Problemas de transporte y problemas de transporte con carga fija

Transcripción

1 Probleas de trasporte y probleas de trasporte co carga fija Mauel García Narváez Trabajo de fi del grado e Mateáticas Uiversidad de Zaragoza

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3 Itroducció Etre los probleas ás iteresates e el capo de la Ivestigació Operativa, tato por sus aplicacioes coo por los retos teóricos que preseta, figura los que aparece e el diseño de redes de distribució. Estos probleas puede icluir, etre otras variates, el problea de trasporte, el problea del viajate, el problea de rutas de vehículos co uo o varios alacees, los probleas de localizació de ifraestructuras co y si probleas de rutas asociados, etc. El problea de trasporte y el problea de trasporte co carga fija so probleas de prograació lieal y prograació lieal etera, respectivaete, es decir, so probleas de optiizació e los que se trata de axiizar (o iiizar) ua fució lieal, sujetos a uas deteriadas restriccioes que so ecuacioes o iecuacioes lieales que, adeás, e el caso de prograació etera, icluye variables que ha de ser eteras. Ua de las razoes que justifica el estudio idividualizado de estos probleas es que tiee ua estructura ateática especial que ha peritido diseñar étodos de resolució ás eficietes que los que se aplica a los probleas de prograació lieal. Hay que teer e cueta que los probleas de trasporte tiee, e geeral, u gra úero de variables y restriccioes icluso e sisteas de distribució o especialete coplejos. Adeás, abos probleas tiee aplicacioes e uchos capos, siedo especialete iportates e el diseño del proceso de distribució e ua cadea de suiistro. El objetivo de este trabajo es estudiar el problea de trasporte y el problea de trasporte co carga fija, deostrar sus propiedades ás relevates y presetar alguos de los algoritos que se ha propuesto para su resolució, adeás de ostrar algú caso particular del problea de trasporte co carga fija. Este trabajo costa de tres capítulos. E el Capítulo 1 se estudia el problea de trasporte. Tras forularlo ateáticaete, se deuestra alguos resultados basados e las propiedades de la atriz de coeficietes y se preseta u étodo de resolució basado e el coocido algorito siplex. E el Capítulo 2 se estudia el problea de trasporte co carga fija. Se forula coo u problea de prograació etera co variables biarias y se deuestra alguas propiedades que perite relacioar su solució co la solució del problea de trasporte obteido cuado se relaja las restriccioes de itegridad de las variables biarias. A cotiuació, se preseta alguos algoritos propuestos e la literatura para resolver el problea basados e distitas reforulacioes del iso. El Capítulo 2 teria co ua revisió bibliográfica actualizada sobre el problea. E el Capítulo 3 se estudia algú caso particular del problea de trasporte co carga fija y alguas propiedades adicioales. Por últio, e el apédice se proporcioa los resultados de u breve estudio coputacioal e el que se ha resuelto, usado Ligo, alguos probleas de trasporte co carga fija geerados aleatoriaete. III

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5 Ídice geeral Itroducció III 1. El problea de trasporte Plateaieto Forulació Problea de trasporte o balaceado Propiedades de la atriz de coeficietes Algorito siplex para el problea de trasporte Costrucció de ua solució iicial Cálculo de los costes argiales de la solució Costrucció de ua ueva solució El problea de trasporte co carga fija Itroducció Forulació El problea de prograació lieal co carga fija U étodo aproxiado de resolució Evaluació del étodo aproxiado de Baliski U algorito basado e el procediieto de Beders U algorito basado e fijar las variables biarias Revisió bibliográfica actualizada Casos particulares y propiedades del problea de trasporte co carga fija El problea de trasporte co carga fija puro El problea de asigació de profesores La paradoja de ás por eos A. Resultados coputacioales 29 Bibliografía 31 V

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7 Capítulo 1 El problea de trasporte 1.1. Plateaieto El problea de trasporte fue forulado tal y coo lo cooceos e 1941 por el ateático aericao Frak Laure Hitchcock e su artículo "The distributio of a product fro several sources to uerous localities", por lo que otro obre que se le da es problea de Hitchcock. Si ebargo, sobre 1939, Leoid Katorovich ya había ostrado diversas aplicacioes de probleas uy relacioados co el problea de trasporte, adeás de forular el problea de trasporte e fora cotiua. Tabié trabajó e el problea, de aera idepediete, Tjallig Koopas, dado que trabajaba e el trasporte de ercacías durate la Seguda Guerra Mudial, y quería reducir costes de trasporte. No fue hasta 1951 cuado George Datzig adaptó el étodo siplex que él iso había creado para resolver el problea de trasporte de ua aera eficiete que perdura e la actualidad Forulació Cosideraos orígees (lugares que ofrece u deteriado producto), que deotaos O i, i = 1,...,. Cada orige O i tiee ua oferta de s i uidades de dicho producto. Cosideraos destios (lugares que deada el producto), que deotaos D j, j = 1,...,. Cada destio D j tiee ua deada de d j uidades del producto. Podeos supoer que s i,d j > 0 (si o, se deja de cosiderar el orige o destio correspodiete). Tabié supodreos que el problea está balaceado, es decir, la oferta total es igual a la deada total: s i = d j Sea c i j el coste por uidad de producto eviada desde O i hasta D j. E geeral, c i j > 0, auque podría ser c i j 0 si, por ejeplo, se quiere icetivar el uso de la ruta desde i hasta j. El problea de trasporte tiee por objetivo deteriar cóo debe realizarse la distribució de producto de aera que iiice el coste total asociado a eviar el producto desde los orígees hasta los destios. Si deotaos x i j a las uidades de producto eviadas desde O i hasta D j, el problea de trasporte se puede forular de la siguiete fora: 1

8 2 Capítulo 1. El problea de trasporte Miiizar c i j x i j... sujeto a x x 1 = s 1 x x 2 = s 2 x1 + + x = s x 11 + x x 1 = d x 1 + x x = d x i j 0, i = 1,...,, j = 1,..., o, e fora abreviada: Miiizar sujeto a c i j x i j x i j = s i, i = 1,..., (oferta de O i ) x i j = d j, j = 1,..., (deada de D j ) x i j 0, (i, j) (o egatividad) El problea de trasporte es u problea de optiizació lieal y, por lo tato, puede resolverse co los algoritos que se ha desarrollado para este tipo de problea (algorito siplex [7, 10, 20], puto iterior, etc). No obstate, las características del problea de trasporte que estudiareos a cotiuació ha peritido adaptar el algorito siplex para hacerlo ás eficiete. Coo se puede observar, el problea tiee variables (x i j ) y + restriccioes (excluyedo las de o egatividad). Cada variable aparece solaete dos veces e las restriccioes (ua e la restricció de oferta y otra e la de deada), abas co coeficiete 1. Esta propiedad tedrá gra iportacia e el desarrollo de u algorito eficiete para la resolució del problea. Figura 1.1: Grafo de u problea de trasporte Probleas de trasporte y probleas de trasporte co carga fija

9 1.1. Plateaieto 3 El grafo del problea de trasporte (forado por los orígees, los destios y sus coexioes) es bipartito y copleto; esto es, los odos (orígees y destios) fora dos cojutos tales que todas las coexioes va de u cojuto al otro; y adeás todas las coexioes (etre orígees y destios) so posibles. E la Figura 1.1 se uestra este grafo. Si ua deteriada coexió o existiera e el sistea real odelado, para platear el problea se asociaría a la coexió iexistete ua variable artificial, co u coeficiete e la fució objetivo M, siedo M ua costate suficieteete grade. El problea de trasporte puede represetarse co ua tabla que uestra e cada iteració del algorito de resolució s i, d j, c i j y la solució factible básica (s.f.b.) cosiderada. Las filas represeta los orígees y las coluas los destios. La casilla de la fila i y colua j cotiee los valores x i j y c i j. Esta tabla peritirá resolver el problea de trasporte si ecesidad de usar las tablas del algorito siplex lo que, coo ya se ha señalado, hace el étodo ás secillo y eficiete. Ua posible fora detallada de dicha tabla puede verse e la Figura 1.2. E adelate la llaareos tabla de trasporte. Figura 1.2: Tabla del problea de trasporte Para represetar el problea de trasporte e fora atricial, defiios los siguietes vectores y atrices: X = (x 11,x 12,...,x 1,x 21,...,x 2,...,x ) t c = (c 11,c 12,...,c 1,c 21,...,c 2,...,c ) b = (s 1,s 2,...,s, d 1, d 2,..., d ) t A = (A 11,A 12,...,A 1,A 21,...,A 2,...,A ) dode A i j = e i e + j, siedo e k u vector de R + co u 1 e el lugar k, y el resto ceros. Co estas otacioes, la forulació atricial del problea de trasporte es: Miiizar sujeto a cx AX = b X 0 La atriz de coeficietes A del problea de trasporte tiee diesió ( + ), y tiee la siguiete fora: A = I I... I dode 1 y 0 so vectores 1 co todo uos y co todo ceros, respectivaete, e I es la atriz idetidad. Autor: Mauel García Narváez

10 4 Capítulo 1. El problea de trasporte Las propiedades de esta atriz hace del problea de trasporte u problea co estructura especial. Por ello las estudiareos e detalle ás adelate. Pero ates, os plateaos si el problea de trasporte es factible, es decir, si tiee solució. Supoiedo que el problea está balaceado, la respuesta es afirativa. Proposició El problea de trasporte es factible si y sólo si está balaceado. Deostració: Sea d = s i = d j, y sea x i j = s i d j, i = 1,...,, j = 1,..., d Es iediato coprobar que { x i j } es ua solució factible del problea de trasporte. Por otro lado, si el problea es factible, x i j = s i y x i j = d j iplica que s i = x i j = d j Observació De las restriccioes del problea de trasporte, se deduce que es acotado: 0 x i j i {s i,d j }. Esta propiedad juto co el hecho de que el problea tiee solució factible, os perite afirar que el problea de trasporte tiee solució óptia Problea de trasporte o balaceado Caso 1: s i > d j. Para balacear el problea, creaos u destio ficticio D +1 co deada d +1 = s i d j. Las variables x i,+1 represeta la catidad de oferta del orige O i que se queda si distribuir. Adeás, e geeral, c i,+1 = 0. Caso 2: s i < d j. El problea origial o es factible, ya que o se puede satisfacer toda la deada co la oferta dispoible. Si ebargo, podeos platearos resolver cóo distribuir toda la oferta dispoible co el íio coste. Para ello, creaos u orige ficticio O +1 co oferta s +1 = d j s i. Las variables x +1, j represeta la catidad de deada del destio D j que o se satisface. Adeás, e geeral, c +1, j = Propiedades de la atriz de coeficietes Proposició El rago de la atriz A es + 1. Deostració: El resultado se obtiee directaete aipulado la atriz A. A = I I... I I I... I I I... I Probleas de trasporte y probleas de trasporte co carga fija

11 1.1. Plateaieto 5 E el prier paso se sua a la priera fila la sua de las restates + 1 filas. E el segudo paso sipleete se reordea la atriz. Coo cosecuecia de la Proposició 1.1.3, el úero de variables básicas de ua s.f.b. del problea de trasporte es + 1. Proposició La atriz A es totalete uiodular, esto es, toda subatriz cuadrada de A tiee deteriate 1, 0 ó 1. Deostració: Por iducció sobre la diesió k de la subatrices cuadradas de A. Si k = 1, la propiedad se cuple trivialete. Supogaos cierta la propiedad para todas las subatrices hasta la diesió k 1, co k 2. Sea A k ua subatriz k k de A. Debeos ver que det(a k ) = 1,0 ó 1. Por su particular estructura, puede ocurrir: Caso 1: Algua colua de la subatriz está forada por ceros, e cuyo caso det(a k ) = 0. Caso 2: Algua colua está forada por u sólo eleeto o ulo, e cuyo caso, desarrollado por eores el deteriate, se tiee que det(a k ) = ±det(a k 1 ) y aplicado iducció se tiee el resultado. Caso 3: Si o ocurre iguo de los casos ateriores, etoces toda colua de A k tiee u 1 y u 1. Por tato, todas sus filas sua cero, y se tiee que det(a k ) = 0. Corolario Si las ofertas y las deadas de u problea de trasporte so valores eteros, etoces ese problea tiee ua solució óptia etera. Deostració: Es iediato si ás que resolver co el étodo siplex el problea de trasporte co ofertas y deadas de valores eteros, teiedo e cueta que A es totalete uiodular y la regla de Craer. Observació Noteos que la atriz B, base asociada a ua s.f.b., tiee deteriate igual a 1 ó 1, ya que es ua subatriz cuadrada de A y es regular. Por otro lado, del vector trasforado Y i j, que es clave e el desarrollo del algorito siplex, pues perite idetificar la variable que deja la base, y que se obtiee de la expresió BY i j = A i j, se deduce fácilete que está forado por los valores 1, 0 y 1, si ás que aplicar la Proposició y la regla de Craer. Esta propiedad siplifica los cálculos que hay que realizar al aplicar el algorito y perite que la estructura geeral de la tabla de trasporte sea la isa e todas las iteracioes. Teorea Ua base B del problea de trasporte es triagular (tras ua adecuada perutació de sus filas y coluas). Deostració: Sea B ua base del problea de trasporte al aplicar el étodo siplex de resolució. Supogaos que el úero de eleetos o ulos de B es ayor o igual que 2( + 1). Coo B tiee a lo suo dos eleetos o ulos e cada colua, y es ua atriz ( + 1) ( + 1), ello iplicaría que cada colua de B tiee dos eleetos o ulos, que so +1 y 1, y por tato la sua de sus filas sería cero, lo cual cotradice que B sea base. Por tato, el úero de eleetos o ulos de B es eor que 2( + 1). Así pues, existe ua fila de B co u úico eleeto o ulo. Eliiado dicha fila y la colua que coteía el úico eleeto o ulo se geera ua subatriz de B, a la que se le puede aplicar el iso argueto. Y así, repitiedo el proceso, se deduce que B es triagular. Autor: Mauel García Narváez

12 6 Capítulo 1. El problea de trasporte El Teorea se cooce coo el Teorea Fudaetal del Problea de Trasporte. Coo cosecuecia teeos que, al aplicar el étodo siplex al problea de trasporte, es posible resolver de fora uy siple y eficiete, a través de la tabla de trasporte, los sisteas de ecuacioes BX B = b y BY i j = A i j, siedo X B el vector de variables básicas Algorito siplex para el problea de trasporte Debido a las propiedades del problea de trasporte probadas ateriorete, el algorito siplex tiee ua estructura ás secilla, que o precisa el uso de la tabla clásica de este algorito. La estructura geeral del algorito siplex para el problea de trasporte es la siguiete: Paso 1: Ecotrar ua s.f.b. Paso 2: Calcular los costes argiales de la s.f.b actualete cosiderada. Paso 3: Si o hay optialidad, obteer ua ueva s.f.b. y volver al Paso 2 Ates de explicar cada uo de los pasos, itroducios alguos coceptos que usareos y que justificará los pasos seguidos. Defiició U cojuto de variables de la tabla de trasporte se dice liealete idepediete si los vectores colua de A asociados a esas variables so liealete idepedietes. E otro caso, se dice liealete depediete. Noteos que ua s.f.b. es u cojuto de variables liealete idepediete. Defiició U δ-ciclo es u cojuto de variables de la tabla de trasporte tal que: Es o vacío. Cotiee 0 ó 2 variables e cada fila y colua de la tabla. Nigú subcojuto suyo satisface las dos prieras propiedades. Teorea U cojuto de variables de la tabla de trasporte que fora u δ-ciclo es liealete depediete. Deostració: Asigaos +δ y δ e las variables del δ-ciclo, alterativaete, y ceros e el resto de las variables. Cuado δ = 1, la sua de las filas y coluas de la tabla es cero, por defiició de δ-ciclo. Cosiderado la atriz A se deduce el resultado. Para deostrar el recíproco del Teorea , ecesitaos u resultado previo: Proposició U cojuto de variables o vacío de la tabla de trasporte que o cotiee δ-ciclos satisface que: 1. Existe ua fila o colua de la tabla que cotiee ua úica variable de. 2. Todo subcojuto de variables o vacío de satisface la aterior propiedad. Deostració: Supogaos que o satisface la priera propiedad. Elegios ua variable de, x i1, j 1, y le asigaos +δ. Por hipótesis, debe haber otra variable de e la fila i 1, x i1, j 2, a la que asigaos δ. Dejaos de cosiderar ás variables de e la fila i 1. Ahora, al igual que ates, deber haber otra variable de e la colua j 2, x i2, j 2, a la que asigaos +δ. Dejaos de cosiderar ás variables de e colua j 2. Repitiedo el proceso hasta llegar uevaete a la colua j 1, foraos u δ-ciclo e, lo que cotradice la hipótesis. Coo o cotiee δ-ciclos, tapoco sus subcojutos, por lo que les podeos aplicar lo aterior, y probar así la seguda propiedad. Ahora vaos a deostrar el recíproco del Teorea : Probleas de trasporte y probleas de trasporte co carga fija

13 1.2. Algorito siplex para el problea de trasporte 7 Teorea U cojuto de variables e la tabla de trasporte que o cotiee δ-ciclos es liealete idepediete. Deostració: Si es vacío, es trivial. Supogaos que es o vacío y liealete depediete. Por tato, existe ua cobiació lieal o ula de vectores colua de A que es igual a cero. Asigaos el coeficiete de dicha cobiació a la variable de correspodiete, y ceros al resto, e la tabla. Coo la cobiació de los vectores colua es el vector cero, teeos que la sua de cada fila y colua de la tabla es cero. El subcojuto de forado por las variables co asigacioes o ulas o satisface la priera propiedad del Proposició , lo que cotradice la hipótesis. Observació Coo cosecuecia del Teorea y Teorea , u cojuto de variables de la tabla de trasporte es liealete idepediete si y sólo si igú subcojuto de cotiee δ-ciclos, lo cual equivale a que todo subcojuto (o vacío) de satisface que existe ua fila o colua de la tabla de trasporte que cotiee exactaete ua variable del subcojuto. Para justificar los pasos que se realizará para obteer ua ueva s.f.b. a partir de otra, se ecesita el siguiete teorea: Teorea Sea B ua s.f.b. e la tabla de trasporte, y sea x pq ua variable o básica. Etoces, el cojuto de variables B {x pq } cotiee exactaete u δ-ciclo, y tal δ-ciclo cotiee la variable o básica x pq. Deostració: Coo B es u cojuto de variables liealete idepediete, o cotiee δ-ciclos, por lo que si B {x pq } cotiee u δ-ciclo, este debe coteer la variable x pq. Ahora, veaos que existe tal δ-ciclo. Coo B {x pq } está forado por + variables, es liealete depediete, por lo que, aplicado la Observació , cotiee, al eos, u δ-ciclo. Aplicado álgebra lieal, se puede ver que es úico. A cotiuació daos ua ideas geerales sobre los pasos del algorito Costrucció de ua s.f.b. iicial Noteos que es posible ecotrar ua s.f.b., si ecesidad de icluir variables artificiales, aplicado el siguiete lea: Lea Dada ua s.f.b., al eos ua restricció del problea de trasporte cotiee ua úica variable básica. Deostració: Supogaos que todas las restriccioes tuviera, al eos, dos variables básicas. Sea k el úero de variables básicas. Etoces, k 2, y tabié k 2, por lo que tedríaos que k +. Si ebargo, sabeos que el úero de variables básicas es + 1. Basádose e este hecho, se ha desarrollado diferetes criterios para seleccioar ua variable básica: étodo de la esquia oroeste, étodo de íio coste, étodo Vogel, etc, que, usado los teoreas ates deostrados, garatiza ecotrar ua s.f.b. A la variable básica seleccioada por alguo de esos étodos le asigaos el ayor valor posible copatible co la oferta y la deada actuales de su fila y colua. Si la variable toa el valor de la oferta, eliiaos del estudio la fila; si toa el valor de la deada, eliiaos la colua. Después, actualizaos las ofertas y deadas y volveos a seleccioar ua ueva variable básica. El proceso acaba cuado sólo queda ua fila o colua que cosiderar. Etoces se seleccioa todas las variables todavía bajo cosideració y se les asiga el úico valor posible. Autor: Mauel García Narváez

14 8 Capítulo 1. El problea de trasporte Cálculo de los costes argiales de la s.f.b. Para que la s.f.b. actual sea óptia, los costes argiales debe ser ayores o iguales que cero (basta calcularlos para las variables o básicas, puesto que para las variables básicas vale cero). Para calcular los costes argiales hay, básicaete, dos procediietos: el étodo cíclico y el étodo de la variable dual. Este últio, basado e el Teorea de la holgura copleetaria, cosiste e deteriar los valores de las variables duales ũ i, i = 1,..., (asociadas a las restriccioes de oferta), y ṽ j, j = 1,..., (asociadas a las restriccioes de deada), a partir del sistea { ci j ũ i ṽ j = 0, para (i, j) x i j es variable básica ṽ = 0 La solució actual es óptia si c i j ũ i ṽ j 0, i = 1,...,, j = 1,...,. E caso cotrario se costruye ua ueva s.f.b. que ejora (o, al eos, o epeora) el valor de la fució objetivo del problea Costrucció de ua ueva s.f.b. Puesto que la actual s.f.b. o es óptia, debeos hallar ua ueva. Para ello, siguiedo los pasos del étodo siplex, teeos que deteriar ua variable o básica que etre e la base, y ua variable básica que la deje. La variable o básica x kl que etra e la base es aquella que cuple que c kl ũ k ṽ l = i {c i j ũ i ṽ j, i = 1,...,, j = 1,...,} siedo ũ i y ṽ j los valores de las variables duales calculados ateriorete. Usado el Teorea , se costruye el δ-ciclo correspodiete a dicha variable o básica. Asigado δ a las variables e el δ-ciclo coo e el Teorea , y llaado δ al íio valor de las variables básicas del δ-ciclo a las que les correspode δ, la variable básica que deja la base es aquella a la que le correspode δ y adeás tiee valor δ. El resto de variables básicas del δ-ciclo aueta o disiuye su valor δ, de acuerdo co el sigo que tega asigado e el δ-ciclo. Ua vez obteida la ueva s.f.b., volveos al Paso 2 para coprobar si es óptia. Si e la solució óptia del problea de trasporte algua variable o básica tiee coste argial cero e la tabla, etoces existe óptio últiple. Para hallar el cojuto de solucioes óptias, e la tabla óptia, cada variable o básica co coste argial cero etra e la base, obteiedo ua ueva s.f.b. óptia. La cobiació covexa de las s.f.b. así obteidas proporcioa todas las solucioes óptias del problea. Estos pasos so aálogos, co los correspodiete cabios e los costes argiales, e el caso de que queraos axiizar la fució objetivo e el problea de trasporte. Probleas de trasporte y probleas de trasporte co carga fija

15 Capítulo 2 El problea de trasporte co carga fija 2.1. Itroducció El problea de trasporte co carga fija (PTCF) es ua extesió del problea de trasporte estudiado e el Capítulo 1. La pricipal diferecia de este problea co respecto al problea de trasporte radica e que cada ruta (i, j) tiee asociado u coste fijo si se usa, idepediete del úero de uidades de producto que se evíe por ella. Este odelo es u caso particular del problea de prograació lieal co carga fija, cuyo estudio se lleva a cabo itroduciedo variables biarias que garatiza que se icurre e el coste fijo si y sólo si la ruta es utilizada para eviar uidades. El uevo problea es u problea de prograació etera que puede ser resuelto co las técicas usuales [13, 21, 25]. No obstate, las particularidades del problea de trasporte que subyace e la forulació del PTCF ha peritido idetificar étodos de resolució ás eficietes. El problea de prograació lieal co carga fija fue forulado por priera vez e 1954 por los ateáticos aericaos Warre Hirsch y George Datzig. No fue hasta 1961 cuado Michel Baliski foruló el problea tal y coo se cooce e la actualidad. Si ebargo, el prier étodo para resolverlo data de A partir de etoces, ha sido varios los algoritos que se ha ido propoiedo. Los prieros que se utilizaro fuero el étodo de plaos de corte, itroducido por Ralph Goory y Václav Chvátal, y el étodo de raificació y acotació. Abos étodos utiliza el étodo siplex iplícitaete Forulació Hay varias aeras equivaletes de forular el PTCF. E esta secció se va a platear de ua fora que resulta ituitiva y fácilete recoocible. Sea q i j 0 el coste fijo (carga fija) asociado a la ruta (i, j), e y i j variables que toa el valor 0 ó 1, i = 1,...,, j = 1,...,. Mateiedo el resto de las otacioes utilizadas e el Capítulo 1, el PTCF se puede forular coo: Miiizar sujeto a (c i j x i j + q i j y i j ) x i j = s i, i = 1,..., x i j = d j, j = 1,..., y i j = 1 si y sólo si x i j > 0 y i j = 0 si y sólo si x i j = 0 x i j 0, i = 1,...,, j = 1,..., Si se utiliza la ruta (i, j), es decir, x i j > 0, etoces debeos asuir el coste fijo q i j, por lo que 9

16 10 Capítulo 2. El problea de trasporte co carga fija debeos teer que y i j = 1, y viceversa. E cabio, si x i j = 0, etoces o se utiliza la ruta (i, j), por lo que debeos teer que y i j = 0, y viceversa. Adeás, salvo idicació expresa, supodreos que el problea está balaceado. El PTCF se puede expresar e fora atricial coo: Miiizar sujeto a cx + qy AX = b y i j = 1 si y sólo si x i j > 0 y i j = 0 si y sólo si x i j = 0 X 0 dode q = (q 11,q 12,...,q ) El PTCF (y el problea de trasporte) so casos particulares del problea de trasporte cócavo (PTC) [11]. Este problea tiee las isas restriccioes que el problea de trasporte, pero se trata de iiizar la fució objetivo i j φ i j (x i j ), siedo φ i j ua fució cócava. El PTC suele aparecer al cosiderar ecooías de escala. Haciedo uso de esta clase de probleas, se puede ver, al eos teóricaete, que cualquier problea de prograació etera co coeficietes eteros puede forularse coo u PTCF El problea de prograació lieal co carga fija El problea de prograació lieal co carga fija, coo heos señalado ateriorete, fue estudiado por Hirsch y Datzig e su artículo "The fixed charge proble" [16]. Auque o resolviero el problea, dedujero alguas propiedades sobre su solució óptia. El problea de prograació lieal co carga fija forulado por Hirsch y Datzig es: Miiizar sujeto a (α i x i + β i y i ) PX = Q y i = 1 si y sólo si x i > 0 y i = 0 si y sólo si x i = 0 X 0 dode α i, β i so costates, i = 1,...,; X = (x 1,...,x ) t es el vector de variables de diesió ; Q es u vector de coeficietes de diesió, co < ; y P es ua atriz de coeficietes. Hirsch y Datzig propoe la siguiete iterpretació de este problea. Cosidereos ua copañía que dispoe de áquias, cada ua de las cuales puede realizar cualquiera de trabajos distitos. Sea c i j y h i j el coste y el tiepo epleado cuado la áquia j realiza la operació i sobre ua uidad de producto, respectivaete. Sea q i j el coste fijo asociado a preparar la áquia j para realizar la operació i (supodreos despreciable el tiepo ivertido e esta actividad). Sea x i j la catidad de producto a la que la áquia j le realiza la operació i. Sea b i la catidad total de producto sobre la que hay que realizar la operació i. Sea c j el total de horas de dispoibilidad de la áquia j. Sea y i j ua variable biaria que toa el valor 1 si x i j > 0 y 0 e caso cotrario, i = 1,...,, j = 1,...,. Etoces, el problea de iiizar el coste total asociado a que el producto reciba las operacioes ecesarias será el siguiete problea de prograació lieal co carga fija: Probleas de trasporte y probleas de trasporte co carga fija

17 2.3. El problea de prograació lieal co carga fija 11 Miiizar sujeto a (c i j x i j + q i j y i j ) x i j = b i, i = 1,..., h i j x i j = c j, j = 1,..., y i j = 1 si y sólo si x i j > 0 y i j = 0 si y sólo si x i j = 0 x i j 0, i = 1,...,, j = 1,..., El problea de prograació lieal co carga fija es difícil de resolver e geeral. Si ebargo, e el caso particular de que las cargas fijas β i sea todas iguales y o egativas, el problea se reduce a resolver u problea de prograació lieal, coo deuestra el siguiete teorea. Teorea Sea φ(x) = α i x i + β y i, φ 1 (X) = α i x i co β costate o egativa, fucioes a iiizar sujetas a las restriccioes del problea de prograació lieal co carga fija. Supoeos que Q o está geerado por eos de coluas de P (hipótesis de o degeeració). Etoces existe u puto extreo ˆX, co exactaete copoetes o ulas, e el que φ y φ 1 se iiiza. Adeás, si u puto co copoetes o ulas iiiza φ 1, etoces tabié iiiza φ. Deostració: Bajo la hipótesis de o degeeració, teeos que cualquier vector X de diesió que cupla que PX = Q tiee al eos copoetes o ulas. Sea X el cojuto de todos estos vectores X. Etoces, usado ua desigualdad del íio y observado que y i es el úero de copoetes o ulas del vector (x 1,...,x ), teeos que i φ(x) i φ 1(X) + β i X X X X X X y i i X X φ 1(X) + β (2.1) Coo φ 1 es ua fució lieal, iiizar φ 1 respecto a las restriccioes del problea co carga fija es u problea de prograació lieal, por tato, existe u puto extreo ˆX, co exactaete copoetes o ulas (por la hipótesis de o degeeració), que iiiza φ 1. Toado dicho puto y usado las desigualdades 2.1, teeos que φ( ˆX) i φ(x) i φ 1(X) + β = φ 1 ( ˆX) + β = φ( ˆX) X X X X Por tato, llegaos a que φ( ˆX) = i φ(x), lo cual prueba las dos partes del teorea. X X Coo cosecuecia del Teorea , es posible usar el étodo siplex para resolver el problea de prograació lieal co carga fija cuado las cargas fijas so iguales y o egativas. Hirsch y Datzig tabié estudiaro ua geeralizació del problea de prograació lieal co carga fija, uy relacioado co el problea de trasbordo. Las restriccioes so las isas que e el problea origial, pero la fució objetivo a iiizar es α i x i + p β r δ r=1 ( ) rk x i i=(r 1)k+1 dode = kp (k es divisor de ); y δ(u) vale cero si u es cero, y uo si u es ayor que cero. Claraete, si k = 1 y p =, teeos φ. Tabié se puede ver que el íio del problea de prograació lieal co carga fija geeralizado se alcaza e u puto extreo. Autor: Mauel García Narváez

18 12 Capítulo 2. El problea de trasporte co carga fija Teorea La solució óptia del problea de prograació lieal co carga fija es u puto extreo. La deostració se puede ecotrar e [16], y se puede deostrar usado variedades, o directaete co la defiició de puto extreo, viedo que para todo vector X de copoetes existe u puto extreo X tal que φ(x ) φ(x), siedo φ la fució objetivo del problea de prograació lieal co carga fija U étodo aproxiado de resolució Coo heos señalado ateriorete, e 1961, el ateático aericao Michel Baliski forula ua solució aproxiada del PTCF e su artículo "Fixed-cost trasportatio probles" [6]. Baliski forula el PTCF de la siguiete fora: Miiizar sujeto a (c i j x i j + q i j y i j ) x i j = s i, i = 1,..., x i j = d j, j = 1,..., 0 x i j i j y i j, i = 1,...,, j = 1,..., 0 y i j 1, y i j etero, i = 1,...,, j = 1,..., (2.2) dode i j = i (s i,d j ). Esta forulació es equivalete a la presetada e la secció 2.2. E efecto, veaos que la tercera y la cuarta restricció hace que se cupla las restriccioes sobre las variables y i j. Si y i j = 0, por la tercera restricció, x i j = 0. Si x i j > 0, y i j o puede ser cero por la tercera restricció y, para que se cupla la cuarta, y i j debe ser uo. Adeás, si x i j = 0, y i j puede ser cero o uo pero, coo se está iiizado la fució objetivo, será cero; y, por lo tato, tabié se cuplirá el últio requisito, que y i j = 1 iplica que x i j > 0. Ates de explicar la aproxiació de Baliski, estudiareos alguas propiedades del PTCF. La priera es que este problea posee ua solució óptia etera, coo deuestra el siguiete teorea. Teorea Existe ua solució (X,Y ) del PTCF tal que X es etero. Deostració: Sea (X 0,Y 0 ) = {xi 0 j,y0 i j } ua solució óptia del PTCF. Defiios el siguiete problea Miiizar sujeto a c i j x i j x i j = s i, i = 1,..., x i j = d j, x i j 0, i = 1,...,, j = 1,..., j = 1,..., (2.3) dode c i j = c i j si y 0 i j = 1, y c i j = M si y 0 i j = 0, co M ua costate suficieteete grade. Etoces, X 0 es ua solució óptia de (2.3). Por otro lado, este problea tiee ua solució óptia etera X, por ser u problea de trasporte. Adeás, es iediato coprobar que (X,Y 0 ) es ua solució óptia del PTCF. Vaos a cosiderar el PTCF (2.2) si las restriccioes de itegridad, que llaaos PTR (problea de trasporte relajado): Probleas de trasporte y probleas de trasporte co carga fija

19 2.4. U étodo aproxiado de resolució 13 Miiizar sujeto a (c i j x i j + q i j y i j ) x i j = s i, i = 1,..., x i j = d j, j = 1,..., 0 x i j i j y i j, i = 1,...,, j = 1,..., 0 y i j 1, i = 1,...,, j = 1,..., (2.4) Teorea Si ( X,Ȳ ) = { x i j,ȳ i j } es ua solució óptia del PTR, etoces x i j = i j ȳ i j. Deostració: Si ȳ i j = 0, etoces x i j = 0, y se cuple la codició. Si, por el cotrario, ȳ i j > 0, supogaos que o se cuple la codició del teorea, es decir, x i j < i j ȳ i j. E este caso, podríaos ecotrar u valor ȳ i j < ȳ i j, que siguiera cupliedo las restriccioes del PTR, co eor valor de la fució objetivo, cotradiciedo que ( X,Ȳ ) es ua solució óptia del PTR. E cosecuecia, si teeos ua solució óptia del PTR ( X,Ȳ ) = { x i j,ȳ i j }, etoces ȳ i j = x i j / i j. Por tato, resulta atural platearos el siguiete problea: Miiizar sujeto a (c i j + q i j / i j )x i j x i j = s i, i = 1,..., x i j = d j, x i j 0, i = 1,...,, j = 1,..., j = 1,..., (2.5) Este problea es fácil de resolver por ser u problea de trasporte. Sea {x i j } ua solució óptia. A partir de ella podeos costruir ua solució factible del PTCF {xi j,y i j }, co x i j = y i j = 0 si x i j = 0 x i j = x i j, y i j = 1 si x i j > 0 Esta solució factible {xi j,y i j } es la que toa Baliski coo aproxiació a la solució óptia del PTCF. Tabié podeos obteer ua solució óptia { x i j,ȳ i j } del PTR, co x i j = x i j e ȳ i j = x i j/ i j por lo que resolver u PTR es equivalete a resolver u problea de trasporte ordiario. De las solucioes {xi j,y i j } y {x i j } podeos deducir uas cotas para el valor óptio de la fució objetivo del PTCF. Sea {xi 0 j,y0 i j } ua solució óptia del PTCF. Defiios z 0 = z + = z = (c i j x 0 i j + q i jy 0 i j ) (c i j x i j + q i jy i j ) (c i j + q i j / i j )x i j Es iediato coprobar que la fució objetivo del problea (2.5) evaluada e {x i j } tiee el iso valor que la fució objetivo del PTCF e { x i j,ȳ i j }. Por tato, coo {xi 0 j,y0 i j } es ua solució factible del PTR, se tiee que z z 0. Adeás, coo {xi j,y i j } es ua solució factible del PTCF, tabié se tiee que z 0 z +. Así pues, z z 0 z + (2.6) Autor: Mauel García Narváez

20 14 Capítulo 2. El problea de trasporte co carga fija Baliski usó esta aproxiació e varios ejeplos. Si ebargo, coo la solució exacta o era coocida, o fue posible copararlas. El estudio y evaluació de esta aproxiació la llevaro a cabo Robers y Cooper e u trabajo posterior Evaluació del étodo aproxiado de Baliski E 1976, Philip Robers y Leo Cooper publicaro el artículo titulado "A study of the fixed charge trasportatio proble" [22], e el cual evalúa el étodo de aproxiació de Baliski para la solució del PTCF expuesto e la secció 2.4. Dada la dificultad e aquel oeto de ecotrar la solució óptia para el PTCF e geeral, geeraro ua serie de probleas cuya solució óptia era coocida de ateao. Para aalizar la solució proporcioada por el étodo de Baliski, utilizaro tres estadísticos, descritos e la Tabla 2.1. Tabla 2.1: Estadísticos Nobre Fórula Descripció Ídice de posició z 0 z z + z Error porcetual 100 z + z 0 Achura de itervalo porcetual z z + z z 0 Mide dode se ecuetra z 0 e el itervalo [z,z + ] Mide la diferecia etre la solució real y la aproxiada Mide la achura del itervalo [z,z + ] Ua vez aalizados los resultados, se pudo observar que la cota iferior de la solució del PTCF, z, estaba uy por debajo de la solució real, por lo que, e geeral, o era u dato útil. Tabié se coprobó que tato el error porcetual coo la achura de itervalo porcetual era grades si el problea resuelto teía cargas fijas grades y, por el cotrario, al disiuir las cargas, estos estadísticos disiuía tabié. Este hecho puede justificarse observado que, si {q i j } toa valores pequeños, el PTCF origial y el problea (2.5) so siilares. Estos estadísticos tabié aueta (o liealete) cuado el taaño del problea aueta. Si ebargo, cuado la proporció etre y disiuye (hay uchos ás destios que orígees), los estadísticos disiuye. Ituitivaete, este hecho se justifica observado que, la deada de u destio, al haber eos orígees, puede ser satisfecha por u úico orige e uchos casos e la solució óptia (ya que la solució tedrá coo ucho + 1 valores o ulos). E esos casos, i j = i (s i,d j ) = xi 0 j, y el coste de trasportar de i a j es el iso e los dos probleas, por lo que la solució del PTCF y del problea (2.5) será siilar. E geeral, se puede deducir que la aproxiació de Baliski da bueas solucioes, pero Robers y Cooper desarrollaro ua ejora de este procediieto que proporcioa ejores resultados (al eos o peores). La odificació propuesta coieza calculado la solució de Baliski, que sabeos que es u puto extreo. A cotiuació, se deteria las s.f.b. adyacetes a esta y se elige la de eor coste e la fució objetivo. Si el coste es eor que e la s.f.b. actual se sustituye esta por aquella y se aplica de uevo el procediieto de deteriació de sus solucioes adyacetes; e caso cotrario, el procediieto acaba y se toa coo solució la últia s.f.b. calculada co el procediieto. Co este étodo, se obtiee la solució óptia e la ayoría de los probleas estudiados e el artículo [22]. Probleas de trasporte y probleas de trasporte co carga fija

21 2.6. U algorito basado e el procediieto de Beders U algorito basado e el procediieto de Beders E 1964, Kurt Spielberg publicó el artículo "O the fixed charge trasportatio proble" [24], e el que se propoe el prier algorito para resolver el PTCF. Spielberg idetifica el PTCF coo u caso particular de u problea de prograació etero ixto (PPEM) estudiado por Jacques Beders [8], lo cual hace posible costruir u algorito iterativo que cosiste e resolver sucesiva y alterativaete probleas de trasporte y de prograació etera. Para peritir ua ejor asociació etre el PPEM y el PTCF, Spielberg escribe este últio problea de la siguiete fora: Maxiizar (cx + qy ) sujeto a AX b X MY ΨY = Y X,Y 0 x i j s i, i = 1,..., x i j d j, j = 1,..., dode Y = (y 11,y 12,...,y ) t, M y Ψ so las siguietes atrices diagoales 11 y M =..., Ψ = y y y i j = i (s i,d j ). Noteos que, e esta forulació, se ha ultiplicado por 1 la fució objetivo. Adeás, se ha debilitado ligeraete la restricció de la oferta y la deada, ya que al ser ua desigualdad, peritios que el orige i o tega que distribuir toda su oferta y el destio j pueda recibir ás que su deada iicial (deada íia). De fora aáloga a coo heos hecho e la secció 2.4, se puede coprobar fácilete que la seguda y la tercera restricció fuerza a que se cupla las restriccioes sobre las variables y i j. El PPEM se forula coo: ax{γ t X + f (Y ) ÃX + E(Y ) a, X 0, Y S} dode S es u cojuto cerrado y acotado de vectores. Para su resolució, se cosidera los siguietes probleas auxiliares { ( ) } x0 ax x 0 G (2.7) Y {( x0 co G = Y ) u 0 x 0 + u t E(Y ) u 0 f (Y ) u t a, (u 0,u) t C, Y S }, y ax {γ t X ÃX a E(Ȳ ), X 0} (2.8) dode x 0, u 0 so escalares, u es u vector colua, Ȳ es u vector Y solució del prier problea (2.7), y {( ) } u0 C = Ã t u γu u 0 0, u 0, u 0 0 Autor: Mauel García Narváez

22 16 Capítulo 2. El problea de trasporte co carga fija La razó de cosiderar estos dos probleas es que, si teeos ( x 0,Ȳ ) solució óptia de (2.7), etoces (2.8) es factible, y su solució óptia es X, co γ t X = x 0 f (Ȳ ). Adeás, ( X,Ȳ ) es solució óptia del PPEM. Por lo tato, este problea se reduce a estudiar estos dos probleas auxiliares. Beders deostró que G se puede aproxiar por ua secuecia de G(Q k ), k = 0,1,..., dode {( G(Q k x0 ) = Y ) } u 0 x 0 + u t E(Y ) u 0 f (Y ) u t a, (u 0,u) t Q k C, Y S El paso 0 coieza co u subcojuto Q 0 de C cualquiera. A cotiuació, co el objetivo de resolver el PPEM, cosideraos, e el paso k, el problea ax { ( x0 x 0 Y ) } G(Q k ) aálogo al problea (2.7), cuya solució óptia deotaos ( x k 0 el problea origial tiee solució óptia. A cotiuació, se resuelve el problea aálogo al problea (2.8), o su correspodiete dual Y k (2.9) ). Esta solució óptia existe si ax {γ t X ÃX a E(Y k ), X 0} (2.10) i {(a E(Y k )) t u à t u γ, u 0} (2.11) El problea dual es u problea factible. E cuato al problea (2.10), cabe dos posibilidades (oteos que estaos e el paso k): 1. Es factible. E tal caso, los dos probleas, (2.10) y (2.11), tiee solució óptia fiita, X k, u k, respectivaete. Cosideraos la fució F k F(u k,x k 0,Y k ) = x k 0 f (Y k ) (a E(Y k )) t u k Se puede deostrar, observado que G G(Q k ), que F k 0. Si F k = 0, acaba las iteracioes y la solució del PPEM es X = X k e Y = Y k. {( )} 1 Si, por el cotrario, F k > 0, etoces se cosidera Q k+1 = Q k u k, y se va al paso k No es factible. Coo el problea dual es factible, etoces ha de ser o acotado. Aplicado el étodo siplex, obteeos û k vértice de P y ũ k direcció extrea de C 0, dode P = {u à t u γ, u 0} y C 0 = {u à t u 0, u 0}. {( )} 0 Si F(û k,x0 k,y k ) 0, se cosidera Q k+1 = Q k, y se va al paso k + 1. {( 0 Si F(û k,x0 k,y k ) > 0, se cosidera Q k+1 = Q k ũ k ũ k ) ( 1, û k )}, y se va al paso k + 1. Beders [8] deostró que el úero de iteracioes ecesarias para pasar de Q k a Q k+1 es fiito, por lo que el procediieto teria co ua solució del PPEM. Exaiado el PTCF, podeos observar que es u caso particular del PPEM, si ás que toar Probleas de trasporte y probleas de trasporte co carga fija

23 2.6. U algorito basado e el procediieto de Beders 17 γ t = c, f (Y ) = qy ( ) A Ã = I E(Y ) t = (0,...,0, }{{} 11 y 11,..., y ) + a t = (b t,0,...,0) }{{} La restricció ΨY = Y se icluye al restrigir el doiio de los vectores Y, S, a vectores de copoetes 0 ó 1. Las variables duales las expresaos coo u t = (u 1,...,u,v 1,...,v,w 11,...,w ). Así pues, los cojutos C y G(Q k ) puede escribirse coo G(Q k ) = C = { ( x0 Y {( u0 u ) u i v j + w i j + u 0 c i j 0; u i, v j, w i j, u 0 0, i, j ) u 0 x 0 d(u i,v j ) + y i j ( i j w i j q i j u 0 ), (u 0,u i,v j,w i j ) t Q k } co d(u i,v j ) = u t a = d j v j s i u i Siguiedo los pasos descritos ateriorete para resolver el PPLEM, si estaos e el paso k, se epieza resolviedo el problea (2.9), cuya forulació es ahora la siguiete: ax { x 0 u k 0 x 0 d(u k i,vk j ) + y i j ( i j w k i j q i ju k 0 ), y i j = 0,1, k = 0,1,... Coo se está resolviedo u problea de trasporte, se debe ipoer que s i y i j d j y d j y i j s i, lo que restrige el doiio de S e Y, ya que la oferta total potecialete dispoible para cada destio debe, al eos, igualar su deada, y cada orige puede eviar a lo suo la totalidad de su oferta, respectivaete. A cotiuació, se resuelve el problea (2.10), cuya forulació es la siguiete: ax{ cx AX b, x i j i j y k i j, x i j 0} (2.12) Se puede iterpretar coo u problea de trasporte e el que la ruta (i, j) está prohibida si y k i j = 0, ya que etoces x i j = 0. Para resolver este problea, se le asocia u problea de trasporte estádar e el que las rutas prohibidas tedrá u coste alto: ax{ (c + M k ) t X AX b, x i j 0} (2.13) dode Mi k j = M si yk i j = 0, y Mk i j = 0 si yk i j = 1, siedo M ua costate positiva suficieteete grade. Hay que cosiderar dos casos: Caso 1: La solució óptia del problea (2.13) o depede de M. E este caso, esta es la solució del problea co rutas prohibidas (2.12). Resolviedo a su vez su problea dual, y aplicado la igualdad e las fucioes objetivo del problea prial y del problea dual, se tiee todos los datos que perite evaluar la fució F k = x k 0 + d(u k i,v k j) + costruir Q k+1 y pasar al paso k + 1. y k i j(q i j i j w k i j) } } Autor: Mauel García Narváez

24 18 Capítulo 2. El problea de trasporte co carga fija Caso 2: La solució del problea depede de M. E este caso, (2.12) o es factible. Por tato, su dual es o acotado. Siguiedo el procediieto descrito por Spielberg [24], se puede obteer el vértice û k y la direcció extrea ũ k de o acotació. A cotiuació se costruye Q k+1 y se pasa al paso k U algorito basado e fijar las variables biarias E 1968, Paul Gray, e su artículo "Exact solutio of the fixed-charge trasportatio proble" [15], propoe u étodo para ecotrar ua solució exacta al PTCF basado e fijar las variables eteras y resolver el problea de trasporte asociado. Cosidereos la siguiete forulació del PTCF: Miiizar sujeto a (c i j x i j + q i j y i j ) x i j s i, i = 1,..., x i j d j, j = 1,..., x i j i j y i j, i = 1,...,, j = 1,..., x i j 0, i = 1,...,, j = 1,..., y i j {0,1}, i = 1,...,, j = 1,..., co i j = i (s i,d j ). Supogaos que se ha fijado los valores de las variables biarias y i j, i = 1,...,, j = 1,...,. Sea estos valores ȳ i j. El problea que resulta es u problea de trasporte e el que la ruta (i, j) está prohibida si ȳ i j = 0: Miiizar sujeto a c i j x i j x i j s i, i = 1,..., x i j d j, j = 1,..., x i j i j ȳ i j, i = 1,...,, x i j 0, i = 1,...,, j = 1,..., j = 1,..., (2.14) Ya vios e la secció 2.6 aterior coo abordar este problea. Si el problea (2.14) o tiee solució factible para {ȳ i j } fijadas, etoces el PTCF tapoco la tiee para esos isos valores de ȳ i j. Si (2.14) tiee solució óptia { x i j }, etoces { x i j,ȳ i j } es ua solució factible del PTCF. Teiedo e cueta estos coetarios, se puede propoer el siguiete algorito para calcular la solució exacta del PTCF: Paso 1: Euerar los posibles vectores Ȳ = (ȳ 11,...,ȳ ). Paso 2: Resolver el problea (2.14) para cada Ȳ. Paso 3: Para cada solució óptia del problea (2.14), calcular óptia del PTCF es { x i 0 j,ȳ0 i j } para la que el cálculo aterior es íio. (c i j x i j +q i j ȳ i j ). La solució Este algorito o es eficiete desde el puto de vista del tiepo ivertido e la resolució del problea, ya que el úero de vectores Ȳ a cosiderar es uy grade, por lo que Gray calculó cotas Probleas de trasporte y probleas de trasporte co carga fija

25 2.7. U algorito basado e fijar las variables biarias 19 para la carga fija total de la solució óptia del PTCF co el fi de reducir el úero de vectores Ȳ a cosiderar. Supogaos que se tiee ua solució factible del PTCF (por ejeplo, la que propoe Baliski, descrita e la secció 2.4). Sea Z 0 el valor de su fució objetivo. Sea Z i el valor óptio de la fució objetivo del PTCF co cargas fijas ulas (se reduce a u problea de trasporte ordiario). Etoces, CF ax = Z 0 Z i es ua cota superior de la carga fija total de la solució óptia del PTCF. Esta cota se puede ejorar ya que, fijado los {ȳ 1 j }, para j = 1,...,, y llaado Z i1 al valor óptio de la fució objetivo del PTCF co las {ȳ 1 j } fijadas, teeos que ua cota superior ejorada es Z 0 Z i1, ya que Z i1 Z i. La cota se puede ir ejorado fijado sucesivos valores {ȳ i j }. Para reducir aú ás el úero de vectores Ȳ a cosiderar e el algorito aterior, se puede usar las siguietes propiedades: a) La solució óptia del PTCF es u puto extreo (Teorea , secció 2.3), por lo que si {xi 0 j,y0 i j } es ua solució óptia, el úero de eleetos o ulos de {x0 i j } es a lo suo + 1, y, por tato, lo iso le ocurre al úero de eleetos o ulos de {y 0 i j }. b) Coo ya se ha señalado e la secció 2.6, j = 1,...,. d j y i j s i, i = 1,...,, y s i y i j d j, c) Debe haber al eos ua ruta abierta a cada destio. d) Para cada destio abastecido por u úico orige, puede eliiarse el destio del estudio y reducir la oferta del orige e la deada del destio cosiderado. Para cada orige que abastece u úico destio puede eliiarse dicho orige del estudio y reducir la deada de ese destio e la oferta del orige cosiderado. Utilizado estas últias propiedades y las cotas ates calculadas, Gray desarrolla u algorito para reducir el úero de vectores Ȳ a cosiderar, de aera que pudiera aplicarse el algorito presetado ateriorete y resolver el PTCF: Iicializació: Paso 1 : Reordear los orígees del PTCF e orde decreciete segú su oferta. Paso 2 : Para cada orige, calcular la deada total para cada cobiació de rutas abiertas. Si la oferta es ayor que la deada e ua cobiació, etoces dicha cobiació o es factible, y se le asiga ua carga fija M, siedo M ua costate suficieteete grade. Paso 3 : Para el resto de cobiacioes, calcular el coste fijo total asociado. Paso 4 : Para cada orige, ordear las cobiacioes de destios e orde creciete segú su coste fijo total. Paso 5 : Crear ua tabla, represetado los orígees e las filas, las cobiacioes de destios e las coluas, y los costes fijos totales e cada casilla. La deotaos tabla de costes fijos. Paso 6 : Para cada fila de la tabla de costes fijos, buscar la ayor carga fija total peritida, que se obtiee restado a CF ax la sua de las cargas fijas ás pequeñas de las otras filas. Acotació (supogaos que ya heos aplicado esta parte para los prieros k orígees): Paso 7 : Resolver el PTCF co las rutas abiertas especificadas desde el orige 1 hasta el k, y co todas las rutas desde el orige k + 1 hasta el abiertas. Paso 8 : Calcular CF ax. Autor: Mauel García Narváez

26 20 Capítulo 2. El problea de trasporte co carga fija Iteració: Paso 9 : Toar la siguiete cobiació de los prieros 1 orígees. Si al Paso 10. E caso cotrario, se repite el Paso 9. Paso 10 : Descartar las cobiacioes e las que hay ás de + 1 rutas abiertas. s i y i j d j, se pasa Paso 11 : Deteriar la factibilidad de las cobiacioes observado si se cuple las propiedades b) y d) ateriorete descritas. Paso 12 : Si ua de las cobiacioes es coherete co el valor de CF ax y cuple las propiedades b) y d), se resuelve el PTCF co las rutas las rutas abiertas de esa cobiació. Paso 13 : Abrios la últia ruta que o lo esté. Si la cobiació o es coherete co el valor de CF ax, se vuelve al Paso 9, e otro caso, se vuelve al Paso 10. Si o hay ás cobiacioes a cosiderar, el algorito acaba Revisió bibliográfica actualizada Fialete, e esta secció se icluye ua revisió bibliográfica de trabajos recietes sobre el PTCF, ya que e la actualidad se sigue ivestigado uevos étodos de resolució y reforulacioes del problea que perita ua resolució ás rápida y eficiete. E lo que se refiere a la forulació de algoritos exactos para la resolució del problea cabe destacar [2, 5, 18]. E [2] se desarrolla u algorito de raificació y acotació co alguas odificacioes a la hora de excluir raificacioes y liitar la solució a deteriadas zoas. E [5] se estudia la proyecció poliédrica de la estructura del PTCF e el espacio de las variables biarias asociadas, y se desarrolla u algorito coputacioalete eficiete. Por últio, e [18] se propoe u rápido algorito para resolver PTCF de pequeño taaño, descopoiedo el problea e varios pequeños subprobleas. E u futuro, esta vía podría ser geeralizada para probleas de ayores diesioes. Ate la dificultad e ocasioes de ecotrar la solució óptia del PTCF, tabié ha sido varias las ivestigacioes cetradas e algoritos heurísticos o aproxiados [3, 4, 9, 19, 23, 26], que se basa, etre otros procediietos, e técicas de relajació lagragiaa, e algoritos para resolver probleas de áxio flujo co íio coste, e algoritos iterativos, o e los llaados algoritos geéticos, que se basa e los procesos geéticos de los orgaisos vivos estudiados por Charles Darwi, y que está cobrado iportacia e los últios años. Probleas de trasporte y probleas de trasporte co carga fija