Matrices ABCD en óptica

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1 Matrices ABCD e óptica Alberto Fracisco Sadio Herádez Departameto de Física Uiversidad Autóoma Metropolitaa Uidad Iztapalapa Aveida Sa aael Atlico 86 Col Vicetia Iztapalapa Méico DF asadio@gmailcom (ecibido el 4 de Febrero de 04; aceptado el 30 Juio de 04) esume E este trabajo se preseta de maera didáctica la derivació de la matriz ABCD para rayos que se propaga e el vacío así como tambié e letes gruesas y delgadas co supericies eséricas a partir de la aplicació de la óptica geométrica por medio de u aálisis matemático E este proceso es importate la aplicació de la aproimació paraial al problema ya que ayuda a reducir las epresioes matemáticas obteidas a ecuacioes lieales Palabras clave: matriz ABCD aproimació paraial letes Abstract This paper presets the derivatio o the ABCD matri applyig o geometrical optics through a aalysis mathematicia or three cases: rays propagatig i vacuum thick ad thi leses with spherical suraces I this process the applicatio o the paraial approimatio to the problem is importat because it helps to reduce the mathematical epressios obtaied to liear equatios Keywords: ABCD matri paraial approimatio leses PACS: 479Bh 00Y 479-e ISSN I INTODUCCIÓN A Óptica Geométrica La óptica geométrica se ecarga de estudiar eómeos ópticos describiedo la propagació de la luz como rayos rectilíeos Dichos rayos está descritos por dos variables: la pediete del rayo y la distacia etre u eje de reerecia coocido como eje óptico y u puto perteeciete al rayo distito al puto uete del cual emerge Si tomamos e cueta ua uete putual e u puto objeto S que emite odas eséricas etoces los rayos represetará la direcció del rete de oda la cual es radial Estos rayos llega a u sistema óptico (lete espejo etc) propagádose e este hasta llegar a u puto image P La líea recta perpedicular a las supericies del sistema óptico que ue a los putos S y P es el eje óptico (Ver Figura ) FIGUA epresetació de odas eséricas a partir de rayo Lat Am J Phys Educ Vol 8 No Jue

2 Alberto Fracisco Sadio Herádez A cotiuació mecioamos las características que debe tomarse e cueta para u sistema óptico: a) Sistema óptico estigmático: Este se reiere que al icidir rayos del puto objeto S hacia la supericie de u sistema óptico se cosidera solamete u coo divergete de estos rayos de la misma maera se cosidera otro coo covergete al puto image P e al otro lado del sistema óptico b) Putos cojugados: Cuado se itercambia de lugar los putos objeto e image etre sí es decir se coloca el puto S e el lugar de P y el puto P e el de S y se observa el mismo eómeo descrito e el iciso aterior etoces se dice que los putos so cojugados por pricipio de reversibilidad c) Eectos por diracció: Aú e medios homogéeos las odas so diractadas El grado de perecció alcazable e la ormació real de imágees será limitado por la diracció Para despreciar cualquier eecto por este eómeo e óptica geométrica se cosidera la logitud de oda 0 produciedo ua propagació rectilíea e medios homogéeos B Descripció matemática geeral de u rayo E este apartado se preseta la descripció matemática geeral de los rayos emitidos posteriormete e las siguietes seccioes se mostrará la descripció matemática para casos particulares como so la propagació e el vacío y e letes tato delgadas como gruesas Para esta descripció geeral se debe tomar e cueta lo siguiete: j Ateriormete se mecioó que u rayo esta descrito por su pediete (dode j = 3 y el puto superior e la variable represeta la derivada co respecto a la direcció de propagació z) y la distacia etre el eje óptico y algú puto j (j = 3) de la pediete U rayo pasa por distitos putos e los cuales varía o matiee costate su pediete FIGUA Esquema de u rayo II POPAGACIÓN EN EL VACÍO A cotiuació se deducirá la matriz ABCD para el caso de propagació e el vacío o e u medio de ídice de reracció costate E este caso o se toma e cueta u sistema óptico La pediete del rayo o varía debido a que está propagádose e u solo medio (Figura ) Por lo tato comparado co (a) se observa que C = 0 y D = Para obteer A cosidérese u rayo co pediete cero (paralelo al eje óptico) 0 etoces su distacia al eje óptico es costate esto implica que A = Así la represetació matemática geeral está dada por el siguiete sistema de ecuacioes: A B (a) cuya orma matricial es: A B C D (b) dode la matriz de tamaño es coocida como matriz ABCD FIGUA 3 Esquema de u rayo e el vacío Fialmete para ecotrar B se cosidera la Figura 3 Sea z = z = z el haz se aleja del eje óptico ua distacia z ta z Lat Am J Phys Educ Vol 8 No Jue

3 Alberto Fracisco Sadio Herádez dode es el águlo etre el rayo y eje óptico Si la pediete del haz se matiee costate etoces B = z Por lo tato la matriz ABCD de propagació e el espacio libre es: III LENTE GUESA A Deiició A B z C D 0 Para iiciar esta secció es importate saber que es ua lete Ua lete es u dispositivo reractor que recoigura la distribució de la eergía emitida Hay distitos tipos de letes para este caso se estudiará ua lete co supericies eséricas de la cual se obtedrá su matriz ABCD E la igura 4 se puede observar la geometría de la lete a tratar: () S y P so los putos uete e image C y C so los cetros de las supericies eséricas de la lete y so los radios de curvatura de la supericie y supericie respectivamete d es el grosor de la lete V y V so los vértices de las supericies y respectivamete i yt so los águlos de icidecia y trasmisió respectivamete j es el ídice de reracció del medio B Aproimació paraial y álgebra matricial Los diseñadores de letes ha hecho uso de la óptica geométrica para poder desarrollar relacioes matemáticas y así describir los eómeos relacioados co la icidecia de u haz sobre el lete eómeos como la reracció y la propagació de haces e u sistema óptico Este tratamieto del eómeo los ha llevado a obteer relacioes e orma matricial Se empezará por estudiar el eómeo de propagació de u haz a través de ua lete gruesa Lo que os llevará a la ormulació de ua matriz ivolucrado ucioes seo y tagete Simpliicado el estudio se realizará u desarrollo de Taylor de las ucioes mecioadas: se 3! 5! 7! ta La aproimació paraial asume que es muy pequeño así que solamete se toma e cueta hasta térmios de primer orde los de orde mayor so prácticamete despreciables Se hace uso de la teoría paraial para costruir ua ecuació matricial lieal que describa la propagació de u haz a través de u sistema óptico FIGUA 4 Esquema de la propagació de u rayo e ua lete de grosor d Lat Am J Phys Educ Vol 8 No Jue

4 C Matriz de reracció E la Figura 4 se observa a u haz de luz proveiete de u puto objeto S que se propaga e u medio de ídice de reracció e icide e u puto A de la supericie esérica para después propagarse e u medio de ídice y llegar a u puto B Para comezar su descripció matemática se hará uso de la Ley de Sell que matemáticamete os dice: se se i Co el uso de la aproimació paraial e esta ley teemos que: (3) i t dode se cosidera que < E la Figura 4 se observa que el águlo de icidecia está dado por: y el águlo de trasmisió por: i t (4) (5) t De la geometría de la Figura 4 se obtiee: se (6) Haciedo de uevo uso de la aproimació paraial para la ució seo se obtiee que (7) Los subídices j = 3 e las variables idica el medio e dode se toma e cueta es decir si el subídice j es igual etoces la variable perteece al medio y así sucesivamete Sustituyedo (7) e (4) y (5) para posteriormete sustituir el resultado e (3) se obtiee: despejado : la cual se puede reescribir como: (8) dode Matrices ABCD e óptica P P Es coocida como potecia reractada de la supericie o simplemete potecia y es positiva dado a que > 0 y < Por la geometría de la igura 4 y aplicado teoría paraial e geeral: ta j j j etoces la ecuació (8) se trasorma e: ( ) (9) La altura del puto A o cambia e ambos lados de la supericie etoces (0) Por lo tato las ecuacioes (9) y (0) orma u sistema de ecuacioes que podemos represetar como u sistema matricial Dode 0 0 () Es la matriz de reracció de la supericie El determiate de la matriz es 0 Así se muestra que solo depede de los ídices de reracció de los medios y por dode se propaga el rayo D Matriz de trasmisió T Ahora se obtedrá la matriz de trasmisió del rayo detro de la lete Para ello se cosidera las dos supericies de la lete De la Figura 4 se observa que el rayo pasa por u puto A de la supericie se propaga por la lete de ídice de reracció y grosor d hasta llegar a u puto B de la Lat Am J Phys Educ Vol 8 No Jue

5 Alberto Fracisco Sadio Herádez supericie para luego salir a u medio de ídice de reracció 3 De la geometría de la igura 4 se muestra que: ' d ta d () El águlo o cambia del puto A al puto B Pero la altura cambia de a Etoces obteemos el siguiete sistema de ecuacioes: ' d (3) ' Aplicado la aproimació paraial: ta j j j A (3) se obtiee ya e su orma matricial el sistema de ecuacioes e térmios de la altura y de la pediete del rayo: Dode ' d ' 0 d T (4) 0 Es la matriz de trasmisió y su determiate es: E Matriz de reracció d T 0 El método de obteció de la matriz de reracció es el mismo al ateriormete epuesto para la obteció de solo que ahora se cosidera los dos lados de la supericie E este caso el rayo se propaga de u medio de ídice a otro medio de ídice 3 Etoces la ecuació matricial de reracció de la supericie es: 0 3 ' 3 3 ' 3 3 dode la matriz de reracció para esta supericie es: 0 3 (5) 3 3 El determiate de la matriz es: Se ve claramete que el determiate depede solo de los ídices de reracció de los medios y 3 por dode se propaga el rayo La potecia e la supericie es: 3 P Así la potecia del rayo e la lete es: P P P F Matriz ABCD de la lete gruesa El producto de las tres matrices da como producto la matriz S del sistema S T o mejor coocida como la matriz ABCD de la lete gruesa: 0 0 d A B Las compoetes de la matriz so d A d B 3 3 C 3 d 3 D 3 d El determiate de la matriz de la lete gruesa es: S T AD BC 3 (6) se observa que solo depede de los ídices de reracció de los medios y 3 Lat Am J Phys Educ Vol 8 No Jue

6 IV LENTE DELGADA A Matriz ABCD de la lete delgada Se puede obteer la matriz ABCD de ua lete delgada a partir de la matriz de ua lete gruesa si se cosidera d 0 etoces se obtiee lo siguiete: 0 A B 3 (7) 3 3 Si los medios y 3 so aire es decir = y 3 = se obtiee la matriz: 0 A B (8) B Matriz ABCD de la lete delgada (Derivació alterativa) Otra maera de obteer la matriz ABCD de ua lete delgada es aalizar la Figura 5 dode se muestra tres rayos distitos que se propaga detro de la lete Primero se toma e cueta el haz e la igura se observa que si la lete es muy delgada las distacias y 3 al eje óptico se cosidera prácticamete iguales ( 3 ) esto implica que A = y B = 0 e la epresió (a) 3 0 Matrices ABCD e óptica Esto implica que D = Fialmete cosiderado el haz co pediete cero (paralelo a eje óptico) al atravesar la lete y llegar al oco P adquiere ua pediete 3 La catidad es la distacia ocal que se mide del cetro de la lete al oco Obteemos etoces las relacioes: 3 0 por lo que C Etoces la matriz ABCD es: 0 A B (9) Comparado la matriz (7) co la matriz (9) se obtiee ua relació que ivolucra la distacia ocal co los ídices de reracció de los medios y los radios de curvatura de la lete: 3 3 (0) si = 3 = es decir la lete se ecuetra e el aire se obtiee: () Que es coocida como la ecuació de abricates de letes FIGUA 5 Esquema de la propagació de u rayo e ua lete delgada Ahora cosiderado el haz 3 que es paralelo al eje óptico y pasa por el cetro geométrico de la lete dicho haz o se desvía por deiició Etoces su pediete permaece costate y la distacia al eje óptico es ula por lo que: V COMENTAIOS FINALES Si ahora cosideramos rayos propagádose a través de varios sistemas ópticos uo seguido del otro y co su respectiva matriz ABCD etoces la ecuació matricial que describe al eómeo será: A B A B A B A B ecordemos que el producto de matrices es asociativo pero o comutativo Físicamete esto quiere decir que al variar el orde de los sistemas ópticos simplemete o se repetirá el mismo eómeo que se observó e u orde aterior Por último cabe mecioar que cualquier sistema óptico e pricipio tiee su respectiva matriz ABCD Etre estos sistemas se puede mecioar espejos letes plaos cócavos o coveos vidrio etc Lat Am J Phys Educ Vol 8 No Jue

7 Alberto Fracisco Sadio Herádez EFEENCIAS [] Blaker J W Geometrics optics The matri theory (Marcel Dekker Ic New York 97) [] Guether D Moder Optics (Joh Wiley & Sos USA 990) [3] Hecht E Óptica 3era Ed (Addiso Wesley Madrid 000) [4] Nussbaum A Cotemporary Optics or Scietists ad Egieers Solid State Physical Electroics Series (Pretice Hall USA 976) [5] esick Halliday D y Krae K S Física Vol 4ta Ed (Grupo Editorial Patria Méico 009) Lat Am J Phys Educ Vol 8 No Jue