Unversdad de La Habana Dpto. Físca Aplcada El abc de las medcones en el laboratoro docente A. González Aras abrl 2009 Magntudes y patrones; Instrumentos de medcón e ncertdumbres; Clasfcacón de las ncertdumbres; La ley de propagacón de ncertdumbres. Formas smplfcadas; Cfras sgnfcatvas; Preguntas de control; Bblografía; Anexo. Covaranza. MAGNITUDES Y PATRONES Magntud es todo lo que se puede medr. Medr sgnfca comparar, y la magntud en proceso de medcón se denomna mesurando. En nglés se acostumbra utlzar cantdad (quantty) en vez de magntud para desgnar tanto el mesurando como su valor numérco. Cuando medmos cualquer magntud como, por ejemplo, una longtud o la ntensdad de una corrente eléctrca, en realdad estamos comparando esa magntud con alguna otra, que consderamos arbtraramente como patrón. Al determnar una masa desconocda en la balanza, lo que hacemos es comparar esa masa con masas patrones (las "pesas" de la balanza). Estas pesas, a su vez, han sdo comparadas (o calbradas) con algún patrón secundaro. Al segur la cadena de comparacones se llega hasta la comparacón con el klogramo patrón, patrón unversal de masa que se conserva en la Ofcna Internaconal de Pesas y Meddas en Sèvres, cerca de París, adoptado medante convenos nternaconales. De gual forma exsten patrones para otras magntudes, denomnadas fundamentales, tales como el tempo, la longtud y la temperatura. Dferentes sstemas de undades reconocen dferentes magntudes fundamentales. El Sstema Internaconal de Undades, vgente en la mayoría de los países, consdera sólo sete magntudes fundamentales, a partr de las cuales se pueden dervar todas las restantes magntudes. Las magntudes fundamentales del Sstema Internaconal de Undades aparecen en la tabla sguente. MAGNITUD PATRÓN SÍMBOLO longtud metro m masa klogramo kg tempo segundo s temperatura Kelvn K cantdad de sustanca mol mol ntensdad de la corrente Ampere A ntensdad de la luz bujía o candela b - cd arnaldo@fsca.uh.cu
2. INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN E INCERTIDUMBRES Todo objeto, equpo o aparato que pueda ser utlzado para efectuar una medcón es un nstrumento de medcón. Con ndependenca de su complejdad y del tpo de magntud que mda, cualquer nstrumento se caracterza por poseer alguna escala graduada (dgtal, de aguja, de cursor deslzante) que permte establecer la proporconaldad entre la magntud que deseamos medr y el correspondente patrón. Puede ser algo tan sencllo como una regla graduada, que permte medr dstancas del orden de mlímetro, hasta algo tan complejo como un dfractómetro de rayos X, que puede utlzarse para medr dstancas del orden de Angstrom (0-0 m). El nstrumento será más sensble o precso en la medda que su escala sea capaz de detectar varacones cada vez más pequeñas de la magntud medda. El nstrumento será más o menos exacto según sus valores estén en mayor o menor correspondenca con el valor real del mesurando, de acuerdo a la calbracón realzada por el fabrcante con el correspondente patrón. Un nstrumento puede ser muy sensble y a la vez poco exacto, al no estar su escala calbrada correctamente con relacón al patrón. La medcón como tal sera precsa cuando los valores obtendos para el mesurando tengan poca dspersón. La fgura lustra perfectamente la dferenca entre precsón y exacttud, s asummos que el valor real del mesurando concde con el centro de la dana (ver fgura). La fgura sugere que es posble obtener buena exacttud a partr de un nstrumento con relatvamente poca precsón (seccón 3). No hay medcones exactas. Cualquer medcón sempre estará afectada por una sere de ncertdumbres de muy dverso orgen, como por ejemplo: - el límte de precsón establecdo por el fabrcante del nstrumento (establecdo al comparar contra el patrón) - gnorar correccones ndcadas por el fabrcante (por ejemplo, cuando la temperatura del laboratoro no concde con la de calbracón del nstrumento). - mprecsones de manpulacón del operador que hace la medcón. - varacones de voltaje, campos magnétcos, presón, etc. que afecten el nstrumento de medcón. Error de paralaje. Más que una ncertdumbre, el error de paralaje es una equvocacón causada por el desconocmento o la mala manpulacón por parte del operador que realza la medcón. Se orgna por la falta de perpendculardad de la vsón al hacer la lectura de la escala en los nstrumentos de aguja. En la fgura, s el observador se coloca lateralmente a la escala, anotará un valor de 37.5 en vez del correcto 36. Error de entrada. Una mala manpulacón usual en los laboratoros docentes es la no verfcacón del cero del nstrumento, denomnado error de entrada: el nstrumento no marca cero cuando la magntud medda es nula (por ej., en una balanza). Ese valor fctco se añadrá o restará posterormente al del mesurando, ntroducendo un error que puede llegar a ser sgnfcatvo. El error de entrada se pue- 2
de elmnar verfcando la poscón del cero del nstrumento antes de efectuar la medcón. Omsón de correccones. Otro error bastante común en el laboratoro se relacona con el uso de los termómetros de mercuro y alcohol. Los termómetros ordnaros de laboratoro venen calbrados para nmersón total. Para que mdan correctamente se deben ntroducr completamente en el sstema cuya temperatura se desea medr y esperar hasta que se alcance el equlbro. No obstante, es posble utlzarlos con buena aproxmacón en nmersón parcal, pero en ese caso hay que añadr a la lectura T o que marca el termómetro la fraccón δt = 0.0006( T)( L) donde L es la longtud de la columna de mercuro o alcohol que sobresale del sstema, expresada en undades de la escala del termómetro, y T = T 2 - T la dferenca entre la temperatura T 2 leída en la escala y la temperatura T del cuerpo del termómetro, medda con otro termómetro en el punto medo de la parte que sobresale. El no llevar a cabo esta correccón puede conducr a un error de varos grados, tanto mayor cuanto mayor sea la parte del termómetro que queda fuera del sstema objeto de medcón. Error de medcón. Es usual utlzar este térmno para desgnar la dferenca que exste entre el valor meddo y el valor real del mesurando, que normalmente se desconoce. Notacones y térmnos. Consdere la medcón de una magntud M cualquera. A causa de la ncertdumbre en la medcón, sólo es posble aseverar que el valor de esa magntud se encuentra en un certo ntervalo (A, A 2 ). δa 0 A A A 2 Otra forma de representar esta stuacón es tomar el valor medo del ntervalo, A = (A + A 2 )/2, como valor más probable, y la mtad de ese ntervalo (δa) como una medda de la ncertdumbre en la medcón; δa = (A 2 - A )/2. Entonces, el valor meddo de la magntud M y su ncertdumbre se desgnan como M = A ± δa. δa se denomna ncertdumbre de la medcón, y tambén se suele ndcar con la letra u ó µ (del ngles uncertanty). Ejemplo: L = 2.54 ± 0.02 m sgnfca que tenemos la certeza de que la longtud medda se encuentra entre 2.52 y 2.56 m (y esto es todo lo que podemos afrmar respecto a la magntud medda). Incertdumbre relatva y porcentual La ncertdumbre relatva se defne por la relacón ε = δa/a mentras que la porcentual es gual a la relatva multplcada por 00. La relatva representa la fraccón de la mprecsón cometda en la medcón, y resulta útl para comparar medcones llevadas a cabo sobre dferentes magntudes. Por ejemplo, usualmente una ncertdumbre porcentual del % (lo que equvale a medr 00 m con ncertdumbre de m) es aceptable para medcones que no requeran gran precsón. S se desea dsmnur este valor, será necesaro hacer un esfuerzo mayor para lograr el resultado, y el esfuerzo será cada vez más mportante mentras menor sea la ncertdumbre deseada. Los valores más comunes de la ncertdumbre porcentual en el laboratoro pueden osclar entre 0. y 5%. 3. CLASIFICACION DE LAS INCERTIDUMBRES De acuerdo al método utlzado para evaluar las ncertdumbres, éstas se clasfcan en dos clases o tpos 3
dferentes. Las ncertdumbres de tpo A son las que se pueden determnar exclusvamente a partr del análss estadístco de un conjunto de observacones ndvduales. Las ncertdumbres de tpo B son aquellas en la que nfluyen factores dferentes a los puramente estadístcos y que usualmente no pueden ser modfcadas por el operador, como por ejemplo: - especfcacones del fabrcante del nstrumento y calbracón preva. - ncertdumbres de los patrones tomadas como referenca en los manuales o en los certfcados del buró de standards. - experencas prevas acerca del comportamento de los nstrumentos - datos de medcones anterores. Incertdumbres tpo A. Las ncertdumbres de tpo A se determnan a partr de cualquer método matemátco váldo para analzar datos estadístcos. En lo que sgue nos refermos exclusvamente a los resultados que proporcona la dstrbucón de Gauss, aunque en ocasones se obtenen resultados más cercanos a la realdad aplcando otras dstrbucones (por ej., la dstrbucón de Student cuando N es pequeño). Sean x, x 2, x 3,... x N los valores obtendos al realzar N medcones sucesvas de la magntud x, que pueden concdr o no. S no concden, esto es un índce de que hubo factores fortutos o accdentales nfluyendo en los resultados. Se toma entonces como "mejor valor", o valor estmado del mesurando x el promedo artmétco o valor medo de los N valores, N x = x, y como ncertdumbre estándar (µ) de ese mejor valor se toma la desvacón estándar del valor medo N = µ = N(N ) = N 2 2 ( x x) (3.) La ncertdumbre estándar representa la probabldad de que, al realzar una nueva medcón, el valor meddo se encuentre el 68% de las veces dentro del ntervalo x ± µ. La probabldad aumenta al 95% para el ntervalo x ± 2µ. Es posble comprobar que µ decrece cuando N aumenta. De aquí que llevando a cabo un número sufcente de medcones es posble reducr tanto como se quera la ncertdumbre de tpo A (asumendo que la valdez del método estadístco utlzado para analzar los datos es estrctamente certa). Se acostumbra reportar el valor meddo de la magntud x como x = x ± µ donde µ se suele multplcar por un certo factor cuando se desea especfcar un ntervalo dferente al 68%. (Ver detalles en la seccón 4). El procedmento anteror no es aplcable a las ncertdumbres del tpo B. Así, por ejemplo, la ncertdumbre causada por el valor de un parámetro tomado de un manual nose puede elmnar ncrementando el número N de medcones. La ncertdumbre µ aún se ndca en muchos textos como δ x y se denomna error absoluto.. En el análss estadístco, el térmno σ = Nµ se denomna varanza, desvacón típca o desvacón standard, y es gual a la probabldad de que al hacer una nueva medcón se obtenga un valor ndvdual comprenddo en el ntervalo x ± σ con un 68% de probabldad. 4
x = x ± δ x. Incertdumbres tpo B. La ncertdumbre tpo B provene de una fuente externa, ajena a las posbles correccones y manpulacones que se puedan llevar a cabo en el laboratoro. La aprecacón de un nstrumento es la menor dvsón de su escala. Mentras más pequeño sea el valor de esa menor dvsón, mayor será la sensbldad del nstrumento y menor su contrbucón a la ncertdumbre de la medcón. La sensbldad es nvarable y propa del nstrumento, y la ncertdumbre que ntroduce en la medcón no puede ser reducda en forma alguna en el laboratoro, pues es una medda de la ncertdumbre ntroducda por el fabrcante al comparar las lecturas de su nstrumento con los patrones correspondentes. En muchas ocasones la ncertdumbre del nstrumento no concde exactamente con la aprecacón o menor dvsón de su escala, sno que aumenta proporconalmente con el valor meddo en un por cento determnado. De aquí que sempre resulte adecuado consultar el manual del fabrcante del nstrumento para conocer la verdadera ncertdumbre que éste ntroduce y establecer un valor de µ mas acorde a la realdad. Cuando no se posee el manual del fabrcante, es usual tomar el valor de la menor dvsón de nstrumento como una medda de la ncertdumbre. En este caso, s x o es el resultado de una sola medcón de un mesurando x y δ x el valor de la menor dvsón de la escala, el valor a reportar será x = x o ± δ x. Incertdumbres conjuntas tpos A y B. En estos casos es necesaro analzar cada caso partcular por separado, tomando como ncertdumbre la mayor de todas las que se presenten. Por ejemplo, s al medr una magntud eléctrca con un multímetro de aguja las fluctuacones de voltaje de la línea causan varacones en las lecturas por encma de la sensbldad reportada por el fabrcante, se debe hacer una medcón de tpo A para elmnar la nfluenca de las fluctuacones, asgnando a la ncertdumbre el valor proporconado por la expresón (3.). Pero s N se toma sufcentemente grande, y el valor proporconado por (3.) resulta ser menor que la ncertdumbre proporconada por el fabrcante, se tomará entonces éste últmo valor para µ (ver fgura). δx Incertdumbre tpo A Incertdumbre tpo B N 4. LA LEY DE PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRES. FORMAS SIMPLIFICADAS. Una medcón como la descrta en la seccón 3 es una medcón drecta, mentras que s es necesaro utlzar alguna fórmula o expresón matemátca del tpo y = f(x,x 2,x 3,...x n ) para determnar el valor de la magntud medda, la medcón es entonces ndrecta. (Por ejemplo, medr el área de una superfce a partr de su largo (a) y ancho (b): S = ab). En las medcones ndrectas es necesaro tomar en cuenta las contrbucones ndvduales de cada ncertdumbre µ para calcular la ncertdumbre total µ T. La ncertdumbre total se calcula a partr de la expresón 2 2 n n n f 2 f f T 2 j = x = j= + x x j (4.) µ = µ + µ 5
que no es mas que un desarrollo truncado de Taylor de la expresón y = f(x,x 2,x 3...x n ), donde n es el número de varables nvolucradas en la expresón. f Los coefcentes se denomnan coefcentes de sensbldad, y se evalúan en los correspondentes valores medos x x. El térmno µ j es la covaranza asocada a x y x j. Sn embargo, la propagacón de ncertdumbres se reduce a expresones más sencllas en muchos casos mportantes. S se puede asumr razonablemente que los valores medos x no están relaconados entre sí, el segundo térmno se anula. Entonces: A) S la fórmula de trabajo es una suma del tpo y = a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... donde los a son constantes, la ncertdumbre combnada o total µ T tendrá la forma ( a a a...a ) µ = µ + µ + µ + µ. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T 2 2 3 3 n n B) Cuando la fórmula de trabajo es un producto del tpo y = Cx x x...x la ncertdumbre toma la forma p q r z 2 3 n ( p q r...z ) µ = µ + µ + µ + µ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T r 2 r 3 r nr donde µ r es la ncertdumbre relatva, defnda por la expresón µ µ r =. x Asumendo una dstrbucón Gaussana de valores, es posble consderar que el valor real y o de la magntud medda y se encontrará en el ntervalo (y o + µ T ) (y o µ T ) con un 68 % de probabldad, lo que se acostumbra expresar como y = y o ± δy o, donde δy o µ T. S se toma como ncertdumbre δy o = 2µ T entonces la probabldad se eleva al 95%. En general, al multplcar µ T por un determnado factor (k) denomnado factor de cobertura se obtene un certo ntervalo de confanza dentro del cual se puede asumr que el verdadero valor de y está contendo con esa probabldad. En general, el producto δy o = kµ T se denomna ncertdumbre expandda. Cuando k = 3 el ntervalo de confanza es mayor del 99%. En funcón de la ncertdumbre expandda, Y = y ± kµ T. Notar que (4.) y las expresones dervadas son váldas exclusvamente para propagar la ncertdumbre en medcones ndrectas, y no son aplcables a medcones drectas donde haya contrbucones de errores de tpo A y B conjuntamente, ya analzados en la seccón 3. 5. CIFRAS SIGNIFICATIVAS De acuerdo a lo expresado en las seccones anterores, se concluye nmedatamente que carece de sentdo escrbr mas cfras después del punto decmal que las estrctamente necesaras para ndcar el valor de una magntud. Por ejemplo, s se mdó una densdad con un error de 0.0032 g/cm 3, no tene sentdo escrbr más allá de 3 ó 4 cfras después del punto decmal: ver anexo 6
ρ = 0.987643 ρ = 0.9876 (ncorrecto) (correcto) En el prmer caso, las dos últmas cfras (43) sobran, pues el resultado de la medcón sólo permte afrmar que el valor de la densdad se encuentra en el ntervalo ρ = 0.9876 ± 0.0032 es decr, que su valor real se encuentra entre 0.9843 y 0.9907. Excepto en el caso de medcones de alta precsón, se acepta comúnmente utlzar una sola cfra sgnfcatva para el error absoluto, redondeando por aproxmacón. Igualmente se debe aproxmar el valor de la magntud medda para que las cfras sgnfcatvas no sobrepasen el ntervalo de error. En nuestro ejemplo, 0.0032 0.003 y el valor a reportar será ρ = 0.988 ± 0.003 g/cm 3. En los lbros de texto muchas veces se omte este tpo de notacón, y el error absoluto se ndca solamente especfcando el número de cfras sgnfcatvas con que se expresa la magntud. Es decr, s se reporta una densdad con el valor de ρ = 0.98, se sobreentende que la msma se mdó con un error absoluto no mayor de 0.0. Sn embargo, s se reporta el valor 0.980, esto ndca que el error fue 0 veces menor (0.00). BIBLIOGRAFIA. Essentals of expressng measurement uncertanty, http://physcs.nst.gov/cuu/uncertanty/basc.html (vsto en abrl 2009) 2. A. González Aras, Errores y medcones, Ed. Centífco Técnca,983. PREGUNTAS DE CONTROL. Enumere los tpos o clases de ncertdumbre que Ud. conoce y dga sus prncpales característcas 2. Cuándo es precsa una medcón? Cuándo es exacta? 3. Que dferenca hay entre error, equvocacón e ncertdumbre? 4. Qué sgnfcado tenen la ncertdumbre relatva y porcentual? 5. Cómo se calcula la desvacón típca? Cuál es su sgnfcado? 6. De los tpos de ncertdumbre y errores o equvocacones que Ud. conoce, dga cuales pueden elmnarse y cuales no, y de que forma. 7. Explque en que consste la ley de propagacón de la ncertdumbre 8. Cómo expresa Ud. el resultado de una medcón con un ntervalo de confanza del 95%? ANEXO El análss de la covaranza es una técnca estadístca que, utlzando un modelo de regresón lneal múltple, busca comparar los resultados obtendos en dferentes grupos de una varable cuanttatva, pero corrgendo las posbles dferencas exstentes entre los grupos en otras varables que tambén puderan afectar al resultado (covarantes). En el estudo conjunto de dos varables, lo que nteresa prncpalmente es saber s exste algún tpo de relacón entre ellas. Esto se ve gráfcamente con el dagrama de dspersón. La covaranza S(x,y) de dos varables aleatoras x,y se defne como: 7
N Sxy = ( x x)( y y). N =. Una covaranza postva sgnfca que exste una relacón lneal drecta entre las dos varables. Es decr, las puntuacones bajas de (x) se asocan con las puntuacones bajas de (y), mentras que las puntuacones altas de (x) se asocan con los valores altos de (y). 2. Una covaranza de negatva sgnfca que exste una relacón lneal nversa. Las puntuacones bajas en (x) se asocan con los valores altos en (y), y vceversa. 3. Una covaranza 0 ndca que no exste relacón lneal entre las dos varables. 8