ABSTRACf RESUMEN. Aunque las propiedades de la cuerda vibrante son bastante conocidas(1,2,3),

Transcripción

1 revista ml'xicail dl' f sica ~6 o 3 il~h.t03..t DETERi\liACOli DE LA RELAClOli EJl:TRE LA VELOCDAD DE PWPAGACOlli DE UNA OlliDA EJ: UNA CUERDA Y SU MASA Y TENSOr-; Ricardo R. Boullosa y Héctor Riveras R. Cetro de strumetos, Uiversidad Nacioal Autóoma de México (recibido 1 de mayo 1977) ABSTRACf Resoace frecuecies (up to the 15 th mode) are used to measure the velocity of propagatio of waves i vibratig strigs as fuctio of it's mass per uit leght ad tesio. These frecuecies are used to iduce the desired relatio. RESUMEN Se propoe como práctica escolar u procedimieto que utiliza los armóicos de la frecuecia fudametal de vibració e ua cuerda, para medir la velocidad de propagació de odas trasversales e fució de su masalogitud y la tesió. 1. NfROlUCCON Auque las propiedades de la cuerda vibrate so bastate coocidas(1,2,3), y se usa comumete como demostració e clase(4,s), cosideramos que o se ha hecho suficiete éfasis e la precisió co que se puede medir la frecuecia de los modos OD&,les cosiderados como resoacias. Debido a que este experimeto da resultados experimetales bastate precisos, peite iducir a partir de ellos ua relació empírica etre la velocidad de propagació de ua oda, la masa y la tesió e ua cuerda. Por otro lado es fácil justificar por medio de u aálisis dimesioal la forma de la expresió obteida a partir del proceso de iducció. Se debe mecioar, si embargo, que el ivel escolar que se supoe para esta práctica, o permite deducir la ecuació de oda. Los

2 404 coceptos que se supoe coocidos o co los cuales el ahumo está familiarizado, so los de frecumcia, logitud de oda, reflexió e ld extrcltk) y resoacia. 2. DESARROLLO El procediucto para establecer odas estacioarias de diferetes frecuecias, cosiste e hacer circular ua corriete altera por u alambre cerca del c~~l se coloca u imá l~rmaetc. La iteracció etre la corriete y el campo magético costate da la fuerza ecesaria para obligar al alambre a vibrar. La frecuecia de la corriete altera se varía co u geerador de audio. E estas codicioes, se tedrá resoacia e el alambre cuado el tiempo t que tarda la oda e ir y volver de u extremo al otro -- (lma distacia igual al doble de la logitud del alambre:t) es u múltiplo etero de u período 1: v espaciotiempo e t de dode: t ev Uv T e dode v es la velocidad de la oda e la cuerda; ivirtiedo la ecuació aterior, se tiee: o 10 que es 10 mismo: v U f (1) De lo cual v A f se ve que la frecuecia f es para cualquier tipo de oda: proporcioal a ; además como v 2t f A. que es (2) otra foa de expresar la codició de resoacia. E la discusió aterior aparece la velocidad uc propagaclo v, y hasta este mometo o se ha establecido de ql~ depede. Para hallar las variables que la determia es coveiete hacer algtmas coside-

3 405 racioes co respecto a las dimesioes; para esto imagíese ua cuerda tesa, como se sabe, el hecho de estar tesada permite el paso a través de ella de ua oda. Si se aumetara la tesió la oda viajaría más rápidamete, lo cual permite predecir que la velocidad depederá de la tesió (T). Si la cuerda es lo suficietemete delgada para ser totalcte flexible sería probable que la velocidad o depediera de la forma de la secció trasversal, si embargo, sí podría ser que el área de la secció trasversal (A) ifluyera e ella. Tambié sería lógico pesar que la velocidad podría depeder de la masa a través de la desidad (p) del material de la cuerda, e este caso se puede defiir ua desidad lieal e vez de ua desidad volumétrica: la masa de u elemeto de la cuerda de logitud dx es: <1m = pa.dx Y se defie: p A=m( = masalogitud. Habiedo cosiderado ituitivamete todos los factores que puede ifluir fuertemete e la velocidad, se puede decir que, es probable que la velocidad depede de los parámetros: Tesió (T) área de la secció trasversal (A), m( = masalogitud y p = desidad; y cuyas dirresioes so: [ T ] = Kg mi seg' Ahora bie, la úica combiació de estos parámetros que tiee dimesioes de velocidad (mlseg) es: v = cot. al = cot.;! m T Esta expresió coicide co lo que ituitivamete se espera que l~ velocidad depeda. Tomado e cosideració las ecuacioes (1) y (2) Y lo ateriormete expuesto, se cocluye que si se obtiee T frecuecias de resoacia (f), (co la tesió y m, costates) y se grafica f cotra ~, se obtedrá ua recta (por 1) de cuya pediete se obtiee la velocidad de propagació (v) para ua T y m( dadas. Si la tesió se varía y toma h valores diferetes se tedrá h rectas y e cosecuecia h velocidades diferetes. Si después se varía m y se matiee la tesió costate se obtedrá otras velocidades para cada rol. Por lo tato la adquisició de los datos es W1 procedimieto fácil y directo: si mide las frecuecias f (hasta el 12 ó 15 modo e cada caso)

4 406 para diferetes tesioes co mi costate y para diferetes mi co T costate. 3. PROO,DlmEN1D EXPER~ThTAL El arreglo experimetal se muestra e la figura 1. Como se ve el oscilador se coecta al amplificador y la salida de éste directamete al alambre motado etre dos puetes, el osciloscopio se coecta tambié a la salida del amplificador (o los extremos del alambre). El imá se coloca de tal forma que el plao de las caras sea paralelo al alambre. o' A, o 2 2 _2 o' (b) Fig. 1. a) Diagrama del disposi tivo experimetal. El amplificador debe proporcioar ua corriete de varios amperes. b) Aspecto de la cuerda para los tres primeros modos de resoacia.

5 Se ajusta el oscilador de tal forma que el ivel de corriete directa sea O (esto es ecesario, pues de otra maera se tedría ua señal de corriete directa sobre la cual está motada la siusoidal, la úica cotribuci6 de la aterior sería la de caletar el alambre). La amplitud de la oscilació se ajusta a u ivel que sea fácilmete observable y a la vez que o sea ta grade que la corriete caliete el alambre. 407 TABLA 1 Variació de la frecuecia fudametal y armolcos superiores para diferetes tesioes; m = cte = ( i 0.005) Y = (85.0 i 0.1) cm. El tiempodivo e milisegudos y el No. de cuadros se refiere respectivamete a la base de tiempo y al Umero de divisioes compredidas etre dos crestas de la señal e el osciloscopio. T dias No. Atiodos 1 3 S x106 Tiempodiv. t. 10 m seg S T No. Cuad., {(Hz) 43fl SSS 610,2,4 'S,7,10,11 f 12,66)(106 Tiempodiv. m seg S.2.2 T, No. Cuad fch,) 66:tl ,4,s,10,7 ' x106 Tierp:ldiv. t.ol m seg 2 1 S S.2.2 T, No. Cuad fch,) 94:t '3,10,20 1:13, x106 Tiempodiv..LOl m seg 2 S T, No. CUad f(hz) '2 'S,13,10 f15, x106 Tiempodivo '.2 m seg 1 S.2 T, No. CUad {(Hz) '14 " '"

6 408 Ua vez que se tiee todo e codicioes de trabajo y el alambre co la tesió elegida, se varía letamete la frecuecia desde uos cuatos ciclos (depediedo de la tesió) hasta que aparece la 1 resoacia (1 atiodo) y se mida el período e el osciloscopio, se cotiúa variado hasta que aparece la próxima resoacia (2 Ó 3 atiodos; ver observacioes) Y así sucesivamete hasta el 15 ó 20 modo. Se repite lo aterior por cada tesió. Para obteer la variació de v co mi se utiliza diferetes a1abres, usado por ejemplo u juego de cuerdas de guitarra. E este caso se tiee u gra itervalo de variació (de alrededor de 10) para m t. De igual maera se repite el procedimieto para cada alambre. Se grafica f cotra, para los dos casos (mt = cte y T cte) ; de las rectas resultates se obtiee las pedietes, de las cuales se obtiee a su vez las velocidades v T y v rl ' las cuales se grafica cotra T y cotra mi respectivamete. De las cuervas resultates se iduce qué es lo que se debe graficar cotra qué, para que se covierta e rectas, de éstas últimas se iduce la relació etre v, T y mi" m -at.-o.oo6:!: o.ooegrom "(se.o:!:)cm 1100 T4 "- T:5 T le AUMENTA s>oo. ( " T2 ",,;, f ~T,, 'l" :,--- eco,.,0, ---- "", v-- 1" ' -- 'l,a'... "00.~~..,,?'., ,..". ~ "...-- ~... e Fig. 2. Frecuecia de resoacia cotra úmero de modo, para diferetes tesioes e la cuerda. '" le

7 RESULTAOOSTPlCOS E la Tabla 1 se da los resultados para la variaclo co T de las frecl~cias de resoacia, (f) de los modos () correspodietes. E la figura 2 se muestra f cotra T para cada tesió. Com se ve la tesió aumeta e la direcció cotraria a las maecillas de u reloj y como la velocidad (v T ) es proporcioal a la pediete (k) de esta recta, se ve que v T aumeta co la tesió. De las pedietes de cada recta se obtiee el cojuto de velocidades v T = 2 {'k los cuales aparece e la figura 3, cotra la tesió T. ~ esta gráfica se podría pesar que es ua parábola o sea que Tavr, lo cual se comprueba al graficar T cotra v r ya que se obtiee ua recta de dode se iduce que: v T = T (ver figura 4). ~t 1) T'Hg 'BO i 140 ~ E,o, le f fb, la i XO:l so VT(X~ ~6 r-,- 'O Fig. 3. Velocidad de propagació como fució de la tesió, e ua cierta cuerda. Fig. 4. Relació lieal etre el cuadrado de la velocidad de propagació de la oda y la tesió e la cuerda.

8 410 De maera similar a lo aterior, se obtiee las figuras 5, 6 Y 7. E cosecuecia de las gráficas 4 y 7 se cocluye que v2a:tm o sea que: v ~rmi o si se quiere: vete rmi U A mtl M_S3.3 gr. T-ct.-O.89 XO-d eoo A'-"""1ENTA \ Q.(79.e!.)cm t " 7 9 " '" Fiq. 5. Frecuecia de resoacia cotra úmero de modo, para cuerdas de diferete desidad lieal.

9 ~A \ 100 \ \\ BO \ \ \B \ \ ".e:,... '"D, "... _---= :s 4 ~ m.e X K) g,,cm Pig. 6. Velocidad de propagació coro fució de la desidad lieal de la cuerda, a tesió costate. Fig. 7. Relació lieal etre el cuadrado de la velocidad de propagació de la oda y el recíproco de la desidad lieal de la cuerda. OBSERVACONES Como se ve de las tablas los modos de resoacia so e todos los casos múltiplos impares del modo fudametal, es decir, el úmero de atiodos es 1, 3, S, 7... esto es cosecuecia de que el imá se puso (e este caso) e el cetro de la cuerda lo cual elimia la posibilidad de que se establezca u odo e el cetro de ella. Si embargo si el imá se poe e u sitio que o divida a la cuerda e u úmero etero de partes, aparece los odos pares e impares.

10 4 J 2 REFERENC las A cotiuació se da alguos artículos e los cuales se puede ecotrar temas relacioados co el tratado e este artículo: 1. 'tarmoic Relatios i the partials of orga pipes ad strig H A.W. Nolle ad C.P. Boer J.A.S.A. Vol. 13. DeL Eergy ad mometum trasport i strig waves tl O.W. Jueker; Am. J. Phys. Vol. 44, 1 Eero "Note o "Normal modes of a compoud strig" T.A. Barabey Am. J. Phys. Vol. 44 No. 5. Mayo tlaother look at the vibratig strig ll Patricia M. Mooey; Am. Phys Vol. 44, No. 10 DeL "Classroom demostratio of the vibratia of a bowed strig" E. Brock Dale. Am. J. of Phys. Vol. 44. No. 11; Nov