SÍNTESIS DE FILTROS ACTIVOS.

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1 Análisis y Síntesis de iruitos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS TEMA 5 riterio de diseño resulta prioritario minimizar las sensibilidades de ω o. SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS 5. Introduión Las funiones de transferenia biuadrátias de la forma, Hs ( ) a s + a s + a s s ω o ω o (5.) Fi. 3.5 Shauman juean un papel fundamental en el diseño de filtros ativos. En muhas oasiones se utilizan simplemente estas seiones de seundo orden en euipos de omuniaiones o de medida para eliminar ruido o interferenias. Pero también se utilizan omo bloue básio en la onstruión de filtros de mayor orden. A la hora de seleionar filtros adeuados deben tenerse en uenta diferentes riterios: a)un riterio fundamental es onseuir una baja sensibilidad a las variaiones de los omponentes. Tal omo se demuestra en el apéndie A. y se representa ráfiamente en la Fi. 5., la manitud de la funión de transferenia es muho más sensible a variaiones en ω o ue a variaiones en por lo ue omo Fiura 5.: Sensibilidades de la manitud de la funión de transferenia a la freuenia de polo ω o y al fator de alidad de los polos. b)los valores de los omponentes deben ser prátios y la diferenia entre el máximo y el mínimo no sea exesivamente rande. )Los filtros reuieren normalmente un proeso de ajuste posterior por lo ue diho ajuste debe ser senillo, preferiblemente los parámetros importantes, ω o y, deben poder ajustarse independientemente. d)los biuads tienen randes aras, omo otros biuads en onexiones en asada o realimentadas de lazo múltiple, por lo ue es neesario Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5- urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-

2 5. Biuads monoamplifiador SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS ue tenan baja impedania de salida y alta impedania de entrada. 5. Biuads monoamplifiador La ombinaión de un iruito on un elemento de anania en una onfiuraión realimentada permite obtener funiones de transferenia on polos omplejos. onsideremos el esuema eneral de iruito ativo realimentado de la Fi. 5.. En él se han asinado nombres a todos los terminales y las flehas indian terminales ue son entradas del iruito. efereniando las tensiones a tierra y denotando las funiones de transferenia de la red mediante: se obtiene: por lo ue la funión de transferenia es: Fi.5. Shauman Fiura 5.: onfiuraión eneral -ativa realimentada. T kl ( s) As ( ) o Hs ( ) k N kl ( s) k, d; l ab, l D o ( s) o i [ T da ( s) T a ( s) ] i + [ T db ( s) T b ( s) ] o T da ( s) T a ( s) T b ( s) T db ( s) + As ( ) (5.) (5.3) (5.4) Para ue H(s) sea de seundo orden es neesario ue la red sea de se- undo orden. Puede observarse ue los eros de transmisión del iruito ativo están determinados por el amino de propaaión direto mientras ue los polos están determinados por el lazo de realimentaión. Las freuenias naturales del iruito están determinadas por: T b ( s) T db ( s) + As ( ) 0 (5.5) ue es independiente del nudo a, independiente de la onexión i, lóio puesto ue las freuenias naturales se obtienen on la respuesta a entrada ero. Puesto ue los polos se obtienen para i 0 y los eros dependen de donde se aplia la señal de entrada (el numerador depende de a) se dedue ue se pueden rear los eros de una funión de transferenia sin afetar a los polos, onetando la señal de entrada a nudos ue estuvieran onetados previamente a tierra. Por tanto, si tenemos un iruito on los polos deseados se pueden rear los eros de transmisión neesarios sin más ue eliminar total o parialmente la onexión a tierra de alún elemento y onetando el terminal de entrada en ese punto Demostrar ue el iruito de la Fi. 5.3 puede tener polos omplejos y determinar los tipos de funiones de filtrado ue pueden obtenerse desonetando total o parialmente de tierra las resistenias, 3 y. 3 Soluión detallada Los polos vienen dados por la soluión de la euaión: x Fiura 5.3: Biuad monoamplifiador sin exitaión. d b o 5-3 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-4

3 5. Biuads monoamplifiador SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS T b ( s) T db ( s) + As ( ) 0 (5.6) As ( ) 0 puesto ue para obtener el omportamiento prinipal onsideramos el amplifiador operaional ideal. T db ( s) 0 puesto ue no hay amino de propaaión de señal entre esos dos nudos. Para alular T b ( s) apliamos análisis nodal: G x + s( x b ) + s( x ) 0 G 3 + s( x ) + G ( b ) 0 esolviendo x de la primera euaión: s b + s x G + s y sustituyendo en la seunda euaión se obtiene: T b ( s) b s + sg + G G s + s[ ( G + G 3 ) + G ] + G ( G + G 3 ) (5.7) (5.8) (5.9) Los polos son las raíes del numerador por lo ue identifiando on Para obtener funiones de filtrado hemos de introduir señal por elementos desonetados total o parialmente de tierra. Haemos las desonexiones pariales de tierra ue se muestran en la Fi i a β α -- γ β x Fiura 5.4: Biuad monoamplifiador. Para obtener la funión de filtrado debemos obtener la funión de transferenia. Una posibilidad es alularla a partir de las funiones de transferenia de la red pasiva: Hs ( ) o T da ( s) T a ( s) i T b ( s) T db ( s) α b d γ o (5.) s s ω ω se obtiene: 0 G ω G o ω o G -- G G (5.0) ueda por alular T da ( s) ue lo alulamos por el divisor de tensiones: y T da ( s) d γ a γ b γ γ (5.3) Para ue tena polos omplejo onjuados debe ser > por lo ue debe -- ser: T a ( s) a b 0 (5.4) > (5.) para lo ual apliamos análisis nodal: 5-5 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-6

4 5. Biuads monoamplifiador SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS G ( α) x + s x + s( x ) + αg ( x a ) 0 G 3 ( β) + s( x ) + G + βg 3 ( a ) 0 esolviendo x de la seunda euaión: x G 3 + s + G βg s s a (5.5) (5.6) G ( α) x + s( x o ) + s( x ) + αg ( x i ) 0 G 3 ( β) + s( x ) + G ( o ) + βg 3 ( i ) 0 (5.9) γg( d i ) + G( γ) d 0 d Se sustituye la uarta euaión en las anteriores. De la terera se resuelve: y sustituyendo en la primera se obtiene: γ i (5.0) T a ( s) Por tanto: αsg + sβg 3 + βg G s + s[ ( G + G 3 ) + G ] + G ( G + G 3 ) (5.7) y sustituyendo en las dos primeras se obtiene: G x + s x s o sγ i αg i 0 G 3 γ i + sγ i s x + G γ i G o βg 3 i 0 (5.) αsg γ + sβg 3 + βg G Hs ( ) o s + s[ ( G + G 3 ) + G ] + G ( G + G 3 ) i s + sg + G G s + s[ ( G + G 3 ) + G ] + G ( G + G 3 ) (5.8) γs s γ [ ( G + G 3 ) + G ] αg βg 3 γg ( G + G 3 ) βg G s s G G G La ténia anterior suele ser más adeuada porue desompone el problema de alular la funión de transferenia del biuad ativo ompleto en el álulo de la funión de transferenia de varios iruitos más senillos. No obstante, siempre está abierta la posibilidad de alular la funión de transferenia del iruito ompleto. Lo haemos omo ejemplo. Apliando análisis nodal al iruito de la Fi. 5.4 se obtiene: De la seunda euaión: G 3 γ + sγ + G γ βg 3 G x s i s o y sustituyendo en la primera se obtiene: Hs ( ) (5.) γs s γ [ ( G + G 3 ) + G ] αg βg 3 γg ( G + G 3 ) βg G o (5.3) i s s G G G ue lóiamente oinide on la anterior. Las funiones de filtrado posibles son: Filtro paso de baja Para anular el oefiiente de s debe ser γ 0 pero entones no hay forma de anelar el oefiiente de s sin anelar también el término independiente. Solamente puede haerse pues on un ero en el semiplano de la izuierda. 5-7 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-8

5 5. Biuads monoamplifiador SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS Filtro paso de banda Se puede anular término independiente y oefiiente de s haiendo: β γ 0 uedando una funión paso de banda inversora. (5.4) y β α γ γ[ G + G ] G (5.30) (5.3) Filtro paso de alta Para anular el término independiente: γ βg G + G 3 Para anular entones el oefiiente de s: (5.5) tal ue α. Si β > γ tendremos un "hih-pass noth" y si β < γ tendremos un "lowpass noth". En el aso del rehazo de banda simétrio otra posible soluión para (5.9) es: G 3 0 (5.3) α Una buena soluión es β puesto ue ahorra elementos. Filtro rehazo de banda Para anular el oefiiente de s: α (5.6) (5.7) Para ue sea rehazo de banda simétrio deben ser iuales los términos independientes de numerador y denominador: simplifiando: por lo ue βg G + G 3 γ[ ( G + G 3 ) + G ] β G G G G ( G + G 3 ) G G β γ β --G γ G 3 G G (5.8) (5.9) 5-9 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI Esto puede haerse puesto ue los polos no dependían de G 3 por lo ue es un parámetro libre. En realidad, (5.30) puede haerse onfluir a esta seunda soluión puesto ue no aparee ninuna ondiión sobre G 3 por lo ue una soluión efiiente en este aso es haerla nula, on lo ual resulta iual a (5.3). La ondiión en (5.3) permanee inalterada. Filtro pasa todo Debe umplirse: G ( G + G 3 ) ( G + G 3 ) + G De la primera euaión en (5.33) se obtiene: G G β γ Una posible soluión es: β --G γ G 3 G G α -- G γ β --G γ 3 G (5.33) (5.34) urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-0

6 5. Biuads monoamplifiador SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS β γ y otra posible soluión es: G 3 0 (5.35) (5.36) (5.35) puede haerse onfluir a esta seunda soluión puesto ue no aparee ninuna ondiión sobre G 3 por lo ue una soluión efiiente en este aso es haerla nula, on lo ual resulta iual a (5.36). Para ualuiera de las dos soluiones se obtiene de la seunda euaión en (5.33): α γ 4G G (5.37) Una implementaión onveniente de la onfiuraión eneral de la Fi. 5. la onstituyen la estrutura ENF de la Fi. 5.5a. Fi.5.5 Shauman Fiura 5.5: (a) Estrutura ENF, (b) estrutura EPF. Los polos vienen entones determinados por: T b ( s) K K + As ( ) N (5.38) D ( s) b ( s) K D D K ( s) ( s) As ( ) El amino prinipal de realimentaión va al terminal inversor del A.O. pero también hay alo de realimentaión positiva. Esto permite obtener fatores de alidad más altos por lo ue se llama iruito de realimentaión neativa 5- urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI mejorada (ENF). Mediante una sustituión simétria se obtiene el iruito de la Fi. 5.5b ue se denomina iruito de realimentaión positiva mejorada (EPF). Este iruito es el iruito omplementario del ENF y se puede obtener a partir de él mediante el proeso de transformaión omplementaria, ue die ue los polos de un iruito ativo on un A.O. no ambian si se interambian los terminales de entrada del A.O. y la salida del A.O. on tierra. Para omprobralo on el iruito de la Fi. 5.5b mediante análisis direto se obtiene ue los polos están determinados por: y --- T K ( s) T ( s) As ( ) b b T b b b b (5.39) (5.40) por lo ue los polos son los mismos ue los de (5.38). Por tanto, la dependenia respeto a los elementos de iruito de los polos de los iruitos ENF y EPF son idéntias. Por tanto, si los iruitos son iuales, los iruitos ENF y EPF, además de todos sus asos partiulares tendrán las mismas sensibilidades de los polos. Ya ue éstas son las ue ontrolan de forma más rítia el omportamiento en la banda pasante, los arumentos en favor de uno u otro no son demasiado relevantes. A menudo se utilizan filtros on A.O. en onfiuraión de realimentaión positiva on anania unidad o realimentaión neativa on anania infinita, tal omo se muestra en la Fi Estos no son más ue asos espeiales de los iruitos ENF y EPF para K. Los polos vienen dados por: T b ( s) T As ( ) ( s) As ( ) (5.4) La dependenia de los polos respeto al A.O. es la misma lueo aparente- urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-

7 5. Biuads monoamplifiador SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS mente no hay ninuna diferenia respeto al omportamiento en sensibilidad de la estrutura de anania unidad y de la de anania infinita. k K K A 0 se obtiene: (5.45) Fi.5.6 Shauman Fiura 5.6: asos espeiales de las estruturas ENF y EPF: (a) estrutura de realimentaión neativa on anania infinita (NF); (b) estrutura de realimentaión positiva on anania unidad (PF). Ds ( ) s 3 ω (5.46) a GB k ω ω s a GB k s + a0 k p p GB 0 ω Si onsideramos el A.O. on produto anania-anho de banda infinito se simplifia (5.46) a un polinomio de seundo orden: 5.. iruitos ENF: ondiiones para minimizar sensibilidades de la freuenia de polo Ds ( ) ( a k 0 )s ω + a k s + ( a0 k 0 ω ) p (5.47) La red pasiva debe ser un iruito de seundo orden por lo ue su funión de transferenia en eneral es: T b ( s) (5.4) donde p <0.5 ya ue los polos de iruitos pasivos son simples, reales y neativos. La expresión de los polos seún (5.38) viene dada por las raíes de: Utilizando el modelo de un polo del A.O.: y llamando N b D ( s) a s + a s + a s + sω p + ω K Ds ( ) N b D ( s) K A As ( ) GB s + σ s GB + A 0 (5.43) (5.44) El apéndie A. demuestra ue las funiones de transferenia de seundo orden son vees más sensible a ambios en ω o ue a ambios en. Por tanto, es más importante onseuir sensibilidades peueñas de ω o ue sensibilidades peueñas de. De (5.47) la freuenia de polo es: a ω 0 k 0 ω a k 0 (5.48) En primer luar tratamos de minimizar la sensibilidad de ω o respeto a la anania en d del amplifiador operaional A o. aso a 0 a 0 Una posibilidad para haer ω o independiente de A 0 es: a 0 a 0 Entones T b es una funión paso de banda: (5.49) 5-3 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-4

8 5. Biuads monoamplifiador SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS T b ( s) (5.50) Pero esta no es una soluión válida ya ue on el modelo del amplifiador operaional en (5.44) los oefiientes de s 3 y s 0 en (5.46) tienen distinto sino y por tanto hay aluna raíz en el semiplano dereho y el filtro ENF no es estable. aso a 0 a ω ( ω z )s s + sω p + ω La otra posibilidad es: ω ω a ω k z p a k 0 ( a p k 0 z ) z p ( a k 0 ) por lo ue el fator de alidad: z p ( a k 0 ) z ( a k 0 ) a p k 0 z a k 0 ( + ) z k a k 0 (5.56) (5.57) a 0 a ω (5.5) donde En este aso, T b ueda: s + sω z + ω T b ( s) a s + sω p + ω De (5.48) se obtiene ue (5.5) ---- z + p De (5.56) dedue ue si a >k 0 para ue >0 es neesario ue: k < a k 0 (5.58) (5.59) ω 0 ω (5.53) Operando sobre esta euaión: El denominador de la funión de transferenia vendrá dado por: k 0 < a k 0 N b ( s) K D ( s) N K A b ( s) k 0 D ( s) 0 a s ( + sω z + ω ) k 0 s ( + sω p + ω ) (5.54) Si omparamos esto on la forma eneral del denominador de una funión de transferenia de seundo orden: z k < a p K a p < K A 0 z a p < K A 0 z (5.60) s s ω ω 0 se obtiene iualando oefiientes en (5.54) y (5.55): (5.55) resulta 5-5 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-6

9 5. Biuads monoamplifiador SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS --- > K p a A ---- p a z z (5.6) La freuenia de polo ω o es iual a la freuenia de polo ω del iruito pasivo. Por tanto, está determinada úniamente por elementos pasivos. Ya ue por análisis dimensional ω debe ser de la forma, ω (5.6) se dedue ue las sensibilidades de ω o respeto a los elementos pasivos tienen el mínimo valor teório: 0.5. A esto hay ue añadir ue la sensibilidad de ω o respeto a A o es nula. 5.. iruitos EPF: ondiiones para minimizar sensibilidades de la freuenia de polo El iruito del filtro EPF debe tener la misma forma de (5.4): T ( s) N ( s) D ( s) a s + a s + a s + sω p + ω Seún (5.39) los polos vienen dado por los eros de: Ds ( ) D ( s) N K A ( s) Sustituyendo (5.44) para la anania del A.O. y definiendo: (5.63) (5.64) Ds ( ) s 3 (5.66) s ω k GB a ω ω s k GB a + + p k p GB ω a 0 Para GB se simplifia a: Ds ( ) s ω ( k a ) + sk a + k ω a 0 p Por tanto la freuenia de polo ω o es: a ω 0 k ω a k ue es iual al ENF y por tanto ondue a las mismas onlusiones. (5.67) (5.68) aso a 0 a 0 La primera posibilidad de haer ω o independiente de A o es haer a 0 a 0 on lo ue T (s) es: T ( s) ( ω z )s s + sω p + ω La freuenia de polo resultante es: ω 0 ω El denominador de la funión de transferenia viene dado por: (5.69) (5.70) k K A 0 se obtiene ue D(s) es: (5.65) D ( s) N K A ( s) k D ( s) N ( s) 0 k s ( + sω p + ω ) sω z (5.7) Si omparamos esto on la forma eneral del denominador de una funión 5-7 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-8

10 5. Biuads monoamplifiador SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS de transferenia de seundo orden: s s ω ω 0 se obtiene identifiando términos en (5.7) y (5.7): ω ω k ω p z k ( k z p ) z p k por lo ue el fator de alidad: z p k z k z p k Para ue el sistema sea estable debe ser >0 y por tanto: ( k ) > k Sustituyendo los valores de y k : z ---- > ---- p k p > ---- K A 0 z aso a 0 a ω La seunda posibilidad es haer: a 0 a ω Entones T (s) debe ser de la forma: z ( k ) k (5.7) (5.73) (5.74) (5.75) (5.76) (5.77) s + sω z + ω T ( s) a s + sω p + ω Por tanto, la freuenia de polo es: ω 0 ω y al iual ue en el filtro ENF el fator de alidad es: z k a k (5.78) (5.79) (5.80) Si a k > 0 entones la soluión no es válida puesto ue de auerdo on (5.66) el sistema es inestable. Si a k < 0 la soluión sí puede ser válida, aunue en iruitos EPF se suele usar sólo la primera posibilidad, on T (s) del tipo paso de banda. Estos diseños haen ω o independiente de K y A 0. es funión de ambos parámetros y puede utilizarse k 0 o k para mejorar el valor de. Si en el iruito ENF esoemos K entones se obtiene el iruito NF de la Fi. 5.6a. Entones k 0 A 0 0 y por tanto, z. De forma similar, si esoemos K en el iruito EPF obtenemos el iruito PF de la Fi. 5.6b. Entones k + A 0 y z / iruito EPF: sensibilidades del fator de alidad Una vez minimizadas las sensibilidades de ω o es interesante onsiderar las sensibilidades del fator de alidad y utilizar el resto de parámetros libres de diseño para minimizarlas. Dependen de la topoloía de la red pasiva por lo ue se alularán y minimizarán para ada aso de diseño partiular. 5-9 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-0

11 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS 5..4 iruito ENF: sensibilidades del fator de alidad Al iual ue en el aso anterior se utilizan parámetros de diseño para minimizarlas Desviaiones debido a la dependenia on la freuenia La dependenia on la freuenia del amplifiador operaional va a ausar desviaiones importantes de las araterístias. El desarrollo sobre la influenia del anho de banda finito aparee en el apéndie A. y resulta ue la desviaión produida en la freuenia de polo nominal y el fator de alidad son: ω o Γ ω o A Ajω ( o ) (5.8) Estas euaiones muestran ue los errores en ω o y son inversamente proporionales a la anania del amplifiador operaional a la freuenia ω o y ue aumentan on el produto anania-sensibilidad. De ahí ue sea interesante minimizarlo. 5.3 iruitos pasivos Γ A Ajω ( o ) La red pasiva debe implementar una funión de transferenia de la forma: Ts ( ) a s + a s + a s + sω p + ω (5.8) donde debe umplirse a 0 a ω o bien a a 0 0 dependiendo del tipo de estrutura. 5- urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5.3. Bipuertas LBT La bipuerta "loaded brided T" (LBT) ue es una bipuerta omplementaria a sí misma, ella y su omplementaria tienen la misma topoloía, y se muestran en la Fi (a) Fi.5.0 Shauman Fiura 5.7: iruito LBT y su omplementario Obtener la funión T b ( s) para el iruito de la Fi. 5.7a. Soluión detallada Apliando análisis nodal a la Fi. 5.7a: Lueo la funión de transferenia: (b) Y 4 ( b ) + Y 3 ( x ) + Y 5 0 Y 3 ( x ) + Y ( x b ) + Y x 0 Y 3 Y x Y + Y + Y Y + Y + Y b 3 Y 3 Y ( Y 3 + Y 4 + Y 5 ) Y 4 b Y 3 + Y + Y + Y Y + Y + Y b 3 T b ( s) N b ( s) Y Y 3 + Y 4 ( Y + Y + Y 3 ) Ds ( ) ( Y + Y + Y 3 )( Y 4 + Y 5 ) + Y 3 ( Y + Y ) (5.83) (5.84) urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-

12 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS Obtener la funión T ( s) para el iruito de la Fi. 5.7b. Soluión Se obtiene para la funión de transferenia del iruito de la Fi. 5.7b: T ( s) N ( s) Ds ( ) Y Y 3 + Y 5 ( Y + Y + Y 3 ) ( Y + Y + Y 3 )( Y 4 + Y 5 ) + Y 3 ( Y + Y ) (5.85) omo era de esperar ambas funiones tienen los mismos polos. omo ya hemos diho anteriormente los eros de transmisión se rean desonetando total o parialmente elementos onetados a tierra, omo se muestra en los iruitos de la Fi. 5.8 orrespondientes a los iruitos de la Fi β Y ( x a ) + Y 3 ( x ) + ( β )Y x + Y x 0 Y 3 ( x ) + Y 4 + ( β 5 )Y 5 + β 5 Y 5 ( a ) 0 x Y 3 + Y 4 + Y 5 β Y 5 Y Y a 3 β Y a Y 3 + (5.86) ( Y + Y + Y 3 )( Y 3 + Y 4 + Y 5 ) β 5 Y 5 ( Y + Y + Y 3 ) Y Y a 3 0 T a ( s) a b 0 β Y Y 3 + β 5 Y 5 ( Y + Y + Y 3 ) ( Y + Y + Y 3 )( Y 3 + Y 4 + Y 5 ) Y Obtener la funión T a ( s) para el iruito de la Fi. 5.8b. Soluión Se obtiene para la funión de transferenia del iruito de la Fi. 5.8b: Fi.5. Shauman T a ( s) a 0 β Y Y 3 + β 4 Y 4 ( Y + Y + Y 3 ) ( Y + Y + Y 3 )( Y 4 + Y 5 ) + Y 3 ( Y + Y ) (5.87) (a) Fiura 5.8: iruitos de la Fi. 5.7 on desonexión parial de los elementos onetados a tierra Obtener la funión T a ( s) para el iruito de la Fi. 5.8a. (b) Soluión alulamos la funión de transferenia T a ( s) para la Fi. 5.8a formulando euaiones nodales: eamos la forma onreta ue debe tener el iruito para implementar un filtro ENF Demostrar ue para minimizar las sensibilidades de la freuenia de polo de un biuad ENF utilizando la bipuerta LBT de la Fi. 5.7a debe ser Y Para ue T b (s) sea una funión de transferenia de seundo orden hay dos opiones: 5-3 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-4

13 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS aso A onsiste en haer Y G Y s Y 3 s 3 Y 4 G 4 Las funiones de transferenia resultantes por simple sustituión son: T b ( s) T a ( s) s 3 + s ( + 3 )G 4 + G G s 3 + s [ 3 ( G + G 4 ) + G 4 ] + G G 4 sβ G s 3 + s [ 3 ( G + G 4 ) + G 4 ] + G G 4 (5.88) (5.89) Soluión detallada on el modelo ideal del A.O. úniamente ueda por obtener T da (s) de la funión de transferenia. Utilizando el divisor de tensiones: T da ( s) K ( ) ( K ) α K α K K ( ) α K α La funión de transferenia es pues: Hs ( ) T da ( s) T a ( s) T b ( s) T db ( s) α --- K (5.90) El iruito resultante para este aso on los posibles elementos onetados a la entrada se muestra en la Fi. 5.9a. α sβ --- G K s 3 + s [ 3 ( G + G 4 ) + G 4 ] + G G s 3 + s ( + 3 )G 4 + G G 4 K s s [ 3 ( G + G 4 ) + G 4 ] + G G K 4 αs 3 + sα[ 3 ( G + G 4 ) + G 4 ] + αg G 4 skβ G (5.9) s [ 3 + s ( + 3 )G 4 + G G 4 ]K ( K ) [ s 3 + s [ 3 ( G + G 4 ) + G 4 ] + G G 4 ] Fiura 5.9: iruitos ENF on bipuertas LBT para los dos asos estudiados. s s G G K β ω α o α s [ s 3( G + G 4 ) + G 4 K 3 G ] ω o Obtener la funión de transferenia del biuad de la Fi. 5.9a así omo el fator de alidad y la freuenia de polo. eamos el término en s del denominador para obtener el valor de : 3 ( G + G 4 ) + G 4 K 3 G ω o G G (5.9) De donde: 5-5 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-6

14 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS G G ( G + G 4 ) + G 4 K 3 G G G G K G G 4 3 G 4 G G ( K ) G 4 G G ( K )G G G G ( K )G G (5.93) aso B onsiste en haer Y s Y G Y 3 G 3 Y 4 s 4 Las funiones de transferenia resultantes por simple sustituión son: T b ( s) T a ( s) s 4 + sg ( + G 3 ) 4 + G G s 4 + s [ 4 ( G + G 3 ) + G 3 ] + G G 3 sβ G s 4 + s [ 4 ( G + G 3 ) + G 3 ] + G G 3 (5.95) (5.96) El iruito resultante on los posibles elementos onetados a la entrada se muestra en la Fi. 5.9b Obtener la funión de transferenia del biuad de la Fi. 5.9b así omo el fator de alidad y la freuenia de polo. Soluión detallada Loiamente T da (s) será iual ue en el aso A: La funión de transferenia implementada es: T da ( s) α --- K (5.97) Hs ( ) s G s G K β o ω α o α i s + sω o + ω o (5.94) La funión de transferenia es pues: Este iruito puede realizar funiones de filtrado paso de banda, pasa todo y rehazo de banda on los valores adeuados de α y β urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-8

15 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS αs 4 + sα[ 4 ( G + G 3 ) + G 3 ] + αg G 3 skβ (5.98) G s [ 4 + sg ( + G 3 ) 4 + G G 3 ]K ( K ) [ s 4 + s [ 4 ( G + G 3 ) + G 3 ] + G G 3 ] eamos el término en s del denominador para obtener el valor de : De donde: T Hs ( ) da ( s) T a ( s) T b ( s) T db ( s) α sβ --- G K s 4 + s [ 4 ( G + G 3 ) + G 3 ] + G G s 4 + sg ( + G 3 ) 4 + G G 3 K s s [ 4 ( G + G 3 ) + G 3 ] + G G K 3 s s G + G 3 G K β ω 4 α o α s [ s 4( G + G 3 ) + G 3 ( K) ] ω o 4 [ 4 ( G + G 3 ) + G 3 ( K) ] ω o G G (5.99) Hs ( ) s s G + G 3 G K β o ω 4 α o α i s + sω o + ω o (5.0) Ambos iruitos son euivalentes y pueden utilizarse para implementar una funión de transferenia de seundo orden. eamos la forma onreta ue debe tener la bipuerta pasiva LBT para implementar un filtro EPF. Para la bipuerta LBT de la Fi. 5.7(b): T ( s) N ( s) Ds ( ) Y Y 3 + Y 5 ( Y + Y + Y 3 ) ( Y + Y + Y 3 )( Y 4 + Y 5 ) + Y 3 ( Y + Y ) (5.0) En ese aso se ha visto ue la soluión usual es ue T ( s) sea de la forma paso de banda, on uniamente oefiiente de s en el numerador Demostrar ue para la minimizaión de las sensibilidades de la freuenia de polo de un biuad EPF utilizando la bipuerta LBT de la Fi. 5.7b debe ser Y Debe ser Y 5 0, porue aso ontrario sería imposible onseuir los oefiientes adeuados en el denominador. 4 G G ( G + G 3 ) + G 3 ( K) G 3 G G ( K ) G G 4 La funión de transferenia es pues: (5.00) aso A onsiste en haer Y G Y s Y 3 s 3 Y 4 G 4 Y 5 0 (5.03) El biuad EPF resultante para este aso on los posibles elementos onetados a la entrada se muestra en la Fi. 5.0(b) 5-9 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-30

16 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS i (a) Fiura 5.0:iruitos EPF on bipuertas LBT para los dos asos estudiados Obtener la funión de transferenia del biuad EPF de la Fi. 5.0(a), su freuenia de polo y el fator de alidad. Soluión La funión de transferenia es: donde β 4 4 ( β ) 4 4 α β 3 ( β ) (K ) ( α) Hs ( ) o i (b) 4 β 4 4 ( β ) 4 α β 3 o T a ( s) T da ( s) i T d ( s) T ( s) ( β ) (K ) ( α) (5.04) s G ( η β ) s G ( η β4 ) η + ω 3 o ( η β4 ) K s + sω o + ω o o y G 4 G G K G 3 (5.07) aso B onsiste en haer Y s Y G Y 3 G 3 Y 4 s 4 Y 5 0 (5.08) 5..-Obtener la funión de transferenia del biuad EPF de la Fi. 5.0(a). Soluión La funión de transferenia es: Hs ( ) o T a ( s) T da ( s) i T d ( s) T ( s) (5.09) s ( η β 4 ) s G + G 3 G ( η β 4 ) η + ω o ( η β ) 4 K s + sω o + ω o η α K k (5.05) donde G ω G 4 o (5.06) η α K k (5.0) 5-3 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-3

17 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS y G ω G 3 o G G G K G 3 (5.) (5.) Apliar una entrada al iruito de la Fi. 5. de forma ue se obtena un filtro paso de alta on anania unidad a la freuenia de polo. Diseñar el iruito de forma ue se obtena 5 y ω o 6.8Krad/s. Minimizar en lo posible las sensibilidades y el rano de valores de los elementos. omparar los resultados on los obtenidos si se tratara de un iruito PF. Suponer ue el produto anania-anho de banda del A.O. es GB.5MHz. Estimar las desviaiones en ω o y ausadas por el produto anania-anho de banda finito. uál sería la desviaión para la onfiuraión PF? x Soluión detallada El denominador de ualuier funión de filtrado ue se obtena mediante desonexión parial de elementos estará ontenido en: Ds ( ) (5.3) Para obtener las posiiones de los polos onsideramos el amplifiador operaional ideal por lo ue As ( ) Para el álulo de T ( s) analizamos la bipuerta pasiva apliando análisis nodal: De la seunda euaión en (5.4): y sustituyendo en la primera euaión en (5.4): por lo ue: --- T K ( s) + As ( ) G ( x ) + s ( x ) + s x 0 s ( x ) + G x 0 s + G x s ( G + s + s ) s + G s s G (5.4) (5.5) (5.6) (K ) o T ( s) s G s + s G + s G + s G + G G sg (5.7) s s G + G G G G Fiura 5.: Biuad EPF. T ( s) tiene úniamente término en s en el numerador por lo ue umple las 5-33 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-34

18 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS ondiiones de minimizaión de la sensibilidad para estruturas EPF. Es deir, la sensibilidad de la freuenia de polo ω o respeto a la anania a baja freuenia del operaional A o es nula y las sensibilidades pasivas son las mínimas posibles. Los polos de la funión de filtrado vendrán dados por: 0 de donde: --- T K ( s) --- K sg s s G + G G G G (5.8) de donde el fator de alidad: (5.4) + + ( K) omo se esperaba las sensibilidades de la freuenia de polo respeto a los elementos pasivos son las mínimas teórias. Aún hay tres parámetros,,, y K, ue deben proporionar el valor reuerido de en (5.4). Utilizaremos los restantes rados de libertad para minimizar las sensibilidades pasivas de y el produto anania-sensibilidad. Las sensibilidades pasivas de son: s s G + G G G G sk G Introduimos las variables: G G (5.9) (5.0) S G S G S S S SG S SG S S S S (5.5) uya dispersión respeto a la unidad refleja los ranos de valores de los elementos. (5.9) ueda entones: s s G G K (5.) --G G Identifiando el término independiente on el de s s ω o ω se obtiene: o ω o ω -- G (5.) e identifiando el término en s: alulamos ada una de estas sensibilidades: y G S G G G G S G G S S (5.6) ω o -- G G ( + + K) (5.3) 5-35 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-36

19 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS S [ + + ( K) ] ( K) [ + + ( K) ] S (5.7) Pero seún (5.4),,, y K no son independientes por lo ue para expresar la sensibilidad en funión de parámetros independientes despejamos K de (5.4): K y sustituimos en (5.7): S [ + ( K) ] [ + + ( K) ] [ + + ( K) ] [ + + ( K) ] ḡ S G S [ + ( K) ] S S (5.8) S G (5.9) on respeto al produto anania-sensibilidad en prinipio habría ue analizar el iruito onsiderando un modelo de amplifiador operaional en ue la anania apareiera de forma explíita pero podemos evitar diho análisis en base al siuiente razonamiento. El produto anania-sensibilidad es: Γ Ao A o S Ao (5.30) Pero en (5.65) se introdujo el parámetro: k K A 0 (5.3) de tal forma ue la dependenia del fator de alidad respeto a la anania del operaional es a través de este parámetro por lo ue se puede esribir: Γ Ao Por otra parte podemos definir un produto anania sensibilidad: Γ K (5.3) (5.33) omo la dependenia respeto de K es también úniamente a través de (5.3): Γ K Por lo tanto, Γ Ao k A o A o S Ao A o S SAo k A o Sk ----S k A k k o KS K k KS K KS ksk K---- K --- Sk ----S k K k k Γ K (5.34) (5.35) y puede utilizarse el onoimiento de la dependenia de respeto de K para alular. Por tanto, Γ Ao Γ Ao K Γ K [ + + ( K) ] y sustituyendo el valor de K en (5.8): K Γ Ao (5.36) (5.37) 5-37 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-38

20 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS Es interesante ver para ué valor de los parámetros se produe el mínimo de esta funión, veremos en ué punto se anula la derivada. Para failitar el álulo de la derivada es razonable despreiar -- frente a. En este aso: Γ Ao alulamos la derivada de respeto a e iualamos a ero: Γ Ao (5.38) Nótese ue las sensibilidades pasivas y el produto anania sensibilidad son proporionales al fator de alidad. El valor de influye de manera inversa en distintas sensibilidades por lo ue teniendo en uenta un ompromiso entre dihas sensibilidades y la minimizaión del rano de valores de elementos una buena eleión es. on esta eleión 6, ue es un valor razonable para el rano de valores de resistenias. Las sensibilidades uedan: Γ Ao S i.5 S Gi 3.6 (5.43) Γ Ao La únia soluión posible es: (5.39) El valor de K resulta: + K (5.44) ue es un valor realizable. esistenias y ondensadores aún apareen relaionados por la euaión (5.). Dado un valor adeuado de las apaidades, por ejemplo 5nF para realizaión disreta resulta: ( + ) (5.40) KΩ ω o (5.45) por lo ue: 3 ( + ) Para este valor de las sensibilidades del fator de alidad uedan: S S G Γ Ao S S G (5.4) (5.4) y de (5.0): KΩ (5.46) Puede ser interesante omprobar ual ha sido la desviaión omo onseuenia de realizar la aproximaión en (5.38). La derivada sin haer la aproximaión: 5-39 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-40

21 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS Γ Ao ḡ (5.47) De donde simplifiando la euaión se obtiene: (5.48) Esto se puede transformar en una euaión de seundo rado ue proporiona la soluión: ± ( + ) ( + ) ( + ) (5.49) (a) Para resultan las soluiones 5.66 y 6.5. De estas dos soluiones sólo la primera es válida. Esta soluión es más preisa pero es importante haer notar ue en este aso no es posible haer de forma útil una sustituión similar a la de (5.4), ue proporionaba informaión aera de los ompromisos entre sensibilidades. Las representaiones ráfias de la Fi. 5. y Fi. 5.3 ilustran aún más la evoluión de la sensibilidad y el error ometido en la aproximaión. Para rear los eros de transmisión es preiso haer desonexión parial de elementos onetados a tierra. El iruito orrespondiente a la Fi. 5. on las posibles desonexiones pariales se muestra en la Fi Para poder obtener la funión de transferenia del biuad de la Fi. 5.4, y en partiular, los eros de transmisión hay ue obtener la funiones (b) Fiura 5.:(a) epresentaión ráfia del produto ananiasenbilidad simplifiado en (5.38) para ; (b) zoom en la reión del mínimo de la funión. 5-4 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-4

22 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS α i a β x β ( α) o -- γ γ d (K ) Fiura 5.4: Biuad EPF on desonexión parial de elementos. de transferenia de la red pasiva T a ( s) y T da ( s). Para obtener T da ( s) apliamos análisis nodal en el nudo d: (a) G ( γ)g d K d + γg ( d a ) 0 de donde: (5.50) T da ( s) d a 0 γ( K ) K (5.5) Para obtener T a ( s) apliamos análisis nodal en los nudos y : βg ( a ) + ( β)g + s ( x ) 0 sα ( x a ) + s( α) x + G x + s ( x ) 0 (5.5) (b) Fiura 5.3:(a) epresentaión ráfia del produto ananiasenbilidad en (5.37) para ; (b) zoom en la reión del mínimo de la funión. De la primera euaión: s + G βg x s s a y sustituyendo en la seunda euaión de (5.5): (5.53) 5-43 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-44

23 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS sα a + s ( s + s + G ) s + G βg s s a (5.54) [ s α + βg ( s + s + G )] a [ G ( s + s + G ) + s ( s + G )] por lo ue: T a ( s) s βg α sβg G a 0 s s G + G G G G Por tanto, la funión de transferenia: Hs ( ) T a ( s) T da ( s) T K ( s) s βg α sβg G γ( K ) s s G + G G G G K sg K s s G + G G G G (5.55) (5.56) s α γ( K ) s βg K γ( K ) G + G G βg G γ( K ) G G K K s s G + G G G G sg K Para tener una funión paso de alta interesa ue el término independiente del numerador se anule: β γ( K ) K (5.57) on esta soluión para ue se anule el oefiiente de s en el numerador debe ser γ 0 y por tanto β 0. Por tanto, Hs ( ) αs s s G + G G G G sg K αks s s G + G G K G G G (5.58) A la freuenia de polo s jω o la manitud de la funión de transferenia: Hjω ( o ) αkω o αk ω o ω o + jω o ω o Se desea ue la anania a esa freuenia sea la unidad por lo ue: α K (5.59) (5.60) on lo ue ueda onluido el diseño. Para omparar on el diseño de una estrutura PF, se pueden reutilizar los desarrollos sin más ue haer K. De (5.4) el fator de alidad es: De (5.37) el produto anania sensibilidad es: (5.6) 5-45 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-46

24 5.3 iruitos pasivos SÍNTESIS DE FILTOS ATIOS. BIUADS Γ Ao -- (5.6) ω o Γ ω o A Ajω ( o ) (5.67) En este aso, y no son independientes sino ue están relaionadas por (5.6), por lo ue: Γ Ao (5.63) Nótese ue en este aso el produto anania sensibilidad es proporional al uadrado del fator de alidad lo ue hae esta estrutura desventajosa en este aspeto frente a la EPF, espeialmente si es rande. Las sensibilidades pasivas son: S G S G ḡ S S De nuevo, y están relaionadas por (5.6), por lo ue: S G S S G S Las dos son buenas puesto ue la primera vale omo muho ±--. El rano de valores de las resistenias puede obtenerse de (5.6): ( + ) (5.64) (5.65) (5.66) por lo ue también resulta proporional al uadrado del fator de alidad, siendo peor por tanto al aso EPF para fitros de alta. En uanto a las desviaiones de ω o y debido al produto anania anho de banda finito vienen dadas aproximadamente por (5.8): Utilizando un modelo de un polo para el amplifiador operaional: Ajω ( o ) GB ω o resultan las desviaiones para el aso EPF: ω o ω o 5 π %, re- Para el aso PF, on la misma eleión de ue en el aso EPF, sulta: Γ Ao por lo ue las desviaiones: ω o ω o 5 π % (5.68) (5.69) (5.70) (5.7) produiéndose en esta estrutura mayores desviaiones debido al GB finito Diseñar un filtro rehazo de banda simétrio on 5 y f o 000Hz utilizando el iruito ENF de la Fi Utilizar los parámetros de diseño para minimizar el produto anania-sensibilidad. Es posible realizar un filtro paso de baja on el mismo iruito? Y un 5-47 urso 003/04 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI urso 004/05 Área de Eletrónia, Dpto. de Eletrónia y Eletromanetismo, ESI 5-48