CUADERNO DE APRENDIZAJE

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1 CUADERNO DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA FINANCIERA

2 Estimado Estudiate de AIEP, e este cuadero de estudio, juto a cada Apredizaje Esperado que se te preseta y que correspode al Módulo que cursas, ecotrarás Ejercicios Explicativos que reforzará el apredizaje que debes lograr. Esperamos que estas Ideas Claves, etregadas a modo de sítesis, te oriete e el desarrollo del saber, del hacer y del ser. Mucho Éxito. Direcció de Desarrollo Curricular y Evaluació VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP

3 UNIDAD I: CONCEPTOS BÁSICOS FINANCIEROS Y MATEMÁTICOS. APRENDIZAJE ESPERADO: 1. Recooce las fuetes de iformació de tasas de iterés. La matemática fiaciera o igeiería ecoómica se efoca e el cálculo de los factores que coforma el mercado fiaciero. La existecia de u mercado viee dada por la presecia de u bie escaso: e este caso el Capital, uo de los recursos básicos y ecesarios e toda actividad ecoómica. Por cosiguiete, la matemática fiaciera permite resolver problemas basados e operacioes de iversió, tal como determiar la retabilidad de u proyecto de iversió, y de fiaciamieto; por ejemplo, saber cuál es el iterés que se debe pagar por la solicitud de u préstamo o capital a ua istitució bacaria. De otra forma, la matemática fiaciera se deriva de la matemática aplicada que estudia el valor del diero e el tiempo, combiado el capital, tasa y el tiempo para obteer u redimieto o iterés, a través de métodos de evaluació que permite tomar decisioes de iversió. De esta forma, la matemática fiaciera tiee aplicació práctica e la vida cotidiaa de las persoas y las empresas, por tato, resulta relevate coocer y compreder la iformació fiaciera que se ecuetra día a día e el mercado y de esta forma evaluar de mejor forma las decisioes fiacieras que se toma. Criterio 1.1. Defie la importacia de la iformació fiaciera que se ecuetra e el mercado. La iformació fiaciera es aquella de carácter periódico que se ecuetra e los mercados tales como: tasa de iterés, IPSA, IPC, UF, UTM, valor dólar, etre muchas otras, o sobre la posició fiaciera de ua orgaizació o de algua de sus actividades, icluyedo la presetació de resultados, cifras de vetas, etre otros. Por cosiguiete, coocer la iformació fiaciera es ecesario, puesto que es utilizada por clietes iteros de las empresas tales como: directores, geretes, aalistas y accioistas, pricipalmete, y clietes exteros como proveedores, istitucioes fiacieras y poteciales accioistas. Por medio de esta iformació, el usuario puede evaluar las codicioes actuales y futuras de la empresa y tomar decisioes de carácter ecoómico sobre la misma. La iformació fiaciera debe reuir 3 características básicas: utilidad, cofiabilidad y provisioalidad. Utilidad Su coteido iformativo debe ser sigificativo, relevate, veraz, comparable y oportuo. Cofiabilidad Debe ser cosistetes, objetivos y verificables. Provisioalidad Cotiee estimacioes para determiar la iformació que correspode a cada periodo cotable.

4 Ejercicio 1 Cuadero de Apredizaje 2014 Si ua persoa desea ahorrar e forma extra para su jubilació, ya sea por medio de ua cueta de ahorros, cueta 2, APV, fodos mutuos o accioes. Dóde le recomedaría usted que se iformara, cosiderado la importacia de la iformació fiaciera que debe coseguir, es decir, debe obteer iformació relevate, veraz, objetiva, etre otras. Ejercicio 2 Comete la importacia de la iformació fiaciera que se ecuetra dispoible e las distitas fuetes para ua empresa que importa y exporta materiales. Ejercicio 3 De acuerdo a la iformació fiaciera que se ecuetra e diversos medios, es criterioso tomar decisioes e la evaluació de u proyecto de exportació de productos elaborados a la comuidad europea, Asia, Chia y Estados Uidos, si cosiderar los movimietos de los ídices bursátiles de estos países. Comete su respuesta. Criterio 1.2. Idetifica distitas fuetes de iformació fiaciera. E la actualidad la iformació fiaciera tato acioal como iteracioal se puede ecotrar e iumerables fuetes, tales como: estados fiacieros de las empresas, bacos, istitucioes fiacieras, diarios, cetros de estudios, iteret, revistas especializadas, etre otros. Si embargo, lo relevate es idetificar el orige de esta iformació, es decir, si so fuetes de iformació primaria o secudaria. Las fuetes de iformació primaria hace referecia a la iformació ecoómica que o se ecuetra procesada o aalizada, es decir, solamete se ecuetra registrada, por ede, o se puede despreder coclusió o apreciació algua de ella, ejemplo de estas so las ecuestas que realiza empresas de ivestigació de mercado y opiió pública. Por otra parte, las fuetes de iformació secudaria so aquellas que etrega datos o iformació fiaciera ya aalizada y/o procesada, por lo que es posible iterpretar y realizar coclusioes respecto a esta iformació. Ejercicio 1 U grupo de estudiates, para su proyecto de título, debe realizar ua evaluació ecoómica y fiaciera para la implemetació de u restaurat de comida vegetariaa e su comua de residecia, para lo cual ecesita determiar co certeza los clietes poteciales de su futuro exitoso empredimieto. De acuerdo a lo requerido por los estudiates qué le recomieda usted? Basarse e iformació primaria o secudaria Por qué? Ejercicio 2 De acuerdo a la siguiete lista, clasifique cuál es iformació primaria y secudaria. Etrevistas a empresas, IPSA, diario fiaciero, miisterio de hacieda, istituto acioal de estadísticas, baco estado.

5 Criterio 1.3. Discrimia la fuete de iformació segú el tipo de iformació fiaciera que requiera. Detro de las fuetes de iformació fiaciera como se mecioó, se ecuetra los estados fiacieros de las empresas, el aálisis de estos permite evaluar la situació fiaciera actual y pasada de la orgaizació, co el objetivo básico de idetificar las fortalezas y debilidades sobre la situació fiaciera y los resultados de operació de ua etidad ecoómica. E forma geeral, para realizar u aálisis de los estados fiacieros, se requiere dos métodos o tipos de aálisis, de maera tal de obteer la mayor iformació fiaciera suficiete, y así mejores elemetos para la toma de decisioes de carácter fiaciero. Aálisis Vertical Se utiliza para aalizar estados fiacieros como el Balace Geeral y Estado de Resultados, comparado y aalizado datos de u solo período. Aálisis Horizotal El método de aálisis horizotal cosiste e comparar cifras de u período cotable respecto a años ateriores, esta comparació brida criterios de relevacia para evaluar la situació de la empresa; cuado mayor es la tedecia porcetual, sigifica que es más relevate el cambio e algua cueta o cifra de los estados fiacieros 1. Ejercicio 1 Ua empresa, e el año 2007, teía activos fijos por $100 y e el año 2008 esos activos llegaro a $120. Si ecesidad de hacer igua operació aritmética compleja, podemos determiar que los activos fijos tuviero u icremeto del 20% e el 2008 co respecto al Determie a qué tipo de aálisis fiaciero correspode. Respuesta: Aálisis horizotal. Ejercicio 2 Qué aálisis es de gra importacia a la hora de establecer si ua empresa tiee ua distribució de sus activos equitativa y de acuerdo a las ecesidades fiacieras y operativas e el período. Respuesta: Aálisis vertical. Ejercicio 3 Señale si la siguiete iformació es verdadera o falsa y fudamete su respuesta. Se aaliza el estado fiaciero actual de ua empresa imobiliaria co iformació de años ateriores, por lo que lo aterior correspode a u aálisis fiaciero vertical. Respuesta: Falso. 1 Rodríguez R, y Acada R, (2009), Metodología para realizar aálisis ecoómico fiaciero e ua etidad ecoómica.

6 APRENDIZAJE ESPERADO: 2. Idetifica las distitas tasas de iterés del mercado, distiguiedo los compoetes de la tasa de iterés. La tasa de iterés es u moto de diero que ormalmete correspode a u porcetaje de la operació de diero que se esté realizado. Si se trata de u depósito, la tasa de iterés expresa el pago que recibe la persoa o empresa que deposita el diero por colocar esa catidad a disposició del otro. Si se trata de u crédito, la tasa de iterés es el moto que el deudor deberá pagar a quie le presta por el uso de ese diero. E el mercado existe diferetes tasas depediedo el tipo de operació fiaciera, detro de las pricipales está: tasa de iterés simple, tasa de iterés compuesta, tasa de iterés efectiva, tasa de iterés real, tasa de iterés equivalete, tasa de iflació, tasa iterbacaria, tasa LIBOR, etre otras. E forma geeral, la tasa de iterés simple está compuesta por el Iterés (Moto meos Capital), Valor Actual o Capital y Período. E el caso de la tasa de iterés compuesta, sus compoetes so Moto, Capital y Período. Criterio 1.5. Recooce el setido de la tasa de iterés, valor del diero e el mercado. La tasa de iterés es el valor del diero e el mercado fiaciero. Al igual que el precio de cualquier producto, cuado hay más liquidez e el mercado la tasa de referecia del mercado baja y cuado hay escasez, sube. Desde u puto de vista de política moetaria del Estado, ua tasa de iterés alta icetiva el ahorro y ua tasa de iterés baja icetiva el cosumo. De ahí la iterveció estatal por medio del Baco Cetral e Chile sobre los tipos de iterés a fi de fometar ya sea el ahorro o la expasió, de acuerdo a objetivos macroecoómicos perseguidos. Por tato, la tasa de iterés es el costo del uso del capital o la tasa de retoro del ahorro, determiado lo que se refiere como "el precio del diero e el mercado fiaciero". E térmios geerales, a ivel idividual, la tasa de iterés (expresada e porcetajes) represeta u balace etre el riesgo y la posible gaacia (oportuidad) de la utilizació de ua suma de diero e ua situació y tiempo determiado. E este setido, la tasa de iterés es el precio del diero, el cual se debe pagar/cobrar por tomarlo prestado/cederlo e préstamo e ua situació determiada. De acuerdo a lo idicado, las tasas de iterés tiee u impacto sobre el mercado, puesto que tasas bajas ayuda al crecimieto de la ecoomía, porque facilita el cosumo y, por tato, la demada de productos. Mietras más productos se cosuma, más crecimieto ecoómico. El lado egativo es que este cosumo puede producir tedecias iflacioarias que so las que fometa el cambio y la variació e las tasas que determia el mercado y este a su vez afecta de maera positiva o egativa dode si estas so altas favorece el ahorro y frea la iflació, ya que el cosumo dismiuye al icremetarse el costo de las deudas. Pero al dismiuir el cosumo se frea el crecimieto y desarrollo ecoómico de u país.

7 Ejercicio 1 Cuadero de Apredizaje 2014 Cosiderado el cocepto valor del diero e el tiempo Por qué se aplica ua tasa de iterés al solicitar u crédito bacario? Fudamete su respuesta. Ejercicio 2 De acuerdo a las siguietes afirmacioes respecto de la tasa de iterés, Cuál es verdadera? a) Es u porcetaje que se traduce e u moto de diero, mediate el cual se paga por el uso del diero. b) Es cotate e el tiempo. c) No afecta el crecimieto ecoómico de u país. d) No expresa el pago que recibe la persoa o empresa que deposita el diero por poer esa catidad a disposició del otro. Respuesta: A Ejercicio 3 De acuerdo a la siguiete defiició: se etiede por iversió cualquier sacrificio de recursos hoy, co la esperaza de recibir algú beeficio e el futuro. Aalice cada uo de los compoetes de la oració respecto al valor del diero e el tiempo: sacrificio o reucia, recursos y beeficio. A modo de ejemplo para su aálisis: Se habla de hoy y el futuro, es decir, cualquier decisió que tomemos frete a estos recursos afectará u período defiido el cual se deomia plazo de la iversió (ahorro) o el préstamo. Por lo tato, el valor del diero como recurso tiee setido úicamete cuado este puede ser usado durate u período de tiempo. Criterio 1.6. Recooce distitas tasas de iterés de mercado. Las tasas de iterés so reflejo del valor del diero e el tiempo y e el mercado. De acuerdo a esto existe diversas tasas, siedo las pricipales las que se esquematiza a cotiuació. Figura 2.1: Tasas de iterés

8 Iterés Cuadero de Apredizaje 2014 Es la catidad pagada (diero) por el uso del mismo, obteido e préstamo o la catidad producida por la iversió del capital. Es la catidad de diero adicioal por la cual u iversioista estará dispuesto a prestar su diero. E otras palabras, es la catidad de diero adicioal que hace que dos catidades de diero sea equivalete e el tiempo. 2 Adicioalmete, se puede idicar que el iterés es la maifestació del valor del diero e el tiempo. Matemáticamete, es la diferecia etre la catidad fial de diero y la catidad origial. Existe dos variates del iterés: Iterés pagado, e el caso de solicitar préstamos. Iterés gaado, e la evetualidad de geerar diero mediate ahorros o iversioes. Por tato, el iterés es el redimieto dado e Pesos ($), por u determiado Capital o por ua determiada Iversió cuado permaece por u determiado período de tiempo. U modelo matemático represetativo del iterés cosiste e la siguiete ecuació: VF = VA + compesació por aplazar pago Dode: VF = Valor futuro a pagar o moto (puede ser u diero a pagar o gaacia) VA = Valor actual o capital (puede ser ua deuda cotraída o u diero a ahorrar) Compesació por aplazar pago = Iterés por la operació bacaria. Tasa de iterés Moto de diero que se expresa e porcetaje (%), mediate el cual se paga por el uso del diero por parte de quie lo haya recibido. Se simboliza co la letra i (%). Otra forma de defiirlo es como La razó del iterés devegado al capital e la uidad de tiempo. E forma geeral, se determia bajo la siguiete formula: Iterés 15 i = 100 = = 15% Capital periódo 100 Más allá de su cálculo, es importate teer e cosideració su sigificado e iterpretar de ella su porcetaje y tiempo idicado. 2 C. Morales, Curso matemáticas fiacieras, 2012.

9 Ejemplo Cuadero de Apredizaje 2014 a) Ua tasa de iterés del 20% aual, sigifica que se pagará 0,2 pesos por cada peso, por cada año. b) Ua tasa del iterés del 6% semestral, sigifica que se pagará 0,06 pesos por cada peso, cada seis meses. c) Ua tasa de iterés del 4% bimesual, sigifica que se pagará 0,04 pesos por cada peso, cada dos meses. Tasa de iterés omial Es aquella que deota u crecimieto e el moto de diero, si ajustar la moeda por iflació. Así, la tasa de iterés omial o ecesariamete sigifica u icremeto e el poder adquisitivo. Ejemplo típico so los depósitos e pesos a 30 días de los bacos o los créditos e pesos. Tasa de iflació Se defie como la medida del icremeto sosteido e los precios de los biees y servicios a lo largo del tiempo. Se calcula sobre el precio imediatamete aterior, y por esta razó opera como ua tasa de iterés compuesto. 3 Tasa de iterés real Es aquella que deota u aumeto del poder adquisitivo. Esto es, coservado el poder adquisitivo del diero, existe u icremeto e el moto a pagar o cobrar. Por lo tato, esta tasa está ajustada a la iflació existete e el país. El ejemplo clásico es el de las tasas e UF + X% o tasas reflejadas como IPC + X%. Tasa de iterés efectiva Es la tasa que mide el costo efectivo de u crédito o la retabilidad efectiva de ua iversió y resulta de capitalizar la tasa omial. Cuado se hace referecia a la tasa efectiva se implica tácitamete el cocepto de iterés compuesto, que es e dode los itereses se capitaliza o se covierte e capital. E otras palabras, la tasa omial es iherete al iterés simple y la tasa efectiva es iherete al iterés compuesto. Iterés exacto Es u criterio para aplicar el iterés simple. La aplicació depede de la operació comercial o fiaciera, tambié del sector ecoómico dode se realice la operació o icluso de las costumbres comerciales. E este caso particular el iterés se calcula tomado como base u año de 365 días. Iterés ordiario Al igual que el iterés aterior, este es u criterio para aplicar el iterés simple. A diferecia del iterés exacto, este se calcula tomado como base u año de 360 días. E los cálculos de matemáticas fiacieras se utiliza esta base, ya que se toma que el año comercial está costituido por 360 días. 3 J. García, Matemáticas fiacieras co ecuacioes de diferecia fiita, Colombia, Pearso, 2008.

10 Tasa spot Cuadero de Apredizaje 2014 Es aquella tasa coocida e iformada e el mercado al día de hoy. Tasa forward Es ua tasa de iterés a futuro o observable i iformada directamete e el mercado, pero que se puede calcular a partir de las tasas spots. Iterés simple Es aquel que se calcula sobre u capital que permaece ivariable o costate e el tiempo y el iterés gaado (o pagado) se acumula solo al térmio de esta trasacció. Es importate destacar que e este tipo de iterés o hay capitalizació de itereses, e otras palabras, el iterés ($) que se geera o forma parte del capital iicial para uevamete geerar uevos itereses. Gráficamete se represeta de la siguiete forma: Iterés compuesto Aquel dode el capital iicial cambia al fial de cada período debido a que los itereses se adicioa al capital para formar u uevo capital deomiado moto (debido a que ivolucra capital e iterés), y sobre este moto se vuelve a calcular itereses, es decir, hay capitalizació de los itereses. E térmios secillos, e este tipo de iterés, que es el más utilizado e el sistema fiaciero, se geera iterés sobre iterés. E otras palabras, se asume reiversió de los itereses e períodos itermedios. Gráficamete, se represeta de la siguiete forma: Tasas equivaletes Dos tasas de iterés auales co diferetes períodos de capitalizació so equivaletes si al cabo de u año produce el mismo iterés y, por lo tato, el mismo moto al térmio de u mismo lapso de tiempo, o importado el plazo de la iversió.

11 Ejercicio 1 Cuadero de Apredizaje 2014 Idique e forma clara la diferecia etre el iterés simple e iterés compuesto. Ejercicio 2 El importe que cobra realmete ua istitució bacaria por u crédito correspode a: a) Tasa de iterés efectiva. b) Tasa omial. c) Tasa de iterés real. d) Tasa equivalete. Respuesta: Tasa de iterés efectiva. Ejercicio 3 Señale la tasa de iterés que deota u icremeto e el moto de diero, pero que o ajusta la moeda por iflació. APRENDIZAJE ESPERADO: 3. Distigue la utilidad de las distitas tasas de iterés. Como se mecioó e el criterio 1.5, la tasa de iterés tiee ua utilidad fudametal e la ecoomía del país, pues es el elemeto pricipal de la política moetaria. Al elevarla o dismiuirla, el Baco Cetral regula el costo del crédito, y por ede, ifluye e el ivel de la actividad ecoómica. E otros térmios, las tasas codicioa el cosumo presete y futuro. E resume las tasas de iterés so de suma utilidad e: a) El ivel de ahorro: tasas elevadas icetiva el ahorro, por el cotrario, tasas bajas lo desalieta. b) La lucha cotra la iflació: los igresos de las persoas se destia al ahorro o cosumo. E cosecuecia, el ivel de las tasas cotribuye e la estabilidad de los precios. c) La iversió: tasas bajas fometa la iversió, e tato que altas tasas ecare los créditos. d) Los movimietos iteracioales de capital: si dos países tiee igual ivel de riesgo, los capitales se dirigirá al que tiee mayor tasa de iterés de captació. e) La asigació de recursos: hace referecia a que las empresas solo desarrolla los proyectos cuya tasa de retoro (TIR) supera al costo del fiaciamieto, ua tasa de iterés más elevada icremeta el ivel de exigecia, lo cual obliga a ejecutar úicamete los proyectos más retables. Criterio 1.8. Recooce el setido del valor del diero e el tiempo. La expresió No es lo mismo u milló de pesos hoy, que u milló de pesos detro de u año, se utiliza para explicar que el poseedor del diero espera que se le recompese por o utilizar su diero y poerlo a disposició de otro por u tiempo. No es igual recibir la misma catidad de diero hoy que u tiempo después; es decir, o se puede decir que dichos valores sea equivaletes. El Iterés es el moto de diero que hace equivalete el valor de aquel e el tiempo, es decir, el iterés permite hacer equivalete cifras de diero e el tiempo.

12 El cocepto de iterés es de uso amplio e el sector comercial y fiaciero, esto ha coducido a que tega múltiples acepcioes, etre otras: valor del diero e el tiempo, valor recibido o etregado por el uso del diero, utilidad o gaacia que geera u capital, precio que se paga por el uso del diero, redimieto de ua iversió. Por qué o es igual recibir $ hoy, a recibirlo detro de u año? Las razoes que explica por qué dos catidades iguales de diero o tiee el mismo valor e el tiempo, so: a) Pérdida del poder adquisitivo del diero, ocasioado por el icremeto sosteido de los precios iflació-. Co el mismo diero, e geeral, se podrá adquirir mayor catidad de biees y servicios hoy que detro de u año. b) Costo de oportuidad, debido a la capacidad que tiee el diero de geerar diero. Dispoiedo del milló de pesos hoy, estos se podrá ivertir obteido redimietos que permitirá teer después de u año ua catidad mayor. c) Riesgo, puesto que más vale teer asegurado el milló hoy, y o la promesa de recibir el diero detro de u año. E coclusió, el que posee ua catidad de diero solo estará dispuesto a etregarla e préstamo, si se le etrega u moto de diero adicioal que compese la pérdida de valor, el redimieto por reuciar a su uso y el riesgo de recibir la catidad u tiempo después. Ejercicio 1 De las siguietes opcioes cuál elegiría? a) Teer $ hoy. b) Obteer $ detro de u año. Respuesta: $ vale más hoy que detro de u año. Ejercicio 2 De las siguietes opcioes cuál elegiría? a) Teer $ hoy. b) Obteer $ detro de u año. Respuesta: $ vale más hoy que teer $ detro de u año, debido al costo de oportuidad, iflació y riesgo. De otra forma, u $ hoy puede ivertirse para comezar a gaar retabilidad imediatamete. Ejercicio 3 De las siguietes opcioes cuál elegiría? a) Teer $ hoy. b) Obteer $ detro de u año. Respuesta: $ vale más hoy que teer $ detro de u año, debido al costo de oportuidad, iflació y riesgo. Dicho de otra maera, ua persoa que tiee $ hoy, estará dispuesta a ivertir esa catidad (y dejar de cosumir hoy) siempre que al cabo de u período reciba $ más como premio que compese su sacrificio (tasa de retabilidad)

13 APRENDIZAJE ESPERADO: 4. Resuelve problemas propios del mudo cotidiao y la especialidad, que implique operar co razoes y proporcioes, co ayuda de calculadora cietífica. E la vida cotidiaa muchas veces se trabaja co catidades exactas, por ejemplo, úmero de otebook vedidos e la semaa e ua empresa. Si embargo, e variadas ocasioes se ecesita relacioar o comprar estas cifras, o quizás tomar solo ua parte de u total de elemetos. Para lo cual es ecesario coocer y compreder los coceptos de razoes y proporcioes, térmios aplicados e las matemáticas fiacieras. Criterio Aplica el cocepto de razó e la resolució de problemas. La Razó o Relació de dos catidades es el resultado de comparar dos catidades. Esta comparació puede idicarse de cuatro formas distitas: 1. a: b 2. a b a 3. b 4. La razó etre a y b. De modo geeral, se puede decir que: ua razó es u cuociete etre dos catidades. El valor de ese cuociete se llama valor de la razó. Si se tiee dos catidades a y b, se dice a es a b y se escribe a b. Al térmio a se le llama atecedete y al térmio b se le deomia cosecuete. Ejercicio 1 Ua ueva empresa de cosultoría costituida por alumos emprededores de AIEP está formada por u equipo de 24 profesioales hombres de distitas especialidades, la razó de mujeres y hombres es 3: 4 respectivamete. Determie el úmero de profesioales totales que coforma la empresa. Mujeres 3 Razó = = Hombres 4 Mujeres 3 Razó = = 24 Hombres Mujeres = = = 18 mujeres 4 4 Por tato, el úmero totales de profesioales que compoe la empresa so: 24 hombres + 18 mujeres = 42 persoas

14 Ejercicio 2 Cuadero de Apredizaje 2014 Igacio, por las últimas compras que ha realizado, se percató de que su tarjeta de crédito bacaria ha dismiuido su cupo dispoible a $ , alcazado ua deuda de $ Establezca la razó etre el diero dispoible e la tarjeta de crédito y la deuda actual. Cupo dispoible = $ Deuda tarjeta crédito = $ CD DTC Razó = = Razó = $ / $ Ejercicio 3 Ua deuda bacaria de $ se debe cacelar etre Jua, Pedro y Miguel, los que debe aportar diero e la razó 2: 3: 5. Determie la catidad aportada por cada uo de los amigos para liquidar la deuda. Jua Pedro Miguel = = = K Jua = 2k Pedro = 3k Miguel = 5k 2k+ 3k+ 5 k = $ k = $ k = $ Por tato, cada uo de los itegrates pagó: Jua = 2 k = 2 $ = $ Pedro = 3 k = 3 $ = $ $ Miguel = 5 k = 5 $ = $

15 Criterio Iterpreta razoes e el marco de casos dados. Ejercicio 1 Ua empresa tiee $ e diero líquido y $ e deudas. Establezca la razó etre el diero líquido y deudas de la empresa e iterprete. Razó = Diero Líquido Deudas $ Razó = = 1, 38 $ Esta razó os idica que por cada $1 de deuda que tiee la empresa, la compañía cueta co $1,38 de respaldo e diero líquido Ejercicio 2 U ejecutivo bacario detro de su cartera de clietes tiee ua morosidad de u 25%. Iterprete este resultado. Supoga que so 9 los morosos Cuál es la cartera de clietes? 25 Sigifica que de cada 100 clietes 25 matiee deudas impagas 0, % 100 = =. 9 1 Pero si e realidad so 9 morosos de 36 cómo llego al 25%? = = 0, = 25% 36 4 Ejercicio 3 Ua persoa desea comprar u vehículo 0 kilómetro por lo que ha realizado 2 cotizacioes e automotoras distitas. Los valores de las cotizacioes so: Automotora 1: $ y Automotora 2: $ Establezca la razó etre la cotizació de la automotora 1 y la 2 e iterprete. $ Razó = = 1, 24 $ Sigifica que el precio del vehículo de la automotora 1 es 1,24 veces más caro que el valor etregado por la automotora 2. Comprobació: $ = 1, 24 $ $ = 1, 24 $ $ = $

16 Criterio Aplica propiedades y el teorema fudametal de las proporcioes e el cálculo del térmio descoocido de ua proporció. Ua proporció o es más que ua ecuació e la cual los miembros so razoes. E otras palabras, cuado dos razoes se iguala ua a otra se forma ua proporció. La proporció podrá escribirse de las siguietes formas: 15: 20 = 3: = 20 4 Estas so las más comues y se lee "15 es a 20 como 3 es a 4". E otras palabras, 15 tiee la misma relació co 20 que 3 la tiee co 4. Los térmios de ua proporció se deomia Medios y Extremos. extremo medio a c = b d medio extremo Teorema fudametal: E toda proporció, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. a c = ad = bc b d Cálculo del térmio descoocido de ua proporció Coociedo tres térmios cualesquiera de ua proporció, es siempre posible calcular el cuarto térmio. Se desiga x como el térmio descoocido de la proporció 3 x =, como el producto de los 4 28 medios es igual al producto de los extremos, se tiee: x = = =

17 Ejercicio 1 Cuadero de Apredizaje 2014 Calcule el térmio descoocido e la siguiete proporció. 12 :15 = 26 : x = 15 x 12 x = x = = 32,5 12 Ejercicio 2 Cuáto vale 850 ladrillos si mil de ellos cuesta $19.000? $ = x 850 x = $ $ x = = $ Ejercicio 3 Al aplicar ua vacua cotra la fiebre, la posibilidad de que los jóvees vacuados la tega correspode a la razó de 1 a , si se detecta 26 jóvees co la efermedad Cuátos jóvees fuero vacuados? 1 26 = x 1 x = x = jóvees fuero vacuados

18 Criterio Resuelve problemas cotextualizados aplicado el cocepto y teorema de las proporcioes. Ejercicio 1 Camilo, Aa y Adrea gaa mesualmete $ , $ y $ respectivamete, y paga los gastos comues mes a mes e forma cojuta. Si durate el mes de mayo pagaro $ cuáto diero debe aportar cada uo de los amigos para pagar los gastos comues? Camilo Aa Adrea = = = k $ $ $ Camilo = $ k Aa = $ k Adrea = $ k $ k+ $ k+ $ k = $ $ k = $ k = = Por tato, cada uo de los itegrates pagó: 476 Camilo = $ = $ Aa = $ = $ $ Adrea = $ = 1905 $

19 Ejercicio 2 Cuadero de Apredizaje 2014 La producció e toeladas de madera por hectárea aumeta co los kilogramos de fertilizate que se emplea, es decir, P= k f, dode P es la producció, y f los kilos de fertilizate. Cuátas toeladas por hectárea se produce e u terreo que se aboó co 550 kg. de fertilizate, si otra co codicioes semejates produjo 130 toeladas por hectárea co 650 kg. de fertilizate? El primer paso e este ejercicio es ecotrar el valor k, deomiada costate de proporcioalidad P = 130 Toeladas y f = 650 kilogramos Así, 130 = k 650 k = 130 =0,2 650 Teiedo el valor de k y el de f se obtiee la producció de toeladas por hectárea: P = 0,2 550 kg = 110 Toeladas Ejercicio 3 Tres alumos mota u esceario para realizar ua obra de teatro e 4 horas y 40 miutos, cuáto hubiera tardado el motaje etre cuatro alumos? Para solucioar este ejercicio, lo primero es dejar el tiempo e ua sola uidad, e este caso miutos. 1 hora 60 mi utos = 4 horas x 1 hora x = 60 miutos 4 horas 60 miutos 4 horas x = 1 hora x = 240 mi utos Por tato, los tres alumos demoraro 280 mi utos, así 4 demorará: 4 alumos 280 mi utos = 3 alumos x 280 mi utos 3 alumos x = 4 alumos x = 210 miutos = 3 horas y 30 miutos

20 APRENDIZAJE ESPERADO: 5. Realiza operacioes co potecias, raíces y logaritmo, co ayuda de calculadora cietífica. Se espera co este apredizaje que los alumos recuerde y practique ejercicios de potecia, raíces y logaritmo, coceptos que verá más adelate e el cotexto de la matemática fiaciera aplicada, por lo que es de suma importacia su compresió y aplicació. Criterio Realiza operacioes combiadas co potecias, aplicado sus propiedades, utilizado calculadora cietífica. Ua potecia es u producto de factores iguales. Está formada por la base y el expoete. Ejemplo: 3 2 = = Expoete Base Ua potecia se puede represetar e forma geeral como: a = a a a... Dode; a = Base = expoete Propiedades fudametales m m a m a a = = a VII. a I. : a m II. ( ) m = a VIII. a a 1 1 = b a 1 = b a a b = ab p p III. ( ) p IV. ( V. VI. p q) m pm qm = a b a b 0 a = 1 a 1 = a IX. X. XI. a b 1 1 b = = a a b a 1 b = = b a a b m m a a = a +

21 Ejercicio 1 Determie el valor de Cuadero de Apredizaje 2014 ( ) ( ) = 2 2 = 2 2 = 2 = 4 Ejercicio 2 Determie el valor de ( ) 3 : : ( 2) = = = = = 3 7 = = ( ) Ejercicio 3 t 100 El úmero de bacterias B e u cultivo i vitro está dado por B = , siedo t el tiempo e horas. Cuál es el úmero de bacterias al cabo de 4 horas? B = = 100 = Criterio Realiza operacioes combiadas co raíces, utilizado sus propiedades. Co ayuda de la calculadora cietífica. Llamamos raíz -ésima de u úmero dado a al úmero b que elevado a os da a. a = b b = a U radical es equivalete a ua potecia de expoete fraccioario e la que el deomiador de la fracció es el ídice del radical y el umerador de la fracció es el expoete el radicado. Ejemplo: = 2; ya que 2 = = x = x p p a = a Propiedades Raíz de u producto La raíz -ésima de u producto es igual al producto de las raíces -ésimas de los factores. Ejemplo: 25 = ab = a b

22 Raíz de u cociete Cuadero de Apredizaje 2014 La raíz -ésima de u cociete es igual al cociete de las raíces -ésimas del dividedo y del divisor. Ejemplo: = a = b a b Raíz de ua potecia Para hallar la raíz de ua potecia, se calcula la raíz de la base y luego se eleva el resultado a la potecia dada. 5 8 = Ejemplo: ( ) 3 a = p ( a) p Raíz de ua raíz La raíz -ésima de la raíz m-ésima de u úmero es igual a la raíz m-ésima de dicho úmero. m a = m a Ejemplo: = 15 2 Ejercicio = 3 3 ( 3 ) ( ) = = 12 = 12 = 12 =

23 Ejercicio 2 Determie d (tasa compuesta aual de depreciació) si ( d ) = 200 ( 1 d ) ( d ) ( d ) ( d ) = 200 ( 1 d ) = ( 0, ) ( 1 d ) = 0, = = 0, / = 3 1 0, d = 0, d = 0, d = 0, d = 39, 43% 13 Ejercicio 3 Despeje i que correspode a la tasa de iterés del iterés compuesto VF = VA ( 1+ i) VF ( 1 ) / VA = + i VF / = + VA VF = ( 1+ i) VA ( 1 i) / i = VF 1, al ser ua tasa se debe multiplicar por 100 para que el resultado quede e VA porcetaje, por tato, la tasa queda expresada; VF i = VA

24 Criterio Realiza operacioes combiadas co logaritmo, utilizado sus propiedades, co ayuda de la calculadora cietífica. Se deomia logaritmo e base a del úmero N al expoete x al que se eleva la base para obteer el úmero, es decir: ( ) x log a N = x si y sólo si a = N Dode a es u úmero positivo diferete de 1 y N es positivo. Propiedades de los logaritmos 1. log a ( 1) = 0 Quiere decir que el logaritmo de cualquier base de 1 es igual a cero. 2. log ( p) = log ( p) a a Es decir, el logaritmo de la eésima potecia de u úmero es igual a veces el logaritmo del úmero. 3. l e = e 1 Existe más propiedades de logaritmo, pero pricipalmete se utiliza estas e matemáticas fiacieras. E la práctica comú se utiliza dos tipos de logaritmos: aturales, cuya base es el úmero e =2, , y los logaritmos comues, cuya base es b =10. Los logaritmos base 10 se deomia logaritmos comues y para idetificarlos se utiliza el símbolo L= log N = log N. 10 Los logaritmos aturales (base e ) se simboliza de la siguiete maera: l = log at N = log N = l N e

25 Ejercicio 1 Determie el valor de (1 + i) = i (que represeta la tasa de iterés por periodo) si = / l l ( 1+ i) = l l ( ) l 1+ i = 3 1, l ( 1+ i) = 3 l 1+ = 0, ( i) ( i) ( 1+ i) = ( + i) = e 0, , i = 1, i = 0, = 44, 22% Ejercicio 2 Determie el valor de (úmero de períodos) si so meses y ( ) , 05 = ( ) log log 1+ 0, 05 = log log( 1+ 0, 05) = log log1.000 log(1, 05) = 3, , ( 0, ) = 0, , = 0, = 32, meses

26 Ejercicio 3 Determie el valor de (úmero de períodos) si está e trimestres y ( ) 1+ 0,18 1 = 10 0,18 ( ) 1+ 0,18 1 = 10 0,18 ( ) 1 + 0,18 1 = 1,8 ( ) 1 + 0,18 = 1,8 + 1 ( ) 1,18 = 2,8/ l l1,18 = l 2,8 l 2,8 = l1,18 1, = 0, = 6, = 6, 22 pagos trimestrales De maera de compreder de forma más didáctica el uso de logaritmo se preseta la siguiete figura y las relacioes fudametales para la resolució de problemas de matemática fiaciera: Relacioes fudametales: x I. Le = x x II. y = e x = Ly III. LM x xlm

27 UNIDAD II: CÁLCULOS FINANCIEROS BÁSICOS APRENDIZAJE ESPERADO: 6. Resuelve problemas cotidiaos y de la especialidad co fudametos de iterés simple, demostrado capacidad para calcular, evaluar y decidir alterativas fiacieras e casos secillos, co apoyo de calculadora cietífica. Es fudametal señalar que, desde el puto de vista teórico, existe dos tipos de iterés el Simple y el Compuesto. Pero detro del cotexto práctico el iterés compuesto es el que se usa e todas las actividades ecoómicas, comerciales y fiacieras. El iterés simple, por o capitalizar itereses, resulta siempre meor al iterés compuesto, puesto que la base para su cálculo permaece costate e el tiempo, a diferecia del iterés compuesto. El iterés simple es utilizado por el sistema fiaciero iformal, por los prestamistas particulares y predarios. E este apredizaje, se desarrollará los coceptos básicos del iterés simple. Coceptos fudametales Es importate, ates de ahodar e coceptos de más específicos de matemáticas fiacieras, que se compreda el cocepto de úmero de períodos e u año y períodos de capitalizació de los itereses. Número de períodos: El úmero de períodos puede ser meor a u año, es decir, días, meses, trimestres, semestres, bimestres o periodos bimesuales. Es importate eteder este tipo de preguta: cuátos períodos mesuales hay e u año? 12 períodos. Cuátos períodos diarios existe e u año? La respuesta es 360 o 365 si so días Comerciales o Días caledario (iterés exacto). Cuátos períodos trimestrales hay e u año? 4 períodos. Los períodos tambié puede ser superiores a u año, puede ir desde u año hasta INFINITO. Número de períodos e u año: Normalmete los períodos se simboliza co la letra y e u año se tiee los siguietes períodos: Períodos e u año Períodos diarios = 360 o 365 Períodos mesuales = 12 Períodos trimestrales = 4 Períodos semestrales = 2 Períodos bimesuales = 24 Períodos bimestrales = 6

28 E ejercicios posteriores se verá que los ateriores períodos puede ser de Capitalizació de Itereses y ellos adquiere ua cootació muy importate. Composició de los períodos 1 año = 12 meses = 360 días comerciales 1 mes = 30 días 1 trimestre = 4 meses = 120 días 1 semestre = 6 meses = 180 días 1 bimestre = 2 meses = 60 días Regla Fudametal de Matemática Fiaciera Siempre que se resuelva u problema de Matemáticas Fiacieras, es absolutamete ecesario poer e igualdad de codicioes, la tasa de iterés y el período de capitalizació de los itereses. Por ejemplo, si el período de capitalizació de los itereses está e trimestres, la Tasa de Iterés debe estar e trimestres; si el período de capitalizació de los Itereses está e meses, la Tasa de Iterés debe estar tambié e meses. Iterés Simple Es aquel que se paga al fial de cada período y, por cosiguiete, el capital prestado o ivertido o varía y, por la misma razó, la catidad recibida por iterés siempre va a ser la misma, es decir, o hay capitalizació de los itereses. La falta de capitalizació de los itereses implica que co el tiempo se perdería poder adquisitivo y al fial de la operació fiaciera, se obtedría ua suma total o equivalete a la origial, por lo tato, el valor acumulado o será represetativo del capital pricipal o iicial. El iterés a pagar por ua deuda, o el que se va a cobrar de ua iversió, depede de la catidad tomada e préstamo o ivertida y del tiempo que dure el préstamo o la iversió, el iterés simple varía e forma proporcioal al capital (VA o VP o C) y al tiempo (). E otros térmios se defie el Iterés Simple cuado los Itereses causados y o retirados NO gaa Iterés sobre Iterés. Por lo tato, el Iterés Simple se puede calcular de acuerdo a la siguiete relació: Dode: C = Capital, valor presete o valor actual. I = C i i = Tasa de iterés e tato por uo y/o decimal. = Tiempo.

29 Tipos de Iterés Simple El iterés se llama ordiario o comercial cuado se usa para su cálculo 360 días al año, mietras que será exacto si se emplea 365 o 366 días depediedo si el año es o o bisiesto. E realidad, se puede afirmar que existe cuatro clases de iterés simple, depediedo si para el cálculo se usa 30 días al mes, o los días que señale el caledario. Ejemplo Ua persoa recibe u préstamo por la suma de $ para el mes de marzo, se cobra ua tasa de iterés de 20% aual simple. Calcular el iterés (I), para cada ua de las clases de iterés simple. I. Iterés ordiario co tiempo exacto. E este caso, se supoe u año de 360 días y se toma los días que realmete tiee el mes segú el caledario. Este iterés se cooce co el ombre de iterés bacario; es u iterés más costoso y el que más se utiliza I = C i = $ = $3.444, II. Iterés ordiario co tiempo aproximado. E este caso, se supoe u año de 360 días y 30 días al mes. Se cooce co el ombre de iterés comercial, se usa co frecuecia por facilitarse los cálculos mauales por la posibilidad de hacer simplificacioes I = C i = $ = $3.333, III. Iterés exacto co tiempo exacto. E este caso se utiliza 365 o 366 días al año y mes segú caledario. Este iterés se cooce comúmete co el ombre de iterés racioal, exacto o real, mietras que las otras clases de iterés produce u error debido a las aproximacioes; el iterés racioal arroja u resultado exacto, lo cual es importate, cuado se hace cálculos sobre capitales grades, porque las diferecias será sigificativas cuado se usa otra clase de iterés diferete al racioal. I = C i = $ = $3.397, IV. Iterés exacto co tiempo aproximado. Para el cálculo de este iterés se usa 365 o 366 días al año y 30 días al mes. No se le cooce ombre, existe teóricamete, o tiee utilizació y es el más barato de todos. I = C i = $ = $3.287, Desvetajas del Iterés Simple Se puede idicar que existe tres desvetajas básicas: a) Su aplicació e el mudo de las fiazas es limitado. b) No cosidera el valor del diero e el tiempo, por cosiguiete, el valor fial o es represetativo del valor iicial. c) No capitaliza los itereses o pagados e los períodos ateriores y, por cosiguiete, pierde poder adquisitivo.

30 Criterio 2.1. Calcula moto utilizado iterés simple co ayuda de la calculadora cietífica. Se deomia Moto o Valor Futuro a la suma de capital iicial (valor presete o valor actual), más el iterés simple gaado, se simboliza mediate la letra M o VF. Por cosiguiete: Dode: M = Moto o valor futuro. C = Capital, valor actual o valor presete. = Período. i = Tasa de iterés e %. ( 1 100) M= C + i Ejercicio 1 Determie el moto de ua iversió de $ , e 5 años, a ua tasa del 25% aual. C = $ i = 25% aual = 5 años Reemplazado e la fórmula de moto se obtiee: 25 M = $ M = $ , 25 M = $ ( ) ( ) M = $ , 25

31 Ejercicio 2 U comerciate adquiere u lote de mercacía co valor de US$3,500 que acuerda liquidar mediate u pago imediato de US$1,500 y pagos durate 4 meses por el resto. Acepta pagar 10% de iterés aual simple sobre el saldo. Cuáto deberá pagar detro de 4 meses? C = US$3,500 US$1,500 = US$2, 000 i = 10% aual 4 1 = 4 meses aual = aual 12 3 Reemplazado e la fórmula de moto se obtiee: M M M M 1 10 = US$2, = US$2, , ( ) ( ) = US$2, 000 1, = US$2, Ejercicio 3 Ua persoa deposita $ e u fodo mutuo que garatiza u redimieto de 0,8% mesual. Si retira su depósito 24 días después, Cuáto recibirá? C = $ i = 0,8% mesual = 24 días mes 4 5 mes M Reemplazado e la fórmula de moto se obtiee: 4 0,8 M = $ M = $ ( 1+ 0, 0064) M = $ ( 1, 0064) M = $

32 Criterio 2.2. Calcula capital e iterés utilizado iterés simple co ayuda de la calculadora cietífica. El Capital, Valor Presete o Valor Actual, es la catidad de diero que ivertida hoy a ua tasa de iterés dada producirá el moto M. E otras palabras el capital es la suma de diero prestada, ivertida, ahorrada el día de hoy. El Iterés como se mecioó, es el redimieto dado e Pesos ($), por u determiado capital o por ua determiada iversió cuado permaece por u determiado período de tiempo. Tambié el iterés puede ser pagado por ua deuda a ua tasa acordada. Por tato, las fórmulas para determiar el Capital so: M I M C C = C = = + i i i ( 1 ) ; Las fórmulas para determiar el Iterés so: Ejercicio 1 I = C i ; I = M C Ua empresa costructora se fija como meta gaar u iterés de $ e u período de dos años y medio. Cuál debe ser el capital iicial a depositar, sabiedo que puede obteer ua tasa del 1% trimestral? I = $ i = 1% trimestral = 2,5 años = 10 trimestres 1 año 4 trimestres 2,5 años x trimestres 2,5 años 4 trimestres x = = 10 trimestres 1 año Reemplazado e la fórmula de Capital I C = se obtiee: i $ $ C = = = $ ,1 100

33 Ejercicio 2 Ua persoa obtiee u préstamo e u baco por $1.000 milloes de pesos aceptado u cobro de ua tasa de iterés simple del 24% aual Cuál es el iterés geerado al tercer año? C = $1.000 milloes i = 24% aual = 3 años Reemplazado e la fórmula de Iterés se obtiee: 24 I = $ = $ Ejercicio 3 A cuáto asciede los itereses gaados por u capital que ivertido durate 8 meses al 4% de iterés mesual alcazó u moto de US$3,000? E este ejercicio se ecuetra dos icógitas Iterés y Capital, por lo que se debe ocupar dos fórmulas. I =? C =? = 8 meses i = 4% mesual M = US$3, 000 Reemplazado e las siguietes fórmulas se obtiee: ( 1 ) M = C + i M US$3, 000 C = = = US$2, ( 1+ i ) I = M C I = US$3, 000 US$2, I = US$727.27

34 Criterio 2.3. Calcula plazo y tasa de iterés co ayuda de la calculadora cietífica. El plazo es el tiempo o período de tiempo durate el cual el diero ha permaecido prestado y/o ivertido. Las fórmulas para su cálculo so: I M C = = C i C i De la misma maera, la tasa de iterés es el moto de diero que se expresa e porcetaje (%), mediate el cual se paga por el uso del diero por parte de quie lo haya recibido. Su fórmula es: I M C i = = C C Ejercicio 1 E cuátos meses u capital de $ geera u iterés de $ co ua tasa de iterés simple de u 5% semestral? =? meses C = $ I = $ i = 5% semestral $ = = 48 meses 5% $ Ejercicio 2 Ua persoa compró u equipo e eero del año pasado e ua súper oferta e $ y lo vedió 17 meses después e $ Qué tasa de iterés simple aual le ridió su iversió? C = $ M = $ = 17 meses i =? M= C (1 + i ) 17 $ = $ i 12

35 $ = 1+ i $ $ = 1+ i $ , = i , = i (0, ) 100 = i 17 i = 22, 08% Ejercicio 3 Ua persoa compra u LED de última geeració e US$1,500. Paga u pie de US$800 y acuerda pagar los US$750 restates tres meses después. Qué tasa de iterés simple pagó? C = US$1,500 US$800 = US$700 = 3 meses 3 12 M = US$750 I = US$750 US$700 = US$50 US$50 i = ,57% aual 3 = US$700 12

36 APRENDIZAJE ESPERADO: 7. Resuelve problemas cotidiaos y de la especialidad, aplicado iterés simple etoro al valor futuro y presete, recargo y descueto comercial, co apoyo de calculadora cietífica. El descueto es ua operació de crédito llevada a cabo pricipalmete por istitucioes bacarias, que costa e que estas adquiere letras de cambio o pagarés, de cuyo valor omial descueta ua suma equivalete a los itereses que devegaría el documeto etre la fecha e que se recibe y la fecha del vecimieto. Co esta operació se aticipa el valor actual del documeto. 4 Existe básicamete dos formas de calcular el descueto: 1. El descueto comercial. 2. El descueto real o justo. Las fórmulas de cálculo so: descueto = D D= M d y M = C+ D Dode, M = valor o mi al o moto origial a pago d = tasa de descueto = tiempo Otra forma es; C d D = 1 d Para determiar la tasa de descueto la fórmula es: M Ma d = 100 M M = valor o mi al o moto origial a pago M a = moto pagado aticipado = tiempo El recargo comercial es u icremeto de u porcetaje sobre el valor de u pago o cobro que se realiza, geeralmete, por mora de los mismos co el fi de pealizar el icumplimieto e fecha de la obligació asumida, tambié se aplica al pagar a crédito. Por tato, pagar co recargo es adicioarle al precio de cotado ua suma de diero que represeta e porcetaje la catidad que se suma por mora e el pago. Este cocepto se represeta como: Pr ecio Total = Valor al cotado + Rec arg o 4 A. Díaz, Matemáticas fiacieras, México, McGraw-Hill, 2008.

37 Criterio 2.7. Calcula recargo y descueto comercial utilizado iterés simple, co ayuda de la calculadora cietífica. Ejercicio 1 Si u baco realiza operacioes de descueto al 20% aual, y ua persoa debe pagar u pagaré el día 15 de agosto de este año por $ , este valor devegará itereses (descueto) durate los 2 meses e que se adelata el valor del documeto. Determie el descueto y el valor aticipado a pagar. D= M d M = $ d = 20% aual = = 0, = 2 meses = 2 12 = 1 6 D = $ , 2 ( 1 6) D = $6.166, 67 Valor o mi al = $ Descueto = $6.166, 67 Valor aticipado = $ ,33 Ejercicio 2 U comerciate cacela a u distribuidor ua letra de $ co 60 días de aticipació y paga por ella $ Qué tasa de descueto mesual le aplicaro? M Ma d = 100 M d =? mesual M = $ M a = $ = 60 días = 2 meses $ $ d = 100 $ d = 2,3% mesual

38 Ejercicio 3 Ua computadora tiee u precio de $ , si se paga e efectivo tiee u descueto del 15%, y si se compra co tarjeta de crédito tiee u recargo del 20%. Determie el precio co recargo que tedrá que cacelar el cliete si paga co tarjeta. Porcetaje recarg o = 20% = = 0, 2 Valor de recarg o = $ , 2 = $ Pr ecio Total = $ $ Pr ecio Total = $ APRENDIZAJE ESPERADO: 8. Resuelve problemas cotidiaos y de la especialidad utilizado iterés compuesto co ayuda de calculadora cietífica. El iterés compuesto, es aquel dode el capital cambia al fial de cada período, debido a que los itereses se adicioa al capital para formar u uevo capital deomiado moto y sobre este moto volver a calcular itereses, es decir, hay capitalizació de los itereses. E otras palabras, es ua operació fiaciera e la cual el capital aumeta al fial de cada período por la suma de los itereses vecidos. La suma total obteida al fial se cooce co el ombre de moto compuesto o valor futuro. A la diferecia etre el moto compuesto y el capital origial se le deomia iterés compuesto. El iterés compuesto es más flexible y real, ya que valora período a período el diero realmete comprometido e la operació fiaciera y por tal motivo es el tipo de iterés más utilizado e las actividades ecoómicas. Por último, es coveiete reafirmar que el iterés compuesto se utiliza e la Igeiería Ecoómica, Matemáticas Fiacieras, Evaluació de Proyectos y, e geeral, por todo el sistema fiaciero chileo. Criterio Calcula tasa efectiva y tasa omial utilizado iterés compuesto co ayuda de la calculadora cietífica. Como se mecioó, la tasa efectiva es aquella que mide el costo real de u crédito o la retabilidad efectiva de ua iversió y resulta de capitalizar la tasa omial. De otra forma, cuado se realiza ua operació fiaciera, esta se pacta a ua tasa de iterés aual que rige durate el tiempo que dure la operació, que se deomia tasa omial de iterés. Si embargo, si el iterés se capitaliza e forma semestral, trimestral, etc., la catidad efectivamete pagada o gaada es mayor que si se compoe e forma aual. Cuado esto sucede, es posible determiar ua tasa efectiva aual. Por lo tato, dos tasas de iterés auales co diferetes períodos de capitalizació será equivaletes si al cabo de u año produce el mismo iterés compuesto.

39 La fórmula para determiar la tasa efectiva es: Cuadero de Apredizaje 2014 i e m j = m Dode: ie = tasa efectiva j = tasa de it erés aua l o mi al m = úmero de periodos de capitalizació al año La ecuació para determiar la tasa omial j coociedo la tasa efectiva es: 1 m i j = m 1 e Dode: ie = tasa efectiva j = tasa de it erés aua l o mi al m = úmero de periodos de capitalizació al año Ejercicio 1 Cuál es la tasa efectiva de iterés aual correspodiete a ua tasa de iterés aual omial del 43,5% co capitalizació mesual? j = 43,5% m = 12 meses m j Reemplazado e ie = m 12 43,5% ie = ie = ( 1+ 0, 03625) ie = ( 1, ) ie = [ 0, ] 100 i = 53,3% aual e se tiee:

40 Ejercicio 2 Cuál es la tasa efectiva de iterés que se recibe de u depósito bacario de $ acordado a u 18% de iterés aual covertible mesualmete? C = $ j = 18% m = 12 meses Para la resolució de este ejercicio se debe coocer la fórmula de moto para iterés compuesto, reemplazado e ella se ecuetra su resultado. Para este tipo de ejercicio se utilizará la siguiete fórmula de moto para iterés compuesto: M j = C 1+ m 100 m Reemplazado e la fórmula aterior se obtiee: M M M M 18% = $ ( ) ( ) = $ , 015 = $ , = $ Calculado el moto se puede calcular el iterés y la tasa efectiva de iterés. I = M C Por lo tato, I I = $ $ = $ Dode; I i = 100 C I $ i = = 100 C $ i = 19,56% Por tato, la tasa efectiva de iterés es de 19,56%

41 Ejercicio 3 Determie la tasa omial aual. j covertible semestralmete que produce u redimieto del 27% j =? i e = 27% aual m = 2 semestres Reemplazado e ( 27% ) 1 m i j = m 1 e j = j = 2 ( 1+ 0, 27) j = 2 ( 1,126943) j = 2 [ 0,126943] 100 j = 25,39% se obtiee: Criterio Calcula tasa de iterés simple, equivalete a ua tasa de iterés compuesto, co ayuda de la calculadora cietífica. Para realizar esta equivalecia es ecesario igualar los motos del iterés simple e iterés compuesto. Por tato, se tiee: Moto Iterés Simple M = C f = Capital fial f i ( 1 ) C = C + i Dode: C f = Moto Ci = Capital i = tasa it erés aual = úmero de años Si la capitalizació o es aual la fórmula queda de la siguiete forma: Cf = Ci 1+ ik k

42 Dode k es el úmero de períodos de capitalizació e u año. Por cosiguiete: Cuátos semestres hay e u año? k = 2 Cuátos trimestres hay e u año? k = 4 Cuátos meses hay e u año? k = 12 Moto Iterés compuesto M = C f = Capital fial f i ( 1 ) ( 1 ) C = C + i k Cf = Ci + ik = 5 años k = 4 trimestres e u año i = 9% compuesto Dode: C f = Moto Ci = Capital i = tasa it erés aual = úmero de años Si la capitalizació o es aual la fórmula queda de la siguiete forma: ( 1 ) C = C + i f i k Ejercicio 1 k Determie la tasa de iterés simple equivalete al 9% compuesto co capitalizació trimestral e 5 años. = 5 años k = 4 trimestres e u año i = 9% compuesto Igualado los + i = 1+ k 1 k C f de ambos itereses se tiee: ( ) i k k

43 5 1+ i Simple 4 i Simple simple ( ) 5 4 = 1+ 0,09 5 = 1, i = ( ) 1, i simple = 0, i simple = 9,1% Ejercicio 2 Cuadero de Apredizaje 2014 Determie la tasa de iterés simple equivalete al 15% de iterés compuesto aual e 9 años. = 9 años i = 15% compuesto ( 1 i Simple 9) + = ( 1+ 0,15) 9 i simple 3, = = 0, i simple = 28% Ejercicio 3 Determie la tasa de iterés simple equivalete al 10% compuesto co capitalizació mesual e 3 años. = 3 años k = 12 meses e u año i = 10% compuesto 3 1+ i Simple 12 Simple ( ) 3 12 = 1+ 0,1 i ( ) 12 = 1,

44 isimple = 0, isimple = 9,6% Criterio Calcula tasa de iterés compuesto, equivalete a ua tasa de iterés simple, co ayuda de la calculadora cietífica. Ejercicio 1 Calcule la tasa de iterés compuesto co capitalizació cuatrimestral equivalete al 18% de iterés simple e 7 años. = 7 años k = 3 cuatrimestres e u año i = 18% simple Reemplazado = 1+ 0,18 3 ( icompuesta ) ( 1 + icompuesta ) = ( 1, 42 ) / ( ) i i compuesta compuesta Ejercicio ( ) 3 7 = 1, 42 1 = 16,2% Determie la tasa de iterés compuesto aual equivalete al 14% de iterés simple a 8 años. = 8 años i simple = 14% 8 ( 1+ icompuesta ) = ( 1+ 0,14 8) 8 1 ( 1+ icompuesta ) = ( 2,12 ) / ( ) i i i compuesta compuesta compuesta ( ) 1 8 = 2,12 1 = 0, = 9,85% 8

45 Ejercicio 3 Calcule la tasa de iterés compuesto co capitalizació semestral equivalete al 15% de iterés simple e 4 años. = 4 años k = 2 semestres e u año i = 15% simple Reemplazado = 1+ 0,15 2 ( icompuesta ) 2 ( 1+ icompuesta ) = ( 1, 3 ) / ( ) i i i compuesta compuesta compuesta ( ) 1 2 = 1, 3 1 = 0, = 14, 02% 1 2 APRENDIZAJE ESPERADO: 9. Opera co fudametos de iterés compuesto, demostrado capacidad para calcular, evaluar y decidir alterativas fiacieras e casos secillos, co apoyo de calculadora cietífica. El objetivo de este apredizaje es que el alumo compreda, aplique los coceptos de iterés compuesto y los diferecie respecto al iterés simple, dode e este último el capital iicial sobre el que se calcula los itereses permaece ivariable. E cambio, e el iterés compuesto, los itereses que se va geerado se suma al capital origial o pricipal e períodos establecidos y, a su vez, geera u uevo iterés adicioal e el siguiete período. Por tato, e el iterés compuesto se está e presecia de capitalizació de los itereses. Criterio Calcula moto utilizado iterés compuesto co ayuda de la calculadora cietífica. Moto compuesto Es el resultado que se obtiee al sumar al capital origial el iterés compuesto. Si se dispoe de u capital C y se ivierte e ua istitució fiaciera y se desea coocer el moto M del cual se dispodrá al fial del período, solo debe agregarse el iterés I geerado. La fórmula del moto del iterés compuesto es: M i = C 1+ k k

46 Es importate hacer hicapié e el periodo de capitalizació ( k ), dode el iterés puede ser covertido e capital aual, semestral, trimestral, bimestral, mesual, etre otros. Al úmero de veces que el iterés se capitaliza durate u año se le deomia frecuecia de coversió. Por ejemplo, determie la frecuecia de coversió ( k ) de u depósito bacario que ride u 7% de iterés capitalizable trimestralmete. Nota importate: e Matemática Fiaciera, cuado se omite el período de la tasa, siempre se está hablado de ua tasa aual, e caso cotrario, se debe idicar la capitalizació de esta. Del ejemplo aterior se obtiee que la frecuecia de coversió es: U año 12 meses = = 4 = k U trimestre 3 meses Ejercicio 1 Determie el moto acumulado de $ que se deposita e u fodo mutuo que ride u 15% aual capitalizable mesualmete al cabo de dos años. M =? C = $ i = 15% k = 12 = 2 años i M = C + k Reemplazado e 1 k se obtiee: M 15% = $ M 15% = $ ( ) 24 M = $ , 0125 M = $ , M = $67.368

47 Ejercicio 2 Ua persoa deposita $ e el baco IXAEB durate 260 días a ua tasa de iterés compuesto aual del 7% capitalizable mesualmete cuáto diero retirará al térmio de los 260 días? C = $ = 260 días = meses k = 12 meses i = 7% i M = C + k Reemplazado e 1 k se obtiee: M M M M 7% = $ ( ) = $ , = $ , = $ , Ejercicio 3 Se ivierte $ a ua tasa del 20% aual capitalizable bimestralmete. Determie el moto que se obtiee e 3 años y 6 meses. C = $ i = 20% aual k = 6 bimestres e u año 6 meses = 3 años 6 meses = ( 3 6 bimestres) + = 21 bimestres 2 meses i M = C + k Reemplazado e 1 20% M = $ M = $ ( 1, ) M = $ , M = $ k se obtiee:

48 Criterio Calcula capital e iterés utilizado iterés compuesto co ayuda de la calculadora cietífica. El valor actual o capital es el valor de u documeto, bie o deuda, ates de la fecha de su vecimieto, cosiderado determiada tasa de iterés. La expresió valor actual sigifica el valor de u pago futuro e ua fecha determiada ates del vecimieto. Valor actual, valor e el mometo presete de los beeficios o de los costos del futuro, actualizados al costo de oportuidad o de sustitució del capital. 5 La fórmula de capital se deriva del moto a iterés compuesto: ( ) M = C 1 + i, de dode se despeja C : La fórmula de iterés compuesto es: C = M ( 1+ i) Ejercicio 1 ( ) I = C 1+ i 1 o I = M C Determie la catidad de diero que recibe ua compañía e calidad de préstamo si firmó u documeto por $ que icluye capital e itereses a u 18% covertible trimestralmete y tiee vecimieto e 18 meses. Cuáto paga de iterés e los 18 meses? C =? M = $ i = 18% k = 4 trimestres = 18 meses = 18 3 = 6 trimestres Reemplazado C = M ( 1+ i) se obtiee: $ $ $ C = = = = $ % 6 ( 1,045) 6 1, I = M C I = $ $ I = $ A. Mora, Matemáticas fiacieras, México, Alfaomega, 2009.

49 Ejercicio 2 Ua empresa costructora desea comprar u terreo evaluado e US$350,000, le pide que etregue u 40% de aticipo y el resto e dos años y medio. Cuáto debe depositar la empresa e el baco el día de hoy para poder garatizar la liquidació de su deuda, si la tasa vigete es de u 30% aual capitalizable trimestralmete? Cuáto pagó de iterés la costructora? M = Deuda = US$350, 000 0, 6 = US$210, 000 k = 4 6 meses = 2 años 6 meses = ( 2 4) + = 10 trimestres 3 meses i = 30% aual Reemplazado C = M ( 1+ i) se obtiee: US$210, 000 US$210, 000 C = = = US$101, ( 1,075) I = M C I = US$210, 000 US$101,891 I = US$108,109 Ejercicio 3 Cuáto se debe depositar e u baco si se desea teer u moto de $ detro de 3 años y la tasa de iterés ofrecida es de u 20% aual covertible semestralmete? Cuáto es el iterés gaado co esta tasa? C =? M = $ = 3 años ( 6 semestres) i = 20% aual k = 2 semestres e u año Reemplazado C = M ( 1+ i) se obtiee:

50 $ $ $ C = = = = $ ( 1+ 0,1) 1, I = M C I = $ $ I = $ Criterio Calcula plazo y tasa de iterés co ayuda de la calculadora cietífica. Para determiar la fórmula de plazo o tiempo, esta se deriva de la ecuació de moto. ( 1 ) M = C + i, luego M C ( 1 i) = +, aplicado l o log se obtiee: M l = l 1 + C ( i) Por tato; M l C = l 1 ( + i) Para determiar la tasa de iterés coociedo las otras variables, se despeja de la fórmula de moto. ( 1 ) M = C + i, luego M ( 1 i), C = + aplicado raíz de M C M C = 1+ i 1 = i Por tato: M i = C Al ser ua tasa de iterés se multiplica por 100, para que el resultado quede e porcetaje.

51 Ejercicio 1 Determie la catidad de años que ua persoa deberá dejar u depósito de $ e ua cueta de ahorros que reta u 8% semestral, para obteer e el futuro $ = Cuátos años? C = $ i = 8% semestral (1 año = 2 semestres) M = $ Reemplazado e M l C = l 1 ( + i) se obtiee: $ l $ = l ( + ( ) ) l ( 2,5) ( + ) = l 1 0,16 ( ) ( ) l 2,5 = l 1,16 0, = = 6, 2 6 años 0, Ejercicio 2 Determie la tasa de iterés aual, a la que debe ivertirse $ para que e 5 años más se obtega u moto de $ i =? aual C = $ M = $ = 5 años Reemplazado e M i = C se tiee:

52 $ i = $ i = ( 5 1, ) 100 i = 7,7% aual Cuadero de Apredizaje 2014 Ejercicio 3 A qué tasa de iterés se debe depositar $ para dispoer de $ e u plazo de 5 años. Cosiderado que los itereses se capitaliza trimestralmete. i =? aual C = $ M = $ = 5 años k = 4 (4 trimestres e u año) Reemplazado e M i = k C = i 20 i = ( 3, ) (( ) 20 ) ( 1, ) 100 i = 3, i = i = 0, i = 6,20% se tiee:

53 APRENDIZAJE ESPERADO: 10. Recooce los distitos tipos de cálculos fiacieros demostrado capacidad para evaluar y decidir alterativas fiacieras e casos secillos. E este apredizaje esperado se itroduce al lector al cocepto de aualidades, termiología y tipos, permitiédole recoocer, compreder y saber solucioar este tipo de cálculo fiaciero, el cual se observa e forma diaria e la vida real. Criterio Idetifica correctamete ua aualidad para evaluar distitas alterativas. Qué es ua Aualidad? Ua aualidad es ua serie de pagos iguales que se percibe a itervalos iguales o fijos de tiempo, icluso para períodos iferiores a u año. Ejemplos de aualidades so: 1. Pago mesual por arriedo de ua casa o departameto. 2. Pago mesual de ua cuota e ua tieda comercial. 3. Cobro mesual o quiceal de sueldos. 4. Pagos mesuales de ua cuota de crédito bacario. Termiología Período de pago o itervalo: es el tiempo que trascurre etre u pago y otro. Plazo: es el tiempo que pasa etre el iicio del primer período de pago y el fial del último. Reta: es el ombre que se da al pago periódico que se hace. Valor actual o capital de la aualidad: es el valor total de los pagos e el mometo presete. Moto: es el valor de todos los pagos al fial de la operació. Esquemáticamete ua aualidad se observa de forma siguiete: Reta Pago Pago Pago Pago Período de pago Plazo de la aualidad Reta aual: suma de pagos efectuados e u año La compresió de las aualidades permitirá:

54 1. Calcular el moto de ua iversió cuado se hace depósitos periódicos de ua misma catidad. 2. Calcular el pago periódico de ua deuda. 3. Calcular el valor actual de ua serie de flujos de efectivo. 4. Determiar el plazo para cacelar u compromiso fiaciero. Tipos de aualidades Coforme a los diferetes elemetos que participa e las aualidades hace que exista diferetes tipos de ellas. Por lo aterior, se clasifica de acuerdo co diversos criterios. 6 Criterio 1. Tiempo 2. Itereses 3. Pagos 4. Iiciació Tipos de Aualidades Ciertas: las fechas so fijas y se estipula de atemao. Ejemplo: letras de pago por la compra de u auto. Cotigetes o Perpetuas: las fechas del primer pago o del último o se fija de atemao, porque depede de u hecho que o se sabe cuádo ocurrirá. Ejemplo: reta vitalicia a u cóyuge al fallecer el otro. Simples: cuado el período de pago coicide co el de capitalizació de itereses. Ejemplo: pago de reta mesual y capitalizació mesual de itereses. Geerales: el período de pago o coicide co el período de capitalizació. Ejemplo: pago de reta semestral y capitalizació mesual Vecidas u ordiaria: se trata de casos e los que los pagos se efectúa a su vecimieto. Ejemplo: pago de luz, sueldos, etre otros. Aticipadas: los pagos se realiza al pricipio de cada período. Ejemplo: pago de arriedo. Imediatas: la realizació de los cobros o pagos tiee lugar e el período que sigue imediatamete a la formalizació del trato. Ejemplo: compra a crédito de algú artículo, dode la primera cuota se paga e ese mometo o u mes después de adquirida (aticipada o vecida). Diferidas: se acuerda que al adquirir algú artículo a crédito, la primera de las mesualidades se hará, por ejemplo, 3 meses después. 6 A. Díaz, Matemáticas fiacieras, México, McGraw-Hill, 2008.

55 De acuerdo co las ateriores clasificacioes se puede distiguir diversos tipos de aualidades: De estos 16 tipos de aualidades, el más comú es el de las simples, ciertas, vecidas e imediatas. A cotiuació se preseta gráficamete las aualidades más utilizadas. Aualidades ordiarias o vecidas: So aquellas e las que el depósito, pago o reta y la liquidació de itereses se realiza al fial de cada período: pago de cuotas mesuales por créditos. R R R R R R Aualidades aticipadas: So aquellas e las que el depósito, pago y la liquidació de itereses se hace al pricipio de cada período: pago de arriedo. R R R R R R

56 Aualidades diferidas: So aquellas cuyo plazo comieza después de trascurrido determiado itervalo de tiempo establecido: préstamos co períodos de gracia. Periodo de gracia R R R R Las variables que iterviee e este tipo de aualidades so: R = Re ta o pago por periodo. i = Tasa de it erés por perido de capitalizació. = Número de pagos. = ( de t ) = Valor actual o Capital de la aualidad ( valor total de los pagos e el mometo presete) M Moto de la aualidad valor odos los pagos al fial de la operació C Criterio Muestra la diferecia etre el cálculo de las distitas formas de aualidades. Aualidades Vecidas: So aquellas e las que la serie de flujos de caja se realiza al fial de cada período, por ejemplo, el salario mesual de u trabajador, e geeral las cuotas mesuales e iguales que se geera e todo tipo de trasaccioes comerciales, como la compra de vehículos, electrodomésticos, etre otros. Moto de ua aualidad vecida: Es la catidad o valor ubicado e el último flujo de caja, equivalete a todos los flujos de caja costates y periódicos de la serie. Matemáticamete, es el valor fial que se obtiee al sumar todos los valores llevados al futuro. Figura 10.1: Represetació gráfica del moto de ua aualidad, Mora (2009) Fórmula: M (1 + i) -1 = R i Reta de ua aualidad vecida: se cooce como reta al pago periódico que se realiza a itervalos iguales. Fórmula de reta e fució del capital: C i R = 1 (1 + i)

57 Fórmula de reta e fució del moto: Cuadero de Apredizaje 2014 M i R = (1 + i) 1 Capital o valor actual de ua aualidad vecida: Es ua catidad o valor localizado u período ates a la fecha del primer pago, equivalete a ua serie de flujos de caja iguales y periódicos. Matemáticamete, se puede expresar como la suma de los valores presetes de todos los flujos que compoe la serie. Fórmula: Figura 10.2: Represetació gráfica del valor actual ua aualidad, Mora (2009) Plazo de ua aualidad vecida: el plazo o tiempo de ua aualidad se calcula por medio del úmero de periodos de pago. Fórmula de plazo e fució del capital: 1 (1 + i) C = R i 1 log ic 1 R = log 1 ( + i) Fórmula de plazo e fució del moto: M i log + 1 R = log 1 ( + i) Aualidades Aticipadas: So aquellas e las que la serie de flujos de caja se realiza al pricipio de cada período, por ejemplo, el pago mesual del arriedo de ua casa, ya que primero se paga y luego se habita e el imueble.

58 Moto de ua aualidad aticipada: Cuadero de Apredizaje 2014 Figura 10.3: Represetació gráfica del moto de ua aualidad aticipada, Mora (2003) Fórmulas: M + 1 (1 + i) -1 = R 1 i (1 + i) -1 M = R ( 1 + i) i Capital de ua aualidad aticipada: Figura 10.4: Expresió gráfica del valor actual de ua aualidad aticipada, (Mora 2009) Fórmula: 1 (1 + i) C = R 1 + i + 1) Reta de ua aualidad aticipada e fució del capital: = (1 + i) 1 + i Reta de ua aualidad aticipada e fució del moto: R C M R = 1 (1 + + i) -1 1 i Plazo de ua aualidad aticipada: C i log 1 + i R = 1 log 1 ( + i)

59 Aualidades diferidas: Las aualidades diferidas so aquellas e las que el iicio de los cobros o depósitos se pospoe para u período posterior al de formalizació de la operació. Moto de ua aualidad diferida: M (1 + i) -1 = R i Valor actual de ua aualidad diferida: Para el cálculo del capital e este tipo de aualidad, se utiliza la fórmula de capital de ua aualidad vecida, pero se debe cosiderar el iterés compuesto para los meses e que se aplazó el pago. 1 (1 + i) C = R i ( 1+ i) ( 1 ) M = C + i M C = Reta de ua aualidad diferida: E este caso, lo primero que se calcula es la deuda acumulada durate el período de gracias o meses de o pago, mediate la fórmula de iterés compuesto, y este valor se iguala a la siguiete fórmula. 1 (1 + i) C (1 + i) = R i Plazo de ua aualidad diferida: para el cálculo del plazo e este tipo de aualidad se platea la expresió matemática del capital de ua aualidad vecida y se despeja. 1 (1 + i) C = R i Aualidades perpetuas: Las aualidades perpetuas so aquellas cuado el úmero de pagos de ua aualidad es muy grade o cuado o se cooce co exactitud la catidad de pagos. Para el cálculo de esta aualidad se emplea las siguietes fórmulas. V p = A i M C = (1 + i)

60 APRENDIZAJE ESPERADO: 11. Resuelve problemas de retas aplicados e la vida cotidiaa y e la especialidad, co apoyo de calculadora. E este capítulo se resuelve problemas aplicados de las aualidades más utilizadas e la vida cotidiaa. Por tato, el alumo debe ser capaz de calcular: moto, reta, período de pago o plazo y capital de las aualidades idicadas. Criterio Resuelve problemas de reta que implique pagos vecidos y aticipados, co ayuda de la calculadora cietífica. Ejercicio 1 Ua persoa adquiere hoy, a crédito, ua computadora cuyo precio es de $ uidades moetarias y acuerda pagarla e 4 cuotas mesuales vecidas. Cuáto tedrá que pagar cada mes si le cobra u iterés mesual de 1,8%? R =? Capital o valor actual = $ i = 1,8% mesual = 0, 018 = 4 periodos mesuales Reemplazado e C i R = 1 (1 + i) se tiee: ( ) $ , ,50 R = = 4 1 (1, 018) 0, R = $5.161,67

61 Ejercicio 2 Ua persoa compra hoy u electrodoméstico de $ e ua tieda de u retail. Si esta tieda carga a este tipo de artefactos ua tasa de iterés del 22% aual capitalizable mesualmete, cuál será el valor de la cuota mesual para saldar su deuda detro de 15 meses? R =? Capital o valor actual = $ k = 12 i = 22% aual = mesual = 15 periodos mesuales Reemplazado e C i R = 1 (1 + i) se tiee: ( ) 15 ( ) $ ,3 R = = 1 ( ) 0, R = $7.685,84 Ejercicio 3 E ua tieda se vede ua bicicleta de motaña de competecia por US$1.800 dólares al cotado o mediate 5 cuotas mesuales aticipadas. Si el iterés que aplica la tieda es de 32,4% capitalizable mesualmete, calcule el valor del pago. R =? Capital o valor actual = US$1,800 k = 12 i = 32, 4% aual ( cuado se omite es aual) = 0, = 0,027 mesual = 5 periodos mesuales aticipados Reemplazado e R C = (1 + i) 1 + i se tiee:

62 US$1,800 US$1,800 R = = 1 (1 + 0, 027) 1 (1, 027) ,027 0, US$1,800 R = [ 4, ] R = US$ Criterio Resuelve problemas de reta temporal y perpetua co ayuda de la calculadora cietífica. Ejercicio 1 Para poder hacer retiros perpetuos de $300 mil cada bimestre, qué catidad se tedrá que depositar e este mometo, e u fodo de iversió que paga el 3.5% co capitalizació bimestral? Asúmase que el iterés o cambia. $300 P = = $51.428, 6 0,035 6 Ejercicio 2 Ua persoa deja ua herecia de US$ a su ieto Luis. Si este diero es ivertido al 1,25% mesual, cuál será la catidad máxima que se podrá retirar al fial de cada mes para que los retiros se efectúe de maera idefiida, siempre y cuado la tasa de iterés o dismiuya? Ejercicio 3 El señor Herádez deja $ de herecia a su hijo. Si este diero es ivertido al 23% aual, cuál será la catidad máxima que podrá retirar al fial de cada mes para que los retiros se efectúe de maera idefiida, siempre y cuado la tasa de iterés o dismiuya? ( ) R = P i = US$ , 25% 100 R = US$6, 250 ( ) R= Pi = $ % 1200 R = $ mesual

63 Criterio Resuelve problemas de reta diferida y cierta co ayuda de la calculadora cietífica. Ejercicio 1 Calcular el moto de ua reta semestral de $6.000 durate 7 años, si el primer pago semestral se realiza detro de 3 años y la tasa de iterés es de u 17% semestral. M =? R = $6.000 pagos semestrales i = 17% semestral = 0,17 = 14 pagos semestrales (1 + i) -1 M = R i 14 (1 + 0,17) -1 M = $ ,17 Reemplazado e M = $6.000 ( 47, ) = $ , 03 Ejercicio 2 Ua tieda, co su lema Compre ahora y Pague después, está vediedo u escritorio por el cual se debe realizar 12 pagos mesuales de $180 uidades moetarias a partir del 1 de eero del 2014 bajo ua tasa de iterés del 36% aual capitalizable mesualmete. Si el escritorio se compra el 1 de oviembre del 2013 Cuál es el valor al cotado del mueble? Estrategia de solució: Ua estrategia para calcular el valor del artículo para el 1 de oviembre del 2013, es determiar el valor actual de dichos pagos periódicos, si se cosidera que so vecidos (es decir que iicia u mes después) habremos calculado el valor presete para el 1 de diciembre de C =? R = 180 k = 12 i = 36% = 0,03 mesual = 12 pagos mesuales 1 (1 + i) C = R i

64 12 1 (1+ 0, 03) C = $180 0,03 C = $180 (9,954004) = $1.791, 72 Es decir, $1.791,72 sería el valor al 1 de diciembre del Por tato, lo que falta es calcular el valor actual de $1.791,72 u mes atrás, cuado se compró el escritorio. Para ello se utiliza la fórmula de Capital de Iterés compuesto. C = M ( 1+ i) $1.791, 72 C = = $1.739,53 ( 1, 03 ) 1 Por lo tato, el valor del artículo al 1 ro de oviembre de 2013 es de $1, bajo ua tasa de iterés del 36% aual capitalizable mesualmete co 12 pagos mesuales que se iicia el 1 ro de eero de Ejercicio 3 El valor al cotado de u mp4 es de $ Se puede adquirir a crédito mediate 6 pagos mesuales, el primero de los cuales debe realizarse 3 meses después de la compra. Si el iterés que se carga es de u 4% mesual, De cuáto debe ser los pagos? 2 1 (1 + i) $ (1, 04) = R i $ (1, 04) 2 Es el moto o valor futuro al térmio del segudo mes. Esta catidad equivale al valor de los pagos mesuales, plateado como ua Aualidad Vecida (1, 04) $ (1, 04) = R 0,04 R $ (1, 04) = 6 1 (1, 04) 0,04 2 $ (1, 0816) R = = $4.539,

65 Criterio Diferecia etre ua reta cierta y ua cotigete. Este tipo de aualidad está bajo u mismo criterio que es el tiempo, este se refiere a las fechas de iicio y térmio de las aualidades. Aualidad cierta: Sus fechas so fijas y se estipula de atemao. Ejemplo de esta es el realizar ua compra a crédito dode se fija tato la fecha e que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último. Puede ser aualidades vecidas o aticipadas, y de estas puede ser imediatas, diferidas o imediatas o diferidas respectivamete. Aualidad cotigete: la fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas, o se fija de atemao, depede de algú hecho que se sabe que ocurrirá, pero o se sabe cuádo. U caso comú de este tipo de aualidades so las retas vitalicias que se otorga a u cóyuge tras la muerte del otro. El iicio de la reta se produce al morir el cóyuge, pues se sabe que este morirá, pero o se sabe cuádo. Tambié puede ser aualidades vecidas o aticipadas, y de estas puede ser imediatas, diferidas o imediatas o diferidas respectivamete. Criterio Calcula el valor actual de ua reta perpetua imediata de pago vecido co ayuda de la calculadora cietífica. Ejercicio 1 Para proveer a perpetuidad los fodos para las reparacioes de u puete coloial de ua ciudad se estima que tedrá u costo aual de $91 milloes de pesos, 12 años después de ua reparació geeral. Cuáto se deberá colocar e el fodo al mometo de termiar la reparació geeral si la tasa de iterés de colocació del mercado es del 7% aual? Aualidad = $91 milloes i = 7% aual = 0, 07 $ P= V p 11 = = $ ,07 $ C = = $ (1, 07 ) Ejercicio 2 Hallar el valor actual de ua perpetuidad de $5.000, cuyo primer pago se hará detro de 6 meses, co tasa omial del 12% covertible mesualmete. $5.000 $5.000 P = = = $ , 01

66 $ C = = $ ,8 5 (1, 01) Ejercicio 3 Calcular el valor actual de ua reta perpetua de US$4,050 al año, a ua tasa de iterés del 9% aual. US$4.050 US$4.050 P = = = US$ ,09 APRENDIZAJE ESPERADO: 12. Opera co fudametos de amortizacioes e idicadores fiacieros, demostrado capacidad para calcular, evaluar y decidir alterativas fiacieras e casos secillos, co apoyo de calculadora cietífica. E este apredizaje esperado se etrega las herramietas para aalizar y compreder cómo se comporta los itereses, saldo, etre otras cuado se paga ua deuda a crédito de forma completa, es decir, la amortizació, la cual es la aplicació de las aualidades estudiadas. Al mismo tiempo, se etregará las herramietas fudametales para evaluar u proyecto de iversió y decidir si este es viable o o. Criterio Costruye cuadro de distitos tipos de Amortizació. Coceptos claves Amortizació: E las fiazas, la expresió amortizar se utiliza para deomiar u proceso fiaciero mediate el cual se extigue, gradualmete, ua deuda por medio de pagos periódicos, que puede ser iguales o diferetes. E la amortizació de ua deuda, cada pago o cuota que se etrega sirve para pagar los itereses y reducir el importe de la deuda. Amortizar es el proceso de cacelar ua deuda co sus itereses por medio de pagos periódicos. Tabla de amortizació Saldo isoluto: Cada vez que se hace u aboo, por ejemplo, al pagar u terreo, ua parte correspode al pago de la deuda y otra correspode al iterés que se hubiera pactado al realizar el cotrato. Al ir pagado e cada aboo ua parte del capital de la deuda, a la parte que aú se adeuda se le cooce como saldo isoluto y el iterés se calcula sobre el mismo. Coocer el saldo isoluto e cualquier operació crediticia es útil, por ejemplo, para liquidar o para refiaciar el total que se debe e cualquier istate.

67 Ua tabla de amortizació se observa de la siguiete forma, y depediedo del sistema de amortizació que se emplee, será la forma e que se deba completar. Periodo Reta Iterés Amortizació Saldo isoluto N Cálculo de la cuota o reta: E la amortizació cada reta o pago sirve para cubrir los itereses y reducir el capital, es decir, cada pago está compuesto por capital e itereses. La composició del pago o reta, auque es costate e su catidad, varía e fució del úmero de períodos de pago: mietras aumeta el úmero, dismiuirá el iterés y se icremetará el capital por cuota. E el esquema siguiete se observa de la amortizació. Figura 12.1: Comportamieto de ua amortizació, Mora (2009) Para el cálculo de la cuota o reta se utiliza la fórmula de la reta e fució del valor actual de ua aualidad vecida. C i R = 1 (1 + i) Los sistemas de amortizació más utilizados so: 1. Sistema de amortizació Fracés o Amortizació Progresiva. 2. Sistema de amortizació Alemá o Amortizació Costate. 3. Sistema de Amortizació Americao o Fodo de Amortizació. Sistema Fracés o amortizació progresiva: E este sistema, el deudor se compromete a pagar ua catidad costate (cuota, aualidad o pago) al fializar o comezar cada período