REVISTA INVESTIGACIÓN OPERACIONAL Vol., 29, No. 3, , 2008

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1 REVISTA INVESTIGACIÓN OPERACIONAL Vol., 9, No. 3, 88-00, 008 AJUSTE DEL ESTIMADOR DE TABLA DE VIDA PARA ENFRENTAR SITUACIONES DE RIESGOS COMPETITIVOS DEPENDIENTES Mayel Mrabal Sosa*, Armao Seuc Jo** y Rolao Uraga Pña*** *Isttuto Flay. Ivestgacó y Prouccó e Vacuas **Isttuto Nacoal e Agología y Crugía Vascular ***Cetro Nacoal Cooraor e Esayos Clícos RESUMEN Los esarrollos e el marco e u problema clásco e resgos compettvos e su mayoría ha cossto e, a partr el supuesto e epeeca etre las causas compettvas, hacer estmacoes e versas tasas. E este artículo se propoe austes e los estmaores tpos Tabla e Va (Clásco y Tasa Neta e ua stuacó e resgos compettvos para cuao o se cumple el supuesto e epeeca. Se emuestra que el estmaor propuesto es pseuo-máxmo verosíml. Se compara, meate smulacó, los estmaores propuestos e el trabao y los estmaores exstetes lo que corrobora el hecho e que el estmaor austao bra estmacoes más cercaas a la tasa real que las obteas al usar los estmaores cláscos. ABSTRACT The maorty of the evelopmets a classc problem of competg rsks have cosste, base o the assumpto of epeece betee all evet types, make estmatos to several rates. I ths paper, e propose a auste Lfe-Table estmator the cotext of o-epeet competg rsks. We proof that the propose estmator s maxmum pseuolkelhoo. We compare the auste a classc estmators by smulato stuy. It cofrme that e auste estmator proves closer estmatos to the real rate tha the classc estmator. KEY WORDS: Lfe Table, Iepeece, Net Rate, Lkelhoo. MSC 6P0 INTRODUCCIÓN Las stuacoes e resgos compettvos costtuye u problema estaístco y práctco e especal mportaca porque el cambo (aumeto o smucó e la tasa e ocurreca el eveto por ua e las causas puee flur e símles maeras e el comportameto e las tasas e ocurreca por otras causas. Por eemplo, el cremeto observao e los últmos 0 años e las tasas e mortala por cácer e alguos países europeos puee eberse a que las tasas e mortala por efermeaes el corazó ha smuo e el msmo peroo, lo que posblta que los sobrevvetes e estas últmas tega ahora la posbla - y e hecho lo haga - e morr por cácer. Ver Llorca-Delgao [004]. Al parecer fue Chag [96], que prmero tetó estructurar la stuacó e resgos compettvos meate la efcó e tres tasas e terés feretes: a Tasa Global e ocurreca el eveto, efa como la probabla global e ocurreca el eveto por cualquera e las causas. b Tasa Crua e ocurreca el eveto por ua etermaa causa, efa como la probabla e ocurreca el eveto por cha causa e preseca e toas las causas restates. c Tasa Neta e ocurreca el eveto por ua etermaa causa, efa como la probabla e ocurreca el eveto por cha causa e ua poblacó hpotétca e la cual sólo estuvera actva esa causa. mmrabal@flay.eu.cu 88

2 Gra parte e los esarrollos estaístcos alreeor e este tema ha cossto e, a partr e certos supuestos, obteer estmacoes e las sttas tasas efas prevamete. Por eemplo, ha so esarrollaas sttas varates e los métoos e Kapla-Meer y e Tabla e Va las que ha estao basaas fuametalmete e los supuestos e epeeca e las cesuras o e las causas compettvas. Ver Focco-Putter [005], Zeg [004], Satagopa-Be Porat [004]. El uso apropao e estos esarrollos e el marco e los estuos e resgo compettvo, ha trouco certo grao e cofusó e el tema. Las razoes prcpales e esta cofusó so:. La seleccó aecuaa el estmaor, pues se ha usao scrmaamete s coserar las crcustacas bao las que caa cual es más apropao.. La utlzacó e los estmaores e la Tasa Neta aú cuao so volaos los supuestos e epeeca que los susteta. E este trabao se propoe austes e los estmaores tpos Tabla e Va (Clásco y Tasa Neta e ua stuacó e resgos compettvos para cuao o se cumple el supuesto e epeeca etre los tempos e ocurreca e las cesuras y los evetos. Se preseta aemás ua fucó e pseuoverosmltu y se esboza la emostracó e que el estmaor austao es el estmaor máxmo pseuoverosíml. So presetaos los resultaos obteos e smulacoes que permte lustrar el proceso e estmacó.. AJUSTE PARA LOS ESTIMADORES TIPO TABLA DE VIDA E lo que sgue se propoe u auste e los estmaores tpos Tabla e Va, basao e formacó a pror acerca e la terrelacó etre las causas compettvas... El Estmaor Tabla e Va Clásco Austao E el marco e u estuo e supervveca clásco y cuao se asume que los tempos e ocurreca el eveto o so coocos exactamete, so que se halla etro e certo tervalo, se efe el estmaor e Tabla e Va Clásco o estmaor actuaral. Ver e Farley [986]: ˆ ( tk Sˆ( tk k ( F oe: : úmero e evetos urate el tervalo t, t [ : úmero e cesuras urate el tervalo t, t [ : úmero e suetos e resgo al co el tervalo t, t Sea ( J σ,,..., [ ua muestra epeete e atos e supervveca cesuraos por la erecha, oe J es u caor el tervalo ( J s al vuo le ocurró u eveto o ua cesura e [ t, t y σ es u caor e cesura ( σ s el vuo es cesurao y σ 0 e otro caso. Sea ε I ( J. Hagamos σ ( σ,..., σ, ε ( ε,..., ε. t, t Es vála etoces la sguete expresó para el úmero e cesuras urate el tervalo [ usaa e la fórmula (: σ ε. 89

3 Defamos: σ ε ( r r r Itrouzcamos u uevo vector (,...,, cuyas compoetes ca ua pealzacó mpuesta a caa vuo por el hecho e ser ua cesura potecal. Poría pesarse e la sguete geeralzacó seclla e (: σ ε r (3 Tras esta ea subyace la cocó r ya que el eomaor e ( o ebe ser feror al umeraor. S los r so terpretaos como probablaes esta restrccó o represeta tal fculta. S embargo, como veremos, los r puee ser terpretaos como resgos relatvos y amte, por tato, valores postvos arbtraros. La expresó (3 puee ser correga el sguete moo: r σ ε (4 r Puee coserarse expresoes e Sea G R 3 R más geerales. :, etoces ( se geeralza tomao G( σ, ε, r. Es ecesaro mpoer a la fucó G la restrccó G( x, y, z x, oe x eota la suma e las compoetes el vector x y x, y, z represeta tres vectores e R. S se elge, por eemplo, G ( x, y, z g( xy, yz (xy proucto escalar e x, y, se obtee g(, R, oe, como es usual, es el úmero e cesuras e el tervalo y R es la pealzacó correspoete al tervalo. La fucó g ebe satsfacer g( u, v u. El estmaor e Tabla e Va Clásco Austao lo efmos como: F ˆ ( tk Sˆ( tk (5 k oe puee estar ao por algua e las expresoes escrtas... El estmaor tabla e va austao para la tasa eta E ua stuacó e resgos compettvos, el estmaor tpo Tabla e Va para la Tasa Neta se efe e Farley [986] como: 90

4 Fˆ oe: ( t k Ŝ ( t k k ( (6 : úmero e evetos por cualquer causa ocurros e el tervalo t, t [ : úmero e evetos por la causa e terés e el tervalo t, t : úmero e cesuras e el tervalo t, t [ [ : úmero e suetos e resgo al eveto, por la causa e terés, al co el tervalo t, t [ E ua stuacó e resgos compettvos epeetes, poemos austar el estmaor ateror e la sguete forma: l ˆ ( tk F Sˆ l ( t k k l l (7 σ σ σ, σ 0 s al vuo le co l G( σ l, ε, rl, l ( l,..., l r l ( r l,..., r l, l ocurró el eveto l, uo e otro caso. Las compoetes e r l ca ua pealzacó mpuesta a caa vuo por el hecho e ser ua cesura potecal co respecto a la causa l. Casos partculares:. Tomao l σ lε, se obtee el estmaor Tabla e Va para la Tasa Neta efa e (6.. Puee efrse l σ lε rl ; e este caso ebe cumplrse r l. rl 3. El caso puee corregrse s se efe l σ lε, co r l R rl 3. PROPIEDAD DE MÁXIMA VEROSIMILITUD DE LOS ESTIMADORES Fˆ Y Fˆ E Xe-Lu [000] y Ibrahm [005], se emuestra que el estmaor clásco tpo Tabla e Va, Fˆ efo e (, maxmza la sguete fucó e pseuoverosmltu: Doe, L S ( t.f ( t S ( t 9

5 S ( t P(T > t : t extremo zquero el tervalo -ésmo t : u mometo e tempo cualquera a la erecha e t : u mometo e tempo a la erecha e t y etro el tervalo [ t, t t y etro el tervalo [ t, t Por pseuoverosmltu se etee que es la fucó e verosmltu bao certos supuestos: la mta e las cesuras ocurre ates e toas las muertes y la otra mta espués e toas las muertes. El estmaor Fˆ posee ua propea smlar lo cual se euce el hecho e que tee ua estructura étca a la e Fˆ. Proposcó: El estmaor Fˆ efo e (5 maxmza la sguete fucó e pseuoverosmltu. L S( t Demostracó:. f ( t f ( τ (8 0 t t t. Sea y el úmero e evetos que ocurre etro e caa tervalo; y el úmero e vuos que se cesura e caa tervalo. Sea S ( t P(T > t. Supogamos, para smplfcar, se tee tervalos e tempo [ t, y [, La fucó e pseuoverosmlu puee ser escrta como: L A S ( t0. f ( t0. S ( t0. S ( t. f ( t. S ( t. B. C. D. E. F S(t B A E C D F t 0 t 0 t 0 t t t t Dagrama. Cofguracó Optma Doe, 9

6 93 : t extremo zquero el tervalo -ésmo oe ocurre la mta e las cesuras. : t u mometo e tempo cualquera a la erecha e t y etro el tervalo [ t t, e el que ocurre toas los evetos que correspoe a ese tervalo. : t u mometo e tempo a la erecha e t y etro el tervalo [ t t, oe ocurre la segua mta e las cesuras. El agrama represeta la cofguracó óptma que ebe poseer S para maxmzar L. De oe se obtee que: F E D C C B A Aemás se verfca las sguetes gualaes: ( Sea:.D f F e.d E Etoces, f e C B f e C B L Hemos utlzao os veces la sguete propea: N M, s N M Aemás, el máxmo e la expresó N M se alcaza para M y N Obteemos:,,, f e C B

7 Por tato Ŝ ( t Ŝ ( t C F fd fc Por últmo el estmaor Fˆ maxmza ua fucó e pseuoverosmltus smlar a (8, ebo a que tee la msma estructura e Fˆ. 4. EJEMPLO Supogamos que exste ua covarable cotómca Zcuya asocacó co ( Z tee a tomar el valor 0 ( cuao σ tee a tomar el valor 0 (. σ es altamete postva Defamos P( E / Z r P( E / Z 0 Z y e la probabla e que ocurra el eveto e terés ao que Z 0, es ecr, r es el cocete e la probabla e que ocurra el eveto e terés ao que. El parámetro r se puee terpretar como el resgo relatvo e ocurreca el eveto etre los vuos que se cesura y los que o se cesura. Defamos aemás, R ( σ Z ε / ( σ ( Z ε / Z ε ( Z ε (9 r R, tal que ε Asgemos al vuo la pealzacó. Es ecr, a los vuos que se cesura e u msmo tervalo les correspoe el msmo valor e r. Susttuyeo e la fórmula (4 se obtee ua expresó reuca para esta e la sguete forma: R R Al susttur lo ateror e (5, se obtee el estmaor tpo Tabla e Va Clásco Austao. 4.. Smulacó Usao las faclaes e programacó que bra el leguae S, mplemetacó R, versó.4., R Developmet Core Team [004], se geeró ua muestra e tamaño 000 como sgue: Se geeraro 000 observacoes proceetes e la strbucó expoecal co parámetro, que correspoe co los tempos latetes e ocurreca el eveto e terés. Las covarables Z para t caa vuo fuero geeraas a partr e ua strbucó Beroull como: ~ ( Z B t. Las varables caoras e ocurreca el eveto se geeraro e os formas feretes. 94

8 0.75 s Z P( σ / Z (0 0.5 s Z s Z P( σ / Z ( 0.5 s Z 0 El tempo cesurao e ocurreca el eveto se efó como: X t t s σ 0 s σ Se vó el ee real postvo e 5 tervalos: [ 0,, [,, [,3, [3,4, [4,5 Caa observacó se clasfcó e acuero al tervalo a que perteecía, para obteer los caores Los cógos escrtos e R que permtero esta smulacó puee cosultarse e el Apéce. 4.. Resultaos y scusó ε. Coserao la varable e cesura efa como e (0, es ecr s asocamos la covarable co la ocurreca e la cesura, se obtee los resultaos que se muestra e la Fgura No.. E esta prmera sala la covarable está altamete correlacoaa co la cesura e maera postva, por ello, los estmaores e los resgos relatvos so e geeral meores que uo, por lo que las probablaes e supervveca austaas resulta mayores que las cláscas. Note que co el auste propuesto se obtee estmacoes e la veraera supervveca más precsas que las obteas usao el métoo clásco. Lo ateror eveca que es posble usar formacó a pror para explcar la terepeeca etre las causas compettvas S por el cotraro geeramos las varables caoras e la cesura como (, o sea, la covarable se cosera epeete e la ocurreca el eveto, etoces los estmaores cláscos y austaos coce y subestma levemete la veraera probabla. Ver Fgura No.. E este eemplo se ha utlzao ua covarable como susttuta e la cesura (formacó acoal requera para realzar el auste. E lugar e esto puee ofrecerse como formacó acoal rectamete los valores e los resgos relatvos observaos e caa vuo ( R y susttur la expresó correspoete e los. Otro efoque poría ser estmar los resgos relatvos e vez e ofrecer rectamete sus valores umércos, a partr e algua efcó para ellos e térmos e las probablaes e cesura y supervveca. Por eemplo, puee efrse los δ -resgos relatvos como el cocete e las probablaes: P( E / C P( u < T < u δ / u < U < T P( E / NC P( u < T < u δ / T < U El problema se traslaa etoces a estmar chas probablaes a partr e los atos; estos o puee cosstr e los tempos cesuraos solamete. El estuo e qué tpo e atos bastaría para estmar satsfactoramete chas probablaes es u problema compleo. 95

9 Supervveca Clásco Aust. Real [0, [, [,3 [3,4 [4, Itervalo Fgura. Comparacó e las estmacoes e la supervveca usao el estmaor clásco y el austao co respecto a la supervveca real, para atos smulaos co cesuras efas e (0. Supervveca Clásco Aust. Real [0, [, [,3 [3,4 [4,5 Itervalo Fgura. Comparacó e las estmacoes e la supervveca usao el estmaor clásco y el austao co respecto a la supervveca real para atos smulaos co cesuras epeetes efas e (. 96

10 Es mportate estacar que se ecesta e u estrecho vículo etre los vestgaores bomécos y los especalstas e estaístca co el f e etermar pealzacoes aecuaas para caa vuo, las que será usaas para austar el estmaor clásco e tabla e va. Receve October 007 Revse Aprl 008 REFERENCIAS [] LLORCA J, DELGADO RM. (004: Aálss e supervveca e preseca e resgos compettvos. Gac. Sat. 8, [] CHIANG CL. (96: A stochastc stuy of the lfe table a ts applcatos: III. The follo-up stuy th the coserato of competg rsks. Bometrcs 7, [3] FIOCCO M, PUTTER H. a VAN HOUWELINGEN J.C. (005: Reuce rak proportoal hazars moel for competg rsk. Bostatstcs 6, [4] ZENG D. (004: Estmatg margal survval fucto by austg for epeet cesorg usg may covarates. The Aals of Statstcs 3, [5] SATAGOPAN J M, BEN-PORAT L, BERWICK M, ROBSON M, KUTLER D a AUERBACh A D. (004: A ote o competg rsks survval ata aalyss. Brtsh Joural of Cacer 9, [6] FARLEY T. M. M. (986: Lfe-table methos for cotraceptve research. Stat Me 5, [7] XIE J. a LIU C. (000: Auste Kapla-Meer estmator a log-rak test th verse probablty of treatmet eghtg for survval ata. Statst. Me 00, -6. [8] IBRAHIM JG. (005: Apple Survval Aalyss. Presetato the st Aual Summer Workshop of the Amerca Statstcal Assocato. [9] R DEVELOPMENT CORE TEAM. (004: R. A laguage a evromet for statstcal computg. R Fouato for Statstcal Computg, Vea, Austra. ISBN , Dspoble e: URL: 97

11 APÉNDICE. Cógos geeraos e R:Cógos usaos para geerar los atos bao el supuesto e epeeca # geerao el tempo latete e ocurreca el eveto e terés t<-rexp(000,0.5 # geerao la covarable z<-rep(0,000 for ( :000 z[]<-rbom(,, -t[]/(0t[] # geerao la varable caora e eveto a partr e la covarable elta<-rep(0,000 for ( :000{ f (z[] elta[]<-rbom(,, 0.9# elta es eveto co alta probabla, else elta[]<-rbom(,, 0. # es cesura co baa probabla # geerao el tempo cesurao e ocurreca el eveto x<-t for ( :000{ f (elta[]0 x[]<-t[]/ # geerao los e e<-rep(0,5000 m(e<-c(000,5 for ( :000 for ( :5 f (-<x[] & x[]< e[,]<- # úmero e vuos <-000 # úmero e tervalos t<-5 # cálculo e R r<-rep(0,t for ( :t{ s<-0;s<-0;s3<-0;s4<-0 for ( :{ s<-selta[]*z[]*e[,] s<-sz[]*e[,] s3<-s3elta[]*(-z[]*e[,] s4<-s4(-z[]*e[,] r[]<-(s/s/(s3/s4 f (s.a(r[] r[]<- 98

12 # cálculo el úmero e evetos e el tervalo <-rep(0,t for ( :t for ( : []<-[]elta[]*e[,] # cálculo el úmero e cesuras e el tervalo <-rep(0,t for ( :t for ( : []<-[](-elta[]*e[,] # Cálculo el úmero e resgo al co el tervalo r<-rep(0,t r[]<- for ( :t r[]<-r[-]-[-]-[-] # Cálculo la fucó e supervveca austaa para caa tervalo SA<-rep(,t laa<-rep(,t for ( :t{ laa[]<-rou((r[]/(r[]*[], SA[]<--[]/(r[]-laa[] SAA<-rep(,t SAA[]<-rou(SA[],3 for ( :t{ for ( : SAA[]<-rou(SAA[]*SA[],3 # Cálculo la fucó e supervveca clásca para caa tervalo SC<-rep(,t for ( :t SC[]<--[]/(r[]-(/*[] SCA<-rep(,t SCA[]<-rou(SC[],3 for ( :t{ for ( : SCA[]<-rou(SCA[]*SC[],3 # Cálculo e la fucó e supervveca real para caa tervalo real<-rep(0,5 SupRealAc<-rep(0,5 for ( :5{ for ( :000 f (-<t[] & t[]< real[]<-real[] for ( :5{ resgo<-000 f ( SupRealAc[]<--real[]/000 99

13 else { for (k : resgo<-resgo-real[k-] SupRealAc[]<-SupRealAc[-]*(-real[]/resgo # buao la tabla Tabla<ata.frame(Itervalc("[0,","[,","[,3","[3,4","[4,5", rskr,evet,lost,lostalaa, AcumLfeTableSCA,AcumALfeTableSAA, RealSupRealAc Tabla A<-rep(0,8 m(a<-c(6,3 A[,]<-c(,Tabla[,6] A[,]<-c(,Tabla[,7] A[,3]<-c(,Tabla[,8] Probabla<-A matplot(probabla, "s",ltyc(,3,5 xlab"itervalo",ylab"supervveca",type Cógos usaos para geerar los atos bao el supuesto e epeeca # geerao el tempo latete e ocurreca el eveto e terés t<-rexp(000,0.5 # geerao la covarable z<-rep(0,000 for ( :000 z[]<-rbom(,, -t[]/(0t[] # geerao la varable caora e eveto a partr e la covarable elta<-rep(0,000 for ( :000{ elta[]<-rbom(,, 0.9 r<-rep(,t # geerao el tempo cesurao e ocurreca el eveto x<-t for ( :000{ f (elta[]0 x[]<- ruf(, m0, maxt[] 00