Reflexiones acerca de la Esperanza de Vida y una implementación en una hoja de cálculo Rodrigo Silva, ASA

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1 Refeiones acerca de a Eseranza de Vida y una imemenación en una hoja de cácuo Rodrigo Siva, ASA Rodrigo es físico, ingeniero eécrico y M.Sc. en invesigación de oeraciones y esadísica de a Universidad de Los Andes de Bogoá, Coombia. Es miembro de a Asociación Coombiana de Acuarios y miembro asociado de a Sociey of Acuaries, ASA en os EEUU en donde ha ubicado varios arícuos de oinión. Es e gerene de Asesorías Acuariaes Lda., una firma que desde hace más de 25 años se dedica a a cuanificación de anes de ensiones y oros beneficios de reiro, bajo normas ocaes e inernacionaes (FAS, IAS, IFRS). También diseña y eabora sofware ara hacer cuanificaciones financieras y acuariaes. Inroducción La eseranza de vida (EV en o sucesivo) es e iemo esimado que una ersona vivirá y deende de varios facores como: edad, género, esado de saud, enia, ubicación geográfica e incuso nive socioeconómico. Debido a que e fuuro es inciero y sujeo a diversas coningencias, es imosibe deerminar a EV rea de un individuo, sin embargo se ueden hacer esimaciones uiizando daos emíricos rovenienes de abas de moraidad. Objeivo En ese arícuo se hacen agunas refeiones sobre a EV y se comaran agunos resuados de a misma ara agunos aíses de ainoamérica con daos uiizados comúnmene en e ámbio de as ensiones, según as abas de moraidad rescrias en su reseciva egisación. Además de ese anáisis, se adjuna una imemenación en Ece or medio de a cua e ecor uede comrobar os resuados y eorar e ema de forma cuaniaiva. Paneamieno La EV es e iemo eserado que una ersona vivirá. Se raa de una medida esadísica que se uiiza ara esimar e iemo que faa or vivir sin imorar o que haya ocurrido en e asado. Es decir, se raa de un cácuo rosecivo y or o ano inciero, es disina a EV ara un joven que ara una ersona mayor, ues a a rimera e faa or vivir (a menos) e iemo que a segunda ya vivió. Dicho iemo es inciero ara a rimera ersona, ero no ara a segunda ues dicho iemo es, ieramene, cosa de asado y no se considera en e cácuo de a EV. En esadísica, ara describir evenos que deenden de aguna condición se uiizan robabiidades condicionaes. La esimación de a EV se cacua con base en robabiidades condicionaes, a condición es a descrición de esado acua de a ersona y debido a que se acude a un modeo maemáico, a condición acua se imia a gruo obaciona ara e cua se va a hacer una vaoración robabiísica o si se quiere, acuaria. Cuando se menciona a EV es común que se omian as caracerísicas de a obación a a cua se refiere, ero es imorane anoar que a EV varia según a edad y e gruo en cuesión, or ejemo, a EV ara hombres es disina que ara mujeres (as mujeres viven más que os hombres). Con base en a EV se uede hacer aneación, or ejemo, un osibe enfoque de a aneación financiera, consise en financiar e reiro de una ersona eegibe ara ejercer a derecho. Es decir, garanizar un deerminado nive de ingresos durane e iemo eserado de vida de una ersona. Un ejercicio consisiría en revear sobre una base cuaniaiva e coso más robabe de a ensión, de a manera que se uedan omar decisiones informadas con base en a siuación acua y as ociones disonibes de a ersona eegibe dada su condición acua. Así mismo, ambién hay que baancear as condiciones de inversión, ues un fondo consiuido ara financiar un beneficio ensiona iene reorno sobre as conribuciones y sobre e sado de mismo. Cuando e ejercicio se hace a nive grua, se odría esimar e coso de sisema ensiona de un aís y se odrían formuar agunas regunas: Es viabe e financiamieno de os beneficios de jubiación ofrecidos en a egisación? Durane cuáno iemo se van a agar aes beneficios? Quién os agará? Esa idea de que e asado no imora, se conoce en robabiidad como a roiedad de érdida de memoria o roiedad Marcoviana. Revisa Página

2 Marco Teórico Para cacuar a EV se uiiza a disribución de robabiidad de iemo de vida que iene una ersona. Dicha disribución sineiza (esadísicamene habando) odos os evenos fuuros que derimenan e iemo fuuro que vivirá una ersona con caracerísicas deerminadas en una función o aba de moraidad 2. Los asecos eóricos reacionados a cácuo de a esimación de a EV mediane as abas de moraidad, se describen en e Aneo 2. Suongamos que de una obación (con caracerísicas comunes) se escogen 00,000 recién nacidos 4. Si en esa obación cerrada 5 se hace un coneo anua de a canidad de ersonas que coninúan con vida en cada aniversario de su nacimieno hasa e faecimieno de úimo sobreviviene se odría obener una aba de moraidad. Seguir una obación desde su nacimieno hasa su desrucción requeriría un eriodo de observación an argo en años, como años de vida acance e úimo sobreviviene de a obación inicia. Debido a que no es osibe aguardar a que a úima ersona de a obación faezca, se hacen ajuses esadísicos ara obener a moraidad acua de a obación en cuesión. Con ayuda de ese io de esimaciones, se consruyen abas de moraidad. Es así como es osibe cacuar a robabiidad de que una ersona con edad acua () sobreviva () años, es decir acance a edad (+). Esa robabiidad esá deerminada or a razón enre a canidad de ersonas en a obación de esudio de edad (+) y a canidad de ersonas de edad acua (), es decir: Es ineresane observar que en a fórmua anerior no se hace referencia a ningún aconecimieno de a obación revio a a edad (). Es decir, a robabiidad que una ersona de () años viva () años más, no deende de asado, o cua no necesariamene es ciero, ero es un suueso que se hará en ese modeo. A esar que no se revisará en ese arícuo, cabe mencionar que con oro io de suosiciones sería osibe hacer ajuses esadísicos ara ener en cuena caracerísicas aricuares de a obación, a saber, e io de rabajo, aís de origen, siuación económica o anecedenes de saud enre oros. Lo cácuos se ueden refinar en ese senido si se uiizan abas seecas o abas de moraidad ara a obación esecífica (fumadores, inváidos, ec.). La edad () a a que hace referencia a fórmua anerior, debe ser una edad enera, de a manera que a información que se uiice debe redondearse de forma consisene ara considerar edades eneras; ese es un enfoque ragmáico, e cua ermie reaizar cácuos acuariaes con una muy buena recisión. Así mismo, ese enfoque ermie egar a un baance adecuado enre información requerida y resuados de as vaoraciones acuariaes. Debido a que se raa de un romedio, are de a obación vivirá más aá de a eseranza de vida que acuamene iene, ora are vivirá menos. Es así que os resuados que se obengan deben ser visos con cauea, se deben enender como e vaor romedio de una obación con caracerísicas comunes. Con esa robabiidad condiciona, se uede cacuar a robabiidad de os siguienes evenos aeaorios: + Eveno Vivir un año Vivir dos años Vivir años Probabiidad 2 Cada uno de os evenos aneriores son muuamene ecuyenes enre sí, es decir, si una ersona vive 0 años, no o hace 9 ni, de a manera que a sumar os ara cada, se obiene a eseranza de vida romedio de una ersona con edad de () años. Esa es a fórmua básica que se imemena en a hoja de cácuo adjuna a ese arícuo (es necesario hacer unas aroimaciones, ver deaes en e Aneo 2). 2 Se raa de a disribución de robabiidad de eveno aeaorio de edad a faecimieno resenada de forma a que ara cada edad enera se muesra a canidad de individuos vivos de dicha edad. 4 Pobación inicia o Radi. 5 Una obación cerrada significa que se sigue a una obación desde un cohore deerminado, hasa a muere de úimo individuo de gruo sin ermiir a enrada a nuevos individuos, es decir, es una función no creciene. En e caso de gruo que se describe, a obación cerrada reresena una obación inicia desde su nacimieno hasa su desrucción (faecimieno de úimo sobreviviene). Revisa Página 2

3 También es osibe formar gruos de ersonas y cacuar a robabiidad de vida de gruo. En ese caso, hay varias osibiidades ara definir e momeno en e cua se desruye 6 e gruo, as dos más comunes son as siguienes: Conjuna: E gruo eise hasa que faece a rimera ersona. Úimo sobreviviene: E gruo eise hasa que faece a úima ersona de gruo. E aneamieno eórico de cácuo de a eseranza conjuna se omie en ese arícuo, sin embargo se hace a imemenación ara e caso de dos vidas conjunas de edades () y (y) suoniendo que e iemo que vivirá una es indeendiene de iemo que vivirá a ora. Descrición de Daos Se uiizan abas de moraidad de dominio úbico que se emean acuamene en agunos aíses de América Laina ara cácuos ensionaes o de renas viaicias. Cada una de as abas esá searada ara hombres y mujeres, ara homogenizar os cácuos que hace a imemenación en Ece, se uiiza una edad mínima de 20 años (a esar que agunas de as abas reoran edades menores). Las abas que se consideran son as siguienes: País Nombre común de a Taba Invaidez Referencia a a Legisación Vigene Brasi (Bra) AT83 No Resoução CGPC No /4/2006. Coombia (Co) Renisas ISS Si Suerinendencia Bancaria, Res. 585/94. Suerinendencia de Adminisradores de Fondos de Chie (Chi) Beneficiarios 2006 Si Pensiones. //2008. Consejo Naciona de Suervisión de Sisema Financiero Cosa Rica (CR) SP 2005 No Naciona. Ar. 7º. Gacea /2/2008 Esados Unidos (EU) 430(h)(3)(A) Saic Moraiy No Inerna Revenue Service..430(h)(3). 6/0/2008. Méico 7 (Me) EMSS97 No Comisión Naciona de Sisema de Ahorro ara e Reiro Circuar /7/997. Eeriencia Meicana de Insiuo Meicano de Seguro Socia 997. Miniserio de Economía y Finanzas. Sisema Naciona de Perú (Per) RV85 No Pensiones - SNP (DL N 9990) y de DL N Se raa en oa de 0 abas: Coombia y Chie ienen abas de moraidad ara inváidos, ara Esados Unidos se incuyen abas esáicas ara e 2008 y 2009 anes y desués de reiro (Pre y os). Cada una de dichas abas (eceo as de Esados Unidos) viene searada or género. Resuados Los resuados se basan en a imemenación de Ece adjuna a ese arícuo. Ver deaes y imiación de resonsabiidad en e Aneo. Para os aíses aneriores, a EV ara ersonas en edad de reiro (a arir de os 60 años), es a siguiene:. E[] Hombres E[y] Mujeres E[y]-E[] Dea(Muj Hom) País Brasi Coombia Chie Cosa Rica EU 08 Pos Pre EU 09 Pos Pre Méico Perú Un gruo se desruye o ierde vigencia cuando se dejan de cumir os requisios que o definen. 7 Hasa donde hemos ogrado esabecer según a reguación de Reúbica Dominicana y nuesras observaciones, ese aís uiiza as abas de moraidad de Méico (997) con una diferencia en os vaores de q de en romedio 0.00%. Revisa Página 3

4 Para un hombre mujer coombiano de 60 años se obiene una EV de años, es decir, en romedio un hombre mujer 60 faecerá a os dada su condición acua. A anaizar os resuados de a aba anerior se ueden hacer varios comenarios: A medida que una ersona envejece, aumena su eseranza de vida, o cua es un refejo de que a EV es un cácuo rosecivo (e asado no imora). En oras aabras, a eseranza de vida de una ersona de 65 años es mayor que a de una de 60 más a diferencia de cinco años (que ya vivió a ersona de 65 años). Por ejemo si se oman os resuados obenidos ara Brasi ara as edades descrias, os números serían os siguienes: > La eseranza de vida es mayor ara mujeres que ara hombres. Ese ema esá documenado en a ieraura de saud, de a manera que odos os resuados de a EV refejan ese hecho. Las abas ara Esados Unidos son ara individuos anes y desués de reiro, de a manera que según esos resuados, cuando una ersona se reira, iende a vivir menos. Financiar a seguridad socia es reaivamene más cososo ara Esados Unidos y menos ara Coombia. Bajo e suueso que e beneficio es equivaene, e iemo or e cua se deben agar beneficios ensionarios (omando a EV ara hombres a os 65 años como edad de reiro) es mayor ara Esados Unidos que ara Coombia orque a eseranza de vida es mayor ara e rimer aís que ara e segundo. Según a magniud de coso de a ensión, os aíses se odrían casificar en orden decreciene así: Esados Unidos, Brasi, Chie, Cosa Rica, Perú, Méico y Coombia. Si se oma a EV ara mujeres de 65, en orden decreciene esán Chie, Brasi, Esados Unidos, Perú, Cosa Rica, Méico y Coombia. Los resuados ara as abas que esán imemenadas en esa herramiena, se muesran en e Aneo 3. Concusiones La EV es una medida esadísica, cuyo cácuo se basa en robabiidades condicionaes. La condición sobre a cua se hacen os cácuos es una descrición de esado acua de ersona que se vaora. Así mismo, es un cácuo rosecivo en e cua se ignora a hisoria de individuo a momeno en e cua se hace a vaoración. Según os resuados obenidos, as mujeres viven más que os hombres y os americanos viven menos cuando se reiran. Ese arícuo se acomaña de una herramiena que ermie eorar e cácuo de a EV ara aíses resumidos en a aba de resuados dada a reguación vigene a a fecha de ubicación de ese arícuo (Febrero de 2009). Así mismo, hay a osibiidad de usar oras abas de moraidad que e ecor uede agregar a dicha herramiena. Conaco: Bibiografía Rodrigo Siva, ASA Bowers, Gerber, Hickman, Jones, Nesbi, Acuaria Mahemaics, The Sociey of Acuaries, Schaumbug, Iinois Esados Unidos. Revisa Página 4

5 Aneo - Uso de a Imemenación en Ece La imemenación en Ece ara cacuar a esimación de a EV ara edades eneras usando agunas abas de moraidad, iene as siguienes caracerísicas generaes: Parámeros. La hoja EVida ermie inroducir información ara reaizar e cácuo de a esimación de EV, en as cedas que ienen fondo verde se eige a aba de moraidad de cada una de as ersonas, así como ambién, su edad, esa úima se uede escoger de a isa o digiar de forma direca. Resuados. En a hoja EVida se muesran os cácuos de a esimación de EV según os arámeros reviamene inroducidos. Los resuados se muesran en as cedas que ienen coor de fondo gris. Boones. E boón Cacuar, hace as esimaciones de EV según os arámeros inroducidos en as cedas que ienen coor de fondo verde. E boón Limiar imia a información ano de enrada como de saida y e boón Auores, muesra e nombre de auor de ese arícuo. Oros Parámeros. Es osibe escribir oras abas de moraidad, a arir de a coumna V de a hoja Mor. Una vez que se digian as asas de moraidad ara cada edad (o se coia y ega a información), se cacua de forma auomáica a aba de moraidad, con o cua se ueden hacer os cácuos de a EV con esa nueva aba. Configuración. Hay que ener cuidado con a configuración regiona de a aaforma (combinación de comuador, Windows y Ece). En agunos casos e uno decima se muesra con uno, en ano que en oros se hace con coma. Los números que se digien ara abas nuevas, debe seguir a searación decima que aarezca en a hoja Mor. Comaibiidad. La herramiena funciona en diferenes versiones de Ece, ano en ingés como en esaño. En as versiones recienes (.ej. Ece 2007), a herramiena se ejecua en Modo de Comaibiidad. Hojas de Cácuo: Macros: EVida. Hoja de saida en a cua se eigen os arámeros de moraidad y edad ara oseriormene mosrar os resuados de acuerdo a a seección reaizada. Mor. Hoja de enrada en a cua se digian as asas de moraidad. E usuario uede inroducir oras abas de moraidad a arir de as coumnas con descrición Disonibe. Toda a información de as fias de coor ( a 6) se debe digiar, ara que os resuados se generen de forma adecuada. Ly. Con base en as asas de moraidad de a hoja Mor, se cacuan as abas de moraidad a arir de os 20 años de edad. Esa hoja se cacua de forma auomáica una vez acuaizada a hoja Mor, no se debe modificar. Código. E código de Visua Basic con e cua se hacen os cácuos, esá abiero. Es así que se uede modificar a crierio de usuario, a reserva de que os cambios que se roduzcan con as modificaciones, ueden dar resuados erróneos. Los resuados que se obengan, ienen que coincidir con os de ese arícuo. Vaidación. Los resuados que se muesran en ese arícuo fueron revisados con herramienas indeendienes, de a manera a imemenación resenada en ese arícuo fue caibrada aroiadamene. Resonsabiidad. E auor decina resonsabiidad or versiones modificadas de a versión origina de esa imemenación ubicada adjuna a ese arícuo. Iguamene decina resonsabiidad or uso de os resuados disina a a resenación didácica de uso de Ece como una herramiena de rabajo acuaria. Como cuaquier imemenación de sofware, a soución resenada no es única. Es así que se incuye una versión simificada de esa herramiena con fines iusraivos, ara que os usuarios uedan imemenar herramienas acuariaes uiizando a resenada aquí como uno de arida. Revisa Página 5

6 Aneo 2 - Formuación de Eseranza de Vida Eseranza de Vida Deerminísica La robabiidad de que una ersona con edad acua enera () viva () años, es decir acance a edad (+) esá deerminada or a razón de a canidad de ersonas en a obación de esudio de edad (+) y a canidad de ersonas de edad (), es decir: + Se define e, a eseranza abreviada de vida ara edades eneras, así: e + P La eseranza de vida comea, se denoada or e y se define como: o o e + d P d Para roósios de ese arícuo se hace uso de conceo anerior ara cacuar as esimaciones de a eseranza de vida en a imemenación de a hoja de cácuo. Para egar a a eseranza comea se hace un ajuse a a eseranza abreviada y se suone que os faecimienos se disribuyen de manera uniforme enre edades eneras, de a manera que a reación enre as dos aneriores definiciones es a siguiene: o e e + 2 Eseranza de Vida Probabiísica Sea T() a variabe aeaoria que reresena e iemo en años que vivirá una ersona de edad (). Por o ano, a robabiidad de que una ersona de edad () esé viva cuando enga (+), es a siguiene: ( ( ) + T ( ) P T ) Esa corresonde a a robabiidad que e iemo en años que vivirá una ersona sea mayor a (+), dado que e iemo vivido ha sido mayor a (). Dicho de ora forma a robabiidad que una ersona de edad (), sobreviva hasa a edad (+). Con eso, a EV de una ersona de edad () se esima como a sumaoria de iemo de cada uno de os aneriores evenos: E ( T ( ) ) 0 o e La formua anerior corresonde a a definición aneada ara e gruo deerminísico de a eseranza comea de vida. d d Revisa Página 6

7 Aneo 3 - Cácuos de Eseranza de Vida La EV ara hombres y mujeres or quinquenios de edad desde a edad 20 hasa 70 años según información de disinos aíses ainoamericanos son os siguienes: Gráfica de a Eseranza de Vida or quinquenios de Edad ara Hombres Brasi Coombia 55 Chie Cosa Rica Eseranza de Vida EU 08 (Pos) Méico EU 09 (Pos) Perú Edad Taba de Daos de a Eseranza de Vida or quinquenios de Edad ara Hombres País Brasi Coombia Chie Cosa Rica EU 08 (Pos) EU 09 (Pos) Méico Perú Revisa Página 7

8 Gráfica de a Eseranza de Vida or quinquenios de Edad ara Mujeres Brasi Coombia 55 Chie Cosa Rica 50 EU 08 (Pre) EU 09 (Pre) Eseranza de Vida Méico Perú Edad Taba de Daos de a Eseranza de Vida or quinquenios de Edad ara Mujeres País Brasi Coombia Chie Cosa Rica EU 08 (Pre) EU 09 (Pre) Méico Perú Revisa Página 8

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