El modelo probabilístico rectangular-triangular. Aplicación a la tasación de fincas rústicas

Transcripción

1 El modelo probbilístico rectngulr-tringulr. Aplicción l tsción de fincs rústics El modelo probbilístico rectngulr-tringulr. Aplicción l tsción de fincs rústics Herrerís Pleguezuelo, Rfel < rherreri@ugr.es > Herrerís Velsco, José Mnuel< jmherrer@ugr.es > Deprtmento de Métodos Cuntittivos pr l Economí l Empres Universidd de Grnd RESUMEN En el presente trbjo se estudi, en primer lugr, un distribución de probbilidd bivrinte resultnte de l mezcl de ls distribuciones continus univrintes rectngulr tringulr. En segundo lugr, trvés de su nálisis se conclue que sus componentes se comportn como vribles letoris independientes lo que permite disponer de un modelo probbilístico, mu propido pr l tsción de fincs rústics medinte el método de vlorción comprtivo denomindo como método de ls dos bets, en el cso de que, como es usul, se dispongn de pocos dtos pr relizr comprciones simultánemente se dispong de un indicdor bidimensionl pr l clidd de l finc tl que sus componentes unidimensionles no estén relcionds. En tercer lugr, se plic el modelo probbilístico bivrinte un cso práctico de l litertur especilizd de tsción de fincs rústics, encontrándose l mism dificultd de cálculo que en los modelos univrintes, si ls vribles letoris son estocásticmente independientes. Plbrs clves: distribución rectngulr; distribución tringulr; distribución bivrinte; vlorción; método de ls dos funciones de distribución. XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4

2 Rfel Herrerís Pleguezuelo, José Mnuel Herrerís Velsco ABSTRACT The present stud first, focuses on bivrite probbilit distribution resulting from the mixture of univrite continuous distributions rectngulr nd tringulr. Secondl, through its nlsis it is concluded tht the components behve s independent rndom vribles which provides probbilistic model suitble for the vlution of frm using the comprtive method of the two bets distributions, in the cse tht, s usul, few dt re vilble for comprison nd simultneousl hve bidimensionl indictor for the qulit of the propert tht its unidimensionl components re not relted. Third, the bivrite probbilistic model is pplied to stud cse of the literture of frm vlution, if rndom vribles re stochsticll independent this procedure hs the sme difficult of clcultion tht univrite models. Kewords: rectngulr distribution; tringulr distribution; bivrite distribution; vlution; method of the two distribution functions. Clsificción JEL (Journl Economic Literture: C; Q Áre temátic: Estdístic Aplicd los Métodos Cuntittivos. XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4

3 El modelo probbilístico rectngulr-tringulr. Aplicción l tsción de fincs rústics. INTRODUCCIÓN Es sobrdmente conocido l importnci de ls distribuciones continus univrintes, cu función de densidd es un figur geométric: cudrdo, rectángulo, triángulo, trpecio, prábol, etc en el desrrollo de los métodos de vlorción de l Economí Agrri, conocidos como método de ls dos bets o método de ls dos funciones de distribución, vése entre otros Lozno (996, Romero (997, Herrerís et l. (, Grcí (7 Cbller (8. Está clro que desde un punto de vist mtemático-estdístico, estos modelos deben extenderse l cmpo bivrinte en primer lugr l multivrinte posteriormente. El objetivo principl de este trbjo es doble, por un prte, estudir l distribución de probbilidd bivrinte rectngulr-tringulr desde un punto de vist probbilístico por otr, extender el método de vlorción de ls dos bets, introducido por Bllestero (97 (973, l cso bivrinte. Utilizándose l menciond distribución de probbilidd rectngulr-tringulr, denomind de est form por su representción gráfic (como ls similres univrintes: rectngulr, tringulr, trpezoidl, etc, vése figur, que sirve como modelo pr ilustrr l sencillez de su plicción práctic. h Figur : Representción gráfic modelo bivrinte rectngulr-tringulr XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4 3

4 Rfel Herrerís Pleguezuelo, José Mnuel Herrerís Velsco En su plicción l método de vlorción de ls dos bets se utiliz l metodologí PERT, debido l insuficienci e incluso no existenci de dtos que sirvn de testigos referentes, por ello se supone que de un vrible X se conocen, o pueden estimrse, sus vlores mínimo ( máximo (b, mientrs que de otr vrible Y se conocen, o pueden estimrse, sus vlores mínimo (, máximo (b más probble ó modl (m. En otrs plbrs, se considern en los ejes crtesinos X e Y los vlores necesrios pr determinr un distribución rectngulr o distribución uniforme U(,b otr tringulr T(,m,b, que genern en el espcio un superficie similr en su form un tiend de cmpñ, que en el cso de un distribución tringulr simétric será de tipo cndiense, vése figur. Con mor precisión, se trt de l superficie de dos de ls crs rectngulres de un prism tringulr podo en su tercer cr rectngulr. En est mism líne de trbjo debe destcrse, por un ldo, un fundmentción teóric del método de vlorción de ls dos bets que puede verse en Plcios et l. (, por otro ldo, respecto l tem de índices de clidd multidimensionles es consejble consultr Grcí et l. ( (, Herrerís ( Frnco Vivo (6. Como portciones dicionles de este trbjo, cbe señlr ls siguientes:. Abre un líne de investigción pr el estudio de otrs distribuciones de probbilidd bivrintes, que puedn usrse como modelos probbilísticos en el método de vlorción de ls dos bets extendido.. Constitue un primer pso en l extensión del método de vlorción de ls dos bets l cso multivrinte. Pr conseguir los objetivos señldos, el presente trbjo se orgniz en diferentes puntos o secciones: En l sección se present l distribución de probbilidd bivrinte rectngulr-tringulr, en primer lugr, se obtiene su función de densidd medinte considerciones geométrics posteriormente se determinn sus crcterístics estocástics: vector de medis mtriz de vrinzs-covrinzs, sí como se comprueb que ls componentes del vector letorio son independientes. En l sección 3 se obtiene l función de distribución del vector letorio rectngulr-tringulr, que es clve en el método de vlorción de ls dos bets. XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4 4

5 El modelo probbilístico rectngulr-tringulr. Aplicción l tsción de fincs rústics En l sección 4 se resume l filosofí del método de vlorción de ls dos bets pr el cso univrinte se extiende pr el cso bivrinte, ilustrándose su plicción con un cso práctico de l litertur especilizd.. DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD Pr obtener l expresión de l función de densidd en el punto (x, se hll l ecución de l superficie de l figur, que puede determinrse fácilmente medinte ls ecuciones de sus dos crs, que son plnos que psn por tres puntos, dos de ellos situdos en l bse del prism el tercero en un vértice del mismo. Utilizándose su cot, h, como constnte normlizdor pr l distribución continu bivrinte resultnte. Proectndo l superficie de l rectngulr-tringulr en el plno Z. Se denotn por T i (i, los diferentes rectángulos que conformn los recorridos de (X,Y por p i (i,,,6 los vértices del prism (entre préntesis sus coordends. Se determinn los dos plnos que conformn ls dos crs rectngulres de l rectngulr-tringulr, prtir de l ecución del plno que ps por tres puntos. El plno que ps por los puntos A, B E, se obtiene trvés de l ecución: x z Π (p,p5,p m h b [ (m + b ( m ] z + h( b Π ( p,p5,p h( b + Teniendo en cuent que b, puede dividirse por ( -b result: XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4 5

6 Rfel Herrerís Pleguezuelo, José Mnuel Herrerís Velsco ( h + (m z z h si (x, T ( m El otro plno que ps por los puntos C, D E tiene por ecución: x b b Π (p3, p5, p4 m h b z [ b (m b + (b m ] z + b h(b Π ( p,p5,p4 h(b + 3 Al igul que ntes puede dividirse por (b - : b ( b h + (m b z z h si (x, T ( b m De ( ( se obtiene l función de densidd, especificndo el vlor de h. El procedimiento más sencillo que puede usrse pr determinr h como constnte normlizdor es el geométrico. Imponiendo l condición de que el volumen de l rectngulr-tringulr se l unidd, se obtiene l siguiente expresión: h (3 (b (b En efecto, como el volumen de un prism tringulr es: V A h, con BT P A BT : áre de l bse tringulr h P : ltur del prism tringulr. El volumen de l rectngulr-tringulr es : V ABRh, donde A BR : áre de l cr rectngulr ABCD h: ltur del tringulo ADE. Pr que este se l unidd, se tiene verificr que: (b (b h h (b (b Por lo cul l expresión de l función de densidd de l distribución Rectngulr-Tringulr es l siguiente: XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4 6

7 El modelo probbilístico rectngulr-tringulr. Aplicción l tsción de fincs rústics z(x, m (b b b m (b (b (b si (x, T si (x, T en otro cso (4 O lo que es lo mismo: z(x, (b (b ( (b (b (b (b (m m si si x b x b en otro cso m m < b (5 El resultdo de independenci de ls vribles se obtiene observndo que se puede expresr l función de densidd conjunt, dd en (5, como el producto de ls mrginles, esto es, (x, z (xz (, donde z (x es l función de densidd de un z distribución rectngulr o uniforme, U(,b z ( es l función de densidd de un tringulr T(,m,b, Herrerís Plcios (7. Ls crcterístics estocástics relevntes de l vrible letori bidimensionl (X,Y son su vector de medis, μ, su mtriz de vrinzs-covrinzs, Σ, que responden ls expresiones siguientes: μ + b + m + b 3 (b Σ (b (m (b 8 m 3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DEL MODELO RECTANGULAR-TRIANGULAR En el cálculo de l función de distribución h que distinguir dos csos:. Si (x, T, se tiene que: XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4 7

8 Rfel Herrerís Pleguezuelo, José Mnuel Herrerís Velsco XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4 8 m ( - (x h dxd m h dxd z, F(x x x (6. Si (x, T, se tiene que: m b (b (x h (b (x h ddx m b b h ddx m h ddx z ddx z, F(x x m x m x m x m + + (7 Por tnto, l función de distribución del modelo probbilístico rectngulrtringulr es:

9 El modelo probbilístico rectngulr-tringulr. Aplicción l tsción de fincs rústics si x < < (x < < ( x b si (b (b (m < < m F (x, (8 x < < (b x b si b (b (b m m < < b si x > b > b 4. EL MÉTODO DE VALORACIÓN DE LAS DOS BETAS Como es sobrdmente conocido, el primer trbjo en el que se hbl del método de ls dos distribuciones Bet de su plicción l vlorción de tierrs es el rtículo de Bllestero (97. En el mismo, pág. 6, el utor firm: Es frecuente que ls estdístics de trnscciones indiquen un precio mínimo, un precio máximo un precio norml (mod de l distribución de precios... Ls misms rzones que consejn el uso de l distribución Bet en el cálculo de tiempos medios de ls ctividdes de un PERT, consejn tmbién el uso de dich distribución en el problem que nos ocup, continución present un plicción de este método de vlorción l concentrción prcelri. El Método de ls dos Bets fue formlmente presentdo por Bllestero (973, como mejor del método sintético de vlorción que, como se sbe, está bsdo simplemente en l proporcionlidd entre el precio de l prcel el vlor de un índice de clidd de l mism. Como mejor de este método sintético en l litertur mericn europe tmbién se hbí usdo el nálisis de regresión, relcionndo cierts vribles explictivs (vribles exógens con el precio de mercdo (vrible endógen estimándose un función linel prtir de los dtos empíricos disponibles. Bllestero (973 dentro de l líne de los métodos de vlorción sintéticos describe el método de ls dos Bets en l form siguiente: L vrible vlor de mercdo de un bien obedecerá estdísticmente l función de distribución F. Por su prte, el índice, prámetro o vrible explictiv obedecerá estdísticmente un función de distribución G. XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4 9

10 Rfel Herrerís Pleguezuelo, José Mnuel Herrerís Velsco Suponemos que ls funciones F G tienen form de cmpn o similr, entonces el método de ls dos Bets estblece un relción entre mbs vribles. Pr ello, es preciso doptr l siguiente hipótesis: Si el índice, I i, de un ctivo, A i, es mor que el índice, I j, de otro ctivo, A j, el vlor de mercdo correspondiente l primer ctivo, V i, será tmbién mor que el vlor de mercdo correspondiente l segundo, V j. Es decir, existe un relción directmente proporcionl entre el índice de clidd del ctivo su vlor de mercdo. A prtir de est premis, supuesto conocid l función de distribución, F, del vlor de mercdo l función de distribución, G, del índice, el vlor de mercdo, V k, correspondiente l índice I k se estblece medinte l iguldd de ls dos funciones de distribución: F(Vk G(Ik (9 Luego el vlor de mercdo V k del ctivo A k, será: V k [ G(I ] Φ(I F ( k k L dificultd del método está en conocer l form de l función Φ, es decir, l form que dopten F G v determinr l dificultd que supone encontrr Φ. Por el contrrio, l mor ventj de este método de vlorción frente otros métodos de vlorción: sintéticos, nlíticos, econométricos, etc,un clrísim exposición de todos estos métodos de vlorción puede verse en Cbller (8, es su plicbilidd cundo los dtos disponibles son mu escsos e incluso inexistentes, en tl cso, puede disponerse de ls estimciones subjetivs de un experto sobre los vlores mínimos, máximos más probbles de ls crcterístics de los ctivos vlorr, sí como los vlores pesimist, optimist modl del vlor de mercdo. Con est mínim informción, el método de vlorción de ls dos bets puede utilizrse. Su economí de uso puede precirse en ls tsciones msivs de fincs, vése Lozno (996, derivds de un concentrción prcelri o de un expropición, vése Bllestero ( Extensión l cso bivrinte En este prtdo se introduce un extensión del método de vlorción de ls dos bets l cso bidimensionl. XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4

11 El modelo probbilístico rectngulr-tringulr. Aplicción l tsción de fincs rústics En muchs ocsiones un tsdor profesionl necesit determinr el vlor de un ctivo medinte un índice de clidd bidimensionl o multidimensionl; cus componentes son su vez un índice de clidd unidimensionl de dicho ctivo. Pr ello, sumimos el mismo principio básico de vlorción utilizdo nteriormente, el ctivo con mor índice de clidd tiene mor vlor de mercdo, donde el orden entre dos vectores se determin por el ordenmiento entre ls componentes de mbos vectores. En este contexto supuesto que los dos índices son de similr importnci pr el vlor de mercdo, el principio básico de vlorción se puede estblecer como sigue: Sen j k dos ctivos, con ( i j, i j ( i k, i k los vlores de sus índices de clidd sen v j v k sus respectivos vlores de mercdo. Entonces, si j i j < ik i k i + + se tiene que v j < v k. Análogmente l cso unidimensionl, el método de ls dos bets se bs en l iguldd entre sus respectivs funciones de distribución, F pr el vlor de mercdo G pr el índice de clidd bidimensionl. Por lo que l vlorción de un ctivo con un índice de clidd I (i,i por el método de vlorción de ls dos bets es: donde d φ F o G d F(v d G(id, i d entonces v φ(i,i ( H que tener en cuent que grn prte de ls crcterístics de clidd de un finc rurl de otros ctivos se pueden reducir dos componentes principles: l ubicción l clidd intrínsec de l finc o ctivo. L clidd intrínsec, veces, se puede medir por l rentbilidd de l propiedd, por su producción, por el lquiler, por l rent, etc. Además, ests dos componentes: producción loclizción, por lo generl no tienen ningun relción o est es mu bj, por lo tnto, es necesrio utilizr como modelo distribuciones bidimensiones cus vribles no presenten correlción. Por lo nteriormente expuesto, se h elegido l distribución rectngulrtringulr como distribución bivrinte de componentes independientes de función de densidd (5 mu sencill, frente otrs muchs distribuciones bivrintes que responden expresiones más complejs /o sus componentes presentn un lt XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4 d d d

12 Rfel Herrerís Pleguezuelo, José Mnuel Herrerís Velsco correlción que, debido ello, no serín modelos probbilísticos decudos pr el cso práctico de vlorción selecciondo. 4.. Cso Práctico En este trbjo se utiliz l distribución de probbilidd estudid en los prtdos nteriores como modelo probbilístico pr un indicdor bidimensionl de clidd pr fincs rústics. El trbjo que se tom como referente es el de Alonso Lozno (985, prcilmente reproducido en el texto de Alonso e Iruretgoen (99, en el que se reliz l vlorción de un finc de Vlldolid tendiendo un único índice de clidd, l producción de l finc. Tomndo de prtid los dtos contenidos en el menciondo rtículo de Alonso Lozno (985. Se pretende determinr el vlor de mercdo ( / hectáre pr un finc cu producción es de. kg de cebd por hectáre que se encuentr un distnci de 4 Km. de Vlldolid. Los dtos originles pr l vrible vlor de mercdo son: VALOR DE MERCADO ( / hectáre.5,53 b.74,55 m.83,4 Tbl : Elborción propi, prtir de los dtos utilizdos por Alonso Lozno (985 Estos utores suponen que l distribución de l vrible vlor de mercdo es tringulr, luego su función de distribución es l siguiente: (x (x.5,53 (b (m 36.5,55 F(x (b x (.74,55 x (b (b m ,65 si x.5,53 si.5,53 x.83,4 si.83,4 x.74,55 si x.74,55 ( XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4

13 El modelo probbilístico rectngulr-tringulr. Aplicción l tsción de fincs rústics Como l distribución de probbilidd que se v utilizr es bidimensionl, se deben de tomr dos índices de clidd en l vlorción de l finc, pr ello, demás de tomr como índice, l igul que en el citdo ejemplo, l producción de l finc; se v tomr un segundo índice de clidd, l proximidd Vlldolid, que clrmente no están relciondos uno con el otro puede presuponerse que su comportmiento es independiente. Se consider l proximidd en vez de l distnci pr que se cumpl l hipótesis de relción directmente proporcionl entre el índice el vlor de mercdo. Esto hce suponer que el precio de l finc ument cundo l distnci Vlldolid es menor o lo que es lo mismo cundo su proximidd es mor, lgo que result obvio. Este índice de proximidd puede obtenerse fácilmente como el complementrio de l distnci un vlor superior l mor distnci presentd por ls fincs testigo, en este cso puede tomrse el vlor 7. En l siguiente tbl precen los vlores pr cd uno de los índices empledos: INDICE PROXIMIDAD A VALLADOLID INDICE PRODUCCIÓN I 7 d (Km. I (kg de cebd / hectáre Mínimo Máximo b 7 6 b 4. Mod m. Tbl : Elborción propi, prtir de los dtos utilizdos por Alonso Lozno (985 Lo primero que se reliz con l informción de l finc que se quiere vlorr es determinr el complementrio de l distnci pr obtener l proximidd Vlldolid, , entonces se determin que el vlor del índice bivrinte es: (x, (46,. (3 Se v plicr l distribución rectngulr-tringulr, esto es, se supone que el índice de proximidd sigue un distribución rectngulr que el índice de producción sigue un distribución tringulr. Pr determinr en qué región se encuentrn los dtos de l finc vlorr, h que tener en cuent que: XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4 3

14 Rfel Herrerís Pleguezuelo, José Mnuel Herrerís Velsco x (5, 6 e. es mor que m. Entonces (3 se encuentr en l región T A prtir de (8 teniendo en cuent los vlores de l tbl se clcul l función de distribución en el punto (3, que está en l región T, el resultdo es, L plicción del método de ls dos bets llev utilizr l expresión (9 por ello, se compr este resultdo de l distribución conjunt con el vlor de l función de distribución del vlor de mercdo en l mod, que es,565 /4. Al ser menor, h que despejr de l primer rm de l función de distribución del vlor de mercdo, obteniéndose: (x.5, ,55,33843 luego x.7,4 /hectáre Si se compr el vlor obtenido con los que se obtienen usndo un solo índice de clidd, vése tbl 3, utilizndo l mism distribución de probbilidd ( como modelo del vlor de mercdo los mismos vlores de l tbl pr cd uno de los índices de clidd considerdos, se deduce lo siguiente:. Los vlores de mercdo obtenidos cundo se consider como índice de clidd l producción son ligermente mores que el determindo con l distribución bivrinte.. El vlor de mercdo obtenido cundo se consider como índice de clidd l proximidd Vlldolid es más lto que el determindo con l distribución bivrinte. El punto se justific probbilísticmente medinte l conocid propiedd de ls funciones de distribución bivrintes: ( x, R(X,Y se tiene que F (x, F (x, + F(x F (x, F ( +, F( El punto demás de justificrse como el nterior, pone en evidenci l significción del poder explictivo del índice de clidd utilizdo. Método de vlorción Método de ls dos Bets Índice de clidd Distribución Uniforme Distribución Tringulr Proximidd Vlldolid.79,35 /hectáre - XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4 4

15 El modelo probbilístico rectngulr-tringulr. Aplicción l tsción de fincs rústics Producción cebd.74,47 /hectáre.757, /hectáre Tbl 3: Elborción propi, prtir de los dtos utilizdos por Alonso Lozno (985 Por todo lo nteriormente expuesto, de momento, no se puede concluir que el vlor de mercdo.7,4 /hectáre se mejor o peor que los otros tres vlores que no se dispone de informción sobre si se ctú como comprdor o vendedor, más ún, se desconoce tmbién si se llevó cbo o no l trnscción el vlor finl corddo, que servirí pr clrificr que estimción está más próxim l relidd. CONCLUSIONES En este trbjo, en primer lugr, se h presentdo estudido un distribución de probbilidd bivrinte que sirve, en un etp posterior, como modelo pr un índice de clidd bidimensionl de componentes no relcionds. En segundo lugr, se h extendido formlmente el método de vlorción de ls dos bets l cso bidimensionl. Esto constitue un comienzo pr bordr en su generlidd los índices multivrintes. En tercer lugr, se h trtdo un cso práctico de l litertur especilizd medinte el método de vlorción de ls dos bets extendido, consttándose que es tn sencillo de utilizr como en el cso unidimensionl. El vlor de mercdo obtenido por el método extendido es ligermente distinto l determindo por el método unidimensionl si se consider como índice de clidd solmente l producción de l finc. 5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALONSO, R e IRURETAGOYENA, M. T. (99 Csos prácticos de Vlorción Agrri. Conceptos, Métodos Aplicciones. MAPA. Mdrid. ALONSO, R LOZANO, J. (985 El método de ls dos funciones de distribución: un plicción l vlorción de fincs grícols en ls comrcs Centro Tierr de Cmpos (Vlldolid. Anles del INIA, Economí, 9, XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4 5

16 Rfel Herrerís Pleguezuelo, José Mnuel Herrerís Velsco BALLESTERO, E. (97 Sobre l vlorción sintétic de tierrs un nuevo método plicble l concentrción prcelri. Revist de Economí Polític. Abril, BALLESTERO, E. (973 Not sobre un nuevo método rápido de vlorción. Revist de Estudios Agrosociles, 85, CABALLER, V. (8. Vlorción Agrri. Teorí Práctic. Mundiprens, 5ª Edición, Mdrid. FRANCO, M. VIVO, J. M. (6 weighting tools nd lterntive techniques to Generte weighted probbilit models in Vlution theor. En: Distribution Models Theor. Word Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. GARCÍA, C. B. (7 Generlizciones de l distribución biprbólic: Aplicciones en el ámbito finnciero l cmpo de l vlorción. Tesis doctorl. Universidd de Grnd. GARCÍA, J., CRUZ, S. ROSADO, Y. ( Ls funciones de distribución multivrintes en l Teorí Generl de Vlorción. Acts en CD-Rom de l XIV Reunión ASEPELT-ESPAÑA, celebrd en Oviedo. GARCÍA, J., CRUZ, S. ROSADO, Y. ( Extensión multi-índice del método bet en vlorción grri. Economí Agrri Recursos Nturles,, 3-6. HERRERÍAS, J. M. (. Avnces en l Teorí Generl de Vlorción en Ambiente de Incertidumbre. Tesis doctorl. Universidd de Grnd. HERRERÍAS, R. PALACIOS, F. (7 Curso de Inferenci Estdístic del Modelo Linel Simple. Delt Publicciones. HERRERÍAS, R.; GARCÍA, J.; CRUZ, S. HERRERÍAS, J. M. ( Il modello probbilistico trpezoidle, nel metodo delle due distribuzioni dell teori generle di vlutzione. Genio Rurle. Anno LXIV Abril, nº 4, 3-9 LOZANO, J. J. (996 Tsción urbn: un metodologí pr informes de tsción msiv. Tesis Doctorl. Universidd Politécnic Mdrid. PALACIOS, F.; CALLEJÓN, J. HERRERÍAS, J. M. ( Fundmentos probbilísticos del método de vlorción de ls dos distribuciones. Acts en CD- Rom de l XIV Reunión ASEPELT-ESPAÑA, celebrd en Oviedo. XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl 6 Rect@ Vol Acts_7 Issue :4

17 El modelo probbilístico rectngulr-tringulr. Aplicción l tsción de fincs rústics ROMERO, C. (977 Vlorción por el método de ls dos distribuciones Bet: un extensión. Revist de Economí Polític, 75, Mdrid. XVII Jornds ASEPUMA V Encuentro Interncionl Rect@ Vol Acts_7 Issue :4 7