OPCIÓN A. Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

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1 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID PRUEB DE CCESO ESTUDIOS UNIVERSITRIOS (LOGSE) JUNIO MTEMÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II INSTRUCCIONES: El lumno deerá elegir un de ls dos opciones o B que igurn en el presente emen contestr rondmente los cutro ejercicios de que const dich opción. Pr l relición de est prue puede utilirse clculdor cientíic, empre que no dispong de cpcidd de representción gráic o de cálculo mólico. TIEMPO: 9 minutos. OPCIÓN Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se conder el stem linel de ecuciones dependiente del prámetro rel : ) Discútse el stem según los dierentes vlores de ) Resuélvse el stem en el cso en que teng ininits soluciones. c) Resuélvse el stem pr.. El stem est deinido por l mtri de coeicientes () por l mplid (*). * * rg rg * ; n Si el, rg rg * n. Sistem comptile determindo, por lo que se discute el stem pr los vlores del prámetro que nuln l mtri de coeicientes. ( ) ( ) : : : : Discuón: i. Si,. Sistem comptile determindo. ii. Si. rg <. H que uscr un menor de orden dos distinto de cero. rg. * Prtiendo del menor, en l mtri mplid solo qued un menor orldo por estudir, el ormdo por ls columns ª, ª ª. rg * rg rg *. Sistem incomptile

2 iii. Si. rg <. H que uscr un menor de orden dos distinto de cero. rg. * Prtiendo del menor, en l mtri mplid solo qued un menor orldo por estudir, el ormdo por ls columns ª, ª ª. rg * < comptile indetermindo Sistem. n rg * rg < Sistem equivlente: ' S. : ' S Restndo ls ecuciones se otiene el vlor de. λ λ Solución: (, λ, λ) λ R c.. Sistem comptile de termindo (Crmer): ; 8 8 ; 8 8 Solución:,, 9 8 Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se conder l unción rel de vrile rel deinid por: ) Especiíquese su dominio de deinición los puntos de corte de l gráic de con los ejes coordends. Determínense ls síntots de. ) Determínese l ecución de l rect tngente l gráic de en el punto de scis. c) Clcúlese l integrl deinid d. Por ser un unción rcionl, el dominio son todos los números reles ecepto los que nuln el denomindor. [ ] { } R / D : ± [ ] { } R D ±

3 Cortes con los ejes. OX ( ): : : L unción cort los ejes en el punto (, ), como l eje OY solo lo puede cortr un ve, no es necesrio volver clculr el punto de corte con OY. síntots. Verticles. De eistir síntots verticles estrán en los puntos ecluidos del dominio, empre cundo en esos puntos el límite se ininito. : Lím ( ) ( ) : Lím síntot verticl síntot verticl Horiontl. Un unción tiene síntot horiontl el límite cundo tiende ininito es inito. Lím Lím Lím síntot horiontl ± ± ± ± Olicu. No tiene, un unción no puede tener multánemente síntot horiontl olicu.. L ecución de l rect tngente l unción en en orm punto-pendiente. ( ) ( ) ( ) : ( ) 9 Sustituendo despejndo, se otiene l ecución de l tngente en orm eplícit: ( ) ( 9) ( ) 9 c. Integrl inmedit del tipo logrítmico: d Ln C d d d Ln : 7 Ln Ln ( Ln7 Ln) Ln Ejercicio. (Puntución máim: puntos) En un ediicio inteligente dotdo de stems de energí solr eólic, se se que l energí suministrd cd dí proviene de plcs solres con proilidd, de molinos eólicos con proilidd de mos tipos de instlciones con proilidd. Elegido un dí l r, clcúlese l proilidd de que l energí se suministrd l ediicio: ) por lgun de ls dos instlciones, ) solmente por un de ls dos. L energí es suministrd por plcs solres, p() B L energí es suministrd por molinos eólicos, p(b) B L energí es suministrd por plcs solres por molinos eólicos, p( B). L energí es suministrd por plcs solres o por molinos eólicos. p( B) p() p(b) p( B) 8. L energí es suministrd solo por plcs solres o solo por molinos de viento

4 p ( B) ( B ) p( B) p( B) p p( B) p( B) p( B) ( B) ( B ) p p( B) p( B) ' ' ' ' p Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se supone que el tiempo medio dirio dedicdo ver TV en un ciert on se puede proimr por un vrile letori con distriución norml de medi µ, desvición típic igul 5 minutos. Se h tomdo un muestr letori mple de espectdores de TV en dich on, oteniéndose que el tiempo medio dirio dedicdo ver TV es de hors. ) Determínese un intervlo de conin pr µ con un nivel de conin del 95%. ) Cuál h de ser el tmño mínimo de l muestr pr que el error en l estimción de µ se menor o igul que minutos, con un nivel de conin del 9%?. El intervlo de conin pr l medi polcionl (µ) prtir de un medi muestrl ( o ), viene ddo por l guiente epreón: σ σ o α, o α n n Donde α es el vlor crítico de que se otiene del nivel de conin que se especiic, σ es l desvición típic de l vrile, n es el número de elementos de l muestr o es l medi muestrl epresd en minutos (l medi l desvición deen ir epresds en ls misms uniddes). α Nivel de conin : α,95,5 α φ φ φ,975, α,5 Sustituendo en l epreón: 5 5 8,9,8,9 ( 78'5, 8'5 ) 9 Con un nivel de conin del 95% se puede estimr que el tiempo medio dirio dedicdo ver TV en dich on estrá comprendido entre ,5 minutos.. El tmño muestrl est relciondo con el error máimo por l epreón: σ εmá > α n Despejndo el número de elementos: σ n > α ε má α Nivel de conin : α,9, α φ φ φ,95, α, 5 n >,5 8, n 9 elementos 5

5 5 OPCIÓN B Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se condern ls mtrices: ; B ) Clcúlense los vlores de pr los cules l mtri no tiene invers. ) Pr, clcúlese l mtri invers. c) Pr resuélvse l ecución mtricil X B. L condición necesri suiciente pr que un mtri teng invers es que su determinnte se distinto de cero. : : Si o, el determinnte de es nulo por tnto no tiene invers. Pr : Por deinición: t dj dj dj t Sustituendo se otiene l invers dj t c. X B Pr despejr l mtri X h que tener en cuent que el producto de mtrices no es conmuttivo que el producto de un mtri con su invers es igul l mti unidd, elemento neutro del producto de mtrices. B X ; B X ; B X I ; B X B X

6 9 8 Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se conder l unción rel de vrile rel deinid por: > ) Clcúlense, pr que se continu derivle en. ) Pr,, represéntese gráicmente l unción. c) Clcúlese el vlor de pr que d. Pr que l unción se continu en, se dee cumplir: ( ) Lím Teniendo en cuent l deinición de límite: Lím Lím ( ) ; Lím Lím ; Lím Igulndo se otiene un ecución con dos incógnits. Lím Pr que l unción se derivle en, se dee cumplir: ( ) ( ) < < > > : ( ) ( ) Igulndo se otiene el vlor de : : Sustituendo en l ª ecución se clcul. : >

7 7. > Hipérol equiláter, con síntot horiontl ; síntot verticl. Práol de eje verticl despld verticlmente hci jo deormd. Vértice,, cortes con OX:, ;, Por último, pr diujr l gráic de l unción es conveniente clculr los vlores que tomn ms epreones en el punto ronter. ; c. Teniendo en cuent l deinición de l unción: d d d : 9 : 5 : 5 5

8 Ejercicio. (Puntución máim: puntos) En un cierto punto de un utopist está tudo un rdr que control l velocidd de los vehículos que psn por dicho punto. L proilidd de que el vehículo que pse por el rdr se un coche es,5, de que se un cmión es, de que se un motociclet es,. L proilidd que cd uno de los tres tipos de vehículos supere l psr por el rdr l velocidd máim permitid es, pr un coche,, pr un cmión, pr un motociclet. En un momento ddo, un vehículo ps por el rdr. ) Clcúlese l proilidd de que este vehículo supere l velocidd máim permitid. ) Si el vehículo en cuestión h superdo l velocidd máim permitid, cuál es l proilidd de que se trte de un motociclet? Sucesos dtos: Por el rdr ps un coche; p, 5 B Por el rdr ps un cmión; p ( B), C Por el rdr ps un motociclet; p ( C), S El vehículo que ps por el rdr super l velocidd máim permitid Proilidd de superr l velocidd máim es un coche; p ( S ), Proilidd de superr l velocidd máim es un cmión; p ( S ), B p S, C Proilidd de superr l velocidd máim es un motociclet;. Los vehículos que supern l velocidd máim pueden ser coches, cmiones o motos: p S p S B S C S p S p B S p C S ( ) p( S ) p( B) p( S ) p( C) p( S ),5,,,,,, p B C. Proilidd de que el vehiculo se un motociclet h superdo l velocidd máim. ( S p C S p C p ) C,, p C, S BYES p S p S, El prolem tmién se puede resolver medinte un cudro de contingenci l deinición de proilidd. Pr hce el cudro interes tomr como se de clculo un vlor que genere números enteros, dicho vlor se puede otener por tnteo o, como mínimo común múltiplo de ls rcciones genertrices de los productos,5,;,,;,, ( 5 5) Si se tom como se de clculo 5 vehículos que psen por el rdr, el 5% serán coches (5), el % cmiones (5) el % motociclets (). De los 5 coches que psn por el rdr, el % (5) supern l velocidd máim, de los 5 cmiones, el % () l supern de ls motociclets el % (). Estos dtos quedn descritos en el guiente cudro: COCHE CMIÓN MOTOCICLET SUPER V má NO SUPER V má Bse de clculo 5. Proilidd de que este vehículo supere l velocidd máim permitid. nº vehículos que supern v p S má, nº vehículos totles 5. Si el vehículo h superdo l velocidd máim, proilidd de que se un motociclet? ( M p ) ( M S) nº motos que supern v p má, S p( S) nº vehículos que supern vmá 8

9 Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se supone que el precio (en euros) de un reresco se puede proimr por un vrile letorio con distriución norml de medi µ desvición típic igul,9 euros. Se tom un muestr etori mple del precio del reresco en estlecimientos result:,5 ;, ;, ;,9 ;, ;, ;, ;,9 ;, ;, ) Determínese un intervlo de conin l 95 % pr µ. ) Clcúlese el tmño mínimo que h de tener l muestr elegid pr que el vlor soluto de l dierenci entre l medi muestrl µ se menor o igul que, euros con proilidd mor o igul que,99.. El intervlo de conin pr l medi polcionl (µ) prtir de un medi muestrl ( o ), viene ddo por l guiente epreón: σ σ o α, o α n n Donde α es el vlor crítico de que se otiene del nivel de conin que se especiic, σ es l desvición típic de l vrile, n es el número de elementos de l muestr o es l medi de l muestr. i,5,,,9,,,,9,, o,5 n α Nivel de conin : α,95,5 α φ φ φ (,975), 9 α,5 Sustituendo en l epreón:,9,9,5,9,,5,9 (,9 ; ') Con un nivel de conin del 95% se puede estimr que el precio medio (en euros) de un reresco estrá comprendido entre,9, euros.. El tmño muestrl est relciondo con el error máimo por l epreón: σ εmá > α n Despejndo el número de elementos: σ n > α ε má α Nivel de conin : α,99, α φ φ φ α, ε má,,9 n >,58 5,9 n elementos, (,995), 58 9