Circuitos Digitales basados en FPGAs para Generación de Números Aleatorios

Transcripción

1 1 Cicuitos Digites bsdos en FPGAs p Geneción de Númeos Aetoios Auto: Mª Goetti Sevino Bestegui. Tutoes: Inés de Cmpo Hgestom y Jvie Echnobe Ais E I. OBJETIVO L objetivo de este tbjo consiste en diseñ y constui un genedo de númeos etoios utiizndo FPGAs ( Fied Pogmmbe Gte Ays). Ddo que en sistems digites es imposibe consegui númeos totmente etoios, en eidd o que se petende es utiiz genedoes de númeos pseudoetoios que popocionen secuencis o más etois y unifomemente distibuids que se posibe. L geneción de númeos etoios es un tem que tiene divess picciones. Actumente cd dí es más impotnte tene buenos genedoes de númeos etoios y que son muy usdos en ciptogfí o enciptción de dtos (o que posibiit s comunicciones de dtos segus), sí como po su picción en geneción de cves secets. Otos cmpos en os que tienen picción ceciente son s máquins de z o os videojuegos y os goitmos genéticos. II. INTRODUCCIÓN Se pueden defini os númeos o bits etoios como sucesiones de númeos o bits seecciondos z de fom unifome, es deci, es un distibución en que todo bit o númeo tiene mism pobbiidd de se escogido, o dicho de ot mne, os númeos o bits deben se estdísticmente independientes [1]. Ls secuencis de númeos etoios son competmente iepoducibes. A hb de genedoes de númeos etoios (RNG) es muy impotnte ide de etoiedd, que suee veni socid impedecibiidd y pobbiidd. En este contexto nos efeiemos como númeos etoios un secuenci de númeos independientes con un distibución específic y un detemind pobbiidd de ce en un ngo cuquie de voes [5]. Existen divesos métodos p gene númeos etoios, peo os genedoes de veddeos númeos etoios en hdwe dependen pincipmente de s ccteístics etois de os eementos físicos (dición de un núceo tómico dictivo, medid de inestbiidd en fecuenci de un oscido ibe, uido de un esistenci ). P consegui este tipo de genedoes se siguen os siguientes psos: ecogid de bits, cácuo de entopí (nos diá cuntos de os bits obtenidos son impedecibes) y educción bits independientes (compob condiciones de unifomidd de distibución). Este tipo de genedoes tienen desventj de que no se puede demost mtemáticmente que os númeos obtenidos sen etoios, y que no se pueden epoduci os voes obtenidos p niz y teste os esutdos. Po oto do se pueden estudi os númeos pseudoetoios, que son genedos pti de un función deteminist peo pentn se etoios. Estos númeos se genen pti de un vo inici picndo itetivmente función. Un sucesión de númeos pseudoetoios se somete divesos test p medi su etoiedd, es deci, p ve hst que punto es simi un sucesión etoi [1]. E pincip motivo de que se usen ests sucesiones pseudoetois es que son más ápids de gene, unque pesentn dos desventjs impotntes, que son sucesiones peiódics y pti de un mismo vo inici se gene siempe mism sucesión. Ess desventjs tmbién pueden convetise en ventjs, y que nos pemite epeti un expeimento en s misms condiciones simpemente utiizndo e mismo genedo y e mismo vo inici. Estos númeos pseudoetoios se obtienen utiizndo genedoes de númeos pseudoetoios (PRNG) que consisten en un función que pti de un semi gene númeos pentemente etoios. En os PRNGs intees que e peiodo se o más gnde posibe. Ls picciones de os númeos etoios son muchs, desde máquins de juego hst ciptogfí, psndo picciones tn dispes como esoución de ecuciones compejs o composición de músic eectónic. III. ALGORITMOS DE GENERACIÓN DE NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS Y TEST ESTADÍSTICOS A. Genedoes Conguencies Linees (GCL) III.I Agoitmos de Geneción de Númeos Pseudoetoios Estos genedoes fueon intoducidos po Lehme hci 1949 [4]. Se X n un eemento de secuenci de númeos etoios, entonces X n+1 se obtiene como sigue:

2 2 X n+1 = ( X n + c) mod m, con 0 X n m Ұ n [III.1] Donde es e mutipicdo, c e incemento y m e móduo. Asocidos estos genedoes se deben defini gunos conceptos como e peiodo, que es subcden de seie en que no hy epeticiones, y ongitud de peiodo, que se define como e númeo de eementos de dich subcden. En estos genedoes, cd eemento depende de nteio, po o que un vez que se epit un eemento se epetiá tod seie. Existen dos tipos de G. C. L.: - G. C. Mutipictivos (1949): tomndo c = 0: X n+1 = X n mod m [III.2] - G. C. Mixtos (1958): pemiten obtene ongitud de de peiodo myo: X n+1 = ( X n + c) mod m [III.3] A ho de diseñ un G. C. L. hy que tene en cuent que os pámetos, c y m, deben cumpi ciets condiciones: - Eección de móduo: Se debe eegi m de mne que fciite opeción de división, si tbjmos en sistem binio, un buen eección podí se m = 2 e t que 0 x m. - Eección de mutipicdo y de incemento: Existen vios teoems que dn s condiciones p y c que pemitn obtene e peiodo máximo [3]. B. Genedoes Conguencies Cudáticos Estos genedoes pemiten obtene máxim ongitud de peiodo m peo necesitn hce más opeciones, tmbién existen teoems p obtene os voes más popidos de os pámetos [3]: C. Genedoes de Métodos Aditivos X n+1 = (d X n 2 + X n + c) mod m [III.4] En estos genedoes cd nuevo eemento depende de dos eementos nteioes de ist [3]. Pemiten obtene ongitudes de peiodo de hst m 2, y son más ápidos, y que son pumente ditivos y no usn mutipicdoes. - Fiboncci (1950): X n+1 = (X n-1 + X n ) mod m [III.5] - Geen: X n+1 = (X n + X n-k ) mod m, con k 16 [III.6] - Mitche Mooe (1958): p este genedo se debe veific que m se p y necesit que se e popocionen 55 semis etois no tods pes: X n+1 = (X n-24 + X n-55 ) mod m, con n 55 [III.7] D. Genedo de Conguenci Inves En este genedo cd eemento depende de inveso mutipictivo (X n (X n ) -1 = 1 [7]) de nteio. Tiene e inconveniente de que hy que ccu esos invesos: X n+1 = ( (X n ) -1 + b) mod m [III.8] E. Genedo de Método Mixto Con estos genedoes se obtienen seies pti de ots dos: Z n+1 = (X n + Y n ) mod m [III.9] L ongitud máxim de peiodo obtenid p Z n seá L 1 * L 2 si se veific que mcd (L 1, L 2 ) = ± 1. A difeenci de con os GCL quí e hecho de que un eemento de seie se epit no signific que seie empiece cic. Es consejbe utiiz métodos distintos p gene s dos seies de ptid [3]. F. Genedo bsdo en Registos y puets XOR En este cso se tbj con codificción en binio de os númeos de seie. Se dispone de un íne de bits etoios (semi) que se debeá obtene con gún oto genedo. Cd eemento de seie se puede obtene de dos mnes distints, y seección de un y ot se eiz de un fom más o menos etoi: 1ª igundo e nuevo eemento semi coespondiente X n+1 = semi n+1 [III.10] 2ª medinte opeción exo de os dos eementos nteioes

3 3 X n+1 = (X n XOR X n-1 ) [III.11] Hy que tene en cuent que p os csos n = 1 y n= 2, e uso de s semis es necesio. III.II Test Estdísticos Estos test vienen ecogidos en os Fede Infomtion Pocessing Stndd (FIPS) (Eneo 1994) y (Noviembe 1999) [3]. Los FIPS son pubicdos po e Ncion Institute of Stndds nd Technoogy (NIST) y petenden estbece unos estándes segui po e gobieno fede estdounidense. Estos estándes y 140-2, en pticu, hcen efeenci condiciones de seguidd exigids móduos ciptogáficos y especificn test estdísticos p os genedoes de númeos etoios, como os que hy dento de esos móduos [2]. A. Test Monobit En este test hy que cont e númeo de bits igues uno en un secuenci de bits. A ese númeo e mmos X. Dependiendo de cu de os dos FIPS consideemos podemos tene 2 ngos de voes de X p os cues e test se ps: FIPS < X < [2] FIPS < X < [3] E FIPS e menos exigente, po o que se consideá que e test se ps cundo X petenezc ngo estbecido po e FIPS que es e más estictivo y eciente. B. Test Poke En este cso hy que dividi secuenci de bits en 5000 segmentos contiguos de 4 bits. Esos 4 bits dn ug 16 posibes voes (0000, 0001,, 1111). Hy que cont e númeo de veces que pece cd uno de esos 16 posibes voes, y mcenemos ese númeo de piciones en f(i), siendo 0 i 15. A continución se evú siguiente expesión: X = (16/5000) * f(i) [III.12] E test se ps si: FIPS < X < 57.4 [2] FIPS < X < [3] De mismo modo que con e test nteio, p evu os goitmos se tendá en cuent e ngo estbecido po e FIPS C. Test de Rchs o Run Test Se define un ch como un subsecuenci máxim de bits consecutivos igues, bien sen ceos o unos, que es pte de secuenci inici de bits. Ests chs se deben cont y mcen e númeo de veces que pecen chs de 1 bit (un ceo o un uno), 2 bits igues (se mcenán po sepdo númeo de veces que pecen s chs 00 y 11), 3 bits igues Se conside que e test se ps si se veific tb I: Longitud de ch Intevo FIPS [2] Intevo FIPS [3] [3.4] Tb I Citeio de evución de Test de Rchs o Run Test A igu que en os csos nteioes se consideán os intevos estbecidos po e FIPS p compob si os goitmos psn e test. D. Test de Rchs Lgs o Long Run L definición de un ch g depende de FIPS que se considee: - FIPS 140-1: se define como un ch de ongitud 34 o más, bien se de unos o de ceos [2] - FIPS 140-2: se define como un ch de ongitud 26 o más, tnto si es de unos como si es de ceos [3].

4 4 P supe e test se debe compob que en seie de bits no hy ningun ch g. E. Test de Chi - Cuddo Este test es un método básico de estdístic que sive p medi unifomidd de distibución, y se ige po ecución [III.13]: V = ((Y s np s ) 2 /np s ) [III.13] Donde Y s epesent e númeo de veces que pece un númeo en seie y np s e númeo de veces que debeí pece dicho númeo si distibución fuese unifome. Se conside que distibución no es unifome si V >> 1. P sbe cundo conside ese V >> 1 existen vios citeios que siguen cución gene [III.14]: V máximo váido = (1/2) (Z α + (2 * n 1)) 2 [III.14] Donde Z α epesent e vo de vibe nom (N(0,1)) que dej dente de é α de áe, 1 - α epesent fibiidd o confinz de test (95%, 99%...) y n epesent e númeo de eementos de distibución. E citeio más utiizdo coesponde de confinz de 95%. En ese cso pticu e vo de α es 0.05 (1 α = 0.95) y e de Z α, que se puede obtene consutndo s tbs coespondientes, es IV. ESTUDIO COMPARATIVO DE LOS ALGORITMOS Y ELECCIÓN DEL MÁS APROPIADO Utiizndo hemient Mtb se impementon os difeentes goitmos de geneción de númeos etoios obteniéndose divess secuencis de númeos cuys distibuciones se hn epesentdo en s figus IV. 1 IV. 9. Figu IV. 1 Distibución de númeos obtenidos con Figu IV. 2 Distibución de númeos obtenidos con G. C. L. Mutipictivo G. C. L. Mixto Figu IV. 3 Distibución de númeos obtenidos con Figu IV. 3 Distibución de númeos obtenidos con G. C. Cudático G. Fiboncci Figu IV. 5 Distibución de númeos obtenidos con Figu IV. 6 Distibución de númeos obtenidos con

5 5 G. Geen G. Mitche Mooe Figu IV. 7 Distibución de númeos obtenidos con Figu IV. 8 Distibución de númeos obtenidos con G. Inves G. Método Mixto Figu IV. 9 Distibución de númeos obtenidos con G. Registos y Xo A simpe vist puede pece que hy vios goitmos que poducen seies bstnte unifomes, peo somete os goitmos os test se obtienen os esutdos de tb II, donde se indic si e goitmo ps o no ps e test de etoiedd popuesto: Gen. \ Test Monobit Poke Run Long Run Chi 2 G. C. L. Mutipictivo NO NO NO NO NO G. C. L. Mixto NO NO NO SI NO Cudático SI NO NO SI SI Fiboncci NO NO NO SI NO Geen SI SI NO SI SI Mitche Mooe SI NO NO SI SI Inves NO NO NO SI NO Método Mixto SI NO NO SI SI Registos y Xo SI NO NO SI SI Tb II Resutdos de os test de etoiedd A vist de os esutdos de os test se deduce que e goitmo de geneción más popido es e Genedo de Geen, y que es e que supe más test. Este goitmo necesit que oto goitmo e popocione 16 semis, y p eso se puede utiiz

6 6 e Genedo Conguenci Cudático. En seección de goitmos se h tenido en cuent tmbién idoneidd de os mismos p un impementción hdwe digit. V. IMPLEMENTACIÓN HARDWARE Se h diseñdo un quitectu p impementción digit de Genedo de Geen, o que equiee impementción de oto genedo p iniciiz memoi de númeos etoios, en este cso e Genedo Conguenci Cudático. L quitectu se h desodo utiizndo hemient Qutus II de Ate. E genedo competo tiene estuctu de Figu V. 1. señ de eoj señ de eset Iniciizció n de memoi Memoi de númeos etoios Agoitmo de Geen vo máximo de númeos soicitdos Compdo de ngo númeo etoio dento de ngo Figu V. 1 Esquem de estuctu de genedo de númeos etoios de Geen A. Boque de Iniciizción de memoi Este boque consiste en un Genedo Conguenci Cudático que se encgá de iniciiz memoi con os voes etoios necesios. ck = señ de eoj seec = señ que mc seección de semi inici seec1 = señ que mc pti de que instnte debe empez ccu númeos e genedo [4..0] = constnte que mutipic témino x 2 b [4..0] = constnte que mutipic témino x c [14..0] = constnte ditiv m [4..0] = moduo, vo máximo que pueden tom os eementos Este boque es e que se encgá de gene s 16 semis que necesit e genedo de Geen pti de un semi etoi que e popocioná un contdo en un momento ddo. Gudá os 16 eementos en memoi. B. Boque Memoi de númeos etoios cock = señ de eoj dt [4..0] = dto que se escibe en memoi wddess [3..0] = diección de escitu en memoi wen = señ de hbiitción de escitu dddess [3..0] = diección de ectu de memoi q [4..0] = dto eído de memoi Memoi de 16 pbs de 5 bits cd un en que iemos mcenndo os númeos genedos po e genedo cudático. E siguiente boque eeá de quí os númeos que necesit p gene un nuevo eemento y uego o mcená en posición que e coespond. C. Boque Agoitmo de. Geen dto1 [4..0] = pime eemento de entd G. Geen dto16 [4..0] = útimo eemento de entd G. Geen ck = señ de eoj m [4..0] = moduo, vo máximo que pueden tom os númeos genedos sig [4..0] = sid se obtiene e eemento genedo medinte e goitmo de Geen Este boque se encg de tom 2 dtos de memoi y os utiiz p gene e númeo etoio coespondiente.

7 7 D. Boque Compdo de Rngo numeo [4..0] = numeo etoio eído de memoi (obtenido de genedo) mx [4..0] = vo máximo de os númeos soicitdos numv [4..0] = vo peteneciente ngo soicitdo VI. EJEMPLO DE APLICACIÓN A ALGORITMOS GENÉTICOS Con objeto de iust utiidd de os genedoes de númeos etoios se pesent un ejempo en e cu se utiizn (de fom intensiv) númeos etoios p constui un goitmo genético. A. Intoducción os Agoitmos Genéticos Los Agoitmos Genéticos (GA) son goitmos de búsqued de popósito gene que se inspin en teoí de evoución de s especies (Ches Dwin, 1859). Los goitmos AG open sobe un pobción de souciones (individuos o comosoms) genedos de fom etoi y epesentdos medinte cdens de 0 y 1 (genes). L pobción evoucion hci souciones mejoes medinte picción de opedoes genéticos como son e cuce y mutción. En cd geneción s mejoes souciones genen descendientes que eempzn s peoes souciones [13]. En opeción de cuce se poducen descendientes con ccteístics combinds de sus pdes, y su objetivo es epesent epoducción ntu. En opeción de mutción se gene un descendiente medinte mutción de uno de os genes de un individuo. Tnto e númeo de cuces como e númeo de mutciones es etoio, sí como tmbién o son e bit mut en s mutciones y e bit pti de cu se combinn os pdes en opeción de cuce. Se utiiz un función de fitness p distingui s mejoes souciones de s peoes [13]. B. Resoución de un ejempo conceto medinte goitmos genéticos E objetivo es encont cuv óptim p que un ms m vy de un posición inici t (x 0, y 0 ) un posición fin más bj (x k, y k ) en e meno tiempo posibe. Est cuv se conoce como cuv bquistocom [13]. Figu VI. 1 Pobem de Bquistocom Cd cuv cndidt se soución está definid po un sucesión de k + 1 puntos de fom (x 0, y 0 ). P simpific e pobem se conside que distnci hoizont ente os puntos es constnte, x, de mne que sóo s posiciones y deben se optimizds. Cd tu y i se codificá como un cden de n bits. A encden tods s tus de cd posibe soución se obtiene un comosom (cden de N bits). P obtene pime pobción se tom siguiente ecución, de mne que se obtengn voes ceptbes en e ngo [y min, y máx ]: y 1 = y min + ((y máx - y min )/(2 n 1)) i = 0 n --1 s i 2 i [VI.1] E pime eemento de posibe soución vendá detemindo po s n pimes posiciones de cden de bits s, e segundo po os siguientes n y sí sucesivmente. Apicndo est ecución tnts veces como tus quemos p cd posibe soución se obtiene e pime individuo de pobción inici. P obtene e esto de os individuos se ptií de ot cden etoi de bits y se epetiá opeción. En e ejempo estudi, cuv está compuest po siete segmentos, de mne que se necesitán seis puntos intemedios. L posición inici seá (x 7, y 7 ) = (1.0, 0.0) y fin (x 0, y 0 ) = (0.0, 1.0). Se escoge un ongitud tot de os comosoms, C, de 36 bits, de mne que cd pámeto o tu ccu y 1,, y 6 vendá codificd po n = 6 bits. L pobción conside constá de M = 20 individuos. L función de fitness vendá detemind po e tiempo que td ms en i desde e punto inici punto fin, que se puede expes como sum de tiempo que td en ecoe cd tmo: T = i = 0 k - 1 t i [VI.2] Teniendo en cuent s fuezs que intevienen en e movimiento de ms y picndo s ecuciones de despzmiento p ms se eg s expesiones [VI.3] y [VI.4] p e tiempo:

8 8 [VI.3] [VI.4] Ddo que os goitmos genéticos utiizn p función de fitness citeios de máximo, en eidd, p este pobem se debeá tom como función de fitness inves de tiempo, es deci: f (C i ) = 1/T(C i ) [VI.5] Un vez obtenid pobción inici y ccud función de fitness de cd individuo, se define un función de pobbiidd que seá que pemitiá distingui ente individuos mejoes y peoes, p seeccion os pdes de siguiente geneción. Resut evidente que p esoución de este pobem medinte goitmos genéticos se vn necesit vios númeos etoios: - cden de bits p obtene pobción inici - cácuo de un vo medio po encim de cu se considen buenos os individuos - númeo de cuces, individuos cuz, posición pti de cu se cuzn - númeo de mutciones, individuo mut, posición en que se poduciá mutción. P obtene todos os númeos etoios necesios p esove este ejempo se h utiizdo e genedo de númeos etoios diseñdo en este tbjo. P veific e funcionmiento de goitmo genético se hn eizdo simuciones con hemient Mtb. A continución (Figus VI.2 VI.5) se muestn os esutdos de s simuciones. En conceto se muest pte de evoución de soución de pobem. i y u t cuv de pobción inici i y u t Mejo de cuv obtenid en inteción 1 e d 40 e d 40 o v o v posición i de yi posición i de yi Figu VI. 2 Mejo tyectoi de pobción Figu VI. 3 Mejo de tyectoi en iteción inici: [ ] 1, nuev tyectoi: [ ] t = seg t = seg i y u t Mejo de tyectoi en iteción 10 i y u t Tyectoio óptim definitiv (cnzd en iteción 15) e d 40 e d 40 o v o v posición i de yi posición i de yi Figu VI. 4 Mejo de tyectoi en iteción Figu VI. 5 Tyectoi óptim definitiv (cnzd 10, nuev tyectoi: [ ] en iteción 15): [ ] t = seg t = seg E goitmo genético se ejecut vis veces, de mne que se consiguen vis geneciones. En este cso se obtuvieon 200 geneciones, peo t y como e de espe e vo óptimo se consiguió bstnte ponto, en este cso en iteción 15. Po tnto, unque e goitmo sig buscndo souciones, como no encuent ningun mejo en s siguientes geneciones, nos devueve cuv de iteción 15 como mejo soución pobem.

9 9 VII. CONCLUSIONES A. Concusiones ecionds con geneción de númeos etoios Dunte e estudio eizdo sobe os númeos etoios y pseudoetoios se compobó dificutd de gene númeos emente etoios en un sistem digit. Este hecho sí como imposibiidd de epoduci os númeos obtenidos de mne que sen veddemente etoios puso de mnifiesto gn impotnci y necesidd de os númeos pseudoetoios. Dichos númeos pseudoetoios tienen divess picciones hoy en dí, guns de s cues son fundmentes en vid dii sin que gente se pecte de eo; go tn hbitu como os videojuegos, músic eectónic o s cves (como s de s tjets de cédito) utiizn númeos etoios. Ots picciones impotntes como ciptogfí pemiten que s comunicciones, po ejempo tvés de Intenet sen segus, gcis enciptción de dtos. Más novedoss y t vez un poco más bstcts esutn picciones como de os goitmos genéticos y guns nuevs tecnoogís. Dunte e desoo de tbjo se h podido compob que os goitmos de geneción de númeos pseudoetoios tienen cietos pobems como puede se stución o pedecibiidd de os númeos, o que hce que obtención de genedoes de go peiodo se impotnte. B. Concusiones ecionds con tecnoogí de dispositivo Ls FPGAs pesentn vis ventjs cundo se quieen constui cicuitos digites. Pemiten diseñ e hdwe medid, es deci, e diseñdo no tiene que busc en e mecdo poductos que se dpten sus diseños, sino que puede diseño medid de sus necesiddes, o eutiiz y modific otos diseños y existentes. Tmbién fciitn modificción y epogmción de diseño. Ot de s ventjs de s FPGAs es que pemiten cot os cicos de diseño gcis enguje VHDL, que pemite escibi ficheos de texto que se pueden simu, modific y finmente sintetiz. Ls FPGAs fciitn constucción de diseños de t veocidd. Tbj con FPGAs popocion opotunidd de utiiz s hemients de diseño distibuids po os distintos fbicntes, ests hemients pemiten incopo gn cntidd de boques IP (Popiedd Inteectu) que fciitn y giizn de mne notbe e diseño de cuquie dispositivo. BIBLIOGRAFÍA [1] E z de ciptogfí, tícuo pubicdo po Gemán Sáez i Moeno en Ciptomicón; sevicio web ofecido po e Instituto de Físic Apicd de CSIC [2] Inte Rndom Numbe genedo, Inte Copotion. [3] MundoCipto Actuizdo Jime Suáez Mtínez: mcipto@bigfoot.com [4] Tem3: Geneción de númeos etoios; signtu: Computción Estdístic (2º cuso), Deptmento de Infomátic de Univesidd de Jén. [5] The At of Compute Pogmming, Voume 2 Seminumeic Agoithms, Dond E. Knuth, 1997, Addison Wesey. [6] [7] [8] Numeic Recipes in C. The At of Scientific Computing, , Cmbidge Univesity Pess. [9] Lengujes de Simución, [10] Rndom Numbe Geneto Using Lep-Fowd Techniques, Nend S. Bobttin; Intention Institute of Infomtion Technoogy-Pune [11] [12] Estdístic Eement p Bioestdístic Básic y Cidd, Jvie Fnco Bibo, Emiio Nvo Gci, Pontuios de Mste de Sud Ment, 2002 [13] Genetic Fuzzy Systems. Evoutiony Tunning nd Lening of Fuzzy Knowedge Bses, Osc Godón, Fncisco Hee, Fnk Hoffmnn, Luis Mgden; Ed. Wod Scientific, 2001