Árboles. Mediante paréntesis anidados: ( a ( b (e, f), c, d ))

Transcripción

1 Árboles Un árbol es un estructur jerárquic, orgnizd y dinámic plicd sobre un colección de objetos llmdos nodos. Jerárquic porque los componentes están distinto nivel. Orgnizd porque import l form en que este dispuesto el contenido. Dinámic porque su form, tmño y contenido pueden vrir durnte l ejecución. Los árboles genelógicos y los orgnigrms son ejemplos comunes de árboles. Entre otrs coss, los árboles son útiles pr nlizr circuitos eléctricos, pr representr l estructur de fórmuls mtemátics, pr orgnizr informción en un bse de dtos, pr representr el sistem de rchivos y pr nlizr l estructur sintáctic de un progrm fuente en los compildores. Existen diferentes forms de representción de un árbol, entre ls más comunes se tienen ls siguientes: Medinte préntesis niddos: ( ( b (e, f), c, d )) Medinte notción deciml de Dewey: 1, 1.1b, 1.1.1e, 1.1.2f, 1.2c, 1.3d Identdo, medinte nodos. Un buen ejemplo de esto, es l form de representr gráficmente ls crpets (directorios) de un sistem de rchivos. En este cso, un crpet es un nodo pdre de los rchivos y subcrpets contenids en él. 1.. b b. c c. d i. e ii. f L form de representción más fácil, común es l representción medinte círculos y flechs. Medinte círculos y flechs: Conceptos básicos e b f c d Definición: Un árbol se puede definir recursívmente como sigue: Un solo nodo es, por sí mismo, un árbol. Ese nodo es tmbién l ríz de dicho árbol. MC Betriz Beltrán Mrtínez 1

2 Supóngse que r es un nodo y que A 1, A 2, n..., A n son árboles con ríces r 1, r 2,... r n, respectivmente. Se puede construir un nuevo árbol diciendo que r se constituy en el pdre de los nodos r 1, r 2,... r n. Por lo que, en dicho árbol, r será hor l ríz y A 1, A 2,... A n serán los subárboles de r. Los nodos r 1, r 2,... r n serán hor tmbién hijos del nodo r. r número n > 2 (llmdo l ridd del árbol), entonces el árbol de ridd n es llmdo n-rio. A B C D E F G M H I J A 1 A 2 A n Alguns veces se incluye entre los árboles el árbol nulo vcío, el cul, es un árbol sin nodos que se represent medinte l letr. Generlmente, se cre un relción o prentesco entre los nodos de un árbol que impone un estructur jerárquic y que d lugr términos como pdre, hijo, hermno, ntecesor, sucesor, etc. Se dice que l ríz de cd subárbol A k es un hijo de r y que r es el pdre de cd ríz de los subárboles. En principio culquier nodo del árbol podrí tener un número rbitrrio de nodos hijos, esto se le conoce como un árbol generl, como se muestr en l siguiente figur. Si se limit el número de nodos hijos pr cd nodo del árbol, digmos un El nodo A es l ríz (pdre). Los hijos de A son B, C, D, E Los nodos F, G, M son hermnos e hijos de B A es buelo de H K y L son hijos de H y nietos de A Con ests considerciones se pueden definir ls siguientes crcterístics y propieddes de los árboles. Algunos de los siguientes conceptos; sin embrgo, no son uniformes en tod l litertur referente l teorí de árboles. K Si hy un cmino de A hst B, se dice que A es ntecesor de B, y que B es sucesor de A. L MC Betriz Beltrán Mrtínez 2

3 Pdre es el ntecesor inmedito de un nodo Hijo, culquier de sus descendientes inmeditos. Antepsdo de un nodo, es culquier ntecesor de dicho nodo. Descendiente de un nodo, es culquier sucesor de dicho nodo. Hermno de un nodo, es otro nodo con el mismo pdre. Ríz es el nodo que no tiene ningún predecesor. Hoj (o nodo terminl) es el nodo que no tiene sucesores. Los nodos que tienen predecesor y sucesor se llmn nodos interiores. Rm es culquier cmino del árbol. Bosque es un conjunto de árboles desconectdos. Grdo de un nodo, es el número de flechs que slen de ese nodo. El número de flechs que entrn siempre es uno. Grdo de un árbol, es el myor grdo que puede hllrse en sus nodos. Nivel o profundidd de un nodo, es l longitud del cmino desde l ríz hst ese nodo. El nivel puede definirse como 1 pr l ríz y nivel(predecesor)+1 pr los demás nodos. Generción, es un conjunto de nodos con l mism profundidd. Altur de un nodo, es l longitud del cmino desde ese nodo hst l hoj más lejd (l ltur de un hoj es 0 y l de un árbol vcío se consider -1). Altur de un árbol, es l ltur desde l ríz. Esto es, es el máximo de los niveles de todos los nodos del árbol. Un cmino de un nodo n 1 otro n k, se define como l secuenci de nodos n 1, n 2,... n k tl que n i es pdre de n i+1 pr 1 i < k. Longitud del cmino entre 2 nodos: Es el número de rcos que hy entre ellos. Ejemplo: Utilizndo el árbol de l figur nterior, se tiene: A es ntecesor de F y F es sucesor de A B es el pdre de G y H es el pdre de K I y J son hijos de E y K y L son hijos de H. A, D y H son ntepsdos de K y L Los descendientes de D son H, K y L I y J son hermnos. B, C, D, y E son tmbién hermnos. El nodo A es l ríz C, F, G, K, M, L, I y J son hojs del árbol B, D, H, E son nodos interiores El grdo de A es 4 El grdo de B es 3 El grdo de C es 0 El grdo del árbol es 4 El nivel de A es 1 El nivel de B es 2 El nivel de H es 3 El nivel de K es 4 F, G, H, I, y J son de l generción 3 L ltur del nodo D es 2 L ltur del nodo H es 1 L ltur del nodo G es 0 L ltur del árbol es 3 MC Betriz Beltrán Mrtínez 3

4 El cmino de A K es único y lo formn los nodos A- D-H-K El nodo B tiene longitud de cmino 1 desde A El nodo I tiene longitud de cmino 2 desde A El nodo K tiene longitud de cmino 3 desde A Orden de los nodos Árboles Binrios Un árbol binrio es un árbol de grdo 2, en el que todo nodo del árbol tiene un subárbol binrio izquierdo y derecho socidos. Ríz Generlmente los árboles de un nodo se ordenn de izquierd derech. Por ejemplo, los árboles de en l figur son distintos porque los dos hijos del nodo x precen en diferente orden en los dos árboles. Si no se tom en cuent el orden de los nodos hijos, entonces se hbl de un árbol no ordendo. Subárbol Izquierdo Subárbol Derecho x x Árbol Binrio Completo o Lleno: Es un árbol binrio en el que todos sus nodos, excepto ls hojs, tienen siempre dos hijos (el subárbol izquierdo y el derecho) no nulos. El número de nodos de un árbol completo se clcul por l fórmul: y z z y Número de nodos = 2 h -1 (donde h es l ltur) El orden de izquierd derech de los hermnos se puede extender pr comprr dos nodos culesquier entre los cules no exist l relción ntecesor-descendiente. L regl que se plic es que si y y z son hermnos y y está l izquierd de z, entonces todos los descendientes de y estrán l izquierd de todos los descendientes de z. Esto es, y es menor que z. Además, siendo 1 el nivel de l ríz, el número máximo de nodos en un nivel k será 2 k 1. Árbol Binrio Completo de Altur o Profundidd H: Es un árbol Binrio Completo en donde tods ls hojs están en el nivel H. Est es un de ls pocs estructurs de árbol que se pueden representr eficientemente usndo rreglos. MC Betriz Beltrán Mrtínez 4

5 Árboles de Expresión Un de ls plicciones de árboles binrios son los llmdos árboles de expresión. Árboles Binrios de búsqued Un árbol binrio de búsqued es un árbol en el que todo nodo existente tiene un sólo elemento y cumple lo siguiente: Un expresión es un secuenci de componentes léxicos (tokens), que siguen regls preescrits. Un token puede ser un operdor o un operndo. Ls propieddes de un árbol de expresión son ls siguientes: tods ls clves del subárbol izquierdo son menores que l ríz, tods ls clves del subárbol derecho son myores que l ríz, los subárboles izquierdo y derecho son tmbién árboles de búsqued. Cd hoj es un operndo El nodo ríz y los nodos internos son operdores Los subárboles son sub-expresiones en ls que el nodo ríz es un operdor L siguiente figur muestr un ejemplo de un árbol de expresión de l expresión (+b) (c-d) Los nodos insertdos en árboles de búsqued binrios se insertn como hojs. Relizrlo de otro modo no solo no mejorrí l eficienci buscd, sino que demás hbrí que rejustr el árbol trs cd inserción. L figur muestr un ejemplo de un árbol de búsqued de número ordendos b c d Por ejemplo, l insertr l clve 8, el árbol de l figur nterior, quedrí de l siguiente form: MC Betriz Beltrán Mrtínez 5

6 7 Recorrido en InOrden (orden simétrico): Inicindo en l ríz, primero se efectú un recorrido en InOrden en el subárbol izquierdo, luego se visit l ríz, y luego se visit el subárbol derecho tmbién en InOrden Recorrido en PostOrden (u orden posterior): Inicindo en l ríz, primero se visit en PostOrden el subárbol izquierdo, luego el subárbol derecho, tmbién en PostOrden, y por último se visit l ríz. Recorridos Muchs de ls operciones del TDA Árbol Binrio implicn recorrer o visitr cd uno de los nodos del árbol, y se pr insertr, eliminr, visitr o buscr un elemento de un form eficiente. Existen en generl cutro forms de hcerlo, tres de nturlez recursiv y uno más de nturlez itertiv. 8 Recorrido en PreOrden (u orden previo): Inicindo en l ríz, primero se visit ést, luego se hce un recorrido en PreOrden del subárbol Izquierdo y luego en el subárbol derecho, tmbién en PreOrden. Recorrido por niveles: Inicindo en l ríz, primero se visit l ríz, y luego se visitn los elementos del segundo nivel de izquierd derech, seguidos por los del nivel 3 en el mismo orden, y sí sucesivmente hst terminr de visitr todos los elementos. Como ejemplo consideremos el siguiente árbol. d b e c p PreOrden: d e b c p InOrden: e d c b p PostOrden: e c p b d Niveles: d b e c p MC Betriz Beltrán Mrtínez 6

7 Otro ejemplo: e b f c g d h PreOrden: b e i j k f c d g h InOrden: i e j k b f c g d h Postorden: i j k e f b c g h d i j k El siguiente ejemplo, muestr el recorrido en un árbol de expresión. + - PreOrden: +b-cd (expresión Prefij) InOrden: +bc-d (expresión Infij) Postorden: b+cd- (expresión Postfij) b c d MC Betriz Beltrán Mrtínez 7