El profesor puede comprobar que no hay más soluciones: Basta, gracias a la simetría debida a P3, con probar k 1

Transcripción

1 . Combiatoria Combiatoria PREPARACIÓN DE LA UNIDAD y a) ( ) ( ab ) a ( a ) b a b a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). NÚMEROS FACTORIALES. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). a) ( ) ( ) ( ) ( ). De :. ( ) ( ). NÚMEROS COMBINATORIOS. ( ). a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e) f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). El alumo deberá ecotrar dos valores:. a) El caso trivial: Usado la propiedad P: El profesor puede comprobar que o hay más solucioes: Basta gracias a la simetría debida a P co probar que si etoces y esto está < claro pues: <. a) Por la propiedad P Por la propiedad P : : <... Combiatoria

2 . Combiatoria. ( a b ) a b a b a a b a b a b a b a b b a b a b a b a b a b ( a b ) a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b a b a b a b b. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z) ( ) ( ) z ( ) ( z) ( ) ( z) ( ) ( z) ( ) ( z) ( ) ( z) ( z) ( z) z z z z z z z z. T de ( a b ) T a b a b T de ( a b ) T ( ) a b a b. El desarrollo de ( ) tedrá térmios por lo que el térmio cetral es el décimo: T ( ) ( ). aaa aba aca ada aea aab abb acb adb aeb aac abc acc adc aec aad abd acd add aed aae abe ace ade aee baa bba bca bda bea bab bbb bcb bdb beb bac bbc bcc bdc bec bad bbd bcd bdd bed bae bbe bce bde bee De esta maera colocado e primer lugar c d y e se obtiee las cofiguracioes.. VR. TÉCNICAS DE RECUENTO E los problemas y los criterios usados para costruir las cofiguracioes so:. VR. VR Importa el orde. No puede repetirse elemetos.. VR. a tirada. a t.. a t.. a t.. a t. Por tato el cálculo del úmero de cofiguracioes correspode a variacioes ordiarias:. V. V V V E los problemas a los criterios usados para costruir las cofiguracioes so: Importa el orde. Se puede repetir los elemetos. Por tato el cálculo del úmero de cofiguracioes correspode a variacioes co repetició VR VR. VR VR E los problemas a los criterios usados para costruir las cofiguracioes so: Iterviee todos los elemetos e cada cofiguració. Importa el orde. Por tato el cálculo del úmero de cofiguracioes correspode a permutacioes ordiarias.. P. P. P. P. PC P P E los problemas a los criterios usados para costruir las cofiguracioes so: Iterviee todos los elemetos e cada cofiguració. Importa el orde pero hay elemetos repetidos que so iguales. Por tato el cálculo del úmero de cofiguracioes correspode a permutacioes co repetició.. PR. PR PR. PR. PR. PR. Puesto que hay u cierre se trata de permutacioes co repetició. PR E los problemas y los criterios usados para costruir las cofiguracioes so: No importa el orde. No aparece elemetos repetidos e igua cofiguració. Por tato el cálculo del úmero de cofiguracioes correspode a combiacioes ordiarias.. C. C. C. Dispoemos de cico cifras impares de las que debemos tomar tres si importar el orde (pues la suma es comutativa) y pudiedo repetir las cifras. Por tato podemos escoger los sumados de CR maeras distitas.. Teemos tres sigos diferetes ( X ) y debemos colocar uo e cada ua de las casillas de maera que importa el orde (o sea la casilla e la que escribamos cada sigo) y podemos repetir el mismo símbolo e casillas distitas. Luego el úmero de cofiguracioes posibles es: VR Debemos distribuir uos equis y doses e casillas o sea iterviee todos ellos importa el orde y so idistiguibles los sigos de u mismo tipo luego el úmero de posibilidades es: PR. Dispoemos de úmeros y e cada producto debe iterveir diferetes si importar el orde (pues el producto es comutativo) luego podemos hacer C eleccioes de facto- res y todas ellas dará lugar a productos diferetes pues se trata de productos de úmeros primos y sabemos que la descomposició de u etero (o ulo) e producto de primos es úica (salvo el orde que o teemos e cueta y los sigos que o aparece porque estamos co eteros positivos). Cosiderado que ahora podemos repetir factores el úmero de productos es: CR : : Combiatoria

3 . Combiatoria. Para hacer ua apuesta debemos escoger úmeros distitos de etre úmeros y el orde o ifluirá a la hora de distiguir apuestas diferetes luego el úmero de apuestas diferetes que se puede hacer es: C. Iterviee todas las letras que so diferetes y dos palabras se diferecia e el orde de sus letras por lo que se puede formar P palabras distitas. Estamos e la misma situació salvo que teemos emes tes y aes luego podemos formar: PR palabras distitas. Dos baderas de tres frajas se diferecia por los colores de las frajas y el orde e que está dispuestas por lo que es u problema de variacioes. Para que ua badera tega tres frajas o bie la pitamos co tres colores distitos o bie pitamos las frajas laterales de u mismo color y la cetral de otro por lo que el úmero de baderas de tres frajas que se puede cofeccioar es: V V Cosiderado que o podemos repetir igú color el úmero de baderas es: V. Colocamos primero a las chicas e los sitios impares. Como importa el orde iterviee todas y o se puede repetir se trata de permutacioes. P Situamos ahora los chicos e los sitios pares: P Para cada colocació de las chicas hay posibilidades para los chicos. Luego el úmero total de posibilidades es: Razoado de maera aáloga se obtiee que hay posibilidades para situar a los chicos e lugar impar y a las chicas e lugar par. E total: posibilidades Si se sitúa e círculo hay PC P posibilidades para las chicas y para cada ua de estas posibilidades PC posibilidades para los chicos. Luego e total: posibilidades. Debemos elegir chicos de etre si importar el orde para lo cual teemos: C posibilidades y para cada ua de ellas teemos: C posibles eleccioes de chicas de etre si importar el orde. E total hay posibles comisioes.. La colocació de cada uo de los tipos de libros se correspode co permutacioes: P La colocació de los libros de cada uo de los tipos se correspode co las permutacioes de los libros de cada tipo. Por ejemplo las ovelas: P Por tato el úmero de colocacioes posibles es: P P P P. Como las cifras pares debe estar e todos los úmeros lo primero que podemos hacer es asigarles su sitio. Puesto que importa el orde y las cifras debe ser distitas el úmero de posibles colocacioes de estos elemetos e las posicioes es: V Ua vez colocadas las cifras pares os queda posicioes e las que debemos colocar alguas de las cifras co las mismas codicioes (importa el orde y o hay repetició). Luego hay V posibilidades. Por tato podemos formar úmeros.. Etre el y el hay úmeros pares y impares. Debemos escoger úmeros pares y impares de maera que o importa el orde y o haya repetició luego será combiacioes: C C posibles apuestas. Calculamos primero de cuátas maeras puede coicidir eactamete e cuatro úmeros ua apuesta co la combiació gaadora o sea de cuátas maeras podemos seleccioar cuatro de los seis úmeros de la combiació gaadora. Como o importa el orde y o hay repetició la respuestas es: C Ahora para que ua apuesta tega eactamete aciertos ua vez fijados los cuatro úmeros co los que ha coicidido co la combiació gaadora los dos úmeros restates debe elegirse de etre los úmeros meos los de la combiació gaadora o sea de etre úmeros si importar el orde y si repetició por lo que hay C posibles eleccioes de los dos úmeros o coicidetes. Así pues el úmero de apuestas co eactamete cuatro aciertos es. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS ( ). a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ). a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). es la suma de los coeficie- tes del desarrollo del biomio de Newto (a a b b luego hacie- do a b. ( ). Si. Si > podemos usar la propiedad P: por el problema aterior por lo que multiplicado por el primero y el último miembro: y restado a ambos miembros obtee- mos. El térmio -ésimo es: T ( ) ( y ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y para que el epoete de y sea el valor de debe ser y sustituyedo e la epresió de T obteemos: T ( ) y y Luego el coeficiete es. y. El térmio -ésimo es: T ( ) ( ) ( ) Para que el epoete de sea el valor de debe ser: y el térmio oveo es: T Luego el coeficiete pedido es:. Combiatoria

4 . Combiatoria. Las diferetes maeras de colocarse e círculo so las permutacioes circulares de elemetos: PC P Ua vez situados los grupos los miembros de cada uo puede itercambiar sus posicioes: P P P P El úmero total de colocacioes posibles será: colocacioes posibles. Los grupos que se colocará e el círculo será: iñas jutas iños jutos iña más iños más. Por tato permutacioes circulares de elemetos: PC P Ua vez situados los grupos los miembros de cada grupo puede itercambiarse sus posicioes: P P E cojuto: combiacioes. Se formará grupos los iños jutos y las iñas jutas. PC P Ua vez colocados los grupos los miembros de cada grupo puede itercambiarse sus posicioes: P P E cojuto: combiacioes.. a) Los camios más cortos recorre travesías horizotales y travesías verticales. E cojuto: PR Para llegar de A a E hay travesías horizotales y vertical mietras que para ir de E a C hay travesías horizotales y vertical. Así: PR PR E cojuto: camios posibles que pasa por E. De los camios co el míimo tiempo pasa por el ayutamieto. Por tato: camios posibles. Procedemos como e el apartado aterior. Camios de míimo tiempo: PR Camios que llega a F: Camios que PR sale de F: PR Camios que pasa por F:. De los camios posibles etre A y D co el míimo tiempo pasa por F. Por tato: camios posibles.. Importa el orde de colocació de las cifras y o puede haber cifras repetidas pero o iterviee todas las cifras de las que dispoemos luego se trata de variacioes ordiarias: V El lugar que ocupe coicide co el úmero de los úmeros meores de que podemos formar co las codicioes ateriores más uo y como los úmeros meores de que hemos obteido e el apartado aterior so los que empieza por y el lugar ocupado por el es: V V V V V V V V V V. Importa el orde de colocació de las cifras pues estamos costruyedo úmeros y se puede repetir luego debemos calcular las variacioes co repetició de elemetos tomados de e : PR Debemos cotar los úmeros del apartado aterior que so meores que y añadir uo a este resultado. Los úmeros meores que so los que empieza por y luego el total de los úmeros del apartado aterior que so meores que es: VR VR VR VR. Primero cotamos cuátos úmeros de tres cifras diferetes puede formarse co las cifras y. Importa el orde de colocació. No iterviee todos los elemetos. No puede repetirse elemetos. Luego V úmeros de tres cifras diferetes co las cifras y. Para calcular la suma de estos úmeros observamos que cada ua de las cuatro cifras aparece e las ui- dades deceas y ceteas veces. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Estamos e la misma situació que e el problema aterior salvo que ahora todas las cifras iterviee e cada cofiguració luego se trata de permutacioes ordiarias. El úmero de cofiguracioes posibles es P. Para calcular la suma de estos úmeros observamos que cada ua de las cico cifras aparece e las uidades deceas ceteas uidades de mil y deceas de mil veces. ACTIVIDADES Cuestioes ( ) ( ). No puede ser egativos y de los úmeros racioales sólo puede ser aquellos que tambié so aturales. V ( )... ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) Por tato C V.. Sustituimos las variacioes por su valor e fució de permutacioes y combiacioes. Por tato se cumple. V V P C P C P C P ( ) C C ( ). No porque el úmero combiatorio debe cumplir.. a) Ejercicios y problemas ( ). C C m m ( ) ( m ) m ( ) C m ( m ) ( m ) Por tato o se cumple.. V ( )... ( ) V ( )... ( ) Si multiplicamos V por su valor o cambia pero teemos: V ( )... Por tato: V V m. No porque debe cumplirse que i y >.. C ( ). a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ). Combiatoria

5 . Combiatoria. Hay dos posibilidades para que esto suceda: O bie O bie ( ). y ( y ) ( ) y ( y ) ( y ) ( y ) y y y y y y y y y y. La epresió del térmio -ésimo del desarrollo de ( y z) es: T Por tato el térmio cuarto es: y ( ) ( ) z y z T y z y z y z Para que el térmio quito valga el valor de debe ser: T. a) V VR P e) PR PR C Como e el desarrollo habrá térmios el térmio cetral será el séptimo: T y z f) CR Por último para que el epoete de y sea el valor de debe ser y el térmio octavo es: T y z y z y z y z y z y z. a) Importa el orde luego debemos escribir todas las posibles eleccioes del protagoista y para cada ua de ellas todas las del coprotagoista (o pudiedo elegir a la misma persoa para los dos papeles claro). Protagoista Coprotagoista Cofiguració. El térmio -ésimo del desarrollo de ( ) es: T ( ) y por tato el térmio quito es: T Protagoista Coprotagoista Cofiguració E este caso tampoco puede haber repetició pero o importa el orde por lo que basta co que cosideremos las cofiguracioes e orde creciete: Persoa elegida Persoa elegida (e primer lugar) (e segudo lugar) Cofiguració. aei eai iae oae uae aeo eao iao oai uai aeu eau iau oau uao aie eia iea oea uea aio eio ieo oei uei aiu eiu ieu oeu ueo aoe eoa ioa oia uia aoi eoi ioe oie uie aou eou iou oiu uio aue eua iua oua uoa aui eui iue oue uoe auo euo iuo oui uoi Comprobamos que os ha salido V.. Como o importa el orde basta co escribir las cifras e orde creciete. Comprobamos que os ha salido C. Hay tres posibilidades para escoger el sabor del bocadillo para cada ua de las cuales hay dos posibilidades para escoger el refresco y para cada ua de éstas hay dos posibilidades para escoger la tarta. Luego el úmero de posibles cofiguracioes de la merieda escolar es. Bocadillo Refresco Tarta Chorizo mazaa limó mazaa araja Jamó mazaa limó mazaa araja Queso mazaa limó mazaa araja. Hay tatos billetes diferetes como maeras de escoger dos de las ocho uidades. Está claro que importa el orde y que o se puede repetir luego se trata de variacioes ordiarias. V. Las eleccioes posibles de fichas de etre si importar el orde (pues o se idica que ifluya el orde) so: C. Obviamete importa el orde y o hay repetició luego teemos variacioes ordiarias: V. Combiatoria

6 . Combiatoria. El úmero de rectas distitas correspode a la elecció de pares de vértices distitos si importar el orde y el úmero de triágulos a la elecció de teras de vértices distitos si importar el orde. E ambos casos pues se trata de combiacioes: C rectas C triágulos. Primero razoaremos el caso de lados y luego aplicaremos la fórmula a y. De cada uo de los vértices sale tatas diagoales como vértices distitos de él y de los dos cotiguos es decir. Pero cada ua de ellas estará cotada eactamete dos veces (ua como diagoal que pasa por uo de los vértices y otra como diagoal que pasa por el otro vértice). Luego el úmero de diagoales diferetes es: ( ) ( ) Si habrá diagoales diferetes y si. ( ). Las codicioes del euciado hace que se determie tatos putos de itersecció diferetes como pares de rectas diferetes se pueda formar si importar el orde que so: C. Como importa el orde o hay repetició y participa todos los grupos se trata de permutacioes: P Si queremos que el grupo más famoso actúe e último lugar tedremos que fijar dicho grupo e la última posició y las cofiguracioes vedrá dadas por las permutacioes de los cico grupos restates e las cico primeras posicioes P.. Como estamos cosiderado úmeros el orde importa. Por tato tedremos que pesar e variacioes. Está claro que la catidad de úmeros que tega cifras repetidas coicidirá co todos los posibles permitiedo que se repita las cifras (variacioes co repetició) meos todos los posibles e los que o se repita igua cifra (variacioes ordiarias) o sea VR V.. Hay cico días etre los que elegir para cada uo de ellos dos horarios y para cada horario tres doctores luego el úmero de posibles visitas es. Si el Dr. Rodríguez o visita los vieres debemos elimiar dos posibles visitas (ua para cada horario) y si la Dra. García o visita los lues por la tarde otra más luego ahora sólo hay visitas distitas posibles.. Importa el orde de las cifras pues estamos cosiderado úmeros y o se puede repetir pues debe ser diferetes luego se trata de variacioes: V Los úmeros que está compredidos etre y so los que empieza por ó o sea los obteidos al fijar la primera cifra e u o u y colocar cuatro de las cico restates e las demás posicioes: V. Importa el orde iterviee todos los elemetos y o se puede repetir por lo que se trata de permutacioes P. Los meores que so los que empieza por y o sea P P P P P. Luego el ocupa el lugar.. Se trata de cotar las cofiguracioes e las que participa caras y cruces importado el orde y esto correspode a permutacioes co repetició: PR Calculamos ahora las cofiguracioes correspodietes a obteer caras y cruces. PR. Dos cucuruchos será distitos cuado tega distitos sabores si importar el orde e que se ha colocado y pudiedo haber sabores repetidos luego se trata de combiacioes co repetició de elemetos tomados de e : CR. a) Escogemos a las seis persoas importado el orde luego se trata de permutacioes: P Si los sitios está umerados o hay igua diferecia formal co el caso aterior pues podemos pesar que el úmero equivale al orde de u asieto e u baco. Así habrá posibilidades. E este caso para cada cofiguració teemos casos co bacos umerados obteidos al girar las seis persoas e toro a la mesa luego debemos dividir los casos del apartado aterior etre lo que correspode a permutacioes circulares PC P.. Importa el orde y las cifras se puede repetir (pues o se dice lo cotrario) luego so variacioes co repetició VR. Para calcular la suma de estos úmeros observamos que cada ua de las tres cifras aparece e las uidades de- ceas ceteas y e las uidades de mil veces. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Como debemos coceder los premios a tres participates distitos o puede haber repetició. a) Si los premios so diferetes importa el orde de elecció de los premiados luego se trata de variacioes: V Si los tres premios so iguales o importa el orde de elecció de los premiados luego se trata de combiacioes: C E este caso importará el orde e que escojamos el primer premio para el cual teemos posibilidades pero o el orde e el que escojamos los dos accésit para los que tedremos que elegir etre persoas: C Por tato tedremos posibles cofiguracioes.. Como las cartas se etrae simultáeamete dos cofiguracioes o se difereciará por el orde de sus elemetos y claramete o hay repetició por lo que se trata de combiacioes: C Se trata de cotar las posibles maeras de escoger tres cartas de las que forma el palo de oros y ua del palo de copas de maera que o importa el orde (y o hay repetició). Para escoger la de copas teemos posibilidades y ua vez la hemos escogido teemos C posibles eleccioes de las de oros. E total: posibilidades Para escoger ua carta de u palo teemos posibilidades por lo que para escoger cuatro cartas de sedos palos tedremos posibilidades.. Dispoemos de úmeros primos etre y ( ) que debemos escoger para colocar e las tres primeras posicioes importado el orde y pudiedo repetirse luego el cálculo de posibilidades viee dado por VR. E el caso de úmeros compuestos sólo dispoemos de por lo que como teemos que elegir tedremos VR posibilidades. Ahora cada elecció de los tres primeros da lugar a tatas posibilidades como eleccioes de los tres segudos sea posibles (o sea a ) luego el total de posibilidades es.. Teemos factores y debemos elegir tres distitos y si importar el orde (pues el producto es comutativo). Por tato podremos formar: C productos Será positivos aquellos e los que aparezca tres cifras positivas o ua cifra positiva y dos egativas como o importa el orde las eleccioes de tres cifras positivas so C y las eleccioes de ua cifra positiva y dos egativas será C Por tato hay productos positivos. Por último si teemos productos e total de los cuales so positivos habrá productos egativos ya que igú producto es pues el o es u factor.. Se trata de formar cofiguracioes de ó sigos co sólo sigos. Está claro que importa el orde y que deberá repetirse los sigos. Por tato se trata de variacioes co repetició: VR VR VR VR códigos diferetes. Estamos costruyedo úmeros por lo que el orde será importate y e este caso o iterviee todos los elemetos y o hay repetició por lo que será variacioes. Para escoger las dos primeras cifras debemos escoger etre las cifras impares (o pudiedo escoger las dos veces la misma) y para cada elecció de las dos primeras cifras debemos escoger etre las cifras pares. Luego el total de úmeros será: V V E los lugares correspodietes a las uidades deceas y ceteas aparece : veces cada ua de las cifras pares. Asimismo e los lugares correspodietes a las uidades y deceas de mil aparecerá. Combiatoria

7 . Combiatoria veces cada ua de las cifras impares. Por tato el valor de la suma será: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Debemos escoger para completar la apuesta de todas las maeras posibles otros tres úmeros etre los restates si importar el orde. Se trata pues de combiacioes. C maeras Las que o icluye igú múltiplo de so las que se puede realizar etre los úmeros meos los que so múltiplos de que so ( y ): C Para cotarlas primero veremos de cuátas mae- ras podemos tomar úmeros (etre y ) acabados e y multiplicaremos este resultado por las maeras e que podemos escoger los otros úmeros etre los que o acabe e. Hay úmeros acabados e etre y ( y ) y que o acaba e. Por tato el resultado fial del problema es: C C. Debemos ver de cuátas maeras podemos colocar ordeadamete elemetos (bolas) habiedo y idistiguibles etre sí (blacas egras y rojas). Se trata pues de permutacioes co repetició: PR Las cuatro bolas rojas seguidas puede ocupar posicioes diferetes. Para cada ua de ellas hay PR maeras diferetes de colocar las bolas restates. Por tato el úmero de posibilidades es: PR. Activitat Tic.. Activitat Tic.