INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL Escuela Superior de Física y Matemáticas

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1 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL Escuela Superior de Física y Mateáticas Métrica de aig, Grupos y Matrices Booleaas e la Teoría de la Codificació TESIS QUE PARA OBTENER EL TITULO DE LICENCIADO EN FISICA Y MATEMATICAS PRESENTA: Jesús Rivero Raírez Director de Tesis: M e C Abelardo Sataella Quitas México DF Juio del 2009

2 El hobre es ortal por sus teores e iortal por sus deseos Pitágoras Dedico este trabajo a Laura

3 Agradeciietos Al Istituto Politécico Nacioal por la oportuidad que e brido de forar parte de esta gra istitució educativa Por sus eseñazas, apoyo y cosejos que e otorgaro e el trascurso de i foració profesioal, i ás sicero agradeciieto a is profesores de la escuela superior de física y ateáticas

4 Ídice geeral Itroducció Capítulo Fudaetos Lógica 2 Cojutos 3 Relacioes 4 Fucioes 5 Operacioes arias 6 Núeros eteros 7 Matrices Booleaas Capítulo 2 Estructuras Algebraicas 2 Sisteas algebraicos 22 Seigrupos y ooides 23 ooorfiso de seigrupos y ooides 24 Grupos 25 ooorfiso de grupo 26 Grupos producto y cociete Capítulo 3 Métrica de aig, Grupos y Matrices Booleaas e la Teoría de la Codificació 3 Teoría de codificació 32 Fució de codificació 33 Métrica de aig 34 Códigos de grupo 35 Matrices geeradoras 36 Decodificació y correcció de errores Coclusioes Bibliografía

5 Itroducció El proceso de couicació iplica trasitir cierta iforació icorporada e ua señal coocida coúete coo esaje, que se evía por edio de u trasisor a u receptor Au cuado trasisor quisiera que este esaje se recibiera e el receptor si algua distorsió (oralete llaada ruido), esto o es posible debido a la gra diversidad de perturbacioes a las que esta sujeto el caal de couicació La teoría de la codificació tiee que ver co iiizar la distorsió del esaje trasitido debido a la perturbació y recuperar el esaje origial al grado óptio posible a partir del esaje distorsioado La trasisió puede variar desde ua secilla tarea de iteracció etre ua terial de coputadora y ua supercoputadora localizada a pocos etros de distacia, hasta la copleja tarea de eviar ua señal a iles de kilóetros El fudaetal artículo de Claude Shao (948), juto co los resultados de MGolay (949) y Richard aig (950) otivaro esta teoría Podeos ver esta iforació e las referecia bibliográfica [06], [07], [08] y [09] Desde etoces se covirtió e u área de gra iterés, e la que las estructuras algebraicas, la teoría de la probabilidad y la cobiatoria represeta u papel de sua iportacia Aparece ciertos probleas e couicacioes digitales, cuado la iforació se trasite e fora de cadeas de ceros y uos Por ua perturbació que existe e los edios de trasisió, coúete llaada ruido, e el edio de trasisió, al cual coúete se le llaa caal de trasisió, e dicho caal, cuado se trasite cierta señal puede recibirse otra distita; causado así que el receptor toe ua decisió equivocada Por tato se quiere desarrollar técicas para ayudar al descubriieto e icluso a la correcció de errores de trasisió E este trabajo se estudiara alguos coceptos que servirá de base para defiir técicas que os ayude a realizar la codificació y decodificació de iforació eviada e u caal de trasisió Prieraete e el capitulo se estudia los fudaetos que os ayudara a copreder ciertas etidades ateáticas que se ocupara coo base para defiir las técicas de codificació y decodificació E dicho capitulo se hace ucho éfasis a los coceptos de fució y relacioes - áreas El capitulo 2 trata la parte esecial sobre la cual se fudaetas las técicas que se desarrollara para la codificació y decodificació de iforació Se estudia resultados fudaetales de la teoría de grupos, haciedo el trataieto algebraico desde las estructuras as siples coo lo so los seigrupos y los ooides, extediedo los resultados de estas estructuras a los grupos y siplificado las deostracioes de alguos resultados para los grupos Se hace especial éfasis e el grupo producto y el grupo cociete, así coo el teorea fudaetal de hooorfisos, ya que su aplicació es fudaetal para establecer u algorito de decodificació 4

6 Fialete e el capitulo 3 se estudia ua parte fudaetal del proceso de la teoría de codificació y la costrucció de u cojuto co cierta operació sobre dicho cojuto que fialete se deuestra que fora u grupo Se expoe la iportacia y el papel que juega la étrica de aig para poder establecer criterios que os perita deteriar la catidad de errores que se suscita al trasitir iforació codificada Se aaliza tabié la fora e que ua atriz booleaa os perite defiir u étodo para poder codificar iforació 5

7 Capítulo Fudaetos E este capitulo se itroduce coceptos fudaetales y étodos que se utilizara a lo largo del desarrollo de la tesis, coezado co alguos resultados eleetales de lógica que os será de gra utilidad e el aálisis y costrucció de arguetos: estos resultados será usados iediataete e la itroducció del leguaje y otació de la teoría de cojutos Posteriorete tratareos el cocepto de relació etre cojutos y las fucioes Teriareos este capitulo presetado coceptos básicos de la teoría de atrices, dichos coceptos será utilizados e el trataieto del tea edular de la presete tesis Lógica La parte que utilizareos de la teoría foral de la lógica se refiere a ciertas afiracioes sobre objetos dados y requerios que estas afiracioes sea de tal fora que podaos decir si so verdaderas o falsas A estas afiracioes las llaareos proposicioes Defiició (Valores de Verdad) Al calificar ua proposició de Verdadera (V) o Falsa (F), direos que se le ha asigado u valor de verdad: es decir los valores de verdad so V o F Utilizareos letras coo p, q, r para deotar a las proposicioes y tablas coo la que sigue para deotar los valores de verdad que se le puede asigar a ua proposició p V F Las proposicioes puede cobiarse etre si para dar lugar a uevas proposicioes A cotiuació defiios las operacioes que osotros vaos a cosiderar: Defiició 2 (Negació) Dada ua proposició p, defiios su egació, deotada por p Esta proposició tiee los valores de verdad opuestos a los de la proposició p La tabla siguiete ilustra lo aterior: p V F p F V 6

8 Defiició 3 (Cojució) Dadas dos proposicioes p, q, su cojució deotada por p q, es la proposició que es verdadera solo cuado abas proposicioes so verdaderas, y es falsa cuado algua de ellas es falsa La siguiete tabla uestra los valores de verdad correspodietes a esta proposició: p q p q V V V V F F F V F F F F Defiició 4 (Disyució) Dadas dos proposicioes p, q, su disyució deotada por p q, es la proposició que es verdadera solo cuado algua de ellas es verdadera, y es falsa úicaete cuado abas so falsas La siguiete tabla uestra los valores de verdad correspodietes a esta proposició: p q p q V V V V F V F V V F F F Defiició 5 (Iplicació) Dadas dos proposicioes p, q, la iplicació deotada por p q (se lee: p iplica q, o bie si p etoces q) es la proposició que es falsa cuado la hipótesis p es verdadera y la coclusió q es falsa, y es verdadera e todos los otros casos, e particular es verdadera e todos los casos cuado la hipótesis es falsa Su tabla de verdad es la siguiete: p q p q V V V V F F F V V F F V 7

9 Defiició 6 (Equivalecia) Dadas dos proposicioes p, q, direos que so equivaletes deotado p q (se lee: p equivalete a q, o bie p si y solo si q) cuado abas proposicioes tega los isos valores de verdad Su tabla de verdad es la siguiete: p q p q V V V V F F F V F F F V Noteos ahora que al toar dos proposicioes sus valores de verdad se cobia e cuatro posibilidades E geeral dadas proposicioes aceptareos que sus valores de verdad se cobia e 2 posibilidades y las distribuireos coezado co la itad de V y luego co la itad de F para la priera proposició, después la cuarta parte de V y de F alterado para la seguda proposició, etcétera Al cobiar ás de dos proposicioes usareos parétesis para idicar claraete coo so las cobiacioes para cada par idividual y e el orde que se quiere hacer las operacioes, por ejeplo (p (q r) s) Defiició 7 (Cuatificador Uiversal) Si todos los iebros de ua clase satisface ua cierta propiedad, lo deotareos ediate el síbolo: x( P( x)) Dode aquí el síbolo se lee para todo, la letra x es ua variable que deota o a u iebro particular de ua clase, sio a u eleeto geérico o arbitrario de la clase e cosideració El síbolo P(x) deota ua propiedad que debe satisfacer el tério x El valor de verdad de ua afiració de la fora x( P( x)) es verdadero cuado P(x) sea verdadera para todos los valores posibles de x, y es falsa cuado P(x) sea falsa para algú valor de x 8

10 Defiició 8 (Cuatificador Existecial) Si al eos u eleeto x de ua cierta clase satisface la propiedad P(x), lo deotareos por: x( P( x)) Propiedad sobre el eleeto x De esta fora, el valor de verdad de ua afiració de la fora x( P( x)) es verdadero cuado P(x) sea verdadera para algú valor de x, y es falsa cuado P(x) sea falsa para todos los valores de x Obsérvese que las defiicioes ateriores os perite egar afiracioes co cuatificadores: E dode el síbolo ( xp( x)) x( P( x)) ( xp( x)) x( P( x)) lo iterpretareos equivalete al síbolo Se tiee las siguietes propiedades i ( p) p ii p q q p iii p q q p iv ( p q) ( q p) v ( p q) ( p q) vi ( p q) ( p q) ( q p) vii ( p q) ( p q) viii ( p q) ( p q) ix ( p q) r p ( q r) x ( p q) r p ( q r) xi p ( q r) ( p q) ( p r) xii p ( q r) ( p q) ( p r) 9

11 2 Cojutos Esta secció es u resue de otació y propiedades básicas de la teoría de cojutos ecesarios para los capítulos siguietes El leguaje y otació de cojutos provee u arco atural e el cual se puede forular las teorías ateáticas que ireos ecotrado Los eleetos del leguaje de la teoría de cojutos que itroducireos ilustra el uso del leguaje foral de la lógica que vios e la secció aterior El tério cojuto lo cosiderareos u cocepto priitivo o defiido (se podría pesar coo u agregado o failia, etc, pero so de algua fora sióios del tério cojuto); al pesar e u cojuto, pesareos e los iebros o eleetos que lo costituye, de tal fora que desde el iicio hay ua relació etre los eleetos y los cojutos, a saber, u eleeto puede perteecer o o perteecer a u cojuto dado Si deotaos a los cojutos co letras ayúsculas A, B, C, y a los eleetos co letras iúsculas a, b, c, la relació de perteecia aterior la deotareos co el síbolo Por ejeplo si A deota u cojuto y usareos la siguiete otació a A a es u eleeto de dicho cojuto, Para escribir el hecho que a o es eleeto del cojuto A, escribireos el síbolo a A E térios lógicos se tiee la egació de la relació perteecía escrita por a A a Al escribir u cojuto, lo podeos hacer listado sus eleetos etre llaves, o bie si dichos eleetos satisface ua propiedad P(x), podeos escribirlos e base a dicha propiedad Fora de lista a, b, c, Fora descriptiva x : P( x) e dode los dos putos se lee tal que Podeos coparar dos cojutos cosiderado los eleetos de los cuales está forados Teeos ahora la iclusió cojutista Defiició 2 (Iclusió) Dados los cojutos A y B, si sucede que todos los eleetos de A so tabié eleetos de B, lo deotaos ediate A B y decios que A es u subcojuto de B E leguaje lógico la relació de iclusió aterior esta defiida por A A B x( x A x B) La egació la deotareos por A B, y así A B x( x A x B) 0

12 Defiició 22 (Igualdad) Dados dos cojutos A y B Direos que so iguales, deotado A B, si A B y B A Defiició 23 (Cojuto Vacío) U cojuto vacío es uo tal que carece de eleetos Se usara la letra daesa para deotar a u cojuto vacío y la propiedad lógica que lo defie es: x ( x ), o equivaleteete coo ( x ( x )) A cotiuació deostrareos que sólo hay u cojuto vacío, y para esto probareos priero que u cojuto vacío es subcojuto de cualquier otro cojuto: Proposició 2 Si es u cojuto vacío y A A es cualquier otro cojuto, etoces Deostració Supogaos que la afiració A es falsa; etoces su egació A es verdadera Así x tal que x A Lo cual o es posible ya que esta vacío Se sigue que la egació A debe ser falsa, por lo que se tiee que A es verdadera q e d Ua proposició que es cosecuecia iediata de otra proposició se llaa u corolario Etoces teeos el siguiete: Corolario 2 Sólo hay u cojuto vacío Deostració Sea y 2 dos cojutos vacíos Coo es vació y 2 es otro cojuto, etoces por la proposició x, se tiee que 2 Ivirtiedo los papeles de y 2 se tiee que 2 Por la defiició de igualdad se sigue que 2 q e d Dado lo aterior, podeos hablar del cojuto vacío

13 Operacioes co cojutos Por edio de las operacioes que a cotiuació se defie podeos obteer uevos cojutos a partir de cojutos dados Defiició 24 (Uió) Sea A y B cojutos, la uió de A co B es el cojuto A B : : x x A x B Se toa la disyució lógica y así para que u eleeto perteezca a la uió, basta co que perteezca al cojuto A o al cojuto B Defiició 25 (Itersecció) Sea A y B cojutos, la itersecció de A co B es el cojuto A B : x : x A x B Se toa la cojució lógica y así para que u eleeto perteezca a la itersecció, es ecesario que perteezca a cada uo de los A y B Defiició 26 (Diferecia) Sea A y B cojutos, la diferecia de A co B es el cojuto A B : : x x A x B a Para que u eleeto perteezca a la diferecia A y que o perteezca a B A B, es ecesario que perteezca Defiició 27 (Copleeto) Si todos los cojutos e cosideració, e cierto setido so subcojutos de u cojuto dado U (llaado cojuto uiverso) y si el cojuto A es u subcojuto de U, etoces defiios el copleeto de A e U por Nótese que A c U A A c x x U x A : : 2

14 Defiició 28 (Diferecia Siétrica) Sea A y B cojutos, la diferecia siétrica de A co B es el cojuto A B : ( A B) ( B A) Es secillo observar las siguietes propiedades i A ( B C) ( A B) ( A C) ii A ( B C) ( A B) ( A C) iii iv Leyes de D Morga c a ( A B) A b ( A B) A B B A c c A c B B c c v A ( B C) ( A B) C) vi A A vii A A Defiició 29 (Cojuto Fiito y Cojuto Ifiito) Se dice que u cojuto A es fiito si tiee eleetos distitos, siedo N E este caso, a se le llaa cardialidad del cojuto A y se desiga co el síbolo A A u cojuto que o es fiito se le llaa ifiito 3

15 Defiició 20 (Cojuto Potecia) Sea A u cojuto, al cojuto forado por todos los subcojutos de A, lo llaareos cojuto potecia de A y lo deotareos co el síbolo P(A) Defiició 2 (Failia de Cojutos) deotéoslos co subídices digaos A, A2,, asociatividad podeos defiir lo siguiete: A Cosidereos varios cojutos y co N Usado las propiedades de i A i A A 2 A i A i A A A 2 E geeral se puede teer u cojuto de ídices arbitrario, digaos I, y para cada I se tiee u cojuto A E esta situació direos que los cojutos A co I fora ua failia de cojutos idicada por el cojuto de ídices I Teeos etoces la uió e itersecció para dicha failia de cojutos, defiidas respectivaete por: I I x : I, x A A x : I, x A A Sea A co lo siguiete: I ua failia de cojutos y M cualquier cojuto Etoces se cuple i M ( A ) ( M A ii M ( iii iv ( I ( I I I c ) A A c ) ) I ) ( M A ) I c A I c A I A 4

16 3 Relacioes Cosidereos A y B dos cojutos, para foralizar el cocepto de relació etre los eleetos de A co los eleetos de B, ecesitareos la oció de par ordeado Para esto se observa que si a A y b B, se tiee que a, b b, a, y si a b, direos que el cojuto a, b es u par o ordeado Tabié oteos que si sucede que a b, etoces a, a a y e este caso o podeos hablar de u par ordeado El cocepto de par ordeado se itroduce para distiguir los eleetos del cojuto a,b de tal fora que se tega u prier eleeto y u segudo eleeto Usareos la otació (a, b) para deotar al par ordeado cuya priera copoete es a y cuya seguda copoete es b Defiició 3 (Par Ordeado de K Kuratowski) Sea A cosidereos a A y b B, se defie el par ordeado ( a, b) por: a, ( a, b) a, b y B dos cojutos y Es decir, ( a, b) es el cojuto cuyos eleetos so los cojutos a y a,b Proposició 3 ( a, b) ( c, d) ( a c b d) Deostració Noteos que la iplicació () es obvia Para la otra iplicació, si ( a, b) ( c, d) etoces teeos que a, a, b c, c, d y así se tiee los dos siguietes casos: a c y a, b c, d; se obtiee que a c por lo que a b a, d, y así b d a c, d a, b c ; se tiee cocluye que a c d b q e d 2 y Defiició 32 (Producto Cartesiao) Sea A y B dos cojutos, se defie el producto cartesiao de A co B coo el cojuto de todos los pares ordeados cuya priera copoete esta e A y cuya seguda copoete esta e B Lo deotareos co el síbolo A B A B ( a, b) : a A b B 5

17 Cosidereos ahora ua failia fiita de cojutos, digaos N, defiios el producto cartesiao para dichos cojutos ediate i Ai ( a, a2,, a ) : ai Ai, i,2,, A, A2,, A co E dode ( a, a2,, a copoetes ) es ua geeralizació del cocepto de par ordeado cosiderado De hecho podeos defiir el producto cartesiao aterior cosiderado el caso particular de que A para i,2,, por A i A : i A Defiició 33 (Relació) Sea A y B dos cojutos, ua relació etre los eleetos de A y eleetos de B es u subcojuto R del producto cartesiao A B Si ( a, b) R escribireos este hecho co el síbolo arb y decios que el eleeto a esta relacioado co el eleeto b El doiio de ua relació R es el cojuto forado por las prieras copoetes de los pares ordeados de R, y lo deotareos c o D R Así, D R a A : b B,( a, b) R) Nótese que dados cualesquiera cojutos A y B, siepre se tiee las relacioes R (vacía) y la relació R A B (total) Cosidereos ahora uos tipos especiales de relacioes que existe, y las idetificareos de fora especial de acuerdo a las características que tiee Defiició 34 (Relacioes Especiales) Sea R A A, direos e este caso particular que R es ua relació e el cojuto A Cosidereos los siguietes casos: i R es reflexiva si para todo a A se cuple ara ii R es siétrica si siepre que arb se tiee bra iii R es trasitiva si arb y brc iplica que arc iv R es atisiétrica si arb y bra iplica que a b Defiició 35 (Relació de Equivalecia) Ua relació R e u cojuto A se dice que es de equivalecia si es reflexiva, siétrica y trasitiva 6

18 Defiició 36 (Clases de Equivalecia) Si R es ua relació de equivalecia e el cojuto A, dado u eleeto a A podeos cosiderar aquellos eleetos de A que esté relacioados co a ; deotareos el cojuto de dichos eleetos co [a] y lo llaareos clase de equivalecia de a : [ a ] : x A : xra Proposició 32 Las clases de equivalecia de R fora ua failia de subcojutos de A que satisface las siguietes propiedades: Deostració: ) Para cada a A la clase [a] es o vacía 2) Si [ a ] [ b] etoces [ a] [ b] 3) [ a] A aa ) Sea a A, por ser R reflexiva se cuple que ara, por tato a [a], luego [a] 2) Mostrareos que [ a] [ b] Sea x [a], luego xra y coo existe u z [ a] [ b] etoces zra y zrb ; por sietría se sigue que arz y coo xra etoces por trasitividad se tiee que xrz, y coo zrb de uevo por trasitividad se sigue que xrb, es decir, x [b] lo cual iplica que [ a] [ b] Siilarete se prueba que [ b] [ a] Se sigue etoces que [ a] [ b] 3) Coo para todo a A se tiee que a [ a] [ a], etoces A [ a] y coo cada [ a] A, etoces [ a] A Se sigue que aa aa [ a] A aa aa q e d Defiició 37 (Partició) A ua failia de subcojutos cojuto de ídices que satisface las tres codicioes siguietes A A, co I u ) Cada A 2) A A iplica que A A 3) A A I Se le llaa ua partició P del cojuto A 7

19 Defiició 38 (Cojuto Cociete) Sea R ua relació de equivalecia e el cojuto A, heos deostrado que las clases de equivalecia [a] de esta relació fora ua partició del cojuto A a la que llaareos el cojuto cociete de la relació R y la deotareos co el síbolo A R : A [ R : a] : a A Teorea 3 Sea A u cojuto Etoces: ) Toda relació de equivalecia R e A iduce ua partició A R de A 2) Toda partició P C C A del cojuto A iduce ua relació de Deostració : equivalecia e A, a la que deotareos por ) Ya se deostró e la proposició 32 2) Defiaos la relació RP coo sigue: dados a, b A direos que ar P b si y solo si existe u C tal que a,b C Claraete R P es reflexiva y siétrica Supogaos ahora que ar b y que br c P P Etoces a, b C y b, c C Se sigue que b C C por lo que C C y cosecueteete a, c C, es decir ar P c q e d RP Defiició 39 (Relacioes -Arias) Sea, A2 A co A,, N, ua failia fiita de cojutos Ua relació -aria e estos cojutos es u subcojuto de Los cojutos A, A2,, A se llaa doiios de la relació y el úero N es el grado de la relació i A i 8

20 4 Fucioes Defiició 4 (Fució) Si A y B so dos cojutos, ua fució f etre A y B es ua relació f A B que satisface: para cada a A existe u úico b B tal que ( a, b) f Nótese e particular que el doiio de f es todo A Si f es ua fució etre A y B lo deotareos ediate f : A B Dado a A al úico eleeto b B relacioado, ediate f, co a, lo deotareos por f (a) y decios que b es la iage de a bajo f Decios tabié que b f (a) es la regla de correspodecia de la fució f Dada ua fució f : A B, el cojuto A es el doiio de f y el cojuto B se llaa el rago de f El cojuto de todas las iágees de f es u subcojuto del rago B y lo llaareos la iage de f y se deota por f (A) ; así f ( A) f ( a) : a A Ejeplo 4 (Alguas Fucioes Especiales) Idetidad: I A : A A defiida por I( x) x para toda x A Característica: f A : A 0, defiida por, x A f A ( x) 0, x A 9

21 Defiició 42 (Igualdad de Fucioes) Dos fucioes f : A B y g : C D so iguales si tiee el iso doiio A C, el iso rago B D y la isa regla de correspodecia f ( x) g( x) para toda a A Defiició 43 (Fucioes Iyectiva, Suprayectiva y Biyectiva) Dada ua fució f : A B direos que: i f es iyectiva si siepre que a b e A, se tiee que f ( a) f ( b) e B ii f es suprayectiva si todo eleeto b B es iage de algú eleeto a A iii f es biyectiva si es iyectiva y suprayectiva Defiició 44 (Coposició) Si f : A B y g : B C so dos fucioes, se defie ua ueva fució de A e C llaada la coposició de f y g, deotada por g f, coo sigue: i g f : A C ii ( g f )( a) g( f ( a)) para cada a A Teorea 4 Si f : A B es ua fució biyectiva, etoces se puede defiir ua fució g : B A que deshace lo que f hace, es decir, si f ( a) b etoces g( b) a Deostració E efecto, coo f : A B es suprayectiva etoces todo b B proviee de algú a A, es decir, existe algú a A tal que f ( a) b Y coo f es iyectiva etoces el ecioado a A es úico Se puede etoces defiir g : B A ediate g( b) a si y solo si f ( a) b A la fució g así defiida se le llaa ua iversa de f q e d 20

22 Lea 4 Si f : A B es ua fució biyectiva y g : B A es ua iversa de f, etoces se tiee: g f I A y f g I B Deostració Si a A y f ( a) b, etoces ( g f )( a) g ( f ( a)) g ( b) a, la ultia igualdad es por defiició de g Se sigue que ( g f )( a) a I A ( a) para toda a A y por lo tato g f I A La otra igualdad se deuestra de aera siilar q e d Proposició 4 Si f : A B es ua fució biyectiva y g, h : B A so iversas de f, etoces g h Deostració Cosidereos x B, etoces teeos por defiició de iversas de g y h respectivaete que: g( x) a A f ( a) x, adeás que h( x) b A f ( b) x, lo cual iplica que f ( a) f ( b) y por ser f biyectiva teeos que a b, luego se sigue que g( x) h( x), lo cual prueba que g h q e d Se sigue que si f : A B es biyectiva su iversa es úica y la deotareos por f : B A y de acuerdo co el lea 4 obteeos f f y f f I A I B 2

23 5 Operacioes -arias Defiició 5 (Operació -Aria) Sea A u cojuto o vacío, ua fució f : A A co N se llaa operació -Aria e A y es el orde de la operació E particular teeos los siguietes casos para el orde de ua operació -aria: Cuado la fució f : A A se llaa operació uaria Cuado 2 la fució f : A A A se llaa operació biaria Cuado 3 la fució f : A A A A se llaa operació teraria Usualete ua operació biaria se deota ediate u síbolo tal coo,,,,,,,, y el valor de la operació colocado el operador etre los dos operados Por ejeplo si f : A A A, etoces f ( a, b) se deota por afb dode a, b A y f se describe ediate algua propiedad defiida e térios de a y b Defiició 52 (Tipos de Operacioes Biarias) Sea A u cojuto o vacío y : A A A ua operació biaria, defiios los siguietes tipos: i se dice cerrada e A si a b A para cualesquiera a, b A ii se dice coutativa si para cualesquiera a, b A se cuple que a b b a iii se dice asociativa si para cualesquiera a, b, c A se cuple que (a b) c a ( b c) Defiició 53 (Operació Distributiva) Sea A u cojuto o vacío, cosidereos las operacioes biarias : A A A y : A A A, direos que la operació es distributiva sobre la operació si para cualesquiera a, b, c A se cuple que a ( b c) ( a b) ( a c) Defiició 54 (Eleeto idetidad) Si es ua operació biaria sobre A y existe u eleeto e A tal que e a a e a para toda a A, etoces direos que e es u eleeto idetidad de A respecto de 22

24 Cuado e a a para toda respecto de la operació Cuado a e a para toda respecto de la operació a A, se dice que e es la idetidad izquierda de a A, se dice que e es la idetidad derecha de A A Proposició 5 Si es ua operació biaria sobre A y existe u eleeto que e a a e a para toda a A, etoces e es úico e A tal Deostració Supogaos que e y e2 so dos idetidades para sobre A Etoces teeos que e e2 e2 puesto que e 2 A adeás tabié se cuple que e e2 e puesto que e A, e cosecuecia e e 2 q e d Defiició 55 (Eleeto Idepotete) Si es ua operació biaria sobre A y a A es u eleeto tal que a a a, etoces a recibe el obre de eleeto idepotete respecto de la operació Defiició 56 (Iverso) Si es ua operació biaria sobre A que tiee el eleeto idetidad e y si correspodiedo a u eleeto a A, existe u eleeto b A tal que a b b a e, etoces se dice que a será ivertible y b se llaa el iverso de a y se deota por a Proposició 52 Si es ua operació biaria sobre A que es asociativa, el iverso de todo eleeto ivertible a A es úico Deostració Cosidereos que b, c A so iversos de a Etoces por defiició de iverso teeos que a b b a e y tabié a c c a e, luego ( b a) c e c c, tabié b ( a c) b e b y por ser asociativa, se cuple la igualdad ( b a) c b ( a c), co lo cual se cocluye que b c q e d 23

25 6 Núeros eteros Pricipio de Iducció Si Q es u cojuto de eteros tales que a) Q b) Q Q Etoces c) todo etero perteece a Q Existe, adeás, otras forulacioes de este pricipio Por ejeplo, e a) podeos sustituir por u etero cualquiera k, siepre que e c) la desigualdad se sustituya por k Adeás b) se puede sustituir por,2,, Q iplica que ( ) Q Defiició 6 (Divisibilidad) Sea a, b Z, co a 0 Se dice que a divide a b, si existe u etero c tal que b ac, y deotareos lo aterior co el síbolo a b E caso de que a o divida a b escribireos ( a b) Teorea 6 Sea a, b, c Z Etoces se cuple las siguietes afiracioes: i Si a b y a c, etoces a ( b c) ii Si a b y b c, etoces a c iii Si a b, etoces a b para cualquier etero iv Si a b y a c, etoces a ( b c) para cualesquiera eteros, Defiició 62 (Núero Prio) U etero positivo p recibe el obre de prio si los úicos úeros que lo divide so y p Si p o es prio, direos que es copuesto 24

26 Teorea 62 (Fudaetal de la Aritética) Todo etero fora úica (salvo el orde) coo producto de úeros prios puede escribirse de Deostració Usareos iducció sobre El teorea es verdadero para 2 Supoeos, etoces, que es verdadero para todo etero ayor que y eor que Probareos que es verdadero tabié para Si es prio o hay que probar algo Por lo tato supoeos que es copuesto y adite dos descoposicioes, que so () p p2 ps qq2 qt Quereos deostrar de s t y que cada p es igual a algú q Dado que p divide al producto q q2 q t debe dividir a uo, por lo eos, de los factores Ordeareos los q, q, q t de fora que p 2, q Etoces p q ya que p y q so prios E () podeos dividir por p obteiedo p2 ps q q t p 2 Si s o t, etoces La hipótesis de iducció os dice que las dos p descoposicioes de so idéticas, si prescidios del orde de los factores Por p cosiguiete s t y las descoposicioes e () so tabié idéticas, si prescidios del orde de los factores, lo cual copleta la deostració q e d E la descoposició de u etero, u cierto úero prio p puede aparecer ás de ua vez Si los factores prios distitos de so p,pr y si pi aparece i veces coo factor, escribireos r p i i i Teorea 63 Si es u etero copuesto y cuple que p p es u factor prio de, etoces se Deostració Puesto que es u etero copuesto, puede expresarse coo ab, dode a b E este caso a, ya que Si o fuera cierto, ab, lo cual es ua cotradicció De tal odo tiee u divisor ( a) que o excede a Ahora bie, a es prio o, por el teorea fudaetal de la aritética, tiee u factor prio E cualquier caso, tiee u factor prio eor o igual que q e d 25

27 Teorea 64 El cojuto de úeros prios es ifiito Deostració Supógase que el cojuto de úeros prios se fiito, digaos que tega eleetos Sea ellos p, p2,, p los cuales se arregla e el orde de agitud creciete Cosidereos el producto i p i k E este caso iguo de los úeros es u divisor de k, por lo tato k es u prio ayor que p o bie, tiee u uero prio ay or que p coo divisor Si ebargo esto cotradice uestra suposició de que p es el prio ayor Lugo el cojuto de úeros prios es ifiito q e d p i Teorea 65 Sea a, b Z co b 0 Existe eteros úicos q y r tales que a bq r, e dode a r b Deostració Se cosiderara la secuecia de últiplos de b, esto es,, 2b, b,0, b,2b,, qb, Claraete a qb o qb a ( q ) b, para algú etero q Cobiado estas relacioes se obtiee () qb a ( q ) b Si supoeos r a qb, de () teeos 0 r b, por lo tato a qb r Para deostrar la uicidad de q y r, supodreos que a pude expresarse de las dos siguietes foras: (2) a qb r co 0 r b, o bie 0 (3) a q2b r2 co 0 r 2 b Cobiado (2) y (3) se obtiee ( q q2) b r2 r, lo que sigifica que r2 r es u últiplo etero de b Pero coo 0 r 2 b y b r 0, se tiee que b r2 r b Por lo tato la úica posibilidad es que r 2 r 0 y por cosecuecia 2 0 etoces que r r 2 y que q q2 q e d E el teorea aterior a los eteros respectivaete cuado a es dividido por b q y r se le llaa cociete y residuo 26

28 Defiició 63 (cd) Sea a y b eteros distitos de cero, direos que u etero d 0 es u divisor coú de a y b, si d a y d b Si d es el as grade de los divisores coues (es decir, d es u últiplo de todo divisor coú), etoces d se cooce coo el áxio coú divisor de a y b y se deota coo cd( a, b) Defiició 64 (Prios Relativos) Si a y b so eteros distitos de cero y cd( a, b), etoces direos que a y b so prios relativos y se afira que cada uo es prio relativo del otro Teorea 66 (Algorito de Euclides para el cd) Sea a y b eteros distitos de cero, digaos a b, si r es el residuo cuado a se divide por b, r2 es el residuo cuado b es dividido por r, r es el residuo cuado r 3 es dividido por r2 y si r k 0, etoces el últio residuo distito de cero r es el cd( a,b) k Deostració Cuado a qb r, dode a, b, q, r Z, se probara priero que cd( a, b) cd( b, r) Sea () d cd( a, b) y (2) d cd( b, ) 2 r Etoces por (2) teeos que d 2 b y d 2 r, luego d 2 qb r, es decir, d 2 a, de tal fora que d2 es u divisor coú de a y b Por () obteeos que (3) d2 d Ahora utilizado () se tiee que d a y d b, luego d ( a qb), es decir, d r, por lo cual teeos que d es u divisor coú de b y r, utilizado (2) se cocluye que (4) d d2 De (3) y (4) cocluios que d d 2 Es decir, (5) cd( a, b) cd( b, r) cuado a qb r Ahora bie, puesto que r es el residuo cuado a se divide por b, se tiee que a q r, 0 r b De aera siilar podeos escribir de acuerdo a la hipótesis que b q2r r2, 0 r2 r r q3r2 r3, 0 r3 r2 rk 2 qk rk rk, 0 r k rk r k qk rk rk, 0 rk rk Puesto que r, r 2, r3, fora u cojuto decreciete de eteros o egativos, debe existir u r k igual a cero E este caso por (5) se deostró que cd( a, b) cd( b, r ) cd( rk, rk ) cd( rk,0) rk luego cd( a, b) rk q e d 27

29 Teorea 67 Si a, b Z, etoces cd( a, b) a b co, Z Deostració Utilizado el Algorito de Euclides teeos que r k cd( a, b), es decir r k r r r q r k 2 ( k ) k k 2 ( qk )( rk 3 ( qk ) rk 2 k 3 ( qk ) ( qk qk ) rk 2 ) r q r k 2 k k r k, dode E este caso se sustituye rk 4 ( qk 2 ) rk 3 para r k 2 y se cotiua el proceso Por ultio se tiee que r k cd( a, b) a b e dode, Z q e d Defiició 65 (c) Si a y b so eteros positivos, etoces el etero positivo as pequeño que es divisible etre a y b respectivaete, recibe el obre de íio coú últiplo de a y b, y se deota coo c( a, b) Defiició 66 (Cogruecia) Si a, b Z y es u etero positivo, etoces se dice que a es cogruete co b ódulo, si (a b), y deotareos esto co a b(od) Si a o es cogruete co b ódulo, escribireos ( a b(od)) Teorea 68 La cogruecia es ua relació de equivalecia sobre el cojuto de los eteros Deostració ) Reflexiva: a a(od ) puesto que ( a a 0) 2) Sietría: supógase que a b(od), etoces por defiició de cogruecia teeos que ( a b), luego a b k para algú etero k, teeos etoces que b a (k), lo cual iplica que b a(od ) 3) Trasitividad Supogaos ahora que a b(od ) y que b c(od ), es decir ( a b) y ( b c), luego ( a b b c), es decir, ( a c), lo cual deuestra que a c(od) q e d Defiició 67 (Cogruecia Modulo Clase ) El cojuto de los eteros b que so cogruetes co a ódulo recibe el obre de cogruecia ódulo de clase y se deota por [ a], es decir, [ a] b Z : b a(od ) 28

30 Observació 6 E geeral [ 0] so las distitas clases de,[],,[ ] cogruecia ódulo y deotareos por Z dicho cojuto 29

31 7 Matrices Booleaas Defiició 7 (Matriz) Sea, N, ua atriz etera es u arreglo rectagular de úeros eteros dispuestos e regloes (horizotales) y coluas (verticales) Deotareos co letras ayúsculas a las atrices y co letras iúsculas los úeros que fora parte del arreglo de la atriz, tabié usareos el síbolo para deotar el eleeto del arreglo que se ecuetra e el regló i-ésio de la colua j-ésia a ij a a A a 2 a a a a a 2 a a j a2 j El regló i-ésio a i ai2 ai, co i y la colua j-ésia e aj dode j Se dice que A es ua atriz de por, escrito Si direos que A es u atriz cuadrada de orde Los úeros de la fora aij co i j fora la diagoal pricipal de A Usareos la otació A ( a ij ) para represetar ua atriz e dode i y j Defiios a la atriz cero por 0 (0ij ), es decir, todos los eleetos de la atriz so cero Defiició 72 (Sua) Sea A a ) y B b ) atrices, se defie la sua de A y B deotada por ( ij ( ij A B coo la atriz a ), es decir, A B a ij b ) se obtiee suado los eleetos correspodietes de cada atriz ( ij b ij ( ij 30

32 Teorea 7 Si A, B y C so atrices cuadradas de orde, etoces se cuple las siguietes afiracioes i A B B A ii ( A B) C A ( B C) iii A 0 A Defiició 73 (Producto) Sea A ( a ij ) y B ( b ij ) atrices de p y p respectivaete, el producto de A co B deotado por AB es la atriz (cij ) defiida por c ij p k a ik b kj co i y j Teorea 72 Si A, B y C so atrices cuadradas de orde, etoces se cuple las siguietes afiracioes i A ( BC) ( AB) C ii iii A( B C) AB AC ( A B) C AC BC Cosidereos el cojuto de todas las atrices cuadradas de orde, a tal cojuto lo deotareos por el síbolo, así M ( a ) : i, j M ij 3

33 Defiició 74 Cosidereos el cojuto, se defie las siguietes atrices: M Matriz diagoal a a a A Matriz Idetidad I 3 Matriz traspuesta, sea a ij M A ) ( a M ) (, se defie la traspuesta de A por la atriz ji T A Teorea 73 Si A y B so atrices cuadradas de orde, etoces se cuple las siguietes afiracioes i A A I AI ii A A T T ) ( iii T T T B A B A ) ( iv T T T A B AB ) ( Defiició 75 (Matriz Siétrica) Ua atriz M A se llaa siétrica si cuple que A A T 32

34 Defiició 76 (Matriz Booleaa) Ua atriz A se llaa booleaa si todos sus eleetos so cero o uo Al cojuto de todas las arices booleaas, lo deotareos co el síbolo B Defiició 77 (Operacioes co Matrices Booleaas) Sea defiios las siguietes operacioes: A ( a ), B ( b ) B, ij ij Uió : B B B defiida por A B c ) e dode se tiee que c ij si 0 si a a ij ij o b 0 y ij b ij 0 ( ij 2 Cojució : B B B defiida por A B c ) e dode se tiee que c ij si 0 si a a ij ij y b 0 o ij b ij 0 ( ij 3 Cosidere que A ( a ij ) Bp y que B ( b ij ) B p se defie el Producto Booleao de A co B coo sigue: A B c ) co i y j E dode ( ij c ij si aik y bkj para algua k, k p 0 de lo cotrario 33

35 Ejeplo 7 Sea A y B Calcular a) A B b) A B Solució a) Sea A B ( c ij ) Etoces, coo a 43 y b 43 so abos 0, se observa que c 43 0 E todos los deás casos, ya sea a ij o b ij es, de aera que c ij es tabié Por lo tato A B 0 b) Sea A B ( c ij ) Etoces, coo a y b so abos, c, y coo a 23 y b so abos, c E todos los deás casos, ya sea a ij o b ij es 0, de 23 aera que c ij es cero Por lo tato 23 0 A B Ejeplo 72 Sea A y B 0 0 Calcular A B Solució Sea A B c ) Etoces c, ya que el regló de A y la colua de ( ij B tiee cada uo u coo priera etrada De odo seejate, c 2, ya que a 2 y b 22 ; es decir, el prier regló de A y la seguda colua de B tiee u e la seguda posició De aera seejate se ve que c 3 Por otra parte c 0 4, e vista de que el regló de A y la colua 4 de B o tiee uos coues e igua posició Por lo tato 0 A B

36 Teorea 74 Si, A B y so atrices booleaas de taaños copatibles, etoces se cuple las siguietes afiracioes: C i A B B A ii A B B A A iii ) ( ) ( C B A C B A iv ) ( ) ( C B A C B ( v ) ( ) ( ) C A B A C B A ( vi ) ( ) ( ) C A B A C B A A vii ) ( ) ( C B A C B 35

37 Capítulo 2 Estructuras Algebraicas E este capitulo se defiirá priero los sisteas algebraicos geerales y se estudiará alguas de sus propiedades y coceptos básicos, los cuales se aplicara posteriorete a sisteas algebraicos particulares coo seigrupos, ooides, y grupos Los seigrupos ecuetra sus aplicacioes e la aritética de coputadoras coo la ultiplicació, la teoría de aquias secueciales y los leguajes forales Los ooides se eplea e el estudio del aálisis sitáctico y leguajes forales La teoría de grupos es útil e el diseño de suadores rápidos y de códigos de correcció de errores 2 Sisteas algebraicos Defiició 2 (Sistea Algebraico) U sistea cosistete e u cojuto o vacío y e ua o ás operacioes -arias sobre dicho cojuto, recibe el obre de sistea algebraico U sistea algebraico lo deotareos por S, f, f,) co S y f i : S S co i,2, ( 2 Cosidereos el caso particular de sisteas algebraicos co 2, icluyedo solaete ua operació, es decir tratareos sisteas algebraicos de la fora ( S, f : S S S) Defiició 22 (Subalgebra) Si ( S, ) es u sistea algebraico y T S, co T, e dode se cuple que : T T T es operació biaria sobre T, etoces (T,) se llaa u subsistea algebraico o subalgebra de ( S, ) Defiició 23 (Producto Directo) Cosidereos dos sisteas algebraicos ( S, ) y ( T, ), llaareos al sistea algebraico ( S T, ) el producto directo de los sisteas ecioados, siepre que la operació : ( S T ) ( S T ) ( S T ) esté defiida para cualesquiera a, a 2 S y b, b 2 T de la fora siguiete: ( b2 a, b ) ( a, b ) ( a a, b ) Los sisteas ( S, ) y ( T, ) se llaa factores de ( S T, ) 36

38 22 Seigrupos y ooides Defiició 22 (Seigrupo) U seigrupo es u sistea algebraico forado por el cojuto S juto co ua operació : S S S biaria, cerrada e S y asociativa Deotareos a u seigrupo usado el síbolo ( S, ) Defiició 222 (Seigrupo Coutativo) U seigrupo ( S, ) se dice coutativo, si la operació biaria es coutativa, es decir, a b b a para cualesquiera a, b S Ejeplo 22 Sea A u cojuto o vacío y fiito, defiaos por A el cojuto forado por todas las secuecias fiitas de los eleetos de A Al cojuto A lo llaareos alfabeto y a las secuecia fiitas que fora el cojuto A, las llaareos palabras procedetes de A La secuecia que o cotiee eleetos, la llaareos palabra vacía de A y la represetareos co el síbolo Defiaos e A la siguiete fució : A A A para a, b A, digaos a aa2 a r y b bb 2 bs : a b aa2 arbb2 b s y la llaareos cocateació Probareos que el sistea algebraico seigrupo libre geerado por A ( A, ) es u seigrupo, y lo llaareos el ) Claraete la fució : A A A es cerrada, dada la aturaleza de su defiició 2) Sea a, b, c A, digaos a aa2 ar, b bb2 bs y c cc2 ct, etoces teeos que a a2 ar ( bb2 bs cc2 ct ) aa2 ar bb2 bscc2 ct aa2 arbb2 bscc2 c t por otra parte teeos que ( aa2 ar bb2 bs ) cc2 ct aa2 arbb2 bs cc2 ct aa2 arbb2 bscc2 c t Cocluios etoces que seigrupo a ( b c) ( a b) c, luego el sistea ( A, ) es u 37

39 Defiició 223 (Mooide) U ooide es u seigrupo ( S, ) que tiee idetidad respecto de la operació Ejeplo 222 El seigrupo ( A, ) del ejeplo aterior es u ooide La idetidad respecto de la operació cocateació, es precisaete la palabra E efecto ya que para cualquier a A se cuple que a a a Defiició 224 (Subseigrupo) Sea ( S, ) u seigrupo y T u subcojuto de S Si es cerrado bajo la operació, etoces se dice que ( T, ) es u subseigrupo de ( S, ) T Defiició 225 (Subooide) Sea ( S, ) u ooide co idetidad e, y sea T u subcojuto o vacío de S Si T es cerrado bajo la operació y e T, etoces se dice que ( T, ) es u subooide de ( S, ) Supógase que ( S, ) es u seigrupo y que a S Para Z, se defie las potecias de de aera recursiva, de la siguiete aera: a a a a a a, 2 Adeás, si ( S, ) es u ooide, tabié se defie 0 a e Es secillo deostrar que si, Z, etoces a a a 38

40 23 ooorfisos de seigrupos y ooides Defiició 23 (ooorfiso de Seigrupos) Sea ( S, ) y ( T, ) dos seigrupos Ua fució f : S T es u hooorfiso de ( S, ) e ( T, ) si satisface que f ( a b) f ( a) f ( b) Para toda a, b S Adeás si f es suprayectiva, se dice que T es ua iage hooorfa de S E el caso de que f sea biyectiva, direos que es u isoorfiso Ejeplo 23 Sea A 0, y cosidérese los seigrupos ( A, ) y ( A, ), e dode la operació se defie segú la siguiete tabla Se defie la fució f : A A de la siguiete aera: f ( ) 0 Si tiee u úero ipar de uos Si tiee u úero par de uos Deostrareos que f A : A es u hooorfiso de ( A, ) e ( A, ), para ello toeos dos eleetos cualesquiera de A, digaos y, veaos los siguietes casos de cobiacioes respecto al úero de ceros y uos que fora dichos eleetos: ) y tiee u úero ipar de uos Etoces f ( ) y f ( ), por otra parte tiee u úero par de uos, luego f ( ) 0 De acuerdo a la tabla que defie la operació, teeos que 0, es decir, se satisface e este caso la igualdad f ( ) f ( ) f ( ) 2) y tiee u úero par de uos Etoces tabié tiee u úero par de uos y e cosecuecia f ( ) 0, f ( ) 0 y f ( ) 0, luego segú la tabla que defie la operació, se tiee 0 0 0, co lo cual llegaos a la coclusió de que f ( ) f ( ) f ( ) 39

41 3) Supogaos ahora que uo de ellos tiee u úero par de uos, digaos y el otro u uero ipar de uos, digaos Etoces tiee u uero ipar de uos, luego f ( ), f ( ) 0 y f ( ) De uevo segú la tabla para, se tiee que 0, es decir, f ( ) f ( ) f ( ) Aálogaete se prueba la cobiació restate eos deostrado etoces que la fució f A : A es u hooorfiso de ( A, ) e ( A, ) Teorea 23 (ooorfiso de Mooides) Sea ( S, ) y ( T, ) ooides co idetidades e y e respectivaete Sea f : S T u hooorfiso de ( S, ) sobre S T ( T, ) Etoces se cuple que f ( e S ) e T Deostració Sea b T cualquier eleeto, coo f : S T es suprayectiva, existe al eos u eleeto a S tal que f ( a) b Se sigue etoces que: a a e S ( a) f ( a es ) f ( a) f ( es ) b f ( es () b f ) De aera aáloga teeos a e S a (2) b f ( a) f ( e a) f ( e ) f ( a) f ( e ) b S S S De () y (2) teeos que b f ( es ) f ( es ) b y e cosecuecia f ( e S ) et q e d 40

42 Teorea 232 Sea f u hooorfiso de u seigrupos ( S, ) al seigrupo ( T, ) Si A es u subseigrupo de ( S, ), etoces f ( A) t T : t f ( a) para algú a A es u subseigrupo de (T,) Deostració Si t y t 2 so eleetos arbitrarios de f (A), etoces existe tales que t f ( ) y t f ) a 2 ( a 2 a, a 2 A Etoces t 2 ( 2 a2 t f a ) f ( a ) f ( a ) Pero a a 2 A, por ser A u subseigrupo Por lo tato t t2 f ( A) Así heos probado que f (A) es cerrado bajo la operació y coo la propiedad asociativa es valida e f (A), se tiee que f (A) es u subseigrupo de ( T, ) q e d Teorea 234 Si f u hooorfiso de u seigrupo coutativo ( S, ) sobre u seigrupo ( T, ), etoces ( T, ) tabié es coutativo Deostració Sea t y t2 eleetos de T Por ser f suprayectiva, existe tales que t f ( ) y t f ) Por cosiguiete s 2 ( s 2 s, s 2 S t t2 s f ( s) f ( 2 ) f ( s ) s2 f ( s ) 2 s f ( s2 ) f ( s) t 2 t Por lo tato se tiee que ( T, ) tabié es coutativo q e d 4

43 Teorea 235 Si ( S, ) y ( T, ) so seigrupos, etoces ( S T, ) es u seigrupo, dode la operació : ( S T ) ( S T ) S T esta defiida por ( s, t) ( s2, t2 ) (s s 2, t t 2 ) Deostració Claraete por ser ( S, ) y ( T, ) seigrupos, resulta que la operació es cerrada Veaos fialete que es asociativa: Cosidereos s, t),( s2, t2 ),( s3, t ) S T cualesquiera, luego ( 3 [( s, t) ( s2, t2 )] ( s3, t3 ) ( s s2, t t2 ) ( s3, t3) (( s s2 ) s3,( t t2 ) t3) s ( s s ), t ( t )) ( t3 ( s, t) ( s2 s3, t2 t3) ( s, t) [( s2, t2 ) ( s3, t3 )] q e d Defiició 232 (Relació de Cogruecia) Ua relació de equivalecia R e el seigrupo ( S, ) es ua relació de cogruecia si para cada a, b, c, d e S tales que arb y crd iplica que ( a c) R( b d) Ejeplo 232 Sea A 0, y cosidereos el seigrupo libre ( A, ) geerado por A Se defie la siguiete relació sobre A : R y tiee el iso úero de uos Mostrareos que R es ua relació de cogruecia e ( A, ) Prieraete probeos que R es ua relació de equivalecia Se tiee que ) Reflexiva: R para toda A 2) Siétrica: Si R, etoces y tiee el iso úero de uos, de odo que R, para cualesquiera, A 3) Trasitiva: Si R y R, etoces y tiee el iso úero de uos, y tabié y tiee el iso úero de uos, de odo que y tiee el iso úero de uos Por lo tato R, para cualesquiera,, A Veaos fialete que R es ua relació de cogruecia Supógase que R 2 y R 2 Etoces y 2 tiee el iso úero de uos y y 2 tiee el iso úero de uos Coo el úero de uos de es la sua de los úeros de uos e 42

44 y, se cocluye que el úero de uos e es igual al úero de uos que hay Por lo tato ) R 2 ) y etoces R es ua relació de cogruecia e 2 2 ( ( 2 Teor ea 236 Sea R ua relació de cogruecia sobre el seigrupo ( S, ) Cosidérese la operació de S R S R a S R e la que la pareja ordeada ([a],[ b]) se relacioa co [ a b], dode a, b S a) es ua fució de S R S R a S R, y deotareos ([ a],[ b]) por [ a] [ b] Así [ a] [ b] [ a b] b) ( S R,) Deostració es u seigrupo a) Supógase que ([ a],[ b ]) ([ a2 ],[ b2 ]) Etoces a Ra 2 y b Rb2, de odo que debe teerse ( a b ) R( a2 b2 ), ya que R es ua relació de cogruecia Así, [ a b ] [ a2 b 2 ] ; es decir, es ua fució Esto sigifica que es ua operació biaria e S R b) Verifiqueos que la operació es asociativa Se tiee que [ a ] ([ b] [ c]) [a] [ b c] [a ( b c)] [( a b) c) ] [a b] [ c] ([ a] [ b]) [ c] P or lo tato ( S R, ) es u seigrupo y lo llaareos el seigrupo cociete q e d Corolario 23 Sea R ua relació de cogruecia sobre el ooide ( S, ) Si se defie la operació e S R coo [ a] [ b] [ a b], etoces ( S R, ) es u ooide Deostració Si e es la idetidad de ( S, ) etoces teeos que () [ a ] [ e] [ a e] [a] Por otra parte (2) [ a ] [ e] [ a e] [ e a] [ e] [ a] 43

45 De () y (2) se cocluye que [ a] [ e] [ e] [ a] [ a], de odo que [e] es la idetidad e ( S R, ) y e cosecuecia ( S R, ) es u ooide q e d Teorea 237 Sea R ua relació de cogruecia sobre u seigrupo ( S, ) y ( S R, ) el seigrupo cociete correspodiete Etoces la fució f R : S S R defiida por f R ( a) [ a], es u hooorfiso suprayectiva, y le llaareos hooorfiso atural Deostració Si [ a] S R, etoces existe ua a S tal que f R ( a) [ a], esto es debido a la defiició de f Adeás, si a, b S, etoces R f R ( a b) [ a b] [a] [b] f ( a) f ( b) R R De odo que f R es u hooorfiso q e d Teorea 238 (Fudaetal de los ooorfisos) Sea f : S T u hooorfiso del seigrupo ( S, ) sobre el seigrupo ( T, ) Sea R la relació e S defiida por arb si y sólo si f (a) f (b), para a, b S Etoces a) R es ua relació de cogruecia b) ( T, ) y el seigrupo cociete ( S R,) so hooorfos Deostració a) Deostrareos que R es ua relació de equivalecia i) Reflexiva: ara para toda a S pues f ( a) f ( a) ii) Siétrica Si arb etoces f ( a) f ( b), esto es f ( b) f ( a) lo cual iplica que bra, para a, b S iii) Trasitiva: si arb y brc, etoces f ( a) f ( b) y f ( b) f ( c), por lo tato se obtiee que f ( a) f ( c) Por tat o arc, para a, b, c S A hora supógase que ara y que brb Etoces f a) f ( a ) y f b) f ( b ) ( ( 44

46 Al ultiplicar e T se tiee Coo f f ( a) f ( b) f ( a) f ( b ) es u hooorfiso, la ultia ecuació se escribe coo f ( a b) f ( a b ) Por lo tato ( a, b ) R ( a, b ) y R es ua relació de cogruecia b) Ahora cosidereos la siguiete relació f de S R a T defiida de la siguiete fora f a], f ( a)) :[ a] S R ([ Priero deostrareos que f es ua fució Supógase que a ] [ a ] Etoces [ ara, de odo que f ( a) f ( a), lo cual iplica que es ua fució, Ahora podeos escribir f : S R T, dode f ([ a]) f ( a) para todo [ a] S R A cotiuació se ostrara que f es iyectiva, Supogaos que f ([ a]) f ([ b]), etoces f ( a) f ( b) Así arb, lo cual iplica que [ a] [ b] Por lo tato es iyectiva f f Observeos tabié que Suprayectiva, f es suprayectiva Supógase que b T Por ser f f ( a) b para algú a S Etoces f ([ a]) f ( a) b Así cocluios que f es suprayectiva Por ultio teeos que f ([ a] [ b]) f ([ a b]) f ( a b) f ( a) f ( b) f ([ a]) f ([ b]) Por lo tato, f es u hooorfiso q e d 45

47 Ejeplo 233 Sea A 0, y cosidérese el seigrupo libre A geerado por A bajo la operació de cocateació Teeos que ( A, ) es u ooide, co la cadea vacía coo idetidad Sea N el cojuto de eteros o egativos Etoces N es u seigrupo bajo la operació de sua ordiaria, el cual deotareos co ( N, ) Se verifica de fora secilla que la fució f : A N dada por f ( ) el uero de uos e es u hooorfiso Sea R la siguiete relació e A : R si y solo si f ( ) f ( ) El teorea aterior iplica que A R y N so hooorfos, bajo el hooorfiso f : A R N defiido por f ([ ]) f ( ) el uero de uos e La parte b) del teorea aterior podeos represetarlo ediate u diagraa de la siguiete fora: E dode f R es el hooorfiso atural Las fucioes f R y iplica que f f R f, puesto que ( f f )( a) f ( f ( a)) f ([ a]) f ( a) R R f 46

48 24 Grupos Defiició 24 (Grupo) U grupo es u ooide ( G, ) co idetidad e, co la propiedad adicioal de que para cada eleeto iverso de a, tal que a a a a e a G existe u eleeto a G, llaado Defiició 242 (Grupo Abeliao) U grupo ( G, ) es abeliao si la operació es coutativa e G Teorea 24 Sea ( G, ) u grupo Cada eleeto a G tiee u úico iverso e G Deostració Es cosecuecia de que la operació es asociativa q e d Teorea 242 Sea ( G, ) u grupo y sea a, b, c G Etoces ) a b a c iplica que b c (propiedad de cacelació por la izquierda) 2) b a c a iplica que b c (propiedad de cacelació por la derecha) Deostració ) Supogaos que teeos a b a c, al ultiplicar abos lados de esta ecuació por a por el lado izquierdo, se obtiee a ( a ( a b) a ( a c) a) b ( a a) c e b e c b c 2) Supogaos ahora que b a c a, al ultiplicar abos lados de esta ecuació por a por el lado derecho, se obtiee ( b a) * a ( c a) a b ( a * a ) c ( a a b e c e b c ) q e d 47

49 Teorea 243 Sea ( G, ) u grupo y sea a) ( a ) a b) ( a b) b a a, b G Etoces Deostració a) Se deostrara que a actúa coo iverso de a a a a e a : Por uicidad del iverso se tiee que ( a ) a b) ( a b) ( b a ) a ( b ( b a )) a (( b b a ( e a a a e ) a ) ) Aálogaete se tiee que ( b a ) ( a b ) e, de odo que ( a b) b a q e d Cosidereos u grupo ( G, ) fiito (coo cojuto), podeos etoces proporcioar su operació biaria ediate ua tabla, que por lo geeral llaareos tabla de ultiplicar La tabla de ultiplicar de u grupo G a, a2,, a bajo la operació biaria deberá satisfacer las siguietes propiedades: La fila etiquetada co la idetidad e debe coteer los eleetos a, a 2,, a y la colua etiquetada co e debe coteer los eleetos a, a 2,, a 2 Cada eleeto b del grupo debe aparecer exactaete ua vez e cada fila y colua de la tabla Así, cada fila y colua es ua perutació de los eleetos a, a 2,, a y cada fila y colua deteria ua perutació diferete 48