!!! " " # " "!!! Resuelve tú ( Pág ""#) Calcula : ((a)) ((a)) 8 ( ) = 8! = Resuelve tú ( Pág ""$) Resuelve tú ( Pág ""%)

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1 io! Resuelve tú ( Pág ""#) Calcula : ((a)) 8 (7!) ((b)) 0! (7!)(!) ((c))! 0! ((a)) 8 ( 7 6 ) 8! ! ! ((b)) !! 7!! 0! ((c)) 99 0! 0! Resuelve tú ( Pág ""$) Calcula : ((a)) 8 ((b)) 8 6 ((c)) 0 0 ((d)) ! 8! 8 7 6! 8 7 ((a)) 7 8!(8 )!! 6! 6! 8 8! 8! 8 7 6! 8 7 ((b)) !(8 6)!! 6! 6! 0 0! 0! 0! ((c)) 0 0!(0 0)! 0! 0! 0! 0 0! 0! 0! ((d)) 0 0!(0 0)! 0! 0! 0! Resuelve tú ( Pág ""%) Has decidido ir al cie la próima semaa, pero o el día cocreto. Además, dudas etre tres películas. Cuátas opcioes distitas tiees? Haz u diagrama e árbol que las eumere ua por ua. Sea: L (lues), M (martes), X ( miércoles), J (jueves) y V ( vieres), S ( sábado), D (domigo), (película ), ( película y ( película ).

2 io! L M X J V S D L L L M M M X X X J J J V V V S S S D D D Hay 7 días películas posibilidades. Resuelve tú ( Pág ""&) Se va a sortear el orde de actuació de ocho cojutos de rock participates e u cocurso.,de cuátas formas puede quedar programadas sus actuacioes? Formas: P 8 8! Resuelve tú ( Pág ""') Cuátas palabras distitas se puede formar co las ocho letras de; ((a)) PALENCIA? ((b)) TENERIFE? ((c)) ZARAGOZA? ((a)) PALENCIA tiee 8 letras y se repite dos veces la A, luego:,,,,,, 8! 8! P !!!!!!!! palabras distitas puede formarse.

3 io! ((b)) TENERIFE tiee 8 letras y se repite veces la E, luego: 8! 8! 8 7 6! palabras distitas puede formarse.!!!!!!!!,,,,, P8 ((c)) ZARAGOZA tiee 8 letras y se repite veces la A, y veces la Z, luego: 8! 8! 8 7 6! palabras distitas puede formarse.!!!!!!!!!,,,, P8 Resuelve tú ( Pág ""() Y las fichas ( blacas y egras) de u juego de damas. Cuatas torres de colorido diferete puede formar?! ! P, 706!! ! Resuelve tú ( Pág "")) E u curso de 0 alumos, de cuátas maeras distitas es posible elegir delegado y subdelegado'? Como o es lo mismo delegado que subdelegado y debe ser distitos, so variacioes ordiarias. V 0, maeras. Resuelve tú ( Pág "%*) ((a)) Ua cadea de TV orgaiza u cocurso de cultura geeral etre equipos de estudiates de. de Bachillerato. Las respuestas se da e equipo, tras cosultarse los etre sí. E u curso de 0 alumos, de cuátas maeras puede elegirse u equipo de para participar e ese cocurso de TV? ((b)) Y si el cocurso tuviese ua prueba de fuerza, otra de cultura y otra de mímica, y hubiese que elegir el equipo asigado u participate a cada especialidad? ((a)) Como el orde o ifluye y además ha de ser distitos so combiacioes 0 0! 0! ! ordiarias: C 0, 060 maeras.!(0 )!! 7! 7! ((b)) Ahora si ifluye el orde y sería variacioes: V 0, equipos.

4 io! Resuelve tú ( Pág "%") Halla el poliomio ( ) 6 usado el triágulo de Pascal para obteer los coeficietes. Comprueba que coicide co el producto de ( ) por el poliomio obteido para ( ) ( ) e dode los coeficietes so los correspodietes a la seta fila del triágulo de Pascal: ( ) ( ) ( ) ( ) Desarrolla ( - ) ( ) PROBLLEMAS PR0PUESTOS Simplifica: ((a))! 6!! ((b)) 0 00! ((a))! 6!!! 6! ((b)) 0 00!

5 io! Calcula: 0 ((a)) ((b)) ((c)) 8 6 0! 0! 0 9 8! ((a)) 0!!! 8! 8! 6 6! 6! 6 ((b))!!! ((c)) 8 6! 8! 6!! 6! 7!! 7! 6!! 8! 6!! 7!! 8 7! 8 7 Halla el coeficiete de y e el desarrollo de: ((a)) 0 y ((b)) y 0 E el desarrollo de (aby) el T k térmio del desarrollo. (a) k k (by) k luego si y será el seto 0 0! ! (a) T 6 () y y y 7677 y 0!! 0!!!! (b) T 6 () y y 7677 y Lo úico que varía es el sigo pues al estar el segudo sumado ( el egativo) a epoete impar, su potecia es egativa.

6 io! 6 Calcula: ((a)) V 6, ((b)) V V 7, 7, ((c)) C 8, P ((a)) V 6, ((b)) V V 7, 7, V8, ((c)) C 8, P P V8, P Resuelve las ecuacioes: ((a)) V, ((b)) C, 6 ((c)) P 00 ((d)) dode es u etero positivo. ((a)) V, ; ( ) ; ± 68 ± 7 0 como ha 6 de ser etero positivo 7, V 7, 7 6. Más rápido ( e ituitivo) hubiese sido por como producto de 7 6 ( ) e dode vemos que 7. V, ((b)) C, 6; 6 V, P ((c)) P! 00, descompoemos 00 7 {reorgaizado factores} 7 ( ) 7 6 7!, luego 7.! ( )! ((d)) ( )!! ( )! 6 E el meú del día u restaurate ofrece para elegir primeros platos, segudos y postres. Cuátos meús distitos se puede escoger? Como por cada primer platos se puede elegir segudos, co primeros se podrá elegir 9 combiacioes de los dos primeros platos. Por cada ua de estas 9 combiacioes de primeros platos se puede elegir postres, luego: Meús ( os ) ( os ) (postres) 6 meús

7 io! 7 7 Ua fábrica de automóviles tiee e u catálogo 6 versioes de motor distitas de su modelo Alhambra. Ofrece además la posibilidad de elegir 7 colores de carrocería y o puertas. Cuátas eleccioes permite ese modelo al comprador? Modelos 6 (motores) 7 ( colores/motor) (o puertas/ motor y color) 8 modelos. 8 Cuátos úmeros capicúa hay de 8 cifras, icluyedo los que empieza por 0? Los capicúas de ocho cifras so de la forma abcddcba, iguales o diferetes. Como dispoemos de 0 cifras, que puede repetirse, e grupos de ( añadimos luego esas cifras e orde iverso) pero teiedo e cueta el orde, se trata de: V R 0, capicúas 9 ((a)) Cuátas palabras de cuatro letras se puede formar co las letras de la palabra MURCIA? ((b)) Y de cuatro letras distitas? ((a)) Como o dice que las cuatro letras tega que ser diferetes e ifluye el orde, se trata de variacioes co repetició de 6 letras agrupadas de e : V R 6, 6 96 palabras de letras. ((b)) Ahora las letras ha de ser diferetes luego so variacioes ordiarias: V 6, 6 60 palabras de letras distitas. 0 Cuátas permutacioes de las letras de la palabra CORUÑA termia e vocal? Termiadas e A, es decir de la forma _ A, queda letras para permutar, luego hay P! 0. Pero como hay otras dos vocales ( la O y la U), podemos hacer e total ( vocales) 0 (permutacioes/vocal) 60 permutacioes De cuátas maeras se puede colocar e ua estatería libros de Matemáticas, de Química y de Biología, distitos todos ellos, si separar los de ua misma materia? P,,! ! !!!! 770

8 io! 8 La platilla del Sevilla C. F. costará la próima temporada de porteros, 6 defesas, cetrocampistas y 6 delateros. ((a)) Cuátas alieacioes distitas co táctica -- podrá formar si cada jugador figura e el papel que le correspode? ((b)) Y si se permite la frivolidad de que u delatero juegue de portero y cosas así? ((a)) La táctica -- creo que cosiste e defesas, cetrocampistas y delateros. Cuátos grupos de defesas ( distitos evidetemete) puede formarse co los 6 dispoibles?, puede darse dos casos:!ifluye el orde ( que es lo más lógico), es decir, o es lo mismo que Pepe juegue de defesa izquierdo que defesa derecho, cada uo e su puesto, se trata de V 6, 6 60!No ifluye el orde, siempre que sea diferetes, so defesas comodí que lo mismo defiede e el 6! 6! 6 cetro que e el ala derecha o izquierda, C 6,.!!! Cuátos grupos de cetrocampistas puede formarse co los dispoibles?, puede darse dos casos:!ifluye el orde ( que es lo más lógico), es decir, o es lo mismo que Pepe juegue de cetrocampista izquierdo que derecho, cada uo e su puesto, se trata de V, 0!No ifluye el orde, siempre que sea diferetes, so cetrocampistas comodí que lo mismo defiede!! e el cetro que e el ala derecha o izquierda, C,.!!! Cuátos grupos de delateros puede formarse co los 6 dispoibles?, puede darse dos casos:!ifluye el orde ( que es lo más lógico), es decir, o es lo mismo que Pepe juegue de delatero izquierdo que delatero derecho, cada uo e su puesto, se trata de V 6, 6 0!No ifluye el orde, siempre que sea diferetes, so delateros comodí que lo mismo defiede e el 6! 6! 6 ala derecha o izquierda, C 6,!!! Alieacioes Porteros defesas cetrocampistas delateros Las dos posibilidades so : Alieacioes Alieacioes 0. 0! ! ((b)) C ! 9!!

9 io! 9 ((a)) De cuátas maeras se puede setar persoas e u baco alargado? ((b)) Y e ua mesa redoda? ((a)) Hemos de calcular las permutacioes ordiarias de persoas ya que se toma todos los elemetos y lo úico que cambia etre grupos es el orde: P! 0 maeras. ((b)) So permutacioes circulares, fijado ua persoa que se toma como orige, se puede permutar las restates: P circulares P! maeras. U estudiate ha de elegir cuestioes etre las 0 propuestas e u eame. Cuátas eleccioes diferetes puede hacer? Las cuestioes ha de ser, evidetemete, distitas ( si repetició) y o ifluye el orde, luego se trata de combiacioes de 0 elemetos tomados de e : C, 0! ! eleccioes puede hacer.!!! 0 De cuátas formas se puede regalar lotes de libros cada uo, co libros diferetes? El orde de los lotes o importa, lo que si importa es los libros de que costa cada lote, luego so P! formas. AUTOEVALUACIÓN Eucia la regla del producto de opcioes. Aplícala para calcular cuátas matrículas de automóvil distitas se puede rotular co cuatro cifras y dos letras (supoiedo que se usa para ello sólo 0 letras del alfabeto). Co 0 cifras, pudiedo repetirse, e grupos de, ifluyedo el orde etre los grupos ( R o es lo mismo que, teiedo los mismos elemetos) se puede formar V. 0, 0 Co 0 letras, que puede repetirse, e grupos de, ifluyedo el orde, se puede R formar V0, grupos de úmeros 00 grupos de letras de matrículas.

10 io! 0 Cómo se defie el factorial de u úmero? Calcula!! ( ) ( ) ( ), es decir el producto de los factores eteros cosecutivos decrecietes que empieza e y termia e.!. 7 9 Defie Por qué se llama úmeros combiatorios? Calcula, y r 0 7.! C,r, se llama úmeros combiatorios por que equivale a las combiacioes r r!( r)! de elemetos tomados de r e r. 0! 0!! 7 7! ;! 7! 9 9! 9 8 7! 9 8 ; !! 7! Escribe las variacioes (si repetició) y las combiacioes de las vocales a, e, i, o, u tomadas de dos e dos. V, 0, que so: ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, ia, ie, io, iu, oa, oe, oi, ou, ua, ue, ui, uo C,!! 0 0, la mitad de las ateriores pues ahora ae ea, etc.!!! Idica las igualdades que sea icorrectas: ((a)) 6! -!! ((b)). (!)! ((c)) (!) ()!! ((d))! ((a)) 6!! 6!!!( 6 )! 9!. Falso ((b))!!. Verdadero ((c)) ()! ( ) ( ).... Falso.

11 io!!! ((d)). Verdadero.!! 6 De cuátas maeras se puede llear ua estatería, e la que cabe botellas, si se dispoe de 6 botellas distitas? No se puede repetir y o ifluye el orde, luego: 6 6! 6! C 6,!!! Si ifluye el orde sería V 6, 6 60 formas. 7 Resuelve las ecuacioes: ((a)) P 70 ((b)) V 6,r 0 V rep, ((c)) ((d)) ((a)) P! !, 6. ((b)) Descompoemos 0 {reordeado} 6 V 6,, luego r. ((c)) R, V.! ( )( )! ( ) ((d)) 90 0 ( )!( )! ( )! ecuació de º grado, que resolvemos: ± 60 ± 9 0 ; Cuátas palabras de letras distitas se puede formar co las letras de: ((a)) VINAROZ? ((b)) BENIDORM? ((a)) Ifluye el orde y o se puede repetir luego so V 7, las palabras de cuatro letras distitas. ((b)) Tambié so variacioes ordiarias V 8, palabras de cuatro letras.

12 io! 9 Co 6 licores distitos, cuátos cócteles de tres igredietes se puede preparar? Si los igredietes so los mismos, o importa el orde e que se mezcle y como o puede repetirse, se trata de : C, 6 6! 6! 6 60 cócteles distitos puede prepararse.!!! 6 0 Co camisas, pataloes y pares de zapatos, cuátas idumetarias diferetes se puede elegir? Haz u diagrama e árbol que las eumere. Idumetarias camisas pataloes/ camisa pares de zapatos/ pataló y camisa idumetarias.

13 io! Es lo mismo variacioes de objetos distitos tomados de e que permutacioes de esos objetos? Si ambas so si repetició, sí : V, ( ) ( )...! P U etreador de balocesto dispoe de bases, aleros y pivots. ((a)) Cuátos cicos iiciales distitos, de u base, dos aleros y dos pivots, puede hacer saltar a la cacha respetado la especialidad de cada jugador? ((b)) Y si o se respeta? ((a)) bases ( C, aleros) (C, pivots) 6 equipos. ((b)) Ahora so combiacioes de º jugadores tomadas de e : C, 0 0! ! equipos.!!! 0 Calcula, usado cacelacioes e el umerador y e el deomiador, los siguietes cocietes: ((a)) 0! 00! ((b)) 8! 6!! ((c)) 0! 0! 9!! 0! ! ((a)) ! 00! 8! 8 7 6! 8 7 ((b)) 7 8 6!! 6! ((c)) 0! 0! 9!! 0 9! 0! 9! 0! 0 0 Cuátas permutacioes distiguibles admite las letras de: ((a)) BALEARES? ((b)) CANARIAS? ((a)) Hay 8 letras, pero se repite veces la A y veces la E, luego:

14 Ui idad 7 aálli isi is combi iattori io! Maatteemáátti iccaass !!!!!! 8 7 6!!!!!!! 8! P,,,,, 8 ((b)) CANARIAS, tiee 8 letras repitiédose veces la A: !!!!!! 8 7 6!!!!!!! 8! P,,,,, 8 Por qué tiee simetría izquierda-derecha el triágulo de Pascal? Para qué se emplea ese triágulo? La simetría es debida a que: m,m, m C m m m C Se emplea para calcular los coeficietes del desarrollo del biomio de Newto i : b b a b a... b a b a a 0 b) a ( 6 Desarrolla: ((a)) ( - ) ((b)) ( 0,) ((a)) ( ) ((b)) () () () () () ) 6( ) (8 ) (6 7 Cuátas fichas tedría u juego de domió que tega sólo blaco, uo, dos y tres putos? Si el domió tiee putos, será dobles fichas y o dobles C,, e uestro caso, luego habrá C, V, /P ( )/ / 6 0 fichas. 8 A u cocierto gratuito acude 60 jóvees. Como la sala sólo tiee 600 asietos, se sortea para ver quiées etra al cocierto. Cuátos resultados distitos puede ocurrir e ese sorteo? So ! ! 600!! 60! C 600, 60

15 io!