CAPITULO 2. Movimiento rectilíneo

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1 CAPITULO Moimieno recilíneo DEFINICIÓN DE PARTÍCULA El Puno Maerial Es una idealización de los cueros que eisen en la nauraleza que llamamos uno maerial Es un cuero cuas dimensiones son desreciables al comararlas con las oras dimensiones que inerienen en el moimieno La Mecánica comienza con el esudio de los unos maeriales desués eiende esos esudios a los sisemas de unos maeriales, incluendo cueros rígidos deformables El uno maerial, a diferencia de un uno geomérico, esá asociado a una masa inercial; esa roiedad esá ínimamene ligada al moimieno de los cueros, como odemos er cuando raamos de enender cómo se mueen los cueros CONCEPTO DE MOVIMIENTO El moimieno es un fenómeno físico que se define como odo cambio de osición que eerimenan los cueros en el esacio, con reseco al iemo a un uno de referencia, ariando la disancia de dicho cuero con reseco a ese uno o sisema de referencia, describiendo una raecoria Para roducir moimieno es necesaria una inensidad de ineracción o inercambio de energía que sobrease un deerminado umbral La are de la física que se encarga del esudio del moimieno es la cinemáica CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO Según se muea un uno o un sólido ueden disinguirse disinos ios de moimieno: Según la raecoria del uno: Recilíneo curilíneo Moimieno recilíneo: La raecoria que describe el uno es una línea reca Moimieno curilíneo: El uno describe una cura cambiando su dirección a medida que se deslaza Casos ariculares del moimieno curilíneo son la roación describiendo un círculo en orno a un uno fijo, las raecorias elíicas arabólicas Según la raecoria del sólido: Traslación roación Traslación: Todos los unos del sólido describen raecorias iguales, no necesariamene recas Roación: Todos los unos del sólido describen raecorias circulares concénricas Según la dirección del moimieno: Alernaio endular Alernaio: Si la dirección del moimieno cambia, el moimieno descrio se denomina alernaio si es sobre una raecoria recilínea o endular Pendular: Si lo es sobre una raecoria circular (un arco de circunferencia) Según la elocidad: Uniforme uniformemene ariado Moimieno uniforme: La elocidad de moimieno es consane Moimieno uniformemene ariado: La aceleración es consane, como es el caso de los cueros en caída libre someidos a la aceleración de de la graedad SISTEMAS DE REFERENCIA POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO El moimieno es una noción esencialmene relaia Así resula que el moimieno como el reoso son hechos relaios, no se uede decir que algo se muee o que esá en reoso sin añadir reseco a qué En consecuencia necesiamos un sisema de referencia ara descubrir el moimieno Sisemas de referencia Desde el uno de isa esricamene maemáico, un sisema de referencia en un esacio ecorial de dimensión n esá formado or n ecores linealmene indeendienes, formando una base del esacio, or un uno, definido or n coordenadas, que suele llamarse origen del sisema de referencia En el dominio de la física, el esacio suele ser la base más habiual la llamada oronormal (î, ĵ, kˆ ), el origen se siúa a coneniencia del obserador Los ecores de la base son î (,,), ĵ (,,) kˆ (,,) Aendiendo a su osible esado de reoso o moimieno, los sisemas de referencia ueden ser clasificados siemre cuando hablemos de su relación reseco a oro sisema de referencia que arbirariamene suongamos inmóil En efeco, debe enerse en cuena que cualquier sisema de referencia esá moiéndose reseco a oro (ese ael gira se raslada con la Tierra alrededor del Sol, el cual a su ez se deslaza en la galaia, que a su ez se eande en el Unierso), or lo que no cabe hablar de un sisema de referencia absoluo De acuerdo con lo anerior, un sisema de referencia uede esar: a) en reoso reseco a oro b) moiéndose con elocidad consane reseco al suuesamene fijo c) con una aceleración reseco al fijo Un buen ejemlo del rimer caso odemos enconrarlo en un sisema de referencia como la izarra, que se encuenra en reoso relaio reseco a las aredes del aula (en condiciones normales) Un ejemlo de sisema de referencia inercial odemos enconrarlo en un ren que se muee en un ramo de ía recilíneo con una elocidad sensiblemene consane

2 Y or úlimo, la roia Tierra consiue un sisema de referencia no inercial, a que gira con una aceleración normal, que si bien es equeña, en cieros fenómenos se obsera con claridad Vecor Posición- Para fijar la osición de un uno en el esacio reseco a un origen de coordenadas basan res números que ueden ser las roecciones sobre los ejes de un sisema caresiano orogonal una reca, circunferencia, esiral, arábola o curas an comlicadas como se nos ocurra La raecoria no define el moimieno, ues no sabemos en que insane de iemo ocuó cada uno Sabemos dónde esuo, ero no cuando si esuo arias eces en cada uno o no Hace fala la ecuación horaria Para enconrar la ecuación horaria debemos medir las disancias en función del iemo El ecor osición del uno P es: OP r El moimieno quedará esecificado si conocemos el ecor osición ara cada insane, es decir: r r () Eso se conoce como le de moimieno El ecor osición uede ser eresado a raés de las ecuaciones araméricas de sus comonenes en función del iemo: z z (), (), () r ( )ˆ i + ( ) ˆj + z( ) kˆ Deslazamieno La figura muesra una arícula que se esá moiendo a lo largo de la raecoria curilínea C En la figura P es un origen fijo sobre la cura (C) que ora la raecoria Sea P la osición de la arícula en el insane sobre la raecoria definida or el arco P P S La ecuación horaria del moimieno de la arícula P es S S( ) Ejemlo eerimenal Esudio del moimieno de la caída libre de un cuero Si dejamos caer un objeo, obenemos que la raecoria sea una reca erical Para enconrar la le del moimieno odemos inenar medir a arir de dónde la dejamos caer, disancias sucesias ara diferenes iemos Una forma eerimenal es usando una elícula foográfica una flash elecrónico que se encienda or ejemlo cada / de segundo En una habiación oscura disondremos el cuero, la elícula un disarador que deje caer el cuero simuláneamene accione el flash Paralelamene a la raecoria a seguir or el objeo se fija una regla Sean P P las osiciones de la arícula en los insanes + Los ecores osición corresondienes son OP OP r r + Δ r Siendo Δ r el ecor deslazamieno describe el deslazamieno de la arícula de la osición P a la osición P Traecoria Ecuación Horaria del Moimieno- Se llama raecoria de una arícula en moimieno al lugar geomérico de las osiciones efeciamene ocuadas or la arícula en el ranscurso del iemo De acuerdo al io de moimieno odrá ser

3 r k kˆ Las ecuaciones araméricas son, z k En esencia ara cualquier moimieno debemos ingeniarnos ara obener la ecuación horaria conocida su raecoria, queda deerminado el moimieno La foografía mosrada ermie conocer las coas de la foo en los diferenes insanes bien deerminados La abla muesra los resulados de la foografía: Tiemo Coa(m),48,5,4,5 4,65 5,745 6,8875 7,5 8,76,45,555 Tracemos la cura reresenaia del la función z f () Esa cura corresonde a una arábola su eresión maemáica es z k z esá en segundos m Donde k 4,9 s esá en segundos Luego la ecuación horaria es s k Si fijamos el origen del moimieno en z, la le del moimieno es VELOCIDAD Y RAPIDEZ Raidez La raidez (que en el lenguaje común se denomina simlemene elocidad) se define como el cociene enre la disancia recorrida el iemo ranscurrido La disancia s recorrida a lo largo de una raecoria es una magniud escalar, indeendiene de la dirección Como el iemo ambién es un escalar, la raidez es ambién un escalar La raidez se designa mediane el símbolo sus dimensiones son: - [ ] LT La unidad en el sisema SI es el mero or segundo (m/s) La figura muesra una arícula que se esá moiendo a lo largo de la raecoria cura C En el insane esa en P, a una disancia S de un uno P de referencia En el insane esá en P a una disancia S del uno de referencia En el iemo que ranscurre enre, Δ, la arícula ha recorrido una disancia Δ S es la diferencia enre S S, eso es Δ S S S Se define como raidez media denro de ese ineralo S S ΔS m El símbolo Δ (dela) significa un incremeno de una magniud física Si la raidez de la arícula aría a lo largo de la raecoria, ara conocer con mejor recisión el moimieno debemos hacer los ineralos Δ S más equeños omar la raidez media de cada uno de ellos La figura a coninuación nos muesra el gráfico disancia recorrida ersus iemo, obseren que cuando iende a, Δ iende a cero Mediane ese roceso llamamos a la raidez insanánea en el insane Ese roceso se eresa maemáicamene como

4 ΔS lim Δ ds ds La canidad se llama deriada de S con reseco a el roceso de enconrarla se llama deriación o diferenciación La noación ds,, eresa incremenos infiniesimalmene equeños que se conocen como diferenciales Ejemlo a) Hallar una eresión ara la raidez de una arícula que se muee de acuerdo a la le horaria S A b) Si A,4 m/s, hallar la disancia a la que se encuenra la arícula su raidez ara segundos desués de iniciado su moimieno a) Si en el iemo esá en S () : S() A Transcurrido un iemo Δ, la arícula esará en S S ( + Δ ) ( ) A( ) + + Δ ( ) Como Δ S A A + A Δ S S ( + ) +, A + A + A A AΔ + A ( ) ( ) La raidez en el insane es: ΔS () lim A + A( ) lim b) Para es S m s A ( ),4 ( s) 4 m su raidez es m m ( ),4 ( s) 8 s s Ejemlo Hallar una eresión ara la raidez de una arícula que se muee según la ecuación horaria ( ) Asen( ω) S En el ineralo de iemo de hasa + la arícula que se muee: Δ S S( + ) S( ) Asenω( + ) Asenω Asen ω cos( ω) + Acosωsen( ω) - Asen ω La raidez en un insane cualquiera es ΔS lim Δ Asenω cos( ω) + Acosωsen( ω) Asenω lim Aω cosω El roceso desarrollado en los dos ejemlos aneriores se hace simle con la rácica Ha muchas reglas o fórmulas ara deriar diferenes ios de funciones Esas ueden memorizarse o enconrarse en ablas La abla siguiene es una equeña muesra de esas Deriadas de algunas funciones Función Deriada ds n n ds ds du c ds du d + ds du d + u ds Aωcosω ds Aωsenω n S S c S cu S u + S u S Asenω S Acosω Ejemlo Hallar una eresión ara la raidez de una arícula que se muee de acuerdo a la le horaria S A, usando fórmulas de la abla anerior Tenemos que: ( ) ds d A A A Ejemlo 4 Hallar una eresión ara la raidez de una arícula que se muee de acuerdo a la le 4

5 horaria S() Asen( ω) abla anerior Tenemos que ds d A, usando fórmulas de la ( senω) dsenω A Aω cosω La magniud del ecor elocidad insanánea,, es decir r o simlemene es igual a la raidez insanánea en ese uno La elocidad es la endiene del gráfico de ersus, como se muesra en la figura Velocidad La elocidad (que más aroiadamene sería ecor elocidad), a diferencia de la raidez debemos incluir el conceo de dirección en nuesro esudio; ara eso debemos emlear ecores La figura muesra una arícula que se esá moiendo a lo largo de la raecoria curilínea C Cuando la endiene es osiia, el objeo se esá moiendo a la derecha Cuando la endiene es negaia, el objeo se esá moiendo a la izquierda Cuando la endiene es cero, el objeo se deiene Sean P P las osiciones de la arícula en los insanes + Los ecores osición corresondienes son OP r OP r r + Δ r Siendo Δ r el ecor deslazamieno describe el deslazamieno de la arícula de la osición P a la osición P Velocidad media El cociene enre el ecor deslazamieno Δ r el ineralo de iemo el ecor elocidad media Δ es Δ r m Como el deslazamieno es un ecor el iemo es un escalar osiio, la elocidad es una magniud ecorial que iene la misma dirección senido que el deslazamieno Eso significa que si una arícula sufre un deslazamieno negaio, su elocidad será ambién negaia Velocidad insanánea Como en el caso de la raidez obendremos la elocidad insanánea omando la elocidad media en un ineralo de iemo cada ez menor Δ medido desde un ciero iemo En el límie, cuando Δ iende a cero: r r Δ r lim lim ( ) d r La dirección de ese ecor es la dirección límie del ecor cuando de la figura anerior Es eidene que en ese límie la dirección de Δ r es la de la angene la raecoria en P Ejemlo 5 Enre dos obseradores ha una disancia de 5 m, uno de ellos disara un arma de fuego el oro cuena el iemo que ranscurre desde que e el fogonazo hasa que oe el sonido, obeniendo un alor de s Desreciando el iemo emleado or la luz en hacer al recorrido, calcular la elocidad de roagación del sonido La elocidad es: c s/ 5/ 5 m/s Ejemlo 6 Nos enconramos en una baalla naal, en un buque siuado enre el enemigo los acanilados de la cosa A los s de er un fogonazo oímos el disaro del cañón, a los s del fogonazo ercibimos el eco Calcular la disancia a que esán de nosoros el enemigo la cosa Velocidad del sonido, 4 m/s Desreciando el iemo emleado or la luz en su recorrido, la disancia a que se encuenra el enemigo es: S 4 m El sonido emlea ara ir oler a la cosa, desde nuesra osición, un iemo que es: - 8 s S 4 8 S 6 m La cosa esá a + 6 8m 5

6 Ejemlo 7 La osición de una arícula en coordenadas caresianas esá dada or la ecuación () () iˆ + () ˆj + z()k ˆ r donde () 5 + 6, (), z () 6 en segundos,,, z en meros a) Deerminar el deslazamieno enre s b) Deerminar la elocidad media c) Deerminar la elocidad la raidez ara s a) ara s, 5m, m, z 6m r 5ˆ i + 6kˆ Para s, m, m, z 6m r ˆ i + ˆj + 6kˆ El deslazamieno es ( 5) iˆ + ( ) ˆj + ( 6 6)kˆ Δ r r r 6 iˆ + ˆj b) la elocidad media es Δ r 6ˆ i + ˆj m 6ˆ i + ˆj c) la elocidad insanánea es [( ) iˆ + j ˆ + 6kˆ ] d r d iˆ + ˆj La magniud de es + 5,4 m/s Valor que corresonde a la raidez insanánea ara s Ejemlo 8 Un auo esá arado ane un semáforo Desués iaja en línea reca su disancia reseco al semáforo esá dada or () b - c, donde b,4 m/s c, m/s a) Calcule la elocidad media del auo enre, s b) Calcule la elocidad insanánea en i) ; ii) 5, s; iii), s c) Cuáno iemo desués de arrancar uele a esar arado el auo? a) En,, al que la ecuación Δ m m,4, m/s ( )( ) (,)( ) () Δ d b) de la ecuación lim, la elocidad Δ insanánea en función del iemo es b c ( 4,8) (,6) al que i) ( ), ii) (5) (4,8)(5) (,6)(5) 5, iii) () (4,8)() (,6)(), c) el auo esá en reoso cuando Por consiguiene (4,8) (,6) El único iemo desués de en que el auo se 4,8 encuenra en reoso es, s,6 Ejemlo 9 Un ciclisa marcha or una región donde ha muchas subidas bajadas En las cuesas arriba llea una raidez consane de 5 km/h en las cuesas abajo km/h Calcular: a) Cuál es su raidez media si las subidas bajadas ienen la misma longiud? b) Cuál es su raidez media si emlea el mismo iemo en las subidas que en las bajadas? c) Cuál es su raidez media si emlea doble iemo en las subidas que en las bajadas? s s oal subida + sbajada a) m b) oal s oal + s s m 8 km / h,5 km/h c) m km/h (Obsérese que la raidez media es la media ariméica de las raideces uniformes únicamene en el caso de que el iemo que duran los disinos recorridos sea el mismo) ACELERACIÓN En el lenguaje ordinario el érmino aceleración se refiere sólo a incremenos del módulo de la elocidad (raidez), ero en Física se uiliza con un senido más amlio ara designar un cambio del ecor elocidad En Física se dice que un cuero esá siendo acelerado no sólo cuando aumena su elocidad sino ambién cuando disminue o cambia de dirección Se llama aceleración al cambio de la elocidad (ecor elocidad) en el iemo 6

7 Aceleración Media Obsere que la aceleración negaia no significa necesariamene bajar la elocidad Cuando la elocidad la aceleración ambas ienen el mismo signo, el objeo aumena su elocidad Cuando la elocidad la aceleración ienen signos ouesos, el objeo disminue su elocidad Los gráficos de la figura siguiene ilusran el deslazamieno, la elocidad, la aceleración ara un objeo en moimieno La razón en la cual la elocidad cambia se mide or la aceleración Así si un objeo iene la elocidad en el del iemo elocidad en el, su aceleración media es Δ Δ a m iˆ Suongamos que una arícula que se muee en la raecoria C de la figura anerior en el insane esá en P con una elocidad en el insane + esá en P con una elocidad Por definición el ecor aceleración media de la arícula enre los insanes es es a m Δ a LT La unidad de la aceleración en el sisema SI esá en meros / segundo or segundo: m s m s s Las dimensiones de la aceleración son [] Aceleración Insanánea o simlemene aceleración Cuando o llegaremos al alor de la aceleración en el insane Ese roceso ara el límie se eresa maemáicamene como a ( ) lim Δ lim d d r Como, enemos: d d d r d r a Es mejor eiar el uso de la alabra común desaceleración Describa la aceleración simlemene como osiia o negaia Ejemlo Una arícula se muee a lo largo de una línea cura r () ( ) iˆ ( ) ˆ + + j + ( )kˆ Enconrar: a) La elocidad ara s ara s b) La aceleración media enre s ara s c) La aceleración su magniud ara s a) Las ecuaciones araméricas son: ( ) +, ( ), z() Las comonenes de la elocidad son: d d +, dz z + 4 La elocidad es: () ( + ) iˆ + ˆj + ( 4)kˆ Para s : () ˆ i ˆj kˆ + Para s ( ) 7ˆ i ˆj 5kˆ + + b) La aceleración media enre s s Δ 7 i ˆ + ˆj kˆ ( ) ( ) a m ( ) ( ) ( ) a m iˆ + 8kˆ 7

8 c) la aceleración insanánea es [ kˆ ] d d () ( + ) iˆ + ˆj + ( 4) a iˆ + ( 6 4)kˆ ara s ˆ ˆ a () i k la magniud de la aceleración es a + () + m s Ejemlo Una ersona que se asoma or la enana de un edificio alo de oficinas obsera lo que sosecha es un oni La ersona regisra la osición del objeo en función del iemo deermina que esá dada or r () 5,iˆ +, ˆj + ( 7,, )kˆ a) Obenga los ecores de: deslazamieno, elocidad aceleración del objeo en 5, s b) Ha algún iemo en que la elocidad del objeo sea cero? c) La aceleración del objeo es consane o cambia con el iemo? a) El ecor deslazamieno es: r () 5,iˆ +, ˆj + ( 7,, )kˆ El ecor elocidad es la deriada del ecor deslazamieno: d r ( ) 5,ˆ i +, ˆj + [ 7, (,) ]kˆ el ecor aceleración es la deriada del ecor elocidad: d r ( ) 6, kˆ en 5, s: r ( 5) 5,() 5 iˆ +,() 5 ˆj + [ 7,() 5,() 5 ]k ˆ 5,ˆ i + 5, ˆj 4,kˆ d r (5) 6, kˆ b) la elocidad en ambas direcciones e es consane diferene de cero, luego la elocidad nunca uede ser cero c) La aceleración del objeo es consane, a que no aarece en el ecor aceleración MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Para que un moimieno sea recilíneo uniforme su elocidad debe ser consane, es decir, que la aceleración sea siemre igual a cero Esudio del Moimieno m Como el moimieno es uniforme, considerando que su raecoria esá en el eje r iˆ Δ Δ Δ iˆ anα Diagrama elocidad-iemo El gráfico elocidad-iemo del moimieno uniforme es una reca aralela al eje del iemo De iˆ + ( ), enemos Si el insane inicial + Diagrama esacio-iemo El gráfico indica las osiciones insanáneas del móil en cada insane MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Para que un moimieno sea recilíneo uniformemene ariado su aceleración debe ser consane diferene de cero Esudio del Moimieno Como la aceleración es consane, d Δ a consane Δ a aiˆ Δ Δ iˆ Δ a ( ) a Si el iemo inicial + a a m a 8

9 Diagrama elocidad-iemo Δ a La elocidad media: Si la osición en es es m anα r iˆ la osición en r iˆ, la elocidad media en ese ineralo es Δ La osición De lo anerior: m ( ) + m( ) Por ora are como la elocidad es una función lineal, la elocidad media m es + m como + a( ) resula + [ + a( )] a( ) m + finalmene a( ) + + ( ) ( ) ( ) + + a Si el iemo inicial + + a Diagrama esacio -iemo Ejemlo Demosrar que el área encerrada bajo la cura de la elocidad del diagrama elocidad-iemo es igual al módulo del deslazamieno Δ El área encerrada es igual al área de un raecio cuas bases son b b con alura ( ) h ( b + b ) h Area del raecio + Pero como a anα ( ) ( ) ( ) + ( )( ) ( ) ( ) ( ) a( ) Luego Area del raecio Valor que recisamene corresonde al deslazamieno Δ ( ) + a( ) LA ECUACIÓN DE TORRICELLI Podemos obener una relación mu úil eliminando el iemo como ariable en la ecuación ( ) ( ) + + a ( ) ( ) Como a ( ) a ( ) 9

10 Susiuendo ( ) ( ) + + a a De donde se uede desejar: + a ( ) a Conocida como la ecuación de Torricheli Los diagramas aceleración-iemo, elocidaiemo esacio-iemo corresondienes son los siguienes: Descrición del moimieno de una arícula con aceleración consane Consideramos una aceleración consane a > en el senido osiio de la raecoria a consane er Caso: La arícula iene una elocidad inicial La arícula se deslaza de P al infinio con un senido consane aumenando su elocidad + a Los diagramas aceleración-iemo, elocidaiemo esacio-iemo corresondienes son los siguienes: a consane + a + + a do Caso: La arícula iene una elocidad inicial < La arícula se deslaza de P en senido negaio con moimieno reardado (desacelerado) hasa deenerse en P cambia de senido A arir de ese insane la elocidad aumena consanemene (acelerado) se deslaza al infinio con un senido consane + + a Ejemlo Una oruga camina en línea reca sobre lo que llamaremos eje con la dirección osiia hacia la derecha La ecuación de la osición de la oruga en función del iemo es () 5, cm + (, cm/s) - (,65 cm/s ) a) Deermine la elocidad inicial, osición inicial aceleración inicial de la oruga b) En qué insane la oruga iene elocidad cero? c) Cuáno iemo desués de onerse en marcha regresa la oruga al uno de arida? d) En qué insanes la oruga esá a una disancia de, m de su uno de arida? Que elocidad (magniud dirección) iene la oruga en cada uno de esos insanes? e) Dibuje las gráficas: -, - a - ara el ineralo de a 4, s d, cm s (,5 cm s ) d a,5 cm s a) En, 5,cm,,cm s,,5cm a s b) Hagamos resolamos ara : 6, s

11 c) Hagamos 5, cm resolamos ara Eso da:,s La oruga regresa al uno de arida desués de, s d) La oruga esá a, cm del uno de arida cuando 6, cm o 4, cm Hagamos 6, cm resolamos ara : 6, s 5,8 s En 6, s, +, cm/s En 5,8 s, -, cm/s Hagamos 4, cm resolamos ara : 6,4 s (la ora raíz de la ecuación cuadráica es negaia or lo ano sin significado físico) En 6,4 s, -,55 cm/s e) Ejemlo 4 Un móil are del reoso de un uno A, con moimieno recilíneo uniformemene acelerado (a cm/s ); arda en recorrer una disancia BC 5 cm un iemo de s,, finalmene, llega al uno D (CD 55 cm) Calcular: a) La elocidad del móil en los unos B, C D b) La disancia AB c) El iemo inerido en el recorrido AB en el CD d) El iemo oal en el recorrido AD a) BC B + a 5 + B + a + 5 B cm/s C B cm/s CD C + a s D C + a cm/s b) B aab B 4 AB cm a c) B a s d) Será la suma de los iemos arciales: s MOVIMIENTO VERTICAL CON ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD La ariación de la magniud de la aceleración g φ debido a la graedad en la suerficie de la ierra con la laiud esá dada or la fórmula inernacional de la graedad adoada en 9 or el Congreso Geofísico Inernacional: g 978,49 ( +,5884 sen φ φ g en cm/s, φ en grados -,59 sen φ ) Donde φ es la laiud de la ierra medida en el ecuador Para φ º (ecuador), g 978,49 Para φ 9º (olos), g 9 98, La ariación de la aceleración graiacional con la alura sobre el niel del mar es aroimadamene g g φ, 86h h en meros gφ en m/s Donde h 4 m Cerca de la suerficie de la ierra la magniud de la aceleración debido a la graedad aría mu oco con la alura en los cálculos écnicos ordinarios se oma g 9,8 m/s (dirigido ericalmene hacia abajo) Un cuero que se deja caer esá someido a la aceleración de la graedad su moimieno corresonde a un moimieno recilíneo uniformemene ariado en el eje erical erendicular a la ierra, + + a + a a g a) Caída libre

12 Si se deja caer un cuero desde una alura h sobre el niel del iso consideramos desreciable la resisencia del aire En ese caso h,, luego: h g g a g El cuero oca ierra cuando Luego h g h g la elocidad es gh b) Lanzamieno hacia arriba Si el mismo cuero desde la misma alura h se lanza hacia arriba con elocidad, se muee con un moimieno recilíneo uniformemene reardado (desacelerado) h g h + + P g or suueso P, que corresonde al iemo inicial Obseramos que P m La elocidad es P g g Finalmene oca iso cuando h + g h g g cua solución es + ± g g h oca el iso al iemo + + g g con una elocidad gh + h c) Lanzamieno hacia abajo Si el mismo cuero desde la misma alura h se lanza hacia abajo con una elocidad, el cuero se muee en un moimieno recilíneo uniformemene acelerado h + + g g a g El cuero sube hasa que alcanza la alura máima m Esa corresonde a cuando la elocidad disminue a cero g De aquí m h + g m + + g g g h + Cuando el cuero asa or el uno de lanzamieno h h g g a g El cuero alcanza el iso cuando h g h + g g cua solución es + ± g g oca el iso al iemo + + g g con una elocidad h h

13 gh + Ejemlo 5 Desde lo alo de un edificio, se lanza ericalmene hacia arriba una eloa con una raidez de,5 m/s La eloa llega a ierra 4,5 s, desués Deermine: a) La alura que alcanzó la eloa reseco del edificio b) La raidez de la eloa al llegar al suelo La alura en función del iemo será h + g Con g m/s,,5 m/s h +,5-5 a) Al iemo 4,5 s,, luego: h +,5(4,5) - 5(4,5), h 7,9 m b),5 -,5 - (4,5) -, m/s Ejemlo 6 Se deja caer un cuero desde una alura de m, simuláneamene se lanza hacia abajo oro cuero con una raidez inicial de m/s Enconrar el insane en que la disancia enre ellos es de 8 m Enonces la disancia enre ellos es 8m a los 8 s Ejemlo 7 Un cuero que cae, recorre en el úlimo segundo 68, m Enconrar La alura desde donde cae Suoniendo que se soló del reoso h - 5 El iemo en que llega al suelo es h 5 La disancia recorrida en el úlimo segundo será h h 5 5 h h 68,6 m h 5 68, Ejemlo 8 Desde lo alo de un acanilado, se deja caer una iedra, desde la misma alura se lanza una segunda iedra s más arde con una raidez de m/s Si ambas golean el iso simuláneamene Encuenre: La alura del acanilado h - 5 h - ( - ) - 5( - ) Siendo al mismo iemo h - 5 h - ( - ) - 5( - ) De aquí 4 s; h 8m Ejemlo 9 Desde el iso, se lanza hacia arriba una eloa con una raidez de 4 m/s Calcule: a) El iemo ranscurrido enre los dos insanes en que su elocidad iene una magniud de,5 m/s b) La disancia reseco al iso que se encuenra la eloa en ese insane g () g () a) De la ecuación (): g,5 g,5 Resando obenemos: 5 Δ, 5s g b) De la ecuación (): g,5 4 g,5 7,5 9,8,8 s Con en (): h 4 g (,8) (,8) 8,4 m Con se obiene la misma alura, orque es cuando la eloa esá de bajada Ejemlo Una roca cae libremene recorriendo la segunda miad de la disancia de caída en (s) Encuenre a) la alura desde la cual se soló b) El iemo oal de caída h g El iemo en que alcanza h/ es iemo en que h es h g h g el a) or lo ano el iemo emleado en la segunda are de recorrido es h g h g h g h 54,6 m 54,6 5 b), s

14 Ejemlo Se deja caer una iedra desde un globo que asciende con una elocidad de m/s; si llega al suelo a los s, calcular: a) Alura a que se enconraba el globo cuando se soló la iedra b) Disancia globo-iedra a los s del lanzamieno Primer méodo: En el insane en que emieza a caer el cuero el ascensor llea una elocidad erical hacia arriba Tomaremos el origen de coordenadas en el uno en que se suela la iedra Magniudes osiias son las que ienen direcci6n hacia arriba a) m/s g m/s h + s Cuando la iedra oca suelo, Luego h () () 6 m b) s h : disancia al origen del globo en ' h : disancia al origen de la iedra en ' h ' 6m h ' + g' d m 4 4m Ejemlo La cabina de un ascensor de alura m asciende con una aceleración de m/s Cuando el ascensor se encuenra a una ciera alura del suelo, se desrende la lámara del echo Calcular el iemo que arda la lámara en chocar con el suelo del ascensor El esacio erical hacia abajo que debe recorrer la lámara es: h + a (h alura del ascensor) ( + a /) ascenso del suelo de ése La lámara al desrenderse llea una elocidad inicial hacia arriba Alicando la ecuación: s + a Siendo osiias las magniudes hacia arriba negaias las descendenes, endremos: h + + a g h,74 s g + a 9,8 + Segundo méodo: La aceleración de la lámara reseco al ascensor, considerando magniudes osiias hacia abajo, es: a BA a B - a A 9,8 (-), 8 m/s h aba h,74 s,8 a BA Ejemlo Una bola es lanzada ericalmene hacia arriba con una elocidad de m/s de la are ala de una orre que iene una alura de 5 m En su uela asa rozando la orre finalmene oca la ierra a) Qué iemo ranscurre a arir del insane en que la bola fue lanzada hasa que asa or el borde de la orre? Qué elocidad iene en ese iemo? b) Qué iemo oal se requiere ara que la bola llegue al iso? Cuál es la elocidad, con la que oca el iso? 4

15 c) Cuál es la máima alura sobre el suelo alcanzada or la bola? d) Los unos P P esán a 5 m, reseciamene, or debajo del echo de la orre Qué iemo se requiere ara que la bola iaje de P a P? e) Se desea que desués de asar el borde, la bola alcance la ierra en s, con qué elocidad se debe lanzar hacia arriba de la azoea? a) Para el sisema de coordenadas mosrado en la figura, + a Pero en el borde del echo, luego + a, De la cual, indica el insane en el cual la bola es lanzada, ambién 4,8 s, la cual es el iemo en que la bola reorna al borde Luego, de + a ( 9,8)( 4,8) m / s +, que es el negaio de la elocidad inicial b) 5 ( ) + 9, 8 s 5,8 + ( 9,8)( 5,8) 7m / s c) Máima alura sobre ierra: h ma + 5 De + a, ma ( ) ( 9,8) ma,4 m Luego, h 7,4 m d) Si son los iemos ara alcanzar P P, reseciamene, 5 4, 9 4, 9 Resoliendo, 4,7 s, 5,48 s, el iemo de P a P es ( - l ),55 s e) Si es la elocidad inicial deseada, enonces es la elocidad cuando asa el borde Luego alicando + a al iaje hacia abajo de la orre, enconramos: -5 (- )() 4,9(),,96 m/s Ejemlo 4 Una macea con flores cae del borde de una enana asa frene a la enana de abajo Se uede desreciar la resisencia del aire La macea arda,4 s en asar or esa enana, cua alura es de,9 m A qué disancia debajo del uno desde el cual caó la macea esá el borde suerior de la enana de abajo? Si la elocidad de la macea en la are suerior de la enana es, odemos enconrarla en función de la alura h de la enana el iemo que arda en asarla:: h g h + g (,9) ( 9,8)(,4) m Luego:,47 (,4) s La disancia desde la azoea al borde suerior de la enana es:,47, m g ( 9,8) Ora forma de enconrar la disancia es: como,4 s es la diferencia enre los iemos omados en caer la las aluras ( + h) e, enemos ( + h) g g g + + h Eleando al cuadrado: g + g + + h g + g h Resoliendo ara : h g g Con los daos ( ) ( 9,8)(,4) (,4),9,m ( 9,8) Ejemlo 5 Malabarismo Un malabarisa acúa en un recino cuo cielorraso esá, m arriba del niel de las manos Lanza una eloa hacia arriba de modo que aenas llega al echo a) Qué elocidad inicial iene la eloa? b) Cuáno iemo arda la eloa en llegar al echo? En el insane en que la rimera eloa esá en el cielorraso, el malabarisa lanza una segunda eloa hacia arriba con dos erceras are de la elocidad inicial de la rimera 5

16 c) Cuáno iemo desués de lanzada la segunda eloa se cruzan las dos eloas en el aire? d) A qué alura sobre la mano del malabarisa se cruzan las dos eloas a) Tomemos el senido osiio hacia arriba Tenemos que g( ) En el cielorraso,,, m Luego: ( 9,8)( ) 7,7 m s b) También enemos: g 7,7 9,8,78s c) Tomemos el senido osiio hacia abajo La rimera bola iaja hacia abajo una disancia d en el iemo Como comienza desde su máima alura, d + g d ( 4,9 m s ) La segunda bola iene ' (7,7 m s) 5,m s En el iemo habrá iajado hacia arriba,m d esará en el mismo lugar que la ( ) rimera bola ( d ) ' g ( d ) 5, 4,9 Tenemos dos ecuaciones con dos incógnias Resoliéndolas obenemos:,59 s d,7 m d), m d, m Ejemlo 6 Una manzana cae libremene de un árbol, esando originalmene en reoso a una alura H sobre un césed crecido cuas hojas miden h Cuando la manzana llega al césed, se frena con razón consane de modo que su raidez es al llegar al suelo, a) Obenga la raidez de la manzana juso anes de ocar el césed b) Obenga la aceleración de la manzana a denro del césed c) Dibuje las gráficas: - a- ara el moimieno de la manzana a) La raidez de un objeo que cae una disancia H en caída libre una disancia H h es: g( H h) b) La aceleración ara llear a un objeo desde la raidez al reoso sobre una disancia h es: g( H h) H a g h h h c) Ejemlo 7 En el salo erical, un alea se agazaa sala hacia arriba raando de alcanzar la maor alura osible Ni los cameones asan mucho más de, s en el aire ( iemo de susensión ) Trae al alea como arícula sea má su alura máima sobre el suelo Para elicar or qué arece esar susendido en el aire, calcule la razón del iemo que esá sobre má / al iemo que arda en llegar del suelo a esa alura Desrecie la resisencia del aire El iemo al caer ara alcanzar má es: má s g El iemo al caer ara alcanzar má / es: má / má s g g El iemo debajo de má / es, de al manera que la razón enre el iemo que esá sobre la miad de la alura máima el iemo que esá or debajo de la alura máima es /,4 / Eso elica orque el alea arece esar susendido en el aire Ejemlo 8 Un ecursionisa desiero e caer un eñasco desde un risco lejano obsera que arda, s en caer el úlimo ercio de la disancia Puede desreciarse la resisencia del aire a) Qué alura (en m) iene el risco? b) Si en (a) obiene dos soluciones de una ecuación cuadráica usa una ara su resuesa, qué reresena la ora? a) Sea h la alura oma un iemo en caer: h g 6

17 Si arda, s en caer el úlimo ercio h : h ) g(, Eliminando h de esas dos ecuaciones obenemos: g ) g(, 7,8 + 5,7 7,8s Resoliendo,9 ±, 8,7s La rimera es la solución correca orque es maor que, s, h ( 9,8)( 7,8) 45,6 m b) Con la segunda solución ara enconramos h,6 m Eso corresondería a un objeo que esaba inicialmene cerca del fondo de ese "acanilado" que era lanzado hacia arriba omando, s la subida a la cima la caída al fondo Aunque físicamene es osible, las condiciones del roblema imosibilian esa resuesa Ejemlo 9 Desde la cornisa de un edificio de 6 m de alo se lanza ericalmene hacia abajo un roecil con una elocidad de m/s Calcular: a) Velocidad con que llega al suelo b) Tiemo que arda en llegar al suelo c) Velocidad cuando se encuenra en la miad de su recorrido d) Tiemo que arda en alcanzar la elocidad del aarado c) Tomamos corno origen de coordenadas el uno de lanzamieno como senido osiio el del eje erical descendene Las ecuaciones de ese moimieno serán: + g m/s s + g g m/s a) b) h 6 m +,6 s 6 + 6m/s c) d) h m ' + ' ',65 s ' + ' ' 6,5m/s Ejemlo Una iedra que cae libremene asa a las horas frene a un obserador siuado a m sobre el suelo, a las horas segundos frene a un obserador siuado a m sobre el suelo Se ide calcular: a) La alura desde la que cae b) En qué momeno llegará al suelo c) La elocidad con que llegará al suelo h h h a) h h 4 m m m + g H h + h 4 s g m/s + + g + 4 h4 g 4m/s De aquí se obiene 6m/s, h4 8m Finalmene H + 8 8m b) Llamando al iemo que arda en recorrer h l : h + g 4 + 5s Luego llega al suelo a las horas 5 segundos c) gh 8 87 m/s 7

18 PROBLEMA INVERSO - CÁLCULO INTEGRAL Conociendo la le del moimieno () es osible sin maores dificulades calcular () a () al como fue mosrado d() () d ( ) d () () a() Como hemos iso, el cálculo diferencial roorciona la herramiena ara deerminar la elocidad aceleración en cualquier insane del iemo En esa sección eremos cómo el cálculo inegral, que es el inerso del cálculo diferencial, uede uilizarse ara deducir las fórmulas que a hemos iso Por ejemlo, hallar la osición de una arícula en un insane cualquiera, dado su elocidad inicial su aceleración conocida Ya hemos demosramos que el área encerrada bajo la cura de la elocidad del diagrama elocidaiemo es igual al deslazamieno Area del raecio ( ) ( ) + a ( ) ( ) + a En el caso de un moimieno con elocidad consane el deslazamieno enre los iemos es ( ) o Δ ( ) Para un moimieno cualquiera con aceleración ariable el diagrama elocidad-iemo será el mosrado en la figura siguiene Si descomonemos el iemo oal desde hasa en segmenos equeños Δ, enonces cada ramo erical que baja desde la cura de elocidades hasa el eje de absisas iene un área Δ A m Donde m es la elocidad media del ineralo Esa área corresonde al deslazamieno en ese ineralo que como se uede obserar el área falane se comlemena con el ecedene del oro lado es la suma de odas las áreas de odos los recángulos de al modo que: Δ m ( i ) i La regla ara los iemos es que i+ i + La disancia que obenemos con ese méodo no será la correca orque la elocidad cambia durane el iemo del ineralo Δ Si omamos los ineralos mu equeños la suma iene maor recisión Así es que los hacemos an equeños a fin de ener una buena aroimación Obendremos la disancia real en el límie: Δ lim Δ El deslazamieno oal ara el ineralo ( ) i ( ) i Obsérese que hemos reemlazado la elocidad romedio m or la elocidad insanánea, orque en el límie esa aroimación es álida Los maemáicos han inenado un símbolo ara ese límie, análogo al símbolo ara la diferencial El símbolo Δ se coniere en d, ( i ) se llama ( ) el símbolo sumaoria se escribe como una "s grande la cual se conoce el signo inegral Luego escribimos Δ () El roceso de inegración es el inerso del roceso de deriación Con un diferencial obenemos una fórmula inegral si la inerimos Ejemlo Enconrar la elocidad de un móil a arir de la aceleración d a d a d a a Inegrando obenemos a( ) Para enconrar la osición d d d + a( ) d [ + a( )] Inegrando obenemos + ( ) a( ) + ( ) + a( ) 8

19 También se uede enconrar la ecuación del moimieno eresando la inegral de la siguiene manera: + a C, + C Los alores de C C deenden de las condiciones iniciales del moimieno Pequeña Tabla de Inegrales d n+ n d n + d ln ( n ) a a e e d a cos ( ) ( a) sen a a ( u + ) d ud + d Ejemlo Enconrar las ecuaciones del moimieno ara una arícula que se muee con aceleración consane a aiˆ inicial se enconraba en r elocidad inicial iˆ El moimieno es en el eje La aceleración es d a que ara el iemo iˆ enía una La elocidad se uede enconrar en érminos de una inegral como a + C + a C Como ara se iene a + C C a, enemos Reemlazando el alor de C obendremos la ecuación de la elocidad: + a ( ) Ahora consideremos la definición de la elocidad d También se uede escribir en forma inegral + C Reemlazando el alor de : [ + a( )] C + Inegrando: + a a + C Como ara se iene, enemos + a a + C C + a Reemlazando el alor de C obenemos + a a + + a ( ) ( ) + + a Ejemlo La aceleración de una moociclea esá dada or a( ),5,, con en s m/s La moo esá en reoso en el origen en a) Obenga su osición elocidad en función de b) Calcule la elocidad máima que alcanza a) Para enconrar ( ) d a d a (,5, ) Inegrando con : (,5, ),75,4 Para enconrar ( ) d,75,4 d (,75,4 ) Inegrando con : 4 (,75,4 ),5, b) Para que la elocidad sea máima la aceleración debe ser cero, a ( ),5,,5,5s, Para la elocidad es mínima Para,5 la elocidad,75,5,4,5 9, ( ) ( ) m/s Ejemlo 4 Salo olador de la ulga Una elícula omada a ala elocidad or M Rohschild, Y Schlein K Parker, C Neille S Sernberg (5 cuadros or segundo, The Fling Lea of he Flea, en el ScienificAmerican de noiembre de 97) de una ulga salarina de μg rodujo los 9

20 daos que se usaron ara dibujar la gráfica de la figura La ulga enía una longiud aroimada de mm saló con un ángulo de desegue casi erical Use la gráfica ara conesar esas regunas a) La aceleración de la ulga es cero en algún momeno? Si lo es, cuándo? Jusifique su resuesa b) Calcule la alura máima que la ulga alcanzó en los rimeros,5 ms c) Deermine la aceleración de la ulga a los:,5 ms,, ms,5 ms d) Calcule la alura de la ulga a los:,5 ms,, ms,5 ms - (,,cm - ( ) + (, )() ) Ejemlo 5 La gráfica de la figura describe, en función del iemo, la aceleración de una iedra que baja rodando or una ladera, habiendo arido del reoso a) Deermine el cambio de elocidad de la iedra enre,5 s 7,5 s b) Dibuje una gráfica de la elocidad de la iedra en función del iemo a) Pendiene de a ara, ms b) La alura máima corresonde al recorrido hasa cuando la aceleración se hace cero llega al iemo,5 ms, es el área bajo la cura ersus (Dibujado aroimándolo a Un riángulo un recángulo) h ma área bajo ( ) A Triángulo + A Recángulo [(,)( ) + (,5,)() ],5 cm c) a endiene del gráfico a (,5 ms) a (, ms) 5, cm s -, a (,5 ms) orque la endiene es cero d) h área bajo el gráfico h(,5) A - Triángulo (,5 )( ) 8, cm - h(,) ATriángulo (, )() 5, cm h (,5) A + A Triángulo Recángulo d a) a d a Como ( ) a 8 4,8 7,5,5 d (,8 + ) a es la ecuación de la reca: Inegrando: d (,8 ) a,8 + +,4( ) + ( ) Con, 5s, 7, 5s Δ,4( 7,5,5 ) + ( 7,5,5) cm s, Δ : Ora manera de enconrar el cambio de elocidad es enconrando el área bajo la cura a ersus, enre las líneas en,5s 7,5s El área es: (4 + 8)(7,5,5) cm s Como la aceleración es osiia, el cambio de elocidad es osiio b) Ejemlo 6 La elocidad de un uno que se muee en raecoria reca queda eresada, en el SI or la ecuación: 4-8 Para s, el uno disa del origen 8 m Deerminar:

21 a) La eresión general de la disancia al origen b) El esacio inicial c) La aceleración d) En qué insane iene el móil elocidad nula? e) Cuáno disa del origen en al insane? f) Disancia al origen esacio recorrido sobre la raecoria a arir de, cuando 7 s, s 5 s a) s ( 4 8 ) C s s b) 8 s s 6 c) d a 8 s m d) s e) s m f) s m s l m s m Cálculo de caminos sobre la raecoria a arir de : El móil cambia el senido de su elocidad ara 5s El recorrido en los 5 rimeros segundos es: C 5 s s 6-6 m A ellos ha que sumar el recorrido en los segundos resanes que se obienen de la inegral de la ecuación general de la elocidad, en alor absoluo, enre los limies 5 s insane final 7 ( 4 8 ) 6m C ( 4 8) m C + 5 Reresenación gráfica de la elocidad origen en función del iemo En la gráfica de la elocidad frene al iemo, el área limiada or el eje de abscisas la gráfica enre dos insanes coincide numéricamene con el camino recorrido or el móil enre esos dos insanes Ejemlo 7 El ecor elocidad del moimieno de una arícula iene dado or ( - )ˆ i + (6-5) ˆj móil en el insane s es Calcular m/s Si la osición del r iˆ ˆj a) El ecor osición del móil en cualquier insane b) El ecor aceleración m c) Las comonenes angencial normal de la aceleración en el insane s Dibujar el ecor elocidad, el ecor aceleración las comonenes angencial normal en dicho insane 5 ( 4 8 ) 5m C a) Para el moimieno horizonal d m - a s Reresenación gráfica de la disancia al origen en función del iemo Como d d, inegrando

22 d ( ) a n ( θ ) asen ϕ m/s 7 + m Para el moimieno erical CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS LIGADAS MOVIMIENTOS DEPENDIENTES Obseremos los sisemas físicos de la figura Podríamos decir que esos sisemas se comonen de arias arículas ligadas (conecadas) d 6 m - 5 a s Como d d, inegrando d ( 6 5) ( 5 + )m r ˆ b) a i + j 7 + î - ˆ ( 5 + ) ĵ Las arículas odrían ser las oleas los cueros a deslazar (bloques, baldes) La ligadura la ienen a raés de las cuerdas Es decir, cuando el hombre deslaza el eremo de la cuerda con una aceleración a, la aceleración de las oleas los cueros a deslazar (bloques, baldes) endrán una deendencia de a Lo mismo se cumlirá ara las oras ariables cinemáicas (deslazamieno elocidad) Ejemlo 8 Análisis del monaje de la figura siguiene c) Para s 4 m/s, 9 m/s a m/s, a 4 m/s a a + a 4,m / s 9 an ϕ 4,75 4 o ϕ 78 a 4 o an θ θ 8 a Para analizar las relaciones que ha enre las ariables cinemáicas del bloque m, del balde m de la olea móil, debemos rimero saber cuáles son sus osiciones Para ello elegimos un sisema de coordenadas En nuesro caso elegimos el eje aunando hacia abajo con el origen en el echo Para el sisema de coordenadas escogido las osiciones del bloque, del balde de la olea son reseciamene:,, Esas se reresenan en la figura siguiene a ( θ ) acos ϕ 4,m/s

23 La longiud de la cuerda debe ermanecer consane en odo insane Por ano debe ser siemre álida la siguiene relación: Longiud de la cuerda consane AB + arco BC + CD +arco DE +EF consane De la figura odemos concluir que las siguienes relaciones son álidas: AB CD c EF c Por ano, + arcobc+ ( c ) + arcode+ consane Como los arcos BC DE ermanecen consanes odremos escribir la relación anerior así: + k () Siendo k una consane Esa ecuación relaciona las ariables cinemáicas de la olea móil del bloque Si el bloque se deslaza una canidad Δ la olea en una canidad Δ La nuea osición de la olea: + Δ, La nuea osición del bloque: + Δ Sin embargo, la relación anerior debe seguir cumliéndose: ( + Δ ) + ( + Δ ) k () Resando () de (), obenemos: Δ + Δ Δ Δ Por ejemlo, si el bloque baja, m, la olea solo sube,5 m La olea solo se deslaza la miad de lo que se deslaza el bloque Análogamene odríamos hacer un análisis ara las aceleraciones, concluiríamos que: a a Es decir, si el bloque or ejemlo, baja con una aceleración igual a, m/s, la olea subirá con una aceleración igual a, m/s De esa figura ambién se deduce la siguiene relación enre la osición del balde la osición de la olea móil: + c () Si el balde se deslaza una canidad Δ, la olea Δ se deslaza una canidad El balde asa a ocuar la osición: + Δ, La olea asa a ocuar la osición + Δ Sin embargo, la relación anerior se debe seguir cumliéndose ( + Δ ) ( + Δ ) + c (4) Resando () (4) obenemos, Δ Δ Los deslazamienos de la olea el balde son iguales Si diidimos la ecuación anerior or el ineralo de iemo Δ obenemos como se relacionan las elocidades: Las elocidades de la olea del balde son iguales Lo mismo odremos concluir ara las aceleraciones: a a En definiia si el bloque baja con una aceleración igual a 4 m/s, el balde la olea móil subirán con una aceleración igual a m/s PREGUNTAS Y PROBLEMAS Un acelerador aómico emie arículas que se deslazan con una raidez de,8 8 m/s cuáno demoran esas arículas en recorrer una disancia de 5,6mm? Resuesa - s Se desea calcular cuál es la rofundidad de un lago, ara al efeco se usa un insrumeno conocido como sonar que mide el iemo que arda un ulso sonoro en ir oler desde la suerficie del agua Si se sabe que la raidez del sonido en el agua es de 45m/s el insrumeno marcó,4s cuando se hizo la medición, calcule la rofundidad del lago Resuesa,45m Una cucaracha se deslaza en línea reca su osición con reseco al iemo se eresa de acuerdo al siguiene gráfico De acuerdo a la información dada se ide calcular a) disancia recorrida enre 4s 9 s b) disancia recorrida enre 9 s 4s c) disancia recorrida enre 6s d) elocidad media enre s 6s e) elocidad media enre 9s 6s

24 a) 4 5 ; b) + / / 5 Resuesa a) 4m b) 8m c) m d) 5/8 m/s e) 4 Un hombre camina con una elocidad consane asa bajo un farol que cuelga a una alura H sobre el suelo Enconrar la elocidad con la que el borde de la sombra de la cabeza del hombre se muee sobre la ierra El alo del hombre es h Resuesa H H h 5 Un ren arranca en una esación acelera uniformemene a razón de,6 m/s hasa alcanzar una elocidad de 4 m/s Deerminar el iemo emleado la disancia recorrida en ese eríodo si la elocidad media fue: a) 6 m/s, b) m/s Resuesa a) 6s, 96m, b) 4s, 58m 6 Un ciclisa recorre km en horas El iaje de uela dos días más arde lo realiza en el iemo usual de 6 horas a) Cuál es su raidez media a la ida? b) Cuál es su raidez media al regreso? c) Su raidez media en e iaje comleo? d) Su elocidad media en e} iaje enero? Resuesa a) 5 km/h, b) 6,7 km/h c) 5 km/h d) 7 Un auomóil que iaja con una elocidad de 5 km/h hacia el oese reeninamene emieza a erder elocidad a un rimo consane segundos más arde su elocidad es de 5 km/h hacia el oese a) Cuáno iemo ardará en deenerse el auo, conando a arir del momeno en que emezó a desacelerar? b) Cuál es la disancia oal que recorrerá anes de deenerse? c) Cuál sería el iemo necesario ara deenerse la disancia recorrida el) la frenada con la misma aceleración, ero con una elocidad inicial de km/h? Resuesa a) 6s ; b) 4,7m ; c) 5; 5m 8 La aceleración de una arícula esá dada or: a 4 4, a) Hallar la elocidad de la arícula en función del iemo b) Hallar su osición en función del iemo Resuesa 9 El moimieno de una arícula se define mediane la relación / + 8 +, donde se eresa en meros en segundos Deerminar a) el momeno en que la elocidad es nula; b) la osición la disancia oal recorrida cuando la aceleración es nula Resuesa a) s, 4s; b) 8m, 7,m El moimieno de una arícula esá dado or la ecuación horaria sobre el eje, en meros en segundos a) Calcular la elocidad la aceleración de la arícula en el insane b) Enconrar la osición, la elocidad la aceleración de la arícula ara s s c) Cuáles son la elocidad media la aceleración media de la arícula enre? Resuesa a) ( + 8)m/s, a ( ) m/s b) 9m, 7 m/s, a m/s 68 m 5 m/s, a 6 m/s c) m 9 m/s, a m m/s La osición de una arícula que se muee en el eje esá dada or 8 + 5, es la disancia a origen en meros es el iemo en segundos a) Para, enconrar la osición, elocidad aceleración b) Grafique ersus c) Encuenre la le horaria, la le del moimieno la raecoria d) Analizar el moimieno Resuesa a) -,, a 4 s, ( 8 + 5)iˆ b) r Traecoria recilínea en el eje Un auomóil se encuenra deenido frene a un semáforo, le dan luz erde arranca de modo que a los 4s su raidez es de 7 km/hora Si se moió en raecoria recilínea, con aceleración consane, I- Deermine: a) La raidez inicial en meros or segundo b) El módulo de la aceleración en ese ramo c) La raidez que llea a los s d) La disancia que recorre en los res rimeros segundos e) La disancia que recorre enre s 4s II- Haga un gráfico reresenaio de osición ersus iemo de la raidez ersus iemo Resuesa a) m/s b) 5 m/s c) 5m/s d) 45m e) m 4

25 Una arícula A, se muee en el eje X, de acuerdo a la siguiene gráfica Deerminar a arir del gráfico de la arícula: a) Velocidad media enre 4 s b) Velocidad insanánea en s c) Aceleración media enre 4 s d) Ineralos de iemo en que se acerca al origen e) Ineralos de iemo en que se aleja del origen f) Ecuación Iinerario de la arícula A g) Qué io de moimieno iene esa arícula? Resuesa a) ( -8;)m/s b) (-8;)m/s c) d) (-)s e)(-) f) ( ) 4 8 g) Moimieno recilíneo uniforme 4 Un ehículo se muee en el eje de acuerdo con la siguiene ecuación de iinerario: () Con medido en meros en segundos a) Idenifique a osición inicial, la elocidad inicial la aceleración b) Deermine la ecuación que enregue la elocidad ara cualquier insane c) Deermine el insane en que cambia de senido d) La elocidad de la arícula en s en 4 s e) Posición de la arícula en 6 segundos f) Gráfico ersus Describa la cura g) Gráfico ersus Describa la cura h) Gráfico a ersus Describa la cura Resuesa a) (,)m (-6,)m/s (,)m/s b) () 6 + c)s d) (-,)m/s (,)m/s e) (,)m 5 Se lanza un cuero hacia arriba con una raidez de 6m/s, a) Qué alura alcanza a subir? b) Qué iemo demora en oler al uno de arida? Resuesa a),m b) 6,4s 6 Una arícula se muee sobre una reca horizonal; are hacia la derecha desde un uno A con una raidez de 8 (m/s) una reardación consane de módulo (m/s ) En el uno B, es donde se anula su raidez, iniere el senido de moimieno ara reornar hacia A con una aceleración consane de módulo 6(m/s ) Calcular: a) La disancia oal cubiera hasa que la arícula reorne al uno A b) El iemo oal ara el recorrido comleo hasa oler a dicho uno A c) El ineralo de iemo que ranscurre enre los asos de la arícula or el uno siuado a / de AB, medido desde A 7 Desde una alura de 45m se deja caer un objeo A simuláneamene se lanza un objeo B ericalmene desde una alura de 5m Calcular: a) la elocidad inicial de B ara que los objeos se crucen a una alura de m b) la disancia que seara a los objeos cuando B alcanza su alura máima 8 Sobre un mismo eje se mueen dos arículas A B En la arícula A are desde P con aceleración consae de 5 î (m/s ) Un segundo desués, B asa or Q con una elocidad de î (m/s) Encuenre las reardaciones consanes que deben alicar A B a arir de ese úlimo insane ara que ambas arículas se deengan simuláneamene anes de chocar 9 Una arícula se muee a lo largo del eje con aceleración consane En asa or la osición iˆ 5iˆ iˆ m con una elocidad m/s en s su osición es m Calcule: a) La ecuación iineraria de la arícula b) La disancia recorrida en el ineralo (-6) s c) La elocidad media en el ineralo (4-7) s d) Ineralos de iemo en que la arícula se aleja del origen del sisema Sobre el eje de un sisema de coordenadas se mueen dos arículas A B El gráfico (a) es una arábola cuadráica que muesra la ariación de la comonene de la osición en función del iemo de la arícula A El gráfico (b) muesra la ariación de la comonene de la elocidad en función del iemo de la arícula B Si en, ambas arículas ienen la misma osición, deerminar: a) Ecuación horaria de las arículas A B 5