Capitulo 1. INTRODUCCIÓN AL CURSO

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1 Huo Media Guá Capitulo. INTRODUCCIÓN A CURSO QUE ES A FÍSICA? a física es ua ciecia dedicada a la copresió de los feóeos aturales que ocurre e el uiverso. El objetivo pricipal del estudio cietífico es desarrollar teorías físicas basadas e lees fudaetales que perita predecir los resultados de aluos eperietos. as lees de la física trata de describir los resultados de observacioes eperietales de edicioes cuatitativas de los procesos aturales. a física es la ciecia ás siple porque estudia los sisteas ás siples. a física es la base de todas las deás ciecias. a relació etre la física la ieiería es ás directa que la que eiste etre la física cualquier otra ciecia. E la ieiería se trabaja co sisteas a los que se aplica iediataete los pricipios de la física. Cualquiera sea la raa de la ieiería o de la ciecia a la que uo se dedique, va a ecotrar a cada paso la aplicació de las ocioes que apredió e la física. Siepre se ecotrará útiles los coceptos específicos de la física, las técicas que se eplea para resolver los probleas, la fora de pesar que se adquiere e el estudio de la física. METODOOGIA DE A FISICA a etodoloía que se usa tiee tres foras características. a priera fora es el aálisis de u sistea físico que se realia e base a las propiedades de sisteas ás secillos, estos sisteas está relacioados de alú odo iportate co el sistea oriial, pero posee u úero eor de factores e su coportaieto. Siedo estos ás secillos se puede ivestiar hasta eteder bie sus propiedades, ua ve que se obtea el coociieto de cada sistea se puede hacer ua recostrucció hasta lorar eteder las propiedades del sistea oriial. a seuda fora parte del pricipio de que la física se fudaeta ecesariaete e la eperietació. A veces la teoría suiere el eperieto, pero ás frecueteete u eperietador realia el trabajo iicial e u área particular de la física lueo el físico teórico sitetia los resultados de los eperietos perfeccioa el etediieto de su siificado. a tercera se refiere al uso frecuete de las ateáticas. a física estudia las iteraccioes etre objetos. os objetos iteraccioa de acuerdo a ciertas lees, sea estas coocidas o o. Coo las lees físicas so casi siepre cuatitativas, es esecial poder establecer relacioes lóicas cuatitativas al estudiar los sisteas físicos. as relas que obiera todas estas relacioes so objeto de las ateáticas. Por eso se dice que la ateática es el leuaje de la física. PARTES DE A FISICA Actualete la física se divide e dos clases: Física Clásica Física Modera. a física clásica se ocupa de los feóeos las lees que se coocía hasta la fial del silo XIX. a física odera se ocupa de los descubriietos hechos desde etoces. a física clásica se subdivide e cierto úero de raas que oriialete se cosideraba autóoas: la ecáica, el electroaetiso, la óptica, la acústica la terodiáica. a ecáica se ocupa del estudio del oviieto efectos físicos que puede ifluir sobre este. El electroaetiso se ocupa del estudio de los feóeos eléctricos aéticos las relacioes etre ellos. a óptica se ocupa de los efectos físicos que se asocia a la lu visible. a acústica al estudio de los efectos físicos relacioados co los soidos audibles. a terodiáica se ocupa de la eeració, el trasporte la disipació del calor. Estas disciplias que oriialete se desarrollaro idepedieteete, está elaadas por edio de la ecáica el electroaetiso. a física odera se iició a fies del silo XIX, co el descubriieto de cierto úero de feóeos físicos que etraba e coflicto co aluos coceptos de la física clásica. Básicaete, esas alteracioes coceptuales fuero de dos tipos. Ua de ellas estableció el líite superior para las velocidades de las partículas a las que se aplicaba las lees de la física clásica, esto se asocia a la Teoría de la Relatividad de Eistei. El seudo se puede cosiderar coo el estableciieto de u líite iferior para las diesioes lieales de asa de los sisteas físicos, para los que so válidas las lees clásicas, esto se asocia a la Teoría de la Mecáica Cuática. Para poder copreder estas dos teorías oderas los feóeos de que se ocupa, es ecesario estudiar prieraete las lees de la física clásica. MAGNITUDES FÍSICAS: ESCAARES Y VECTORES. E la descripció estudio de los feóeos físicos se ha desarrollado ( se desarrolla) coceptos abstractos u especiales llaados aitudes físicas. Estas aitudes se defie por edio de u cojuto de operacioes eperietales que perite obteer u úero coo edida de la aitud e cualquier situació. Esta defiició coprede dos pasos eseciales: ) a elecció de ua uidad de edida co últiplos subúltiplos ) u proceso para coparar la aitud a edir co la uidad de edida establecer u úero (etero o fraccioario) coo edida de la aitud. So ejeplos de aitudes físicas: la loitud, el área, el volue, el tiepo, la asa, la eería, la

2 Huo Media Guá teperatura, la fuera, la potecia, la velocidad, la aceleració, etc. laaos aitud física a aquella propiedad de u cuerpo que puede ser edida. a asa, la loitud, la velocidad o la teperatura so todas aitudes físicas. El aroa o la sipatía, puesto que o puede edirse, o so aitudes físicas. as edidas de las aitudes se realia ediate las uidades de edida, establecidas por la Uió Iteracioal de Pesas Medidas (UIPM), que fora el Sistea Iteracioal de uidades (S. I.), auque eiste otras uidades que se siue usado por tradició (coo el kilate, que se eplea para edir la asa de las piedras preciosas). Maitud escalar. Para uchas aitudes físicas basta co idicar su valor para que esté perfectaete defiidas. Así, por ejeplo, si decios que José Atoio tiee ua teperatura de 8 ºC, sabeos perfectaete que tiee fiebre si Rosa ide 65 c de altura su asa es de 5 k, está claro que es suaete delada. Cuado ua aitud queda defiida por su valor recibe el obre de aitud escalar. Maitudes vectoriales. Otras aitudes, co su valor uérico, o os suiistra toda la iforació. Si os dice que Daiel corría a 0 k/h apeas sabeos alo ás que al pricipio. Debería iforaros tabié desde dóde corría hacia qué luar se diriía. Estas aitudes que, adeás de su valor precisa ua direcció se llaa aitudes vectoriales, a que se represeta ediate vectores. E este tea estudiareos los vectores sus propiedades. UNIDADES. SISTEMA INTERNACIONA DE UNIDADES. MEDICIÓN. a física es ua ciecia eperietal. os eperietos requiere edicioes cuos resultados suele describirse co úeros. Cualquier úero epleado para describir cuatitativaete u feóeo físico se deoia catidad física. Dos catidades físicas que describe a ua persoa so su peso su altura. Aluas catidades físicas so ta básicas que sólo podeos defiirlas describiedo la fora de edirlas, es decir, co ua defiició operativa. Ejeplos de esto so edir ua distacia co ua rela, o u itervalo de tiepo co u croóetro. E otros casos defiios ua catidad física describiedo la fora de calcularla a partir de otras catidades edibles. Así, podríaos defiir la velocidad edia de u objeto coo la distacia recorrida (edida co ua rela) dividida por el tiepo de recorrido (edido co u croóetro). UNIDADES. Al edir ua catidad, siepre la coparaos co u estádar de referecia. Si decios que u autoóvil ide,9, quereos decir que es,9 veces ás laro que ua rela de edir, que por defiició tiee de laro. Este estádar defie ua uidad de la catidad. El etro es ua uidad de distacia, el seudo, de tiepo. Al describir ua catidad física co u úero, siepre debeos especificar la uidad epleada; describir ua distacia coo ",9" o siifica ada. as edicioes eactas fiables eie uidades iutables que los observadores pueda duplicar e distitos luares. El sistea de uidades epleado por los cietíficos e ieieros se deoia coúete "sistea étrico", pero desde 960 su obre oficial es Sistea Iteracioal, o SI. as defiicioes de las uidades básicas del sistea étrico ha evolucioado co los años. Cuado la Acadeia Fracesa de Ciecias estableció el sistea étrico e 79, el etro se defiió coo ua dieilloésia parte de la distacia etre el Polo Norte el Ecuador (ver fiura). El seudo se defiió coo el tiepo que tarda u pédulo de de laro e oscilar de u lado a otro. Estas defiicioes era poco prácticas difíciles de duplicar co precisió, por lo que se ha sustituido por otras ás refiadas por acuerdo iteracioal. Uidades fudaetales as fueras, velocidades, presioes, eerías, e realidad todas las propiedades ecáicas, puede epresarse e térios de tres catidades básicas: asa, loitud tiepo. E el sistea SI, las uidades correspodietes so: Masa Kilorao oitud Metro Tiepo Seudo Estas uidades se cooce coo uidades fudaetales. TIEMPO Desde 889 a 967, la uidad de tiepo se defiió coo ua cierta fracció del día solar edio (el tiepo edio etre lleadas sucesivas del Sol al ceit). El estádar actual, adoptado e 967, es ucho ás preciso; se basa e u reloj atóico que usa la diferecia de eería etre los dos estados eeréticos ás bajos del átoo de cesio. Cuado se bobardea co icroodas de ua deteriada frecuecia, los átoos de cesio sufre ua trasició etre dichos estados. Se defie u seudo coo el tiepo requerido por ciclos de esta radiació. ONGITUD

3 Huo Media Guá E 960 se estableció tabié u estádar atóico para el etro, usado la loitud de oda de la lu araja eitida por átoos de kriptó ( 86 Kr) e u tubo de descara de lu. E oviebre de 98 el estádar se odificó de uevo, esta ve de fora ás radical. Se defiió que la velocidad de la lu e el vacío es eactaete /s. Por defiició, el etro es cosecuete co este úero co la defiició aterior del seudo. Así, la ueva defiició de etro es la distacia que recorre la lu e el vacío e / s. Éste es u estádar de loitud ucho ás preciso que el basado e ua loitud de oda de la lu. MASA El estádar de asa, el kilorao, se defie coo la asa de u deteriado cilidro de aleació platioiridio que se uarda e la Oficia Iteracioal de Pesos Medidas e Sevres, cerca de París. U estádar atóico de asa, sería ás fudaetal, pero aú o podeos edir asas a escala atóica co tata eactitud coo a escala acroscópica. Uidades derivadas as catidades que iteresa a los cietíficos o se liita a asa, loitud tiepo. A eudo el coportaieto de objetos se describe e térios de sus velocidades; ha que idetificar las fueras que actúa sobre los cuerpos; se paa por la eería que cosue los aparatos doésticos os iteresa la potecia que pueda desarrollar u otor; la presió atosférica es u idicador útil de las codicioes del tiepo. Todas las ateriores propiedades, apareteete dispares, que se ide e etros por seudo (velocidad), ewto (fuera), joules (eería), watts (potecia) pascales (presió), fialete se puede epresar coo productos de potecias de asa, loitud tiepo. Esas uidades, por tato, se cooce coo uidades derivadas, para distiuirlas de las tres uidades fudaetales. Prefijos coúete ecotrados. Utiliaos co frecuecia prefijos para obteer uidades de u taaño ás coveiete. Ejeplos de prefijos coúete ecotrados: aóetro 0-9 (u poco ás rade que el diáetro del átoo) icróetro μ 0-6 (ua célula de sare huaa es aproiadaete de 7 μ ) ilíetro 0 - (el carbó del lápi es aproiadaete de 0,5 ilíetros e diáetro) cetíetro c 0 - (el diáetro de u bolírafo) kilóetro k (000 ) icrorao μ k (asa de ua partícula pequeña de polvo) ilirao k (ua ota de aua es aproiadaete ) rao l 0 - k (la asa de u clip para papel es de aproiadaete ) aoseudo s 0-9 s (tiepo e el que la lu viaja 0 ) icroseudo μ s 0-6 s (tiepo e el que ua bala del rifle viaja μ ) iliseudo s 0 - s (cerca de s etre los latidos del coraó) CONVERSION DE UNIDADES Aluas veces ecotraos los datos dados e uidades distitas al sistea SI. E este caso debeos covertir las uidades al sistea SI usado los factores coocidos de coversió. a tabla siuiete uestra tales factores. Factores de Coversió oitud pulada (i),5 cetíetros (c) pie (ft) 0,08 etro () illa (i) 580 ft,609 kilóetros (k),8 ft k 0,6i ástro A o 0-0 año lu 9,6 0 5 uidad astroóica (AU),96 0 pársec (pc), Masa slu,59 kiloraos (k) k 000 raos 6, slu uidad de asa atóica (au), k ( k tiee u peso de,05 lb dode la aceleració de la ravedad es,7 ft/s ) Tiepo dia h, 0 i 8,6 0 s año 65, días, s hora (h) 60i 600s Velocidad i/h,609 k/h,67 ft/s 0,70 /s k/h 0,6 i/h /s 0,9 ft/s Volue litro () c 0,5 ft ft 0,08 7,8 U.S. aloes (al) U.S. al, ,7 ft Fuera poud (lb),8 Newto (N) N 0 Dias 0,8 lb Trabajo Eería joule (J) 0,776 ft.lb 0 7 erios kilorao-caloría (kcal) 86 J Btu (60 F) 055 J kilowatt-hora (kwh), J electro volt (ev), J Aulo radia (rad) 57,0 0,0 75 rad Presió pascal (Pa) N/,50 0 lb/i lb/i Pa

4 Huo Media Guá l atósfera (at),0 0 Pa,0 bar,70 lb/i 760 torr Potecia horsepower (hp) 550 ft.lb/s 75,7 W watt (W) 0,776 ft.lb/s ANAISIS DIMENSIONA a especificació uérica de ua catidad física depede de las uidades que se eplee. Por ejeplo, auque ua distacia se ida e uidades de etros o pies o illas siepre será ua distacia. Se dice que su diesió es de loitud, la deoiació o depede del sistea de uidades epleado. os síbolos usados para especificar la oitud, la asa el tiepo so, M T, respectivaete. Para deotar las diesioes de ua catidad se usa corchetes, por ejeplo de distacia [ l ], de velocidad [ v ] /T, de área [ A ]. Etre sus aplicacioes teeos: a) Verificació de ua fórula específica. El aálisis diesioal utilia el hecho de que las diesioes se puede tratar coo catidades alebraicas (se puede suar restar sólo si se tiee las isas diesioes). Si ua ecuació se lee A B C os térios A, B, C debe teer las isas diesioes. Ejeplo. Verificar la fórula siuiete 0 vt at, dode 0 represeta distacias, v es velocidad, a es aceleració t es u itervalo de tiepo. Solució. Coo [] [ 0 ] [ vt ] at Y las diesioes de la velocidad so /T de la aceleració /T, teeos: [ vt ] ( T) T at ( T ) T Podeos ver que esta fórula es correcta porque todos los térios tiee la diesió de loitud. b) Desarrollo de ecuacioes. Esto lo podeos ver e el ejeplo de ecotrar la distacia recorrida por u cuerpo e caída libre. Poaos que esta caída puede depeder de la asa, la aceleració de la ravedad del tiepo. f (,, t) El procediieto para el aálisis diesioal es poer la epresió e la fora a b c t Dode a, b c so epoetes que debe ser deteriados el síbolo idica proporcioalidad. Esta ecuació es correcta úicaete si las diesioes de abos lados so iuales, coo la diesió de es de loitud, la diesió, del lado iquierdo tabié debe ser de loitud. a b c t [ ] b a c M T T a b c-b M T Iualado epoetes e abos iebros obtedreos a 0, b, c-b 0 De aquí a 0, b c Por lo tato la epresió debe teer la fora t o kt El aálisis diesioal puede describir la fora de la ecuació pero o idica el valor de la costate k. Ejeplo. Mediate el aálisis diesioal deteriar la epresió para la aceleració cetrípeta de ua partícula que describe u oviieto circular uifore. Solució. Supoaos que la aceleració cetrípeta depede de la velocidad, del radio de curvatura el peso a b c a kv R W c T aceleració cetrípeta [ c ] velocidad [ v ] radio [ v ] W peso [ ] T M T Reeplaado T T a a b M ( ) T c - a b c a c c T T M Iualado epoetes para : a b c para T: a c para M: 0 c de dode obteeos a, b c 0 por lo tato v a c kv R k R c) Covertir u sistea de uidades a otro. Si teeos ua fórula e u sistea de uidades podeos covertirlo a ua fórula e otro sistea de uidades. Sea, M, T, M, T sus uidades.

5 Huo Media Guá Si la catidad G de ua ecuació tiee diesioes G a M b T c. Se ide co la uidad G, ide co la uidad G, la relació es: G G G G a M M b T T Ejeplo. Si e el sistea MKS la fórula para el cálculo de la variable R de uidades k/s aparece 5 p coo R,78A p Dode. p tiee uidades de /s A de k/. Hallar la fórula e el Sistea Ilés. k, b l,8 pie Solució. Sea e el sistea MKS,, M, T, e el sistea Ilés,, M, T. as relacioes etre estos sisteas so; M T c,,, 8, M T E la ecuació M T 5p R,78 A p M A T [ R ], [ p ], [ ] a catidad l,78 A tiee las isas uidades que p M [,78 A ] [,78][ A ] [,78 ] T as uidades de,78 so [,78 ] MT Observado la ecuació de R, cocluios que las uidades de 5 so las correspodietes a (R). M [ 5 ] T Para obteer el valor correspodiete a,7 e el sistea Ilés MT MT M T M T (,8) (,)( ),7 95,75 Para obteer el valor correspodiete a 5 e el sistea Ilés M T M T M M T T (,) (,8) ( ) 5,5 ueo e el Sistea Ilés la ecuació correspodiete es,5 p R 95,75A p Para coprobar esta epresió evalueos k R para p, A R para s pie p,8, s, lb lb A 6, 0 (,8 pie) pie Operado e las ecuacioes respectivas obteeos k lb R, R 0,899.s pie.s Realiado la coversió de uidades R ecotraos que es equivalete a R. CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cuado e realia edicioes, los valores edidos se cooce úicaete detro de los líites de la icertidubre eperietal, o datos edidos ihereteete o so eactos si se reistra e otació decial cosiste de u cojuto fiito de díitos llaados cifras siificativas, la últia de las cuales es coocida coo cifra dudosa. Cuado se ide ua loitud ediate ua rela se observa la lectura de u istrueto e el cual ha ua escala, el puto de observació para la lectura llea a ua posició coo la que se idica e la fiura siuiete. Se puede leer eactaete hasta apreciar u díito ás, este últio depede de cada persoa puede ser,6,,5 ó,7. Si supoeos que uestros istruetos está adecuadaete costruidos, etoces las lecturas que toeos tedrá siificado será reproducibles, ecepto el últio diito, el de los décios de la 5

6 Huo Media Guá divisió ás pequeña, será auque co siificado u poco icierto. Por lo que o ha objeto e añadir ua seuda cifra icierta. Ua cifra siificativa es cualquier díito que deota la aitud de la catidad seú el luar que ocupa e u úero. Por ejeplo si escribios S/. 0,5, todas las cifras so siificativas, el uo represeta el úero de deceas e soles, el 0 represeta que o ha uidad de sol es siificativo fialete sabeos que teeos 5 cétios. E la epresió 0,005 r. el prier cero de la iquierda sirve para llaar la ateció hacia la coa, el seudo cero uestra que el ocupa el seudo luar después de la coa. Estos ceros o so siificativos, si ebaro el 0 etre 5 es siificativo. 0,5 tiee cuatro cifras siificativas (, 0, 5 ) 0,005 tiee cuatro cifras siificativas (, 0, 5 ) a icertidubre ás pequeña posible co cualquier aparato de edició es itad del líite de la lectura. Si ebaro, la aoría de las ivestiacioes eera ua icertidubre aor que esto. a tabla siuiete euera la icertidubre de aluos equipos coues del laboratorio. Rela de etro Calibrador verier Micróetro Reloj de seudos Croóetro Diaóetro 0,05 c 0,005 c 0,005 0,5 s 0,0005 s 0, N Cuado se aota se aipula úeros obteidos por edidas, será de ucha auda las siuietes relas: Rela : Redodeo de u úero - E el proceso de rechao de uo o varios de los últios díitos. a últia cifra reteida se icreetará e si la cifra rechaada es 5 o aor. Ejeplo. Núero Redodeo a dado Cuatro cifras Tres cifras Dos cifras 6,578 6,58 6, Rela : Sua Resta El úero de cifras siificativas de la sua o diferecia será redodeado desechado todas las cifras a la derecha del luar ocupado por la cifra icierta e cualquiera de las catidades que esté ás hacia la iquierda, coo se uestra e el ejeplo: Rela : Multiplicació Divisió El úero de cifras siificativas del producto cociete será redodeado a u úero de Siificativas iual a aquel copoete de aproiació coo se uestra e los ejeplos:,59, 66,879 66,8,59 /, 0,868 0,87 Esto es porque, tiee sólo cuatro cifras siificativas, el resultado se redodea a cuatro cifras siificativas Rela. Potecias raíces a potecia o raí de u úero de cifras siificativas se redodea a cifras siificativas. coo se uestra e los ejeplos:,,5796,58, 9,800 9, 80,,687,6,,88658, 9 Ejeplo. Cuáles so los resultados e las cifras correctas de las siuietes operacioes idicadas? a),5 0-0 b), 0, 0 c), , 0 d), e) 6, 0 /,0 0 Solució. Aquí todos los úeros está epresados e otació cietífica. Por ejeplo: 0,05,5 0 -,5(-0), tiee cifras siificativas 0 0 (), tiee ua cifra siificativa. a), b), 0, 0,5 0 c), , 0,5 0 8 d), e) 6, 0 /, 0 0, 0 Ejeplo 5. Para deteriar la desidad de u líquido se toa 0 c de éste. a asa del líquido edida e ua balaa es 5,8. Cuál es la epresió correcta de la desidad? Solució. a desidad del líquido es 5,8 ρ,58 V 0 c Siedo 0 el úero co eos cifras siificativas (), el resultado se redodea a cifras siificativas. a epresió correcta de la desidad es ρ,5 c ERRORES Coo heos idicado las edicioes físicas ivolucra icertidubre. El valor eacto de ua aitud edida es alo a lo cual itetaos aproiaros pero que uca cooceos. U úero de lecturas cuado se proedia se cosidera coo el 6

7 Huo Media Guá ejor acercaieto al verdadero valor de ua lectura, la diferecia etre ua lectura la verdadera lectura o lectura eacta se llaa error. Aquí la palabra error o siifica equivocació sio ua icertidubre. Error absoluto es la diferecia etre el valor aceptado N (asuios coocido) el valor aproiado N, obteido por edicioes o cálculos. e N - N Error relativo es la relació etre el error absoluto e el valor aceptado N N e e N N Porcetaje de error es el úero de partes por cada 00 e que u úero está errado N e % ( 00 e )% % N Cuado calcule el porcetaje de error e física eleetal o use ás de dos cifras siificativas. Por ejeplo si ua pista para carreras de 500 etros tiee 7 etros ás. El error absoluto o sipleete error es e 7 El error relativo es 7 e 500 El porcetaje de error es 7 e % 00% 0,9% 500 Clasificació de errores. E los cálculos uéricos puede ocurrir cico tipos de errores básicos. e. Es el error e los datos a) Error iherete ( ) i iiciales debido a edicioes, observacioes o reistros ieactos. b) Error de trucado e t. Es el error creado por represetar ua fució co sólo uos cuatos térios de ua serie. Por ejeplo: El valor correcto de N se, 000 El valor aproiado de N coputado por epasió de series es: π π π π N...! 5! 7! Si se usa solo el prier tério. π e t N - N, ,57080 (-57%) 5 π 7 Si se usa los dos prieros térios. π π e N - N,00000 t 0,0756! (7,5%) Si se usa los tres prieros térios. 5 π π π e N - N,00000 t! 5! -0,005 (-0,5%) Si se usa los cuatro prieros térios. e 0,0005, el error de trucado a es t isiificate. c) Error de redodeo ( e r ), es el error itroducido por redodeo de u decial. Por ejeplo. Si π,59 Si redodeaos a π,, etoces: e,59 -, 0,0059 r e r 0, ,05%,59 e, es el error d) Error de iterpolació ( ) p itroducido por la aproiació de u valor por su equivalete iterpolado. Por ejeplo: Si cooceos la circuferecia de u círculo de l0 etros de diáetro de otro circulo de etros. C 0π, 0 C π,56 Por iterpolació lieal la circuferecia de u círculo de 0,6 etros es: C 0,6 C0 C C0 0,6,0 Pero el valor eacto es C 0,6 0,6 π, De aquí e p,,0 0,0 0,0 o e p % 00 0,0%, e, es el error ( ) e) Error de aproiació ( ) a itroducido por la aproiació de ua costate o ua fució por u valor eleido. Por ejeplo: a aceleració debido a la ravedad 9,80665 /s puede aproiarse por: 5 0 9,80769 e a % 0,0% 5 s ejor por , s e a % 0,00% (El error aparece e el cuarto decial) 7

8 Huo Media Guá Error cuadrático edio o desviació oral o estádar E eeral cuado se realia ua edició cualquiera siepre se coete error, cuado repetios las edicioes varias veces, ecotraos casi siepre resultados diferetes para cada ua, auque epleeos el iso étodo el iso aparato. as edicioes sucesivas de u objeto deteriado preseta discrepacias debido a los errores al aar o aleatorios de las edidas. Si la loitud verdadera de ua varilla es l 0 la edia aritética de u ra úero de edidas sucesivas será u úero que represeta la loitud edia l. Ua edida Idividual cualquiera tedrá ua desviació de la edia e l l, catidad que puede ser positiva o eativa seú l sea aor o eor que l, es decir l l e Si elevaos al cuadrado cada uo de los valores de e toaos la edia de todos los e, obteeos e que es la variaa de las edidas. e e i A la raí cuadrada de esta edía se la cooce coo el error cuadrático edio o desviació oral o estádar σ. σ e Cuato aor sea el úero de edidas, eor será la diferecia etre su edia l la loitud verdadera l 0, es decir el error estádar de la edia, σ, será eor. Por esto el ejor valor estiado de l 0 es: σ l l l l E dode l es la icertidubre o error absoluto deteriado a partir de edicioes. E el caso de verdaderos errores aleatorios, la edia l cae e u 68 por cieto de las veces detro de ua distacia l del valor verdadero pero descoocido l 0. De esta fora podeos presetar el resultado fial de u eperieto e el cual se ide varias veces ua aitud. Si ebaro, uchas veces realiaos sólo ua edició de la aitud. E este caso se cosidera eeralete que la icertidubre o error absoluto es iual a la itad de la divisió eor de la escala del istrueto. Por ejeplo: si para edir loitudes se usa ua rela cua divisió iia es el error absoluto o icertidubre de la edida es l 0,05. Ejeplo 6. U estudiate realia varias edicioes de la asa de u cuerpo, obteiedo los siuietes resultados: 5,7, 5,76, 5,80, 5,76, 5,70 Cuál es el ejor valor estiado de la asa del cuerpo? Solució. a asa edia es: 5,7 5,76 5,80 5,76 5,70 5 5,75 a desviació de la edia de cada edició es: 5,7 5,75 0,0 5,76 5,75 0,0 5,80 5,75 5,76 5,75 5 5,70 5,75 0,05 0,0-0,05 a variaa de las edidas es: ( 0,0) ( 0,0) ( 0,05) ( 0,0) ( 0,05) e 5 0,0 a desviació oral σ e 0,0 0,0 a icertidubre o error estádar de la edida es: 0,0 σ 0,096 0,0 5 El ejor valor estiado es: 5,75 0,0 ( 5,75 0,0) Si hubiéraos realiado ua sola edició co ua balaa cua eor divisió es de 0, la icertidubre seria 0,05 el resultado de la edició podría epresarse así: ( 5,75 0,05) Observeos que e abos casos la icertidubre correspode al seudo orde decial (0,0 0,05 respectivaete) icidiedo por lo tato e la cifra 5, que es la cifra dudosa. PROPAGACIÓN ERRORES a deteriació eperietal de aluas catidades físicas tales coo desidad o volue se obtiee por edició directa. Geeralete, la catidad a deteriar se reacioa de alua aera coocida a ua o ás catidades edibles. El procediieto es edir estas catidades co estas calcular por edio de relacioes coocidas la catidad oriial. Por ejeplo el volue de u cilidro puede coocerse si teeos su loitud Su diáetro. Estas puede edirse directaete, cada ua co su itervalo de 8

9 Huo Media Guá error asociada, Estos itervalos de error deteria el Itervalo de error de la catidad calculada. Es iportate saber coo hacer esta deteriació de la propaació de errores. A cotiuació deterieos los errores para diferetes situacioes. a) Sua de dos o ás variables. Cosidereos. ( ) ( ) Puesto que e tiee las icertidubres, cuál es la icertidubre e? os aores valores posibles para e so e, respectivaete, dado u valor superior de. os eores valores posibles para e so e, respectivaete, dado u valor iferior de ( ). Es decir, los valores líites para so ( ) ( ) Si ebaro, o utiliaos los ( ) coo la icertidubre. a raó es que para que realete vala ( ) ( ) se ecesita que la icertidubre e la edició, tato de coo de, sea tal que los dos resultados eperietales sea subestiacioes. Más probable es que uo de los resultados sea u poco bajo el otro u poco alto. Si éste es el caso, la icertidubre e ua de las edicioes puede copesar, e parte, la icertidubre e la otra. Para toar e cueta esta posibilidad, lo que haceos o es suar las icertidubres, sio que calculaos Esta aera de cobiar las icertidubres, suádolas elevadas al cuadrado, se llaa sua e cuadratura. a icertidubre calculada de esta aera es siepre aor que las a por separado, pero eor que la sua. a diferecia etre sipleete suar las icertidubres suarlas e cuadratura es que la sua siple da la icertidubre áia e el resultado, ietras que la sua e cuadratura da la icertidubre ás probable. b) Diferecia de dos variables Cosidereos. ( ) ( ) a icertidubre que quereos es la icertidubre ás probable, que viee a ser la raí cuadrada de la sua e cuadratura de las icertidubres Por lo tato, teeos ua rela para la propaació de icertidubres Cuado suaos o restaos dos aitudes la icertidubre e el resultado es la raí cuadrada de la sua e cuadratura de las icertidubres e las aitudes. Ejeplo 7. Medios la asa de u toillo obteeos ( 5 5), lueo edios tabié la asa de ua tuerca, ( 8 5). Cuáto vale la asa M del torillo la tuerca jutos? Solució. Evideteete, la asa M es M a Icertidubre e la sua es M 50 7 el resultado fial es M ( 0 7) Ejeplo 8. Cuál es la diferecia M etre las asas del torillo la tuerca respectivaete? Solució. Evideteete, la asa M es M ' a Icertidubre e la diferecia tabié es M ' 50 7 el resultado fial es M ' ( 05 7) c) Producto de dos o ás variables. Supoaos ( )( ) el error de es cosiderado el aor valor posible o toado e cueta por se el producto de dos catidades pequeñas. El siificado de esto se ás claraete e el error relativo. Ejeplo 9. Cuál es el producto de (,6 0,5) (,8 0,5) c? c Solució. Priero, deteriaos el producto de,6c,8c 7,8 c 0,5 Error relativo 0,9,6 0,5 Error relativo 0,79,8 Sua de los error relativos 0,7 o 7, % 9

10 Huo Media Guá 0 Error absoluto 0,7l 7,8 c o,7 % 7,8 c,70c os errores so epresados co ua cifra siificativa c El producto es iual a 7, c d) Potecias raíces. Sea Dode es el úero etero o fracció positivo o eativo. ( ) Esto se puede escribir Haciedo la epasió bioial de ( ) ( )( )...!! iorado las potecias aores que de De aquí El error de es Y el error relativo es Ejeplo 0. Ecotrar el error e el cálculo de Solució. E error relativo es Ejeplo. Ecotrar el error e el cálculo de Solució E error relativo es Ejeplo. Ecotrar el error e el cálculo de Solució. Coo los errores so ideteriados debeos eleir el sio de tal aera que éste sea el áio, por esto: el error relativo es e) Cocietes. Supoaos ( ) ( ) Esto se puede escribir coo: ( )( ) Iorado el últio tério por se u pequeño toado el valor áio para. El error de es: El error relativo es: Ejeplo. Supoaos que quereos calcular la desidad ρ de u cilidro de etal habiedo edido su asa M, su loitud su diáetro D. Al iso tiepo quereos calcular el error relativo resultate de los errores e las catidades edidas. Sabeos que la desidad está dada por la ecuació

11 Huo Media Guá M M ρ π ( D ) πd Solució. M ρ MD πd π Coo π so catidades eactas o tiee error. M El error relativo de M es M D El error relativo de D es D El error relativo de es De aquí El error relativo de ρ es ρ M D ρ M D Ejeplo. El volue de u cilidro de base circular es V π R. Cuáto vale la icertidubre o error e el volue e térios de las icertidubres R? Solució. Coo π es catidad eacta o tiee error. R El error relativo de R es R El error relativo de es De aquí El error relativo de V es V R V R Y el error absoluto: R R V V π RR R Ejeplo 5. Supoaos que quereos edir el periodo T de u oscilador, es decir, el tiepo que tarda e efectuar ua oscilació copleta, dispoeos de u croóetro que aprecia las décias de seudo, 0, s. Medios el tiepo que tarda e hacer 0 oscilacioes, por ejeplo,6 s, dividiedo este tiepo etre 0 resulta t 0,6 s, cóo se epresa la edida? Solució. t t T, T 0 0 0, Obteeos para el error T 0,0s 0 tato, la edida la podeos epresar coo T ( 0,6 0,0)s. Por Ejeplo 6. a edida de los lados de u rectáulo so (,5 0,06) c, ( 0, 0,) c, respectivaete. Hallar el área del rectáulo el error de la edida idirecta. Solució. El área es A,5 0, 5, 606 c Coo debe de teer solaete cifras siificativas A 5,6 c El error relativo del área A 0,06 0, 0,0050 A,5 0, El error absoluto del área A 0,0050(,5 0,) 0,608 El error absoluto co ua sola cifra siificativa es 0,6. a edida del área juto co el error la uidad se escribirá coo A 5,6 0,6 c ( ) Ejeplo 7. Se ide co ua icertidubre se calcula l. Cuáto vale? Solució. l ( ) E este caso podeos usar aproiacioes para catidades pequeñas, cuado <<, tales coo: ( ), e, l ( ), se, cos, ta E uestro caso l( ) l l l l Coo << podeos aplicar l, lueo: l l l Siedo l : PRECISIÓN Y EXACTITUD os térios "PRECISION " "ACCURACY" del idioa ilés o so sióios, para efectos de leuaje estadístico traducireos "Precisio" coo precisió "Accurac" coo eactitud, estableciedo diferecias claras etre las dos palabras.

12 Huo Media Guá a precisió es ua idicació de la cocordacia etre u úero de edidas hechas de la aera idicada por el error absoluto. U eperieto de ra precisió tiee u bajo error al aar. a eactitud es ua idicació de cua cercaa está ua edida al valor aceptado idicado por el error relativo o del porcetaje de error e la edida. U eperieto de ra eactitud tiee u error sisteático bajo. Así coo la obteció de ua serie de edidas co las uidades correctas, se requiere ua idicació del error eperietal o el rado de icertidubre e las edidas la solució. Cuato aor es la eactitud la precisió e uestras ivestiacioes, ás bajo es el rado de icertidubre. as cuatro fiuras a cotiuació ilustra la diferecia: E la direcció vertical, dibujaos ua líea arriba abajo para que cada puto uestre la aa de icertidubre del valor de la fuera. Etoces poeos ua pequeña líea arcadora horiotal e el líite del etreo icierto para el puto. E la direcció horiotal, dibujaos ua líea a la iquierda a la derecha para que cada puto uestre la aa de icertidubre del valor de la etesió. Etoces poeos ua pequeña líea arcadora líea vertical e el líite del etreo icierto para el puto. Cuado todos los putos de la tabla se traa e u ráfico, la líea del ejor ajuste co las barras apropiadas de error se uestra e la fiura siuiete se puede ver que la líea del ejor ajuste cae detro del rao de la icertidubre de la barra del error. RANGO DE ERROR O INCERTIDUMBRE Cuado ua respuesta se epresa coo valor co icertidubre tal coo, 0, c, etoces la aa de la icertidubre es evidete. El valor cae etre, (, 0,), (, - 0,) c. E la física, deteriaos a eudo la relació que eiste etre las variables. Para visió la relació, podeos realiar ua ivestiació traar u ráfico del eje depediete) cotra la variable idepediete (eje ). Cosidere u resorte que tea varios pesos, uido a él. A aor peso se ue a u resorte, el resorte etiede ás lejos de su posició del equilibrio. a tabla siuiete uestra aluos valores para esta ivestiació de Fuera/alaraieto. Fuera 5 N Alaraieto 0, c,0, 6, 7,5 9, Cuado se traa u ráfico de la fuera cotra el alaraieto, la líea del ejor ajuste o pasa por cada puto. Ua barra del error se puede utiliar para dar ua idicació del rao de la icertidubre para cada puto seú se uestra e la fiura a cotiuació Fuera/alaraieto. ESTIMADOS Y CÁCUOS DE ORDEN DE MAGNITUD Hasta dode heos visto, es iportate cuidar el seuiieto de las icertidubres e la edició cuado se calcula las respuestas a los probleas. E aluas ocasioes, tato e la vida cotidiaa coo e el quehacer cietífico, es ecesario resolver u problea del que o teeos iforació suficiete para obteer ua respuesta precisa. A eudo podeos obteer ua respuesta útil ediate la estiació de los valores de las aitudes apropiadas. Estas estiacioes, realiadas eeralete a la potecia de die ás cercaa, se deoia estiacioes del orde de aitud. El cálculo resultate del orde de aitud o es eacto, pero eeralete es correcto co u factor de die. El coociieto justo del orde de aitud de las catidades físicas co frecuecia os proporcioa iforació suficiete para obteer ua copresió útil de la situació física la capacidad para foraros u juicio hacer cálculos para la costrucció de odelos. Realiar estiacioes de aitud co frecuecia es secillo. Por ejeplo, iaie que va a la escuela por

13 Huo Media Guá priera ve que quiere estiar cuáto diero ecesitara para coprar libros. Usted cooce que la cara habitual para la aor parte de los estudiates es de cico aterias, que e cada ua se ecesita u libro de teto. Co estos datos puede estiar el costo de u solo libro co el raoaieto siuiete. Sabe por eperiecia que S/. es deasiado bajo que S/. 00 es deasiado alto. Icluso S/. 0 es bajo. Ua estiació raoable puede ser S/. 50. Así, el costo estiado de los libros para u seestre es de 5 S/. 50 S/. 50. Auque el resultado o es eacto, está detro del orde de aitud correcto proporcioa ua estiació raoable a u problea real. El siuiete ejeplo ilustra la aplicació de las estiacioes del orde de aitud. Cuado haceos cálculos de este tipo co frecuecia tabié efectuaos otras aproiacioes. Al replaar π por o replaar por / haceos pocas diferecias e el orde de aitud, pero hacerlo siplifica ucho los cálculos. os ejeplos siuietes ilustra esta técica. Ejeplo 8. Ua tieda ofrece u preio al cliete que adivie co la aor aproiació el úero de caraelos de oa que llea u frasco de u litro ehibido e u ostrador de la tieda. (U litro es iual a 000 c.) Estie cual será el úero. Solució. Ua revisió cuidadosa del frasco (véase la fiura) revela varias cosas. os caraelos de oa puede aproiarse vaaete a pequeños cilidros de casi c de laro por aproiadaete,5 c de diáetro. Adeás, los caraelos o está apretados e el frasco; posibleete ta sóo se ha lleado 80% de éste. Podeos hacer uso de estas observacioes para estiar el úero de caraelos que ha e el frasco. Núero de caraelos Volue ocupado del frasco Volue de u caraelo EI volue ocupado del frasco 0, c, Volue de u caraelo d hπ c c 7 c 8 Así, el úero aproiado de caraelos que ha e el frasco es: 800c Núero de caraelos 0. 7 c 8 U coteo realiado de los caraelos que llea u frasco de u cuarto (0,95 litros) dio 55 caraelos. MODEOS IDEAIZADOS Ordiariaete usaos la palabra "odelo" para referios a ua réplica e eor escala (diaos, de u ferrocarril) o a ua persoa que ehibe ropa (o se ehibe si ropa). E física, u odelo es ua versió siplificada de u sistea físico que sería deasiado coplejo si se aaliase de fora detallada. Por ejeplo, supoaos que os iteresa aaliar el oviieto de ua pelota de béisbol laada e el aire. Qué ta coplicado es el problea? a pelota o es perfectaete esférica i perfectaete ríida: tiee costuras, está irado se ueve e el aire. El vieto la resistecia del aire afecta su oviieto, la Tierra ira, el peso de la pelota varía u poco al cabiar su distacia respecto al cetro de la Tierra, etc. Si trataos de icluir todos estos factores, la coplejidad del aálisis os abruará. E ve de ello, ivetaos ua versió siplificada del problea. Oitios el taaño la fora de la pelota represetádola coo objeto putual, o partícula. Despreciaos la resistecia del aire haciedo que la pelota se ueva e el vacío, os olvidaos de la rotació terrestre supoeos u peso costate. Ahora teeos u problea secillo de tratar. Para crear u odelo idealiado del sistea debeos pasar por alto uchos efectos eores cocetraos e las características ás iportates. Claro que ha que ser cuidadosos para o despreciar deasiadas cosas. Si ioraos totalete los efectos de la ravedad, uestro odelo predecirá que si laaos la pelota hacia arriba ésta se overá e líea recta desaparecerá e el espacio. Necesitaos alú criterio creatividad para crear u odelo que siplifique lo suficiete u problea si oitir sus características eseciales. Al usar u odelo para predecir el coportaieto de u sistea, la valide de las prediccioes está liitada por la valide del odelo. a predicció de Galileo respecto a la caída de los cuerpos correspode a u odelo idealiado que o iclue la resistecia del aire. El odelo fucioa bie para ua bala de cañó, pero o para ua plua. El cocepto de odelos idealiados es u iportate e física e tecoloía. Al aplicar pricipios físicos a sisteas coplejos siepre usaos odelos idealiados, debeos teer presetes las suposicioes que haceos. De hecho, los pricipios isos se epresa e térios de odelos idealiados; hablaos de asas putuales, cuerpos ríidos, aislates ideales, etc. Estos odelos desepeña u papel crucial e este libro. Trate de

14 Huo Media Guá distiuirlos al estudiar las teorías físicas sus aplicacioes a probleas específicos. COMO ESTUDIAR FISICA? Para estudiar física es ecesario dar ateció especial a los siificados específicos de las palabras para poder eteder el aterial, debe estudiarse deteidaete los ráficos, dibujos, tablas fotorafías icluidos para eteder claraete los pricipios físicos ivolucrados. Gra parte de lo que se aprederá será e las clases. Deberá apreder a toar aputes eclusivaete de las partes siificativas de cada lecció cocetrarse por copleto e lo que el profesor está diciedo, estos aputes so ecesariaete breves caretes de relació. Por lo tato, es recoedable teer u cuadero ordeado co las otas de clase copletado co aputes toados del estudio de los libros. Haa esto ta proto coo sea posible después de clase, esto peritirá teer u cojuto de otas claras e iteliibles para repaso; audará a detectar las áreas débiles de coociieto. a parte ás iportate de los aputes so los probleas resueltos. Resuélvase todos los ejeplos vistos e clase los dejados coo tarea. Richard Fea preio Nóbel e física dijo: "usted o sabe ada sobre alo hasta que lo ha practicado". a habilidad para resolver probleas o es sólo ua prueba del doiio que cada cual posee de la ciecia, sio tabié u ídice del creciieto de uestra propia capacidad coo herraieta e las futuras tareas del itelecto. Se recoieda desarrollar las habilidades ecesarias para resolver u aplio rao de probleas. a habilidad para resolver probleas puede ser la pricipal prueba de los coociietos. Es esecial que se copreda los pricipios coceptos básicos ates de itetar resolver probleas. E física eeral los eáees se copoe pricipalete de probleas a resolver, es u iportate que se etieda recuerde las hipótesis que sirve de base a ua teoría o foraliso e particular. Para la resolució de probleas se iclue cico etapas básicas: a) Dibuje u diaraa co ejes coordeados si so ecesarios poa las otacioes idetificatorias, co esto podeos eliiar errores de sio. b) Idetifique el pricipio básico, icóitas, listado los datos las icóitas. c) Seleccioe ua relació básica o ecuetre ua ecuació que se pueda utiliar para deteriar la icóita resuélvala sibólicaete. E esta fora se evita errores auda a pesar e térios físicos el problea. d) Sustitua los valores dados co las uidades apropiadas detro de la ecuació obtea el valor uérico de la icóita. e) Verificació revisió del resultado por edio de las siuietes preutas: as uidades coicide? Es raoable el resultado? Es apropiado el sio? Tiee siificado? Ua ve que el estudiate ha desarrollado u sistea oraiado para eaiar probleas etraer la iforació relevate, tedrá cofiaa seuridad cuado tea que resolverlos. PREGUNTAS Y PROBEMAS. Supoa que está plaeado u viaje e autoóvil a otra ciudad estia el tiepo que se requiere para ir allá. Deuestre cóo esta estiació depede de u odelo. Cóo se ha descrito e el teto qué ta cofiable es?. Dé u ejeplo persoal del uso de u odelo para el aálisis de los datos edidos.. Eplique la idea básica detrás de la coversió de uidades.. Eplique la diferecia e siificado de las tres catidades 0, Cuál de los úeros siuietes se da co tres cifras siificativas: 0,00, 0, c, 0,0 c,, o,? 6. U estudiate ide u rectáulo co ua rela cua edida varía. Ecuetra que la altura es 7 el acho 6. Por qué debe iforar que el área del rectáulo 700 e luar de 70? 7 Qué odelo describe e la fora ás secilla las observacioes siuietes? a) Ua pelota colocada e cualquier luar sobre el piso peraece e reposo. b) Ua pelota colocada e cualquier luar sobre el piso epiea a rodar. c) Dé otros odelos ás secillos para estas observacioes. a) Bola esférica uifore sobre u piso horiotal. b) Bola esférica uifore sobre u piso icliado. c) Para a) la bola tiee ua parte plaa o o es uifore para b) la bola es asiétrica epiea a rodar hacia su lado ás pesado. 8. Se laa u dado uchas veces co los resultados siuietes para el úero que aparece e su cara superior:, 6 veces;, 58 veces;, 6 veces;, 6 veces; 5, 75 veces 6, 6 veces. Qué odelo puede hacer para el dado? El dado es ás pesado hacia el puto.

15 Huo Media Guá 9. U cubo de etal flota e u líquido. Cuál es el odelo ás secillo del cubo del líquido? Ha otros odelos? El cubo tal ve sea hueco si flota e el aua. Alterativaete, el cubo es sólido pero flota e u líquido que es ás deso que él. 0. U litro () es u volue de 0 c. Cuátos cetíetros cúbicos ha e,5 ililitros?,5 c. Qué ta lejos viaja la lu e u vacío e,0 aoseudos (Velocidad de la lu,0 l0 8 /s.) Respuesta 0c. os raos eros e aluos tipos de películas fotoráfica so de aproiadaete 0,8 μ de secció. Asua que los raos tiee ua secció trasversal cuadrada que todos queda e u solo plao de la película. Cuátos raos se requiere para oscurecer copletaete c de película?, Ua fórula se lee ½ at, dode está e etros t e seudos. Cuáles so las diesioes de a? /s. Cuál es la altura e cetíetros de ua persoa cua estatura es 5 l? 80c 5. Cóo es 0, i epresado e kilóetros? Respuesta 6,7 k 6. Eprese 0 k/h e térios de illas por hora. 80,8 i/h 7 Ua tieda aucia u tapete que cuesta US $8,95 por arda cuadrada. Cuáto cuesta el tapete por etro cuadrado?,66 dólares/ 8. Cuado la asolia se vede a US $,609 por aló, cuál es el precio e dólares por litro? ( al,l785 ) 0,8 dólares/ 9. Cuál es el área e cetíetros cuadrados de u pedao de papel de 8 pul pul? c 0. os listoes de adera e ua cerca está espaciados 6,0 puladas, de cetro a cetro. Cuátos listoes está coteidos e u etro de valla? 6,6. a ua ira sobre su eje cada 7/ días de odo que la isa cara está siepre hacia la Tierra. A cuátos rados rotará la ua respecto a su propio eje e ua hora? 0,59. Cuátas revolucioes hace el seudero de u reloj e tres años? Supoa que o ha año bisiesto e el itervalo., revolucioes. a Tierra tiee ua asa de k u radio de 6, a) Cuál es la asa por uidad de volue de la Tierra e k/? b) Cuál es la asa por uidad de volue de u úcleo de oro que tiee ua asa de,7 0 5 k u radio de 6,98 0-5? c) Cuál sería el radio de la Tierra si su asa o cabiara, pero tuviera la isa asa, por uidad de volue, que el úcleo de oro? a) 5,50 0 k/, b),0 0 7 k/, c) 8. Calcule el volue de la tabla rectaular co altura de 7,5, acho de 9,c loitud 5, c. Recuerde la rela que se refiere a las cifras siificativas. 5,9 0 c 5. Si usted ide los lados de u cuadrado so de die cetíetros co ua eactitud de %, cuál es el área del cuadrado cuál es la icertidubre? (00 ) c 6. Sue los úeros siuietes:,57 0,, 0,865 0.,7 0 5

16 Huo Media Guá 7. U leajo de papel copia tiee 5,08 c de espesor. Cuál es el espesor de ua sola hoja del papel? Eprese su respuesta e.,0 0 - o 0,0 8. El piso rectaular de u iasio tiee lados de loitud de por dode so las icertidubres estiadas e las edicioes so pequeñas coparadas co e. Deuestre por cálculo directo que el área del piso la icertidubre e esa área está dadas por A cuado se iora térios u pequeños, del orde de ( ). (E la aor parte de los casos, este resultado sobrestia la icertidubre e el área, porque o toa e cosideració que las icertidubres e las loitudes,, proviee de ua serie de edidas, que tiee ua dispersió atural e sus valores.) 9. Estie el espesor de las páias de u libro. Dé su resultado e ilíetros. Aproiadaete 0,06 0. Alrededor de cuátos ladrillos se requiere para costruir ua pared de altura hasta el hobro de 00 pies de laro? os ladrillos estádar tiee 8 pul de laro por / pul de alto está separados por /8 de pulada de ortero., 0 ladrillos. Cuál es el volue e ilíetros cúbicos de u cubo de,00 pul por lado?,6 0. E aluos países el cosuo de asolia de u autoóvil se epresa e litros cosuidos por 00 k de viaje. Si u autoóvil lora 7 illas/aló, cuál es el cosuo de cobustible e litros por 00 k? ( al,785 ) 8,7 /00 k. a velocidad del soido a la teperatura abiete es 0 /s. Eprese la velocidad del soido e uidades de illas por hora. 76 i/h. a) Cuátos iliseudos ha e u iuto? Cuátos iaseudos ha e u silo? a) i s, b) silo,6 Gs 5. a) Calcule la altura de u cilidro de radio R que tiee el iso volue de ua esfera de radio R. b) Deuestre que el cilidro tiee u área superficial aor que la esfera. h R 6. Cosidere ua esfera que se ajusta eactaete detro de u cubo. Cuál es la relació del volue de la esfera al volue del cubo? / 6 π 7. U vaso cilídrico para alteada tiee u radio iterior edido de r r ua altura de h h. Deuestre que el volue del vaso es V π r h πhr πr h si se iora los térios u pequeños del orde ( r) 6