.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 59.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros Variació d parátros U procdiito para cuacios d sgudo ord d la fora d d a( ) a ( ) ao ( ) g( ) d + d + () La covrtios a la fora stádar dividido tr a ( ) qudado d d p( ) q( ) f( ) d + d + () p( ), q ( ) f ( ), so cotíuas l itrvalo I Partido d la hipótsis u( ) ( ) + u( ) ( ) (3) p Dod, fora u cojuto fudatal d solucios I, d la fora hoogéa asociada.. Si tuviéraos ua cuació d prir ord tocs la solució particular sría p u ( ) ( ) () Si ustra cuació fura d coficits costats, cotraos la solució d la cuació coo a sabos. c Para, csitaos dtriar dos fucios dscoocidas qu so u, u p, para lo cual rqurios d otra cuació. Etocs podos stablcr coo hipótsis uvat qu u + u (5) Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 6 u + u f( ) (6) D tal ara qu la solució dl sista (por rgla d Crar) f( ) u (7) u f( ) (8) Dod (, ), f ( ) f( ) (9) Las fucios u, u s pud obtr itgrado u, u, [5] Rsuido Para cotrar la solució d u sista d ord, priro s cutra la fució copltaria, s dtria l wroskiao para, s obti la fora stádar d la cuació, para cotrar f ( ), s dtria los valors d u, u itgrado u, qu furo obtidas prviat bas a (7) (8) Para rsolvr cuacios d ord suprior, tdríaos u u( ) ( ) + u( ) ( ) +... + u( ) ( ) () p Sido,,..., u cojuto fudatal d solucios, dod u, u,, u () Est étodo ti la vtaja d qu g ( ) o s liita a las cobiacios d sos, cosos, pocials algbraicas, adás, los coficits d sus drivadas pud sr variabls. Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 6 El étodo d variació d parátros ti ua vtaja sobr l d los coficits idtriados, porqu sipr s llga a ua solució particular cuado s pud rsolvr la cuació hoogéa rlacioada. E las cuacios difrcials co coficits variabls a difrcia d los coficits idtriados, tabié s pud aplicar l étodo d la variació d parátros. p Ejplo.8.3. Dtriar la solució d + ( + ) Paso. Ecotrar la solució copltaria +, la cuació caractrísticas s, ( ), s ua raíz ral rptida, por lo qu la solució sría c c c c + () Basado sa solució copltaria, (), tos qu (3) Paso. Craos l wroskiao co las fucios d (3) sus drivadas, qudado (, ) (, ), ( ) ( ) ( ) +, +, o sa () Paso 3. Craos l wroskiao para ( ) + +, ( + ) ( ), ( + ) (5) ( + ), ( ) ( ) +, ( + ) (6) Paso. Ecotraos u u, dod Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 6 ( ) + u ( + ) ( + ) u ( + ) (7) Paso 5. Ecotraos u u itgrado (7) ( ) u d, 3 3 u ( + ) u d u + (8) Paso 6. Dtriaos la solució particular bas a (3), por lo qu 3 3 p + + tocs Dsarrollado p + + 3 3, siplificado p + 6 3 (9) La solució gral tocs 3 c + c + + 6 () Ejplo.8.3. Ecotrar la solució d + s( ) Paso. Ecotrar la solució copltaria, la cuació caractrística s +,, ± i, raícs iagiarias, por lo qu la solució sría ( ) ( ) c cos + c s () c Basádoos (), tos qu cos( ) s( ) () c Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 63 Paso.Craos l wroskiao co las fucios d () sus drivadas cos( ) s( ) (, ) s( ) cos( ), ( ) ( ) ( ), cos + s ( ) por lo qu, (3) Paso. Foraos l wroskiao para 3 s( ), por lo qu s( ) s( ) ( ) cos( ) s, () cos( ) s( ) s( ), por lo qu ( ) ( ) cos s (5) Paso. Dtriaos u u, d () (5) tr (3) u s ( ) ) s (, ( ) cos( ) Paso 5. Rsolvos u u itgrado (6) u s (6) u s ( ) d, u + s( ), ( ) ( )d u s cos cos ( ) u s ( ) o u Paso. Ecotraos la solució particular bas a u( ) ( ) + u( ) ( ) 6 p Por lo qu p + s s cos( ) ( ) cos ( ) ( ) La solució gral Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 6 ccos( ) + cs( ) + cos( ) + s( )cos( ) cos ( ) s( ) (7) Ejplo.8.3.3 Rsolvr + sc ( ) No dbos olvidar qu db djars la cuació la fora stádar Ecotrar la solució copltaria, la cuació caractrísticas s +,, ±i, por lo qu la solució sría ( ) ( ) c c cos + c s (8) c E bas a c, tos qu cos( ) s( ) (9) Dtriaos l wroskiao co las fucios (9) sus drivadas cos( ) s( ) (, ) s( ) cos( ), ( ) ( ) ( ), cos + s, ( ) Dtriaos l wroskiao para, o bi s( ) sc( ) cos( ), ( ) ( ) sc s, utilizado, sc( ) cos( ) s( ) ta( ) cos( ), obtos ta (3) cos( ) s( ) sc( ), ( ) ( ) sc cos, utilizado sc( ) cos( ), obtos (3) Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 65 Ecotraos u u, o sa ta u ta u (3) Itgrado (3) u ta( ) d, u l(cos( )), u d u La solució particular bas a (3), p { [ ]} ( ) La solució gral cos( ) l cos( ) + s( ) ( ) ( ) { [ ]} ( ) ( ) ccos + cs + cos( ) l cos( ) + s( ) s 3 (33) Ejplo.8.3. Rsolvr + 36 csc( 3) Db djars la cuació la fora stádar tos + 9 csc ( 3) Dtriar c solució sría, la cuació caractrísticas s ( ) ( ) + 9, 9, c cos 3 + c s 3. E bas a, tos c ( ) s( 3) cos 3 c, ± 3i por lo qu la (3) Craos l wroskiao co (3) sus drivadas cos( 3) s( 3) (, ), ( ) ( ) ( ) 3s( 3) 3cos( 3), 3cos 3 + 3s 3 ( ),, 3 Dtriaos l wroskiao para Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 66 s( 3), csc ( 3 ) s( 3 ) csc ( 3 ) 3cos ( 3 ) Utilizado la idtidad csc(3 ), obtos s(3 ) cos( 3), csc ( 3 ) cos ( 3 ) 3s( 3) csc( 3) Utilizado la idtidad csc(3 ), s(3 ) cot(3 ) cos(3 ) s(3 ) Obtos ( ) cot 3 Ecotraos u u d (7) (8) u 3 cot ( 3 ) u cot( 3 ) (35) 3 Ecotraos u u itgrado(35), por so u u s( ) l 3 36 La solució particular 3 3 p + + 36 Dsarrollado cos( 3) + l s( 3) s( 3 ) p 36 Siplificado cos( 3) + s( 3) l s( 3) La solució gral p Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 67 ccos( 3) + cs( 3) cos( 3) + s( 3) l s( 3) 36 (36) Ejplo.8.3.5 Rsolvr Ecotrar la solució copltaria, la cuació caractrística s,, ± por lo qu la solució sría c c + c, Basádos dicha solució c (37) Craos l wroskiao co las fucios (37) sus drivadas (, ), (, ) ( ) ( ), ( ), Craos l wroskiao para, para, Dtriaos u u Hallaos u u itgrado u d, u d (38) So itgrals difícils d itgrar, pro podos utilizar u cabio d variabls ua itgral dfiida. Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 68 Qudado u t t d t u t t d t Dtriaos p t dt + t t t dt Etocs la solució gral t t c + c + dt dt + t t (39) E ua cuació d ord suprior, aor al sgudo ord s sigu l iso procdiito, solo qu st caso tdríaos solucios lialt idpdit coo rsultado d la fució hoogéa, por coscucia csitaos cotrar fucios u ( ), al forar l wroskiao para cada ua d las solucios las priras fucios so cros, la -ésia s l valor d f ( ), s dcir foraos fucios coo u + u +... + u u + u +... + u u + u +... + u f( ) Las fucios u ( ) k s obti itgrado todas cada ua d las fucios u ( ) k basádos u ( ) k k dod k,... Cauch-Eulr Tido ua cuació difrcial lial co coficits variabls, s dcir dpd tabié d. La solució s prsa térios d logaritos, sos cosos. Ua cuació d la fora d d d o a + a +... + a + a g ( ) () d d d Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 69 Dod los coficits: a, a a,..., d Eulr, o Ecuació Equidisioal.. o so costats, tabié rcib l obr d Ecuació E sta fora d cuacios ha qu obsrvar l grado d, s dl iso ord qu l d la drivada. Es dcir, si tos ua trcra drivada, tocs s lvada a la trcra potcia, si tos ua sguda drivada, tocs db star lvada a la sguda potcia Rsolvido cuacios dl tipo Cauch -Eulr Utilizado ua sustitució () Sus drivadas sría, hasta la drivada d ord () ( ) o ( ) (3) ( )( ) 3 3 o ( 3 ) 3 + () 3 ( )( 3 + ) IV 3 o ( 7 + 8 ) IV (5) Ralizar las sustitucios, siplificar factorizar Obtos l producto d u polioio d ord l tério s d la fora d ua cuació auiliar a coocida., dod s polioio Para dicha cuació s pud prstar los cuatro casos qu a coocos, rspcto a las raícs, (rals, rals rptidas, copljas cojugadas, copljas cojugadas rptidas), sus rspctivas solucios. Caso I. Su solució sría c + c +... c (6) Caso II. Su solució sría l( ) l c + c + c ( ) (7) 3 Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 7 { } α Caso III. Su solució sría c cos β l ( ) + c s β l ( ) (8) Caso IV. Su solució sría si hubira copljas cojugadas rptidas, s ultiplicaría por l factor d rptició qu st caso s l( ), coo jplo α { cos β l ( ) β l ( ) } l ( ) 3cos β l ( ) β l ( ) { } α c + c s + c + c s (9) Cuado s ti ua cuació o hoogéa, s cutra la solució copltaria, diat la sustitució atrior. Y la cuació s rduc a la fora stádar, por variació d parátros s rsulv p. Por jplo ua cuació d sgudo ord tdríaos d d a b c d + d + (5) Si sustituios (5), las cuacios (), () (3) qu so tdros sus drivadas, d d d d a b c + + o bi ( ( ) ) ( ) Siplificado factorizado a + b + c d d a b c a ( ( ) ) b( ) c d + d + + + (5) La cuació auiliar sría ( ( ) ) ( ) a + b + c d tal ara qu s ua solució d la cuació difrcial sipr qu sa ua solució d la cuació auiliar atrior, la cual podos rscribir coo ( ) a + b a + c (5) Rsolvido co raícs rals distitas Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 7 Ejplo.8.3.6 Rsolvr la cuació difrcial + 7 7 Sustitudo la cuació difrcial (3) tos su prira sguda drivada coo () (( ) ) 7 ( ) 7( ) + Siplificado factorizado obtos ( + 6 7) La cuació caractrística s( 6 7) +, factorizado ( )( 7) so, raícs rals distitas d acurdo a(6) 7 + las raícs La solució sría c + c 7 Ejplo.8.3.7 Rsolvr la cuació difrcial w w w + 6 + Hacido w, la prira drivada sría w ), o bi w ( ( ) w, la sguda drivada sría Sustitudo la cuació difrcial ( ) ( ) 6 ( ) ( ) + + Siplificado factorizado obtos ( + 5+ ) Ecuació caractrística ( 5 ), factorizado + + ( )( ) + + las raícs so La solució sría sgú (6) c + c Cuado s ti raícs rals rptidas Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 7 E l caso d raícs rals rptidas tido ( ) a + b a + c Etocs ( b a) ± ( b a) ac, pro a ( ) b a ac por lo qu ( b a) (53) a Podos obtr ua sguda solució basada p( ) d (5) ( ) D tal ara qu sustitudo (5), obtos p( ) d (55) ( ) Tido la cuació d sgudo grado d d + + a b c d d Obtos la fora stádar dividiédola tr a, rsultado d b d c d + a d + a (56) Dado qu ( b a) a sparado térios b + a (57) Idtificado p ( ) b a Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 73 Etocs b d a p( ) d, b d b a a (58) Sustitudo (58) la sguda solució (55), obtos ( ) Racoodado ( ) b b a b a ( ) d, utilizado sustitudo lla (57), Etocs b + a a ( ), rsultado ( ) d, itgrado ( ) l ( ) d Por lo qu la solució sría c + c (59) l( ) Ejplo d raícs rals rptidas Ejplo.8.3.8 Rsolvr 9 + 5 + Hacido, utilizado sus drivadas, coo () (3) Sustitudo la cuació difrcial ( ) + 5( ) + ( ) 9 Siplificado factorizado obtos ( ) 9 + 6+ Dod la cuació caractrística s ( 9 6 ) obtos las raícs, La solució sría acord a (7) 3 + +, factorizado ( 3 + ) 3 3 c + c l( ) (6) Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 7 Obsrv l factor d rptició (6), qu st caso s l( ) E cuacios d ord suprior si la raíz ti ultiplicidad solució, l( ), ( l( ) ),, ( l( ) ) k k tocs tos coo (6) Las cuals so solucios lialt idpdits. Por lo qu la solució gral db cotr ua cobiació lial d sas Ecuació d cuarto ord k solucios. IV Ejplo.8.3.9 Rsolvr la cuació + 6 Obsrvar qu o ti la fora d ua cuació d Cauch-Eulr, por lo qu 3 3 IV ultiplicaos por, dod ( + 6 ), rsulta + 6 (6) IV 3 Hacido cuarta drivada., utilizado las cuacios () (5) qu corrspod a la trcra Sustitudo la cuació difrcial (6) ( 7 8 ) 6 ( 3 ) 3 3 3 3 + + + 3 + Siplificado factorizado ( ) Ecuació caractrística 3 + Rsolvido, u factor s ( ) l factor rsultat Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 75 3 ( ) ( ), por lo qu, 3, ±, raícs difrts u par d raícs rptidas. La solució sría, sgú (6) (7) 3 l ( ) c+ c+ c + c (63) E l caso d las raícs copljas cojugadas, coo, α ± βi, dod α β so rals aor qu cro, ua solució sría c α + β i i c α + β, pro s ás covit prsar la solució térios d { cos[ β l( )] [ β l( )]} α c + c s (6) U jplo d raícs copljas Ejplo.8.3. Rsolvr 3 6 Hacido, utilizado la cuació () qu corrspod a la trcra drivada. 3 3 3 3 6 Sustitudo la cuació difrcial ( ) + Siplificado factorizado 3 obtos ( 3 + 6) La cuació caractrística 3 3 + 6 Ecotrado las raícs diat la divisió sitética 3 3 6 3 6 U factor s ( 3 l factor rsultat ) ( ) Por lo qu 3,,3 ± i, dod α β + l cual os da raícs iagiarias. Aalia C. Aguirr Parrs
.8.3 Solució d las cuacios difrcials lials o hoogéas por l étodo d variació d parátros 76 ( ) 3 La solució sría c c cos l ( ) c s l ( ) + + o bi ( ) ( ) 3 c + ccos l + cs l (65) Aalia C. Aguirr Parrs