Una aplicación inusual del método perturbativo de Feynman de la mecánica cuántica

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1 Una alicación insal dl méodo rraivo d Fynman d la mcánica cánica J D Blns Gro d Mcânica Qânica Informação Qânica Física Alicada Univrsidad Fdral do Amaá Rod Jsclino Kischk Km Jardim Marco Zro CEP 89-9 Macaá AP Brasil lns@nifar Rciido l d Jlio d ; acado l d Dicimr d Rsmn En s aríclo s da n jmlo d so dl méodo d rracions d Fynman n na siación q no corrsond a la mcánica cánica Nsro jmlo msra q l méodo d Fynman no s xclsivo d la mcánica cánica Palaras clav: Méodo d rracions d Fynman mcánica cánica cacions difrncials ordinarias Asrac Th s of Fynmans rraion mhod in a non-qanm siaion is xmlifid in his ar Or xaml shows ha h Fynman mhod is no xclsiv for qanm mchanics Kywords: Fynman s rraion mhod qanm mchanics ordinaris diffrnial qaions PACS: -w Mv Hq ISSN I INTRODUCCIÓN Los méodos y las écnicas mamáicas d la oría d rracions Rf [] q aqí srán considrados dnro dl conxo d s alicación a la física son úils ara consrir divrsas solcions aroximadas d rolmas rrados ; llos son solamn alicals ajo condicions scíficas: i la solción dl rolma inicial no rrado d sr comlamn conocida y ii la rración d sr qña Q na rración sa qña sinifica q lla ha d aranizar q la srcra mamáica nral syacn al rolma no rrado no sa afcada or la rración Eso s v con claridad n l caso dl méodo d rracions d Raylih- Schrödinr sado n la mcánica cánica dond los sados rrados son scrios como cominacions linals d los sados d la as no rrada; s dcir sonindo q l sado rrado rnc al sacio d Hilr corrsondin a la siación no rrada si la rración no fs qña odría modificar l sacio d Hilr Cando sos méodos y écnicas son alicados los rslados son válidos sólo sor n inrvalo in dfinido q ndrá q sr idnificado s las solcions aroximadas dn no nr sinificado físico y/o mamáico sor inrvalos mayors Por oro lado s in conocido q Fynman roso n méodo d rracions dnro d s formlación d caminos inrals d la mcánica cánica Rf [ ] q como vrmos amién rsla alical a ciro io d cación difrncial ordinaria EDO En s aríclo mosramos na alicación d la écnica d rracions d Fynman a na EDO con coficins dndins d la varial Enfaizamos q la cación q vamos a considrar no sr d alún rolma mcánico cánico q odría sr roso La alicación scífica dl méodo d Fynman q rsnamos n las róximas sccions amién sirv ara mosrar l méodo n sí mismo ro dnro d n conxo siml y más familiar a los sdians qins d manra nral dsconocn los concos y los méodos dl modlo cánico d Fynman El aríclo sá dividido d la siin manra En la sscción A d la scción inrodcoria rsnamos rsmidamn l méodo d rracions d Fynman En la scción II dfinimos na cación difrncial ordinaria d rcr ordn con coficins consans: F F F F la q s rsla sando los méodos nrals dl álra linal En la scción III considramos la cación anrior ara lo rrar ss coficins haciéndolos dndins d la varial: F F F F la q rsolvmos d manra dallada sando l méodo d Fynman En las cacions anriors y n las sccions corrsondins l xonn q aarc o aarcrá nr arénsis indica l ordn d la drivada ordinaria d la fnción; la misma noación cando sa alicada sor marics indicará l ordn d na solción rraiva La Am J Phys Edc Vol No Dc 8 h://wwwlajor

2 A El méodo d rracions d Fynman Prsnamos n sa sscción las rincials cacions mamáicas dl méodo d rracions dfinido n la formlación d la mcánica cánica dida a Fynman [ ] alnos d cyos ascos visos a ravés d na simlificación convnin dn nconrars n [] Comncmos dfinindo alnos ojos mamáicos q dsés srán úils Sa A na mariz nmérica conocida; na mariz dl mismo amaño q A amién conocida cyos lmnos son dndins d na varial ; na mariz dl mismo amaño q dndin d dos varials como y ; n arámro nmérico q jno con ajo la forma dfinn l érmino rraivo y l símolo q srá sado ara indicar la oración d drivación sal sor marics o vcors colmna Para coninar vamos a considrar na cación difrncial xrsada n forma maricial B dond B A s n vcor y l vcor dfinido or las condicions inicials Una solción aroximada d la Ec d xrsars n érminos d na mariz d roaación moral la cal s nconrará al rsolvr la siin cación B I sindo I la mariz idnidad dl mismo amaño q las oras marics y la dla d Dirac; noncs la solción d la Ec d scriirs d la siin forma la cal s or ahora sólo na solción formal s la mariz aún no sá dfinida Noar q si s omado con valor cro ara odo > la solción d la Ec s la siin x{ A} la cal dnro dl conxo dl méodo d rracions da lar a la aroximación d ordn cro q rsla d alicar sa mariz sor l vcor ; és s l caso no rrado Las aroximacions sriors corrsondn al rolma rrado; así la aroximación d rimr ordn s oin or la alicación d la mariz d sor l vcor ; la aroximación d sndo ordn s oin or la alicación d la mariz Una alicación insal dl méodo rraivo d Fynman d la mcánica cánica d La Am J Phys Edc Vol No Dc 9 h://wwwlajor d d d d d sor l mismo vcor y así scsivamn ara los dmás ordns dl dsarrollo rraivo Enoncs la cación maricial rrada A 7 in como solción aroximada a ésima ordn d la oría d rracions la siin xrsión 8 dond la convrncia d la xansión s manifisa ara ciro ordn mínimo a ravés d la siin rlación si 9 y ara n drminado inrvalo d la varial con > II EL CASO NO PERTURBADO Para mosrar q l méodo d rracions d Fynman s amién alical a rolmas mamáicos q no ncsariamn srn dnro d rolmas mcánico cánicos vamos a considrar dos siacions: la rimra q srá dfinida n sa scción y q corrsond a na siación no rrada s la d na EDO linal con coficins consans q rmiirá n la róxima scción al xndrla al caso rrado alicar l méodo rraivo d Fynman ara nconrar na solción aroximada d la misma Considrmos la EDO d rcr ordn F F F F jno con las condicions inicials: F=c F =c y F =c El ojivo d sa scción s rsolvr la Ec sando las écnicas nrals dl álra linal; llo

3 J D Blns rsla convnin ara od arciar mjor los cálclos q srán rsnados n la róxima scción dond s sará d conformidad con la scción I n raamino maricial Enoncs dmos rscriir la Ec maricialmn; ara llo s dfin n vcor a ravés d ss comonns d la siin manra: =F =F =F Ahora odmos scriir la Ec jno con las condicions inicials n la siin forma ; c c c o d manra comaca A y c La Ec in or solción x{ A} dond hmos lido or simlicidad = En vmos q nmos q drminar la mariz xonncial x{a} ara nconrar la solción Para llo convin calclar rimro los valors roios y los vcors roios d la mariz A S ncnra q s l valor roio d mlilicidad d A y q x [ ] T s s único vcor roio indndin; or lo ano la mariz A no d sr diaonalizada or na mariz invril Sin maro nr los méodos dl álra linal s conocido n orma q nos rmiirá consrir na mariz canónica d Jordan q sa smjan con la mariz A: asociado con l valor roio s dn consrir rs vcors linalmn indndins ζ ζ ζ con los cals s consrirá na mariz invril y a arir d lla la forma canónica d Jordan Con so la mariz x{a} d sr calclada arovchando dicha smjanza d marics Para consrir los vcors ζ ζ ζ s in q rsolvr las cacions maricials: Aζ =λζ Aζ =λζ + ζ Aζ =λζ + ζ Lo d rsolvrlas con y x s ncnran nr oras osils solcions los vcors Usando odmos scriir: x{ J } D x{ A} D ro amién odmos scriir: x{ A } Dx{ J} D la cal scria d manra xlícia in l asco x{ A} Enoncs sando y d vrificars q F c c c 7 y q lo cal s consisn con la dfinición dl vcor La Ec 7 rrsna na solción aroximada d la Ec III EL CASO PERTURBADO Ahora considrmos la cación difrncial rrada A arir d la Ec or la incororación d alnos érminos dndins d n arámro qño dnro d los coficins d la misma consimos la cación F F F F 8 Noar q ara rcramos la siación inicial no rrada Jno con la Ec 8 considramos las condicions inicials dl caso no rrado La Ec 8 la scriimos n forma maricial 9 La mariz q aarc n 9 dnominada B s d rscriir d la siin manra T ; T y d vrificars q ζ ζ ζ son vcors linalmn indndins Usando llos dfinimos na mariz invril D D B Lo consrimos la forma canónica d Jordan A J D AD la q d acrdo con lo viso n la sscción A d la scción inrodcoria in or solción n ésima aroximación al vcor La Am J Phys Edc Vol No Dc h://wwwlajor o d manra comaca B A Enoncs nmos q rsolvr la cación

4 Una alicación insal dl méodo rraivo d Fynman d la mcánica cánica La Am J Phys Edc Vol No Dc h://wwwlajor Vamos a consrir na solción aroximada q sa d rimra ordn d la oría d rracions d Para llo ncsiamos calclar cada na d las marics q aarcn n l lado drcho d la Ec Eliindo or simlicidad = nmos } x{ A dond la mariz } x{a sá dada or la Ec Para simlificar la scrira vamos a scriir noncs nmos x{ } x{ } x{ } A A Admás d scriimos 7 Tamién nmos x{ } 8 así odmos scriir } x{ 9 noncs odmos drminar la mariz rodco j i A coninación scriimos xlíciamn cada no d ss lmnos d mariz Ahora drminarmos saradamn cada no d los lmnos d la mariz q rslan d inrar la mariz rodco n d Enconramos 7 d 7 d

5 J D Blns 7 d d 7 d 7 7 d 7 d 7 7 d 8 7 d 9 Lo sando y los rslados d a 9 calclamos los lmnos d mariz d aqí rrsnados or ; ésos son i j D acrdo con l méodo rsnado n la scción I na solción aroximada d la Ec 8 sá dfinida or la rimra comonn dl vcor Por oro lado l vcor d nr s snda y rcra filas coincidns con la drivada d la rimra y la snda filas rscivamn ardando así consisncia con la dfinición dl vcor dado n la scción II Usando los rslados q hmos onido hasa aqí vrificamos q als rlacions nr las comonns d son saisfchas Dnominando y a la rimra fila dl vcor = dond = nconramos la solción 7 y c 7 c 7 c 9 q como ya s indicó s sólo aroximada s s ncnra l siin rslado y c y y y c 7c c c c c c 9c c 7c 8 c c c Vmos q la mnor oncia d la varial s ; así or jmlo ara / s in q / y las oras oncias d sán limiadas or valors aún mnors q / Admás como l arámro rraivo s asan qño la xrsión 9 rrsnará na solción aroximada acal ara la Ec 8 cando la varial s considr dnro dl inrvalo / noncs nmos y y y y IV CONCLUSIONES Hmos rsnado na alicación no íica dl méodo d rracions d Fynman a n rolma mamáico q no sr d n rolma cánico: l d na cación difrncial ordinaria d rcr ordn con coficins rrados Por oro lado l jmlo mosrado simlifica la rsnación y sncia d la écnica d rracions d 7 La Am J Phys Edc Vol No Dc h://wwwlajor

6 Fynman la cal d manra nral no s inclida n los crsos ordinarios d mcánica cánica Criosamn como d vrificars los liros q rsnan las écnicas d solción d cacions difrncials ordinarias no inclyn l méodo d Fynman Los rslados mosrados dn inrrars d la siin manra: la écnica d rracions d Fynman no s xclsiva d la mcánica cánica Una alicación insal dl méodo rraivo d Fynman d la mcánica cánica REFERENCIAS [] Nayfh A Prraion Mhods ily Nw York 97 [] Fynman R P His A R Qanm Mchanics and Pah Inrals McGraw Hill Nw York 9 [] Schlman L S Tchniqs and Alicaions of Pah Inraion ily-inrscinc Plicaion Nw York 98 [] Blns J D Proaadors cánicos calclados d acrdo con l oslado d Fynman con caminos aroximados or olinomios Rv Mx Fis E - 9 La Am J Phys Edc Vol No Dc h://wwwlajor