Circuitos de Segundo Orden

Transcripción

1 VII Objetivos: o Defiir y aalizar la respuesta atural de u circuito RL o Idetificar y recoocer el tipo de respuesta del circuito RL a través de las raíces de la ecuació característica de la red o Defiir y aalizar la respuesta completa de u circuito de segudo orde o Discutir la respuesta de u circuito de segudo orde a ua fució expoecial y seoidal Itroducció E este capítulo estudiaremos los circuitos que cotiee dos elemeto almaceadores de eergía diferetes, como so ua bobia y u capacitor y veremos que estos circuitos so descritos por ua ecuació diferecial de segudo orde, tambié ecotraremos la respuesta atural, forzada y completa de éstos circuitos. omezaremos uestro estudio co dos ejemplos clásicos, para llegar obteer la ecuació básica del circuito. 7. Ecuació del circuito básico de los circuitos de segudo orde Para comezar uestro desarrollo, los dos circuitos básicos que se muestra e la Figura 7.. v( i( v (t 0 ) i L (t 0 ) L i s ( R L v s ( R (a) Figura 7.. (b) Para comezar uestro aálisis vamos a supoer que la eergía puede ser almaceada iicialmete e la bobia y e el capacitor. La ecuació para el circuito RL paralelo se obtiee de aplicar LK al odo de arriba: v( t dv( i R i L i = i s (, es decir: v( x) dx il ( t0 ) is ( R L = t0 De maera similar, la ecuació para el circuito RL serie se puede obteer aplicado LKV a la malla existete: t di( v R v v L = v s (, es decir: Ri i( x) dx v ( t0 ) L vs ( = t0 Note que la ecuació para el voltaje odal del circuito RL paralelo es de la forma que la de la corriete de malla del circuito RL serie. Por tato la solució de esos circuitos 95

2 depede de que se resuelva ua ecuació. Si ambas ecuacioes ateriores se deriva co respecto al tiempo, obteemos: d v( dv( v( dis ( =, que podemos expresarla como: R L d v( dv( v( dis ( = y R L d i( di( i( dvs ( L R =, que podemos expresarla como: d i( R di( i( dvs ( = L L L omo ambos circuitos coduce a ua ecuació diferecial de segudo orde co coeficietes costates, vamos a cocetrar uestro aálisis e este tipo de ecuació. 7. Solució a la ecuació diferecial de segudo orde Vamos a emplear el mismo método que hicimos co los circuitos de primer orde para obteer la solució de la ecuació diferecial de segudo orde que resulta del aálisis de los circuitos RL. De maera geeral, e este caso teemos ua ecuació de la forma: d x( a dx( a x( = f ( Para f( 0 vamos a teer dos respuestas: la respuesta forzada x f ( y la respuesta atural x (, etoces la solució completa de la ecuació origial es: x( = x f ( x ( Si, por el mometo os limitamos a ua fució de forzamieto costate (es decir, f( = A), etoces la respuesta forzada se puede calcular sustituyedo x f ( = K (dode K es ua costate) e la ecuació diferecial de segudo orde, obteemos el valor de la respuesta forzada como sigue: d K dk a a K = A, se obtiee K = A/a = x f (, por tato la solució total será: x( = A/a x ( Ahora para ecotrar la respuesta atural, hacemos la ecuació diferecial de segudo orde igual cero: 96

3 d x ( dx ( a a x ( = 0, dode a y a so costates. Por coveiecia y simplicidad rescribimos la ecuació diferecial de la siguiete forma: d x ( dx ( ζω x ( = 0 ω, dode hemos hechos las siguietes sustitucioes simples para las costates a = ζω y a = ω. Haciedo las mismas cosideracioes hechas e el caso de la ecuació de primer orde, la solució de la ecuació homogéea debe ser ua fució cuyas derivadas de primero y segudo orde tiee la misma forma, de modo que el lado izquierdo de la ecuació homogéea se hará idéticamete cero para todo t. Supoemos ua solució expoecial para la respuesta atural, x ( = K st y sustituimos está expresió e la ecuació homogéea, para obteer: s K st ζω sk st ω K s, Dividiedo ambos lados de la ecuació etre K st se obtiee: s ζω s ω = 0 Esta ecuació comúmete se llama ecuació característica; ζ se llama razó o coeficiete de amortiguamieto y a ω se le llama frecuecia resoate o amortiguada. La importacia de ésta termiología se hará clara coforme avacemos co el desarrollo de este aálisis. Si ésta ecuació se satisface, uestra solució supuesta x ( = K st es correcta. Empleado la fórmula cuadrática, ecotraremos que la ecuació característica se satisface si: ζω ± 4ζ ω 4ω s = = ζω ± ω ζ Por lo tato hay dos valores de s, s y s que satisface la ecuació característica s = ζω ω ζ y s = ζω ω ζ st Esto sigifica que xc ( = Ke es ua solució de la ecuació homogéea y que st x ( t = K e tambié es ua solució a la ecuació homogéea; es decir, c ) d d st s t ) ζω ( Ke ) ω Ke = 0 y st ( Ke d st d st s ( Ke ) ζω ( Ke ) ω Ke t = 0 97

4 La suma de estas dos ecuacioes produce la igualdad d st st d st st st s ( Ke Ke ) ζω ( Ke Ke ) ω ( Ke Ke t ) = 0 Es importate advertir que la suma de las dos solucioes tambié es ua solució. Por lo tato, e geeral, la solució complemetaria de la ecuació homogéea es de la forma: st st x( = Ke Ke Dode K y K so costates que puede ser evaluadas vía las codicioes iiciales x(0) y dx(0)/. Por ejemplo ya que: dx( dx(0) =, etoces, x(0) = K K y = = sk sk st st x( Ke Ke De aquí, x(0) y dx(0)/ produce dos ecuacioes simultáeas, que cuado se resuelve da las costates K y K. 7.3 Respuesta atural de los circuitos de segudo orde U exame miucioso de las ecuacioes s y s idica que la forma de la solució de la ecuació homogéea depede del valor de ζ. Por ejemplo, si ζ >, las raíces de la ecuació característica s y s, tambié llamadas frecuecias aturales debido a que determia la respuesta atural de la red, so reales y diferetes; si ζ <, las raíces so úmeros complejos; y fialmete, si ζ =,, las raíces so reales e iguales. ada uo de esos casos es muy importate; por lo tato, examiaremos ahora cada uo co algú detalle Respuesta sobre amortiguada Veamos el caso, dode ζ >, e este caso a la solució se le llama respuesta sobre amortiguada. Las frecuecias aturales s y s so reales y diferetes, por tato, la respuesta atural de la red descrita por la ecuació diferecial de segudo orde es de la forma: st st x( Ke Ke =, dode s y s toma los valores: s = ζω ω ζ y s = ζω ω ζ Dode K y K se ecuetra de las codicioes iiciales. Esto idica que la respuesta atural es la suma de dos expoeciales decrecietes Respuesta Subamortiguada 98

5 Ahora cosideremos el caso e que ζ <, e este caso a la solució se le llama respuesta subamortiguada. omo ζ <, las raíces de la ecuació característica dada puede escribirse como: s ζω ω ζ = σ jω = j d s = ζω jω ζ = σ jω d Dode j =, σ = ζω y ω d = ω ζ. Así las frecuecias aturales so úmeros complejos. La respuesta atural es etoces: x ( = K e K e, que se puede escribir como: ( σ jωd ) t ( σ jωd ) t t jωd t x( = e ( Ke Ke σ jωd t Utilizado las idetidades de Euler ) ± θ e j = cos θ ± jseθ, obteemos: x x σt = e [ K (cosω t jseω K (cosω t jseω ), reduciedo esto teemos: ( d d d σt = e [( K K )cosω t ( jk jk ) seω ], que lo podemos escribir como: ( d σt x( = e ( A cosω A seωd Dode A y A como K y K so costates que se evalúa usado las codicioes iiciales x(0) y dx(0)/. Si x ( es real, K y K será complejos y K = K *. A = K K es, por tato, dos veces la parte real de K y A = jk jk, es dos veces la parte imagiaria de K. A y A so úmeros reales. Esto ilustra que la respuesta atural es ua respuesta oscilatoria expoecialmete amortiguada Respuesta críticamete amortiguada Por último el caso e que ζ =, e este caso a la solució se le llama respuesta críticamete amortiguada. omo ζ =, la parte del radical de las raíces s y s se hace cero y esto geera: s = s = ζω. Por cosiguiete x () t t = K3e ζω dode K 3 = K K. Si embargo esta o puede ser ua solució a la ecuació diferecial de segudo orde, debido a que e geeral o es posible satisfacer las dos codicioes iiciales x(0) y dx(0)/ co la úica costate K 3. E el caso dode la ecuació característica tiee raíces repetidas, puede obteerse ua solució de la siguiete maera. Si se sabe que x ( es ua solució de la ecuació homogéea de segudo orde, etoces vía la sustitució x( = x (y( podemos 99

6 trasformar la ecuació diferecial dada e ua ecuació de primer orde e dy(/. omo esta ecuació resultate es sólo ua fució de y(, puede resolverse para ecotrar la solució geeral x( = x (y( Para uestro caso, s = s = ζω. Por simplicidad hacemos α = ζω, y, de aquí, la ecuació básica es: d x ( dx ( α α x ( = 0 y ua solució coocida es x ( αt = K 3 e Empleado la sustitució x ( = x (y( = K 3 αt y(, la ecuació cuadrática se covierte e d αt αt [ K3e y( ] α [ K3e y( ] α K3e Evaluado las derivadas obteemos: d αt dy( t αt αt αt ) [ K3e y( ] = αk 3e y( K3e y( = 0 d [ K e 3 αt y( ] = α [ K e 3 αt y( ] αk e 3 αt dy( K3e αt d y( Si sustituimos esas expresioes e la ecuació precedete se obtiee: K e d y( αt 3 = d y( 0. Por lo tato = 0, y de aquí, y( = A A t. Por ede la solució geeral es: x ( = x (y( = K 3 αt (A A, la cual puede escribirse como: x ( ríticamete amortiguado Sobre amortiguado ζωt ζωt x( = x ( = Be Bte, dode B B so costates derivadas de las codicioes iiciales. La Figura 7.3. ilustra gráficamete los tres casos para las situacioes e las que x (0) = 0. Advertimos que la respuesta críticamete amortiguada tiee u pico y decae más rápido que la respuesta sobre amortiguada. La respuesta subamortiguada es ua seoide expoecialmete amortiguada cuya velocidad de decaimieto depede del factor ζ. E realidad los térmios ± e ζω t 00 0 x ( 0 t Subamortiguado αt t Figura 7.3.

7 defie lo que se llama la evolvete de la respuesta, y las oscilacioes amortiguadas (es decir, las oscilacioes de amplitud decreciete) exhibidas por la forma de oda de la figura se llama oscilacioes amortiguadas. Aalizaremos ahora ua serie de ejemplos de circuitos RL simples que cotiee codicioes iiciales diferetes de cero y fucioes forzates costates, cosiderado circuitos que exhibe respuestas sobre amortiguadas, subamortiguadas y críticamete amortiguada. Ejemplo 7.3. v( osidere el circuito paralelo de la Figura 7.3., co R = Ω, =/5 F, y L = 5H, co codicioes iiciales i L (0) = A y v (0) = 4V. Ecuetre el voltaje v(. R L i L (0) v (0) Figura 7.3. Solució: Primero teemos que obteer la ecuació diferecial de segudo orde, e este caso aplicado LK. i R i L i = 0, sustituyedo por la ley del elemeto de cada uo de ellos, obteemos: v( t dv( v( x) dx il( t0) = 0, derivado esta expresió co respecto al R L t0 tiempo y reacomodado la expresió, se obtiee: d v( dv( v( = 0 R L Sustituyedo los valores de R, L y e la ecuació diferecial, obteemos: d v( dv(.5 v( = 0 Etoces la ecuació característica será: s.5s = 0 y aplicado la fórmula cuadrática obteemos las raíces: s = y s = 0.5 omo las raíces so reales y diferetes la respuesta del circuito es sobre amortiguado y v( será de la forma: v( = K t K 0.5t Si embargo otra alterativa para llegar a cocluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresió: 0

8 d v( dv( v( = 0, co la expresió: R L d x ( dx ( ζω x ( = 0 ω, y quitado la variable v( que buscamos, obteemos la ecuació característica del circuito: s ζω s ω = 0, dode ζω = /R y ω = /L, se obtiee que el coeficiete de L amortiguamieto es ζ = y la frecuecia resoate es ω = R L y sustituyedo los valores de los compoetes obteemos: ζ =.5 y ω = rad/s omo: ζ > etoces la respuesta será sobre amortiguada. Procedemos a ecotrar las raíces usado la fórmula cuadrática, de la ecuació característica, como fue ecotrado ateriormete s = y s = 0.5, y la solució toma la forma: v( = K t K 0.5t Las codicioes iiciales se emplea ahora para determiar las costates K y K. omo v( = v ( etoces: v (0) = v(0) = K 0 K 0 = K K = 4. La seguda ecuació ecesaria para determiar = K y K ormalmete se obtiee de la expresió: dv 5 ( t 0. t = Ke 0. 5Ke Si embargo, la seguda codició iicial es dv(0)/. Teemos que ecotrar esta derivada y evaluarla e t(0), o obstate podemos otar que de la ecuació odal iicial podemos despejar dicha derivada, así: v( i R L dv( ( = 0, que al despejar teemos: dv( il ( = v( R dv(0) il (0) Y evaluádola para, obteemos: = v(0) =.5(4) 5( ) = 5, R etoces formamos la otra ecuació que os hacia falta dv( 0) 0 0 = Ke 0.5Ke = 5. El sistema de dos ecuacioes co dos icógitas formado es: K 0.5K = 5 K K = 4. Multiplicado ésta ecuació por y efectuado la resta de ambas se obtiee: 0

9 K 0.5K = 5 K K = 8 (3/) K = 3 así K = y K = 4 K = 4, etoces K = Por lo tato v( es: v( = t 0.5t La gráfica del voltaje co respecto al tiempo se muestra e la Figura y La corriete la bobia se relacioa co v( mediate la ecuació il ( = il (0) v(, etoces sustituyedo el valor de v( obteemos: L t 0.5t il ( = [e e ] 5, por lo tato la corriete e la bobia será: v( (V) 4 il ( = e 5 t 4 e 5 0.5t A 0.6 Ejemplo 7.3. El circuito RL serie que se muestra e la Figura tiee los siguietes parámetros: = 0.04F, L = H, R = 6Ω, i L (0) = 4A y v (0) = 4V. Determiemos la expresió para la corriete e la bobia y el voltaje e el capacitor. 0 3 Figura R i( R i L (0) L t (s) v (0) Solució: Figura Primero teemos que obteer la ecuació diferecial de segudo orde, e este caso aplicado LKV. v R v L v = 0, sustituyedo por la ley del elemeto de cada uo de ellos, obteemos: di( t Ri( L i( x) dx v ( t0 ) = 0, derivado esta expresió co respecto al t0 tiempo y reacomodado la expresió, se obtiee: d i( R L di( i( L = 0 Sustituyedo los valores de R, L y e la ecuació diferecial, obteemos: d i( di( 6 5i( = 0 Etoces la ecuació característica será: 03

10 s 6s 5 = 0 y aplicado la fórmula cuadrática obteemos las raíces: s = 3 j4 y s = 3 j4 omo las raíces so complejas cojugadas etoces la respuesta del circuito es submortiguada e i( será de la forma: i( = A 3t cos4t A 3t se4t Si embargo otra alterativa para llegar a cocluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresió: d i( R L di( i( L = 0, co la expresió: d x ( dx ( ζω x ( = 0 ω, y quitado la variable i( que buscamos, obteemos la ecuació característica del circuito: s ζω s ω = 0, dode ζω = R/L y ω = /L, se obtiee que el coeficiete de R amortiguamieto es ζ = y la frecuecia resoate es ω = L L y sustituyedo los valores de los compoetes obteemos: ζ = 0.6 y ω = 5 rad/s omo: ζ < etoces la respuesta será subamortiguada. Procedemos a ecotrar las raíces usado la fórmula cuadrática, de la ecuació característica, como fue ecotrado ateriormete s = 3 j4 y s = 3 j4, Y la solució toma la forma: i( = A 3t cos4t A 3t se4t Empleamos ahora las codicioes iiciales para ecotrar los valores de A y A. omo i( = i L ( etoces: i L (0) = i(0) = A 0 cos0 A 0 se0 = 4, etoces obteemos A = 4 La seguda ecuació ecesaria para determiar = A y A ormalmete se obtiee de la expresió: di() t 3t 3t 3t 3t = 4Ae se4t 3Ae cos4t 4Ae cos4t 3Ae se4t Y así di(0) = 4Ae se0 3Ae cos0 4Ae cos0 3Ae se0 04

11 di(0) = 3A 4 A Si embargo, la seguda codició iicial es di(0)/. Teemos que ecotrar esta derivada y evaluarla e t(0), o obstate podemos otar que de la ecuació de malla iicial podemos despejar dicha derivada, así: di( Ri( L v ( = 0, que al despejar obteemos: di( v ( R = i(, que evaluado e se obtiee: L L di(0) v (0) R = i(0) = L L = 0 Por lo tato 3A 4A = 0 y como A = 4, etoces A =, así la expresió para i( es: i( = 4 3t cos4t 3t se4t A Ahora el voltaje e el capacitor puede determiarse vía la LKV usado la corriete ecotrada: v (V) 8 di( v ( = Ri( L, etoces sustituimos el valor de i( y obteemos: v ( = 4 3t cos4t 3t se4t 6 3t se4t 3t cos4t 8 3t cos4t 6 3t se4t 4 v ( = 4 3t cos4t 3t se4t V. La gráfica del voltaje se muestra e la Figura Figura t (s) Ejemplo i( Para el circuito mostrado e la Figura se pide ecotrar el valor de v( e i(, sabiedo que: R = 0Ω, R = 8Ω, = /8F, L = H, v (0) = V, i L (0) = /A i L (0) L v (0) v( R R Solució: Figura Primero ecotraremos v( y luego i(. Para v(, ecesitamos ecotrar la ecuació diferecial que describe al circuito, para ello es ecesario aplicar ua combiació de leyes para ecotrarla. Primero usaremos la LKV a la malla de la izquierda, así: 05

12 v L v R v( = 0 y sustituyedo obteemos: di( L R i( v( = 0 () Ahora aplicamos LK al odo etre R y R, para obteer: i( = i i R y sustituyedo obteemos: dv( v( i ( = () R Sustituyedo la ecuació () e la ecuació () y reacomodado, obteemos: d v( R dv( R R ( ) = 0 v t R L RL Sustituyedo por los valores de los compoetes, se obtiee: d v / dv( 6 9v( = 0 Etoces la ecuació característica será: s 6s 9 = 0 y aplicado la fórmula cuadrática obteemos las raíces: s = s = 3 omo las raíces so reales e iguales etoces la respuesta del circuito es críticamete amortiguada y v( será de la forma: v( = B 3t B t 3t Empleamos ahora las codicioes iiciales para ecotrar los valores de B y B. omo v( = v ( etoces: v (0) = v(0) = B 0 B (0) 0 =, etoces obteemos B = La seguda ecuació ecesaria para determiar = B y B ormalmete se obtiee de la expresió: dv() t t t = Be Be 3Bte t, y evaluádola e, se obtiee: dv(0) = 3Be Be 3 B (0) e dv(0) = 3B B 06

13 Si embargo, la seguda codició iicial es dv(0)/. Teemos que ecotrar esta derivada y evaluarla e t(0), o obstate podemos otar que de la ecuació () que del aálisis odal iicial podemos despejar dicha derivada, así: dv( i( v( =, evaluado para, R dv(0) i(0) v(0) / v (V) = = = 3 R / 8 8 / 8.3 Por lo tato 3B B = 3 y como B =, etoces B = 6, así la expresió para v( es: v( = 3t 6t 3t V. La gráfica del voltaje se muestra e la Figura Etoces la corriete i( puede determiarse de la ecuació () del aálisis odal iicial, así: Figura t (s) dv( v( i ( =, sustituyedo el valor de v( e dicha ecuació, obteemos: R i( = (/8)(3 3t 6 3t 8t 3t ) (/8)( 3t 6t 3t ) i( = (/) 3t (3/)t 3t A 7.4 Respuesta Forzada y ompleta de Ua vez obteida la ecuació diferecial de segudo orde que describe el circuito, que de forma geeral es: d x( a dx( ax( = f ( La respuesta forzada x p ( debe satisfacer dicha ecuació. Por tato, al sustituir x p ( e la ecuació se tiee: d x p ( a dx p ( a x ( = p f ( Se ecesita determiar ua x p ( tal que ésta y sus primera y seguda derivadas satisfaga la ecuació aterior. Si la fució forzada es ua costate, es de esperarse que la respuesta forzada sea tambié ua costate, dado que las derivadas de ua costate so cero. Si la fució 07

14 forzada es de la forma expoecial como f( = B at, etoces las derivadas de f( so todas expoeciales de la forma Q at y se espera que x p ( = D at. Si la fució forzada es ua fució seoidal, puede esperarse que la respuesta forzada sea ua fució seoidal. Si f( = Aseω o t, se itetará co: x p ( = Mseω o t Ncosω o t = Qse(ω o t θ) A cotiuació presetamos alguas fucioes forzadas y su supuesta solució Fucioes Forzadas Solució supuesta K A Kt At B Kt At Bt Kseωt Aseωt Bcosωt K at A at Ahora veamos alguos ejemplos. Ejemplo 7.4. Determie la respuesta forzada de la corriete del iductor i p ( e el circuito RL paralelo mostrado e la Figura 7.4. cuado i f = 8 t, R = 6Ω, L = 7H y = (/4)F. Solució: v( i( i f u( R L Figura 7.4. Primero ecesitamos ecotrar la ecuació diferecial que describe el circuito, para ello aplicaremos LK al odo superior: i R i( i = i f, etoces, v( / R i( dv(/ = i f, pero como el voltaje del capacitor es el mismo que el voltaje del iductor por estar e paralelo, hacemos uso de v( = Ldi(/, sustituyedo esto e la ecuació odal obteida y reacomodado, teemos: d i( di( i( = R L i f, sustituyedo los valores obteemos: L d i( di( t 7 6i( = 48e omo la úica respuesta solicitada es la respuesta forzada, etoces supoemos que i p ( será de la forma: 08

15 i p ( = A t, etoces la sustituimos e la ecuació diferecial para ecotrar el valor de A, así: 4A t 7(A t ) 6A t = 48 t, etoces, (4 4 6)A t = 48 t, etoces A = por lo tato la respuesta forzada será: i p ( = t A Ejemplo 7.4. Determiemos el voltaje de salida v( para t > 0, e el circuito mostrado e la Figura 7.4. El circuito para t < 0 esta e estado estable. Los valores so: R = 0Ω, R = Ω, L = H, = (/4)F. Solució: Primero debemos redibujar uestro circuito para t > 0, como es mostrado e la Figura V 4V V V Ahora teemos que ecotrar la ecuació diferecial que describe el circuito, para ello hay que utilizar las herramietas de aálisis de circuitos. E este caso, haremos ua combiació de dos leyes para poder obteer la ecuació diferecial. Primero aplicaremos LKV a la malla de la izquierda del circuito, así obteemos: di( L R i( v( = 4 () y aplicado LK al odo de salida obteemos otra ecuació, dv( v( i ( = (), como buscamos v(, etoces sustituimos la ecuació () e R la ecuació () para obteer la ecuació diferecial e fució de v(, y reacomodado se obtiee: L R Figura 7.4. L R Figura i( R v( i( R v( d v / R dv( R R 4 v( = R L RL L Sustituyedo los valores de los compoetes e la ecuació diferecial se obtiee: 09

16 d v / dv( 7 v( = 48 De aquí, la ecuació característica es: s 7s = 0 y aplicado la fórmula cuadrática obteemos las raíces: s = 3 y s = 4 Etoces la respuesta atural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tato toma la forma: v ( = K 3t K 4t Para obteer la respuesta forzada, como f( es ua costate, etoces supoemos que la respuesta forzada tambié es costate, así v p ( = K 3, por lo tato la solució geeral es: v( = K 3t K 4t K 3 Para obteer el valor de K 3, lo sustituimos e la ecuació diferecial y obteemos que: K 3 = 48/ = 4, Otra forma de ecotrar el valor de K 3, es cosiderado el circuito para t > 0 e estado estable, como se muestra e la Figura y así ecotrar v( e estado estable, a través de u divisor de voltaje, v( = (/)4 = 4V, etoces K 3 = 4 Ahora para ecotrar los valores de K y K haremos uso de las codicioes iiciales, para ello ecesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra e la figura V Etoces i L (0 ) =/ = A y v (0 Figura ) = (/) = V, así como i L (0 ) = i L (0) = i L (0 ) = i(0 ) y v (0 ) = v (0) = v (0 ) = v(0 ), etoces podemos evaluar v( e y obteer la primera ecuació, así: i L (0 ) v(0) = K K 4 =, reduciedo se tiee: K K = La seguda ecuació la obteemos de derivar la respuesta v(, así: dv(/ = 3K 3t 4K 4t y evaluádola para obteemos: 0Ω Figura Ω V v (0 ) Ω Ω v( v(0 ) dv(0)/ = 3K 4K 0

17 De la ecuació odal () que utilizamos para obteer la ecuació diferecial podemos despejar la primera derivada de v(, evaluarla e y ecotrar su valor para utilizarlo e la ecuació aterior, así dv( i( v( = y al evaluarla e, teemos: R dv(0) i(0) v(0) = R = / 4 / 4 = 0, así la seguda ecuació es: dv(0)/ = 3K 4K = 0, Resolviedo para K y K obteemos: K = 8 y K = 6, por lo tato la respuesta completa del circuito es: v( = 8 3t 6 4t 4 V 7.5 Problemas Resueltos Ejemplo 7.5. Ecuetre i o ( para t > 0 e el circuito que se muestra e la figura 7.5. y grafique la respuesta icluyedo el itervalo de tiempo justo ates de abrir el iterruptor. A Ω H v( Figura 7.5. i L ( /5 F 5Ω i o ( Solució: Para ecotrar i o ( para t > 0, es ecesario redibujar uestro circuito para t > 0 y ecotrar luego el voltaje del capacitor que es igual al voltaje v( ya que todos los elemetos se ecuetra e paralelo, para luego aplicar la ley de Ohm y ecotrar i o ( como: A Ω H v( Figura 7.5. i L ( /5 F 5Ω i o ( i o ( = v(/5 El circuito para t > 0, se muestra e la figura Para ecotrar v( aplicamos la LKV al odo superior, así:

18 t v( v( dv( t v( x) dx il ( to ) = v( x) dx il ( t ) t L 5 t L o o o Esta expresió itegrodiferecial la debemos derivar co respecto al tiempo, para obteer la ecuació diferecial de segudo orde, característica del circuito, así: dv( dv( d v( v( = v(, reacomodado y sustituyedo valores L 5 L de L y, obteemos: d v( dv( 5 3 v( = 0, 4 omo podemos observar ésta ecuació es igual a cero, etoces solo tedremos solució atural y tedremos que ecotrar a cual respuesta atural obedece, e depedecia de los valores de las raíces de la ecuació característica. La ecuació característica es etoces: s 3s 5/4 = 0 y aplicado la fórmula cuadrática obteemos las raíces s = / y s = 5/ Etoces la respuesta atural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tato toma la forma: v( = K t/ K 5t/ Ahora para ecotrar los valores de K y K haremos uso de las codicioes iiciales, para ello ecesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra e la figura A Ω i L (0 ) i L (0 ) Figura v (0 ) 5Ω omo podemos observar del circuito i L (0 ) = 0A y v (0 ) = 0V Y como v (0 ) = v (0) = v (0 ) = v(0) = 0V, etoces evaluádola e la ecuació geeral de v(, obteemos: v(0) = K K = 0, que es la primera ecuació, La seguda ecuació la obteemos de derivar la respuesta v(, así: dv(/ = (/)K t/ (5/)K 5t/ y evaluádola para obteemos: dv(0)/ = (/)K (5/)K

19 Ahora regresamos a la ecuació itegrodiferecial que utilizamos para obteer la ecuació diferecial y despejamos la primera derivada de v(, para evaluarla e y ecotrar su valor que será utilizado e la ecuació aterior, así: dv( 5 5 = il ( 3v( y al evaluarla e, teemos: 4 dv(0) 5 5 = il (0) 3v(0) = = 5, así la seguda ecuació es: dv(0)/ = (/)K (5/)K = 5/, Resolviedo para K y K obteemos: K = 5/4 y K = (5/4), etoces el voltaje v( es: i o ( (ma) v( = (5/4) t/ (5/4) 5t/ V, por lo tato la corriete i o ( será: i o ( = v(/5 = (/4) t/ (/4) 5t/ A 40 La figura muestra i o ( Ejemplo t (s) Figura Ecuetre v o ( para t > 0 para el circuito que se muestra e la figura y grafique la respuesta icluyedo el itervalo de tiempo justo ates de abrir el iterruptor. Solució: 4V KΩ 6KΩ 50pF KΩ 50pF 3KΩ mh Figura v o ( Para ecotrar v o ( para t > 0, es ecesario redibujar uestro circuito para t > 0 y ecotrar luego la corriete del iductor, para luego aplicar la ley de Ohm y ecotrar v o ( como: KΩ 5pF KΩ v o ( = i L (*3K El circuito para t > 0, se muestra e la figura V 6KΩ 3KΩ i i i L ( mh v o ( Para ecotrar i L ( haremos uso del aálisis de malla como es mostrado e la figura arriba. Figura Aplicado LKV a la malla teemos: 4 = (K 6K)i 6Ki () 3

20 t di ( K 3K 6K) i i ( x) dx v( to ) L 6Ki to = 0 () De la ecuació podemos despejar i e fució de i, así: i 4 6Ki =, e itroducirla e la ecuació para obteer: 8K t di ( 0K) i i ( x) dx v( to ) L 8 Ki to = 0 (3) Ahora como la corriete de malla i coicide co la corriete del iductor i L ( y derivado la ecuació itegrodiferecial de arriba, obteemos la ecuació diferecial de segudo orde, característica del circuito: dil ( 0K) i ( L d il ( dil ( ( L K = 0 Sustituyedo valores y reacomodado se tiee: d il ( dil ( 4M 4Ti ( = 0 L, omo podemos observar ésta ecuació es igual a cero, etoces solo tedremos solució atural y tedremos que ecotrar a cual respuesta atural obedece, e depedecia de los valores de las raíces de la ecuació característica. La ecuació característica es etoces: s 4Ms 4T = 0 y aplicado la fórmula cuadrática obteemos las raíces s = s = M Etoces la respuesta atural del circuito es críticamete amortiguada, y por lo tato toma la forma: v( = K Mt K t Mt Ahora para ecotrar los valores de K y K haremos uso de las codicioes iiciales, para ello ecesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra e la figura omo podemos observar del circuito i L (0 ) = 0A y v (0 ) = 0V Y como i L (0 ) = i L (0) = i L (0 ) = 0A, etoces evaluádola e la ecuació geeral de i L (, obteemos: 4V KΩ 6KΩ v (0 ) i L (0 ) Figura KΩ 3KΩ 4

21 i L (0) = K = 0 La seguda ecuació la obteemos de derivar la respuesta i L (, así: di L (/ = MK t Mt K Mt y evaluádola para obteemos: di L (0)/ = K Ahora regresamos a la ecuació itegrodiferecial (3) que obtuvimos de isertar la ecuació e la ecuació y despejamos la primera derivada de i ( (que es i L (), para evaluarla e y ecotrar su valor que será utilizado e la ecuació aterior, así: dil ( = 4K 4MiL ( 500v ( y al evaluarla e, teemos: dil (0) = 4K 4MiL (0) 500v (0) = 4K 0 0 = 4K, así la seguda ecuació es: di L (0)/ = K = 4K, etoces la corriete i L ( es: i L ( = 4Kt Mt A, por lo tato el voltaje v o ( será: v o ( = i L (*3K = Mt Mt V La figura muestra v o ( v o ( (V) Ejemplo M M 3M t (s) Figura Ecuetre v o ( para t > 0 para el circuito que se muestra e la figura y grafique la respuestaicluyedo el itervalo de tiempo justo ates de abrir el iterruptor. 0mV Solució: 4KΩ v( 4KΩ v( 30KΩ 8mH 00pF 5KΩ 5 v o ( Figura Para ecotrar v o ( para t > 0, es ecesario redibujar uestro circuito para t > 0 y v o ( será igual al voltaje del capacitor v (, ya que ambos comparte el mismo par de odos: El circ uito para t > 0, se mue 0mV 4KΩ v( 4KΩ v( 30KΩ 8mH 00pF 5KΩ 5 v o ( Figura

22 stra e la figura Ahora procederemos a ecotrar la ecuació diferecial de segudo que defie el circuito, para ello aplicaremos la LK al odo superior del capacitor, así: v ( v ( dv ( 30K 5K L t 0 v ( x) dx i L (0 ) = 0 omo podemos observar de la ecuació aterior, o aparece la fuete depediete ya que v( = 0, porque el iterruptor se ecuetra abierto. Ahora ésta expresió itegrodiferecial la debemos derivar co respecto al tiempo, para obteer la ecuació diferecial de segudo orde, característica del circuito, así: dv ( dv ( d v ( v ( = 0, sustituyedo los valores de L y y 30K 5K L reacomodado obteemos: d v ( dv ( M.5Tv ( = 0 omo podemos observar ésta ecuació es igual a cero, etoces solo tedremos solució atural y tedremos que ecotrar a cual respuesta atural obedece, e depedecia de los valores de las raíces de la ecuació característica. La ecuació característica es etoces: s Ms.5T = 0 y aplicado la fórmula cuadrática obteemos las raíces s, = (/)M ± jm Etoces la respuesta atural del circuito es subamortiguada, y por lo tato toma la forma: v ( = 500Kt [K cos(m K se(m] Ahora para ecotrar los valores de K y K haremos uso de las codicioes iiciales, para ello ecesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra e la figura KΩ 0mV v( 4KΩ v( 30KΩ v 5KΩ v o (0 (0 ) ) 5 i L (0 ) Figura

23 omo podemos observar del circuito v (0 ) = 0V, pero i L (0 ) = v(/5, pero v( es: v( = (4K/8K)*0m = 5mV, etoces i L (0 ) = 0.mA Y como v (0 ) = v (0) = v (0 ) = 0V, etoces evaluádola e la ecuació geeral de v (, obteemos: v (0) = K = 0 La seguda ecuació la obteemos de derivar la respuesta v (, así: dv (/ = 500K 500Kt [K se(m] 500Kt [MK cos(m] y evaluádola para obteemos: dv (0)/ = MK Ahora regresamos a la ecuació itegrodiferecial que obtuvimos de aplicar la LK al odo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de v (, para evaluarla e y ecotrar su valor que será utilizado e la ecuació aterior, así: dv ( = 0GiL ( Mv ( y al evaluarla e, teemos: dv (0) = 0GiL (0) Mv, así la seguda ecuació es: v o ( (V) (0) = M 0 = M dv (0)/ = MK = M, de dode obteemos K =, etoces el voltaje v o ( es: v o ( = v ( = 500Kt [se(m] V La Figura 7.5. muestra v o ( Ejemplo M 4M 6M t (s) Figura 7.5. Determie v( para t > 0 e el circuito que se muestra e la figura Supoga que existe codicioes de estado estable cuado. Solució: Para ecotrar v( para t > 0, es ecesario redibujar uestro circuito para t > 0, y el voltaje v( debe ecotrarse e fució del voltaje del capacitor o e fució de la corriete del iductor. El circuito para t > 0 se muestra e la figura 7.5.4: 6Ω /8 F 6Ω /8 F Ω v 5/ A Figura Ω i v 5/ A i L H H 7 Figura.R Lido arrió

24 Ahora procederemos a ecotrar el voltaje v( como ua fució del voltaje del capacitor (se le deja al lector, ecotrar el voltaje v( e fució de la corriete del iductor) para ello aplicaremos la LKV a ambas mallas del circuito y la LK al odo superior de la fuete idepediete de corriete. Aplicado la LK al odo superior de la fuete, teemos: 5/ = i i L () Ahora aplicaremos la LKV a la malla de la izquierda del circuito, para obteer v(, así: v = v 6Ω v = 6i v () Pero tambié podemos aplicar la LKV a la malla derecha del circuito para obteer v(, así: v = v Ω v L = i L v L = i L Ldi L / (3) De la ecuació () podemos despejar i L e fució de i, así: i L = 5/ i e isertádola e la ecuació (3) obteemos: 5 d 5 di v = ( i ) L ( i ) = 5 i L (4), ésta expresió la igualamos a la expresió de la ecuació () para obteer la ecuació diferecial de segudo orde característica del circuito di 6 i v = 5 i L, sustituyedo i = dv / y reacomodado el circuito teemos: d v dv L 8 v obteemos: = 5, sustituyedo los valores de L y y reacomodado d v dv 4 4v = 0 omo podemos observar ésta ecuació o es igual a cero, etoces tedremos solució atural y solució particular. La solució total será: v ( = v ( v f ( Para obteer la respuesta forzada, como f( es ua costate, etoces supoemos que la respuesta forzada tambié es costate, así v f ( = K 3, ésta solució se sustituye e la ecuació diferecial de segudo orde y se ecuetra el valor de K 3, así: 8

25 d 3 K dk 3 4 4K 3 = 0, de aquí que K 3 = 0/4 = 5 Para obteer la respuesta atural, hacemos uso de la ecuació característica, para obteer las raíces, así: s 4s 4 = 0 y aplicado la fórmula cuadrática obteemos las raíces s = s = Etoces la respuesta atural del circuito es críticamete amortiguada, y por lo tato toma la forma: v ( = K t K t t, etoces la solució total será: v ( = K t K t t 5 Ahora para ecotrar los valores de K y K haremos uso de las codicioes iiciales, para ello ecesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra e la figura omo podemos observar del circuito v (0 ) = 0V, pero i L (0 ) = 5/ A, Ω 6Ω v 5/ A i v (0 ) L (0 ) Figura Y como v (0 ) = v (0) = v (0 ) = 0V, etoces evaluádola e la ecuació geeral de v (, obteemos: v (0) = 5 K = 0, etoces K = 5 La seguda ecuació la obteemos de derivar la respuesta v (, así: dv (/ = 0 t K t t K t y evaluádola para obteemos: dv (0)/ = 0 K Ahora regresamos a la ecuació () que obtuvimos de aplicar la LK al odo superior de la fuete de 5/ A y despejamos la primera derivada de v (, para evaluarla e y ecotrar su valor que será utilizado e la ecuació aterior, así: dv ( 5 / il ( = y al evaluarla e, teemos: dv (0) = 5/ / 8 5 / = 0, así la seguda ecuació es: / 8 dv (0)/ = 0 K = 0, de dode obteemos K = 0, etoces el voltaje v ( es: v ( = 5 t 0t t 5, pero como estamos iteresados e ecotrar v( haremos uso de la ecuació (): 9

26 v = 6i v = 6dv / v, sustituyedo v (, teemos: 3 v( = (0e 4 t 0te t 0e t ) 5 5e t 0e v( = 5t t 5 5 t 0t t, por lo tato será: v( = 5 5 t 5t t V t Ejemplo Ω Determie v( para t > 0 e el circuito que se muestra e la figura Supoga que existe codicioes de estado estable cuado. 4u( V 0V H 6Ω ¼ F v Solució: Para ecotrar v( para t > 0, es ecesario redibujar uestro circuito para t > 0 y v( será igual al voltaje del capacitor v (, ya que v( se ecuetra etre las termiales del capacitor: 4V Figura Ω H 0V 6Ω i L ¼ F i v El circuito para t > 0, se muestra e la figura Figura Ahora procederemos a ecotrar el voltaje v( = v ( utilizado ua combiació de la LK y la LKV para obteer la ecuació diferecial de segudo orde característica del circuito. Primero aplicaremos la LKV a la malla derecha del circuito, así: v = v L v 6Ω = Ldi L / 6i L () Ahora aplicaremos la LK al odo superior del capacitor, así: i 4Ω = i L i, etoces despejado i L obteemos: i L 4 v = 4 dv () y sustituyedo ésta e la ecuació () se tiee: v = v = d L 4 v 4 dv 4 v 6 4 dv, efectuado operacioes, teemos: L dv d v 3v dv v = L 6 6, sustituyedo los valores de L y y 4 reacomodado obteemos: d v dv 7 0v = 4 0

27 omo podemos observar ésta ecuació o es igual a cero, etoces tedremos solució atural y solució particular. La solució total será: v ( = v ( v f ( Para obteer la respuesta forzada, como f( es ua costate, etoces supoemos que la respuesta forzada tambié es costate, así v f ( = K 3, ésta solució se sustituye e la ecuació diferecial de segudo orde y se ecuetra el valor de K 3, así: d 3 K dk 3 7 0K 3 = 4, de aquí que K 3 = 4/0 =.4 Para obteer la respuesta atural, hacemos uso de la ecuació característica, para obteer las raíces, así: s 7s 0 = 0 y aplicado la fórmula cuadrática obteemos las raíces s = y s = 5 Etoces la respuesta atural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tato toma la forma: v ( = K t K 5t, etoces la solució total será: v ( = K t K 5t.4 4Ω Ahora para ecotrar los valores de K y K haremos uso de las codicioes iiciales, para ello ecesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra e la figura Del circuito obteemos v (0 ) haciedo u divisor de voltaje, así: 0V 0V 6Ω Figura i L (0 ) v (0 ) v (0 ) = (6/0)*0 = 6V y para obteer i L (0 ) aplicaremos la ley de Ohm, así: i L (0 ) = 6/6 = A Y como v (0 ) = v (0) = v (0 ) = 0V, etoces evaluádola e la ecuació geeral de v (, obteemos: v (0) = K K.4 = 6, Y La seguda ecuació la obteemos de derivar la respuesta v (, así: dv (/ = K t 5K 5t y evaluádola para obteemos: dv (0)/ = K 5K

28 Ahora regresamos a la ecuació () que obtuvimos de aplicar la LK al odo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de v (, para evaluarla e y ecotrar su valor que será utilizado e la ecuació aterior, así: dv ( v ( il ( = y al evaluarla e, teemos: 4 dv (0) = / 4 6 4(/ 4) = 6, así la seguda ecuació es: / 4 dv (0)/ = K 5K = 6, Resolviedo las dos ecuacioes para K y K obteemos K = 4, y K = 0.4, etoces el voltaje v ( es: v ( = v( = 4 t 0.4 5t.4 V Ejemplo Ω 6Ω Determie v( para t > 0 e el circuito que se muestra e la figura 7.5.9, si v f = 8 4t u(. Supoga que existe codicioes de estado estable cuado. 0V v f v Figura ¼ F H Solució: Para ecotrar v( para t > 0, es ecesario redibujar uestro circuito para t > 0 y v( será igual al voltaje del capacitor v (, ya que v( se ecuetra etre las termiales del capacitor: 0V v f i 4Ω 4Ω v i 6Ω ¼ F i L H El circuito para t > 0, se muestra e la figura Figura Ahora procederemos a ecotrar el voltaje v( = v ( utilizado ua combiació de la LK y la LKV para obteer la ecuació diferecial de segudo orde característica del circuito. Primero aplicaremos la LKV a la malla derecha del circuito, así: v = v 6Ω v L = 6i L Ldi L / () Ahora aplicaremos la LK al odo superior del capacitor, así: i 4Ω = i L i, etoces despejado i L obteemos: i L v = f v 4 dv () y sustituyedo ésta e la ecuació () se tiee:

29 v v dv d v v dv v = v = f f L 4 4 efectuado operacioes, teemos: 3v f 3v dv dv L f L dv d v v = 6 L, sustituyedo los valores de L. 4 4 y v f y reacomodado obteemos: d v dv 4t 4t 4t 7 0v = 3e 48e = 6e omo podemos observar ésta ecuació o es igual a cero, etoces tedremos solució atural y solució particular. La solució total será: v ( = v ( v f ( Para obteer la respuesta forzada, como f( es ua señal expoecial, etoces supoemos que la respuesta forzada tambié será expoecial, así v f ( = K 3 4t, ésta solució se sustituye e la ecuació diferecial de segudo orde y se ecuetra el valor de K 3, así: 4t 4t d ( K3e ) d( K3e ) 4t 4t 7 0( K3e ) = 6e 6K, efectuado las derivadas teemos: 4t 4t 4t 3e 8K3e 0K3e = 6 v f ( = 8 4t e 4t, de aquí que K 3 = 6/ = 8, así: Para obteer la respuesta atural, hacemos uso de la ecuació característica, para obteer las raíces, así: s 7s 0 = 0 y aplicado la fórmula cuadrática obteemos las raíces s = y s = 5 Etoces la respuesta atural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tato toma la forma: v ( = K t K 5t, etoces la solució total será: v ( = K t K 5t 8 4t 4Ω 6Ω Ahora para ecotrar los valores de K y K haremos uso de las codicioes iiciales, para ello ecesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra e la figura V 0V v (0 ) Figura 7.5. i L (0 ) 3

30 Del circuito obteemos v (0 ) haciedo u divisor de voltaje, así: v (0 ) = (6/0)*0 = V y para obteer i L (0 ) aplicaremos la ley de Ohm, así: i L (0 ) = /6 = A Y como v (0 ) = v (0) = v (0 ) = 0V, etoces evaluádola e la ecuació geeral de v (, obteemos: v (0) = K K 8 =, Y La seguda ecuació la obteemos de derivar la respuesta v (, así: dv (/ = K t 5K 5t 3 4t y evaluádola para obteemos: dv (0)/ = K 5K 3 Ahora regresamos a la ecuació () que obtuvimos de aplicar la LK al odo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de v (, para evaluarla e y ecotrar su valor que será utilizado e la ecuació aterior, así: dv v ( f v ( il ( = y al evaluarla e, teemos: 4 4 dv (0) = 8 4(/ 4) 4(/ 4) =, así la seguda ecuació es: / 4 dv (0)/ = K 5K 3 =, Resolviedo las dos ecuacioes para K y K obteemos K = 56/3, y K = 4/3, etoces el voltaje v ( es: v ( = v( = (56/3) t (4/3) 5t 8 4t V 7.6 Problemas propuestos.6h 7.6. Para el circuito que se muestra e la figura 7.6., ecuetre v ( para t > 0. Supoga estado estable e. 0mA 0KΩ 5F v V 5Ω i L /45 H Ω mf Figura Para el circuito que se muestra e la figura 7.6., ecuetre i L ( para t > 0. Supoga estado estable e. Figura 7.6. i( 4 V 3Ω 3/8 F /3 H Figura 7.6.3

31 7.6.3 Para el circuito que se muestra e la figura 7.6.3, ecuetre i( para t > 0. Supoga estado estable e Para el circuito que se muestra e la figura 7.6.4, el circuito ha alcazado el estado estable e. E el iterruptor se abre. Ecuetre v( para t > 0. A 0H 4mF 0Ω v i L ( = 66.67(e 0t e.5t ) V Figura V 0Ω (/9)F i L H 5Ω Para el circuito que se muestra e la figura 7.6.5, el circuito ha alcazado el estado estable e t = 0. E el iterruptor se mueve de la posició a la posició. Ecuetre i L ( para t > 0. Figura i L ( = e.5t (5cos.6583t se.6583 A Para el circuito que se muestra e la figura el iterruptor ha estado cerrado por largo rato, e se abre, ecuetre i( para t > 0. (/)H i V (/4)F Ω 0Ω 30V 40Ω Figura Ω.5H mf i Para el circuito que se muestra e la figura el iterruptor ha estado cerrado por largo rato, e se abre, ecuetre i( para t > 0. Figura Para el circuito que se muestra e la figura el iterruptor a ha estado e la posició y el iterruptor b e la posició por largo rato, e los iterruptores se mueve a la posició alterativa (el iterruptor a pasa a la posició y el iterruptor KΩ a b 60V.6KΩ 45mA v o 6.5F H Figura Ω 5

32 b pasa a la posició ). Ecuetre el voltaje v o ( para t > Para el circuito que se muestra e la figura el iterruptor ha estado cerrado por largo rato, abriédose a, Ecuetre el voltaje v o ( para t > 0. 3KΩ 0V 5KΩ H 50F v o 4H i L ( Figura ¼ F Ω 4Ω 7A 8Ω El circuito que se muestra e la figura 7.6.0, es u circuito de sumiistro de potecia de 40W. Ecuetre i L ( para t > 0. Supoga estado estable e. Figura Ω 7.6. Para el circuito que se muestra e la figura 7.6. el iterruptor ha estado cerrado por largo rato, abriédose a, Ecuetre el voltaje v o ( para t > 0. H 8Ω 0Ω 00V 0Ω 0mF v o Ω 4V 60Ω 6Ω 5Ω v 3H (/7)F 5Ω 7.6. Para el circuito que se muestra e la figura 7.6. el iterruptor ha estado cerrado por largo rato, e se abre, ecuetre v( para t > 0. Figura 7.6. Figura El circuito que se muestra e la figura 7.6.3, es u circuito trasmisor de u sistema de comuicació de ua estació espacial que usa pulsos cortos para a u autómata que opera 50Ω 50Ω 0.8H v ( 6V 5µF 6 Figura 7.6.3

33 e el espacio. Ecuetre v ( para t > 0. Supoga estado estable e Para el circuito que se muestra e la figura 7.6.4, ecuetre v ( para t > 0. Supoga estado estable e. V 8Ω ½ H v o ( 3Ω Figura ¼ F 6V V Ω 0.5 H 5Ω Figura F Para el circuito que se muestra e la figura 7.6.5, ecuetre v o ( para t > 0. Supoga estado estable e. v Para el circuito que se muestra e la figura el circuito ha permaecido e la posició por largo rato. E t = 0 el iterruptor se mueve a la posició. Ecuetre v( para t > 0. V i L ( = 0 e t (.547si3.464t cos3.464 V Ω Ω (/40)F v Figura H 0Ω 0V 5mA i L 0H 5µF Figura Ω Para el circuito que se muestra e la figura la corriete iicial e el iductor es de 30mA y el voltaje iicial e el capacitor es de 40V (positivo e el Termial superior). Ecuetre la corriete i L ( para t > Para el circuito que se muestra e la figura 7.6.8, ecuetre i( para t > 0. Supoga estado estable e. KΩ /5 µh 6KΩ / µf i( 0mA KΩ 8V Figura

34 7.6.9 Para el circuito que se muestra e la figura el circuito ha alcazado el estado estable e. E t = 0 el iterruptor se cierra. Ecuetre i( y v( para t > 0. v( = 8( e 5t ) V, i( = ( e 5t ) 4Ω i H A 0Ω (/0)F v Figura V 800Ω 6.5µF v o 5H Para el circuito que se muestra e la figura el iterruptor ha estado abierto por largo rato, cerrádose a, Ecuetre el voltaje v o ( para t > 0. Figura Para el circuito que se muestra e la figura 7.6. el iterruptor ha estado abierto por largo rato, cerrádose a, Ecuetre el voltaje v o ( para t > Ω V.5H v o.5µf Figura V 50Ω KΩ 0µF v o.6h 7.6. Para el circuito que se muestra e la figura 7.6. el iterruptor ha estado abierto por largo rato, cerrádose a, Ecuetre el voltaje v o ( para t > 0. Figura Para el circuito que se muestra e la figura el iterruptor ha estado abierto por largo rato, cerrádose a, Ecuetre la corriete i L ( para t > 0. 0mA 300Ω 3.5mH i L 50Ω 500F 3V Figura

35 7.6.4 Para el circuito que se muestra e la figura el iterruptor ha estado abierto y el iterruptor ha estado cerrado, ambos por largo rato, e, el iterruptor se cierra y el iterruptor se abre. Ecuetre la corriete i L ( para t > 0. 5KΩ 40V 5KΩ i L 5µF 80H KΩ 60mA Figura Para el circuito que se muestra e la figura el iterruptor ha estado cerrado por largo rato, abriédose a, Ecuetre el voltaje i( para t > 0. 6Ω 6Ω 6Ω (/)H i (/8)F 30V 0V 00µH 0.µF Figura mA 3Ω v( 0V Figura Ω Para el circuito que se muestra e la figura 7.6.6, ecuetre v( para t > 0. Supoga estado estable e. Ω Para el circuito que se muestra e la figura 7.6.7, ecuetre v( para t > 0. Supoga estado estable e. Figura Para el circuito que se muestra e la figura el iterruptor ha estado e la posició por largo rato, e el iterruptor se mueve a la posició. Ecuetre v o ( para t > i 4KΩ o i o 6Ω /8 F v( 5/ A H 75V 6KΩ.5F v o 50KΩ 8H 60KΩ 9 Figura 7.6.8

36 7.6.9 Para el circuito que se muestra e la figura ecuetre v( e i( para t > 0. 0u( A 5H i 0.F v v( = 00set V, i( = 0( cos A Figura u( A 50Ω.5µF i 0mH Para el circuito que se muestra e la figura , ecuetre i ( para t > 0. Supoga estado estable e. Figura Para el circuito que se muestra e la figura 7.6.3, ecuetre i L ( para t > 0. Supoga estado estable e. 4u( A Ω /3 H i L ¼ F Ω Figura u( A 0.F 0.5 H i L Para el circuito que se muestra e la figura 7.6.3, ecuetre v ( para t > 0. Supoga estado estable e. Figura Para el circuito que se muestra e la figura , ecuetre v ( para t > 0, cuado a) = (/0)F, b) = (/8)F y c) = (/0)F. Supoga estado estable e. 4Ω v ( 8Ω u( A H Figura u( A H 6Ω /5 F v ( Para el circuito que se muestra e la figura , ecuetre v ( para t > 0. Supoga estado estable e. Figura Ω Ω Para el circuito que se muestra e la figura ecuetre v o ( para t > 0. 5u( V (/)F v o (/3)F v o ( = (e t e 6t ) V Figura

37 Para el circuito que se muestra e la figura el iterruptor ha estado cerrado por largo rato, abriédose a, Ecuetre el voltaje v o ( para t > 0. 5u( V 5Ω mf v o 0.H u( A Figura Ω H 0.04F 50u( V v o Ω Para el circuito que se muestra e la figura Ecuetre el voltaje v o ( para t > 0. Figura H Para el circuito que se muestra e la figura el iterruptor ha estado cerrado por largo rato, abriédose a, Ecuetre el voltaje v o ( para t > 0. 3A 0Ω v o 4F Figura Ω 4u( A u( V 40Ω 40Ω 0.5H v L F 50V Para el circuito que se muestra e la figura Ecuetre el voltaje v L ( para t > 0. Figura Ω 0.5F 0.5H Para el circuito que se muestra e la figura Ecuetre el voltaje v L ( para t > 0. 60u( V 0Ω v o 30u( V Figura H Ω 3u( A 5Ω i Ω 0V 0.F Para el circuito que se muestra e la figura Ecuetre la corriete i( para t > 0. Figura

38 7.6.4 Para el circuito que se muestra e la figura 7.6.4, ecuetre i L ( para t > 0. Supoga estado estable e. 3u( A 0.H 0mF 0.5Ω 3A 5cost V Ω Ω 0.5H / F v ( Figura i L ( Figura Para el circuito que se muestra e la figura , ecuetre v ( para t > 0, cuado v (0 ) = V e i L (0 ) = 0A. 3Ω Para el circuito que se muestra e la figura , ecuetre i ( para t > 0, cosidere i f = t u( A. Supoga estado estable e. i f Ω 0.5H F i ( v ( Figura H ½ F.5Ω Para el circuito que se muestra e la figura , ecuetre v ( para t > 0, cosidere i f =9 3 t u( A. Supoga estado estable e. Ω i f 0.5Ω Figura Ω 0.H Para el circuito que se muestra e la figura , ecuetre v ( para t > 0, cuado a) v f = u( V, b) v f = 0.tu( V y v f = 30t u( V. Supoga estado estable e. v f 833.3µF Figura v ( 3