3 Aplicaciones de las EDO s lineales de segundo orden

Transcripción

1 Práctics de Ecuciones Diferenciles G. Aguilr, N. Bol, C. Clvero, F. Gspr 3 Aplicciones de ls EDO s lineles de segundo orden Objetivos: Anlizr en profundidd, en un ejemplo simple, l importnci de ls ecuciones diferenciles lineles de segundo orden en el modeldo de fenómenos físicos. Observr e interpretr el comportmiento de l solución en función de los prámetros que hy en el modelo. Supongmos que un resorte helicoidl de longitud nturl (no estirdo) L está suspendido verticlmente de un punto de poyo y que se coloc un ms m en el extremo inferior. Est ms estir el resorte s uniddes dicionles hst llegr l reposo. Después se estir el resorte hci bjo un distnci A y se liber con un velocidd inicil dd B. Pr describir el movimiento resultnte de l ms, denotmos con y(t) l posición de l ms en el instnte t. L experienci cotidin sugiere que l ms oscilrá hci rrib y bjo con un velocidd y cntidd de desplzmiento que dependen de l ms, el desplzmiento inicil A, l rigidez del resorte, de que l ms se liberd del reposo o impulsd de lgun mner y de l existenci de otrs fuerzs que ctúen sobre el sistem. Análisis del movimiento no mortigudo del resorte En relidd, el movimiento de l ms cesrá finlmente debido ls fuerzs mortiguntes que siempre están presentes. Supondremos, en principio, que no hy fuerzs de mortigución y determinremos cuál serí el movimiento en ests circunstncis. Luego gregremos mortigumiento y determinremos cómo influye en el movimiento. Ls fuerzs que ctún sobre l ms son: 1. L grvedd tir de l ms hci bjo. L mgnitud de l trcción debid l grvedd es mg, donde g es l mgnitud constnte de l celerción debid l grvedd y es proximdmente 9,8 m/s Un fuerz resturdor debid l resorte. L ley de Hooke firm que l mgnitud de est fuerz es proporcionl l distnci l que se estir el resorte. L constnte de proporcionlidd k recibe el nombre de módulo de elsticidd del muelle y vrí de un resorte otro. Cunto más rígido es el resorte tnto myor es el vlor de k. En equilibrio estático, l fuerz del resorte es ks (menos porque el resorte tiende tirr de l ms hci rrib, en dirección negtiv). Si l ms se estir 1

2 hci bjo un distnci y de l posición de equilibrio estático, se ejerce un fuerz dicionl ky. Por lo tnto, l fuerz totl debid l resorte es ks ky. L fuerz totl debid l grvedd y l resorte es mg ks ky. Cundo l ms se encuentr en posición de equilibrio estático, ls fuerzs se equilibrn, por tnto, cundo y = 0 tenemos mg ks = 0. Así, l fuerz totl que ctú sobre l ms es mg mg ky o simplemente ky. Aplicmos l segund ley de Newton; l celerción de l ms es y (t) y que y mide el desplzmiento de l ms desde l posición de equilibrio estático. Por lo tnto my (t) = ky(t). Además, hy que especificr l posición de l ms cundo fue liberd (posición inicil) y su velocidd l tiempo de liberrl (velocidd inicil): y(t 0 ) = A, y (t 0 ) = B. Ejercicio 1. Prueb que l solución generl de es y + k m y = 0, y(t) = C 1 cos(w 0 t) + C 2 sen(w 0 t), con w 0 = (k/m) 1/2. Supongmos que m = 1/2, k = 128. Considermos los csos: ) L ms se desplz de su posición de equilibrio hci bjo 1/2 m y se dej libre. b) L ms se desplz de su posición de equilibrio hci bjo 1/2 m y se le plic un velocidd hci rrib de 6 m/seg. Escribe en mbos csos l solución, nliz el tipo de movimiento, rzon si el sistem tiende recuperr l posición de equilibrio y represent l solución. Pr ello us el fichero ejemplo.m (tu copi ejemplo1.m; este fichero es el que tendrás que ir modificndo en los ejercicios posteriores). Ejercicio 2. Prueb que en el cso prticulr l solución es y(t) = A cos(w 0 t). y + k m y = 0, y(0) = A, y (0) = 0, 2

3 En este cso el periodo es T = 2π/w 0 y l frecuenci 1/T = w 0 /2π. Cunto más rígido es el muelle, tnto myor es k, lo que d origen un frecuenci myor y un periodo menor. L mplitud del desplzmiento es y(t) = A. En relidd, no esperrímos que el resorte continur oscilndo un distnci igul este desplzmiento inicil, pero en este modelo lo hce porque no precen los fctores de mortigumiento. Ejercicio 3. Si considermos el mismo modelo pero suponemos hor que el desplzmiento inicil es A y se plic un velocidd B l ms, el PVI es Prueb que l solución es y + k m y = 0, y(0) = A, y (0) = B. y(t) = A cos(w 0 t) + B w 0 sen(w 0 t) y que est solución se puede expresr en l form equivlente: y(t) = A 2 + B2 cos(w w0 2 0 t + δ). Not. Desrroll cos(w 0 t + δ) y compr mbs expresiones. A est últim fórmul se l llm fórmul de ángulo de fse o rmónic de l solución y muestr que, en usenci de mortigumiento, el movimiento es siempre osciltorio, sin importr l velocidd y el desplzmiento iniciles. En este cso, decimos que el sistem experiment movimiento libre no mortigudo. Movimiento mortigudo del resorte Ahor vmos mplir nuestro nálisis pr tener en cuent el mortigumiento, lo que nos llev obtener resultdos mucho más interesntes y reles. El mortigumiento se puede producir de muchs forms pero los experimentos hn demostrdo que ls fuerzs de mortigumiento son proporcionles l velocidd de l ms y ctún en sentido contrrio l dirección de movimiento. Si est constnte de proporcionlidd es un número positivo c llmd constnte de mortigumiento, l fuerz de mortigumiento tiene l mgnitud cy y l ecución de movimiento es my = ky cy, o bien y + c m y + k m y = 0. 3

4 Ls ríces de su ecución crcterístic son r = c 2m ± 1 c2 4km. 2m L solución generl pr y, y en consecuenci el movimiento resultnte, presentrá grndes diferencis dependiendo de l nturlez de ests ríces que, su vez, depende de los tmños reltivos de l ms, l constnte del resorte y l constnte de mortigumiento. Considermos tres csos: 1.- Movimiento sobremortigudo: c 2 4km > 0. Ejercicio 4. Clcul l solución generl y prueb que lím y(t) = 0. t Si c = 6, k = 5, m = 1 y en el instnte inicil l ms es elevd cutro uniddes desde l posición de equilibrio y liberd hci bjo con un velocidd de dos uniddes por segundo, hll l solución y represéntl gráficmente. Observ como l ms se mntiene siempre rrib del punto de equilibrio. Como l velocidd y (t) es decreciente, concluimos que el objeto se mueve hci bjo un velocidd decreciente, sin llegr nunc l estdo de reposo en ls condiciones del modelo y sin llegr l punto de equilibrio. 2.- Movimiento críticmente mortigudo: c 2 4km = 0. Ejercicio 5. Clcul l solución generl y prueb de nuevo que lím y(t) = 0. t Si c = 2, k = m = 1 y l ms es desplzd hci rrib inicilmente hst un posición cutro uniddes rrib de l posición de equilibrio y luego es empujd hci bjo con un velocidd de cinco uniddes por segundo, determin l posición y(t) de l ms en cd instnte t > 0. Represent gráficmente l solución e interpret est gráfic. Demuestr que en este cso el objeto ps por el punto de equilibrio exctmente un vez o nunc lleg él. 3.- Movimiento submortigudo: c 2 4km < 0. Ejercicio 6. Clcul l solución generl; de nuevo y(t) 0 cundo t. Por lo tnto en todos los csos en los que hy mortigumiento, el movimiento se v extinguiendo. Sin embrgo, en este cso de submortigumiento el movimiento es osciltorio, debido los 4

5 términos seno y coseno. Debido l fctor exponencil el movimiento no es periódico. Si k = 2, c = m = 1 y l ms es desplzd hci bjo desde un punto situdo tres uniddes rrib del punto de equilibrio con un velocidd inicil de dos uniddes por segundo, determin l posición de l ms en cd instnte, Represéntl e interpret l gráfic. Oscilciones forzds Aunque este nálisis del movimiento del resorte nos d lgun informción interesnte, h psdo por lto el cso en que el movimiento es impulsdo por lgun función de fuerz, que considerremos en este prtdo. Considermos el cso común de un fuerz impulsor periódic f(t) = cos(wt), ctundo sobre l ms, donde y w son constntes positivs. L ecución diferencil del desplzmiento es hor y + c m y + k m y = m cos(wt), donde k es l constnte del resorte y c es l constnte de mortigumiento. Ejercicio 7. Utilizndo el método de coeficientes indetermindos, hll l solución generl de l ecución generl. Si c = 6, k = 5, m = 1, = 6 5 y w = 5, hll l posición en cd instnte de l ms si se liber del reposo en l posición inicil. Represent gráficmente l solución. Observ que los términos exponenciles decrecen muy rápido, ejerciendo menor influenci en y(t) cundo t crece. Después de lgún tiempo, l solución tiende comportrse más como sen( 5t), donde l ms se mueve hci rrib y bjo con periodo proximdo 2π/ 5. Ahor tom c = 2, m = k = 1, w = 1 y /m = 2. Si nuevmente y(0) = y (0) = 0, hll l solución del PVI, represéntl gráficmente e interpret es gráfic. Por último supongmos que k = 2, c = m = 1, w = 2 y /m = 2 2 y que y(0) = y (0) = 0. Hll l solución del PVI, representrl gráficmente e interpret l gráfic. Resonnci El sistem físico que hemos venido estudindo exhibirá diverss propieddes interesntes con diferentes supuestos cerc de los vlores de m, c, k y de l fuerz extern. En 5

6 usenci de mortigumiento, el sistem puede experimentr un fenómeno llmdo resonnci, que tiene un importnci práctic considerble y por ello hor exminremos ese concepto. Ejecut tcom y comprobrás l relevnci del fenómeno del que estmos hblndo. Pr comenzr supongmos que c = 0 y que l fuerz extern es de l form cos(wt), de modo que l ecución diferencil pr l función desplzmiento es y + k m y = m cos(wt). L suposición de que c = 0 signific que el sistem no está mortigudo. Ejercicio 8. Prueb que l solución generl de est ecución es y(t) = C 1 cos(w 0 t) + C 2 sen(w 0 t) + m(w 2 0 w 2 ) cos(wt), si w 0 w. Determin d y δ de form que l solución del problem nterior se escrib: y(t) = d cos(w 0 t + δ) + m(w 2 0 w 2 ) cos(wt). Así vemos que el movimiento es un sum de dos oscilciones rmónics, l primer con frecuenci w 0 /2π llmd frecuenci nturl del sistem y l segund con frecuenci w/2π llmd frecuenci de entrd. Al obtener est solución hemos supuesto que ls frecuencis nturl y de entrd del sistem son diferentes. Si ests frecuencis se escogen muy próxims entre sí, l mplitud de m(w 2 0 w 2 ) cos(wt), se hce myor. Por lo tnto, un sistem sin mortigumiento (o incluso con c muy cerc de cero) experimentrá oscilciones cd vez más grndes medid que ls frecuencis nturl y de entrd tienden igulrse. Ejercicio 9. Prueb que si w 0 = w l solución generl de l ecución es y(t) = C 1 cos(w 0 t) + C 2 sen(w 0 t) + 2mw 0 t sen(w 0 t). En este cso, el fctor de t en el término de l solución prticulr hce que l mplitud umente sin límite medid que ument t. Este fenómeno se conoce como resonnci. 6

7 Resuelve el PVI y (t) + 4 y(t) = cos 2t, y(0) = 0, y (0) = 0. Represent l solución en los intervlos [0, 2π] y [0, 20π]. Observ qué ocurre si se produce un cmbio pequeño en l función f(t), tomndo f(t) = cos(1,9 t). Represent l solución en los intervlos [0, 2π] y [0, 20π]. Coment los resultdos. Ritmos Un segundo fenómeno que estudiremos es el de ls pulsciones. Suponemos que no hy mortigumiento (c = 0) y considermos l ecución diferencil y + w 2 0y = m cos(wt), con w w 0. Hemos visto que l solución generl se puede escribir como y(t) = C 1 cos(w 0 t) + C 2 sen(w 0 t) + m(w 2 0 w 2 ) cos(wt). Ejercicio 10. Prueb que si l ms se encuentr inicilmente en reposo y su velocidd inicil es cero, el problem de vlor inicil correspondiente tiene como solución y(t) = 2 m(w 2 0 w 2 ) sen(1 2 (w 0 + w)t) sen( 1 2 (w 0 w)t). L gráfic de est solución es un ond que tiene un vrición periódic de mplitud dependiendo de los tmños reltivos de w 0 + w y w 0 w. El movimiento resultnte se denomin pulsción y l vrición de mplitud con el tiempo recibe el nombre de modulción de l mplitud. Pr observr un pulsción en un cso específico, represent l gráfic de y(t) en el intervlo [0, 60] si w 0 + w = 5, w 0 w = 0,5 y 2/[m(w 2 0 w 2 )] = 1 con m = 2. 7