. L Hipérol...1 L Hipérol omo lugr geométrio. L hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos tles que el vlor soluto de l difereni de sus distnis dos puntos fijos es un onstnte. Los puntos fijos se denominn foos de l hipérol l onstnte es l distni que eiste entre vértie vértie, omo se muestr en l siguiente figur. Asíntots Eje norml P(,) LLR Eje fol F V V F Longitud del ldo reto. En l hipérol, l igul que en l elipse, tiene dos foos; por lo tnto, tiene dos ldos retos su fórmul es: LLR= Asíntots. Pr un urv dd eiste un ret que medid que un punto de ell se lej del origen, l distni de ese punto l ret deree, es deir; tiende ero, dih ret se le denomin síntot. Ests rets se ruzn en el entro de l hipérol. L euión de ests rets es: Si l hipérol es horizontl. Si l hipérol es vertil... Euión ordinri de l hipérol on su entro en el origen. Prtimos de l definiión de hipérol, l ul es el lugr geométrio de todos los puntos tles que el vlor soluto de l difereni de sus distnis dos puntos fijos es un onstnte, de uerdo l siguiente figur. F (-,0) V V F(,0) Eje 179
dpf dpf = ( ) 0-0 = Despejmos l primer ríz. 0 = + 0 iguldd. elevmos l udrdo mos miemros de l (+) + = 4 +4 + (-) + eliminndo términos semejntes grupndo. (+) + = 4 + 4 ++ = 4 +4 +(-) + + -+ ++ +- = 4 +4 4=4 +4 eliminndo términos semejntes. dejmos solit l término que ontiene l ríz 4=+4 +4 dividiendo entre 4. Aplindo inverso ditivo - = + elevndo l udrdo mos miemros de l iguldd. (- ) = desrrollmos el inomio udrdo. 4 - + = ((-) + ) 4 - + = ( -+ + ) 4 - + = - + + + - - = + - 4 ftorizndo on respeto ( - )- = ( - ) si = + entones = - sustituéndol tenemos: ( ) - = ( ) dividiéndol entre nos qued: 1 180
L siguiente tl muestr lgunos puntos importntes de l hipérol, sí omo su euión ordinri. Figur. Euión. Fórmuls. F (-,0) V V F(,0) Eje fol 1 = + C(0, 0) F(, 0) F (-, 0) V(, 0) V (-, 0) LLR= e= e>1 F(0,) 1 = + C(0, 0) F(0, ) F (0, -) V(0, ) V (0, -) LLR= F (o,-) e= e>1.. Euión generl de l hipérol. Tod euión de un hipérol se puede representr en su form generl, l ul es: A +C +D+E+F=0 Donde A>0 C<0, est euión se otiene l multiplir tod l euión por el produto de sus oientes, desrrollr los inomios l udrdo e igulr ero. Tmién prtir de l euión generl de l hipérol podemos enontrr l euión ordinri, esto se logr ompletndo trinomios udrdos perfetos (TCP). 181
Ejemplo 1. Enontrr el entro, los vérties, los foos, l LLR, l eentriidd, ls euiones de ls síntots l gráfi de l hipérol u euión es: 1 4 9 L euión 1 es de l form: 4 9 (9) 18 LLR = = = =9 1 por lo que:.6 e= = = 1.8 =4 = 4 = =9 = 9 = Tmién semos que: = + =4+9 = 1 =.6 Con los vlores de, determinmos sus elementos: C(0,0) C(0,0) F(,0) F(.6,0) F (-,0) F (-.6,0) V(,0) V(,0) V (-,0) V (-,0) Ejemplo. Enontrr el entro, los vérties, los foos, l LLR, l eentriidd, ls euiones de ls síntots l gráfi de l hipérol u euión es 9-5 +5=0 Primero l psmos su form ordinri. 9-5 +5=0 términos. ordenmos 9-5 =-5 dividimos entre -5 9 5 5 5 5 5 1 Ordenndo términos. 5 9 1 9 5 =9 = 9 = =5 = 5 =5 Tmién semos que: = + =9+5 = 4 =5.8 Con los vlores de, determinmos sus elementos. C(0,0) C(0,0) F(0,) F(0, 5.8) F (0,-) F (0, -5.8) V(0,) V(0, ) V (0,-) LLR= = e= V (0,-) (5) 50 = =16.6 5.8 e= = 1.94 5 5 18
Ejemplo. Hllr l euión ordinri generl de l hipérol que se muestr en l siguiente figur. Como onoemos el vlor de l euión está en funión de deeremos de determinr el vlor de, semos tmién que: = + por lo que: F F = - 4 1 16 1 15 =.87 Como el entro de l hipérol está en el origen del sistem oordendo tenemos que su euión deerá tener l form: 1 F(,0) F(4,0) por lo que =4 V(,0) V(1,0) por lo que =1 Por lo tnto su euión será: 1 1 15 en su form generl seri: 15 1 15 15 15 - -15=0 1(15) 18
Ejeriios pr resolver en lse. Ejeriio 1. Enontrr el entro, los vérties, los foos, l LLR, l eentriidd, ls euiones de ls síntots l gráfi de l hipérol u euión es: 1 4 16 Ejeriio. Enontrr el entro, los vérties, los foos, l LLR, l eentriidd, ls euiones de ls síntots l gráfi de l hipérol u euión es: 1 5 4 184
Ejeriio. Enontrr el entro, los vérties, los foos, l LLR, l eentriidd, ls euiones de ls síntots l gráfi de l hipérol u euión es: - -1=0 Ejeriios omo tre de evluión. 1. Enontrr el entro, los vérties, los foos, l LLR, l eentriidd, ls euiones de ls síntots l gráfi de l hipérol u euión es: 1 4 5 185