Matemáticas. Análisis matemático (Capítulo 15)

Transcripción

1 Mster en Estdístic e Investigción Opertiv Mtemátics Análisis mtemático (Cpítulo 15) Ver Scristán Deprtment de Mtemàtiques Fcultt de Mtemàtiques i Estdístic Universitt Politècnic de Ctluny

2 Índice 15.Sums de infinitos sumndos El cso discreto: sumr series Series numérics Definición Ejemplo: l serie geométric Propieddes de ls series convergentes y su sum Propieddes de ls series de términos positivos Ejemplo: l serie rmónic Propieddes de ls series lternds Ejemplo: proximción de l sum de l serie rmónic lternd Convergenci bsolut y convergenci condicionl Series de potencis Definición Ejemplo Rdio e intervlo de convergenci Propieddes de les series de potencis Series de Tylor Ejemplo Ejercicios El cso continuo: integrles Integrles propis Objetivo y definición Otrs definiciones de l integrl Ejemplos Teorem fundmentl del cálculo Propieddes de ls integrles Tbl de derivds/primitivs immedits Otros teorems sobre integrción de funciones Integrles impropis Objetivo Definiciones Propieddes de ls integrles impropis Ejercicios Bibliogrfí

3 15. Sums de infinitos sumndos Un pstel se divide en dos mitdes. Un de ls mitdes, su vez, se divide en dos mitdes. De los curtos resultntes, uno se divide en dos mitdes. De los dos octvos resultntes, uno se divide en dos mitdes. Y sí sucesivmente. Este proceso se puede ir repitiendo indefinidmente (desde un punto de vist teórico), concluyéndose que = 1, es decir, el resultdo de sumr infinitos términos puede ser un número finito. Este cpítulo se dedic íntegrmente l estudio de ls sums de un cntidd infinit de sumndos, tnto si se trt de un cntidd infinit numerble (cso discreto, sum de un serie) como si se trt de un cntidd infinit continu (cso continuo, cálculo de un integrl) El cso discreto: sumr series Series numérics El cso más básico de sum de series es el de ls series numérics, que extienden el concepto de sum un conjunto infinito numerble de números reles Definición Se ( n ) n N un sucesión de números reles. L sum (finit) de los primeros términos de l sucesión, s n = n, se denomin sum prcil n-ésim de l serie socid l sucesión ( n ) n N, mientrs que n se denomin término n-ésimo de l serie. Se dice que l serie es convergente (o sumble) si l sucesión (s n ) n N tiene límite finito y, en tl cso, el límite de l sucesión de ls sums prciles se llm sum de l serie. En cso contrrio, se dice que l serie diverge. En culquier de los dos csos, l serie se denot n=0 n o tmbién n. Desgrcidmente, est notción denot tnto l serie como su sum, cundo existe. Sin embrgo, los dos conceptos no deben confundirse Ejemplo: l serie geométric L serie n 0 n 0 r n converge si, y sólo si, r < 1, y en tl cso su sum es 1 1 r Propieddes de ls series convergentes y su sum ) n 0 n es convergente si, y sólo si, n n 0 n es convergente. 147

4 En este cso, n 0 n = n0 1 + n n 0 n. b) Si n es convergente, entonces lím n = 0. El recíproco no es cierto. c) Si n y b n son mbs convergentes, entonces ( n + b n ) es convergente y ( n + b n ) = n + b n. d) Si n es convergente y c R, entonces c n es convergente y c n = c n Propieddes de ls series de términos positivos Un serie n se consider de términos positivos si n 0 n N. Si n, b n 0 n N, se dn ls propieddes siguientes: ) L serie n es convergente si, y sólo si, l sucesión (s n ) n N está cotd. b) Si n b n n n 0, entonces: bn es convergente = n es convergente. n es divergente = b n es divergente. n c) Si lím = l, entonces: n b n Si l R y l 0, entonces: n es convergente b n es convergente. Si l = 0, entonces: b n es convergente = n es convergente. Si l =, entonces: n es convergente = b n es convergente Ejemplo: l serie rmónic L serie 1 es divergente. n n Propieddes de ls series lternds Se denominn lternds ls series ( 1) n n y ( 1) n+1 n, con n 0. L propiedd más destcd de ls series lternds es l siguiente: ) Si ( n ) n N es un sucesión decreciente que tiende zero, entonces l serie lternd ( 1) n n es convergente. Además, en tl cso l diferenci entre l sum de l serie y culquier de sus sums prciles se puede cotr sí: N ( 1) n n ( 1) n n N+1. n=0 n=0 148

5 L demostrción de este resultdo comienz observndo que l subsucesión de ls sums prciles pres es decreciente: s 2n = s 2n 2 2n 1 + 2n s 2n 2. Además, está cotd inferiormente y es de términos positivos: s 2n = ( 2 3 ) ( 2n 2 2n 1 ) + 2n 0 1. Por lo tnto, (s 2n ) n N es convergente con límite s. L subsucesión de ls sums prciles impres cumple que s 2n+1 = s 2n + 2n+1, de mner que tmbién es convergente y de mismo límite: lím s 2n+1 = lím s 2n lím 2n+1 = s + 0 = s. En cunto l diferenci entre l sum y ls sums prciles, s s n = ( n+1 n+2 ) + ( n+3 n+4 )... = ( n+1 n+2 ) + ( n+3 n+4 )... = n+1 + ( n+2 + n+3 ) + ( n+4 + n+5 ) +... n Ejemplo: proximción de l sum de l serie rmónic lternd Aplicndo l propiedd nterior, es fácil comprobr que l serie n 1( 1) n+1 1 n es convergente y que, pr proximr el vlor de su sum con un deciml de precisión, hy que sumr l menos 10 términos de l serie Convergenci bsolut y convergenci condicionl Se dice que un serie n es bsolutmente convergente si l serie de sus vlores bsolutos, n, es convergente. Tod serie bsolutmente convergente es convergente. Esto se demuestr considerndo, pr cd sum prcil s n de l serie, l sum s + n de sus términos positivos y l sum s n de los vlores bsolutos de sus términos negtivos, y demostrndo que mbs son convergentes. El recíproco no es cierto: tl como demuestr l serie rmónic lternd, no tod serie convergente es bsolutmente convergente. Cundo un serie es convergente pero no es bsolutmente convergente, se dice que es condicionlmente convergente. Est terminologí se debe l propiedd siguiente: ) Si n es un serie bsolutmente convergente, entonces tod reordención bn = σ(n) de n es (bsolutmente) convergente y b n = n. b) Si n es un serie condicionlmente convergente, entonces pr todo c R existe un reordención b n = σ(n) de n tl que b n = c. L demostrción de ests firmciones es un poco enrevesd, pero no es más que un ejercicio técnico. Este resultdo indic que l propiedd conmuttiv de l sum (finit) de números reles no se extiende ls sums infinits, excepto si l convergenci es bsolut. En cmbio, l propiedd socitiv se extiende sin problems tods ls series convergentes: ) Si n es convergente, entonces culquier serie b n obtenid grupndo términos (consecutivos) de n es convergente, y b n = n. 149

6 Series de potencis Ls series de potencis son l generlizción del concepto de polinomio (sum finit de monomios) l cso de l sum infinit numerble de monomios Definición Un serie de potencis centrd en el origen es: n x n. n=0 Un serie de potencis centrd en el punto es: n (x ) n. n= Ejemplo Un resultdo nterior indic que l serie de potencis x n es bsolutmente convergente pr x < 1, y es divergente pr x > 1, pr x = 1 y pr x = Rdio e intervlo de convergenci Se define el rdio de convergenci R de un serie de potencis n x n de l mner siguiente: Si n x n sólo converge pr x = 0, entonces R = 0. Si n x n converge x R, entonces R = +. En el resto de csos, R = sup{ x n x n es convergente}. El intervlo ( R, R) se conoce como intervlo de convergenci de l serie. L propiedd siguiente de ls series de potencis es fundmentl pr entender qué signific el intervlo de convergenci de un serie: ) Si n x n es convergente pr x = x 0, entonces es bsolutmente convergente pr todo x tl que x < x 0. b) Si n x n es divergente pr x = x 1, entonces es divergente pr todo x tl que x > x 1. L demostrción de est propiedd es como sigue. Si n x n 0 es convergente, entonces lím n x n 0 = 0 y, por lo tnto, l sucesión ( n x n 0) n N está cotd. Se, pues, M tl que n x n 0 M, n N. Escribimos n x n = n x n 0 xn = x n n x n 0 x 0 x 0 n M x x 0 n. Puesto que x < x 0, result x x 0 < 1 y l serie de potencis M x x 0 n es convergente, es decir, n x n es convergente. De l propiedd nterior se deduce el resultdo siguiente: 150

7 Si R es el rdio de convergenci de un serie de potencis n x n, entonces l serie es bsolutmente convergente x ( R, R) y es divergente x tl que x > R. (El comportmiento de l serie en los puntos x = R y x = R puede vrir en cd cso: no lo rige un regl generl) Propieddes de les series de potencis Consideremos f(x) = n 0 n x n como l función definid en ( R, R) por un serie de potencis con rdio de convergenci R 0. Entonces f tiene ls propieddes siguientes: ) Continuidd. L función f(x) es continu en ( R, R). b) Derivbilidd. L función f(x) es infinitmente derivble en ( R, R). c) Expresión de ls derivds. L derivd de f tmbién es un serie de potencis: f (x) = n 1 n nx n 1 x ( R, R). y les derivds sucesivs tmbién lo son: f (k) (x) = n k n n(n 1)... (n k + 1)x n k x ( R, R). d) Expresión de los coeficientes. Los coeficientes de l serie están unívocmente determindos: n = f (n) (0). n! Series de Tylor Si f es infinitmente diferencible en x 0, l serie de Tylor de f en x 0 es n 0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Observe que se trt de l generlizción del polinomio de Tylor. Teorem de Tylor. Si f es infinitmente diferencible en x 0 y el residuo de Tylor de f en x 0 tiende cero, lím R n = 0, entonces f(x) coincide con su serie de Tylor: n f(x) = n 0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Ejemplo L función exponencil se puede desrrollr en serie de Tylor: e x = n 0 x n n!. 151

8 Ejercicios Exercici 15.1 Dig si ls series siguientes son convergentes o divergentes: ) 1 n n b) 1 n c) 3 3n 5 7n3 9n + 6 d) ln n n e) 1 2n 1 Exercici 15.2 Demuestre que l sum de ls series siguientes es l que se indic: ) n 1 b) n 1 1 n(n + 1) = n 1 = 3 c) n 1 n + 1 n n2 + n = 1 Exercici 15.3 Acote el error que se produce l substituir l sum de l serie 1 n! n 1 por l sum de los n primeros términos. En prticulr, clcule dicho error pr n = 10. Exercici 15.4 Desrrolle ls funciones siguientes en serie de Tylor centrd en el punto indicdo: ) f(x) = x en el punto 0. b) f(x) = ln(1 + x) en el punto 0. c) f(x) = sin x y g(x) = cos x en el punto 0. Qué relción gurdn estos desrrollos con el de l función h(x) = e x? d) f(x) = ln(1 x) en el punto 0. e) f(x) = e x en el punto

9 15.2. El cso continuo: integrles Integrles propis Objetivo y definición Ls integrles no son más que el cso continuo de ls sums infinits. Aquí y no se trt de sumr un cntidd numerble de vlores, sino de sumr un cntidd continu de ellos. Dd un función f definid y cotd en un intervlo cerrdo i cotdo [, b], su integrl f(x) dx pretende ser l sum de los vlores f(x) pr todos los (infinitos) vlores posibles de x [, b]. L integrl de un función f definid en un intervlo [, b] se escribe define como el límite cundo n tiende infinito, si existe, de l sum x i 1 ), donde x i = + b i y t n i es culquier número en [x i 1, x i ]. Observe l etimologí de l notción: f(x) dx = lím f(x) x. x 0 f(x) dx y se n f(t i )(x i L figur siguiente ilustr el resultdo de est sum pr diversos vlores de n l tomr como t i el extremo derecho de cd intervlo [x i 1, x i ]. i=1 f f b b f f b b L integrl de un función f sobre un intervlo [, b] se puede interpretr geométricmente como el áre, fectd de signo, de l porción del plno limitd por el eje de ls bsciss, l función y ls rects verticles x = y x = b. 153

10 + f + b Otrs definiciones de l integrl Existen diverss mners de definir este mismo concepto. L que hemos presentdo en el prtdo nterior se conoce como definición por sums de Riemnn. Tmbién se suele definir l integrl por sums inferiores y superiores, esto es, sums en ls que en vez de usr un vlor f(t i ) con t i [x i 1, x i ] escogido rbitrrimente, se tom t i tl que f(t i ) = mín x [xi 1,x i ] f(x) o f(t i ) = máx x [xi 1,x i ] f(x), y entonces se dice que f es integrble si el supremo de ls sums inferiores (tomdo sobre tods les prticiones posibles del intervlo [, b]) y el ínfimo de ls sums superiores coinciden. Otrs definiciones del concepto de integrl (por ejemplo, l definición de Lebesgue) se bsn en conceptos distintos, pero su objetivo es siempre el mismo Ejemplos ) Tod función constnte f(x) = k es integrble en culquier intervlo cerrdo y cotdo [, b] y que, pr tod prtición = x 0 < x 1 <... < x n = b de [, b] se tiene n i=0 f(t i)(x i x i 1 ) = n i=1 k(x i x i 1 ) = k(x n x 0 ) = k(b ). b) x dx = b2 2 pr culquier intervlo cerrdo y cotdo [, b] y que, tomndo un prtición equidistribuid, se tiene: 2 n n b x dx = lím f(t i )(x i x i 1 ) = lím x i n n n ( i=1 i=1 n ) b = lím x i n n = lím (x 1 + x n ) n b n 2 n ( i=1 = lím + b ) b n n + b = ( + b) b = b Teorem fundmentl del cálculo Se f : [, b] R integrble en [, b]. Podemos definir l función integrl F (x) = x f(t)dt, l cul result ser continu. Si, demás, f er continu, entonces F es derivble y F (x) = f(x) pr todo x [, b]. En otrs plbrs, d dx x f(t) dt = f(x). Por otro ldo, si existe G : [, b] R tl que G = f, entonces f = G(b) G(). 154

11 L primer de ests dos firmciones no es difícil de demostrr formlmente, pero es incluso más interesnte pensrl geométricmente. Observe l figur siguiente, teniendo en cuent que F F (x + h) F (x) (x) = lím : h 0 h f(t) F (x + h) F (x) x x + h L segund se deduce de l primer, como sigue. Ddo que G = f i F = f, ls funciones G y F sólo difieren en un constnte, F (x) = G(x) + k. Dich constnte k se puede clculr evlundo F y G en un punto conocido. Concretmente, sbemos que 0 = tnto, f(x) dx = F () = G() + k, de donde se deduce que k = G(). Por lo f(x) dx = F (b) = G(b) + k = G(b) G() Propieddes de ls integrles Alguns de les propieddes de ls integrles son nálogs les de ls derivds y que, como hemos visto, integrr y derivr son, en cierto sentido, operciones inverss. Concretmente: ) Si f es integrble en [, b] y c (, b), entonces f es integrble en [, c] y en [c, b], y f(x) dx = c f(x) dx + v f(x) dx. b) Si f y g son integrbles en [, b], entonces f + g es integrble en [, b] y (f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx. c) Si f es integrble en [, b] y λ R, entonces λf es integrble en [, b] y λf(x) dx = λ f(x) dx. d) Si f y g son integrbles en [, b], entonces fg es integrble en [, b]. e) Si f : [, b] [c, d] es integrble y g : [c, d] R es continu, entonces g f : [, b] R es integrble. f) Si f es integrble en [, b] y f(x) 0 x [, b], entonces f(x)dx 0. g) Si f y g son integrbles en [, b] y f(x) g(x) x [, b], entonces f(x) dx g(x) dx. 155

12 h) Si f es integrble en [, b] y m f(x) M x [, b], entonces m(b ) f(x) dx M(b ) Tbl de derivds/primitivs immedits ) Si f(x) = x r, on r R, entonces f (x) = rx r 1. b) Si f(x) = e x, entonces f (x) = e x. c) Si f(x) = ln x, entonces f (x) = 1 x. d) Si f(x) = sin x, entonces f (x) = cos x. e) Si f(x) = cos x, entonces f (x) = sin x. f) Si f(x) = tn x, entonces f (x) = 1 cos 2 (x). g) Si f(x) = rcsin x, entonces f (x) = 1 1 x 2. h) Si f(x) = rc cos x, entonces f (x) = 1 1 x 2. i) Si f(x) = rctn x, entonces f (x) = 1 1+x Otros teorems sobre integrción de funciones Es útil sber que determinds funciones son integrbles, unque no siempre se fácil clculr su integrl sobre un determindo intervlo. En prticulr: Tod función monóton en un intervlo cerrdo y cotdo es integrble en dicho intervlo. Tod función continu en un intervlo cerrdo y cotdo es integrble en dicho intervlo. A veces, tmbién pueden ser útiles otrs propieddes, como ls siguientes. Teorem del vlor intermedio pr integrles. Si f es continu en [, b], entonces existe lgún t [, b] tl que f(x) dx = (b )f(t). Teorem de integrción por prtes. Si f y g son derivbles en [, b] y f y g son integrbles en [, b], entonces f(x)g (x) dx = f(b)g(b) f()g() f (x)g(x) dx. 156

13 Teorem de integrción por cmbio de vrible. Si f es continu en [, b] y u : [c, d] [, b] es integrble en [c, d] y tl que u(c) = y u(d) = b, entonces f(x) dx = d c f(u(t))u (t) dt Integrles impropis Objetivo Al hblr de l integrbilidd de un función hemos requerido hst quí que se cotd y nos hemos restringido intervlos cerrdos y cotdos. Ls integrles impropis extienden el concepto de integrl reljndo ests dos condiciones. Pero tiene sentido hblr del áre delimitd por un función no cotd o en un intervlo no cotdo? puede dich áre tomr un vlor finito? f f b + L respuest mbs pregunts es firmtiv. Esto puede resultr sorprendente primer vist, pero no lo es tnto si recordmos que tmbién en el cso discreto ls sums infinits tienen sentido y pueden dr resultdos finitos Definiciones Si f es un función no cotd en [, b], pero es integrble en [, c] pr todo c [, b), entonces tiene sentido preguntrnos si existe el límite de ls integrles c f cundo c tiende b por l izquierd y, en cso de que exist y se un número rel, decir que l integrl f es convergente y que f(x) dx = lím c b c f(x) dx. Un definición nálog vle pr el extremo del intervlo de definición de f. Asimismo, si f es un función integrble en [, b] pr todo b, tiene sentido preguntrnos si existe el límite de ls integrles f cundo b tiende + y, si existe y es un número rel, decir que l integrl f es convergente y que f(x) dx = lím b f(x) dx.

14 Un definición nálog vle pr f(x) dx. Finlmente, se dice que l integrl + f(x) dx converge si lo hcen f(x) dx y f(x) dx pr un vlor rbitrrio de. Observe que un serie + n=0 n no es más que l integrl 0 f(x) dx en l que l función f es esclond y está definid sí: f(x) = n pr todo x [n, n + 1) Propieddes de ls integrles impropis Determinr si un integrl impropi converge no es tre fácil prtir de ls definiciones. Por este motivo se suelen utilizr propieddes. Ls primers y más obvis son ls que se derivn de form inmedit de ls propieddes de ls integrles propis descrits en el prtdo , y que ls impropis no son más que limites de ésts. Pero hy lguns propieddes más que son bstnte intuitivs y que, demás, mntienen un grn prlelismo con propieddes nálogs pr series. Son ls siguientes: ) Si f es un función positiv (es decir, f(x) 0 pr todo x ) y existe f(x)dx pr todo b, entonces f(x) dx converge M b f(x) dx M. b) Si f g son dos funciones positivs (es decir, 0 f(x) g(x) pr todo x ) y existe f(x) dx pr todo b, entonces Además, g(x) dx converge = f(x) dx f(x) dx converge. g(x) dx. c) Si f i g son dos funciones positivs y lím x + f(x) f(x) dx i g(x) dx pr todo b, entonces g(x) dx converge g(x) = c R {0}, y existen f(x) dx converge. Además, si c = 0 vle l implicción = y, si c = + vle l recíproc, =. Como es nturl, propieddes nálogs existen pr ls integrles impropis de tipo b, y tmbién pr ls integrles impropis de funciones no cotds sobre intervlos cerrdos y cotdos Ejercicios Exercici 15.5 Pr cd un de ls funciones f siguientes, dig cuál es l función F (x) = x f(t) dt. Dibuje esquemáticmente ls gráfics de f y de F en cd cso: 158

15 ) f(x) = c, x R. { c, si x b; b) f(x) = c + 1, si x = b. { c, si x < b; c) f(x) = c + 1, si x b. { c, si x b; d) f(x) = c 1, si x > b. e) f(x) = x, x R; = 0. f) f(x) = x, x R; = 0. Exercici 15.6 Clcule 3 3 x 4 + x 3 4x 2 4x dx. Exercici 15.7 Escrib con precisión el enuncido de ls propieddes de ls integrles impropis que se deducen de ls propieddes de ls integrles propis descrits en el prtdo , y explique su porqué. Exercici 15.8 Dig si l integrl siguiente converge: 1 dx x 2 (1 + e x ). Exercici 15.9 Clcule: 1 0 dx 1 x. 159

16 Bibliogrfí André I. Khuri, Advnced Clculus with Applictions in Sttistics, Wiley, Se trt de un libro de texto de nálisis mtemático pensdo pr estudintes de estdístic. Incluye todos los tems expuestos en est prte de l signtur y muchos más. Contiene lgunos ejemplos que provienen del cmpo de l estdístic, sí como dos cpítulos específicmente dedicdos plicciones estdístics. 160