ESTADISTICA Y PROBABILIDAD. (Notas del curso) RAÚL RAFAEL URBAN RUIZ UNAM DIVISION DE ESTUDIOS DE POSGRADO FACULTAD DE ECONOMIA

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1 ESTADISTICA Y PROBABILIDAD (Notas del curso) RAÚL RAFAEL URBAN RUIZ UNAM DIVISION DE ESTUDIOS DE POSGRADO FACULTAD DE ECONOMIA Eero

2 INTRODUCCION Los juegos de azar o quizá la ecesidad de medir la riqueza de ua població dio orige a lo que hoy coocemos como la teoría de la probabilidad y estadística. La mayoría de los estadísticos ubica los años de 1650 y 1670 como el período e que aciero estas dos aplicacioes matemáticas, casi e paralelo. El cálculo de probabilidades tiee sus orígees co Pascal, y Fermat 1654 basados e los juegos de azar. Si embargo, fue hasta 1656 cuado Huyges publica el primer tratado sobre probabilidad De ratiociiis i ludo aleae sobre los cálculos e los juegos de azar e dode itroduce los coceptos de esperaza matemática y resuelve problemas propuestos por Pascal y Fermat. Uos años después, e 1713, Jacques Beroulli publica su libro Ars Cojectadi, el arte de la cojetura, que cotiee la primera declaració de la ley de los úmeros grades teorema que es la base de las iterpretacioes de la escuela frecuetista. E 1733 de Moivre e su libro The Doctrie of Chaces demuestra la primera forma del teorema del límite cetral (límite de ua distribució biomial), que poe de relieve el papel cetral de la distribució ormal e la teoría de la probabilidad. Posteriormete, e los siglos XVIII y XIX, Laplace y Gauss perfeccioa y eriquece sigificativamete la teoría matemática de la probabilidad. Los matemáticos rusos Chebyshev, Markov y los fraceses Poicaré y Borel ( )) a lo largo del siglo IXX y XX realiza cotribucioes importates a la teoría de probabilidades. Fialmete e 1933, Kolmogorov ( ) e su libro Los fudametos de la Teoría de la Probabilidad estructuro el marco axiomático de la teoría de la probabilidad a partir de la teoría de cojutos. Propósito de la estadística Diariamete los medios de comuicació bombardea co datos. Las estadísticas se utre de los úmeros geerados por espacios iformativos, publicidad, resultados de evetos deportivos, sodeos de opiió, debates públicos, etc. Las orgaizacioes moderas tiee gra variedad de datos e sus archivos de documetos y e las computadoras. Cietos o miles de valores se agrega a este total todos los días. Alguos de los datos uevos se geera ormalmete durate el registro de las actividades; otros so el resultado de estudios e ivestigacioes especiales. Si los procedimietos estadísticos, igua orgaizació podría trasformar e iformació útil la gra catidad de datos geerados por su actividad. El tratamieto estadístico de los datos se simplifica mucho co el empleo de computadora. Los programas de cómputo para este tipo de aplicacioes so variados, hojas de cálculo como el famoso EXCEL y software estadístico como MINITAB y SPSS, por citar alguos de ellos. Existe otros e el mercado que realiza fucioes similares, como el SAS, STAT, etc. Destaca el paquete 1

3 EPIINFO 1 de plataforma libre, diseñado por el Cetro para el Cotrol de Efermedades de Atlata (CDC) y que se distribuye e forma gratuita E toda actividad profesioal, es importate la recolecció y el estudio de datos; por eso los coocimietos de estadística so valiosos para ua gra variedad de casos. El INEGI y la mayoría de las oficias del gobiero publica periódicamete iformació umérica sobre la iflació y el desempleo, a través de ídices de precios, tasa de desempleo, etc. Quiees se dedica a realizar previsioes, los ecoomistas, los asesores fiacieros y los que determia las políticas de ua empresa, idustria y del gobiero estudia estos datos para tomar decisioes basadas e la iformació obteida. Co el fi de ofrecer u tratamieto adecuado e los cetros de salud, debe eteder la iformació estadística de las ivestigacioes que se publica e las revistas médicas sobre efectos de uevas drogas, tratamietos de efermedades, etc. E política, los fucioarios que ocupa cargos directivos cosidera las estadísticas de la opiió pública para defiir la legislació que quiere sus votates. Las empresas basa sus decisioes e estudios de mercado sobre los patroes de compra de los cosumidores, pruebas de uevos productos, etc. Las empresas, mediate sus áreas de cotrol de calidad recopila datos sobre la fiabilidad de partes y productos fabricados, calidad de procesos, etc. para mejoramieto del producto. El aálisis estadístico os provee u cojuto de pricipios y procedimietos para maipular, resumir e ivestigar datos co el fi de obteer iformació útil e la toma de decisioes. De acuerdo co la experiecia, virtualmete toda persoa ivolucrada e la toma de decisioes ecesita coocimietos de aálisis estadístico. Muy frecuetemete, e especial e compañías grades, se utiliza la estadística e forma habitual. Cuado se solicita persoal para esos trabajos, se pide coocimietos sólidos de aálisis estadístico. E cualquiera de estos u otros ejemplos se puede observar que tato el registro de los datos que iteresa, como su maejo o utilizació, o siempre es simple y se ecesita procedimietos adecuados para llevarlos a cabo. La estadística es ua ciecia co base matemática referete a la recolecció, aálisis e iterpretació de datos, que busca explicar codicioes regulares e feómeos de tipo aleatorio. Es trasversal a ua amplia variedad de disciplias, desde la física hasta las ciecias sociales, desde las ciecias de la salud hasta el cotrol de calidad, y es usada para la toma de decisioes e áreas de egocios e istitucioes guberametales. 1 EPIINFO, es u software gratuito co más de 20 años de existecia. Está dispoible para la plataforma Widows, desarrollado por los Cetros para el Cotrol y la Preveció de Efermedades de los Estados Uidos (CDC). Permite, diseñar ecuestas y captura de datos y aálisis estadístico de la iformació de la muestra. Se puede descargar del sitio 2

4 Experimeto Llamamos experimeto a cualquier proceso que os proporcioa u resultado que o puede predecirse ates de su realizació. Estos resultados puede ser uméricos o o uméricos. So experimetos que o da siempre el mismo resultado al repetirlos e las mismas codicioes. U suceso elemetal e el resultado de cada ua de las realizacioes del experimeto aleatorio. Se llama suceso imposible al resultado que uca se obtiee co este experimeto. Por lo cotrario u suceso o resultado seguro es aquel que siempre ocurre. Por ejemplo, si el experimeto cosiste e lazar u dado y el resultado es el úmero de putos de la cara superior. Si solamete teemos 6 resultados posibles {1,2,3,4,5,6}, u resultado imposible es que salga el úmero 9, y siempre ocurre que la cara superior sea u úmero etre 1 y 6. Tipos de variables 2. Las variables que trabajamos e estadística (de la recolecció o del resultado de u aálisis) se puede presetar sobre formas diferetes. Estas formas refleja las propiedades itrísecas de las variables e ifluye de maera decisiva e el tipo de aálisis que puede realizarse co ellas. Las variables, so ecesariamete clasificadas de algua cualidad, ua medida y u tipo. De esta maera a partir de la característica de iterés que iteresa observar e la població e relació al objetivo de estudio, puede ser de dos tipos: Cualitativas o atributos: los valores que toma la variable so o jerárquicos, o se puede listar e u orde lógico; o se puede medir uméricamete (por ejemplo: la acioalidad, el color de la piel, sexo etc.) Cuatitativas: los valores que toma estas variables permite a los elemetos e estudio poder ser colocados e u orde lógico, segú ua jerarquía atural. Tiee valor umérico (edad, salario, precio de u producto, igresos auales). Estas variables a su vez se clasifica e: o Discretas: sólo puede tomar valores eteros (1, 2, 8, 4, etc. ). Por ejemplo: úmero de hermaos (puede ser 1, 2, 3...., etc, pero uca podrá ser 3.45). o Cotiuas: a la iversa de las discretas, puede tomar cualquier valor real detro de u itervalo. Por ejemplo, la velocidad de u vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc. Ua seguda clasificació de variables es; a) Uidimesioales: sólo recoge iformació sobre ua característica (por ejemplo: edad de los alumos de ua clase). b) Bidimesioales: recoge iformació sobre dos características de la població (por ejemplo: edad y altura de los alumos de ua clase). c) Pluridimesioales: recoge iformació sobre tres o más características (por ejemplo: edad, altura y peso de los alumos de ua clase). 2 Para evitar ambigüedad, ua variables estadística expresa ua medició y los datos, so los valores que adquiere estas variables. Por ejemplo, la acioalidad de ua persoa es la variable y el dato es el país. Así la variable puede tomar valores como; Mexicao, Fracés, Español, etc. 3

5 Trasformació de variables cualitatitivas e cuatitativas Ciertos tratamietos y aálisis de datos y variables ecesita ser modificados para poderlos trabajar. Este es el caso de las variables cuatitativas que se ecesita ser maipulables o bie compatibles co los programas de cómputo estadísticos. Es ecesario trasformar la variable cuatitativa co u código que la modifique a ua variable umérica, o pseudo umérica. Esta trasformació, sigue ua regla básica; solo se aplica a variables cualitativas. Por ejemplo, ua variable cualitativa ordial para medir la calidad de u servicio médico, que toma el valor siguiete; muy bueo, bueo, regular, malo y muy malo. La recodificació umérica de la variable debe cosiderar el carácter ordial. Así, podríamos asigar el siguiete código. 5 = Muy bueo 4 = Bueo 3 = Regular 2 = Malo 1 = Muy malo E esta recodificació, el orde de la umeració idica el grado de satisfacció. Esta regla o siempre se aplica como e el caso e los que la variable o requiere u orde jerárquico. Por ejemplo la modalidad masculia y femeia. E este caso o tiee setido dar ua jerarquía y podríamos recodificar, 1= Masculio 1=Femeio 2= Femeio 2=Masculio E este caso, podríamos utilizar cualquier codificació si que se altere los resultados. Es ecesario aclarar que la codificació asigada a este tipo de variables o puede ser objeto de operacioes aritméticas como por ejemplo, el cálculo de ua suma o la del promedio. E realidad so úmeros que o modifica e ada las propiedades fudametales de la variable cuatitativa ya sea omial u ordial. E suma, la trasformació de ua variable cualitativa e umérica o le otorga igua propiedad umérica. Població y Muestra Al recoger datos relativos a las características de u grupo de idividuos por ejemplo el igreso familiar de ua comuidad, la edad de los trabajadores de ua empresa, la calidad de u tipo de café que produce ua comuidad, suele ser imposible o ada práctico y e la mayoría de los casos costoso, observar por ejemplo toda la producció de café, e especial si es u área muy grade. E vez de examiar el grupo etero, llamado població o uiverso, se examia ua pequeña parte del grupo, llamada muestra. E las ciecias aturales por ejemplo para aalizar la calidad del agua e rio o para realizar u aálisis de sagre e u persoa, basta co tomar ua muestra pequeña de la zoa o del idividuo, a partir de esta muestra podemos supoemos que el resto tiee la misma calidad. La població es el objeto de estudio e u aálisis estadístico. Es u cojuto de datos que so uestro objeto de estudios. 4

6 La Uidad de aálisis, es cualquier elemeto que porte iformació sobre el feómeo que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los iños de ua clase, cada alumo es ua uidad de aálisis; si estudiamos el precio de la vivieda, cada vivieda es ua uidad de aálisis. La Població, es el cojuto de todos los idividuos (o uidades estadísticas; como persoas, objetos, aimales, etc.) que tiee características comues. Para ua temática específica, la població agrupa a la totalidad de idividuos relativos a esa característica específica. Parámetro. Es ua medida que resume iformació de ua característica o variable de la població. Por ejemplo, La població que vive e ua comuidad específica, parámetros de este grupo puede ser, la edad, el sexo, ivel educativo La població ecoómicamete activa, parámetros puede ser el ivel salarial, sexo, sector idustrial El cojuto de vacas y toros e u racho gaadero, alguos parámetros puede ser, producció lechera, edad, úmero de crías Los Obreros que trabaja e u sector idustrial, parámetros; ivel salarial, prestacioes sociales, capacitació, salud, etc. Ua població puede ser fiita o ifiita. Por ejemplo, la població cosistete e todas las tuercas producidas por ua fábrica u cierto día es fiita, mietras que la determiada por todos los posibles resultados (caras, cruces) de sucesivas tiradas de ua moeda, es ifiita. Ua muestra es u subcojuto de elemetos tomados de la població e estudio. Así, si se estudia el precio de la vivieda de ua ciudad, lo ormal será o recoger iformació sobre todas las viviedas de la ciudad (sería ua labor muy compleja), sio que se suele seleccioar u subgrupo (muestra) que se etieda que es suficietemete represetativo. Estadístico. Es ua medida que resume datos de ua variable obteida a partir de los datos de ua muestra. Si ua muestra es represetativa de ua població, es posible iferir importates coclusioes sobre las poblacioes a partir del aálisis de la muestra. Por ejemplo e ua ecuesta de opiió sobre la preferecias de ua població e ua elecció. Cosultar a todos los votates para poder medir sus preferecias sería ua labor muy difícil; como úica alterativa lo que las agecias realiza, es obteer ua muestra de los votates co la expectativa de que la proporció de votos para cada cadidato e la muestra, describa lo más cercao posible al comportamieto de la població. Cuado hacemos iferecia del comportamieto de ua població a partir de los datos de ua muestra estamos e lo que se cooce como iferecia estadística. Por otro lado, la parte de la estadística que sólo se ocupa de describir y aalizar u grupo dado, si sacar coclusioes sobre u grupo mayor, se llama estadística descriptiva. 5

7 La estadística descriptiva es ua ciecia que aaliza series de datos (por ejemplo, edad de ua població, altura de los estudiates de ua escuela, temperatura e los meses de verao, etc.) y trata de extraer coclusioes sobre el comportamieto de estas variables. Como ya lo idicamos ates, ua muestra os sirve para hacer iferecias acerca del comportamieto de ua població. Por lo tato, la selecció de ua muestra represetativa es u problema importate e la ivestigació estadística ya que ésta puede proporcioar ua visió útil de la aturaleza de la població que se estudia, mietras que ua muestra o represetativa puede sugerir coclusioes totalmete erróeas sobre la població. Por esto, es importate que la selecció de las uidades de aálisis que itervega e la muestra o esté iflueciada por cuestioes de coveiecia o favoritismo; es decir, la muestra o debe teer sesgo. Regresamos al experimeto de obteer ua gota de sagre para medir la catidad de glucosa. Si la muestra la tomamos e ayuas tedremos u resultado diferete a si tomamos la muestra después de comer. O por ejemplo si al realizar ua ecuesta de ocupació, tedremos resultados diferetes si solo etrevistamos a empleados de gobiero o solamete a obreros de u sector idustrial. Ua buea práctica es utilizar el azar. Las muestras seleccioadas e forma aleatoria so muestras probabilísticas. Existe alguas técicas estadísticas diseñadas para diferetes situacioes. Ua de estas técicas so las muestras aleatorias simples, las cuales so seleccioadas de la població por medio de ua tabla de úmeros aleatorios o alguos medios similares, si o se tiee ua tabla a la mao, se tedría los mismos resultados co el apoyo de ua calculadora de bolsillo o u directorio telefóico. Ua muestra simple aleatoria se obtiee cuado se seleccioa elemetos de ua població, de maera que todas las combiacioes posibles de elemetos de la població tiee igual posibilidad de ser elegidas. Se utiliza muestras y o se estudia la població total por cualquiera de las razoes siguietes: a) Recursos limitados b) Datos dispoibles limitados. c) Prueba destructiva d) Más exactitud La limitació de los recursos (tiempo, diero, etc.) desempeña siempre u papel importate que justifica el uso de muestras. Si la població es grade, el ceso ocasioa u costo elevado y muchas veces, auque ecoómicamete se pudiera realizar, llevaría tato tiempo que la iformació o resultaría de iterés. E este mudo ta cambiate, el muestreo permite coseguir la iformació rápidamete e u mometo determiado. A veces, idepedietemete de los recursos, sólo existe ua pequeña muestra. Por ejemplo, se puede teer a prueba ua máquia que se supoe más eficiete que otras, para decidir si se compra uidades semejates. El gerete de cotrol de calidad secillamete o puede esperar hasta observar la població completa de los productos de esta máquia, e lugar de ello, debe observar ua muestra de productos de dicha máquia y basar su decisió e ua iferecia que hace a partir de dicha muestra. 6

8 El muestreo puede implicar ua prueba destructiva. Por ejemplo, supoga que se desea coocer el promedio de vida de los focos producidos por ua fábrica determiada. Sería isesato esperar a que todos los focos se quemara para coocer su promedio de vida. U ceso o ofrece garatía absoluta de calidad. La observació de toda la població puede ser ua tarea eorme que lleve a cometer muchos más errores que cuado se observa ua muestra cuidadosamete diagramada. Por ejemplo, ua gra catidad de persoal poco capacitado puede cometer errores de medició que o cometería ua meor catidad de persoal mejor capacitado. Ejercicios. 1. Qué tipo de variables so las siguietes? a. Número de itegrates de ua familia. b. Religió de ua persoa c. Los estados de la república mexicaa d. Número de accioes vedidas por día e la bolsa e. Remueracioes de los obreros de ua empresa f. Valor del PIB g. Grado académico de ua persoa Errores de las muestras Retomado el ejemplo de las ecuestas previas a la elecció, puede suceder que la proporció de votos obteida por cada uo de los cadidatos e la muestra, quizás represete muy mal a la correspodiete e la població, por distitas razoes: Idepedietemete de lo bie dirigido y diseñado que esté el procedimieto de muestreo, puede ocurrir que se obtega ua muestra de votates o represetativa de la població. Por ejemplo si seleccioamos la muestra de u solo estrato de la població, por ejemplo de estudiates. E todo caso podríamos hacer iferecias del comportamieto electoral de estudiates. El otro problema cosiste e que el muestreo puede estar mal diseñado. Por ejemplo, cuado se muestrea ua població de votates es erróeo tomar sus ombres de ua guía telefóica, puesto que quedará excluidos los votates que o posee teléfoo. Recolecció de datos Los datos se puede obteer por observació o por experimetació. Si simplemete se observa la característica de iterés si iterveir e el proceso e estudio, se está ate u estudio observacioal. E cambio sí se iterviee e el proceso e estudio impoiedo algú tratamieto e forma deliberada sobre las uidades de aálisis a fi de observar las respuestas, se está ate u experimeto. Segú el tipo de fuete, los datos puede ser primarios o secudarios. Los datos primarios se recoge específicamete para el aálisis deseado. Los datos secudarios ya se ha compilado y está dispoibles para el aálisis estadístico. 7

9 La vetaja de usar datos secudarios para ua ivestigació estadística es que ya se dispoe de ellos y o es ecesario recogerlos para u proyecto específico. Icluso la compra de los datos a ua compañía comercial es por lo geeral meos costosa que obteer datos primarios. La desvetaja de los datos secudarios es que estas fuetes o siempre cubre las ecesidades específicas del aálisis y además o siempre so cofiables. Esta es la razó por la que muchos ivestigadores prefiere obteer datos primarios orietados específicamete al asuto que se está ivestigado. Se requiere experiecia para determiar qué técica o combiació de técicas se adecua mejor a la tarea de obteer la iformació ecesaria de las uidades de aálisis. La clave para realizar ua buea ivestigació reside, e gra medida, e la pericia del aalista a la hora de elegir la técica idóea. Fialmete ya teemos datos, como los resultados de ua muestra de igreso de ua comuidad para formular iferecias estadísticas acerca de igresos o cosumo de la comuidad, es ecesario poder describir u cojuto de datos ya sea la població o ua muestra. Los métodos usados para describir estos datos puede ser de dos tipos: métodos gráficos y métodos uméricos. Si está claro el objetivo de estudio y defiida la o las poblacioes asociadas, se procede a la recolecció de los datos (ceso o muestra). Cosiderado que el cojuto de datos costituye ua muestra, e lo que sigue se estudia alguas de las técicas más usadas para; la presetació de los mismos e forma ordeada (tablas y gráficos) y el cálculo de medidas o resúmees. Ates de aalizar los datos es importate determiar primero si se recogiero datos cualitativos o cuatitativos ya que se usa técicas estadísticas distitas para cada uo de ellos, por lo que se puede esperar resultados erróeos si se aplica ua técica iapropiada. Clase. Es comú que los elemetos de ua població se divida e subcojutos costruidos a partir de u criterio determiado, esto co el fi de reducir el tamaño de las tablas de datos y para facilitar la lectura, el aálisis y la iterpretació de los datos. Esta divisió lleva a u reagrupamieto de los elemetos de la població bajo estudio y la formació de diferetes clases de elemetos que tiee características comues. Por ejemplo, dada ua població particular, co las edades de sus idividuos, podemos formar las siguietes clases; Clase 1 Clase 2 Clase 3 Clase 3 Clase 4 Clase años años años años años 60 y más años Igualmete podemos formar clases a partir de diferetes criterios como, por ejemplo, edad y sexo, como por ejemplo Sexo Edad 0 19 años años años años años 60 años y mas Masculio Femeio Total

10 La divisió e clase de ua població por uo o más criterios requiere de u coocimieto detallado del feómeo bajo estudio, debido a que el estudio es muy sesible a los de los umbrales o límites de clase, puede coducir a resultados distitos y por lo tato diferetes iterpretacioes. Como orgaizar los datos. Distribucioes de frecuecia. Cualquier tratamieto, cualquier represetació o aálisis de u cojuto de datos relativos a u dato o variable de ua població o muestra requiere que se presete e ua forma orgaizada que facilite su aálisis. La distribució de frecuecia es la represetació estructurada, e forma de tabla, que os permite resumir toda la iformació que se ha recogido sobre la variable que se estudia. Supogamos que obteemos los datos siguietes que correspode a los igresos auales de u grupo de 70 persoas de ua comuidad. Datos de igresos de ua comuidad ) Como primer paso, ordeamos la iformació del meor al mayor dato

11 2) Para agrupar los datos formamos grupos de datos, por ejemplo de acuerdo al ivel de igreso. Estos grupos estará delimitados por itervalos de clase 3 y por lo tato tedremos varios grupos e itervalos de clase. E forma geeral, se recomieda utilizar etre 5 y 20 itervalos depediedo de la dispersió de la iformació. E la práctica, para ecotrar el úmero k de clases aproximado, se puede utilizar la fórmula de Sturges 4 k = log 10 () E uestro ejercicio el úmero de clases sería, del etero más cercao; etoces k = 7. k = log 10 (70) = 7.13 se toma el valor Para ecotrar estos itervalos aplicamos ua regla secilla, obteemos la diferecia etre el mayor y el meor de los datos y este resultado lo dividimos etre el úmero de itervalos de clase, o grupos de datos que deseamos formar. Logitud de itervalo = = Para simplificar uestro ejercicio y como los datos so todos úmeros eteros, vamos a cosiderar ua amplitud de itervalo de Si los datos so valores reales, tedríamos que utilizar amplitud de itervalos cosiderado las froteras de los itervalos tambié úmeros reales. E uestro ejemplo, de acuerdo a la sugerecia de la fórmula de Sturges, vamos a utilizar 7 itervalos de clase. Las froteras de clase se costruye iiciado co el valor meor como límite iferior y el superior se obtiee al sumar a este límite la logitud del itervalo. Es decir, el primer itervalo seria, límite iferior 1610 y el límite superior , quedaría para la seguda clase procedemos igual pero iiciado co e el límite iferior, esto para evitar dudas e relació a valores que pudiera coicidir co los límites de las froteras de clase. Clase Froteras de clase Marca de clase Frecuecia de clase Frecuecia relativa de clase Frecuecia acumulada Frecuecia relativa acumulada Itervalo de clase es Rago utilizado para dividir y resumir cojutos de iformacioes grades co el objetivo de agrupar y realizar u mejor aálisis de esta iformació. 4 Herbert Sturges propoe e 1926 ua regla práctica para ecotrar el úmero aproximado de clases adecuado para elaborar u Histograma 10

12 Histograma. Es la úica represetació gráfica utilizada para represetar ua distribució estadística. El histograma relacioa el tamaño de la població (frecuecias absolutas o relativas) y los valores tomados por elemetos que compoe esta població o muestra para ua variable dada. El resultado es u gráfico que cosiste e barras proporcioales al valor que represeta, ormalmete de cada clase. Siedo muy rigoristas estas barras o se separa, como lo hace alguos programas e Excel Ua distribució de frecuecias se preseta comúmete e forma gráfica, ya sea utilizado las frecuecias absolutas o las relativas. E los dos casos la gráfica resultate es muy similar. Como se aprecia las gráficas so muy similares. Cosideremos el histograma de frecuecias relativas co mayor detalle, observado el histograma es claro que el porcetaje de la població correspodiete a la clase 1 so los que más bajo igreso tiee; es decir, ua persoa elegida al azar de esta comuidad tedrá ua probabilidad de de teer este ivel de igreso. Si esta muestra es represetativa de la població o os 11

13 sirve para hacer iferecias de la població, etoces el 72.9% de la població tiee u igreso compredido etre $1,610 y $4,723 pesos. Es comú llamar al Histograma de frecuecias relativas como distribució de frecuecias, puesto que muestra como los datos se distribuye e el eje de las abscisas, eje horizotal. Polígoo de frecuecias Otra forma de represetar gráficamete la distribució de frecuecias absolutas o relativas es a través del polígoo de frecuecias. Si se cosidera ua distribució de frecuecias co itervalos de clase de igual amplitud, el polígoo está referido a u sistema coordeado dode cada vértice tiee por abscisa el puto medio del itervalo y por ordeada la frecuecia del itervalo de clase. Para los putos de iicio y fi del polígoo, se traza u segmeto que va de la base del primer itervalo, al puto medio superior de esta barra y al fial del polígoo se traza u uevo segmeto del cetro superior de la última barra a la base. Otra posibilidad es añadir dos itervalos de clase (uo aterior al primero y otro posterior al último) de igual amplitud a los restates y de frecuecia cero. Se puede demostrar, mediate igualdad de triágulos, que el polígoo resultate es igual al área del histograma. Fialmete, la gráfica de frecuecias relativas acumuladas. Cosiste e represetar la gráfica de ua fució que ua por segmetos las alturas correspodietes a los extremos superiores de cada itervalo, tega o o todos igual amplitud, siedo dicha altura igual a la frecuecia acumulada, dado ua altura cero al extremo iferior del primer itervalo y siedo costate a partir del extremo superior del último. 12

14 Si elegimos 5 itervalos de clase, el proceso es similar y teemos la iformació que se resume e la siguiete tabla. Logitud de itervalo = = 4358 Clase Froteras de clase Marca de clase Frecuecia de clase Frecuecia relativa de clase Frecuecia acumulada Frecuecia relativa acumulada Y su gráfico de frecuecias relativas es: De acuerdo a este último histograma de frecuecias relativas co mayor detalle y si como e el caso aterior, la muestra es represetativa de la població o os sirve para hacer iferecias de la població, etoces el 81% de la població tiee u igreso compredido etre $1,610 y $5,968 pesos. E resume, para costruir ua gráfica de distribució de frecuecias seguimos los siguietes pasos: 1) Determiar el úmero de itervalos de clase. Se recomieda seleccioar etre 5 y 20 itervalos. E geeral, etre más datos más itervalos. Si al seleccioar este úmero se tiee demasiados itervalos vacíos que reste sigificado a la distribució se puede reducir el úmero de itervalos, co el riesgo de ocultar características importates de la distribució. 13

15 2) Determiar el tamaño de los itervalos. La regla es, dividir la diferecia etre el mayor meos el meor de las observacioes, etre el úmero de itervalos. Todas las clases debe teer la misma logitud, excepto si así lo desea la primera y la última 3) Determiar las froteras de clase. Deberá teer cuidado de icluir e el primer itervalo al meor de las observacioes y deberá seleccioar las froteras de estos itervalos de maera que igua observació coicida co algua frotera de clase Otras formas gráficas. Existe alguos otros diagramas auxiliares que sirve como u resume visual de las observacioes. La utilizació de estos depederá de ciertos factores como, diferetes períodos de tiempo, diferetes áreas geográficas, etc. Barras apiladas. Para el caso cuado teemos iformació co temporalidad dividida e variables categóricas. El iterés por este tipo de gráfico es iegable, pero tiee u gra icoveiete. E alguos casos o es aprecia las proporcioes o los efectos reales de las variables y cuado se preseta varias variables se pierde la visibilidad del gráfico. U ejemplo, para presetar e forma gráfica la distribució de empleados de ua empresa de maufacturas Total de empleados Profesioales Hombres Mujeres No profesioales Hombres Mujeres Mujeres Hombres E alguos casos, al levatar ua ecuesta teemos alguas variables como: 14

16 Calidad de los servicios fiacieros? Y las respuestas puede ser Bueo ( ) Regular ( ) Malo ( ) Tamaño de la explotació agrícola. 10 has o meos ( ) etre 10 y 20 ( ) más de 20 has ( ) Si los resultados de la ecuesta a 158 productores so los siguietes: Calidad de servicios fiacieros Bueo Regular Malo 10 has o meos Etre 10 y Más de 20 Has Total Debemos otar que e este gráfico todas las barras posee la misma altura, debido a que e este caso represeta el 100% de las respuestas y o la frecuecia de cada categoría. Desde luego cada ua de las categorías de la variable tamaño de la explotació cafetalera cueta co ua frecuecia diferete, pero el objetivo de este tipo de gráficos o es determiar el porcetaje o recueto de las categorías de la variable pricipal (tamaño de la parcela), sio represetar el porcetaje de participació co que cueta cada ua de las categorías de la variable secudaria (Calidad de los servicios fiacieros). Si os fijamos e los resultados del gráfico, otaremos que los valores de las marcas de escala represeta porcetajes. Desde luego las frecuecias de cada barra so distitas, pero lo que se persigue co este gráfico es idetificar los porcetajes de participació de las categorías de la variable secudaria (Calidad de los servicios fiacieros) e cada ua de las categorías de la variable pricipal (tamaño de la parcela). Graficas circulares. Este tipo de gráficos so frecuetes e iformes debido a su impacto visual. Si embargo, es u tipo de gráfico muy simplificado que o siempre represeta los datos de la mejor maera posible. Este tipo de represetacioes muestra los grupos de observacioes como segmetos idepedietes detro del gráfico. El propósito de este tipo de represetació es igual al gráfico de barras, pero co posibilidades meores, solo podemos represetar valores efectivos e fució de elemetos, o sirve para represetar la evolució de variables; es decir, o se recomieda su utilizació para represetar series de tiempo de observacioes. Por ejemplo si queremos mostrar, como ua catidad total, las exportacioes totales de México para el año 2009, como está repartida e diferetes zoas geográficas. 15

17 Exportacioes mexicaas 2012 (milloes de dólares) Porcetaje USA 287, Resto América 39, Europa 23, Asia 17, África Oceaía 1, Otros países Total 370, % Fuete: Grupo de trabajo de Estadísticas de Comercio Exterior, itegrado por el Baco de México, INEGI, Servicio de Admiistració Tributaria y la Secretaría de Ecoomía. Eero La costrucció de este tipo de gráficos se facilita, e caso de o utilizar ua computadora para hacerlo, si se recuerda que u círculo completo tiee 360 grados y que este águlo debe correspoder a u 100% del total represetado. Para el caso por ejemplo de las exportacioes a USA que so el 77.65% ( 77.65% (360grados)) 280 grados) 100% Gráficas de radar (o de araña). Es u tipo de gráfico muy útil para mostrar patroes de comportamieto de grupo de datos co respecto a diversas variables (por lo meos 4, pero o más de 12/14 por razoes de legibilidad). El gráfico os permite presetar las distacias etre los valores reales y los ideales de u proyecto. El objetivo es la elaboració de ua figura co u úmero de ejes igual al úmero de variables, e u círculo virtual co u orige comú y ua separació igual a 360 /úmero de variables (De ahí el ombre de radar). Cada eje tiee ua uidad de medida y ua escala que correspode a la variable que represeta. Lo deseable sería que todas las variables tuviera la misma escala, por ejemplo, si se expresa como u porcetaje. Esta forma gráfica es útil para mostrar series de tiempo. Su forma sigue el movimieto de las agujas de u reloj. 16

18 Ejemplo. Supogamos que la utilidad de ua empresa se puede resumir e el siguiete cuadro, e miles de pesos. Este ejercicio os muestra cómo realizar ua gráfica radial. Mes Eero Febrero Marzo Abril Mayo Juio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre La gráfica radial tedrá 12 ejes, uo por cada mes. El águlo etre cada eje será de = 30. Así, la represetació de los datos sería la siguiete, para este caso todos los ejes tedría la misma graduació. E el gráfico se puede destacar que e estos tres años, los meses de mayo, juio y octubre presetas las bajas más importates e las vetas. El óptimo sería cuado todos los meses alcaza el máximo. Ua aplicació muy geeralizada de este tipo de gráficos es para evaluar u programa. Por ejemplo para medir u programa de capacitació, podemos cosiderar variables como; 17

19 apredizaje, claridad de la exposició, cumplimieto de temáticas, cumplimieto de objetivos. E este caso tedríamos 4 ejes, uo por cada variable. Medidas descriptivas de ua distribució. Las represetacioes gráficas so útiles para lograr ua represetació rápida y clara de las características de las observacioes de u modelo. Si embargo e alguas situacioes es mejor resumir la iformació e u úmero o bie ecesitamos hacer iferecias a cerca de parámetros de la població que requiere de datos putuales. E otros casos, pudiera pasar que los histogramas de la muestra y de la població sea diferetes y tal pareciera que o podemos hacer iferecias de la població ya que los histogramas difiere. Estos problemas puede salvarse co el uso de medidas descriptivas uméricas, como lo hemos dicho ates, estas medidas calculadas a partir del total de las observacioes de la població se deomia parámetros, mietras que a las que obteemos a partir de los datos de la muestra se llamará estadísticos. Para distiguir etre parámetro y estadístico, utilizamos letras griegas para los primeros y latias para los segudos. Depediedo de los datos que teemos podemos calcular estas medidas descriptivas. Si solamete cotamos co ua tabla de frecuecias etoces las medidas que obteemos se dice que so para datos agrupados. Por lo cotrario, si cotamos co ua lista de todas las observacioes de la muestra etoces usaremos las fórmulas para datos o agrupados. E todo caso la medida umérica deberá ser muy similar. Las medidas descriptivas de ua distribució so de dos tipos: Medidas de tedecia cetral. Se llama tambié de cetro de gravedad y está referidas a la posició de la distribució de frecuecias sobre el eje de las abscisas. Las pricipales medidas de tedecia cetral so; La Media: es el valor medio poderado de la serie de datos. Se puede calcular diversos tipos de media, siedo las más utilizadas: i. Media aritmética (x). Es la más simple y la más comúmete utilizada. Para u grupo de observacioes, x 1, x 2, x 3,.. x es igual a la suma de las observacioes dividida etre, para datos o agrupados. x = i=1 x i Por ejemplo, si teemos el siguiete grupo de datos que correspode a los salarios por hora de operadores de ua empresa. 9.5, 3, 10, 9.5, 8.5,

20 El promedio aritmético es etoces x = = 48 6 = 8 Se puede utilizar este valor para estimar, por ejemplo, el salario total de empresa. Si se tiee 200 empleados. El total sería: Total ( 200)*8 $1,600. Esta es la forma geeral, alguos autores sugiere formas alterativas derivadas de la forma geeral. Ua de estas sugiere calcular el promedio; multiplicado cada valor por el úmero de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de las observacioes, es decir: x = i=1 y im i Dode y i es el valor de la observació y m i el úmero de veces que se repite y es el tamaño de la muestra. Esta forma es de utilidad cuado teemos u úmero grade de observacioes y está ordeadas. El uso de u computador hace iecesaria su utilizació. ii. Media aritmética poderada. Esta medida cosiste e otorgar a cada observació x 1, x 2, x 3, x 4,, x u peso w 1, w 2, w 3, w 4,, w, de acuerdo a la importacia de cada elemeto. x p = i=1 i=1 w i x iw i = x 1w 1 + x 2 w 2 + x 3 w 3 + x 4 w x w w 1 + w 2 + w 3 + w w, La media poderada tiee muchas aplicacioes ecoómicas y suele utilizarse para el cálculo de ídices de precios, como el del cosumidor e los que otorga peso a los biees, tortilla, pa, fruta, vivieda, etc., por ejemplo, Se desea obteer el precio promedio, e kg, de u grupo de artículos, Para calcular este valor tedremos, x p = Precio (kg) Catidad (kg) $ $ $ $ $ (3) + 24(2) (4) (6) (5) El precio promedio de estos artículos es etoces $ = =

21 iii. Media geométrica x G. La obteció, puramete matemática de la media geométrica es laboriosa; si embrago su aplicació es muy amplia. Si la variable e estudio se comporta como ua serie geométrica. Para lograr esta medida es ecesario obteer la raíz eésima de la multiplicació de todas las observacioes. x G = x i i=1 Para los datos del ejercicio aterior teemos, = x 1 x 2 x 3, x i x 6 x G = = E alguos casos, la media aritmética y la media geométrica puede ser iguales. La media geométrica es de utilidad porque cosidera todos los valores de la distribució y es meos sesible que la media aritmética a los valores extremos. Es u istrumeto útil para calcular tasas medias auales. La media geométrica es relevate si todos los elemetos so positivos y diferetes de cero. De lo cotrario o queda determiada. Etoces, si algú valor es cero, la media geométrica se aula. Si hubiera u úmero egativo (o ua catidad impar de ellos) etoces la media geométrica sería o bie egativa, o bie iexistete. iv. Media geométrica poderada G p. Al igual que e ua media aritmética puede itroducirse pesos como valores multiplicativos para cada uo de los valores co el fi de poderar o hacer pesar más e el resultado fial ciertos valores, e la media geométrica puede itroducirse pesos como expoetes: w G p = (x 1 w 1 x 2 w 2 x 3 w 3 x ) 1 w i Por ejemplo, si utilizamos este cálculo para obteer el precio promedio de los artículos para los datos del problema aterior tedríamos, G p = ( ) 1 ( ) = $ Si todos los pesos so iguales, la media geométrica poderada es la misma que la geométrica. Este cálculo tambié puede ser ifluido por valores extremos, que se aparte e exceso del resto de la serie. Estos valores aómalos podría codicioar e gra medida el valor de la media, perdiedo ésta represetatividad. Mediaa (M e ) La mediaa sigifica mitad, etimológicamete, etoces este valor correspode realmete a la mitad de ua distribució. Es la observació que cae e el cetro cuado las observacioes se ordea, e orde creciete. Regresado a uestro ejercicio aterior, al que aumetamos u regló, y si ordeamos los datos, 20

22 x i Total = 96 La mediaa es 9, es el valor que divide la serie e dos partes iguales y os idica que arriba y abajo teemos el mismo úmero de observacioes. Si el úmero de observacioes es par, como e el caso del ejemplo origial, se escoge como mediaa al valor medio etre las dos observacioes que disputa la mediaía. La mediaa de esta muestra es, M e = 9 el puto medio etre 9.5 y 8.5. La mediaa M e o tiee el problema de estar ifluido por los valores extremos, pero e cambio o utiliza e su cálculo toda la iformació de la serie de datos (o podera cada valor por el úmero de veces que se ha repetido). Moda ( M 0 ) E u cojuto de observacioes es el valor que más se repite e ua distribució o el valor que ocurre co más frecuecia. Si teemos por ejemplo, si x i represeta los salarios por hora de obreros de ua empresa, x i ( x i x) 2 ( x i x) 3-5 (-5) 2 = Total = 48 Total= 0 Total=34 El valor que más se repite es 9.5, por lo tato la moda es M 0 = 9.5 E este caso, e que teemos solamete u valor que se repite co más frecuecia, le llamamos ua distribució uimodal; si tuviésemos dos valores co la misma frecuecia, sería ua distribució bimodal y así sucesivamete. E alguos casos, la moda o es suficiete para caracterizar y resumir los datos de ua distribució. E alguas situacioes i siquiera o sirve para comparar y aalizar ua distribució, como por ejemplo para la tabla siguiete de salarios. x i Total = 96 E este caso más que hablar de ua distribució bimodal, la moda o es sigificativa. Este es el tema de ua distribució co isuficiecia de datos. La moda es la úica medida de tedecia cetral que puede ser utilizada para datos tato cualitativos como cuatitativos 21

23 Medidas de dispersió o de variació. Las medidas de variabilidad permite coocer como está distribuida la distribució, por ejemplo alrededor de la media. La medida de variació más simple es el recorrido. a) Recorrido. Es la diferecia etre la mayor y la meor de las observacioes. Desafortuadamete, el recorrido o resulta satisfactorio como medida de variació ya que solo iterviee los valores extremos. Por ejemplo si aalizamos dos distribucioes, ambas co el mismo recorrido. La distribució del lado derecho os muestra más variació de los datos que la del lado izquierdo Otras medidas que puede salvar la dificultad aterior so los cuartiles y los percetiles. b) Cuartiles, deciles y percetiles. Cuartiles: so 3 valores que divide la serie de datos, ordeada de forma creciete o decreciete, e cuatro tramos iguales, e los que cada uo de ellos cocetra el 25% de los resultados. El primer cuartil es aquel que deja a la izquierda ¼ de las observacioes y es meor que ¾ de las observacioes. El segudo cuartil es la mediaa y el Tercer cuartil, sobrepasa ¾ de las observacioes. E uestro ejemplo, el primer cuartil es el valor correspodiete a la (+1) observació ordeada; , aproximadamete, la seguda (7.5). El segudo cuartil es la mediaa 2(+1) 4 cuartil es 3(+1) 4 = 3(6+1) 4 = 5.25 aproximadamete la observació x 5 = $9.5 = +1. El tercer 2 Deciles: so 10 valores que distribuye la serie de datos, ordeada de forma creciete o decreciete, e diez tramos iguales, e los que cada uo de ellos cocetra el 10% de los resultados. Percetiles: so 99 valores que distribuye la serie de datos, ordeada de forma creciete o decreciete, e cie tramos iguales, e los que cada uo de ellos cocetra el 1% de los resultados. 22

24 Ejemplo: Vamos a calcular los cuartiles de la serie de datos referidos a la estatura de u grupo de persoas. Los deciles y cetiles se calcula de igual maera, auque haría falta distribucioes co mayor úmero de datos. Variable Frecuecias absolutas Frecuecias relativas (Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada 1, , , , , , , , , , , º cuartil: es el valor 1.22 cm, ya que por debajo de ella se sitúa el 25% de la frecuecia (tal como se puede ver e la columa de la frecuecia relativa acumulada). 2º cuartil: es el valor 1.26 cm, ya que etre este valor y el 1º cuartil se sitúa otro 25% de la frecuecia. 3º cuartil: es el valor 1.28 cm, ya que etre este valor y el 2º cuartil se sitúa otro 25% de la frecuecia. Además, por ecima suya queda el restate 25% de la frecuecia. Cuado u cuartil se ubica e u valor que se ha repetido más de ua vez (como ocurre e el ejemplo e los tres cuartiles) la medida de posició es ua de las repeticioes. La utilizació de los cuartiles (y los deciles) mejora la caracterizació y aálisis de la dispersió de ua distribució; así como, comparar de forma más segura y más relevate dos distribucioes o icluso la distribució de la misma població e dos fechas diferetes para la misma variable. Si embrago, e estos casos, cuartiles, deciles y percetiles o so propiamete medidas de dispersió. El recorrido itercuartílico si os da ua medida de variabilidad. Se obtiee al restar el valor del tercer cuartil meos el primero. Así, el recorrido itercuartílico es Q 3 Q 1= $9.5 - $7.5= $2.0 Variaza de ua població E los ejercicios ateriores hemos ecotrado las medidas de tedecia cetral; particularmete la media y la mediaa. Como lo hemos idicado estas medidas os idica el cetro de la distribució. Tomemos ahora la diferecia etre este valor cetral y cada valor de la distribució, es decir, 23

25 (x i x) De esta simple relació, podemos obteer que mietras más cerca esté los datos de la media, o más lejaas, la suma de las diferecias será pequeña o grade, es decir (x i x) i=1 Es claro, que alguas sumas so positivas y otras egativas, las observacioes posteriores o ateriores a la media. De esta maera para evitar que esta suma sea ula elevamos al cuadrado la suma de las diferecias (x i x) 2 i=1 Fialmete, la variaza de la població, mide la distacia existete etre las N observacioes de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las diferecias al cuadrado etre cada valor x i y la media µ. El símbolo utilizado para la variaza de la població es 2 1 N ( x i N i 1 Utilizamos letras mayúsculas N, para idicar el úmero de elemetos de la població. Comúmete o cotamos co el total de elemetos y solo dispoemos de ua muestra de las observacioes, e este caso la variaza de la muestra deberá calcularse como la suma de los cuadrados de las desviacioes de las observacioes co respecto a su media y dividida etre (-1), de acuerdo a la siguiete fórmula: ) 2 2 N i=1 ) 2 s 2 = 1 1 (x i x) 2 = N x 2 i=1 i ( x i 1 i=1 Para la variaza de la muestra, la formula tiee u ligero cambio, La variaza siempre será mayor que cero. Mietras más se aproxima a cero, más cocetrados está los valores de la serie alrededor de la media. Por el cotrario, mietras mayor sea la variaza, más dispersos está. Si embargo, la variaza propoe u resultado elevado al cuadrado, como e uestro ejemplo la uidad de medida sería cm 2. Para regresar a la uidad origial de medició, es ecesario tomar ahora la raíz y esta ueva medida de dispersió será la desviació estádar. σ = σ 2 = N i=1 (x i μ) 2 N o bie para la muestra s = s 2 = N i=1 (x i x) 2 1 Alguas propiedades de la variaza y la desviació estádar so las siguietes; Se expresa e las mismas uidades que la variable. Si los datos so medicioes e cm, la variaza y la desviació estádar tambié se expresa e cm. 24

26 Ua desviació estádar baja sigifica que los valores está relativamete cocetrados alrededor de la media y so homogéeos. Por lo cotrario, u valor elevado de la desviació estádar os idica que tato los datos está dispersos alrededor de la media La desviació estádar, tambié es u valor que os sirve para determiar qué proporció de ua població está cocetrada alrededor de la media. Tomado como puto de referecia la media y la desviació estádar como ua uidad de distacia de la població. E codicioes estadísticas ideales, dode la població está perfectamete distribuida alrededor de sus medidas de tedecia cetral, después recuperaremos y demostraremos estos resultados por el teorema de Chebyshev. [x σ; x + σ] [x 2σ; x + 2σ] [x 3σ; x + 3σ] A ua desviació estádar de la media se ecuetra el 68.3% de las observacioes A dos desviacioes estádar de la media se ecuetra el 95.5% de las observacioes y A tres desviacioes estádar esta el 99.7% de las observacioes Retomado el Ejemplo aterior, vamos a utilizar la serie de datos de la estatura de u grupo de persoas y vamos a calcular sus medidas de dispersió. Variable Frecuecias absolutas Frecuecias relativas (Valor e mt) Simple Acumulada Simple (%) Acumulada (%) , El rago, diferecia etre el valor de la observació mayor (1.30) y la meor (1.20). De esta maera el rago para este ejercicio es 10 cm. Para obteer la variaza, recordemos que la media de esta població es Luego, aplicamos la fórmula: [( ) ( ) * 4 ( ) * 4... ( ) *3] 30 Por lo tato, la variaza es mt 2 y la desviació estádar e cm, que correspode a valores calculados para la altura de ua població. 25

27 De esta maera e codicioes estadísticas ideales, e los itervalos, [1.221; 1.285] Tedríamos el 68.3% de las observacioes [1.189; 1.317] Teemos el 95.5% de las observacioes y [1.157; 1.349] Tedremos el 99.7% de las observacioes Coeficiete de variació de Pearso Se calcula como cociete etre la desviació estádar y la media. Para la població, CV = σ μ y para la muestra cv = s x Se calcula como cociete etre la desviació estádar y la media de la població. CV = = El iterés del coeficiete de variació es que al ser u porcetaje permite comparar el ivel de dispersió de dos muestras. Esto o ocurre co la desviació estádar, ya que viee expresada e las mismas uidades que los datos de la serie. Por ejemplo, para comparar el ivel de dispersió de ua serie de datos de la altura de los alumos de ua clase y otra serie co el peso de dichos alumos, o se puede utilizar las desviacioes estádar (ua viee viees expresada e cm y la otra e kg). E cambio, sus coeficietes de variació so ambos porcetajes, por lo que sí se puede comparar. Cálculos para datos agrupados Es comú ecotrarse co datos que solo está dispoibles e forma de histograma de frecuecias, como por ejemplo datos proporcioados por el gobiero o agecias de iformació. E tales casos o se cooce el úmero exacto de observacioes que cae e cada itervalo de clase. Cuado esto ocurre o es posible calcular media y variaza de la muestra. Se tiee, si embargo, u método alterativo que se basa e la suposició de que el puto medio de cada clase es aproximadamete igual a la media aritmética de las medias coteidas e el itervalo. Este puto medio lo llamaremos m i. A partir de este cocepto podemos redefiir las fórmulas de cálculo de la media y la variaza para datos agrupados de la siguiete maera. a) Media, Mediaa y moda La Media aritmética para datos agrupados, x = i=1 f im i E dode m i es la marca de clase i, puto medio del itervalo, y f i es la frecuecia absoluta de las observacioes e la clase i, es el total de las observacioes. 26

28 Y la Media geométrica, se obtiee co la siguiete regla, x G = m i f i i=1 De la misma maera, m i es la marca de clase i, puto medio del itervalo, y f i es la frecuecia absoluta de las observacioes e la clase i, es el total de las observacioes. La mediaa se ubica e el itervalo de clase que correspode a la mitad del total de las frecuecias, es decir el itervalo para 2. Se obtiee, de acuerdo a la siguiete regla, M e L m + ( 2 F i 1) a f m m E este caso, L m es el límite iferior de la clase dode está la mediaa; F i 1 frecuecia acumulada hasta la clase aterior al de la mediaa; f m frecuecia de la clase de la mediaa y a m la amplitud de la clase que correspode a la mediaa. De igual maera, para el cálculo de la moda, ésta se ubica e el itervalo de clase co la mayor frecuecia, que llamaremos itervalo modal. Después, seguimos la siguiete regla, f mo f mo 1 Mo = L mo + (f mo f mo 1) + (f mo f mo +1) a m o E este caso, L mo es el límite iferior de la clase modal, f mo frecuecia de la clase modal, f mo 1 frecuecia de la clase aterior a la moda, f mo +1 frecuecia de la clase posterior y fialmete, a mo amplitud de la clase modal. b) Cuartiles, variaza y desviació estádar Para este caso, los datos ya está ordeados e itervalos, de mayor a meor. El cálculo de los cuartiles, para datos agrupados se realiza e dos pasos, primero ecotramos la clase dode se ubica cada cuartil, podemos usar la siguiete regla, k, k = 1,2,3 4 Dode K es el úmero de cuartil y el tamaño de la muestra, o de la població, segú el caso, Fialmete, el segudo paso es aplicar, para cada cuartil, la fórmula k Q k = L Q + 4 F i 1 a f i i 27

29 Dode L Q es el límite iferior de la clase del cuartil; F i 1 frecuecia acumulada hasta la clase aterior a la del cuartil; f i frecuecia de la clase del cuartil y a i la amplitud de la clase del cuartil. E forma geeral para calcular u percetil, el procedimieto es muy parecido. Como sabemos, los percetiles da los porcetajes de datos que correspode al 1%, 2%, 3%,.., 99%. Divide los datos e 99 partes iguales. Para su cálculo tambié procedemos e dos pasos; a) buscamos la clase dode se ubica el percetil de iterés, k, k = 1%, 2%, 3% 100 Después, aplicamos la formula k P k = L i F i 1 a f i i Así, L i es el límite iferior de la clase del percetil; F i 1 frecuecia acumulada hasta la clase aterior a la del percetil; f i frecuecia de la clase del percetil y a i la amplitud de la clase del percetil. La variaza y la desviació estádar, se obtiee de acuerdo a la siguiete regla, s 2 = i=1 f i (m i x) 2 1 i=1 ) 2 = f im 2 i ( f im i i=1 1 s = s 2 Dode f i es la frecuecia absoluta de la clase, m i la marca de clase o puto medio y es el úmero de observacioes, Ejemplo, regresamos a los datos de igresos de ua comuidad, para calcular estos valores estadísticos, para datos agrupados. Cambiamos u poco el aálisis, cosideraremos 10 itervalos de clase: Clase Froteras de clase Frecue cia de clase Frecuecia Acumulada Frecuecia relativa m i f im i m i 2 f im i Totales

30 Las medidas de tedecia cetral so; Promedio x = = Mediaa M e = = Moda M o = = (51 0) + (51 10) Para las medidas de dispersió, las obteemos así; Primer cuartil 1 70 = 17.5, clase 1 Q 4 1 = (3113) Segudo cuartil 2 70 = 35 clase 1 Q 4 2 = (3113) Tercer cuartil = 52.5 clase 2 Q 4 3 = (3113) Variaza s 2 = = 12,569, Desviació estádar s 12,569, = Medidas de cocetració. Las medidas de cocetració permite coocer que forma tiee la curva que represeta la serie de datos de la muestra. E cocreto, podemos estudiar las siguietes características de la curva: a) Asimetría: mide si la curva tiee ua forma simétrica, es decir, si respecto al cetro de la misma (cetro de simetría) los segmetos de curva que queda a derecha e izquierda so similares. b) Curtosis: mide si los valores de la distribució está más o meos cocetrados alrededor de los valores medios de la muestra. c) Cocetració: mide si los valores de la variable está más o meos uiformemete repartidos a lo largo de la muestra. a) Asimetría Si trazamos ua vertical e el valor de la media, e el diagrama de barras o histograma, de ua variable, esta líea vertical es el eje de simetría. Decimos que ua distribució es simétrica si este eje parte e exactamete dos partes iguales a la distribució. E caso cotrario, dicha distribució será asimétrica. 29

31 Para medir el ivel de asimetría se utiliza el llamado Coeficiete de Asimetría de Fisher, que viee defiido: Para datos o agrupados: c F = (x i x) 3 Para datos agrupados c s 3 F = (m i x) 3 f i s 3 Los resultados puede ser los siguietes: c F = 0 (distribució simétrica; existe la misma cocetració de valores a la derecha y a la izquierda de la media) Media=moda=mediaa c F > 0 (distribució asimétrica positiva; por lo que los valores se tiede a reuir más e la parte izquierda que e la derecha de la media.) Media > mediaa > moda c F < 0 (distribució asimétrica egativa; los valores se tiede a reuir más e la parte derecha de la media) Media < mediaa < moda Para el ejercicio cosiderado ates teemos los siguietes cálculos, Frecuecia Asimetría Clase Froteras de clase de clase Puto medio i=1(m i x) 3 f i Iferior Superior f i s = Sumas 70 Sumas La media de la muestra es x = y la desviació estádar s = , luego, c F = = 2.7 Este valor os idica que la muestra tiee ua distribució asimétrica positiva ((se cocetra más valores a la izquierda de la media que a su derecha) 30

32 b) Curtosis El Coeficiete de Curtosis aaliza el grado de cocetració que preseta los valores alrededor de la zoa cetral de la distribució. Se defie 3 tipos de distribucioes segú su grado de Curtosis: Distribució Mesocúrtica: preseta u grado de cocetració medio alrededor de los valores cetrales de la variable (el mismo que preseta ua distribució ormal). Distribució leptocúrtica: preseta u elevado grado de cocetració alrededor de los valores cetrales de la variable. Distribució platicúrtica: preseta u reducido grado de cocetració alrededor de los valores cetrales de la variable. El Coeficiete de Curtosis viee defiido por la siguiete fórmula: Para datos o agrupados: c k = 1 (x i x) 4 s 4 3 y para datos agrupados c k = Los valores que puede tomar el coeficiete, clasifica la distribució e, c k = 0 (distribució Mesocúrtica). c k > 0 (distribució leptocúrtica). c k < 0 (distribució platicúrtica). Cotiuado co el ejemplo aterior, igresos de ua comuidad, teemos 1 (m i x) 4 f i s 4 3. Frecuecia Asimetría Clase Froteras de clase de clase Puto medio Iferior Superior f i=1(m i x) 4 f i i -3 s Sumas 70 Sumas

33 Etoces, c k = ( ) 4 3 = 8.39 Por lo tato, el Coeficiete de Curtosis de esta muestra es 9.2, lo que quiere decir que se trata de ua distribució leptocúrtica, es decir, u alto grado de cocetració alrededor de los valores cetrales. c) Cocetració La cocetració estudia el mayor o meor grado de distribució de los valores de la variable, la mayor o meor equidad o igualdad e el reparto, por lo tato sólo se puede estudiar e variables de tipo ecoómico, retas, sueldos, subvecioes, etc. Las medidas más utilizadas so el Ídice de Gii y la curva de Lorez. La curva de Lorez es ua forma gráfica de mostrar la distribució de ua variable ormalmete refereciada a la població, por ejemplo el igreso e ua població. E ella se relacioa los porcetajes acumulados de població co porcetajes acumulados de igreso que esta població recibe. E el eje de abscisas se represeta la població "ordeada" de forma que los percetiles de igresos más bajos queda a la izquierda y los más altos a la derecha. El Coeficiete de Gii se calcula como el cociete etre el área compredida etre la Líea de equidistribució y la Curva de Lorez. A medida que mejora la equidad el área dismiuye y la Curva de Lorez se acerca a la diagoal. Si la Curva de Lorez se aleja de la diagoal, aumeta la desigualdad a la misma velocidad que aumeta el área. Si la desigualdad es total, el área gris, debajo de la curva de Lorez desaparece, lo que idica que ua sola familia se queda co el total de los igresos. Este ídice se calcula aplicado la siguiete fórmula: 32