ANTES DE COMENZAR RECUERDA

Transcripción

1 ANTES DE COMENZAR RECUERDA Clsific estos números según el tipo l que pertenecen.,7,9 7, 7,9,7 es un número deciml periódico puro. es un número entero.,9 es número deciml periódico mito., y,9 son números decimles ectos. 7 es un número nturl. 7 y son números rcionles. Epres en form de frcción.,,,,,.,,, ,., 99. Obtén el vlor bsoluto de los números. 7 ( ) 7 7 ( ) Clcul ls siguientes potencis. e) f) ( ) 7 ( ) g) 9 d) h) 7 e) 7 f) ( ) ( ) g) 9 79 d) h) 7 9

2 Números reles Simplific y epres el resultdo como potenci ACTIVIDADES Clcul el representnte cnónico de estos números. 9 9 Escribe dos representntes de los números rcionles. 7 9 Respuest biert. 7,,, 9 7,,,,,, 7 Hll cuántos números rcionles distintos hy en est secuenci. Hy dos números rcionles distintos, que son:, Un frcción que teng un término negtivo y otr que teng sus dos términos positivos, pueden ser representntes del mismo número rcionl? No pueden representr el mismo número rcionl, puesto que si un frcción tiene un término negtivo, el cociente es negtivo; y si sus dos términos son positivos, el cociente es positivo.,

3 Escribe números irrcionles, especificndo su regl de formción. Respuest biert. Trs l com, se sitún todos los múltiplos de :,9 Trs l com se sitún todos los múltiplos de :, Al número irrcionl se le sum el número : + Al número irrcionl se le sum el número : + Decide si los siguientes números son irrcionles., π π d) π 7 Es un número irrcionl, y que tiene infinits cifrs decimles que no se repiten de form periódic. Es un número deciml ecto, luego no es un número irrcionl. Es un número irrcionl, porque si un número irrcionl se le rest un número entero, el resultdo es un número irrcionl. d) No es un número irrcionl, puesto que es un frcción. 7 Encuentr, sin hcer operciones con decimles, un número irrcionl comprendido entre y. Respuest biert. Rzon si son cierts o no ls siguientes firmciones. L ríz de un número irrcionl es irrcionl. Un número irrcionl l cudrdo no es rcionl. Ciert, y que sigue teniendo infinits cifrs decimles no periódics. Fls, por ejemplo: ( ) 9 Indic el conjunto numérico mínimo l que pertenece cd número.,999 e),, d), f) Q d) Q I e) Q I f) Z 7

4 Números reles Represent ls ríces. d) d) Coloc, en l rect rel, el número: Φ Represent, en l siguiente rect rel, los números y. Aplic l propiedd distributiv y oper

5 Orden, de menor myor, los siguientes números rcionles e irrcionles < π < 7 7 π 7. 9 Con yud de l propiedd distributiv, clcul 99 y 999 sin relizr ls operciones ( ) (. ) Represent los siguientes conjuntos numéricos de tods ls forms que conozcs. Números menores que π. Números myores que y menores o igules que 7. Números menores o igules que y myores que. d) Números comprendidos entre los dos primeros números pres, mbos incluidos. (, π) {: < π} π (, 7] { : < 7} 7 (, ] {: < } d) [, ] { : } 7 Escribe, de tods ls mners que conozcs, estos intervlos de l rect rel. d) (, ) {: < } (, + ) {: > } [, ) {: < } d) (, ) {: < } Represent el conjunto {: } de tods ls forms posibles. [, ] {: } 9

6 Números reles 9 Con yud de l clculdor, escribe por eceso y por defecto. en form deciml y sus proimciones A ls diezmilésims. A ls cienmilésims. A ls millonésims. 7, Aproimción por eceso:,7 Aproimción por defecto:,7 Aproimción por eceso:,7 Aproimción por defecto:,7 Aproimción por eceso:,7 Aproimción por defecto:,7 Clcul los errores bsoluto y reltivo l redonder el número, ls décims. V rel, V proimdo, E,,,, E r,, Piens en un situción en l que dos mediciones tengn los mismos errores bsolutos, pero distintos errores reltivos. Respuest biert. V rel, Vlores proimdos, y. En mbos csos, el error bsoluto es,; pero los errores bsolutos son distintos:, E r,7, E r, Indic dos ejemplos de medid y d sus correspondientes cots de error. Respuest biert. Velocidd en utopist: km/h; edd de jubilción: ños. Clcul ls cots de error bsoluto y reltivo l redonder el número : A ls centésims. A ls milésims. E, E r E, E r,,,,,,,,

7 L poblción de un pueblo, redonded ls decens, es de hbitntes. Puedes indicr los errores? Sbrís dr ls cots de error cometido? Pr clculr los errores reltivos y bsolutos es necesrio conocer el vlor rel; por tnto, no se pueden clculr. E E r, Clcul un cot de error bsoluto cundo truncmos un número ls décims. Y si fuer ls centésims? E, E, Escribe en notción científic los siguientes números., d),79,,.9..,9... d),79,79 7 Oper y epres el resultdo en notción científic. (, +,7 ) :,,79 (7,7, ) (, +,7 ) :,,9,79 (7,7, ),99 Decide si son cierts ests igulddes. Rzon l respuest. ± d).. ±. ± Fls: ( ) Fls: (.)... Fls:. d) Fls: ( ) 9 Clcul el vlor numérico, si eiste, de los siguientes rdicles. d). No eiste ningun ríz rel. d)

8 Números reles Trnsform los rdicles en potencis, y vicevers. d) 7 e) 7 f) 7 d) e) 7 f) 7 Indic si son equivlentes los siguientes rdicles. y y y d) y Son equivlentes. Son equivlentes. No son equivlentes. d) No son equivlentes. Efectú ests operciones Oper y simplific. 7 d) d) 7

9 Rcionliz ls siguientes epresiones ( ) 7 + Rcionliz y oper Rcionliz y oper Rcionliz ests epresiones

10 Números reles Clcul, medinte l definición, estos logritmos. log log. e) ln e g) log log d) log, f) ln e h) log, log e) ln e log f) ln e log. g) log d) log, h) log, 9 Hll, medinte l definición, los siguientes logritmos. log log.. e) ln e g) log 7 log 9 d) log, f) ln e h) log, log e) ln e log 9 f) ln e log.. g) log 7 d) log, h) log, Clcul los logritmos y dej indicdo el resultdo. log log e) log log d) log f ) log log log log log log log,9 log e) log Sbiendo que log,; log,77 y log 7,; determin los logritmos decimles de los primeros números nturles. Con estos dtos, sbrís clculr log,? Y log,? log log ( ) log + log,, log log log log,,99 log log ( ) log + log,77 +,,77 log log ( ) log + log, +,,9 log 9 log ( ) log + log,77 +,77,9 log 7 log, log log 7 log,,, log, log log log,77,,7 d) f) log log, log log log log log,79 log

11 Hll, sin yud de l clculdor, log y log. Comprueb que su producto es. En el ejercicio nterior, se h visto que log,. Si se utilizn cmbios de bse, result: log log, log, log log ( ) log + log log, log Como los dos números son inversos, su producto es. Tmbién se puede comprobr de este modo: log log, log log log log log log log Hll el vlor de en ls siguientes igulddes. log log log d) log, d) Clcul cuánto vle log b log b. log b log b log log b log b log Clcul l frcción irreducible de: e) g). 7 7 d) f). h) 7 e) g). 7 d) f). 7 h) 7 7 Indic cuáles de ls siguientes frcciones son irreducibles. Son frcciones irreducibles:, y 7 9 7

12 Números reles 7 9 Cuántos números rcionles hy en el siguiente grupo? Los números rcionles son quellos que se pueden escribir como frcción, luego todos los números del grupo lo son. Hll pr que ls frcciones sen equivlentes. 9 Puedes escribir un frcción equivlente cuyo denomindor se? Por qué? No, porque no es múltiplo de. Reliz ests operciones : : : 7 9 : 7 9 : Cuáles de los siguientes números son rcionles y cuáles no lo son? Rzon tu respuest.,,, d), Es un número rcionl, y que es periódico, y culquier número periódico se puede epresr como frcción. Es un número rcionl, puesto que es un deciml ecto y los decimles ectos se pueden epresr como frcción. Es un número rcionl, y que es periódico. d) Es un número irrcionl, puesto que tiene infinits cifrs decimles que no son periódics.

13 Indic el tipo de deciml, en cd cso, y clcul si es posible su frcción genertriz.,, e),, d), f). 79. Es un número deciml periódico mito: Es un número deciml periódico mito: Es un número deciml ecto:. 7. d) Es un número deciml periódico puro: e). Es un número deciml ecto:. f) Es un número nturl: Hll l frcción genertriz de los siguientes números decimles., d), g),, e),7 h),9, 7 f), i),7 d) e) f) g) h) i)

14 Números reles 7 Efectú, utilizndo ls frcciones genertrices., +,, +, e), +, 9,, 7 d), +, 7 f), +, d) e) f) Reliz ls siguientes operciones.,,, :,9,7, d), :, : d) Utilizndo ls frcciones genertrices, comprueb si son verdders o flss ls igulddes., 9, :,, 9 +, d), +, 9 Verdder: 9 Verdder: : : Fls: d) Verdder: Escribe l epresión deciml de tres números rcionles y otros tres irrcionles. Eplic cómo lo relizs. Respuest biert. L epresión deciml de un número rcionl debe ser finit o periódic:,,, : 9 L epresión deciml de un número irrcionl debe ser infinit y no periódic:,,79,

15 Orden los siguientes números decimles, de menor myor.,999,9,9,9,99,9 Se ordenn los números, de menor myor:,9 <,9 <,99 <,9 <,9 <,999 9 Orden estos números decimles, de menor myor.,9 9, 9, 9,9 9,9,7, 7,7,77,77,7 7 Se ordenn los números, de menor myor:,9 <,99,9 <,99 <,9,7 <,7 <,77 <,7,77 <,77 D un número rcionl y otro irrcionl comprendidos entre:, y, y e), y,, y, d), y, f), y, Respuest biert. Rcionl:, d) Rcionl:, Irrcionl:, Irrcionl:, Rcionl:, e) Rcionl:,7 Irrcionl:, Irrcionl:,7 Rcionl:, f ) Rcionl:, Irrcionl:, Irrcionl:, Es cierto que,,? Si no lo es, escribe dos números, uno rcionl y otro irrcionl, situdos entre ellos. No es cierto, y que un número es deciml ecto y el otro es periódico. Respuest biert. Rcionl:, Irrcionl:, Clsific en rcionles e irrcionles ls ríces cudrds de los números nturles menores que. Son rcionles ls ríces de los cudrdos perfectos (,, 9 y ). Ls demás ríces son irrcionles. Indic cuáles de los siguientes números son rcionles y cuáles son irrcionles. 9 Solo es irrcionl, y que ls demás ríces son ects. 9

16 Números reles Deduce cuáles de los siguientes números son rcionles y cuáles son irrcionles Son irrcionles + y +, pues ls demás ríces son ects. Qué números representn sobre est rect numéric los puntos A, B, C y D, donde n es un segmento culquier? 9 B n n C B + D + A + Represent en l rect rel. e) g) d) f) 7 h) e) f ) 7 g) d) h)

17 7 Orden y represent, de form ect o proimd, los siguientes números reles., +, 7 Se ordenn los números, de menor myor: <, <,7 < < + A A B C D E B, C,7 D E + Represent estos números en l rect rel Orden y represent los siguientes números., Se ordenn los números, de menor myor: < <, < < <,

18 Números reles 7 Oper y clsific el tipo de número rel. 7, 9,, Es un número rcionl: Es un número irrcionl: Es un número rcionl: 7, ± 9,9 9, ± Describe y represent los siguientes intervlos. (, ) e) [, ) (, 7] f) [, + ) (, ) g) (, ] d) [, ] h) (, + ) {: < < } {: < 7} {: < } 7 d) {: } e) {: < } f) {: } g) {: } h) {: < }

19 7 Escribe el intervlo que corresponde ests desigulddes. < < < 7 < 9 d) (, ) (, 7] [, 9) d) [, ] 7 Escribe el intervlo que corresponde : > e) < 9 < d) 7 f) (, ] (, + ) e) (, 9) (, ) d) [7, + ) f) [, + ) 7 Represent, medinte intervlos, los números: Myores o igules que. d) Myores que y menores que. Menores o igules que. e) Myores que y menores que. Myores que. f) Comprendidos entre y, incluidos estos. [, + ) (, ) d) (, ] (, ) e) (, + ) [, ] f) 7 Represent (, ) y [, + ) en l mism rect, y señl medinte un intervlo los puntos que están en mbos. (, ) [, + ) El intervlo es [, ). 7 Represent los intervlos (, ) y (, ) en l mism rect, y señl el intervlo intersección. (, ) (, ) El intervlo es (, ). 77 Escribe dos intervlos cuy intersección se el intervlo [, ]. Respuest biert: (, ] y [, )

20 Números reles 7 Oper y redonde el resultdo ls décims., +, e),,7,,9 f),9 :,,7 +,79 g),,9 d) 7,,9 h), :, Redondeo:,7 e) Redondeo:, Redondeo:, f ) Redondeo: 7,7 Redondeo:, g) Redondeo: 7, d) Redondeo:, h) Redondeo:, 79 Hll l proimción por redondeo hst ls diezmilésims pr cd cso d) + 7,,9, d),9 Qué error bsoluto cometemos l proimr el resultdo de,9 +,7 +, por el número,9?,9 +,7 +,, El error bsoluto cometido es: E,,9,7 Si proimmos,9 por,; qué error bsoluto se comete? Y si lo proimmos por,? Cuál es l mejor proimción? Rzónlo. El error bsoluto cometido es: E,9,, Si se proim por,; el error bsoluto es: E,9,,9 Es mejor proimción,; porque el error bsoluto cometido es menor. Desde l ntigüedd prece con frecuenci, el número de oro, Φ, en proporciones de l nturlez, sí como en ls medids de construcciones, o en obrs de rte como l Giocond. Φ +, Escribe l proimción por redondeo hst ls centésims del número de oro. Puedes hllr los errores bsoluto y reltivo? L proimción por redondeo ls centésims es,. No se pueden hllr los errores bsoluto y reltivo, y que el número de oro es un número irrcionl y, por tnto, tiene infinits cifrs decimles no periódics.

21 Un truncmiento de,79 es,. Clcul el error bsoluto y el error reltivo. El error bsoluto cometido es: E,79,,79 79, El error reltivo cometido es: E r 9, 79, Aproim el número pr que el error se menor que un centésim. 7 Pr que el error bsoluto cometido se menor que un centésim, hy que clculr el cociente con dos cifrs decimles. L proimción pedid es,. Aproim el número, de form que el error bsoluto se menor que,. Pr que el error bsoluto se menor que un milésim, se escribe el número con tres cifrs decimles. Por tnto, l proimción pedid es,. Escribe los primeros intervlos encjdos dentro de los cules se hll, eindic qué error máimo cometes en cd uno., (, ) Error < (,;,) Error <,,, (,;,) Error <,,, (,;,7) Error <,7,, (,;,9) Error <,9,, 7 9 Se puede escribir π? Justific l respuest y di cuál es el orden de error cometido. Al ser un número irrcionl es imposible escribirlo con un frcción, y que tods ls frcciones son números rcionles. π,9 El error cometido es menor que un millonésim. Pr qué número serí.,7 un proimción ls milésims por defecto? Es l respuest únic? Cuánts respuests hy? Respuest biert.,99 Un proimción ls milésims es.,7. L respuest no es únic, y que hy infinitos números. Indic cuáles de los números están escritos en notción científic... e) 7, g),,7 d), f), h), El número 7, está escrito en notción científic.

22 Números reles 9 9 Escribe en notción científic los siguientes números, e indic su mntis y su orden de mgnitud e).9.. g) 9.., d),9 f),97 h) Mntis: Orden de mgnitud: 9,, -7 Mntis:, Orden de mgnitud: 7.9.,9 7 Mntis:,9 Orden de mgnitud: 7 d),9 9 - Mntis: 9 Orden de mgnitud: e).9..,9 9 Mntis:,9 Orden de mgnitud: 9 f),97 9,7 Mntis: 9,7 Orden de mgnitud: g) 9..,9 Mntis:,9 Orden de mgnitud: h)., Mntis:, Orden de mgnitud: Desrroll estos números escritos en notción científic.,,, d),,..,,,, d),, 9 Reliz ls operciones., +,7,7 + 9,, +, d), +, +,7 e), +,9 +,, +,7,9,7 + 9,,, +,, d), +, +,7,97 e), +,9 +,,9 9 Hll el resultdo de ests operciones. 9,,7,, 7,9, d), +,,9 e) + 7 9,,7,7,,, 7,9, 7,7 d), +,,9, e) + 7,997

23 9 Efectú ls siguientes operciones. 7,,, :,7,9,7 d) 9, :, 7,,,, :,7,,9,7,77 d) 9, :,, Simplific el resultdo de ests operciones. 7,, 79, 7, 9,, 7 9,,7, 7,9,7,7,9,79,9, 7 9,,97,,9 9 Hll el vlor numérico de estos rdicles. 7. d) e) f) 7 ± 7. d) e) ± 7 f) 97 Indic los rdicles equivlentes Simplific los siguientes rdicles. d) 7 e) 7 f) g) 7 h) d) 7 e) 7 f) 7 g) 7 h) 7 7

24 Números reles 99 Escribe como potencis de eponente frccionrio estos rdicles. e) g) ( ) d) f) h) ( ) ( ) d) e) ( ) ( ) ( ) f) g) ( h) 7 7 ( ) ( ) Epres medinte un solo rdicl. d) e) f) ( ) ( ) d) e) ( ) f) ( ) ( ) ( )

25 Etre los fctores que pueds de l ríz. e) g). d) 9 f) 7 h) d) e) f) 7 g). h) Etre fctores de los rdicles. 7 b 9 d) b c e) b f). y 7 7 b b d) 9 b c bc bc e) b b f). y y y Simplific ls siguientes epresiones. b c d) b b c b e) 79 7 b f) ( ) b c b c b c b b b d) b c b b c b b c 7 e) 79 7 b b b b c f) ( ) 9

26 Números reles Introduce los fctores bjo el rdicl. d) e) f) g) 7 h) i) j) 7 f).. d) e) g) 7 7 h) i) j) Introduce los fctores dentro del rdicl, si es posible. b c c b d) b b e) + f) ( ) b c b b c b b c b c c c c d) b b b b b e) No es posible introducir fctores, puesto que no es fctor. f) 7 7 Oper y simplific. ) ( ) ( ) ( 7 + ) ( ) ( + ) ( ) d) ( ) ( + ) e) ( 7 + ) ( ) f) ( 7 ) ( + ) g) ( 7 + ) ( 7 ) h) ( ) ( + )

27 ( ) ( ) ( ) ( 7 + ) ( ) 7 + ( ) 7 + ( + ) ( ) ( ) + ( ) d) ( ) ( + ) ( ) e) ( 7 + ) ( ) ( ) f) ( 7 ) ( + ) + g) ( 7 + ) ( 7 ) ( 7 ) + ( ) 7 h) ( ) ( + ) ( ) + ( ) 7 Clcul. b b b : b d) b b b b ( ( ( ( 9 7 b b b : : b : b b ( b ) ( ( b ) b 9 b b 9 b ( ) ( ( ) ) d) b b ( b b b ( ) b 7 b b Efectú y simplific. ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( + 7 ) ( + 7 ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( + 7 ) ( + 7 )

28 Números reles 9 Hll el resultdo ( 7 )( 7 + ) 9 + ( + ) ( + ) ( + )( ) Efectú y simplific. : d) ( ) : : : d) ( ) ( + ) + ( ) Epres el resultdo como potenci. ( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) 7

29 Rcionliz y simplific. f) 7+ g) h) 9 7 d) i) e) 7 j) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) + e) f) g) h) i) ( ) + ( ) ( ) 9 7 ( ) j)

30 Números reles Elimin ls ríces del denomindor. d) e) f) + + d) + ( + ) ( ) ( ) ( + ( + ) ( ) ) ( ) ( + ) ( )( + ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( 7) + ( + )( ) e) f) Rcionliz ls siguientes epresiones. ( ) d) ( 7 + ) ( ) ( ) ( )( + ) ( 7 + ) ( ) ( ( 7 + ) ( 7 ) ) ( ) ( + ) ( ( ) ( + ) ) ( ) 7 ( + ) 7( ) ( + )( ) 7( ) d) 7 9 ( + ) Rcionliz y simplific el resultdo d) + ( ) ( + ) ( ) + +

31 d) ( + 7) ( + 7) ( 7 + )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) + 7 ( + 7) + ( + ) + ( ) Rcionliz ls siguientes epresiones. ( ) ( ) ( ) d) ( + ) ( ) ( ) ( + 9 ) ( )( + ) ( ) ( + ) ( )( + ) ( + ) 7 ( ) 7 7 ( + ) ( ) ( + )( ) + ( ) ( + ) + d)

32 Números reles 7 Reliz ests operciones Efectú ls operciones. + + ( + ) Clcul, medinte l definición, los logritmos. log e) ln e log 9 f) ln e log.. g) log 7 d) log, h) log, log e) ln e log 9 f) ln e log.. g) log 7 d) log, h) log, Sbiendo que log,; hll log medinte ls propieddes de los logritmos. log log ( ) log + log log + log, +,9 +,9 Clcul log, utilizndo ls propieddes de los logritmos, e intent dr un resultdo ecto. 7 log 7 Hll el resultdo de ls epresiones, medinte ls propieddes de los logritmos. log + log log 7 9 log + log 7 + log log log 9 + log log + log log log + log 7 + log log log 9 + log +

33 Desrroll ls siguientes epresiones. log b c d log b 7 c log y z e d) ln. log b c log ( b log d d log + log b + log c log d log + log b+ log c log d log b log 7 ( b ) log c 7 c log log ( ) log y z y z e d) ln. log + log b log c 7 log + log b+ log c ( ) ( ) log log y z log + log log y log z log + log log y log z ln( e ) ln. ln e + ln ln ln e+ ln ln 7 Determin, utilizndo l clculdor. log log log d) log log log log, log log log log,77 log log log log,7 log log d) log log, log 7

34 Números reles Si log e,; cuánto vle ln? Y ln,? log ln, log e, log, ln,, log e, 7 Hll el vlor de los logritmos decimles, teniendo en cuent que log,. log. log e) log, log, d) log, f) log,. log. log log. log,,97 log, log log log,,9 log log log log,,99 d) log, log log log,,9 e) log, log log log,, f) log, log log log,,99 Clcul el vlor de. log log e) log ( ) g) log ( ) log d) log f) log ( + ) h) log ( + ) log log log, d) log e) log ( ) + f) log ( + ) + g) log ( ), +, h) log ( + ) Hll cuánto vle. log log log d) log log log log d) log

35 9 Clcul el vlor de. log 9 e) log 9 + log f) log / ln g) ln + d) log + h) log 7 + log 9 log 9 log log,99 log ln ln,9 ln d) log + 9 e) log f) log log 9,9 log g) ln + ( + ) ln,9 ln h) log 7 + ( + ) log Determin el vlor de.. e). 7 f) ( ) 7 7 g) + 7 d) h) ± d) e) ( ). f) ( ) 7 g) h) + + 9

36 Números reles Indic si son verdders o flss ls siguientes firmciones. Rzon tu respuest. Todos los números decimles se pueden escribir en form de frcción. Todos los números reles son rcionles. Culquier número irrcionl es rel. d) Hy números enteros que son irrcionles. e) Eisten números reles que son rcionles. f) Todo número deciml es rcionl. g) Cd número irrcionl tiene infinits cifrs decimles. h) Todos los números rcionles tienen infinits cifrs decimles que se repiten. i) Todos los números rcionles se pueden escribir medinte frcciones. Fls, pues los números irrcionles tienen infinits cifrs decimles no periódics y no se pueden escribir como frcción. Fls, porque hy números reles que son irrcionles. Verdder, y que los números rcionles y los irrcionles formn el conjunto de los números reles. d) Fls, porque si son enteros no pueden tener infinits cifrs decimles no periódics. e) Verddero, pues todos los números que se pueden epresr como frcción, son números reles, que demás son rcionles. f) Fls, porque los números decimles con infinits cifrs decimles no periódics son irrcionles. g) Verddero, y que tienen infinits cifrs decimles no periódics. h) Fls, pues los decimles ectos tmbién son rcionles. i) Verddero, por definición. Por qué l ríz cudrd de culquier número termindo en es un número irrcionl? Eiste otro conjunto de números con est crcterístic? Porque no hy ningún número que, l multiplicrlo por sí mismo, dé un número termindo en. Tods ls fmilis de números terminds en, 7 y tienen est crcterístic. Escribe en notción científic ls siguientes cntiddes. Distnci Tierr-Lun:. km Distnci Tierr-Sol:.. km Diámetro de un átomo:, m d) Superficie de l Tierr: millones de km e) Longitud de un virus (gripe):, m f) Peso de un estfilococo:, g g) Un ño luz: 9... km h) Distnci l gli más lejn:. millones de ños luz., e),, 9.., f), 7, g) , d).. h)...,

37 Con yud de ls propieddes de los números reles, prueb que el producto de cero por culquier número rel d como resultdo cero. En cd cso, indic l propiedd que estás utilizndo. Por l unicidd de los elementos neutros pr l sum y l multiplicción se tiene que: Propiedd distributiv + ( + ) Como + Qué tipo de deciml se obtiene de l frcción, siendo un número entero? Como nuestro sistem de numerción es deciml, l dividir un número entero entre un número que se potenci de o, o de mbos, se obtiene un deciml ecto. Si el numerdor es múltiplo del denomindor, se obtiene un número entero. Eiste lgún cso en que l proimción por eceso y por defecto coincidn? Y si considermos el redondeo, puede coincidir con l proimción por eceso opor defecto? No pueden coincidir, y que pr proimr por defecto se eliminn ls cifrs prtir del orden considerdo, y pr proimr por eceso se eliminn ls cifrs prtir del orden considerdo, pero se ument en un unidd l últim cifr que qued. L proimción por redondeo coincide con l proimción por defecto si l cifr nterior l orden considerdo es menor que cinco, y coincide con l proimción por eceso en el resto de csos. 7 Rzon cómo se rcionlizn ls frcciones del tipo: Multiplicmos el denomindor por el conjugdo: n n b n n n + b n n n n n ( ( + + n n n n ( ) + Por tnto, multiplicndo por el conjugdo n veces: n n n n ( + b )( + b ) ( + b ) b n n n n n n n n n n ( + ( + ( b b n n b ( b ) + )( + ) b b b

38 Números reles 9 Rcionliz ls siguientes epresiones ( ) + + ( + + )( ) ( ) ( ) ( + ) ( )( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) + ( + )( ) ( + + ) ( ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( 7 ) 7 7. ( + + ) ( 7 + ) 7. Indic un procedimiento generl pr rcionlizr epresiones del tipo: b + b + + b n teniendo en cuent que b, b,, b n son números reles. Se multiplic el denomindor por un epresión que result l cmbir de signo todos los elementos del denomindor menos uno. Al relizr l operción el número de ríces disminuye, se repite este proceso tnts veces como se necesrio hst que l epresión quede rcionlizd. Consider que A, B, C y D son cutro pueblos. L distnci medid entre A y B h sido de km, con un error de m, y l distnci entre C y D h sido de m, con un error de, m. Qué medid es mejor? Por qué?,, Se clcul el error reltivo: E r, E r, Es mejor l medid tomd entre ls ciuddes A y B, y que el error reltivo cometido es menor.

39 Comprueb ls siguientes igulddes. n m n m b b e) b b n m n m b + b f ) b + c b + c n n n + b + b g) n m n d) b ( h) Flso: e) Verddero: m b b + b + b b b b Flso: f ) Flso: + + Flso: + g) Flso: + b b b b ( ) b b d) Flso: h) Flso: ( ) + + Escribe en notción científic. Sbiendo que log, y que,. Podrís hcerlo con un clculdor científic? Epres en notción científic, teniendo en cuent el primer prtdo. Llmmos l número: Tenemos que encontrr y tl que y. log log log Por otro ldo, como log y: y log,,,, No se puede hllr con clculdor, y que es un número demsido grnde. Llmmos l número: Tenemos que encontrr y tl que y : log log log Por otro ldo, como log y: y log 9, 9,, 9, 9

40 Números reles Ls uniddes de medid con que se mide l cntidd de informción son: Byte bits Megbyte Kilobytes Kilobyte bytes Gigbyte Megbytes Epres, en form de potenci y en notción científic, ls siguientes cntiddes de informción en bits y bytes. Disco duro de Gb. Disquete de, Mb. Trjet de memori de Mb. d) CD-Rom de Mb. Gb bytes bytes bits Gb, bytes,9 bits Mb 9 bytes 9 bytes 7 bits Mb,7 bytes,7 bits, Mb, bytes, bytes, bits, Mb,99 bytes, bits d) Mb bytes bytes bits Mb,77 bytes,7 bits PARA FINALIZAR... Si es un frcción irreducible: b + + b Cuándo es equivlente? Y cuándo es equivlente? b + b b + b b + + b b + b b+ b b b + b b + b + b b + b b b b Como b es distinto de cero: b + b b Si un frcción es irreducible, son ls frcciones y irreducibles? b b b Como los divisores de + b son los divisores comunes de y b: + b ( + y b no tienen divisores comunes, y l frcción es irreducible. b Como los divisores de b son los divisores comunes de y b: b ( y b no tienen divisores comunes, y l frcción es irreducible. b 99 + k Demuestr l siguiente iguldd: log k k k + k + k log log log k k k k k k 99 ( log ( + k) log k) ( log log ) k

41 7 Demuestr ests igulddes. log (b log b + log c b log log b log c c Por l definición de logritmos: log (b log b y log c z b c y b z c y z b c y + z b c log (b y + z Es decir: log (b log b + log c Por l definición de logritmos: b log log b y log c z c b y b z c c y b b b y z log y z z c c c b Es decir: log log b log c c Demuestr l siguiente iguldd: log ( b ) log ( + + log ( log ( + + log ( log [( + ( ] log ( b ) 9 Si el áre de est figur es cm, cuál es su ltur? D C L longitud de l bse mide: + cm Clculmos l ltur: ( + ) h h + + cm A h B Dos piezs móviles de un máquin se desplzn l mism velocidd. L primer piez describe un circunferenci de rdio cm y l segund se desplz de un etremo l otro del diámetro de es circunferenci. Si mbs piezs prten del mismo punto, coincidirán en lgún momento? Suponemos que mbs piezs prten de A. Llmmos v l velocidd que llevn los dos móviles. L distnci recorrid por el móvil que se desplz por l circunferenci en los puntos A y B es: π(k ), siendo k un número nturl. L distnci recorrid por el móvil que se desplz por el diámetro en los puntos A y B es: (k ), siendo k un número nturl. Ls distncis recorrids por el móvil que se desplz por l circunferenci son números irrcionles, mientrs que ls distncis recorrids por el móvil que se desplz por el diámetro son números nturles. Por tnto, nunc coincidirán mbos móviles. A cm B

42 ANTES DE COMENZAR RECUERDA Pon un ejemplo de polinomio de grdo y con término independiente. Determin sus términos y su vlor numérico pr y. Respuest biert. P() + P() + P( ) ( ) ( ) + ( ) Sc fctor común ls siguientes epresiones. yz z y z ( ) ( ) ( ) yz z y z z(y z z y ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( 9) Reliz est división por l regl de Ruffini. ( + ) : ( + ) Indic los elementos de est ecución. ( + ) ( ) + 7 Términos: ; ; ; 7; Primer miembro: ( + ) ( ) + Multiplicndo el primer miembro: Segundo miembro: 7 Incógnit: Grdo: Soluciones:,9;,9 + Cuáles de los siguientes vlores son soluciones de l ecución? d) L solución de l ecución es l del prtdo d),. 7

43 Ecuciones, inecuciones y sistems Resuelve ls siguientes ecuciones. ( ) ( + ) ( + ) 7 ( ) ( d) ( ) + ) ( + ) 7 d) + 7 ( ) ( ) + ( ) ( + ) ( + ) ( ) + ( + ) ACTIVIDADES Clcul estos números combintorios. 7 7 d) ! 9!!!!! 7 7 d) 7!!!! 7!! Desrroll ls siguientes potencis, utilizndo el binomio de Newton. ( ) ( + ) ( ) + ( + ) Comprueb si los siguientes números son ríces del polinomio P() + +. d) P() + + Por tnto, es un ríz del polinomio. P() + + P( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) d) P( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) Por tnto, es un ríz del polinomio.

44 Clcul ls ríces enters de estos polinomios. P() Q() L ríz enter del polinomio es: Ls ríces enters del polinomio son: {,, 7} Fctoriz estos polinomios ( + )( )( ) + ( + )( )( ) ( + )( + )( + ) Encuentr ls ríces enters de los polinomios L únic ríz enter es: Est ríz no es enter. Ls ríces enters son: {, } Scmos fctor común: ( ) Ls ríces enters son: {, } 7 Simplific ests frcciones lgebrics

45 Ecuciones, inecuciones y sistems 9 Reliz est operción y simplific el resultdo ( + ) Clsific y resuelve ests ecuciones de segundo grdo. + f) + + g) + 9 h) + d) + 9 i) + e) + j) Ecución complet: + ( ) ± ( ) ± 7 Ecución complet: + + ± ± Ecución complet: ± ( ) 9 9 ± 9 + 9, , d) Ecución complet: ( ) ± ( ) e) Ecución complet: + ± ( ) ( ) ± 9 ( ) No tiene soluciones reles.

46 f ) Ecución incomplet: ( ) g) Ecución incomplet: 9 h) Ecución incomplet: + i) Ecución incomplet: + ( + ) j) Ecución incomplet: Resuelve ests ecuciones. ( ) + ( ) ( )( + ) ( + )( ) + + ( + )( ) ( + ) + d) ( ) + ( + 9) ( + ) e) ( )( + ) ( ) ( ) + ( ) + ± ± ( ) ( )( + ) ( + )( ) + + ± + ( + )( ) ( + ) + + ± ( ) ( ) ± No tiene solución rel. d) ( ) + ( + 9) ( + ) No es un ecución, es un identidd. e) ( )( + ) ( ) 7 + ± ( 7) ( 7) ( ) ( ) 7 ± , 7 77,

47 Ecuciones, inecuciones y sistems Determin, sin resolver l ecución, el número de soluciones que tiene. + d) e) f), +, Clculmos el discriminnte: b c ( ) ( ) 9 <. No tiene solución rel. b c 9. Tiene un solución. b c 9 ( ) ( ) 9 <. No tiene solución rel. d) b c ( ) ( ) >. Tiene dos soluciones. e) b c 9 ( ) ( ) 7 >. Tiene dos soluciones. f) b c,, ( ), >. Tiene dos soluciones. Cuánts soluciones pueden tener ests ecuciones bicudrds? Resuélvels ( ) ( ) ( ) + ( + ) 7 Como ls ecuciones son de curto grdo, pueden tener un máimo de cutro soluciones. 7 z + 9 z 7z + 9 z z ± ( 7 ) ( 7 ) ± z z 9 z ( ) ( ) 7 z + z 7z + z z ± ( 7 ) ( 7 ) 7 ± z z z ( ) + ( + ) 7 z + z z + z z ± ( ) ( ) ± 7 7 z 9 z z 9

48 Hll l solución de ls siguientes ecuciones con frcciones lgebrics ± ( ) ( ) ( ) ± z z + z + z ± ( ) ± ( ) z No tiene solución rel. z z z Resuelve ests ecuciones con rdicles. d) ( ) ( + ) +. ± ( ) ( ). ± L solución es. + + z z z + z z ( ) ± ( ) ± 7 9 z z 9 z Ls soluciones son y.

49 Ecuciones, inecuciones y sistems ± ± ( 9) ( 9) 9 7 L solución es. d) + + ( + ) ( ) ( ) ( ) ± ( 9 ) ( 9 ) 7 9 ± L solución es. 7 Ests ecuciones precen fctorizds. Encuentr su solución. ( )( + )( ) d) ( ) ( + ) ( )( + )( ) e) ( ) ( + 7) ( )( + )( ) d) e) 7 Fctoriz ls ecuciones y resuélvels ( )( )( )( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) 7 Escribe un ecución que teng como soluciones:, y 7. Cuál es el mínimo grdo que puede tener? Respuest biert. ( )( )( + 7) El mínimo grdo que puede tener es.

50 Resuelve estos sistems de ecuciones. + y p+ q 9y p q Escoge el método que consideres más decudo. Resolvemos el sistem por sustitución: + y y 9y y 9y y Resolvemos el sistem por reducción: p+ q p q p q p q Summos ls ecuciones: p q p q q q Sustituimos en un de ls ecuciones: p+ p 9 Hll ls soluciones de estos sistems. ( + y ) ( y) + y + ( y + ) y + ( ) + ( y + ) Resolvemos el sistem por sustitución: ( + y ) ( y) + y + ( y + ) + y y Resolvemos por reducción: + y y y y Sustituimos en un de ls ecuciones: +

51 Ecuciones, inecuciones y sistems y + y + ( ) + ( y + ) + y Resolvemos por reducción: + y y y + y y y Sustituimos en un de ls ecuciones: + Clsific estos sistems de ecuciones, y resuélvelos por el método más decudo. y p+ q + y p q y y + y Sistem comptible indetermindo: y. Resolvemos el sistem por reducción: p+ q p q ( ) p q p q 7q q 7 Sustituimos en un de ls ecuciones: p p 7 7 Sistem comptible determindo. Decide de qué tipo son estos sistems de ecuciones y represent gráficmente su solución. + 9y y b + b Sistem incomptible. Sistem comptible determindo. Y Y,, X X

52 Resuelve los sistems. + y + y + y + y Resolvemos el sistem por sustitución: + y y + y ( y) + y y y + 99 y y Sustituimos en l ecución: Resolvemos el sistem por sustitución: + y y + y y ( y) + ( y)y y 9y + y Sustituimos en l ecución: Clcul dos números, sbiendo que su sum es y l sum de sus inversos es. 7 Plntemos el sistem de ecuciones: + y y + 7 y y y 7 Resolvemos el sistem por sustitución: y 7y + 7( y) 7( y)y y y + y Los números pedidos son y. Resuelve l siguiente inecución: + Rzon los psos relizdos pr resolverl. Resolvemos l ecución: + Tommos un punto culquier de cd intervlo: de (, ) de (, + ) 7

53 Ecuciones, inecuciones y sistems Comprobmos si esos puntos son soluciones: Si ( ) + (, ) es solución. Si (, + ) no es solución: Comprobmos si el etremo es solución. Si ( ) + es solución. Por tnto, l solución de l inecución es el intervlo (, ]. Encuentr el error cometido en l resolución de est inecución. (, ) Al psr del segundo l tercer pso, se h multiplicdo l ecución por, y se deberí hber cmbido el sentido de l desiguldd, por ls relciones de orden que cumplen los números reles. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo con un incógnit. + f) ( )( + ) + g) ( + ) < 9 > h) > d) 9 < i) + + < e) + j) + < Resolvemos l ecución: + Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect:, Si + > (, ) no es solución de l inecución. Si,,, + < (, ) es solución de l inecución. Si + > (, + ) no es solución de l inecución. Ls soluciones de l ecución lo son tmbién de l inecución. Por tnto, l solución es [, ]. Se deduce del prtdo nterior que ls soluciones de l inecución son: (,] [, + ) Resolvemos l ecución: 9 9 Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( ) 9 ( ) > (, ) es solución de l inecución. Si 9 < (, 9) no es solución de l inecución. Si 9 > (9, + ) es solución de l inecución. Ls soluciones de l ecución no lo son de l inecución. Por tnto, l solución es (,) (9, + ).

54 d) Resolvemos l ecución: 9 Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( ) 9 > (, ) no es solución de l inecución. Si 9 < (, ) es solución de l inecución. Si 9 > (, + ) no es solución de l inecución. Ls soluciones de l ecución no lo son de l inecución. Por tnto, l solución es (, ). e) El primer miembro de l inecución siempre será positivo. Por tnto, l inecución no tiene solución. f) Resolvemos l ecución: ( )( + ) Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( )( + ) > (, ) es solución de l inecución. Si ( )( + ) < (, ) no es solución de l inecución. Si ( )( + ) > (, + ) es solución de l inecución. Ls soluciones de l ecución lo son tmbién de l inecución. Por tnto, l solución es (, ] [, + ). g) Resolvemos l ecución: ( + ) Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( + ) ( ) > (, ) no es solución de l inecución. Si ( ) < (, ) es solución de l inecución. Si ( ) + > (, + ) no es solución de l inecución. Ls soluciones de l ecución no lo son de l inecución. Por tnto, l solución es (, ). h) Resolvemos l ecución: Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( ) > (, ) no es solución de l inecución. Si < (, ) es solución de l inecución. Si > (, + ) no es solución de l inecución. Ls soluciones de l ecución no lo son de l inecución. Por tnto, l solución es (, ). i) El primer miembro de l inecución es siempre myor o igul que cero. Por tnto, l inecución no tiene solución. j) El primer miembro de l inecución es siempre myor o igul que cero. Por tnto, l inecución no tiene solución. 9

55 Ecuciones, inecuciones y sistems 7 Resuelve ests inecuciones de grdo superior, siguiendo el método utilizdo pr ls inecuciones de segundo grdo. ( )( )( ) + + < ( )( + )( ) d) > Resolvemos l ecución: ( )( )( ) Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect:,, Si ( )( )(( ) ) >, Si ( )( )( ) <, no es solución. Si, (, )(, )(, ) > (, ) es solución. Si, (, )(, )(, ) < (, ) no es solución. Si ( )( )( ) > (, + ) es solución. Ls soluciones de l ecución lo son de l inecución. Por tnto, l solución es (,, [, + ). Resolvemos l ecución: ( )( +)( ) Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect:,, Si ( )( + )(( ) ) > (, ) no es solución. Si,, (, )(, + )((,) ) < (, ) es solución. Si,, (, )(, + )(, ) > (, ) no es solución. Si ( )( + )( ) < (, ) es solución. Si ( )( + )( ) > (, + ) no es solución. Ls soluciones de l ecución lo son de l inecución. Por tnto, l solución es [, ] [, ]. ( ) ( ) es solución. Resolvemos l ecución: + + Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si + + < (, ) es solución. Si + + > (, + ) no es solución. Ls soluciones de l ecución no lo son de l inecución. Por tnto, l solución es (, ).

56 d) Resolvemos l ecución: Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect:, Si ( ) ( ) + ( ) + 9 ( ) 9 >, es solución. Si < no es solución., Si > +, es solución. + Si,,, +, + 9, 9 <, no es solución. Si > (, + ) es solución. Ls soluciones de l ecución no lo son de l inecución. Por tnto, l solución es, +, (, + ). Represent en el plno l región solución de ests inecuciones. + y < y > y d) y Y Y X X Y d) Y X X

57 Ecuciones, inecuciones y sistems 9 Dibuj ls siguientes regiones del plno. Los puntos del plno con bscis positiv. Los puntos del plno con ordend myor o igul que cero. Encuentr un inecución que teng cd un de ess regiones como conjunto solución. > y Y Y X X Clcul ls soluciones de estos sistems de inecuciones. + > + 7 > < + + > > > > Elegimos el intervlo que cumple ls dos inecuciones: (, + ). + 7 < + > Elegimos el intervlo que cumple ls dos inecuciones: +., Resuelve los siguientes sistems de inecuciones con un incógnit. < + < < < < Elegimos el intervlo que cumple ls dos inecuciones:, + < + Siempre se cum plen. 7 + Son cierts pr todos los números reles.

58 Clcul ls soluciones de estos sistems de inecuciones. + y < y 7 + y + y Y Y X X Resuelve los siguientes sistems de inecuciones con dos incógnits. y + > y + y < < Y Y X X Clcul!,!,!,! y 7!, y comprueb si son cierts ls siguientes epresiones.!!!! +! 7!!!!!!!! 7 7!.!!! 7! +! 7!.!! 7! Por tnto, ningun epresión es ciert. Simplific ls epresiones sin hllr previmente el vlor de los fctoriles.!! d) e) f) 9!! ( + )!!!! 9! 9 7! ( + )! ( + )( + ) + +!! 7.!! 9 7!!! ( )( ) ( )! + d)!! e)! 7!! f)! ( )!

59 Ecuciones, inecuciones y sistems Clcul ls incógnits y comprueb ests igulddes. 7 No considermos l solución trivil.!!! 7! 7!!! ( )! 7 Complet los siguientes desrrollos. ( + ) ( y) 7 y + + (p q ) p p q + p q + + q d) (mn p ) m n 7m n p + mnp p ( + ) ( y) 7 y + y y (p q ) p p q + p q pq + q d) (mn p ) 7m n 7m n p + 9mnp p Sbiendo que, +, y que,99,; clcul el vlor de, y,99 emplendo l fórmul del binomio de Newton., ( +,) +, +, +, + 7, +, +,,,99 (,), +,, +,,9 9 Determin los términos que se indicn en estos desrrollos. Séptimo término de ( + y). Decimoseto término de (p + q ). Décimo término de ( ). d) Decimocurto término de ( + ).. y.7.7.7p q 9.. d)..99. Hll ls potencis cuyo desrrollo d lugr ests epresiones p + p + p + 9p + ( + ) ( ) (p + )

60 Encuentr los términos indicdos de los siguientes desrrollos. El término centrl de (p q). El término que contiene en ( + ) 9. El término que contiene en...p q.7 9 El séptimo y el octvo términos del desrrollo de un potenci son.79 y y.y, respectivmente. Intent descubrir de qué binomio hemos clculdo un potenci. ( + y ) Comprueb si M() + es divisible por y, en cso firmtivo, encuentr un polinomio N() que permit escribir M() de l form M() ( ) N(). Dividimos el polinomio entre : El polinomio N() es el cociente: N() + Determin ls ríces de los siguientes polinomios. ( )( + )( ) e) ( ) ( + ) f) + 7 ( )( + )( + ) g) + + d) + h) + + d)

61 Ecuciones, inecuciones y sistems e) f) 7 + g) 9 9 h)

62 De un polinomio de segundo grdo, P(), se sbe que P(), P() y un de sus ríces es. Determínlo. Obtén el vlor de m pr que el polinomio m + teng por ríz. ( )( + Como P() : b Como P() : b Por tnto, result que y b. El polinomio pedido es. Y como es ríz: m + m Obtén el vlor de n pr que el polinomio + + n + teng por ríz. Como es ríz: ( ) + ( ) + n ( ) + n 7 Qué vlor debe tomr pr que el resto de dividir + entre se 7? Dividimos el polinomio entre : Igulmos el resto 7: + 7 Determin y b de mner que el polinomio + + b se divisible por y por +. Dividimos el polinomio entre : b b b + + b Dividimos el polinomio entre + : b b b + 9 b Resolvemos el sistem: + + b + 9 b b 7

63 Ecuciones, inecuciones y sistems 9 Escribe un polinomio de tercer grdo cuys ríces sen ls que se indicn en cd cso., y, y, y Respuest biert, por ejemplo: P() ( )( )( ) Q() ( )( + )( + ) R() ( + )( ) Encuentr un polinomio P() de segundo grdo cuys ríces sen y y tl que P(). Q ( ) ( )( + ) P ( ) ( )( + ) Q( ) Escribe un polinomio de tercer grdo cuys ríces sen, y, y tl que Q(). P ( ) ( )( + ) Q ( ) ( )( + ) P( ) 9 Oper y simplific p p p p ( + ) p p + p p p ( p+ )( p+ ) + ( ) Reliz ls operciones y simplific el resultdo d) + b b ( + )( ) ( ) 9b + b b + ( + ( b d) 9 + +

64 Comprueb si el número indicdo en cd prtdo es solución de l ecución. ( ) + ( ) ( ) ( )( ) ( + ) ( + ) ( ) + ( ) + ( + ) d) ( ) + ( + 9) + No, ls soluciones son y. Sí, ls soluciones son y. Sí, l solución es. d) No, est ecución no tiene solución rel. Resuelve ls siguientes ecuciones de segundo grdo con denomindores ( + ) + + d) ± 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ± + + ( ) ± ( ) ± No tiene solución rel. + ( + ) d) (7 + ) 7 9

65 Ecuciones, inecuciones y sistems Busc ls soluciones de ls siguientes ecuciones con frcciones lgebrics y comprueb, l menos, un de ls soluciones ± ± ( ) ( ) ± ( ) ± 7 ( ) ( ) ± ( ) Resuelve ls ecuciones de segundo grdo sin utilizr l fórmul correspondiente. ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) Opermos: + Es un ecución incomplet cuys soluciones son y. ( + ) ( + ) Opermos: + Fctorizmos el primer miembro de l ecución utilizndo ls igulddes notbles: ( ) L solución es. 7

66 L sum de ls soluciones de un ecución de segundo grdo es y su producto es. Escribe l ecución correspondiente. Determin dichs soluciones. ( ) + + ± ( ) ( ) 7 Ls soluciones son y 7. 9 Clcul k en cd cso. + k + tiene un solución. + k no tiene soluciones. k + + tiene dos soluciones. k k ( ) k < (, ) k >, Resuelve l ecución de segundo grdo utilizndo ls igulddes notbles. Relcion el resultdo con el número de soluciones. b c + b + c b c b b b c + + b b c b b c + + ± b ± Si Si Si b c b b c ± b c < No tiene solución. b c Tiene un solución. b c > Tiene dos soluciones. Qué vlor debe tomr k pr que los números indicdos sen soluciones de ls ecuciones? + + k k( + ) ( + ) + (k ) + + k k k[( ) ( ) + ] (( ) + ) + (k ( )) k 7

67 Ecuciones, inecuciones y sistems Qué vlores deben tomr y b pr que l ecución + b teng dos soluciones, y? Sustituimos ls dos soluciones en l ecución y formmos un sistem donde ls incógnits son y b: + b 7 b b b 9 b b Di, sin resolverls, cuál es l sum y el producto de ls ríces de ls siguientes ecuciones, y luego clcúlls pr comprobrlo d) + Prtimos de un ecución de segundo grdo cuys soluciones son y b: ( ( Después, multiplicmos: b + b ( + + b Por tnto, el producto de ls ríces es el término independiente y l sum de ls ríces es el opuesto l coeficiente del término de primer grdo. El producto de ls ríces es y l sum es. Ls ríces son 7 y. El producto de ls ríces es y l sum es. Ls ríces son y. El producto de ls ríces es 9 y l sum es. Ls ríces son y. d) El producto de ls ríces es y l sum es. L ríz es. Escribe ecuciones de segundo grdo cuys soluciones sen: y y y 7 d) y Respuest biert. ( + )( ) ( + 7) ( )( + ) d) 7

68 Resuelve ls ecuciones. d) e) ± ( ) ( ) ± No tiene solución rel. d) ( ) ± ( ) ( ) ± + e) ± 7 ± 7 7

69 Ecuciones, inecuciones y sistems Ests ecuciones tienen menos de cutro soluciones. Determínls d) 9( )( + ) + z + + z + z + z z ± ± z No tiene solución rel. z z + z 9 z z ± ± 9 ( 9) 9 9 z 9 z z 9 No tiene solución rel. z + + z z + z ( ) ± ( ) ± No tiene solución rel. z d) 9( )(+ ) z + z+ 9 z z ± ( 9) 9 ± 9 ( 9) z 9 z 9 z No tiene solución rel. 9 7 Obtén ls soluciones de ls ecuciones. ( 7) ( ) + d) 9 7

70 ( 7 ) z + z z + z z ( ) ± ( ) ± 9 z z 9 z z ( ) z 9z + z z ± ( 9) ( 9) 9 9 ± 7 9 z 9 z z 9 z + + z + z z z ± ± ( ) 7 z z z No tiene solución rel. d) 9 z + 9 z z + 9 z ( ) ± ( ) 9 ± No tiene solución rel. Complet ls siguientes ecuciones escribiendo un número en el segundo miembro, de mner que tengn ests soluciones

71 Ecuciones, inecuciones y sistems 9 Resuelve y comprueb ls soluciones d) ± ( ) ( ) ± ± ( ) ( ) 7 ± d) Ests ecuciones tienen cero, un o dos soluciones. Determínls. + d) + e) No tiene solución. Tiene dos soluciones: Tiene dos soluciones: d) Tiene un solución: e) No tiene solución. 7

72 7 Ls ecuciones tienen tres soluciones. Dd un solución, clcul ls otrs dos soluciones. ( + )( ) ( )( + + ) Resolvemos l ecución : ± ( ) ( ) ( ) ± Resolvemos l ecución + + : ± 7 Hll l solución de ests ecuciones. + + ( + ) + + ( + ) ( + ) d) + ( + ) + ( + ) + + ( + )

73 Ecuciones, inecuciones y sistems d) 9 7 Escribe ecuciones fctorizds que tengn ls soluciones y el grdo indicdos. Grdo y soluciones, y 7. Grdo y soluciones, y. Respuest biert. ( + )( )( 7) ( ) ( + )( + ) 7 Hll ls soluciones de ests ecuciones. 7 + ( ) + + ( + ) ( ) Resolvemos l ecución : ( ) ± ( ) ( ) ± 7 ( ) + + ( + ) ( ) Resolvemos l ecución : ( ) ± ( ) ( ± ) 7

74 + + ( + + ) Resolvemos l ecución + : ± ( ) ± Resuelve ests ecuciones ( ) ( + 7) ( ) d) e) + + ( )

75 Ecuciones, inecuciones y sistems ( + 7) Resolvemos l ecución + + : ± ± 7 No tiene solución rel. d) e) Resolvemos l ecución : ± ( ) ( ) ( ) ( ) ± No tiene solución rel. ( ) ( ) Resolvemos l ecución + : ( ) ± ( ) ± 7 No tiene solución rel. 7 Del siguiente sistem de ecuciones se sbe que form prte de su solución. Determin el vlor de y. ( + y ) ( y) + y + ( y) + + y y y 77 Resuelve los siguientes sistems. ( + ) + ( y) ( + y) ( + ) y +

76 ( y ) ( + y ) ( y) ( y) + y + y + + y + y d) 9 y + + y e) ( + y ) ( y + ) ( + ) ( y + ) f) ( + y ) ( + y ) + y ( + ) + ( y) y y ( + y) ( + ) y + + y + Sistem comptible indetermindo. ( y ) ( + y ) y ( y) ( y) + y y Sistem incomptible. + y ( ) y 7 9y y y y y ( ) y + y d) 9 9 y 9 y + + y 9y Sistem incomptible. e) ( + y ) ( y+ ) ( + ) ( y+ ) + y + y ( ) y + y y y f) ( + y ) ( + y ) + y y Sistem comptible indetermindo.

77 Ecuciones, inecuciones y sistems 7 79 Dd l ecución y, encuentr otr ecución pr que junts formen un sistem de dos ecuciones que: Teng un sol solución. No teng soluciones. Teng infinits soluciones. Respuest biert. 7y y y Hll, si es posible, un vlor de pr que el sistem: y 9 + y Se incomptible. Se comptible indetermindo. Se comptible determindo. 9 No es posible. Encuentr, si es posible, un vlor de b pr que el sistem: y + 9y b Se incomptible. Se comptible indetermindo. Se comptible determindo. 9 El sistem es siempre comptible determindo. Resuelve los siguientes sistems con tres ecuciones y dos incógnits, y represent ls soluciones. + y + y + y y y y 7 + y 7 d) + y y y y y + y y + y + + y y y y y + y 7 y y Ls soluciones de ls dos primers ecuciones son e y, que no verificn l tercer ecución. Por tnto, el sistem es incomptible.

78 + y y y + + y y y 7 y y d) + y y y Ls soluciones de l segund y tercer ecuciones son e y, que no verificn l primer ecución. Por tnto, el sistem es incomptible. Determin ls soluciones de estos sistems de tres ecuciones con tres incógnits. + y + z y + z y + z + y z + y z + y + z + y + z y + z y z+ 7y z y z + y z y + z y + z y + z z + y z y+ z + y z y z+ y z z y ( ) y + y+ z y z ( ) + y z Resuelve ls inecuciones d) (, ] + +, + 7 [, + ) d) + +,

79 Ecuciones, inecuciones y sistems Hll l solución de ls siguientes inecuciones. ( + ) ( ) 9 ( ) ( + ) ( + ) ( ) + + > ( + ) ( ) , ( ) ( + ) ( + ) ( ) (, ] > + > > < 7, Encuentr l solución de ls inecuciones < , , + < < < > (, + )

80 Resuelve ests inecuciones. ( ) ( ) < + ( + ) > ( ) + ( ) + 7 ( ) ( ) + + < > d) ( + ) + > + < ( ) ( ) < < + ( + ) > > ( ) + ( ) > ( ) ( ) < >, + < < > 7> >, 7 > >, d) + + ( ) > > + < + < < (, ) < 7

81 Ecuciones, inecuciones y sistems 7 Cuál es l solución de ests inecuciones? < + + < e) + > + < d) + < f) + + Resolvemos l ecución: Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( ) + > (, ) no es solución de l inecución. Si < (, ) es solución de l inecución. Si > (, + ) no es solución de l inecución. Ls soluciones de l ecución no lo son de l inecución. Por tnto, l solución es (, ). Resolvemos l ecución: + Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( ) ( ) + < (, ) es solución de l inecución. Si + > (, ) no es solución de l inecución. Si + < (, + ) es solución de l inecución. Ls soluciones de l ecución no lo son de l inecución. Por tnto, l solución es (, ) (, + ). Resolvemos l ecución: + + No tiene solución rel. El primer miembro de l ecución siempre tom vlores positivos. No tiene solución. d) Resolvemos l ecución: + No tiene solución rel. El primer miembro de l ecución siempre tom vlores negtivos. Es un identidd. e) Resolvemos l ecución: + Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( ) + ( ) > (, ) es solución de l inecución. Si + < no es solución de l inecución., Si + > es solución de l inecución., + Ls soluciones de l ecución no lo son de l inecución. Por tnto, l solución es (, ), +.

82 9 f) Resolvemos l ecución: + + Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( ) + ( ) + > 9 no es solución, de l inecución. Si ( ) + ( ) + < 9 es solución, de l inecución. Si + + > + no es solución de l inecución., Ls soluciones de l ecución lo son de l inecución. 9 Por tnto, l solución es,. Resuelve ests inecuciones que contienen frcciones lgebrics. + + > < + < d) + > d) + < + > < (, ) + < < < + > >, + + < > > > <, (, + ) < + > + > >, > < 7

83 Ecuciones, inecuciones y sistems 9 Determin ls soluciones de ests inecuciones. d) e) + ( ) + > + < ( ) + > + + > + + > El primer miembro de l inecución es siempre positivo, por lo que siempre se cumple. Es ciert pr todos los números reles. + < < < Resolvemos l ecución: Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( ) + 7 ( ) + > (, ) no es solución de l inecución. Si ( ) + 7 ( ) + < es solución, de l inecución. Si > + no es solución de l inecución., Ls soluciones de l ecución no lo son de l inecución. Por tnto, l solución es, Resolvemos l ecución: + 7 No tiene solución rel. Como el primer miembro de l ecución tom siempre vlores negtivos, l inecución no tiene solución.

84 d) Resolvemos l ecución: Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( ) + ( ) + 7 >, es solución de l inecución. Si ( ) + ( ) + 7 < +, no es solución de l inecución. + Si > + es solución, de l inecución. Ls soluciones de l ecución lo son de l inecución. Por tnto, l solución es. +,, + e) Resolvemos l ecución: Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( ) + ( ) + 7 > 977, es solución de l inecución. Si ( ) + ( ) + 7 < , no es solución de l inecución. + Si > es solución, de l inecución. Ls soluciones de l ecución lo son de l inecución. Por tnto, l solución es ,, + 9

85 Ecuciones, inecuciones y sistems 9 9 Obtén ls soluciones de estos sistems. > < < < > < Resolvemos cd un de ls inecuciones: Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( ) ( ) > (, ) es solución de l inecución. Si < (, ) no es solución de l inecución. Si > (, + ) es solución de l inecución. Ls soluciones de l ecución no lo son de l inecución. Por tnto, l solución es (, ) (, + ). < < Por tnto, l solución es., L solución del sistem es l intersección de ls soluciones de cd un de ls inecuciones: (, ). Repitiendo el proceso del prtdo nterior, l solución es,. Repitiendo el proceso del prtdo nterior, l solución es (, + ). d) Repitiendo el proceso del prtdo nterior, l solución es., Resuelve estos sistems de inecuciones. < + > + > < < d) + < > > Resolvemos cd un de ls inecuciones. + Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: > > Si ( ) ( ) + < (, ) es solución. Si + > (, ) no es solución. Si + < (, + ) es solución Ls soluciones de l ecución no lo son de l inecución. d) < > 9

86 Por tnto, l solución es (, ) (, + ). + > > 7 Por tnto, l solución es ( 7, + ). L solución del sistem es l intersección de ls soluciones de cd un de ls inecuciones: ( 7, ) (, + ). L inecución de segundo grdo es l mism que en el prtdo nterior. Por tnto, l solución es (, ) (, + ): > > Por tnto, l solución es (, + ) L solución del sistem es l intersección de ls soluciones de cd un de ls inecuciones: (, + ). Resolvemos cd un de ls inecuciones: + Tommos un punto de cd intervlo en que qued dividid l rect: Si ( ) + ( ) > (, ) es solución de l inecución. Si + < (, ) no es solución de l inecución. Si + > (, + ) es solución de l inecución. Ls soluciones de l ecución no lo son de l inecución. Por tnto, l solución es (, ) (, + ). < < Por tnto, l solución es (, ). L solución del sistem es l intersección de ls soluciones de cd un de ls inecuciones: (, ) (, ). d) Repitiendo el proceso del prtdo nterior, vemos que el sistem no tiene solución. 9 Obtén gráficmente ls soluciones de los siguientes sistems de inecuciones. y + < y + > + y > + y > L solución es l región más oscur. Y L solución es l región más oscur. Y X X 9

87 Ecuciones, inecuciones y sistems 9 Clcul ls soluciones de estos sistems. y + < y + < y + > d) y + > + y < + y > + y < + y > No tiene solución. L solución es l región más oscur. Y Y X X L solución es l región más oscur. d) L solución es l región más oscur. Y Y X X 9 Resuelve los sistems. + y y + < y + < y + y + y + y y y + < + + y + < L solución es l región más oscur. L solución es l región más oscur. Y Y X X L solución es l región más oscur. Y X 9

88 9 Determin l sum y el producto de ls soluciones de l ecución. 9 + Hll ls soluciones. Puedes eplicr lo que sucede? El producto de ls ríces es y l sum es 9. Ls ríces son y 7. Si el coeficiente del término de segundo grdo es, el producto de ls ríces es el término independiente y l sum de ls ríces es el opuesto l coeficiente del término de primer grdo. 9 Estudi el vlor de los coeficientes de l ecución bicudrd + b + c, pr que teng cutro, tres, dos, un o ningun solución. Anlizmos el número de ríces de l ecución bicudrd + b + c prtir de ls ríces obtenids en l ecución de segundo grdo socid, z + bz + c. Si b c < No tiene solución. Si Si b b b c z < No tiene solución. Si b ( b, c ) Tiene un solución:. Si b > Si b c > L ecución de segundo grdo tiene dos soluciones. Si ls dos soluciones son negtivs, l ecución bicudrd no tiene solución. b b c b b c < y < No tiene solución. Si un solución es negtiv y l otr es cero: b c y < Tiene un solución:. Si un solución es positiv y l otr es cero: Tiene dos soluciones opuests. b b c y > Tiene tres soluciones:, ±. Si ls dos soluciones son positivs, l ecución bicudrd tiene cutro soluciones. b b c b b c > y > Tiene cutro soluciones. b b c ± + b b c ± 9

89 Ecuciones, inecuciones y sistems 97 Utiliz el método de sustitución pr resolver estos sistems de ecuciones no lineles. y y + y + y + y + d) y + + y y + 9 Resolvemos el sistem por sustitución: y + y + ± ( ) ± Ls soluciones son: Si y Si y Resolvemos el sistem por sustitución: y + y + + ± ( ) ± ( ) Ls soluciones son: Si y Si y ( ) 7 Resolvemos el sistem por sustitución: y + y + ± ( ) ( ) ( ) ± 7 Ls soluciones son: Si y Si y d) Resolvemos el sistem por sustitución: y + + y Est ecución no tiene solución rel, por lo que el sistem no tiene solución. 9

90 9 Resuelve l ecución. Trt de hcerlo sustituyendo en l epresión t y obtendrás un ecución de segundo grdo. Clcul ls soluciones pr l incógnit t y luego sustituye pr hllr el vlor de. Sustituimos: t Resolvemos l ecución: t t t t Sustituimos pr clculr : 99 Determin l solución de ests ecuciones relizndo ls sustituciones de vrible necesris Sustituimos: t Resolvemos l ecución: t 9t + t t Sustituimos pr clculr : + + 9

91 Ecuciones, inecuciones y sistems Fctorizmos el denomindor de segundo grdo: + ( ) Lo epresmos como un identidd notble: Sustituimos: t Resolvemos l ecución: t t t Sustituimos pr clculr : Si M sube de tres en tres los esclones de un torre, tiene que dr psos menos que si los sube de dos en dos. Cuántos esclones tiene l torre? Llmmos l número de esclones: + + L torre tiene esclones. El jeque Omr tiene dispuesto en su testmento que l tercer prte de sus cmellos se entregue su primogénito, Alí; l tercer prte del rebño se pr su segundo hijo, Csim, y el resto vy prr su espos Fátim. A l muerte de Omr y, un vez hecho el reprto, Fátim le corresponden cmellos. Cuántos componín el rebño del jeque? Llmmos l número de cmellos del jeque: El rebño del jeque estb compuesto por cmellos. En un bodeg venden dos tipos de vino: crinz yreserv. Averigu cuál es su precio sisbemos que Jun compró botells de reserv y botells de crinz y pgó 9, mientrs que Belén compró botells de crinz y botells de reserv, pgó. Llmmos l precio de l botell de crinz e y l precio de l botell de reserv: + y 9 y + 9 ( ) y 9 y 7 + y y + 7 El precio de l botell de crinz es de y el precio de l botell de reserv es de 7. 9

92 Un comercinte compr melones céntimos/kg y los vende céntimos. Hll cuántos kilogrmos de melones compró si se le estroperon kg y obtuvo. Llmmos l número de kilogrmos de melones que compró:,( ) El comercinte compró kg de melones. Crmen se dispone invertir.. En el bnco le ofrecen dos productos: Fondo Tipo A, l % de interés nul, y Fondo Riesgo B, l % de interés nul. Invierte un prte en cd tipo de fondo y l cbo del ño obtiene. de intereses. Cuánto dquirió de cd producto? Llmmos l dinero invertido en el Fondo Tipo A e y l dinero invertido en el Fondo B: + y., +,y.., y +, y.,y y Adquirió 7. del Fondo Tipo A, y. del Fondo Riesgo B. Un ciclist y un coche prten uno l encuentro del otro desde dos ciuddes seprds por km. Sbiendo que el ciclist vnz cutro veces más despcio que el coche y que trdn h min en encontrrse, cuál es l velocidd de cd uno? Plntemos un sistem de ecuciones, teniendo en cuent que e v t. Llmmos l distnci recorrid por el ciclist e y l velocidd del mismo: h min, h, y, y 7, y y 7, y, L velocidd del ciclist es km/h, y l velocidd del coche es km/h. Un cmión sle de un ciudd km/h y dos hors después prte en l mism dirección un coche km/h. Cuánto trdrá en lcnzrlo y cuánt distnci hbrán recorrido hbrá recorrido hst ese momento? Plntemos un sistem de ecuciones, teniendo en cuent que e v t. Llmmos l distnci recorrid por el cmión e y l tiempo que trd en lcnzrlo: y y + y y + y Trdrá hors en lcnzrlo y hbrá recorrido kilómetros. 97