2 El Método de Elementos Finitos (MEF)

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1 El Método de Elementos Finitos (MEF) (COMPEMENTO PARTE II) Detlles de l formulción del problem de segundo orden y su modeldo por elementos nitos En los problems que suelen presentrse pr resolver, origindos en lgun problem de ingenierí, suelen presentrse lgunos tipos de discontinuiddes Se nlizrá como debe formulrse un problem, con el objeto de clri cr que tipo de considerciones se deben tener l momento de discretizr este pr resolverlo por elementos nitos Se supone que se tiene el cso de l siguiente gur: Muchos problems de físic se formuln utilizndo dos vribles, un denomind vrible de estdo u y el ujo Ests dos vribles se relcionn entre si por medio de l ecución constitutiv que describe el comportmiento del mteril sometido l proceso en estudio Si dicho comportmiento es linel, l relción constitutiv tiene l siguiente form: u (x) (x) k (x) () k (x) se denomin módulo del mteril, y es un dto del problem, y se sume que es siempre positivo o siempre negtivo ley de conservción estblece que pr un ddo dominio el ujo neto es cero El ujo puede estr presente de un form distribuíd, descript por l función f (x), de un form puntul, descript por f (x) (x x d ) o trves de los bordes de l región, condiciones de contorno Además de ls condiciones que estblecen l ley de conservción y l ecución constitutiv sobre l vrible de estdo u (x), l que se le pide que se un función continu de x Otr condición que puede pedirse es que u (x) tome un vlor determindo en uno o mbos extremos, lo hemos denomindo condición de borde esencil s demás condiciones que pueden imponerse pueden derivrse de l ley de conservción En l gur se observ que se tienen ls siguientes discontinuiddes: en l función que describe el ujo distribuído f (x) en x x en l función que describe el ujo distribuído f (x) en x x 3 donde present un discontinuidd simple dd por l función delt de DIrc en el módulo k en x x, se supone continuo dentro de cd subdominio en l función que describe el ujo distribuído, que present un discontinuidd simple en s discontinuiddes en los dtos llevn de nir cutro subdominios dentro de los cules los dtos son suves y un totl de cinco puntos donde hy discontinuiddes, los dos extremos y los tres puntos dentro del dominio, enumerdos recientemente, donde se tiene lgun discontinuidd en los dtos A continución se escribe l expresión generl de un ecución diferencil de segundo orden:

2 (x) u (x) u (x) + (x) + (x) u (x) f (x) () Donde k (x) nunc se nuln ni cmbin de signo en el dominio (esto está relciondo con el hecho de estr trtndo problems de tipo elípticos) form más generl de expresr ls condiciones de borde relciondos con un ecución diferencil de segundo orden es: u () + u () en x x (3) u () + u () en x x Porción del dominio donde los dtos son suves Anlizremos el plnteo mtemático sobre un porción -b del dominio, donde todos los dtos son continuos y suves, como se esquemtiz en l siguiente gur: Por l ley de conservción, el ujo debe conservrse pr todo punto, entonces: tomndo límite en mbos miembros: (b) (b) () () como f (x) es cotd, en el límite de l integrl es, entonces: [ (x)] (b) f (x) dx (4) f (x) dxa () (5) siendo [ (x)] el slto del ujo en el punto x El resultdo de l (5) dice que, si no hy discontinuiddes, el ujo es continuo en todos los puntos de un dominio suve Como f (x) es continu, puede utilizrse el teorem del vlor medio del cálculo integrl f (x) dx (b ) f () con b donde f () es el vlor promedio de f (x) en [; b] Entonces (b) () f (x) dx (b ) f ()

3 3 y (b) () f () (b ) tomndo limites en mbos miembros: (b) () b!x (b ) + (f ()) como l función es continu, el limite de l prte derech existe y es lo que se conoce como derivd, por lo tnto el otro limite existe entonce, pr tod región suve puede escribirse: (x) f (x) Reemplzndo en est últim l expresión de l ecución constitutiv () se tiene: (x) k (x) u(x) u (x) k (x) f (x) como k (x) es suve, entonces l expresión nterior puede expndirse : k (x) u (x) Si comprmos est últim con l (), y considermos que: (x) k (x) (x) k(x) (x) tenemos que (6) es un ecución diferencil del tipo () k (x) u (x) f (x) (6) Porciones del dominio donde los dtos no son suves Discontinuiddes nits Discontinuidd nit en l fuente distribuíd f (x) Es el cso que se produce en el punto x x de l FIg[9] Anlizremos un porción que incluye l discontinuidd, como se muestr en l siguiente gur: Por l ley de conservción se tiene: tomndo limites (b) () f (x) dx

4 4 (b) () f (x) dxa f (x) dxa conlo que tenemos: (x) que el slto del ujo en el punto x sigue siendo homogeneo, pero debido l discontinuidd h de i f (x) no es plicble el teorem del vlor medio Aunque k (x) u(x) fuer continu k (x) u(x) no existe por no existir el límite, lo cul signi c que en x x no tenemos ecución diferencil Discontinuidd en l ecución constitutiv k (x) (cmbio de mteril) Este tipo de discontinuidd es del tipo que se produce en l zon de contcto entre dos mteriles diferentes, y por lo tnto de relciones contitutivs distints, como en el punto x x Por l ley de conservción: (b) () f (x) dx Al plicr limites, nuevmente tenemos que el slto en el punto x donde se produce l discontinuidd es homogeneo, mtemáticmente (x) Como f (x) es continu, se puede plicr el teorem del vlor medio del cálculo integrl, obteniendo que: (b) () b!x (b ) + (x) (f ()) f (x) Si hor se reemplz l expresión de l ecución constitutiv en est últim se tiene: u (x) k (x) f (x) pero en este cso, k (x) es discontinu y no puede expndierse como en (6) ecución diferencil existe en el punto pero no puede ser expndid Discontinuidd simple en l fuente distribuíd dd por l función delt de Dirc (fuente puntul) Es el cso representdo por el punto x x 3 en Fig[9], donde se pressent un fuente puntul

5 5 Nuevmente, por l ley de sonservción del ujo (b) () f (x) dx + recordndo que: f (x) : prte suve y continu de l fuente f (x x 3 ) : fuente puntul Tomndo límites en mbos miembros: se tiene que: (b) () f (x x 3 ) dx f (x) dxa + f (x x 3 ) dxa f (x f (x) dxa x 3 ) dxa f por lo tnto: (x) f Est últim indic que en este cso! se tiene un slto no homogeneo en el ujo br Además, f (x x 3 ) dx es independiente de los límites, por lo tnto (x) xx 3 no está de nid lo que impide de nir l ecución diferencil en ese punto Discontinuidd producid por l presenci de un borde del dominio Hst hor no hemos nlizdo ls condiciones de borde como un discontinuidd, pero de hecho lo son, y surgen cundo se de ne l intercción del sistem que se est estudindo con el medio que lo rode, especi cndo en los bordes el vlor de l vrible de estdo o del ujo

6 6 En los segmentos de extremo tmbien se cumple l ley de conservción, en consecunci: (b) () f (x) dx tomndo limites, cundo b! se tiene que ()!, y cundo! que ()! Por l ley constitutiv, entonces: u () k () u () k () lo cul llev que ests condiciones estn jndo el vlor de l derivd de l vrible de estdo en los extremos s expresiones nteriores presentn l form generl de expresr ls condiciones nturles En otrs situciones (como en el cso de trnsferenci de clor por convección, referido l ecución de clor) se supone que el ujo es proporcionl l diferenci entre el vlor de l vrible de estdo en el borde u () o u () y su vlor de referenci en el medio circundnte u (conocid como tempertur de l fuente in nit) Este tipo de condición se escribe mtemáticmente como: (7) K [u () u ] K [u () u ] donde K o en generl es un constnte que depende del módulo que corresponde l mteril del medio circundnte Si se reemplz l nterior en (7): u () k () u () k () K [u () u ] K [u () u ] ests expresiones tmbién son condiciones de contorno de tipo nturl (por el hecho de estr involucrd l derivd de l vrible de estdo u) En el cso de problems donde se especi cn solo condiciones de tipo nturl en el borde, deberá stisfcerse un condición globl de conservción dd por: + Z f (x) dx (8) (Not: en este último cso, l expresion (8) grntiz l existenci de l solución, no grntiz l unicidd) IMPORTANTE: ls discontinuiddes condicionn l discretizción, esto se debe que ls funciones de form no podrán comodrse ls discontinuiddes En otrs plbrs, en el momento de prticionr el dominio en elementos se colocrá un nodo en los puntos donde se produzc lgún tipo de dicontinuidd en los dtos os términos que involucrn ls discontinuiddes no pertenecerán l descripción locl crcterístic de l descripción con elementos, preciendo cundo se sumn ls contribuciones de todos los elementos l mtriz de rigidez (mtriz de coe cientes) y l término de crg (vector de términos independientes) Funciones de form (o de interpolción o proximntes) Polinomios de grnge Cundo se utilizn como funciones de interpolción polinomios de grnge se obtiene l formulción de un elemento de tipo grngeno os polinomios se de nen en el sistem locl del elemento [ ; ] y se utiliz l trnsformción (??) pr socir l vrible locl con l vrible globl x Debemos recordr que ls funciones de form N i () tienen ls siguientes propieddes:

7 7 N i j si i j si i 6 j que muestr que ls m + funciones N i () formn un conjunto linelmente independiente, conformndo un bse pr culquier polinomio de grdo m o menor Est propiedd se trsld ls funciones globles por trmo que se obtienen prtir de estos polinomios que formn l bse Recordndo l de nición de los polinomios de grnge de orden m: m+ Y P m () f i y su orden de error de truncmiento socido es: j j6i i E / O h m+ siendo h l seprción entre nodos vecinos y f i pr el cso de ls funciones de form, con lo cul l expresión generl pr un polinomio de orden m (que involucrrá m + puntos o nodos) será: N i () m+ Y j j6i condición de completitud pr los polinomios d egrnge deviene de l condición impuest l fmili de funciones con ls cules se rm l solución proximd que decí que est debí tener l posibilidd de representr culquier vrición de l función incógnit en el dominio Est condición es muy importnte, por ejemplo si fltr el término proporcionl x estndo presentes los que son proporcionles x ; x ; x 3 ; :::; x m esto tendrá como consecuenci inmedit que E / O (h) y no E / O h m+ Si el término fltnte fuer el proporcionl x puede suceder que ls funciones de interpolción no tengn ningun convergenci Otr implicnci es que, si l función incógnit tiene derivds hst orden s, con s m, no importrá cunto umentemos el grdo m del polinomio en l función proximnte y que solo los primeros s términos servirán pr proximr l función, estndo el error ddo por E / O (h s ), por lo tnto si se quiere mejorr l convergenci lo que se debe hcer es disminuir el tmño de los elementos (subdominios) i j j j j Condiciones de borde Se presentn continución los tres csos principles (presentd pr dominio unidimensionl): que se obtienen prtir de l expersión generl u () + u () en x x u (l) + u () en x x Un vez sumds ls contribuciones elementles, el sistem globl tiene l form: k k 3 3 ::: u k k + k k ::: u k k + k 3 ::: u 3 k 3 ::: u ::: k m + k m k m ::: k m k m ( () y () si correspondieren) Condición esencil o de Dirichlet Se especi cn los vlores de l vrible de estdo en los extremos: u m u m f + () f + f f + f 3 f 3 + f 4 f m + f m f m + () 3 7 5

8 8 u u () y u u () (9) Esto produce que el número de incógnits se reduce en dos, lo que permite reducir el sistem de ecuciones en dos (no hy residuo en los bordes) 6 4 k + k k ::: k k + k 3 ::: k 3 ::: ::: k m + k m k m u u 3 u 4 u m f + f ku 3 f + f 3 f 3 + f f m + f m ku m Condiciones nturles generles Corresponden l cso que en el contorno se especi c un combinciónlinel de l vrible de estdo y del ujo u () u () u u () u () () u () u u () Hciendo uso de l relcion constitutiv () result: u () k () k () u () u () k () k () u () u() (Observción: tiene signo ( ) y u() tiene signo (+)) que l ser reemplzds en el sitem globl qued: 6 4 k k() k ::: k k + k k ::: k k + k 3 ::: k 3 ::: ::: k m + k m k m ::: k m k m + k() u u u 3 u 4 u m u m f k() f + f f + f 3 f 3 + f 4 f m + f m f m + k() Sistem que puede ser resuelto pr ls m incógnits Condición nturl de Newmn En este cso se especi c el vlor de l derivd en los extremos u () u () y () Este tipo de condición requiere se tengn cierts considerciones, en relción l tipo de ecución que se está resolviendo ecución generl de gobierno: (x) si (x) (x), qued: k (x) u (x) u (x) + (x) + (x) u (x) f (x)

9 9 (x) k (x) k (x) u (x) u (x) f (x) () f (x) (x) Si u es solución de () con ls condiciones (), entonces u + C (C un constnte rbitrri) tmbien es solución del mismo problem Esto signi c que l mtriz de rigidez es singulr (sistem comptible indetermindo) s cosntntes que de nen ls condiciones () no pueden ser rbitrris, y que debe stisfcerse l condición de conservción globl del ujo (que estblece que se debe sonservr el ujo en todo el dominio) Pr el cso más generl l form débil del problem tendrá l form: Z k (x) W N m dx Z W f (x) dx + fw (x) k () + k () válido pr culquier función W Si un solución del problem es u C o lo cul hce que: por lo cul: Z k (x) W N m dx Z W f (x) dx + fw (x) k () + k () (3) expresión (3) es un condición de comptibilidd, y constituye un condición necesri pr que exist l solución Pr determinr l solución es imprescindible especi cr o signr un vlor l prámetro u j (correspondiente un nodo j de l discretizción) (Suele socirse este problem con un problem de mécnic del sólido, donde C represent un movimiento de cuerpo rígido)