Tecnología, reflexiones matemáticas Technology, math reflection

Transcripción

1 Tecología, relexioes ateáticas Techology, ath relectio Jua Marcos Ortíz Olvera* Resue El trabajo preseta eleetos de ecooía ateática ecesarios para eteder el papel de la tecología e la geeració de ucioes de producció, isocuatas y para deteriar la eiciecia e la producció. Palabras clave: Abstract The paper shows cocepts o atheatic ecooics eeded to get a better uderstadig o techology ad its relatioship with the cocepts o productio uctio, isoquat, ad ecooic eiciecy. Keywords: Ecooía Producció Mateáticas JEL C02, D24, L11 Ecooy Productio Matheatics 1. Itroducció El presete esayo revisa, teóricaete, las posibilidades de ua tecología, etediédola coo ua trasoració ateática de u cojuto de isuos a u cojuto de productos, para producir u excedete de biees, ya sea para cosuirse o ivertirse, peritiedo la satisacció de ecesidades sociales y el creciieto del sistea productivo. El trabajo se cetra e caracterizar el cocepto tecología. La seguda secció trata de la deiició del cocepto tecología, la tercera caracteriza los rediietos a escala para la producció de u bie a partir de isuos y la últia, preseta ua geeralizació de la producció siultáea de varios biees. Propogo partir de la siguiete idea: el proceso de producció de biees a partir de isuos se deie por ua trasoració del coo positivo de, u espacio de isuos, al coo positivo de, espacio de productos. Para = 1, la producció eiciete de u bie será caracterizada por ua ució, llaada ució de producció, de isuos a productos, esto es del coo positivo a la recta real positiva. Utilizado los supuestos teóricos clásicos, la ució de producció es al eos cuasi-cócava y la oció de rediietos costates a escala se idetiica co ucioes de producció hoogéeas de prier grado. E este setido, la gráica de la tecología es u coo covexo. 1 E aras de geeralizar el cocepto y capacidades descriptivas de las ucioes de producció es ecesario desarrollar dos ideas: priero, la deiició geeral de eiciecia; y segudo, ua deiició geeral de rediietos a escala. La secció cuarta desarrolla tales objetivos. E dicha secció se aplia el cocepto de eiciecia, priero e el caso geeral e el que la correspodecia de isuos tega iágees covexas y, posteriorete, el de tecologías de rediietos o crecietes a escala, es decir, de gráica covexa. 1 Vaos a eteder el cojuto de posibilidades de producció coo la gráica de ua trasoració que ada isuos a productos, icluyedo a la producció ieiciete. * Proesor de la Facultad de Ecooía de la UNAM. Ecooía Iora ú. 378 eero - ebrero

2 Ecooía Iora ú. 378 eero - ebrero 2013 Por su iportacia e la costrucció de producció y la cetralidad e odelos ecoóicos es ecesario revisar los coceptos que perite geerar las ucioes de producció: para tal objetivo es ecesario eteder el costructo ateático llaado tecología. 2. La correspodecia de producció Se asue que cualquier ecooista está ailiarizado co la ució de producció,, oótoa o decreciete y que preseta rediietos argiales decrecietes. La ució de producció represeta úicaete la producció eiciete, e el setido de que, co isuos x, o es posible producir ás de (x). Vaos a cosiderar ua represetació de la tecología e térios que se perita aalizar: a) La producció siultáea de varios biees. b) Todas las posibilidades de producció. 2 Lo últio es ecesario para deiir qué es producció eiciete de varios biees, que iplica cobiacioes de productos y o sipleete la catidad de uo sólo de ellos, coo e el caso de la ució de producció. 3 Etoces, os reerios a la producció de biees a partir de isuos, co ua tecología que es ua trasoració de isuos e productos. Por lo tato, la tecología se etederá coo ua trasoració ateática P, de u espacio de isuos X a u espacio de productos Y. U eleeto x del espacio de isuos es ua lista de catidades de distitos biees, que la tecología usa para producir otra lista de biees y, que es u eleeto del espacio de productos. La iage P(x) de u eleeto del espacio de isuos es el cojuto de todas las listas de productos que la tecología P puede producir a partir de x. 4 La ora e que se describe, hace que su represetació ateática sea coo ua ució del espacio de isuos a la clase de los subcojutos del espacio de 2 No sólo las eicietes. 3 La ució de producció se obtedrá a partir de codicioes de eiciecia cuado se da las posibilidades de tecología. 4 Es atural eteder a la lista de catidades de biees coo u vector o egativo. Para el caso de u úero iito de biees se cosidera, si pérdida de geeralidad, el coo positivo del espacio euclidiao de diesió, coo espacio de isuos, y a, el coo positivo del espacio euclidiao de diesió, coo espacio de productos, dode y so eteros positivos o ecesariaete distitos. Adeás, o hay igú otivo para restrigir la teoría a espacios de diesió iita, y hay varios tópicos de teoría ecoóica e que dicha restricció o es deseable. Para la relexió, y e pro de la siplicidad, trabajareos co u úero iito de isuos y productos. 52

3 Jua Marcos Ortíz Olvera productos:, Px ( ). P se verá etoces coo ua correspodecia. x : P : La correspodecia P se llaa correspodecia de producció. La correspodecia P 1, iversa de P, del espacio de productos al de isuos, de iágees 1 P ( y) = { x y Px ( ), es la correspodecia de isuos; la iage de u vector de productos y bajo la correspodecia de isuos cotiee a las listas de biees 1 co las que se puede producir el vector y: x P ( y) sí y sólo si x sirve para producir y. la gráica de P es el cojuto {(, ) grp = x y y P( x)}. U puto ( x, y) grp es u prograa de producció. Ahora ya estaos e codicioes de proporcioar ua deiició oral. Para ello seguireos la propuesta de Shepard. Por lo que se deie lo siguiete: Sea X, Y dos espacios vectoriales orados y ordeados por el orde parcial. La correspodecia P: X Y, co espacio de isuos X y espacios de productos Y, es ua tecología si satisace: P1) P (0) = {0} P2) x iito que P(x) es u cojuto acotado P3) Si x 0 y, para algú escalar l > 0, P( l x) {0}, etoces y P( l y) y todo escalar > 0, l p, tal que y P( l x) P4) x' x Px ( ) Px ( ') P5) y' y y Px ( ) Px ( ') y' Px ( ) P6) P 1 ( y) es covexo para todo y e el rago de P. P7) La gráica de P es u subcojuto cerrado de X Y. Los ateriores postulados será de utilidad ás adelate. 53

4 Ecooía Iora ú. 378 eero - ebrero Fucioes de producció y rediietos a escala La presete secció trata el caso particular de = 1, para caracterizar, e térios de la correspodecia de producció, a la ució de producció. 5 Cuado > 1 este cocepto o es utilizable, por lo que ás adelate se preseta la geeralizació. Sea P : ua tecología que produce u solo bie a partir de isuos. Partiedo de que P2 se sostiee, se tiee que :, deiida por ( x) = sup y= sup Px ( ) y P( x) Es ua ució y está deiida para todo x dop. Etoces, se llaa la ució de producció asociada a P. 6 De aquí e adelate, llaareos ució de producció a cualquier ució : que satisaga F1-F3 y F5. 7 Ahora es ecesaria otra deiició. 8 La ució rediietos a escala asociada a la ució de producció de clase C 1 se deie coo: ( x) = li l 1 Si tal líite existe. 9 l ( l x) ( l x) l Co la deiició aterior podeos costruir el siguiete teorea 5 Se podría pesar que los ecooistas, dado el uso extesivo que le da, etiede copletaete las iplicacioes de la ució de producció. 6 Para eectos de brevedad, o se deuestra que los postulados P1-P7 se sostiee, adeás que F1) (0) = 0. F2) está acotado F3) Es oótoa y o decreciete e x. F4) 1 P( x) = [0, ( x)]; P ( y) = L ( y) = { x y ( x)} F5) es cuasicócava. Se sugiere al lector realizar la deostració coo ejercicio. 7 F4 iplica que la gráica de P es el cojuto: grp = {( x, y ) } La hipográica de. 8 Ver Nadiri (1982). 9 Se puede apreciar que la deiició 2 es el líite de ua elasticidad, por lo que se puede reescribir coo: li l 1 log( l x) log( l ) De odo que la ució de rediietos a escala es la elasticidad de a la escala (l) evaluada e x. 54

5 Jua Marcos Ortíz Olvera Teorea 1. Sí y solaete si es hoogéea de grado k < 0, = k x Do. Deostració. Priera parte. Supoga que existe ( x) = k para todo x. Si haceos u = lx. Etoces: k = ( x) = l 1 li l 1 l ( u) u ( u) u l l u ( ) x = li. x = ( u) u ( u) x De dode por el teorea de Euler, es hoogéea de grado k. 10 k Seguda parte. Sea ( l x) = l ( x). Etoces: li l ( l x) l = ( ) ( ) li k l x l l ( x) l l 1 l 1 li l k 1 = kl = l 1 ( l x) k k () l ( x) Q.E.D. Teiedo el aterior teorea ahora se requiere la siguiete deiició: Se dice que tiee rediietos crecietes (costates, decrecietes a escala si ( x) = k, co k > 1(= 1, < 1, respectivaete), para todo x Do. Esto os coduce al siguiete teorea: Teorea 2. Sea :. Los siguietes asertos so equivaletes: a) es cuasicócava y hoogéea de prier grado. b) La hipográica de es u coo covexo cerrado e puta. Deostració. Al ser cuasicócava y hoogéea iplica que es cócava, 1 de dode hipo es u subcojuto covexo de. Dado que es cócava es cotiua, de dode hipo es u cojuto cerrado. Tabié por hoogeeidad, (x,y) hipo, iplica l y l ( x) = ( l x), de dode ( lx, l y) hipo, que es u ( x) 10 Debe otar que es el gradiete de evaluado e x y que etoces el últio tério x de la ecuació es el producto escalar de x por el gradiete de e x. 55

6 Ecooía Iora ú. 378 eero - ebrero coo. Coo hipo es u subcojuto de, ( x, y) hipo y ( x, y) hipo iplica x = 0, y = 0, dode hipo es u coo e puta. Recíprocaete, la covexidad de hipo iplica la cocavidad y por tato la cuasicocavidad de. Para deostrar la hoogeeidad recuérdese que por ser cerrada la hipográica de, para cada x, (x, (x)) es u puto de hipo, que es u coo, por lo que ( l x, l ( x)) hipo, o sea que l ( x) ( l x). Si dicha igualdad o se sostiee, es decir, l ( x) < ( l x), existirá algú ε < 0 tal que (1 el ) ( x) ( lx). De uevo por ser hipo u coo, esto iplica que( x,(1 e)( x) ( x) hipo, o sea que (1 e) ( x) ( x), que es u absurdo. Q.E.D. Esta equivalecia será geeralizada ás adelate co el cocepto de rediietos costates a escala para la producció de ás de u bie. 4. Producció eiciete E esta secció el objetivo es caracterizar el subcojuto de putos eicietes de ua tecología que produce biees a partir de isuos. Para ellos se platea la siguiete deiició: Sea P : ua correspodecia de producció x P 1 ( y) es u étodo 1 eiciete para producir y si x' x iplica x' P ( y). E otras palabras, x es u étodo eiciete para producir y si y es producible co x pero o lo es co igú vector x e el que la catidad de algú isuo sea eor que la que cotiee x. El cojuto de los étodos eicietes para producir y se deotará por E(y), que 1 1 se deie coo: { x P ( y) v 0 x v P ( y)}. es la correspodecia de étodos eicietes de producció. Podeos deiir a E ediate postulados. a) Para todo b) Para todo 1, E( y) P ( y). 1c, E( y) P ( y) y y E este puto coviee presetar ua deiició adicioal. Sea P : ua correspodecia de producció, x Px ( ) es u producto eiciete del vector de isuos x si, para todo u 0, y u Px ( ). Por lo aterior se etiede que y es u producto eiciete de x si x puede producir y. Si ebargo, o puede producir igú vector e el que la catidad de algú producto exceda a la que cotiee y. Etoces, el cojuto de productos eicietes a partir de x se deota por E(x), cuyo cojuto { y Px ( ) u 0 y u Px ( )}, : es la correspodecia de productos eicietes. 11 E Dicha correspodecia se puede caracterizar, aálogaete, co postulados.

7 Jua Marcos Ortíz Olvera Ahora es ecesario geeralizar a la producció de productos el cocepto de isocuata. Para ello ocupareos las siguietes deiicioes: El cojuto I( y) = { x P ( y) l x P ( y) l x P ( y)} es el cojuto isocuata de isuos para y. El cojuto Ix ( ) = { u Px ( ) l > l u Px ( )} es el cojuto isocuata de productos para x. 1 Aquí se tiee que E( y) I( y) P ( y) y Ex ( ) Ix ( ). Por lo que o todo puto de I(y) es u étodo eiciete para producir y es evidete, icluso para algú y escalar. 12 Se destaca que las isocuatas de ua ució de producció se apea coo la gráica de ua ució covexa. Para cada y > 0 escalar, se cosidera el cojuto de ivel P 1 ( y) = L ( y). Deiiedo x = j ( x1,..., x 1) = j y( x ) = y sí y sólo sí ( x1,..., x) = y. Ahora, se sabe que ( x1,..., x) yiplica que x j y( x ). E otras x x palabras, x= L ( y) que iplica x = epij y x y por ede L x ( y) epij y. De igual aera se tiee que x j y( x ) iplica que ( x1,..., x) y, lo que epij y L( y). Ahora, epij y es covexo y j y expresa la eésia coordeada de x, uso eiciete del isuo, coo ució de las otras 1, a lo largo de la isocuata (x) = y es covexa. Para el caso geeral, dóde la correspodecia de producció presete gráica covexa, y o ecesariaete u coo, se puede eplear u teorea de dualidad, que relacioe la producció eiciete co u sistea de precios soporte. 13 Estaos e codicioes de deiir lo siguiete. El cojuto T = {( z, y) ( z. y) grp} es el cojuto de tecología asociado a la correspodecia de producció P. Sabeos que la gráica de P toa el obre de cojuto de posibilidades de producció. El cojuto de tecología es la relexió, sobre los ejes de producto, del cojuto de posibilidades de producció. Las propiedades topológicas de de covexidad de los dos cojutos so las isas. Al especiicar T, los isuos aparece co sigo egativo y los productos co sigo positivo. Ahora, deiaos. Sea h = ( xy, ) T es u prograa de producció eiciete si para igú z T vale z h. Para todo x, Ex ( ) Px ( ) c Para todo x, Ex ( ) P( x) 12 El lector puede ierir que el caso de = 1, I(y) = E(y) sí y sólo si es estrictaete cuasicócava. 13 Este cocepto es u auxiliar udaetal e ecooía pura. 57

8 Ecooía Iora ú. 378 eero - ebrero 2013 Epleado u teorea de Takayaa 14 teeos. es eiciete sí y sólo sí axiiza algua u- Teorea 3. Si T es covexo, h T cioal lieal o egativa. Deostració. Se deostrará de la aera siguiete. Priero, la suiciecia es iediata. La ecesidad requiere que para todo z T, z h > 0 es iposible si h es eiciete, de dode T {} h está estrictaete separado del iterior de, el cual deotareos por Ω. Etoces, sea H q, a u hiperplao separador, de tal ora que: qv ' > a v Ω qv ' a u T {} h Si α< 0, coo 0 T {} h, se tedría que q 0 < 0. Se cocluye que α< 0. Ahora, supoga que algú q i es <0.Etoces, coo v Ω iplica que vi puede hacerse arbitrariaete grade, se tedría que, apara algú v Ω, qv ' < 0 a, cotradiciedo la deiició de α y la de q, de dode q 0. Coo v puede hacerse arbitrariaete pequeño para v Ω. o iporta qué ta pequeño sea α > 0 se tedría q v < α para algú v Ω, cotradiciedo la deiició de α coo la altura del hiperplao H q, a de odo que α 0 y, por el puto aterior, α = 0 Se tiee que qu ' = q'( z h) 0 para todo z T. Q.E.D. Se aprecia que el hiperplao de oral q soporta a T e h. La propiedad de ser u puto de soporte de u hiperplao de oral o egativo equivale a la propiedad de ser u prograa eiciete de producció. Co lo aterior se puede ierir la siguiete deiició: Sea h u puto eiciete de T. Si h axiiza a q e T, se dice que q es u sistea de precios de eiciecia o precios de soporte asociado a h. 14 Ver Takayaa (1974) p

9 Jua Marcos Ortíz Olvera 5. Bibliograía Fáre, R y C.A.K. Lovett, Measurig the techical eiciecy o productio, 1978, Joural o Ecooic Theory, 19, pp Mas-Collel, A., The Theory o Geeral Ecooic Equilibriu: A itroductio to the dieretiable approach, 1985, Cabridge Uiversity Press. Nadiri, M.I., Producers Theory, e Arrow e Itrilligator cops, 1982, pp Shephard, R.W., Theory o Cost ad productio uctios, 1970, Priceto Uiversity Press. Takayaa, A., Matheatical Ecooics, 1974, Hidsdale, III, Dryde Press. Uribe, P., Equilibrio copetitivo y soportes de creciieto, 1991, Estudios ecoóicos, 6, pp Uribe, P., Sobre la tipología del cabio tecológico e u odelo lieal de producció, 1994, Estudios ecoóicos, 9, pp