TEMARIO DE MATEMÁTICAS [ ] I.1. PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO I.5. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD

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1 TEMARIO DE MATEMÁTICAS [ ] TEMA 29: EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA. INTEGRAL DEFINIDA. I. CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA I.1. PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO I.2. SUMAS INFERIORES Y SUPERIORES I.3. INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN DADA I.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA I.5. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD II. TEOREMAS IMPORTANTES SOBRE LA INTEGRAL DEFINIDA TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL REGLA DE BARROW FÓRMULA DE CAMBIO DE VARIABLE III. CÁLCULO DE ÁREAS IV. BIBLIOGRAFÍA

2 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 2 TEMA 29: EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA. INTEGRAL DEFINIDA. El orige del cálculo itegrl se remot más de veite siglos trás, cudo l escuel grieg de geometrí itet resolver el prolem de determir el áre de regioes pls, limitds por froters curvs. Fue Arquímedes el primero e ider u método, deomido de método de "exhusció", pr resolver el prolem. Este método cosistí e eseci, e que si se querí determir el áre de u regió se iscrií y circuscrií regioes poligoles cd vez más próxims ell, cuys áres fuese fáciles de clculr. Co el método de exhusció, Arquímedes fue cpz de hllr ls fórmuls de ls áres del círculo, segmeto de práol y de otrs regioes. L flt de técics lgerics hizo imposile exteder el método otros tipos de regioes, y o fue hst el siglo XVII cudo el cáclulo itegrl como tl ció. E l prte III trtremos este tem, l clculr áres medite ls itegrles defiids que psmos ver. Ates deemos formlizr lguos coceptos. Psemos ello desrrolldo los putos del esquem expuesto teriormete. I. CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA Ates de de ordr el cocepto de itegrl defiid deemos estudir u serie de coceptos. I.1. PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO Defiició: Se llm prtició del itervlo [,] u colecció fiit P de putos de [,], { x,x,...,x } P= verificdo que x 0 =, x =, y =x 0 <x 1 <x 2 <...<x =. 0 1 Llmmos diámetro de l prtició P l myor de ls diferecis x i -x i-1, co i=1,2,3,..,, y se deot dim(p). L prtició P determi suitervlos cerrdos [x 0,x 1 ], [x 1,x 2 ],...[x -1,x ], siedo Ι =[x -1,x ] el -ésimo suitervlo de P.

3 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 3 Defiició Dds dos prticioes P,Q del itervlo [,], diremos que Q es más fi que P, o ie PfQ, si se verific que todo puto de P perteece Q. I.2. SUMAS INFERIORES Y SUPERIORES Se f:[,]6ú u fució cotd. Por ser f u fució cotd, el cojuto de úmeros reles f(ι ) es o vcío y cotdo. Notemos por m (f)=if(f( Ι )). M (f)=sup(f( Ι )) Se llm sum superior de l fució f respecto de l prtició P l úmero rel S(f,P) ddo por: S(f,P) = M (f,p)(x x ) + M (f,p)(x x ) M (f,p)(x x ) Aálogmete se defie sum iferior de f respecto de l prtició P l úmero rel I(f,P) ddo por: I(f,P) = m (f,p)(x x ) + m (f,p)(x x ) m (f,p)(x x ) Teiedo e cuet que m (f,p) M (f,p) {1,2,...,} es imedito que I(f,P)#S(f,P) y esto ocurre pr culquier prtició del itervlo [,]. Geométricmete: I(f,P) es l sum de ls áres de los rectágulos zules y S(f,P) represet l sum de ls áres de los rectágulos zules y lcos. Vemos u propiedd importte de ls sums iferior y superior.

4 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 4 Proposició Se f:[,]6ú u fució cotd. i) Si P y P' so prticioes de [,] tles que PdP', etoces: S(f,P) S(f,P') I(f,P') I(f,P) ii) Si P 1,P 2 so prticioes ritrris de [,], etoces se tiee que I(f,P 1 )#S(f,P 2 ). -Dem- i) Lo promos por iducció sore el úmero de elemetos de P=-P. * Si P'-P=i, o hy d que pror pues P=P'. * Si P'-P tiee u elemeto, etoces P'=Pc{y} co y0[,]-p. Se P={x 0,x 1,...,x } etoces 0{1,2,...,} tl que x -1 <y<x. S(f,P)-S(f,P')=Sup(f( Ι )).(x -x )-Sup(f([x,y]))(y-x )-Sup(f([y,x ]))(x -y) Sup(f( Ι ))[(x -x )-(y-x )-(x -y)]= dode hemos usdo que Sup(f(I )) Supf([x -1,y]) y Sup(f(I )) Supf([y,x ]). Por tto S(f,P) S(f,P'). El mismo rzomieto teiedo e cuet que ls desigulddes se ivierte l cmir supremos por ífimos permite compror que I(f,P)#I(f,P') * Supogmos que el resultdo es cierto cudo P'-P tiee elemetos y proémoslo cudo tiee +1 elemetos. Se Q l prtició P'-{z} co z0p'-p. Por hipótesis de iducció teemos que I(f,P)#I(f,Q)#S(f,Q)#S(f,P), mietrs que de lo demostrdo e el cso e que P'-P teí u solo elemeto (P'-Q={z}) teemos I(f,Q)#I(f,P')#S(f,P')#S(f,Q). Etoces I(f,P)#I(f,P')#S(f,P')#S(f,P). ii) Utilizdo coveietemete l prte i) teemos: I(f,P 1 )#I(f,P 1 cp 2 )#S(f,P 1 cp 2 )# S(f,P 2 ) I.3. INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN DADA Se f:[,]6ú u fució cotd. Defiició L itegrl superior de f es, por defiició, el ífimo del cojuto de ls sums superiores de f, y se represet por f. L itegrl iferior de f, f, se defie como

5 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 5 el supremo del cojuto de ls sums iferiores de f: f =If {S(f,P): P0P([,] )} f =Sup {I(f,P): P0P([,] )} dode P([,]) es el cojuto de ls prticioes de [,]. Defiició Se f:a6ú u fució rel de vrile rel, y se,0a co < tl que [,]da. Si l restricció de f l itervlo [,] es cotd, llmremos itegrl superior (resp. iferior) de f e [,] y otremos superior (resp. iferior) de f /[,]. f (resp. f ) l itegrl Propieddes Se f,g:[,]6ú fucioes cotds. Se verific: i) ii) m( ) f f M( ) f = f dode m=if{f(x): x0[,]}, y M=Sup{f(x): x0[,]} iii) ( λ f) =λ f, ( λ f) =λ f λ R iv) ( + ) + ( + ) f g f g, f g f+ g v) Supogmos que f(x)#g(x) pr todo x0[,]. Etoces -Dem f g, f g So cosecueci csi direct de ls propieddes de ls sums iferiores y superiores, y de ls propieddes de ífimos y supremos. Prece lógico que, si tommos prticioes co diámetro más y más pequeño (es decir, co diámetro que tied cero), ls sums superiores se cercrá más y

6 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 6 más ls sums iferiores. Esto se trduce e que l itegrl superior coicide co l itegrl iferior. Esto d pie l siguiete defiició. Defiició Se f:[,]6ú u fució cotd. Diremos que f es "itegrle" (e el setido de Riem) sore [,] cudo l itegrl superior coicid co l iferior, e cuyo cso el úmero rel f g, f g recie el omre de itegrl defiid de f, y se deot f ó f(x)dx. Si queremos idicr el itervlo e el cul f es itegrle, deotremos su itegrl defiid e [,] por f. A l fució f se le llm "itegrdo" y los extremos y del itervlo "límites de itegrció". Diremos que f es itegrle e [,] cudo f /[,] se itegrle. E tl cso l itegrl de f e [,], deotd como f será l itegrl de f /[,]. El siguiete eucido crcteriz de dos mers muy ituitivs ls fucioes itegrles e u itervlo. Proposició Equivle ls siguietes firmcioes: 1) f es itegrle e [,] + 2) ε R P P [,] tl que S(f,P ) I(f,P ) <ε ε ε ε 3) { } P { } Existe P, P [,] tl que S(f,P ) I(f,P ) 0 I.4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Vmos estudir por seprdo ls propieddes que se refiere l fució y ls propieddes que se refiere l itervlo de itegrció, oteiedo e cd cso iterestes resultdos pr el cálculo de l itegrl defiid de u fució f.

7 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 7 Propieddes que se refiere l fució E este puto resumimos el comportmieto de l clse de ls fucioes itegrles respecto ls opercioes del espcio vectoril de ls fucioes de [,] e ú. Proposició i) Si f,g:[,]6ú so fucioes itegrles, etoces f+g es itegrle y se verific que (f+ g) = f+ g ii) Si f:[,]6ú es u fució itegrle y λ0ú, etoces l fució λf es itegrle y se tiee que ( λ f) =λ f. iii) Si f,g:[,]6ú so fucioes itegrles y se verific que f(x)#g(x) pr todo x0[,], etoces se tiee que f g. iv) Si f:[,]6ú es u fució itegrle, etoces l fució f es itegrle y se. verific f = f -Dem- i) Semos que ( f+ g) f+ g = f+ g = f+ g (f+g) (f+g) luego como ( f+ g ) = (f+g) = (f+g), se tiee que ( f+ g) = f+ g. ii) E el cso e que λ0ú + 0 semos que ( λ f) =λ f =λ f= λ f = ( λf ) etoces λ f =λ f. Semos que f = f - como cosecueci de ls propieddes de f y de f etoces si λ0ú - se tiee que λf=(-λ)(-f), co -λ0ú +. Etoces λ f = ( λ) f =( λ ) f =λ f. iii) Es cosecueci de ls propieddes de iv) Omitimos l demostrció f y de f.

8 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 8 Propieddes que se refiere l itervlo de itegrció Itetmos uscr u propiedd de ditividd de l itegrl co respecto l itervlo. Proposició Se f:[,]6ú es u fució cotd y c0(,). Se tiee: -Dem- c c f = f+ f ; f = f + f c c Notemos f 1 =f /[,c] y f 2 =f /[c,]. Queremos pror que f = f + f ; f = f + f Se P 1 0P([,c]) y P 2 0P[c,]) ritrris. Es clro que P 1 cp 2 0P([,] y que: f S(f,P P ) = S(f,P ) + S(f,P ) de dode por l ritrriedd de P 1 y P 2 deducimos que f f + f. 1 2 Pr l desiguldd cotrri se P0P([,]) ritrri, P'=Pc{c}, P 1 =P=1[,c], P 2 =P=1[c,]. Se tiee clrmete que P 1 0P([,c]), P 2 0P([c,]) y que S(f,P) S(f,P') = S(f,P ) + S(f,P ) f + f de dode por l ritrriedd de P se tiee que f f + f. 1 2 Filmete, plicdo l fució -f, cuys restriccioes [,c] y [c,] so -f 1 y -f 2 respectivmete, teemos ( f) = ( f ) + ( f ) esto es f= f + f Corolrio L propiedd que osotros os iteres es: Se f:[,]6ú u fució cotd y c0(,). So equivletes: i) f es itegrle e [,] ii) f es itegrle e [,c] y e [c,]. E cso de que se verifique i) y ii) se tiee: c f = f+ f c

9 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 9 -Dem- Notemos f 1 =f /[,c] y f 2 =f /[c,]. i ii Por hipótesis f = f, y por l proposició terior 0= f f = f1 f1 + f2 f2 Como los dos sumdos del último miemro so o egtivos dee ser ulos pr que se cumpl l iguldd terior, es decir, f 1 y f 2 so itegrles. ii i Es cosecueci imedit de l proposició terior: iguldd f = f + f = f + f = f Filmete, si f 1, f 2 y f so itegrles, l proposició terior os d l f = f f 1+ 2, es decir, c f = f+ f c De quí se deduce que = f 0 = f f I.5. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD Teorem Vemos lguos tipos de fucioes que siempre so itegrles: i) Tod fució moóto f:[,]6ú es itegrle. ii) Tod fució cotiu f:[,]6ú es itegrle. -Demi) Se f:[,]6ú u fució creciete. Se tiee que f()#f(x)#f() œx0[,] y por tto f es cotd. œ0ù se P 0P([,]) l prtició P =, +,+ 2,...,+ =

10 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 10 Por ser f creciete, si x = + pr =0,1,..., se tiee: m (f,p )=f(x -1 ) y M (f,p )=f(x ) pr todo =1,..., y por tto, como pr cd 0{1,2,...,}, x -x -1 =(-)/, teemos: I(f,P ) = f(x 0 ) + f(x 1) f(x 1) S(f,P ) = f(x 1) + f(x 2) f(x ) ( ) ( ) ( )(f() f()) de dode S(f,P ) I(f,P ) =. Así pues { S(f,P ) I(f,P )} 0, y f es itegrle. Si f es decreciete, -f es creciete, luego itegrle y lo mismo le ocurre f. ii) Ddo ε> 0 vmos pror que P P [,] : S(f,P ) I(f,P ) <ε ε ε ε El teorem de Heie segur que f es uiformemete cotiu e [,], luego δ > 0 : x,y [,] ε f(x)-f(y) < x-y <δ { } Se P = = x, x,..., x = tl que x x <δ, ε M (f,p) = Sup(f[x 1,x ]) = f(v ) m (f,p) = If(f[x 1,x ]) = f(u ) dode v,u [x,x ] 1 ε Como v u <δ f(v ) f(u ) <, y sumdo todos los térmios se deduce que S(f,P ) I(f,P ) <ε ε ε Notr que el teorem o es reversile pues hy fucioes itegrles que o so cotius i moótos. Ello puede oteerse como fácil cosecueci de l proposició siguiete. Proposició Se f:[,]6ú u fució itegrle y se g:[,]6ú u fució. Supogmos que el cojuto {x0[,]: f(x) g(x)} es fiito. Etoces g es itegrle y se verific que f = g.

11 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 11 -Dem- Se c0[,] y h:[,]6ú dd por 0 si x c h(x) = 1 si x=c Si c= ó c=, h es moóto luego itegrle. Si <c< teemos que h /[,c] y h /[c,] so fucioes moótos, luego itegrles, y semos que esto implic que h es itegrle. Como e culquier cso I(h,P)=0 œp0p([,]) teemos que h= 0. Se hor A={x 1, x 2,...,x } culquier sucojuto fiito de [,] y φ:[,]6ú u fució tl que φ(x)=0 œx0[,]-a. Pr 0{1,2,...,} otmos h l fució defiid por h (x) φ=φ(x 1 )h 1 +φ(x 2 )h φ(x )h. 0 si x x = teemos evidetemete que 1 si x=x Por l primer prte de l demostrció, pr =1,2,.., teemos que h es itegrle y que h 0 =. Etoces φ es itegrle y φ= 0. Filmete, si f y g so ls fucioes del eucido, podemos plicr lo terior l fució φ=g-f, que cumple que φ(x)=0 œx0[,]-a, dode A={x0[,] : f(x) g(x)} que por hipótesis es fiito. Etoces g-f es itegrle co (g f) = 0. Etoces g es itegrle ( g=f+(g-f) ) co g = ( g f ) + f = f. Esto os viee decir que "modificr el vlor de u fució e u cojuto de putos fiito o vrí el vlor de l itegrl". II. RESULTADOS IMPORTANTES SOBRE LA INTEGRAL DEFINIDA Vmos ver cotiució tres teorems y u regl. So especilmete importtes los dos últimos teorems y que relcio l itegrl defiid co l derivd. Teorem de l medi o del vlor medio del cálculo itegrl que Se f:[,]6ú u fució cotiu. Etoces, existe lgú puto h0[,] tl 1 f(h) = f.

12 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 12 El sigificdo geométrico de este teorem, pr el cso de que l fució f se o egtiv, es el siguiete: "El áre jo l curv f etre y es igul l áre de u rectágulo de se (-) y ltur f(h), pr lgú h0[,]." Demostremos el teorem. -Dem- Se puede demostrr que si u fució f es cotiu e u itervlo cerrdo [,], etoces el cojuto imge, f[,] es tmié u itervlo cerrdo. Puesto que uestr f verific ests codicioes, llmemos [m,m] l itervlo cerrdo formdo por ls imágees f(x) cudo x recorre [,] (m y M será el vlor míimo y máximo respectivmete de l fució f sore [,]). Etoces: 1 m( ) f M( ), de lo que se deduce que m f M Como f es cotiu e [,] por hipótesis, podemos plicr el teorem de los vlores itermedios, que os dice que f tom todos los vlores compredidos etre m y M, es decir, existe lgú puto h0[,] tl que Teorem Fudmetl del Cálculo Itegrl 1 f(h) = f. El Teorem Fudmetl del Cálculo es uo de los putos culmites de l teorí de fucioes reles de vrile rel. Ates de eucirlo vmos defiir u cocepto: Defiició: Se Ι u itervlo o trivil y se f u fució defiid e Ι. Diremos que f es loclmete itegrle e Ι cudo f es itegrle e todo compcto coteido e Ι. Así por ejemplo tod fució cotiu es loclmete itegrle. Teorem (Fudmetl del cálculo) Se f :Ι R u fució loclmete itegrle e Ι, y 0Ι. Se F :Ι R x dd por F(x) = f x Ι. Etoces: i) F es cotiu e Ι. ii) Si c0ι y f es cotiu e c, etoces F es derivle e c y F' (c)=f(c). E prticulr, si f es cotiu e Ι, F es derivle e Ι y F' (x)=f(x) œx0ι. -Demi) Comproemos que F es lipchici e todo compcto coteido e Ι (lo utilizré más delte):

13 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 13 Se s,t0[c,d]fι co t<s. F(s)-F(t)= s t s f f = f. Etoces: t t s t s F(s) F(t) = f f sup{ f(x) : x Ι(t,s)} s-t s-t dode Ι(t,s)=Itervlo de extremos t y s, y =sup{ f(x) : x [c,d]}, lo que sigific que F es lipchici. Vemos que F es cotiu utilizdo l crcterizció medite sucesioes. Tedré que pror que: Si α Ι y { x } α co x 0Ι, etoces { )} F(x F( α ). Proémoslo pues: Cosidero el cojuto E = {x : N} { α} Ι. Se c=míe y d=máxe. Clrmete se tiee que α,x 0[c,d]fΙ. { )} Como F es lipchici se tiee que ( ) ( α) F(x F( α ). F x F x α 0 co lo que ii) Vemos que F es derivle e todo puto dode f se cotiu y demás F' (c)=f(c). Pr ello tedré que ver que si f es cotiu e c0 Ι, etoces F(x) F(c) Lim = f(c). x c x c c y x. x c x F(x) F(c) f(c)(x c) = f f f(c)(x c) = f f(c)(x c) c x x = Truco f(c)(x-c)= f(c) = (f f(c)) c c Por ser f cotiu e c se tiee que: Ddo ε<0 δ>0 tl que si t-c <δ, etoces f(t)-f(c) < ε. Tomo x0ι fijo tl que x-c <δ, etoces f(t)-f(c) < ε si t está compredido etre Por tto: c x F(x) F(c) f(c)(x c) = (f(t) f(c))dt (f(t) f(c))dt sup{ f(t) f(c) : t Ι (x,c)} x-c <ε x c Por tto he demostrdo que: c x

14 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 14 "Si x c co x-c <δ etoces F(x) F(c) f(c) x c F(x) F(c) ε co lo que Lim = f(c) ". x c x c Defiició A F defiid teriormete se le llm itegrl idefiid de f co orige e. Defiició Se Ι u itervlo; f u fució defiid e Ι. U primitiv de f es culquier fució F cotiu e Ι, derivle e el iterior de Ι tl que F' (x)=f(x) œx0it(ι ). U codició ecesri pr que f teg primitivs e Ι es que f teg l propiedd del vlor itermedio (lleve itervlos e itervlos) e it(ι ), y que ls fucioes que so derivds de lgu otr fució tiee est propiedd. Además f o puede teer discotiuiddes evitles i de slto e it(ι ) (por l mism rzó). Es itereste resltr que los coceptos "teer primitiv" y "ser itegrle" o está relciodos. Así por ejemplo: Hy fucioes co primitiv que o so itegrles: 2 1 Si h(x)=x se y h(0)=0, etoces: 2 x h'(x)=2xse cos si x 0 y h'(0)= x x x Si llmo f=h' se tiee que h es u primitiv de f e p.e [-1,1]. E cmio f o es itegrle pues si x 0 f o est cotd. Tmié hy fucioes itegrles que o tiee primitiv como puede ser culquier fució moóto e u compcto co discotiuiddes. NOTA: El teorem Fudmetl del Cálculo os dice e prticulr que tod fució cotiu e u itervlo tiee primitivs e dicho itervlo. Regl de Brrow Se f :[,] R u fució itegrle y supogmos que dmite primitivs e [,]. Se G u primitiv. Etoces f = G() G().

15 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 15 -Dem- Se P={x 0,x 1,...,x } culquier prtició del itervlo [,]. Pr cd 0{1,2,..,} podemos plicr el teorem del vlor medio l restricció de G l itervlo [x -1,x ], oteiedo t 0(x -1,x ) tl que: G(x )-G(x -1 )=G' (t )(x -x -1 )=f(t )(x -x -1 ) Así se tiee que: 1 ( 1 ) = 1 = 1 Como I(f,P) f(t )(x x ) = G(x ) G(x ) = G() G() S(f,P) se tiee que I(f,P) G() G() S(f,P) y esto es válido pr culquier prtició P del itervlo [,], luego teemos que f(t)dt G() G() f(t)dt Por ser f itegrle se tiee que f(t)dt = G() G(). Ejemplo Clculemos 1 dx. x 4 3 E primer lugr, deemos segurros de que el 4e itegrdo es u fució cotiu e el itervlo [4-e,3]. Pr ello, oservemos que l fució 1/(x-4) es cotiu e todos los putos x excepto e x=4. Y como el puto x=4 o perteece l itervlo [4-e,3], l fució del itegrdo es cotiu sore el itervlo de itegrció. E cosecueci, podemos plicr l regl de Brrow, queddo: 1 dx [log x 4 ] log1 loge 1 x = 4e 4e = =. Fórmul de cmio de vrile Se φ :[,]6ú u fució derivle co derivd cotiu e [,]. Se f u fució cotiu e u itervlo Ι de form que φ [,]f Ι. Etoces: φ() (f φ). φ ' = f. φ() -Dem- Se G u primitiv de f e Ι. Etoces ( G φ )' = [R. cde] = ( G' φ)( φ ') = (f φ) φ'

16 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 16 Aplicdo l R. de Brrow oteemos: φ() φ() f = G( φ()) G( φ ()) = (G φ)() (G φ )() = (f φ) φ' Ejemplo L estrtegi que se sigue cudo plicmos est fórmul es l siguiete: x =φ(t) dx= φ'(t)dt = = f( φ(t)) φ'(t)dt φ () = c φ()=d d f(x)dx c t+ 1 x =, dx=dt/2 (2x 1) dx= 2 = t = = =, 4= dt t 4 7 III. CÁLCULO DE ÁREAS Como es complicdo dr u defiició forml del cocepto de áre que se dpte l cocepto ituitivo, se suele tomr como defiició de áre l siguiete: "Si f(x)$0, y f es cotiu e [,], etoces f represet el áre del trpecio curvilíeo limitdo por l curv y=f(x), ls rects x= y x=, y el eje de ls sciss." Est defiició quedó justificd cudo vimos l iterpretció geométric de ls sums iferiores y superiores y l posterior defiició de itegrl defiid. áre. E el cso e que f o se myor igul que 0, veremos como se defie el Co est defiició vmos ver como se clcul áres e distitos csos: 1. Se f:[,]6ú u fució cotiu e [,]. Queremos clculr el áre del recito delimitdo por l gráfic f, el eje horizotl y ls rects x= y x=. Distiguiremos csos segú el sigo de f. ) Si f(x)$0, œx0[,]: Áre= f(x)dx

17 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 17 ) Si f(x)#0, œx0[,]: Áre= f(x)dx etre y : c) Si f(x)$0, œx0[,c] y f(x)#0, œx0[c,], siedo c u puto compredido Áre totl=áre (A) + Áre(B)= = c f(x)dx c f(x)dx NOTA: Oservemos que e este último cso el recito está descompuesto e dos prtes, u co f$0 y otr co f#0 y clculmos el áre de cd prte por seprdo. Se procederí de form álog pr clculr el áre de recitos similres. 2. Se f:[,]6ú y g:[,]6ú dos fucioes cotius e [,]. Queremos hllr el áre del recito delimitdo por ls gráfics de f y g y ls rects x= y x=. ) Si f(x)$g(x) œx0[,]: Áre= f(x)dx g(x)dx = (f(x) g(x))dx ) Si se cumplier l codició f(x)#g(x) pr todo x0[,], estrímos e u situció similr, pero co los ppeles de f y g cmidos. c) E el cso geerl, el recito se descompoe de form que e cd u de ls prtes se verifique o ie f$g o ie f#g y se clcul el áre de cd prte por seprdo.

18 Tem 29: El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid. 18 IV. BIBLIOGRAFÍA Apricio del Prdo, C y Pyá Alert, R. Aálisis mtemático. Uiversidd de Grd, 1996 Bereri, S. K. A First Course i Rel Alysis. Spriger-Verlg, New Yor, 1994 Piv, M.S. Cálculo Ifiitesiml. Reverte, Brcelo 1992 Pérez Gozález, J. Cálculo Diferecil e Itegrl de Fucioes de u vrile. Aott, S. Uderstdig Alysis. Spriger-Verlg, New Yor, 2001 M. de Guzmá, B. Ruio. Aálisis mtemático. Editoril Pirámide. J.A. Ferádez Viñ. Aálisis mtemático I. Editoril Tecos.