σ dode σ se estma medate ( ) S = m de ua muestra preva, sedo = B M D = para la estmaó de la meda 4 B D = para la estmaó del total. 4 Habtualmete el tamaño promedo de los oglomerados de la poblaó M o se ooe tee que estmarse por el tamaño medo m de los oglomerados de ua muestra preva. Cuado se utlza t para estmar el total, el úmero de oglomerados e la muestra para obteer u determado límte para el error de estmaó B vee dado por = σ D + t σ t B D = 4 σ se estma medate ( ) t S = de ua muestra preva. t t = Eemplo 5. Supoedo que los datos del eemplo 5. represeta ua muestra preva, ómo debe tomarse ua ueva muestra para estmar la proporó poblaoal del apartado a) o u límte para el error de estmaó del %. SOUCIÓ S = 0, M m = m = = 7 5 = B M 0,0 7 D = = = 0, σ = = 54, 4 55 D + σ 86

87 EJERCICIOS RESUETOS. Co motvo del uarto etearo del Quote, el Mstero de Cultura desea estmar el úmero de lbros omprados ada mes e ua loaldad. Se seleoa ua loaldad o 600 hogares agrupados e 700 mazaas de vvedas. Se tee ua euesta ploto e la ual se seleoó ua muestra de 4 mazaas se etrevstaro a todas las famlas, obteédose los sguetes resultados: mazaa lbros omprados ada mes por famla Determe, usado los datos de la euesta ploto, uátas mazaas debe teer ua ueva muestra s se quere estmar los lbros omprados ada mes o u error de estmaó feror a 40 udades. SOUCIÓ m m m B M = = = = D = = 4 m = , 5 0, 0 = ( ) σ S = m = + m m =,5 = = = = σ = = 96,9 97 D + σ. Ua dustra está osderado la revsó de su políta de ublaó quere estmar la proporó de empleados que apoa la ueva políta. a dustra osta de 57 platas. Se seleoa ua muestra aleatora smple de 5 platas se obtee las opoes de los empleados e estas platas a través de u uestoaro. os resultados se preseta e esta tabla: 87

88 Plata º empleados º empleados que apoa la ueva políta a. Estme la proporó de empleados e la dustra que apoa la ueva políta de ublaó estableza u límte para el error de estmaó. b. a dustra modfó su políta de ublaó después de obteer los resultados de la euesta. Ahora se quere estmar la proporó de empleados a favor de la políta modfada Cuátas platas debe ser muestreadas para teer u límte del 5% para el error de estmaó? Use los datos aterores para aproxmar los resultados de la ueva euesta. SOUCIÓ: a) = 57 = 5 m m m = 43 p = = = 0, 73 p = 7,3% 336 m = S = ( pm ) = p m p m 68,7 = + = = = = M 336 m = = 455,84 5 S V ( p) = = 0,0078 V ( p ) = 0,054 0,54% M b) B M 0, ,84 D = = =,84 σ S 4 4 σ = = 7, 06 8 D + σ 3. U soólogo quere estmar el greso medo por persoa e erta udad pequeña dode o exste ua lsta dspoble de adultos resdetes. Por esta razó para el dseño de la euesta utlza muestreo por oglomerados. Se dvde la udad e bloques retagulares el soólogo dede que ada bloque retagular va a ser osderado omo u oglomerado. os oglomerados so umerados del al 45. El vestgador tee 88

89 tempo dero sufetes para haer u muestreo de 5 oglomerados etrevstar a ada hogar detro de ada uo. Se seleoa aleatoramete 5 oglomerados se realza las etrevstas, obteédose estos datos: Coglomerado () º de resdetes (m ) Igreso total por oglomerado e ( ) resdetes a) Estme el greso medo por persoa e la udad estableza u límte para el error de estmaó. b) Estme el greso total de todos los resdetes de la udad el límte para el error de estmaó, supoedo que M es desoodo. ) Supoedo que exste 500 resdetes e la udad, estme el greso total de todos los resdetes de la udad medate u tervalo de ofaza. OTA: Repetr este eemplo o todos los m guales (por eemplo, m = 6, supogamos oodo M = 6 45 = 490 ) estme el total por los dos métodos ɵ ɵ. Observe omo ode las dos estmaoes así omo estudados ( τ = M τ t = t ) la varaza del estmador el límte para el error de estmaó. 89

90 d) Tomado los aterores datos omo ua muestra preva, ómo debe tomarse la muestra e ua euesta futura para estmar el greso promedo por persoa o u límte para el error de estmaó de 500. SOUCIÓ: a) (este eemplo o se puede resolver o ua aluladora de 0 dígtos de forma exata por la dfultad de trabaar o atdades mu grades) =5 = = = = = 880,3 / resdete 5 m = µ = = = = = m = = 047 = m ( ) = = ( ) S = m = m + m = = , 40 = = = = 4 Ya que M es desoodo, M debe ser estmada por m, 5 m = m = = 6,04 resdete / bloque 5 = S V ( ) = = ,9 V ( ) = 67,4 M b) t = = = 5360 / bloque ɵ τ t = t = = = = 5 t ( t ) = (39000) S = = = = = = , 6 4 St V ( ɵ τ t ) = ( ) = V ( ɵ τ t ) = ,04 90

91 ) 500 = 45 = 5 M = = 6, 04 ɵ τ = M = 0033, 6 45 S S = , 40 V ( ) = = 65740,948 M V ( ɵ τ ) = M V ( ) = V ( ɵ τ ) = ,9 ( ,34 ; ,8 ) Como puede observarse el límte para el error de estmaó es más pequeño e b) que e ) debdo a que los tamaños de los oglomerados o está altamete orrelaoados o los totales de los oglomerados e este eemplo ( r m = 0,099 ). E otras palabras, los tamaños de los oglomerados proporoa poa formaó referete a los totales de los oglomerados. d) S = , 40 B M 500 6, 04 D = = = σ = = 66,58 67 D + σ 4. Ua empresa de trabao temporal quere vestgar las eesdades de empleo de las empresas de u pueblo. Para ello dede seleoar ua muestra de 0 de las 85 srtas e el regstro meratl. El úmero de baas e el últmo año, el úmero de empleados la respuesta de ada empresa sobre s utlzaría los servos de la empresa de trabao temporal fuero los sguetes: Empresa Baas Empleados Respuesta 7 S 5 o S o 5 o o 7 S o o S (a) Estme el úmero de baas e el últmo año e las empresas del pueblo el límte del error de estmaó. (b) Estme la proporó de empresas que usaría los servos ofertados el límte del error de estmaó. 9

92 SOUCIÓ: a) Se trata de u muestreo por oglomerados (ada empresa es u oglomerado) dode o se ooe el úmero total de empleados para toda la poblaó, por tato para estmar el total osderaremos u muestreo aleatoro smple tomado omo elemetos muestrales las empresas. ( ),5 0,5 9 4,5 0 6,5 0,5 0 6,5,5 0 6,5 4,5 6,5 5 80,5 5 t = =,5 baas / empresa ɵ τ t = 85,5 =,5 baas 0 80, ,94 S 8,94 ( ) 0, ( ) 85 t = = V t = = V ɵ τ t = V ( t ) = 570, b) Bτ = = 5, 0 baas 4 p = = 0, 40 0 (40%) , 4 0,6 V ( p) = = 0, B = 0, 0353 = 0,3068 (30, 68%) 5. Se dseña ua euesta eoóma para estmar la atdad meda gastada e servos por hogar de ua udad formada por 3600 hogares. Se seleoa ua muestra aleatora de 3 barros de la udad de u total de 60. os etrevstadores obtee el gasto e servos de ada hogar e los barros seleoados; los gastos totales se muestra e esta tabla: Barro º hogares Catdad total gastada e servos ( ) Estme la atdad meda de gastos e servos por hogar e la udad el límte para el error de estmaó. t 9

93 SOUCIÓ: = m m = = 60 = 3 M = = m = 78 m = 0594 = 7030 = = = = = = = µ = = 39,49 m = ( ) S = m = m m 6,04 + = = = = = S V ( ) = = 0,3 V ( ) = 0,96 M 6. E u proeso de otrol del volume evasado por ua fábra de bebdas se elge 3 de los 40 paquetes evasados e ua hora, ada uo de los uales otee 4 evases, se mde el volume que ada evase otee. as observaoes se preseta e la tabla aduta: Paquete º Volume evasado e l 33,5 3, , ,5 3 30, ,5 Estme el volume medo de los evases la ota del error de estmaó. SOUCIÓ: =40, =3, ( o las fuoes del modo SD de la aluladora ) : = = M = m = m = m = t m , = = = = = m = m =

94 3 = t = µ = = = 3,5833 l 3 m m = ( ) S = m = m m 0,3333 = + = = = = S V ( ) = = 0, V ( ) = 0,603 l M 7. U fabrate de serras quere estmar el oste medo de reparaó mesual para las 94 serras que ha veddo a ertas dustras. El fabrate o puede obteer u oste de reparaó para ada serra, pero puede obteer la atdad total gastada e reparaó el úmero de serras que tee ada dustra. Etoes dede usar muestreo por oglomerados, o ada dustra omo u oglomerado. El fabrate seleoa ua muestra aleatora smple de 5 de 00 dustras a las que da servo. os datos sobre oste total de reparaoes por dustra el úmero de serras so: Idustra º serras Costo total de reparaó para el mes pasado ( ) Estme el oste medo de reparaó por serra para el mes pasado el límte para el error de estmaó. SOUCIÓ: =00 =5 ( o las fuoes del modo SD de la aluladora ) : M m m m = = t = m = = 6, 4 = 3 = = = = = = m = 4830

95 5 = t = µ = = = 8, m m = ( ) S = m = + m m = 584, 57 = = = = S V ( ) = =, 76 V ( ) = 3, 934 M 8. U peródo quere estmar la proporó de votates que apoa a erto addato A. Ya que la seleó etrevsta de ua muestra aleatora smple de votates regstrados es mu ostosa, se utlza muestreo por oglomerados, o dstrtos omo oglomerados. Se seleoa ua muestra aleatora de 5 dstrtos de u total de 495. El peródo quere haer la estmaó el día de la eleó, pero ates de que se haa heho el reueto fal de los votos. os reporteros so evados a los lugares de votaó de ada dstrto e la muestra, para obteer la formaó pertete dretamete de los votates. os resultados se muestra e la tabla: º votates º votates que apoa A Estme la proporó de votates que apoa al addato A el límte para el error de estmaó. SOUCIÓ: =495 =5 ( o las fuoes del modo SD de la aluladora ) : M m m m = = t = m = = 60, = 630 = , = = = = = m =

96 5 = t p = µ = = = 0, ( 50, 67% ) 5 = m m ( ) S = m = + m m = 737,505 = = = = S V ( p ) = = 0, V ( ) = 0, ( 9,3% ) M 96

97 6. Estmaó del tamaño de la poblaó. 6. Muestreo dreto. 6. Muestreo verso. 6.3 Muestreo por uadros Estmaó de la desdad tamaño de la poblaó Muestreo por uadros e el espao temporal Cuadros argados. 6. Estmaó del tamaño de la poblaó usado muestreo dreto E el muestreo dreto se realza los sguetes pasos:. Se seleoa ua muestra aleatora de tamaño t, se mara se devuelve a la poblaó.. Posterormete se seleoa ua muestra aleatora de tamaño (tamaño fado de atemao) de la msma poblaó se observa uátos de ellos está marados ( s =úmero de elemetos marados e esta ª muestra) Sea p = proporó de elemetos marados e la poblaó, t p =, desoodo. Etoes estmamos p medate la proporó muestral: Por tato, p ˆ = s ESTIMADOR DE : = proporó de elemetos marados e la ª muestra VARIAZA ESTIMADA DE ˆ : V ( ) = 3 t =, pero p es p t t t ˆ, t = ostates = = = pˆ s / s s = aleatora ˆ ˆ t ( s) s Cometaros s = úmero de elemetos marados e la ª muestra ha de ser maor que 0 para que las fórmulas esté be defdas. S e la seguda muestra o aparee gú elemeto marado, se aumeta el tamaño muestral. ˆ o es u estmador sesgado de : E t [ ˆ ( ) ] = + ( t) Cuato maor sea t meor será el sesgo. t ˆ tede a sobreestmar el valor real de. 97 t

98 Eemplo 6. U lub deportvo se teresa por el úmero de truhas de río e u arroo. Durate u perodo de varos días se atrapa 00 truhas, se mara se devuelve al arroo. Obsérvese que la muestra represeta 00 pees dferetes, a que ualquer pez atrapado que a hubera sdo marado se devolvía medatamete. Varas semaas después se atrapó ua muestra de 0 pees se observó el úmero de pees marados. Supogamos que este úmero fue de 7 e la seguda muestra. Estme el tamaño total de la poblaó de truhas dé u límte de error de estmaó. Soluó ˆ t 0 00 = = = 444, 4 s 7 ( ) ˆ ˆ t ( s) 00 0(0 7) V = = = 5669, s 7 ( ˆ ) B = Vˆ = 50, Estmaó del tamaño de la poblaó usado muestreo verso a dferea o el muestreo dreto es que aquí el tamaño de la seguda muestra o está fado (es aleatoro), lo que se fa es s = úmero de elemetos marados e la seguda muestra. os pasos para realzar este método so:. Se seleoa ua muestra al de t elemetos, se mara se devuelve a la poblaó.. Se seleoa ua seguda muestra aleatora hasta que se obtee s elemetos marados (sea el tamaño fal de dha muestra). ESTIMADOR DE : t t ˆ = = = pˆ s / t s VARIAZA ESTIMADA DE ˆ : V ˆ( ˆ ) t, s = ostates, s 0 = aleatora t ( s) = s ( s + ) Cometaro. ˆ es u estmador sesgado de, por ello, s se puede aplar ambos tpos de muestreo se prefere el verso. 98

99 Eemplo 6. Ua zoóloga desea estmar el tamaño de la poblaó de tortugas e determada área geográfa. Ella ree que el tamaño de la poblaó está etre ; por lo que ua muestra al de 00 paree ser sufete. as 00 tortugas so apturadas, maradas lberadas. Toma ua seguda muestra u mes después dede otuar muestreado hasta que se reapture 5 tortugas maradas. Atrapa 60 tortugas para obteer las 5 maradas. Estme el tamaño total de la poblaó de tortugas estableza u límte de error de estmaó. Soluó ˆ t = = = 066, 67 s 5 ( ) ˆ ˆ t ( s) 00 60(60 5) V = = = 64444, 44 s ( s + ) 5 (5 + ) ( ˆ ) B = Vˆ = 507, Estmaó de la desdad del tamaño de la poblaó usado muestreo por uadros Co este método se estuda el tamaño de la poblaó oteda e u área delmtada A ooda. os pasos a segur so:. Dvdr a la poblaó e uadros de gual área a. Sea m = úmero de elemetos e el uadro -ésmo. Tomar ua muestra de uadros etre los exstetes. Se observa el úmero total de elemetos que otee la muestra: m = m = 3. Calular la desdad de elemetos e la muestra (desdad muestral): ˆλ = 4. a desdad poblaoal es etoes º elemetos e la muestra área de la muestra = m a º elemetos e la poblaó M M λ = = = área de la poblaó a A M = Aλ. Por tato: 99

100 ESTIMADOR DE A DESIDAD: VARIAZA ESTIMADA DE λˆ : ESTIMADOR DE TAMAÑO POBACIOA: λˆ = m a m Vˆ( ˆ) λ = a = M ˆ = Aλˆ = λ m A a ˆ a VARIAZA ESTIMADA DE Mˆ : ˆ A m V ˆ( M ) = A Vˆ( ˆ) λ = a Eemplo 6.3 a polía de Madrd está teresada e ooer el úmero de afoados que se reuero e toro a la fuete de eptuo para elebrar el trufo de su equpo. Co este dato se puede ooer la uatía de medos materales humaos (polía, proteó vl, persoal sataro, et.) eesara para ateder futuras oetraoes. Para estmar el úmero de afoados se toma ua fotografía aérea de la zoa oupada por éstos, tras lo ual se traza sobre ella ua uadríula que dvde el área total e 300 uadros de 0 metros de lado ada uo. Posterormete se umera se extrae ua muestra aleatora de 0 de estos uadros; por últmo se ueta el úmero de afoados que ha e ada uo de los uadros seleoados, obteédose los resultados de la tabla: º del uadro úmero de afoados e el uadro º del uadro úmero de afoados e el uadro a) Estme la desdad de afoados por metro uadrado obtega su tervalo de ofaza. b) Estme el úmero total de afoados oetrados e la plaza de eptuo obtega su tervalo de ofaza. 00

101 Soluó: a) a = 0 0 = 00 m = = 434 ˆ m 434 λ = = =,6 a 0 00 ˆ ˆ λ,6 Vˆ( λ ) = = = 0,0008 B = 0,0008 = 0,066 a 000 ɵ λ =,6 afoados m (,096,,8) b) A = = m M ˆ = A ˆ λ = 30000,6 = afoados BM = AB λ = , 066 = 980 (6880, 66840) 6.3. Muestreo e el espao temporal E determadas oasoes podemos tomar los uadros omo tervalos temporales. Veámoslo o u eemplo. Eemplo 6.4 Se desea estmar el úmero total de persoas que daramete solta formaó e ua ofa turísta. Se observa que 4 persoas solta formaó, durate tervalos de 5 mutos ada uo, repartdos aleatoramete etre las 8 horas que permaee aberta la ofa. Estme el total de persoas que vsta la ofa daramete alule la ota del error de estmaó. Soluó A = 8 horas= 480 mutos = tervalos a = 5 mutos m =4 persoas A m ɵ 4 λ = =,9 persoas / muto 5 Mˆ = A m = 9 persoas a Vˆ ( Mˆ ) = = 796 B = 70,8 a Cuadros argados E este tpo de muestreo també se dvde a la poblaó e uadros, pero el método se utlza uado después de heha la dvsó so muhos los uadros que o otee elemetos otros otee poos, es der, la desdad de elemetos por udad de superfe es mu pequeña. Este tpo de muestreo se basa e la detfaó de la presea o ausea de elemetos e ada uo de los uadros de la muestra. U uadro se de argado uado otee al meos u elemeto obeto de estudo. 0

102 os pasos a segur so:. Se dvde a la poblaó e uadros de gual área a.. Se toma ua muestra de uadros etre los exstetes. Se observa el úmero total de uadros o argados de la muestra, a este úmero de uadros s presea de elemetos se le desga por. Es mportate teer e ueta que o puede ser ero ( 0 < < ). S ua vez observada la muestra = 0 ó =, amplaremos el tamaño muestral 3. a desdad poblaoal se estma omo su varaza omo ˆ λ = l a Vˆ ( ˆ) λ = a Dado que M = Aλ obteemos A ESTIMADOR DE TAMAÑO POBACIOA: Mˆ = A ˆ λ = l a VARIAZA ESTIMADA DE Mˆ : Vˆ ( Mˆ ) A a = Eemplo 6.5 Se desea estmar el úmero total de autobuses que, etre las 6 las 4 horas del domgo, rula por u determado puto klométro de ua arretera. a observaó se realza medate 40 tervalos, de 0 mutos ada uo, repartdos a lo largo del perodo e estudo. E 8 oasoes, de las uareta que se estableó el otrol, o ruló por el puto e uestó gú autobús. Estmar el úmero total de autobuses que rularo etre las 6 las 4 horas. Dar u límte de error de estmaó. Soluó A = 4-6=8 horas=080 mutos = 40 tervalos a =0 mutos =8 tervalos s autobuses ˆ A M = l = l = 86, 4 a 0 40 A Vˆ( M ) = = = 356, 4 B = 37,8 a

103 EJERCICIOS RESUETOS. E ua plataó de pos de 00 ares, se va a estmar la desdad de árboles que preseta hogos parástos. Se toma ua muestra de 0 uadros de 0,5 ares ada uo. as dez parelas muestreadas tuvero ua meda de,8 árboles fetados por uadro. a) Estme la desdad de árboles fetados estableza u límte de error de estmaó. b) Estme el total de árboles fetados e los 00 ares de la plataó estableza u límte de error de estmaó. SOUCIÓ:,8 0 a) ˆ m λ = = = 5,6 arb. fetados / are ; a 0 0,5 ˆ ˆ Vˆ( λ ) = λ = 5,6 =, B =, a 0 0,5 b) M ˆ = Aλˆ = 00 5, 6 = 0; B = AB λ = 00, = 43,3. Se desea estmar el úmero de vehíulos de u modelo determado que el mes próxmo utlzará el aparameto de Puerta Real. Durate las 70 horas del mes se va a estableer 5 otroles aleatoros de hora de duraó ada uo. Trasurrdo el mes, se ha observado e los 5 otroles los sguetes resultados: Cotrol úmero de vehíulos de ese modelo que usa el aparameto Estme el úmero total de vehíulos del modelo e estudo que utlzaro el aparameto. Dé el límte del error de estmaó. SOUCIÓ: , ɵ m A = h a = h = otr m = = veh m = = λ = =, veh./ h 5 a M = ɵ λa =, 70 = 864 veh. ( ) V M Aɵ λ = = 446 B = 446 = 705, 45 veh. a 03

104 3. El hermao de u alumo de T.A.M. está pesado e abrr ua farmaa de 4 horas. Para saber s los gresos ompesaría los gastos de esta versó dede observar u establemeto smlar. Este asduo alumo de T.A.M. ooe perfetamete que es ua pérdda de tempo eesara observar el fluo de letes las 4 horas del día por lo que dede observar la afluea de letes e dsttos perodos de gual duraó, obteedo los datos de la sguete tabla letes 0:00-0:30 5 4:00-4:30 3 8:00-8:30 8 :00-:30 8 0:00-0:30 06:00-06:30 4 Estme el úmero de letes daros de la farmaa observada el orrespodete límte para el error de estmaó. SOUCIÓ: A = 4h a = 0,5h = 48 = 6 m = 60 m = 0 ɵ m ɵ M = λa = A = 480 letes ( A λ A m V M ) = = = 3840 V ( M ) = 3,94 letes a a a 4. El autameto de Bareloa está teresado e ooer el úmero de afoados que audero al aeropuerto para vtorear al equpo ampeó. Para ello, dvdero la sala de espera, de dmesoes 00 metros de largo por 40 metros de aho, e 00 uadros de gual tamaño seleoaro 0, observado que el úmero de persoas era.00. Estme el úmero total de asstetes el límte para el error de estmaó. SOUCIÓ: A = 4000 a = 40 = 00 = 0 m = 00 m = 55 ( ) ɵ m M = λa = A = 5500 V M a ɵ A λ A m = = = 7500 V ( M ) = 33, 66 a a 5. U alumo de A.T.C. desea estmar el úmero de alumos que ua determada mañaa ha do a la Faultad. Para ello se basa e que dho día ua ooda mara omeral ha repartdo a prmeras horas de la mañaa e la etrada de la Faultad 500 arpetas. E u terambo de lase, setado e u bao del pasllo, dede otar los alumos que pasa hasta observar a 00 que porta la arpeta, para lo que fue eesaro otar hasta 38 alumos. 04

105 Estme o u tervalo de ofaza el úmero de alumos que asstero esa mañaa a la Faultad. SOUCIÓ: muestreo verso t = 500 = 38 s = 00 t t = 90 alumos p = s = ( ) ( ) t ( s) V = = 6664,35643 V = 36,58 alumos s ( s + ) ( 90 36,58) 6. Se quere ooer el úmero de efermos que utlza el Servo de Urgeas de u hosptal. Para ello, de u mes (30 días) se seleoaro al azar 3 días, observádose e esas 7 horas que 430 persoas usaro el servo. a) Estme o u tervalo de ofaza el º de efermos/hora que audero al servo de urgeas. b) S se qusera repetr e el próxmo mes el msmo estudo, garatzado para la ateror estmaó u error feror a u efermo/hora, uatos días deberíamos observar? SOUCIÓ: m = 3 a = da = 4 horas m = m = 430 m = = 440 = a) ɵ λ = m m efermos / hora a = a = 4 = ɵ ɵ λ 60 V ɵ ( λ ) = = = 0,8333 V ( λ ) =,857 a 4 3 ( 60,857 ) = ( 58,743, 6,857 ) ɵ λ ( λ ) ( λ ) ɵ b) ɵ V = 4V = 4 = 4 = = = a

106 7. Muestreo o probabldades desguales. 7. Itroduó. 7.. Probabldades de lusó. 7.. Pesos del dseño muestral Alguos métodos o probabldades desguales. 7. Estmaó de la meda, proporó total poblaoales. 7.3 El problema de la estmaó de la varaza de estmadores: métodos de remuestreo. 7.4 Aplaoes e euestas ofales. 7.. Probabldades de lusó. E el apítulo.3 se ha abordado el problema de seleoar ua muestra aleatora smple (s reemplazameto) e ua poblaó fta. Al método utlzado para la seleó de ua muestra aleatora de dvduos se le ooe omo dseño muestral. El muestreo aleatoro smple se araterza por el heho de que todas las muestras posbles o el msmo tamaño tee la msma probabldad de ser seleoadas. A la probabldad de seleoar ua determada muestra s la deotaremos por p( s ). Adoalmete, abe destaar que també los dvduos de la poblaó fta tee la msma probabldad de ser seleoados e ua muestra de tamaño uado se apla u muestreo aleatoro smple s reemplazameto, e partular, esta probabldad es /. S embargo, e la práta es mu freuete que los orgasmos ofales de estadísta, empresas, sttuoes otros etros que realza euestas por muestreo haga uso de dseños muestrales dode las probabldades de seleó de muestras /o dvduos sea desguales. E esta stuaó, los estmadores estudados e el apítulo o so váldos podría produr mportates errores. os estmadores de parámetros omo totales, medas o proporoes, e luso los estmadores de sus orrespodetes varazas debe lur e sus expresoes las probabldades que tee los dvduos de ser seleoados e la muestra, para ser más presos. a probabldad de que el -ésmo dvduo esté ludo e ua muestra se deotará por π, su defó es la sguete: 06 π = s p( s) A estas probabldades també se les deoma probabldades de lusó de prmer orde. Por su parte, també puede defrse las probabldades de lusó de segudo orde, o

107 be la probabldad de que ambos dvduos esté ludos smultáeamete e la muestra. Esta probabldad vee dada por: π = s & p( s) E u muestreo aleatoro smple s reemplazameto (apítulo.3), las probabldades de lusó de prmer segudo orde vee dadas, respetvamete, por: π = π = Por tato, dado u muestreo aleatoro smple s reemplazameto es posble utlzar tato las expresoes que estudaremos a otuaó omo las expresoes a estudadas del apítulo.3, obtedremos e ambos asos los msmos resultados. 7.. Pesos del dseño muestral (o fatores de elevaó). E geeral, los orgasmos ofales de estadísta, tal omo EUROSTAT, suele llevar a abo para sus estudos muestras basadas e dseños muestrales o probabldades desguales, sus orrespodetes bases de datos públas orpora, para ada dvduo de la muestra, los llamados pesos muestrales, pesos del dseño muestral o fatores del dseño, e lugar de las probabldades de lusó a expladas. os pesos muestrales se defe smplemete omo la versa de las probabldades de lusó de prmer orde, es der, el peso muestral del -ésmo dvduo se defe omo d = π Por tato, las expresoes de los estmadores e dseños desguales se puede expresar tato e térmos de las probabldades de lusó omo e fuó de los pesos muestrales. S se desea utlzar las probabldades de lusó de prmer orde pero sólo se ooe los pesos muestrales, es bastate fál omprobar a partr de la expresó ateror que tales probabldades de lusó de prmer orde se puede obteer omo la versa de los pesos muestrales: π = d 07

108 Destaamos que es bastate omú por las empresas ageas estadístas utlzar dseños muestrales dode los dvduos tee dstta probabldad de ser seleoados, este heho se debe a varas razoes. E prmer lugar, las muestras o u gra tamaño utlza dseños muestrales ompleos dode omba, por eemplo, muestreo por oglomerados e varas etapas o muestreo estratfado. E estas stuaoes resulta mu oveete smple proporoar los pesos muestrales asoados a ada dvduo, de forma que ualquer vestgador o usuaro teresado e los datos pueda realzar estmaoes orretas de ua forma mu smple basadas e los pesos muestrales. Por otra parte, també exste stuaoes e las que teresa asgar a ertos dvduos ua maor probabldad de ser seleoados e omparaó o otros dvduos. Por eemplo, los oodos dseños muestrales basados e Probabldades Proporoales al Tamaño (PPT) que estudaremos a otuaó hae uso de esta metodología. Euestas destadas a empresas suele utlzar o bastate freuea muestras extraídas medate PPT debdo a la mportaa de lur e la muestra a las empresas más grades, las uales aporta ua maor atdad de produó de bees o servos Alguos métodos o probabldades desguales. E el muestreo aleatoro smple e el muestro sstemáto los dvduos tee la msma probabldad de ser seleoados, es der, las probabldades de lusó de prmer orde so guales para todos los dvduos. A otuaó se desrbe alguos métodos de muestreo dode los dvduos tee dsttas probabldades de ser seleoados, se proporoa las orrespodetes probabldades de lusó. Métodos o probabldades proporoales al tamaño. E prmer lugar destaamos los dseños muestrales o probabldades proporoales al tamaño (PPT), dode los dvduos de la poblaó tee probabldades de ser seleoados proporoales a los valores { x x },, de ua varable auxlar X, a la ual també se le suele deomar tamaño. E estos dseños se asume que los valores { x x },, so oodos postvos. as probabldades de lusó de prmer orde de u dseño muestral PPT vee dados por: π x, o τ x τ x = = = x 08

109 Alguos métodos mu oodos basados e PPT so: método de ahr, método de Brewer, método de Mdzuo, método de Madow, método de Sampford, Muestreo aleatoro estratfado E el muestreo aleatoro estratfado, salvo que se aplque asgaó proporoal, los dvduos de u estrato tedrá ua probabldad de ser seleoados dstta de la probabldad de ser seleoados los dvduos del resto de estratos de la poblaó, por tato, el muestreo aleatoro estratfado també puede osderarse omo u dseño muestral o probabldades desguales. E u muestreo aleatoro estratfado, las probabldades de lusó vee dadas por: π = h h s el dvduo perteee al estrato h. h h s ambos dvduos perteee al estrato h. h h π = h k s el dvduo perteee al estrato h, el dvduo al estrato k h k Por tato, e u muestreo estratfado se puede aplar tato las expresoes estudadas e el apítulo omo las expresoes que se estuda a otuaó basadas e las probabldades de lusó. 7. Estmaó de la meda, proporó total poblaoales. Estmaó de la meda poblaoal. Dada ua muestra seleoada o probabldades desguales, e la práta se puede utlzar dos estmadores dferetes para la meda poblaoal ( µ ) de ua varable de terés : el estmador de tpo Horvtz-Thompso el estmador de tpo Háek. El estmador de tpo Horvtz-Thompso para la meda poblaoal vee dado por la expresó: HT = π Este estmador se puede expresar fálmete e fuó de los pesos muestrales: = HT = d = 09

110 El estmador de tpo Horvtz-Thompso tee la propedad de ser sesgado. Para estmar la varaza de este estmador podemos utlzar las sguetes expresoes (ompladas por apoarse e las probabldades de lusó de segudo orde):. Estmador de la varaza de tpo Horvtz-Thompso: HT ( HT ) = ( π ) + π = = > π π π Vˆ π π π. Estmador de la varaza de tpo Se-Yates-Grud: Vˆ SYG ( ) HT π π π = = > π π π El estmador de tpo Háek para la meda poblaoal vee dado por la expresó: H = ˆ = d ˆ dode ˆ = = d = π = = π = S omparamos ambos estmadores de la meda poblaoal podemos destaar que el estmador de tpo Háek o es sesgado, a dferea del estmador de tpo Horvtz-Thompso que s lo es. o obstate, el estmador de tpo Háek es aproxmadamete sesgado, lo ual quere der que el valor esperado de este estmador se aproxma a la meda poblaoal para tamaños muestrales elevados. Por otra parte, el estmador de tpo Háek suele teer ua varaza meor que la varaza del estmador de tpo Horvtz-Thompso. Además, podemos observar que s el tamaño de la poblaó es oodo se podría obteer ambos estmadores, metras que s es desoodo ta sólo sería posble obteer el estmador de tpo Háek. Exste varas téas para estmar la varaza del estmador de tpo Háek. Por eemplo, el estmador de la varaza Queoulle-Tuke (utlzado el método Jakkfe) vee dado por la sguete expresó: ˆ V ( ) = ( ) ( ) J H H H = dode H ( ) deota el estmador de tpo Háek pero después de elmar de la muestra el - ésmo dvduo, es der, ˆ H ( ) = d o ( ) d ˆ = = = π ˆ π ( ) s, ( ) s, s, s, Para muestras o tamaños muestrales elevados ( > 30 ) també se suele asumr que los estmadores de la meda aterores sgue ua dstrbuó ormal, por tato el límte del 0

111 error de estmaó los tervalos de ofaza se defe de la msma forma que e apítulos aterores. Estmaó de la proporó poblaoal. E el aso de varables dotómas, los estmadores de la proporó poblaoal p se obtee sguedo las msmas expresoes que las proporoadas para la estmaó de la meda poblaoal. De este modo, los estmadores de tpo Horvtz-Thompso de tpo Háek de la proporó poblaoal so, respetvamete: pˆ HT = = d = π = pˆ H = ˆ = ˆ d = π = E el aso de que la proporó poblaoal p tome valores próxmos a, se reomeda utlzar el estmador de tpo Háek, debdo a que este estmador toma el valor uado todas las observaoes de la muestra so uos. Esta propedad o se umple para el estmador de tpo Horvtz-Thompso, e luso se podría obteer estmaoes maores de e estas stuaoes dode la proporó poblaoal se aproxma a la udad. Por otra parte, las expresoes de las varazas estmadas de los estmadores de la meda poblaoal també puede utlzarse para las varazas estmadas de los estmadores de ua proporó, por tato se tee: Estmador de tpo Horvtz-Thompso de la proporó:. Estmador de la varaza de tpo Horvtz-Thompso: HT ( pht ) = ( π ) + π = = > π π π Vˆ ˆ π π π. Estmador de la varaza de tpo Se-Yates-Grud: Vˆ SYG ( pˆ ) HT π π π = = > π π π Estmador de tpo Háek de la proporó: Estmador de la varaza usado el método Jakkfe: ˆ V pˆ pˆ pˆ ( ) = ( ) ( ) J H H H = ˆ pˆ = = d = = d H ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) s, π ( ) s, s, π s,

112 Eemplo 7.. Segú la agea de estadísta EUROSTAT, ua persoa se osdera pobre s sus gresos por udad de osumo so ferores al umbral o líea de pobreza fado e el país de dha persoa. Supogamos que e ua poblaó o 000 habtates se seleoa ua muestra o probabldades desguales de tamaño 0, obteédose los sguetes resultados Igresos π Igresos π ,00 0,00 0,005 0,00 0, ,00 0,00 0,005 0,00 0,00 Dode supoemos los π oodos (la agea EUROSTAT proporoa los pesos del dseño muestral). S el umbral de pobreza e esta poblaó lo ha fado EUROSTAT e 750 euros, obtega u tervalo de ofaza para la proporó de pobres de esta poblaó o u vel de ofaza del 95% basado e el estmador de tpo Háek. Soluó: E prmer lugar ha que defr la varable dotóma, la ual tomará el valor s la persoa se osdera pobre 0 e aso otraro. E otras palabras, la varable tomará el valor s su greso por udad de osumo es feror al umbral de pobreza (750 euros) la varable tomará el valor 0 e aso otraro. I π π π ˆ ˆ ( ) = π ˆ H ( ) s, π p ( ) pˆ H ( ) pˆ H 0 0, ,500 0,0004 0, ,579 0, , ,94 0, , ,579 0, , ,000 0, , ,63 0, , ,500 0, , ,94 0, , ,63 0, , ,63 0,00063 ˆ = ,076

113 El estmador de tpo Háek de la proporó de pobres es: 50 ˆ pˆ H = 0,38 dode ˆ = = = π 050 π = = Se estma que el 3,8% de esta poblaó es osderada omo pobre segú EUROSTAT. Para obteer el estmador de la varaza de tpo Háek eestaremos lur e la tabla ateror los resultados de las expresoes: pˆ H ( ) = ˆ ; ˆ ( ) π ( ) s, ˆ = = = s, π = π π π, El estmador de la varaza que resulta es: ˆ ( ) ( ) V pˆ = pˆ ˆ ( ) p = 0, 076 = 0, J H H H = El tervalo de ofaza vee dado por: ( ˆ ) ( ) pˆ Vˆ p = 0, 38 0,45 ; 0, 38+ 0,45 = ( 0, 05 ; 0,5) = [0 ; 0,5) H J H Estmaó del total poblaoal. τ Para estmar el total poblaoal, τ, dado que µ = τ = µ, el proedmeto es smlar al estudado e apítulos aterores, es der, para estmar el total sólo ha que multplar por el estmador de la meda. Además, dado que se umple la propedad V kx = k V X, para ( ) ( ) obteer la varaza del estmador del total habría que multplar por el estmador de la varazas estudadas e el problema de la estmaó de la meda. E partular, las expresoes asoadas a la estmaó del total poblaoal so: Estmador de tpo Horvtz-Thompso para el total poblaoal: τ HT = HT = = d = π = 3

114 Estmadores de la varaza del estmador de tpo Horvtz-Thompso:. Estmador de la varaza de tpo Horvtz-Thompso: ( ) ˆ ˆ HT τ HT = HT ( HT ) = ( π ) + π = = > π π π Vˆ V π π π. Estmador de la varaza de tpo Se-Yates-Grud: ˆ ( ) ˆ π π π V ˆ SYG τ HT = VSYG ( HT ) = = > π π π Estmador de tpo Háek para el total poblaoal: ˆ τ H = H = = d ˆ ˆ = π = dode ˆ = = π = = d S es oodo se puede obteer ambos estmadores. E el aso de que sea desoodo sólo es posble obteer el estmador de tpo Horvtz-Thompso. Estmadores de la varaza del estmador de tpo Háek (método Jakkfe): ˆ V V ( ˆ τ ) = ˆ ( ) = ( ( ) ) = ( ˆ τ ˆ ( ) τ ) J H J H H H H H = = ˆ τ ˆ = = d = = d H ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) s, π ( ) s, s, π s, Eemplo 7.. Para los datos del Eemplo 7., obtega la estmaó del úmero total de pobres e la poblaó e estudo así omo el límte del error de estmaó. Soluó: Para estmar el total de pobres ha que multplar el estmador de la proporó por el tamaño de la poblaó: ˆ τ = pˆ = 000 0, 38 = 38, H H Es der, se estma que e la poblaó ha 38 persoas osderadas omo pobres. El límte del error de estmaó vee dado por: ( ˆ τ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) B = Vˆ = Vˆ p = Vˆ p = Vˆ p = 000 0, 003 = 84,96 H H H H 4

115 Eemplo 7.3. Sguedo o el Eemplo., se está teresado de uevo e determar la audea de la publdad televsva e ua adea loal de u mupo, se dede realzar ua euesta por muestreo para estmar el úmero de horas por semaa que se ve la televsó e las vvedas del mupo. Éste está formado por tres barros o dferetes perfles soo-ulturales que afeta a la audea televsva. Ha 0 hogares e el barro A, 84 e el barro B 6 e el barro C. E esta oasó, la empresa publtara tee tempo dero sufetes para etrevstar 3 hogares dede seleoar muestras aleatoras de tamaños: del barro A, 6 del barro B, 6 del barro C. Se seleoa las muestras aleatoras smples se realza las etrevstas. os resultados, o medoes del tempo que se ve la televsó e horas por semaa, se muestra e la sguete tabla: BARRIO A BARRIO B BARRIO C Estmar el tempo medo que se ve la televsó por semaa e todos los hogares del mupo usado: a) as expresoes del muestreo aleatoro estratfado. b) as expresoes para dseños muestrales o probabldades desguales. Soluó: a) Muestreo aleatoro estratfado Barro A B C Usado muestreo aleatoro estratfado, el úmero medo de horas que se ve la televsó a la semaa e todo el mupo es: 3 = = 9, horas/semaa st = 5

116 b) Muestreo o probabldades desguales as probabldades de lusó de los dvduos segú al barro al que perteee so: A A 0 π = = =0,0538 s el dvduo perteee al barro A = = =9, π A B 6 B 84 π = = =0,0743 s el dvduo perteee al barro B = = =4 84 π 6 π 3 = C B C 6 C 6 = =0,0476 s el dvduo perteee al barro C = = 6 π = 6 A partr de las probabldades de lusó podemos observar que los dvduos del barro B tee ua maor probabldad de perteeer a la muestra, metras que los dvduos del barro C so los que tee la meor probabldad. 3 B A C Estmador de tpo Horvtz-Thompso: HT, 04 = = = 9, horas/semaa π 40 = Estmador de tpo Háek: H, 04 = 9, horas/semaa ˆ = = π 40 = Como ourre e este eero e geeral, el estmador de la meda tpo Horvtz-Thompso de tpo Háek ode o el estmador de la meda basado e muestras aleatoras smples e muestras aleatoras estratfadas. 6

117 Barro π π π A 39 0, ,5590 9, , ,4639 9, , ,3765 9, , ,745 9, , ,7377 9, , ,07 9, , ,838 9, , ,4677 9, , ,3765 9, , ,85 9, , ,90 9,0909 B 0, , , , , , , , , , , , C 6 0, , , , , , , , , ,9895 0, ,99,04 ˆ = El problema de la estmaó de la varaza de estmadores: métodos de remuestreo. E u muestreo o probabldades desguales es bastate omú que las probabldades de lusó de segudo orde sea desoodas. Este heho supoe u problema para la estmaó de la varaza de estmadores puesto que tales expresoes depede de estas probabldades de lusó de segudo orde, tal omo se ha poddo observar a lo largo de 7

118 este apítulo. Este problema se puede resolver medate dferetes téas. Por eemplo, ua opó podría ser aproxmar las probabldades de lusó de segudo orde a partr de las probabldades de lusó de prmer orde. S embargo, el proedmeto más omú que suele utlzarse e la práta es reurrr a u método de estmaó de la varaza por remuestreo. E geeral, este proedmeto osste e obteer dsttas estmaoes del parámetro e estudo a partr de los datos muestrales, aproxmar la varaza del estmador a través de la varabldad de estas estmaoes adoales. os métodos de remuestreo más omues so: el método Jakkfe el método Bootstrap. Para explar estos métodos de remuestreo osderemos que el obetvo es estmar u determado parámetro θ (por eemplo, la meda, la proporó o el total poblaoal) a partr de ua muestra de tamaño, dode ˆ θ represeta el orrespodete estmador de θ.. Método Jakkfe. Deotado por ˆ θ( ) al estmador ˆ θ después de elmar de la muestra la observaó -ésma, el estmador de la varaza de ˆ θ por el método Jakkfe tee la sguete expresó: Vˆ J ( ˆ θ ) = ( ˆ ˆ θ θ ) ( ) =. Método Bootstrap Cosste e replar d vees las observaoes de la muestra, de forma que se obtee ua ueva poblaó llamada poblaó Bootstrap, la ual tee u tamaño aproxmado de valores (gual que la poblaó orgal). A partr de esta poblaó se extrae B muestras (llamadas muestras Bootstrap). E geeral, habría que osderar u valor de B maor que 00 para obteer ua buea aproxmaó de la varaza (alguos autores sugere hasta B>000). Deotaremos por ˆ θ ( b ) al estmador ˆ θ obtedo e la b-ésma muestra Bootstrap. El estmador de la varaza de ˆ θ por el método Bootstrap tee la sguete expresó: Vˆ B ( ˆ θ ) = ( ˆ θ ) ( ) θ B ; θ ˆ B = θ( b) B B b B B b= E el aso del muestreo aleatoro smple d b= = el ateror estmador de la varaza o es sesgado. Pero lo es s las muestras Bootstrap se toma de tamaño -. 8

119 os métodos de remuestreo, tal omo el Jakkfe el Bootstrap, tee ua arga omputaoal mu elevada suele utlzarse programas espeífos para su álulo. Eemplo 7.4. U bao tee repartdos 00 aeros automátos e la prova de Graada. El resposable de este bao desea estmar la atdad meda de efetvo que se retra e todos sus aeros automátos e u determado día, por lo que seleoa ua muestra aleatora smple s reemplazameto de 5 aeros obtee las sguetes atdades (e mles de euros): Caero Efetvo Obtega tervalos de ofaza para el mporte medo que se retra e los aeros utlzado la fórmula de la varaza del muestreo aleatoro smple las varazas obtedas por los métodos Jakkfe Bootstrap. Para el método Bootstrap osdere que se obtuvero 0 muestras Bootstrap, éstas fuero las sguetes: b Muestra Bootstrap b Muestra Bootstrap {,,, 4,5 } 6 {,,3,3,4 } {,,,,5 } 7 {,,,3,5 } 3 {,,3, 4,5 } 8 { 3,3,4,5,5 } 4 { 3,3, 4,5,5 } 9 { 3,3,3,4,4 } 5 {,,3, 4, 4 } 0 {,3,4,5,5 } Soluó: El estmador de la meda e u muestreo aleatoro smple es: 00 = = = 0 5 = Se estma que e los aeros se retra de meda 0000 euros e el día del estudo. 9

120 Itervalo de ofaza usado la expresó del muestreo aleatoro smple: S 6, V ( ) = = =, ( ) ( ) V ( ), + V ( ) = 3,, 6,89 Itervalo de ofaza usado el método Jakkfe: ( ) ( ) ( ) 3 4 5,5 0, ,75 7,50,565 0,0000 6,500,565 6,500 5,65 ˆ ( ) ( ) VJ = ( ) = 5, 65 =,875 = 00 5 ( ) J ( ) V ( ), + V ( ) = 3,, 6,89 J Itervalo de ofaza usado el método Bootstrap: = = ( ) = 5 () = = = ( ) = 5 () = = = ( ) = 3 5 (0) = 0

121 b Muestra Bootstrap ( b) ( ) ( b) 0,5 {,,,4,5 } 0,5 {,,,,5 } 0,5 3 {,,3,4,5 } 0 0,5 4 { 3,3,4,5,5 } 5 0,5 5 {,,3,4,4 } 0 0,5 6 {,,3,3,4 } 6 0,5 7 {,,,3,5 } 9,5 8 { 3,3,4,5,5 } 5 0,5 9 { 3,3,3,4,4 } 6 0,5 0 {,3,4,5,5 } 3 6, ,5 B B 05 = ( b) = = 0,5 0 B b = B ( ) ( ) ( ) ˆ V = 90,5 0, 0556 = 0 = B b B B b= ( ) B B ( ) V ( ), + V ( ) = 3,66, 6, Aplaoes e euestas ofales Ofa Europea de Estadísta Eurostat Euesta de la Uó Europea sobre gresos odoes de vda (Europea Uo Surve o Iome ad vg Codto, EU-SIC). El obetvo prpal de esta euesta es la reogda de mrodatos multdmesoales trasversales logtudales sobre gresos de dvduos, pobreza, exlusó soal odoes de vda. El dseño muestral puede varar etre los dsttos países, auque el más

122 omú es el muestreo poletápo estratfado (stratfed mult-stage samplg), tal omo puede verse e la sguete tabla extraída dretamete de Eurostat: Fgura 7.. Dseños muestrales utlzados por Eurostat e dsttos países de la Uó Europa. Fgura tomada de la web ofal de Eurostat. os mrodatos de esta euesta está dspobles para su explotaó por parte de vestgadores, empresas, et. Bao estos dseños muestrales, los dvduos de ua msma poblaó tee dsttas probabldades de ser seleoados, por esta razó, los mrodatos lue los pesos muestrales asoados a ada dvduo, los uales debe teerse e ueta e la etapa de estmaó de parámetros. A modo de eemplo se preseta e la fgura sguete resultados realzados por elkes et al. (009) basados e datos de la euesta EU-SIC del año 006. El obetvo es estmar la proporó de pobres de ada país. as estmaoes ha tedo e ueta los pesos del dseño muestral proporoados uto o los valores observados de las varables e estudo.

123 Fgura 7.. Estmaoes putuales por tervalos de ofaza usado Bootstrap de la proporó de pobres e dsttos países de la Uó Europa. os datos se ha tomado de la euesta EU-SIC del año 006. Estudo realzado por elkes et al. (009). Referea: elkes, O., Medges, M., Tóth, I. G. ad Ward, T. (009) Iome Dstrbuto ad the Rsk of Povert I T. Ward, O. elkes, H. Sutherlad, ad I. G. Tóth (eds) Europea Iequaltes. Soal Iluso ad Iome Dstrbuto the Europea Uo (Budapest: Tárk), pp