MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO:

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1 TEMA 2: La Tabla de otalidad: La otalidad coo feóeo disceto. Ideedecia, hoogeeidad, estacioaiedad. La tabla de otalidad y sus eleetos. Relació ete los eleetos de ua tabla de otalidad. Tios de seguo: Cálculo de obabilidades. Pobabilidades aa ua cabeza. Pobabilidades aa ás de ua cabeza. Actuaiaos. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: E este tea os aoiaeos al istueto básico aa la elotació estadística de la ifoació bioética de utilidad e el cálculo actuaial: las tablas de otalidad ( Life tables, ) Estas tablas ecoge la ifoació básica útil aa ode calcula las obabilidades de uete y de suevivecia ecesaias aa deteia ias, esevas, ovisioes etc. e los seguos de vida. La edició de la otalidad la vaiable ás elevate e este coteto ecisa de cieto ivel de objetividad, co lo ue el actuaio debe estudia las tasas de otalidad egistadas e el asado e el colectivo al ue eteece los aseguados (oblació de iesgo) a fi de ode edeci o estia de la foa ás objetiva osible el úeo de años de vida ue esta a cada aseguado. La foa ás habitual de edi la otalidad es coo atio efeida a u colectivo y a u eíodo: o ejelo, si e u año deteiado e ua oblació de esoas ha ueto 67 dieos ue la tasa de otalidad de ese año es del,96 o il 0,0096 Esta ifoació es, si ebago, oco útil coo aoiació a la obabilidad de uete de u idividuo de esa oblació ya ue, o ejelo, o aece azoable suoe iguales la obabilidad aa u vaó de 80 años la de ua uje de 45,.ej.. La esecificació de, al eos el seo y la edad, se hace ecesaia e los datos ue las tablas debe ecoge. Las atios de otalidad uede etoces se clasificadas coo geeales o esecíficas. Las ieas vedá efeidas a toda la oblació y eglobaá todas las causas de uete, ietas las segudas se eleaá aa causas eseciales de uete o aa guos o cohotes esecíficos de la oblació, e icluso aa cobiacioes de abos eleetos. ( eiodificació y geeació // estadaizació) A ati de los datos de la oblació o edades y de los falleciietos e uchas ocasioes seá ecesaio ealiza alguos ocediietos de estadaizació de éstos aa descota los efectos de ua estuctua oblacioal o edades atíica y tabié seie ecesaio ealiza alguas oeacioes aa eiodifica los datos de la tabla a ua deteiada fecha y/o a ua deteiada geeació ( guo de esoas ue coate el año de aciieto. EAA2 TABLAS DE MORTALIDAD. Págia de 3

2 Habitualete, la tabla de otalidad ecogeá, aa ua deteiada oblació (geeal o de iesgo), las tasas de otalidad ( y/o) de suevivecia, a cada edad y aa cada seo. O bie la evolució del úeo de suevivietes o edades y seos a ati de u guo iicial de cieto taaño. O bie abos tios de ifoació, udiedo aaece otos idicadoes coo o ejelo la eseaza de vida: Tabla de otalidad aa la ovicia de Valecia e el año 2009 : Fuete I.N.E. ( Tasa de otalidad Suevivietes Població estacioaia Eseaza de vida Vaoes Mujees Vaoes Mujees Vaoes Mujees Vaoes Mujees 2009 Valecia 0 3, , , ,907 77, , , , , , , ,64 77, , ,0682 0, , , , ,0 73, , , , , , , ,88 68, , , , , , , ,47 63, , , , , , , ,84 58, , , , , , , 49686,73 53, , , , , , , ,73 48, , , , , , , ,42 43, , ,5739 0, , , , ,85 38, , ,38977, , , , ,44 34, , , , , 9774, , ,66 29, , , , , , , ,95 25, , , , , , , ,83 2, , ,3882 6, , , ,73 7, , ,6962, , , , ,6 3, , , , , , , ,07 0, , , , , , ,2 3378,36 7, , , , , , , ,72 5, , , , , , ,5 0290,89 4, , , , , ,20 737, ,647 3, , Hiótesis fudaetales sobe el feóeo bioético Es iotate eseña ue cuado se hace efeecia al tieo bioético se está aditiedo ilícitaete la estacioaiedad del feóeo de la suevivecia. E efecto, al aditi ue el hecho elevate aa deteia la obabilidad de uete o suevivecia de u idividuo es su edad, si atede al oeto físico e ue se ha alcazado tal edad, se está suoiedo ue estas obabilidades o evolucioa y so teoalete estacioaias, es deci, so ideedietes de la fecha del caledaio e ue se cosidee. Obviaete, la acuulació históica de ifoació estadística cotadice este suuesto cuado se aaliza eiodos elativaete lagos de tieo, e los ue se ha obsevado ue las autas de cootaieto bioético de las oblacioes evolucioa, o lo ue, el suuesto de estacioaiedad sólo odá se acetado cuado se tabaje co eiodos de tieo o uy dilatados. EAA2 TABLAS DE MORTALIDAD. Págia 2 de 3

3 El suuesto de estacioaiedad o es la úica hiótesis ilícita ue se estaía asuiedo co la aguetació ateio. E efecto, dado ue se atiede a la edad coo úica vaiable elevate aa deteia las distitas obabilidades, se está esuiedo, tabié, de odo ilícito la hoogeeidad de los idividuos. Así es, al suoe ue los idividuos de ua isa edad está soetidos a idéticos iesgos de falleciieto se está aditiedo tácitaete ue el cootaieto obabilístico ate la otalidad de todos los sujetos de igual edad es idético, o lo ue todos ellos oseeá distibucioes de obabilidad siilaes, de aea ue seía suficiete cooce la de uo de ellos aa ode establece coclusioes sobe la geealidad del colectivo. Fialete, es eciso destaca ue adeás de las dos hiótesis ateioes cuado se tabaja co las fucioes de suevivecia y falleciieto se suele ealiza ua suosició adicioal coo es la de ideedecia. E efecto, se adite ue las edades de falleciieto, y, o tato, las obabilidades de suevivecia y uete a ue está soetidos los distitos idividuos, so ideedietes, es deci, el hecho de ue u idividuo uea o sobeviva a deteiada edad es ideediete de lo ue ocua co cualuie oto sujeto e esa o e ota edad. Esta hiótesis, o oto lado ada descabellada, silifica otableete los cálculos cuado se tabaja co obabilidades aa ás de ua cabeza. Cooetes de ua tabla de otalidad: La tabla de Motalidad eleetos y elacioes La ifoació ue uede aaece e ua tabla de otalidad, co su eesió sibólica y su defiició oeativa es: Edad años culidos úeo de idividuos ue alcaza la edad, ocedetes de ua Suevivetes l colectividad de idividuos de edad 0 úeo de idividuos de edad Defucioes d ue uee si l l d alcaza la edad + Pooció de los Tato (aual) idividuos de edad de l suevivecia idividuos ue l alcaza la edad ( a la edad ) + tas u año Tato (aual) de otalidad (a la edad ) Població cesal de edad L Pooció de defucioes ue se oduce ete y + ete los idividuos de edad. Núeo edio de esoas vivas ete y + años. O, d l L = l o tdt Suuesta uifoidad e la distibució aual de d: EAA2 TABLAS DE MORTALIDAD. Págia 3 de 3

4 tasa de otalidad edia ete la edad ý + eseaza de vida a la edad. catidad de eistecia a la edad Tasa istatáea de otalidad e 0 T alteativaete, l l l l d úeo edio de L l d años vividos o toda la oblació l del año hasta el +. el iesgo edio al ue está sujeto la oblació duate su tásito ete los y + años y es difeete de ue eeseta el efecto total de la otalidad e téios de ooció de defució e el cojuto del año, si hace efeecia a la vaiació del iesgo de falleciieto a lo lago del año. Núeo edio de años ue les esta 0 L k 0 l k e s/uifoidad o vivi a los (l e 0.5 k k ) l l suevivietes e ( = ifiito actuaial = edad líite de la oblació) Núeo total de años o vivi aa la totalidad de la cohote a la edad T L k k E el suuesto de cotiuidad del oceso seá el cociete ete las defucioes ocuidas e u difeecial de tieo y este l ldt dl d t ( ) t l l( l) difeecial li l d dt t 0 t dt dt dt Ejelo: Tabla de Motalidad aa de la geeació de 960. X l (tato (tato o d e 0 o il) il) , , , , ,925 0, , , , ,934 0, , ,89 85, ,22 0, , , , ,537 0, , , , ,642 0, , , , ,73 4, , ,4562 3, ,274 38, , ,8393 2, ,434 69, , ,232 2,42 Fuete: Elaboació oia a ati de la tabla PERM/F2000P (B.O.E. ú.244 de Oct.2000) EAA2 TABLAS DE MORTALIDAD. Págia 4 de 3

5 Tios de seguo: Cálculo de obabilidades. Las odalidades de los seguos de vida uede se uy vaiadas y e fució de cóo sea uede se de iteés estia, o sólo las obabilidades de ue u sujeto segú su seo y edad fallezca e u deteiado oeto, sio tabié estia otas evetualidades de feoeología teoal uy vaiada o ue iliue a vaios sujetos. Los seguos uede aguase e dos tios iciales: de falleciieto y de suevivecia; udiedo se tato teoales coo de vida etea, iediatos o difeidos, de cobo úico o eta vitalicia, co cobo aticiado o vecido, de ia úica o teoal, etc., así coo, aa u úico idividuo o aa vaios, udiedo e este caso oiciase ultitud de cobiacioes. Po lo tato uede iteesa estia obabilidades de uete o de suevivecia, a lo lago de u itevalo teoal o duate toda la vida del aseguado. Puede iteesa deteia ua obabilidad difeida de uete o e el caso de habe vaios sujetos aseguados (vaias cabezas) uede iteesaos calcula distitas obabilidades de vaias cobiacioes de evetos Po ejelo, u idividuo de edad cotata u seguo de vida aa aga ua catidad C a u beeficiaio e caso de ue fallezca ete ua edad + y ++. E este caso se tataía de u seguo de vida aa el caso de uete, difeido (ues otege el iesgo años desués de suscito), teoal (ues el iesgo sólo está cubieto duate años) y de ago úico (se libea ua catidad C e el oeto del falleciieto): Auí os iteesaía deteia la obabilidad de ue el idividuo de edad (vaó o uje, eteeciete a cieta geeació, lo ue os lo ecuada e cieta tabla)fallezca ete la edad + y ++: Esta obabilidad se desiga o : / O, o ejelo, u idividuo de edad suscibe ua óliza, o la ue debe hace aotacioes auales hasta la edad + -si vive hasta tal edad-, aa coba ua catidad fija C al iciio de cada año desués de su ++ culeaños hasta su falleciieto, si este o ocue ates de culi tal edad. Estaíaos ate u seguo de vida de suevivecia, co ia aual faccioada (las aotacioes so auales desde la edad hasta la +), difeido (ues el cobo coieza tas la edad ++), de eta vitalicia o de vida etea (dado ue se ecibe la eta hasta el falleciieto) y de cobo aticiado (la catidad es ecibida al iicio de cada año): Auí iteesaía las obabilidades de alcaza ++ y ás años aa deteia la valo eseado de la eta a aga, y las obabilidades de ue uea ete y ++ aa deteia igualete el valo eseado de los igesos. U ejelo e el ue está ilicado ás de u sujeto odía se. U idividuo de edad suscibe u seguo aa ue su cóyuge de edad eciba ua catidad aual C tas su falleciieto y duate años, salvo ue el cóyuge fallezca ates de los años siguietes al falleciieto del idividuo, aa lo cual ealizaá aotacioes auales hasta el oeto de su falleciieto o el de su cóyuge. Obsévese ue e este caso aa el cóyuge tedíaos u seguo de vida de suevivecia (ues si o EAA2 TABLAS DE MORTALIDAD. Págia 5 de 3

6 sobevive o ecibiá las coesacioes), de eta teoal y cobo aticiado, codicioado a la ocuecia del falleciieto del suscito. Pobabilidades aa ua cabeza. Piciales obabilidades ilicadas aa el caso de ua cabeza asociadas co los distitos tios de seguos y co la otació habitual es la siguiete: Pobabilidad teoal años de suevivecia ( : úeo eteo) : eeseta la obabilidad de ue u sujeto de edad actuaial viva al eos años ás. U caso aticula ocue cuado, e ue se suele oiti, co lo ue la obabilidad ateio se eesa ediate, y se iteeta coo la obabilidad de ue u idividuo de edad alcace los + años. l A ati de los datos de ua tabla de otalidad odía estiase coo: l Pobabilidad teoal de años de falleciieto ( : úeo eteo) ó / : es la obabilidad de ue u idividuo co edad actuaial fallezca ates de alcaza la edad actuaial +. Cuado, de uevo, se suele ota la obabilidad ateio ediate. Obviaete se veifica ue: - y o lo l l tato: l Pobabilidad difeida años y teoal años de falleciieto: / : eeseta la obabilidad de ue u idividuo de edad alcace los + años y fallezca duate los siguietes, es deci, fallezca ete la edad + y ++. O sea, la obabilidad de fallece duate u itevalo de años difeida años. De uevo, si, el coeficiete coesodiete se suele oiti y se ota la obabilidad de falleciieto difeida ateio ediate: /. Dode, o ejelo, -/ sibolizaía la obabilidad de ue u idividuo de edad fallezca eactaete deto del -ésio año. Se uede obtee de la tabla de la siguiete aea : si cosideaos ue X es la vaiable : edad de falleciieto e años; la obabilidad edida se coesodeá co la obabilidad (codicioada) de ue esta vaiable toe valoes coedidos ete + y ++ sabiedo ue ha sueado el valo : P( X ) ( X ) / P( X ) ( X ) PX ( ) P X l l PX ( ) l EAA2 TABLAS DE MORTALIDAD. Págia 6 de 3

7 Pobabilidades aa ás de ua cabeza. E uchas ocasioes los seguos está viculados a vaios sujetos (cabezas), coo, o ejelo, e el caso de u seguo de vida de suevivecia de u atioio e ue se debeá satisface ua catidad oetaia siee ue sobeviva, al eos uo de los dos iebos de la aeja. Aaece situacioes, o tato, e ue se hace ecesaio aeja y calcula obabilidades cojutas efeidas a ás de ua cabeza. La hiótesis de ideedecia de los feóeos bioéticos eite calcula fácilete todas las obabilidades sobe ás de ua cabeza a ati de las obabilidades de cada ua de las cabezas ue cooe el guo. Así, o ejelo, aa dos idividuos de edades e y, cuyas obabilidades esectivas de alcaza las edades + e y+ sea y y, se tedía ue la obabilidad cojuta de ue abos sobeviviese al cabo de u año seía = y, dode siboliza tal obabilidad cojuta. Segú el caso iteesaá estudia las obabilidades de distitas cobiacioes de uete/suevivecia idividual ete estas cosideaeos esecialete el caso de la etició del guo y el caso de su disolució. Hablaeos de etició cuado haya desaaecido todos los iebos del guo. ( Se oduciá, o tato, cuado uea el últio sueviviete del guo). E cabio, hablaeos de disolució, cuado desaaezca el ie itegate del guo (ie falleciieto) Caso de dos cabezas: Cosideaos u guo de dos idividuos de edades e y, ue abusado del leguaje odeos llaa idividuo e idividuo y. Las situacioes cobiadas osibles seía: Pobabilidad Notació Situació Suevivecia Todos cojuta (SC) sobevive No etició Al eos uo (NE) sobevive Disolució y Sobevive o etició eactaete (DyNE) uo Etició (E) Niguo sobevive Disolució (D) Al eos fallece uo La situacioes ateioes se ha cosideado coo obabilidades teoales es deci sobe el cootaieto de la aeja duate los óios años ( Evetualete uede se uo): Tedíaos las siguietes obabilidades teoales Pobabilidad de suevivecia cojuta: Tascuidos años, tato el idividuo coo el y sobevive: se coesode co la itesecció, e vede, e el gáfico: EAA2 TABLAS DE MORTALIDAD. Págia 7 de 3

8 l l.. l l y y Pobabilidad de o etició: Tascuidos años, alguos de los idividuos sobevive, se coesode co la uió de los sucesos sobevive, sobevive y, la zoa eceada deto de alguo de los diagaas de Ve de coloes azul, aaillo o vede e el gáfico:. y. y. y ( y) y( ). y. y y. y. y. y y Pobabilidad de disolució y o etició: Tascuidos años alguo de los dos idividuos ha fallecido, eo o los dos: o lo tato, uo de ellos ( y sólo uo) ha sobevivido.( Ha sobevivido eactaete cabeza). Es la situació itada o bie de azul o bie de aaillo, eo o de vede. []. y. y ( y) y( ) 2.. y y [] Acaba coesodiedo co la difeecia ete la obabilidad de No-Etició y la de Suevivecia-Cojuta. Pobabilidad de etició: Tascuidos años los dos idividuos ha fallecido. Niguos de los dos ha sobevivido. Se coesode co la zoa eteio a los diagaas de Ve ( si colo) y es, obviaete, el suceso coleetaio de la o etició.. ( )( ) y y. y ( ) y Pobabilidad de disolució: Tascuidos años alguo de los dos idividuos ha fallecido. Es el coleetaio de la suevivecia cojuta y e el gáfico se coesode co todo lo ue o sea la itesecció ( todo lo ue o es vede). y y.. y ( ) y ( y) ( )( y)... y y y y y. y Estos isas cico situacioes uede latase de foa difeida e el tieo y os ecotaíaos co las coesodietes obabilidades difeidas. EAA2 TABLAS DE MORTALIDAD. Págia 8 de 3

9 Pobabilidades aa ás de dos cabezas : Actuaiaos La situació aa tes o ás cabezas la situació seá siila auue ucho ás coleja al aueta las cobiacioes de foa aceleada. Visualiza la situació aa el caso de tes cabezas uede hacese segú el siguiete gáfico:. Pobabilidad de suevivecia cojuta 2. obabilidad de ue sobeviva eactaete ua cabeza 3. obabilidad de ue sobeviva eactaete dos cabezas 4. obabilidad de ue igua sobeviva años (etició) 5. obabilidad de ue al eos uo sobeviva.. z y y z y z y z z y.( ).( ).( ).( ).( ).( ) y z y z z y y z y z y z y z z y z z yz z z y z y z z y..( )..( ). ( ) y z y z z y z yz z y z.. z y z y z z yz z [] [2] culiédose ue: z z z z z z EAA2 TABLAS DE MORTALIDAD. Págia 9 de 3

10 6. Pobabilidad de ue sobeviva al eos 2 7.Pobabilidad de ue al eos fallezca (disolució) 8. Pobabilidad de ue sobeviva coo áio ua cabeza 9. Pobabilidad de ue sobeviva coo áio dos cabezas... 2 z z z y yz z 2. z yz z z z 0 2 z z z z z z z z z z Tabié odíaos cosideaa otos casos dode se tuviea e cueta el ode de falleciieto. z vidas : Actuaiaos Coo e situacioes ateioes odeos cosidea, aa el caso geeal de vidas las obabilidades de los sucesos fudaetales ( o obabilidades fudaetales): Suevivecia cojuta: 2... i i Disolució: 2... i i Etició: 2... i i No etició: 2... i i EAA2 TABLAS DE MORTALIDAD. Págia 0 de 3

11 Peo ás allá de las obabilidades fudaetales el úeo de sucesos ue odeos cosidea va ceciedo eoecialete co ( 2 ). E el caso e el ue la edad de todos los iebos del guo sea la isa la obabilidades idividuales seá iguales aa todos ellos ( y ) y las obabilidades uede coutase haciedo uso de la cobiatoia eo cuado o es así se ecisa ecui al cálculo de los oeadoes actuaiales, o actuaiaos ue uede alicase auue las edades sea distitas (siee ue se cula la hoogeeidad) : Cuado las edades de las cabezas sea difeetes, 2,,. Utilizaeos los actuaiaos defiidos coo: i la sua de todas las obabilidades idividuales de suevivecia i 2... la sua de las obabilidades de suevivecia de todas l 2 3 i as aejas j i j 3... ijk 2... ijk 2 h h la sua de las obabilidades de suevivecia de todas los tios la obabilidad de suevivecia cojuta 0 0 Puede coobase ue : La obabilidad de ue sobeviva eactaete cabezas, e fució de los [ ] actuaiaos, es : 2... ( ) La obabilidad de ue sobeviva al eos cabezas, e fució de los actuaiaos, es: 2... ( ) Debido a la atualeza aticula de los actuaiaos, ue o so eactaete fucioes olióicas aa calcula estas dos eesioes debe hacese o uo de los dos ocediietos siguietes: Pocediieto (Ayuso, et al.(2006) : Estadistica actuaial vida, Pub. Uivesidad de Baceloa): Cosidea ue el desaollo e seie de la fució (+) -k es: EAA2 TABLAS DE MORTALIDAD. Págia de 3

12 ( j) j f (0). f( ) j0 j! kk ( ) kk ( )( k2) kk ( )( k2)( k3) 2! 3! 4! k ( ) k.... Y a ati de esta eesió cosidea ue gado sueio a el actuaiao se aula. Pocediieto 2 ( Pavía, (200): 0 Ejecicios de Estadística Actuaial Vida,Ed. Gaceta). Dividiedo olióicaete, disoiedo el deoiado e ode de gado ceciete, el hecho de ue aa gados sueioes a el actuaiao se aula os gaatiza ecota el cociete. Los dos ocediietos so euivaletes. Veaos su alicació e u ejelo: Ejelo: Suogaos u guo foado o 5 cabezas de edades 60,65,62,58,55. Y ueeos calcula la obabilidad de ue a los 0 años sobeviva eactaete dos esoas. Paa ello disoeos de los actuaiaos aa esas edades y difeidos 0 años ue so: =2.23 ; 2 =4.95; 3 =2.82; 4 =0.95; 5 =0.2. Tedíaos: ue alicado la eesió 2 0 ( ) ( ) [ ] [2] :65:62:58:55 3 Po el ie ocediieto: ( ) ( 3... ) * 3 ( ) 2! 3! ,95 32,82 60,95 0 0, *o es ecesaio segui ás allá oue se aulaá a ati del gado 6 Po el segudo ocediieto: EAA2 TABLAS DE MORTALIDAD. Págia 2 de 3

13 Obteiédose el iso esultado. A ati, de los actuaiaos, etoces, es fácil obtee las iciales obabilidades y aú uchas otas ás: Suevivecia cojuta: 2... Etició: 2... No etició: 2... Suevivecia de al eos esoas: 2... Suevivecia de eactaete esoas: 2... Disolució: 2... EAA2 TABLAS DE MORTALIDAD. Págia 3 de 3