Moisés Villen Muñoz Cónis. Cirunfereni. Prábol. Elipse. Hiperbol Objetivos. Se persigue que el estudinte: Identifique, grfique determine los elementos de un óni onoiendo su euión generl. Ddo elementos de un óni enuentre su euión. Resuelv problems de pliión emplendo teorí de ónis 9
Moisés Villen Muñoz Cónis Ls ónis o tmbién llmds seiones ónis se presentn undo un doble ono se interse on plnos. No estmos interesdos en los lugres geométrios de, estudiremos ls urvs de interseión de ests superfiies pero en. Se obtendrán ls euiones de definiiones diretmente en el plno rtesino. Desubriremos que l euión de un óni, tiene l form: A B C D E F 0 Con A 0 ó B 0 ó mbos, E 0... Cirunfereni... Definiión. Se O un punto del plno se r un número rel positivo. Se define l irunfereni omo el onjunto de puntos P, tl que l distni de P O es igul r. Es deir: {, /, } Cirunfereni P d P O r Al punto O se le denomin entro de l irunfereni r se le denomin rdio de l irunfereni. 50
Moisés Villen Muñoz Cónis... Euión nóni de l irunfereni Supongmos que O tiene oordends h, k P, r h k O, L distni entre los puntos P, de l irunfereni el punto C h, k, l ul denotmos omo r, está dd por r entones, tenemos: r h k, h k Euión nóni de un irunfereni. Pr r > 0. Un tipo espeil de irunfereni es quell que tiene por euión: Es deir, un irunfereni on entro O 0,0, el origen: r r O 0,0 r r 5
Moisés Villen Muñoz Cónis Despejndo, obtenemos ls euiones de ls semiirunferenis superior e inferior. Ejemplo Hllr l euión nóni de l irunfereni que tiene entro el punto O, rdio SOLUCIÓN: Reemplzndo en h k r tenemos: 9 L euión nóni pedid. Ahor, en l euión nóni del ejemplo nterior, l elevr l udrdo reduir términos semejntes se obtiene: 6 9 6 0 Se puede deir, entones que l euión de un irunfereni tendrá l form: C D F 0 O tmbién: A A C D F 0 Est últim euión es llmd ECUACIÓN GENERAL DE UNA CIRCUNFERENCIA. Por tnto si nuestr intensión fuese dibujr l irunfereni o desubrirle sus elementos entro rdio prtir de l euión generl, deberímos llevr l euión su form nóni ompletndo trinomios udrdos perfetos. 5
Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemplo Grfir l irunfereni que tiene por euión 6 0 Soluión L euión generl dd, l trnsformmos l euión nóni ompletndo udrdos 6 9 5 9 Tenemos un irunfereni de rdio r 5 entro C, r 5 C, No tod euión de l form representrá un irunfereni. A A C D F 0 Si en el proeso de llevrl l form nóni se obtiene r 0, es deir result h k 0, el lugr geométrio es el punto Ohk,. Por qué? Si r < 0, l euión no represent lugr geométrio. Por qué? Ejemplo Hllr l euión nóni de l irunfereni que ontiene los puntos,,,, 0 Soluión: Si los puntos perteneen l irunfereni deben stisfer su euión. En este so emplemos l euión generl C D F 0. Reemplzndo ls oordends de los puntos ddos: 5
Moisés Villen Muñoz Cónis C D F 0 0 C D 0 F 0 C D F 0 Resolviendo simultánemente el sistem: C D F 5 C F 9 C D F 9 En l segund euión se obtiene F 9 C Reemplzndo en l primer: C D F 5 C D 9 C 5 C D D C Reemplzndo D F en l terer euión: Entones: C D F 9 C C C 9 9 C C 6 C 9 C 96 9 C C 86 C 6 C 6 D C 6 D F 9 C 9 6 F 9 Por tnto, l euión generl de l irunfereni serí: 6 9 0 Agrupndo ompletndo udrdos, se obtiene l euión nóni: 6 9 0 6 9 9 9 Ejeriios Propuestos.. Grfique el lugr geométrio definido por d un de ls siguientes euiones:. 0 b. 9 0 b. 6 0. 6 7 0. Determine l euión de l irunfereni que ontiene los puntos A 0,6, B,5 uo entro se enuentr sobre l ret definid por l euión. Resp. 5 5
Moisés Villen Muñoz Cónis. Determine l euión generl de un irunfereni tngente l ret definid por l euión 5 0, está entrd en el punto, Resp. 6 5 6 0. L interseión de ls rets L : 0 L : 0 es el entro de un irunfereni que es tngente l ret L : 0. Determine l euión de l 8 irunfereni. Resp. 6 7 5. Determine l longitud de l uerd de l irunfereni que tiene omo euión 6 0 onoiendo que el punto medio de dih uerd tiene 7 oordends 7,. Resp. 506 6. Hllr l euión nóni de l irunfereni que ontiene los puntos 0,0,, 9,. Resp. 5 7. Determine l euión de l irunfereni que es tngente ls rets de euiones que ontiene l punto 5 9,. Resp... Prábol... Definiión Se l un ret se F un punto. L prábol se define omo el onjunto de puntos P, tl que su distni l punto F es igul su distni l ret l. Es deir: Prábol { P, / d P, F d p, l } Al punto F se le denomin foo de l prábol l ret l se le denomin diretriz de l prábol. euión.. Euión nóni Supongmos que F tiene oordends, p p on p > 0. Observe l gráfi: 0 l ret l tiene d p, F P, F 0, p p d p, l V 0,0 p l p 55
Moisés Villen Muñoz Cónis Observe que que d P, l p d P, F 0 p. Igulndo distnis resolviendo: d P, F d P, l 0 p 0 p p p p p p p Al punto V se le denomin vértie de l prábol, en este so tiene oordends 0,0. A l ret perpendiulr l diretriz, que ontiene l vértie l foo, se le denomin Eje Fol. Observe que pr l prábol nterior el eje fol es el eje. Observe demás que l prábol es ónv hi rrib. Al segmento de ret perpendiulr l eje fol que ps por el foo que tiene omo etremos los dos puntos de l prábol, se denomin ldo reto tiene un medid de p. Demuéstrele! Supong hor que el vértie no es el origen, que tenemos V h, k, entones su euión serí: Y su gráfio serí: h p k p P, F h, k p p V h, k p l k p Pr otros sos, tenemos: h p k 56
Moisés Villen Muñoz Cónis Un prábol on eje fol vertil, pero ónv hi bjo. Eje fol diretriz l V h, k p k p foo F h, k p p Si l prábol tiene euión k p h, Su eje fol será horizontl demás será ónv hi l dereh: l h p p p V h, k F h p, k Si l prábol tiene euión k p h. Su eje fol será horizontl, pero hor será ónv hi l izquierd: 57
Moisés Villen Muñoz Cónis l h p p p F h p, k V h, k L euión generl de est óni será de l form A B C D F 0 on A 0 o B 0 pero no mbos. Es deir tendremos euiones de l form o de l form B C D F A C D F 0, según se l direión del eje fol. 0 O más simplemente C D F 0 Ejemplo C D F 0 Grfir l prábol que tiene por euión 0 97 0. Indique oordends del vértie, oordends del foo, euión de l ret diretriz. SOLUCIÓN: Despejndo l vrible udráti pr ompletrle udrdos grupndo, tenemos: Se dedue entones que: 0 97 5 5 5 5 6 8 6 97 5 58
Moisés Villen Muñoz Cónis. 5 L prábol tiene vértie V,.. El eje fol es prlelo l eje. L prábol es ónv hi rrib. p debido que 6 p. Relizndo su gráfi tenemos: p 5 9 F, p 5 V, Ejemplo Hllr l euión generl de l prábol que tiene foo el punto de oordends, diretriz l ret on euión. SOLUCIÓN En primer lugr representmos el foo l diretriz en el plno rtesino. diretriz p F, V, Eje fol Conluimos que:. El vértie debe tener oordends, 59
Moisés Villen Muñoz Cónis. El eje fol es prlelo l eje. L prábol es ónv hi l izquierd.. p, distni del vértie l foo o distni del vértie l diretriz. 5. L euión de trbjo es k p h Bien, reemplzndo los vlores en l euión de trbjo, tenemos: 88 8 0 Ejemplo Un puente olgnte de 0 m de longitud tiene tretori prbóli sostenid por torres de igul ltur si l diretriz se enuentr en l superfiie terrestre el punto más bjo de d ble está 5 m de ltur de dih superfiie, hllr l ltur de ls torres. SOLUCIÓN: Primero hemos un representión gráfi de l informión proporiond, trbjndo en el plno rtesino, es mejor poner el vértie en el origen: 0 m P 60, 60 } V 0,0 } 5m h Superfiie terrestre Diretriz L euión de l tretori serí: 5 60 Utilizndo l euión de l tretori determinmos : 60 60 60 60 Por lo tnto l ltur de ls torres serí: h p h 60 5 h 75m 60
Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemplo Hllr l euión de l prábol que tiene eje fol vertil ontiene los puntos, 5,, 7,5. SOLUCIÓN: Y que tiene eje fol vertil emplemos l euión C D F 0 Porqué?. Cómo los puntos perteneen l prábol, ls oordends deben stisfer su euión. Reemplzndo simplifindo: C D 5 F 0 C 5 D F C D F 0 C D F 9 7 C 7 D 5 F 0 7 C 5 D F 9 Resolviendo el sistem simultáneo se obtiene: C 6, D F Por tnto l euión busd serí: 6 0 Ejeriios Propuestos.. Grfique el lugr geométrio definido por d un de ls siguientes euiones: Indique todos sus elementos.. 0 b. 9 0. 6 0 d. 6 7 0. Determine l euión de l prábol u diretriz es l ret definid por, ontiene l punto 0, l menor distni entre l prábol l diretriz es igul. Resp. 8. Determine l euión nóni de l prábol donde l ret diretriz tiene l euión 0 0, B 8,. los etremos del ldo reto son los puntos A Resp. 8. Enuentre l euión nóni de l prábol que tiene eje fol vertil ontiene los puntos: 0,0,,,, Resp. 7 9 8 8 5. Resuelv el problem nterior suponiendo hor que el eje fol es horizontl. 5 5 Resp. 8 6 6. Enuentre l euión nóni de l prábol que tiene eje fol horizontl ontiene los puntos:,,0,,,0 Resp. 5 7. Resuelv el problem nterior suponiendo hor que el eje fol es vertil. 6 5 Resp. 6 6
Moisés Villen Muñoz Cónis.. Elipse.. Definiión. Sen F F dos puntos del plno se un onstnte positiv. L Elipse se define omo el onjunto de puntos P, tles que l sum de su distni F on su distni F es igul. Es deir: Elipse { P / d P, F d P, F }, A F F se les denomin foos de l elipse represent l medid del semieje mor de l elipse... Euión Cnóni Sen F,0 F,0, observe el gráfio: P, b V,0 F,0 O0,0 b F,0 V,0 Eje fol De l definiión tenemos: P F d P, F d, 0 0 Despejndo un rdil, elevndo l udrdo reduiendo términos semejntes: 6
Moisés Villen Muñoz Cónis 6 Dividiendo pr, elevndo l udrdo reduiendo términos semejntes: [ ] [ ] Dividiendo pr Finmente, llmndo b tenemos: b Euión nóni de l elipse on entro 0,0 O eje fol horizontl b represent l longitud del semieje menor, Observe l gráfi nterior. Aquí el ldo reto tiene dimensión b. Demuéstrelo! Pr los sos generles tenemos: Supong que el vértie es el punto, k h V, que el eje fol se horizontl entones su euión serí: b k h Y su gráfi serí:
Moisés Villen Muñoz Cónis V h, k F h, k O h, k F h, k V h, k Observión: L direión del eje fol está indid por el término que tiene el mor denomindor, es este so ese serí el vlor de. Observe tmbién que > b. Por lo tnto, si el eje fol fuese vertil, su euión serí: Y su gráfi serí: k h b V h, k F h, k b O h, k b F h, k V h, k 6
Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemplo Grfir l Elipse que tiene por euión 5 6 00 96 56 0. Indique todos sus elementos. Soluión L euión generl dd, l trnsformmos l euión nóni ompletndo udrdos 5 5 Ahor dividimos pr 00 6 6 9 6 00 6 5 00 6 5 00 00 00 L últim euión nos indi que l elipse tiene:. Centro 0, 56 00. Eje fol vertil, debido que el mor denomindor está sobre el termino que ontiene Entones 5 5. b 6 b. Lo nterior nos permite lulr el vlor de. Por lo tnto l gráfi serí: b 5 6 9 V,8 Eje Fol F,6 O, F,0 V, 65
Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemplo Hllr l euión generl de l Elipse ue eje mor mide 0 uniddes los foos son los puntos de oordends 0,.5 0, 5. SOLUCIÓN: Primero representmos en el plno rtesino los puntos ddos. V 0,0 F 0,5 O0,0 F 0, 5 V 0, 0 Observmos que l elipse tiene omo eje fol, el eje, que 5. Como nos dien que el eje mor mide 0 uniddes, entones 0 Esto, nos permite lulr b : b b 0 5 b 00 75 b 5 b 5 Finlmente l euión de l elipse serí: 00 5 00 Ejemplo Un pist de rros tiene form de elipse, el eje mor mide 0 km. Y el eje menor 6 km. Determine l distni que se enuentr un rro del entro de l pist en el momento en que ps l ltur de uno de los foos. Soluión Representndo en el plno rtesino l informión proporiond, tenemos: 66
Moisés Villen Muñoz Cónis rro V 5,0 O0,0 d b V 5,0 F,0 F,0 L euión de l elipse serí: 5 Como 5 b entones b 5 9 6 L dimensión de l ltur de uno de los foos l elipse es l mitd de l dimensión del ldo reto d b 9 5 Emplendo el teorem de Pitágors, result: d d 8 5 9 5 Ejeriios Propuestos.. Grfique el lugr geométrio definido por d un de ls siguientes euiones: Indique todos sus elementos.. 9 6 8 0 b. 9 8 6 0. Si los foos de un elipse son los puntos F,, F, el perímetro del triángulo uos vérties son los foos un punto de l elipse, es igul 6, determine l euión de l elipse. Resp. 5 6. El ro de un puente es semielíptio, on eje mor horizontl. L bse tiene 0 m. su prte más lt on respeto l tierr es 0 m. Determine l ltur del ro 6 m. del entro de l bse. Resp. h m. Determine los vlores de k pr que l euión k desrib un elipse. Resp. k > 9 67
Moisés Villen Muñoz Cónis 5. L Tierr gir lrededor del Sol siguiendo un órbit elípti on eentriidd igul 0.07 6 eje mor de 99 0 Km. Si el sol está ubido en uno de los foos de l elipse, determine l mor l menor distni entre l Tierr el Sol. NOTA: eentriidd e Resp. d MAYOR 5.07 Km. d MENOR 6.986 Km... Hiperbol.. Definiión. Sen F F dos puntos del plno se un onstnte positiv. L Hipérbol se define omo el onjunto de puntos P, del plno tles que el vlor bsoluto de l difereni de su distni F on su distni F es igul. Es deir: Elipse { P / d P, F d P, F }, A F F se les denomin foos de l hipérbol... Euión Cnóni Sen F,0 F,0, observe el gráfio: b P, F,0 V,0 V,0 O0,0 F,0 b De l definiión tenemos: P F d P, F, d 0 0 68
Moisés Villen Muñoz Cónis 69 Despejndo un rdil, elevndo l udrdo reduiendo términos semejntes: Dividiendo pr, elevndo l udrdo reduiendo términos semejntes: [ ] [ ] Dividiendo pr Finmente, llmndo b tenemos: b Euión nóni de l hipérbol on entro 0,0 O eje fol horizontl Aquí b represent l longitud del segmento Observe l gráfi nterior llmdo semieje onjugdo. Pr los sos generles tenemos: Supong que el vértie es el punto, k h V, que el eje fol se horizontl entones su euión serí: b k h Y su gráfi serí:
Moisés Villen Muñoz Cónis F h, k V h, k O h, k F h, k V h, k OBSERVACIÓN: L direión del eje fol est indid por el término positivo demás sobre este término estrá. Por lo tnto, si el eje fol fuese vertil, su euión serí: Y su gráfi serí: k h b Eje fol F h, k V h, k O h, k V h, k F h, k 70
Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemplo Grfir l hipérbol que tiene por euión 6 0. Indique oordends de los vérties, oordends de los foos euiones de ls síntots. SOLUCIÓN: Agrupndo ompletndo udrdos pr drle l form nóni l euión: Se onlue que:. L hipérbol tiene eje fol vertil, debido que el termino positivo es el que ontiene... b b El vlor de se lo lul emplendo l fórmul b, es deir: b Por lo tnto su gráfi serí: Eje fol F, V, V, C, F, Ls euiones de ls síntots se determinn igulndo ero l euión nóni: 0 ± ± ± 7
Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemplo Hllr l euión generl de l óni que tiene por foos los puntos, 7, ; por vérties los puntos, 6, SOLUCIÓN: Representndo los foos vérties en el plno rtesino, smos ls onlusiones neesris pr plnter l euión busd F, O, V, V 6, 7, F Del gráfio se observ que:. El eje fol debe ser horizontl.. El entro tiene oordends 0,.. El vlor de b se lul emplendo l formul b, es deir: b 9 5 Ahor hllndo l euión de l hipérbol, tenemos: 5 8 6 6 9 5 5 0 80 5 6 0 0 0 0 0 Ejeriios Propuestos.. Grfique el lugr geométrio definido por d un de ls siguientes euiones: Indique todos sus elementos.. 9 6 8 9 0 b. 9 8 6 9 0. Determine l euión de ls síntots de l hipérbol definid por 8 6 0. Resp. ± 7
Moisés Villen Muñoz Cónis. Determine l euión de l ret que ontiene l entro de l hiperbol u euión es 8 9 0 es perpendiulr l ret definid por l euión 9 0. Resp. 9 0. Determine l distni entre los vérties de l óni on euión 9 8 9 Resp. 6 5. Si un hipérbol, un irunfereni de rdio 5 el retángulo ABCD de ldo AB 6, están ubidos en el plno rtesino omo se muestr en l figur, determine l distni entre los vérties de l hipérbol. Resp. d 0 Otrs regiones del plno, importntes onsiderr, serín quells que están definids por ineuiones. Ejemplo Grfique l región del plno R, SOLUCIÓN: { / > } > < 7
Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemplo Grfique l región del plno R, { / } < > Ejemplo Grfique l región del plno R, { / } < > > 7
Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemplo Grfique l región del plno R, { / },5, Ejemplo 5 Grfique l región del plno {, / } R 75
Moisés Villen Muñoz Cónis Ejeriios Propuestos.5. Si p, :, grfique Ap,. b. Grfique ls regiones en el plno definids por:. 5 9. <. 6 8 9. 5 00. Grfique en el plno el onjunto soluión de los siguientes sistems: 6 > < Miseláneos. Grfique el lugr geométrio definido por d un de ls siguientes euiones: indique vérties, foos, entros síntots. 6 0. 5 6 0. 6 0. 6 6 0 5. 9 0 6. 9 5 8 0 7. 9 8 8. 9. 0 0. 6 0. 5 6 00 96 56 0. 8 8 0. 8 6 0. Clifique omo Verdder o fls d un de ls proposiiones. Justifique formlmente su respuest.. L euión b represent un irunfereni pr todos los números reles diferentes de ero,b,. b. L distni entre los foos de l gráfi de es b b. L euión k 0 desribe un irunfereni si sólo si k,, d. El vértie de un prábol es el foo de l otr prábol vievers, si l euión de un de ells es 0, entones l euión de l otr prábol es 0 e. L óni de euión, tiene su foo en, 0. f. Se l prábol P, u euión es P: 5 0, su foo tiene por 07 oordends F 0, 0 g. Se l euión A 0 on Re ; A > 0, l euión desribe un hipérbol. h.. Determine l euión de l irunfereni que tiene omo entro el vértie de l prábol que tiene por euión 0, ontiene l foo de l mism. Resp. 6 76
Moisés Villen Muñoz Cónis. Un irunfereni tiene por euión. L ret de euión k donde k R, es tngente l irunfereni. Hlle todos los vlores posibles de k. Resp. k ± 5. Determine l euión del onjunto de puntos P, tles que l sum de l distni de P los puntos,0,0 es. Resp. 9 6. Determine l euión del lugr geométrio de los puntos P, tles que l distni l punto, es dos vees l distni l ret definid por l euión 0. 5 Resp. 7. Un vión sigue un tretori tl que su distni un estión de rdr situd en el punto,0 es igul un terio de su distni un rreter que sigue el treto de l ret definid por. Determine l euión de l tretori que sigue el vión. Resp. 9 8. Determine l euión del lugr geométrio ompuesto de puntos P, que umplen on l ondiión de que su distni l eje es el doble que su distni l punto,-. Resp. 6 5 0 9. Un punto se mueve de tl mner que su distni l punto,- es siempre igul un terio de su distni l punto,. Determine l euión del lugr geométrio, Resp. 8 8 8 8 55 0 5 0. Determine l euión generl del lugr geométrio definido por el onjunto de puntos, ubidos en el plno tles que l distni l punto, es el doble de l distni l ret definid por l euión 0. Resp. 6 0. Determine l euión del lugr geométrio de un punto que se mueve de tl mner que l distni l ret 0 es siempre dos uniddes mor que su distni l punto,. Resp. 0. Se 5 0 p, : hllr Ap,. 5 0 Resp. Ap, { 7,, 7,, 7,, 7, }. Hllr los vlores de b pr los ules el sistem: tiene soluión úni. b Resp. b ± 8 6 0. Se el sistem,, R. Enuentre los vlores de 8 6 0, pr que el sistem teng soluión en R. Resp. > 0 > 5. Enontrr el onjunto soluión de los siguientes sistems relie ls respetivs gráfis 0.. 9 77
Moisés Villen Muñoz Cónis. 5 6 9. Ap,,9,, Resp.. { }. Ap, {,,, }. Ap, {,5,,5, 5,, 5, }. Ap, {,,,,,,, } 6. Hllr l euión de l ret que ontiene l punto -,6 es tngente l lugr geométrio que tiene por euión 6 0. Resp. 0 0 7. Hllr l euión de l ret que tiene pendiente es tngente l lugr geométrio que tiene por euión 8 7 0. 9 Resp. 7 o 8. Hllr l euión de l ret que es prlel l ret que tiene por euión 0 es tngente l lugr geométrio que tiene por euión 6 8 0. 7 Resp. o 5 9. Determine l euión de l ret l que ontiene l entro de l elipse de euión 9 8 6 0 ontiene l foo de l prábol de euión 6 5 0. Resp. 0 0. Determine l euión de l prábol que es ónv hi rrib ontiene tres de los vérties de l elipse u euión es 9 6. Resp.. Determine el vlor de l distni mínim entre l irunfereni C l ret L, si sus euiones son respetivmente C: 0 L: 6 0. Resp. d 5. Dds un irunfereni C un elipse E que son onentris de ls ules se onoe l euión de l elipse E: 9 6 86 6 0 que C es tngente l eje, determine l euión de C. Resp.. Demostrr que l euión de l ret tngente l irunfereni punto, perteneiente l irunfereni es:. r r, en el 78