CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS

ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS Definición: Cónic es el lugr geométrico de los puntos de un plno cu rzón de distncis un punto fijo (que llmremos foco) un rect fij (que llmremos directriz) es constnte. A dich constnte le llmremos ecentricidd se design por e, verificándose que: Si e<1, l cónic es un elipse. Si e=1, l cónic es un práol. Si e>1, l cónic es un hipérol. Busquemos l ecución de l cónic pr el foco F(c,) de directriz r =, c c siendo e = : Pr un punto P(,) del plno se tiene que cumplir: d( P,F) ( c) + ( ) c c = e = ( c) + ( ) = d( P,r) c c ( + + ) = + ( ) + = ( ) ( ) c c c c 4 c c c * Discusión: "Ecuciones cnónics" c 1. Si >c e = < 1, llmremos = -c su ecución (*) se reduce: + = + = 1 c. Si <c e = > 1, llmremos =c - su ecución (*) se reduce: + = 1 = Unidd docente de Mtemátics 1

3. Si =c l directriz psrí por el foco tendrímos un cso prticulr en el cul l cónic se reducirí un rect dole. Tomremos otros ejes: se el foco F(p/,) l directriz =-p/, entonces p ( ) d( P,F + ) p p = e = 1 ( ) d( P,r) p + = + + = p Unidd docente de Mtemátics

Se l elipse de ecución reducid LA ELIPSE + = 1, entonces: Vértices: A(,); A (-,); B(,); B (,-). Semieje mor: ; semieje menor:. Focos: F(c,); F (-c,). Directrices: = /c; =- /c. Ejes de simetrí: =; = Centro: O(,) punto de intersección de los ejes de simetrí. Distnci focl: d(f,f )=c. Prámetro focl: p= /. F c P(c, /) p F Rdios vectores: distnci de un punto P(,) culquier de l cónic los focos. d( P,F) PF e = = PF= epd = e = e PF' = epd' = e + = + e. d P,r PD c c ( ) P(,) F F Teorem de Dndelin: L sum de ls distncis de un punto culquier de l elipse los focos es igul l dole de su semieje mor. Demostrción: Pr culquier punto P de l elipse si r r son ls directrices de l elipse, d(p,r)=d(p;d)=pd; d(p,r )=d(p;d )=PD. Unidd docente de Mtemátics 3

P D D F F ( ) + + + ( ) + d P,F PF PF' PF PF' PF PF' PF PF' c e = = = = = = = PF+ PF' = d P,r PD PD' PD PD' DD' c L sum de ls distncis de un punto culquier de l elipse los focos es igul l dole de su semieje mor. Si P es un punto interior l elipse result: P'F+ P'F' < PF+ PF' =. Si P es un punto eterior l elipse result: P''F+ P''F' > PF+ PF' =. Luego l elipse es el lugr geométrico de los puntos del plno que verificn el teorem de Dndelin. Definición: L elipse es el lugr geométrico de los puntos del plno cu sum de distncis los focos es constnte. Ecución de l rect tngente l elipse por uno de sus puntos: De l ecución de l elipse 1 + = = ± su función derivd ' =, en el punto P(, ) de l elipse '(P) = =, de donde l ecución de l rect tngente, en l form punto-pendiente es: = ( ) = + = + teniendo en cuent que por ser P un punto de l elipse verific + = 1 result: + = 1. Unidd docente de Mtemátics 4

Ecución de l rect norml l elipse: De l ecución de l rect tngente = ( ) perpendiculr en el punto de tngenci, sin más que sustituir l pendiente por l opuest de l invers = ( ) simplificndo + = Propieddes: 1. L tngente l elipse es l isectriz del ángulo formdo por un rdio vector l prolongción del otro. Demostrción: L intersección de l rect tngente t en el punto P(, ) con el eje de sciss result: = = 1 = Es el punto T sus distncis los focos son: TF = c TF' = + c dividiendo, TF c e PF = = = TF' + c + e PF' propiedd de l isectriz eterior de un triángulo: es decir, ls distncis TF TF son proporcionles los ldos del triángulo PFF ; por tnto, l tngente coincide con l isectriz eterior. F N P F T (,). L norml l elipse en el punto P, es l isectriz del ángulo que formn los rdios vectores PF PF'. Demostrción: L norml PN, por ser perpendiculr l tngente coincidirá con l isectriz interior; o se con l isectriz del ángulo formdo por los dos rdios vectores. 3. El producto de ls distncis de los focos culquier tngente de l elipse es igul l cudrdo de semieje menor. Demostrción: Unidd docente de Mtemátics 5

Se =m+k un rect tngente l elipse + = 1, entonces ( m + k) + = 1 ( ) + m+ k = ( ) + m + mk+ k = ( ) + m + mk+ k = l rect tngente cort l cónic en un único punto, luego l ecución de segundo grdo tiene solución únic su discriminnte vle cero. ( ) ( )( ) = mk 4 + m k = k + + m = k = + m Pr los focos F(c,) F (-c,) ls distncis l rect tngente m-+k= es: sustituendo mc + k mc + k k m c d(f,t) d(f',t) = = = k = + m m + 1 m + 1 m + 1 m + 1 m + 1 m + 1 ( ) k m c + m m c + m c = = = = se cumple que: = -c ( ) + m c + m = = = m + 1 m + 1 por consiguiente, d(f,t) d(f',t) =. Otrs forms reducids de l ecución de l elipse Medinte un rotción de los ejes coordendos de 9º otenemos l ecución de l elipse cuo eje focl es el eje de ordends. F F + = 1 Unidd docente de Mtemátics 6

Medinte un trslción del origen O quedn los ejes de simetrí prlelos los ejes coordendos con el eje focl =β el centro (α,β). =β F F O =α ( α) ( β) + = 1 Medinte un trslción de origen O un rotción de ejes coordendos de 9º quedn los ejes de simetrí prlelos los ejes coordendos con el eje focl =α el centro (α,β). F =β F O =α ( α) ( β) + = 1 Ecución generl de l elipse: Un ecución de segundo grdo en l cul flt el término en, los coeficientes de e tienen el mismo signo represent un elipse con los ejes prlelos los ejes coordendos (ecepcionlmente un solo punto o no tiene gráfic). A + C + D + E + F = donde A C tienen el mismo signo, pues, completndo los cudrdos en e l ecución nterior se identific con un de ls cutro ecuciones reducids nteriores. Unidd docente de Mtemátics 7

Cso prticulr: Si = result un circunferenci coordends de rdio l ecentricidd es cero. + = 1 + = de centro el origen de Definición: L circunferenci es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo centro un cntidd que se llm rdio. Ecución generl de l circunferenci: Pr un circunferenci de centro C(,) rdio r, se tiene que: d(c,p)=r con P(,) punto genérico del plno otenemos (-) +(-) =r (-) +(-) =r + + + r = en definitiv + + m+ n+ p = con m=-; n=-; p= + -r. Un ecución de segundo grdo en que e tiene coeficientes igules crece de término en, represent un circunferenci (ecepcionlmente, un solo punto, o crece de gráfic). A + A + B + C + D = Ecución de l rect tngente l circunferenci: ) por uno de sus puntos: De l ecución de l circunferenci (-) +(-) =r. - derivndo (-)+(-)'= '=-, - en el punto P(, ) de l circunferenci '(P) =, de donde l ecución de l rect tngente, en l form punto-pendiente es: = ( ) ( )( ) + ( )( ) =. O ien, sumndo l ecución de l circunferenci pr el punto P(, ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + + + = + r simplificndo ( )( ) + ( )( ) = r Propiedd: L rect que une el centro de l circunferenci el punto de tngenci es perpendiculr l tngente. Demostrción: L rect perpendiculr l rect tngente en el punto de tngenci es: = ( ) ( )( ) ( ) ( ) = que ps por el centro de l circunferenci C(,) que se cumple l ecución ( ) = ( )( ) ( ) Unidd docente de Mtemátics 8

norml C(,) P tngente ) Por un punto eterior. Si el punto P es eterior l circunferenci determinmos el hz de rects que psn por P e imponemos l condición de que l distnci del centro de l circunferenci l rect tngente es el rdio. Potenci de un punto respecto de un circunferenci: Considermos l ecución de l circunferenci centrd en el origen + =r l rect s secnte con l circunferenci en los puntos A B que ps por A P(, ), luego l ecución de l rect s en form prmétric: = + tv1 P s = + tv A v = v,v unitrio. con ( 1 ) Efectumos l intersección de rect circunferenci:( ) ( ) + tv1 + + tv = r 1 1 1 1 v = 1 t + ( v1 + v) t+ + r = + tv + t v + ++ t+ t v = r ( ) ( ) v + v t + v + v t+ + = r Resolviendo l ecución de segundo grdo en t, otenemos ls soluciones t 1 t. Esto nos permite determinr los puntos A( +t 1 v 1, +t 1 v ) B( +t v 1, +t v ) clculr los segmentos PA =t1 PB =t cuo producto es: PAPB=t1t = + r que es independiente de los puntos A B, luego: PAPB=PA'PB'=PA''PB''=...= + r = cte. Definición: A est constnte se le llm potenci del punto P con respecto l circunferenci. Considerndo en prticulr l rect secnte que ps por el d r centro de l circunferenci Pot(P)= PAPB= ( d-r)( d+r ) = = ( d -r ) = ( ) ( ) = + r P A C B B B Unidd docente de Mtemátics 9

Luego pr hllr l potenci de un punto respecto de un circunferenci st sustituir el punto en l ecución de l circunferenci: ( ) ( ) Pot(P) = + r Corolrio 1: Si el punto P es eterior l circunferenci, l potenci es positiv; si P es interior ell, l potenci es negtiv, si está en l circunferenci, l potenci es nul. Corolrio : Si el punto P es el origen de coordends l potenci quedrí ( ) ( ) Pot(O) = + r = + r que, comprd con l ecución generl de l circunferenci es el término independiente. Corolrio 3: Cundo l rect secnte, que mide l potenci, se convierte en tngente l circunferenci, l potenci es igul l cudrdo de l longitud de l tngente trzd por dicho punto. P T Definición: Eje rdicl de dos circunferencis es el lugr geométrico de los puntos del plno que tienen l mism potenci respecto de ls dos circunferencis. Dds ls dos circunferencis de ecuciones: + + A+ B+ C = + + A'+ B'+ C' = e igulndo ls potencis de un punto culquier P(,) respecto ms, + + A + B+ C = + + A' + B'+ C' ( A A' ) + ( B B' ) + ( C C' ) = result un rect que cumple: Proposición 1: El eje rdicl de dos circunferencis es un rect perpendiculr l líne que une los centros de ls dos circunferencis. Demostrción: De ls circunferencis conocemos los centros: A B + + A+ B+ C = C 1 =, A' B' el vector que los une: + + A'+ B'+ C' = C =, A A' B B' CC 1 =, Unidd docente de Mtemátics 1

es prlelo l vector norml l rect que determin el eje rdicl, A A' B B' CC 1 =, //n= ( A A',B B' ) ( A A' ) + ( B B' ) + ( C C' ) = Proposición : Si dos circunferencis son secntes, el eje rdicl es l rect de su cuerd común. Proposición 3: Si dos circunferencis son tngentes, el eje rdicl es l rect tngente común. Proposición 4: Dos circunferencis concéntrics no tienen eje rdicl. Definición: Centro rdicl de tres circunferencis es un punto del plno que tiene l mism potenci respecto de ls tres circunferencis. Unidd docente de Mtemátics 11

LA HIPÉRBOLA Se l hipérol de ecución cnónic = 1, entonces: Vértices: A(,); A (-,). Focos: F(c,); F (-c,). Directrices: = /c; =- /c. Ejes de simetrí: =; = Centro: O(,) punto de intersección de los ejes de simetrí. Distnci focl: d(f,f )=c. Prámetro focl: p= /. P(c, /) p Rdios vectores: distnci de un punto culquier de l cónic los focos. d( P,F) PF e = = PF= epd = e = e PF' = epd' = e + = + e. d P,r PD c c ( ) Unidd docente de Mtemátics 1

Teorem de Dndelin: L diferenci de ls distncis de un punto culquier de l hipérol los focos es constnte e igul. Demostrción: Pr culquier punto P de l hipérol si r r son ls directrices de l cónic, d(p,r)=d(p;d)=pd; d(p,r )=d(p;d )=PD. ( ) ( ) d P,F PF PF' PF' PF PF' PF PF' PF c e = = = = = = = PF PF' = d P,r PD PD' PD' PD D'D c L diferenci de ls distncis de un punto culquier de l hipérol los focos es igul. Luego l hipérol es el lugr geométrico de los puntos del plno que verificn el teorem de Dndelin. Definición: L hipérol es el lugr geométrico de los puntos del plno cu diferenci de distncis los focos es constnte. Asíntots: Pr hllr ls síntots procederemos como pr ls síntots olicus de un curv culquier. Ests rects tienen por ecución: =m+n donde m = lím n = lím( m). De l ecución de l hipérol 1 = = ±, 1 entonces m = lím = lím ± = ± lím 1 = ±, cálculo de n: Unidd docente de Mtemátics 13

( ) = ± ± = ± = n lím lím ( )( ) + = ± lím = ± lím = ± lím = + + + luego ls ecuciones de ls síntots son: = ; = Consecuencis: Los ejes son isectrices de los cutro ángulos que formn ls síntots. Ecución de l rect tngente l hipérol por uno de sus puntos: De l ecución de l hipérol 1 = = ± su función derivd ' =, en el punto P(, ) de l cónic '(P) = = de donde l ecución de l rect tngente, en l form punto-pendiente es: = ( ) = =, teniendo en cuent que por ser P un punto de l hipérol verific result: = 1. = 1 Unidd docente de Mtemátics 14

Ecución de l rect norml l hipérol: De l ecución de l rect tngente = ( ) podemos otener l rect perpendiculr en el punto de tngenci, sin más que sustituir l pendiente por l opuest de l invers = ( ) simplificndo + = + Propieddes: 1. L norml l hipérol en el punto P, es l isectriz del ángulo que form un rdio vector l prolongción del otro. Demostrción: L intersección de l rect norml n c + = + = en el punto P(, ) con el eje de sciss result: c = = c = Es el punto N sus distncis los focos son: c c c NF = c = c c+ c NF' = + c = dividiendo, NF c e PF = = = NF' c + e PF' por tnto, l norml coincide con l isectriz eterior. P T N. L tngente l hipérol es l isectriz del ángulo formdo por los rdios vectores PF PF'. Demostrción: Unidd docente de Mtemátics 15

L rect tngente PT, por ser perpendiculr l norml coincidirá con l isectriz interior; o se con l isectriz del ángulo formdo por los rdios vectores. 3. El producto de ls distncis de los focos culquier tngente de l hipérol es igul. Demostrción: Se =m+k un rect tngente l elipse = 1, entonces ( m + k) = 1 ( ) m+ k = ( ) m mk k = ( ) m mk k = l rect tngente cort l cónic en un único punto, luego l ecución de segundo grdo tiene solución únic su discriminnte vle cero. ( ) ( )( ) = mk 4 m k = k + m = k = + m Pr los focos F(c,) F (-c,) ls distncis l rect tngente m-+k= es: sustituendo mc + k mc + k k m c d(f,t) d(f',t) = = = k = + m m + 1 m + 1 m + 1 m + 1 m + 1 m + 1 ( ) k m c + m m c + m c = = = = se cumple que: =c - + m ( c ) + m ( ) = = = m + 1 m + 1 por consiguiente, d(f,t) d(f',t) =. Hipérol conjugd: Dd l hipérol de ecución = 1 eiste otr hipérol con ls mism síntots, pero con los focos F(,c) F (,-c) que tiene por ecución = 1 + = 1 denomind hipérol conjugd. Unidd docente de Mtemátics 16

Otrs forms reducids de l ecución de l hipérol: Medinte un rotción de los ejes coordendos de 9º otenemos l ecución de l hipérol cuo eje focl es el eje de ordends. = 1 Medinte un trslción del origen O qued los ejes de simetrí prlelos los ejes coordendos con el eje focl =β el centro (α,β). Unidd docente de Mtemátics 17

( α) ( β) = 1 Medinte un trslción de origen O un rotción de ejes coordendos de 9º qued los ejes de simetrí prlelos los ejes coordendos con el eje focl =α el centro (α,β). ( α) ( β) + = 1 Ecución generl de l hipérol: Un ecución de segundo grdo en l cul flt el término en, los coeficientes de e tienen distinto signo represent un hipérol con los ejes prlelos los ejes coordendos (ecepcionlmente dos rects secntes). A + C + D + E + F = donde A C tienen distinto signo, pues, completndo los cudrdos en e l ecución nterior se identific con un de ls cutro ecuciones reducids nteriores. Unidd docente de Mtemátics 18

Cso prticulr: Si = result un hipérol equiláter de centro el origen de coordends. = 1 = c + En cuo cso, l ecentricidd e = = = = ls síntots son ls isectrices de los cudrntes =± perpendiculres entre sí. Ecución de l hipérol equiláter referid sus síntots: Por ser ls síntots perpendiculres podemos efectur un rotción de los ejes de coordends de -45º. = 'cos( 45º ) 'sen( 45º ) = ( ' + ' 'cos 'sen ) = α α = 'senα+ 'cos α = 'sen( 45º ) + 'cos( 45º ) = ( ' + ' ) sustituendo en l ecución de l hipérol equiláter = qued: ( ' + ' ) ( ' + ' ) = '' = '' = k Proposición: en l elipse l hipérol, l ecentricidd e es igul l rzón FF 1 c AA =, siendo FF 1 = d(f,f 1 ) = c l distnci entre los focos de l cónic 1 AA 1 = d(a,a 1 ) = l distnci entre los vértices (puntos de intersección de l cónic con su eje focl). Unidd docente de Mtemátics 19

LA PARÁBOLA Definición: Práol es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo F, llmdo foco, un rect fij r, llmd directriz. Se l práol de ecución reducid = p, entonces: Foco: F(p/,). Directriz: =-p/. Eje de simetrí: es l perpendiculr del foco l directriz = Vértice: O(,) punto de intersección de l curv con el eje de simetrí. Prámetro: es l distnci del foco l directriz p. Ecentricidd: e=1 Ecución de l rect tngente l práol por uno de sus puntos: De l ecución de l práol = p p Derivndo respecto de ' = p ' =, p en el punto P(, ) de l práol '(P) =, de donde l ecución de l rect tngente, en l form punto-pendiente es: p = ( ) = p p = + p p teniendo en cuent que por ser P un punto de l práol verific = p result: = p + p Unidd docente de Mtemátics

L tngente l práol es l isectriz del ángulo formdo por el rdio vector l rect que mide l distnci del punto de tngenci l isectriz. Demostrción: Se T l intersección de l tngente PT con el eje OX: = p + p =. = PF=PD=PA+AD= +p/ FT=FO+OT=p/+ Comprndo PF=FT, luego el triángulo PFT es isósceles los ángulos α β son igules. N Ecución de l rect norml l práol por uno de sus puntos: p De l ecución de l rect tngente = ( ) podemos otener l rect perpendiculr en el punto de tngenci, sin más que sustituir l pendiente por l opuest de l invers = ( ). p L norml PN es l isectriz del ángulo formdo por el rdio vector PF l perpendiculr l directriz desde P. Propiedd de plicción en los espejos prólicos, puesto que todos los ros que provienen del foco F slen prlelos l eje del espejo. Unidd docente de Mtemátics 1

Otrs forms reducids de l ecución de l práol: Medinte un rotción de los ejes coordendos de 9º otenemos l ecución de l práol cuo eje focl es el eje de ordends. = p Medinte un trslción del origen O qued el eje de simetrí prlelo l eje de sciss con el eje focl =β el vértice (α,β). ( β ) = p( α ) Unidd docente de Mtemátics

Medinte un trslción de origen O un rotción de ejes coordendos de 9º qued el eje de simetrí prlelo lo eje de ordends con el eje focl =α el vértice (α,β). ( α ) = p( β ) Medinte un rotción de los ejes coordendos de 18º otenemos l ecución de l práol cuo eje focl es el eje de ordends, pero el foco está situdo en l prte negtiv. = p Podímos repetir el proceso trsldndo el vértice de l práol nterior oteniendo otrs epresiones similres. Ecución generl de l práol: Desrrollndo el cudrdo de culquier de ls epresiones nteriores qued un ecución de segundo grdo en l cul flt el término en, uno de los coeficientes de e es nulo que represent un práol con el eje prlelo uno de los ejes coordendos (ecepcionlmente dos rects prlels o coincidentes o no tienen gráfic). = A + B+ C siendo el eje de simetrí prlelo l eje de ordends con A> el foco por encim del vértice (cóncv); con A< el foco por dejo del vértice (conve). = A + B+ C siendo el eje de simetrí prlelo l eje de sciss con A> el foco l derech del vértice; con A< el foco l izquierd del vértice. Unidd docente de Mtemátics 3