1. El ejemplo básico: los números reales

Transcripción

1 1. El ejemplo ásio: los números reles En un osión 1 onstruimos el onjunto de los números reles prtir de los números nturles, ví los números rionles positivos y ortdurs de Dedekind. El mtemátio lemán Dvid Hilert ( ) denominó est mner de eder los números reles, método genétio, diiendo que unque fuer un uen mino desde el punto de vist pedgógio 2, él preferí otro enfoque, más seguro desde el punto de vist lógio y plnteó, finles del siglo XIX (1899), un sistem de xioms 3 pr rterizr los números reles, en el Apéndie VI de su or Fundmentos de Geometrí. 1 LUQUE, C., MORA, L., TORRES, J. (2004) Un onstruión de los números reles positivos, Universidd Pedgógi Nionl. 2 KLINE, M. (1972) El pensmiento mtemátio de l ntigüedd nuestros dís, Vol. III, Ed. Alinz, Mdrid, p Un presentión xiomáti onst de unos términos no definidos, oneptos primitivos no suseptiles de definiión y un onjunto de xioms o proposiiones primers, reliones entre los términos no definidos que se eptn omo ierts; éstos onstituyen el punto de prtid de un teorí mtemáti en l ul se plnten otrs firmiones que se deduen de dihos xioms, los teorems; (REY PASTOR, J. (1952) Análisis, Tomo I, Vol. I, Ed. Kpelusz, Buenos Aires, p.10); diho de otr

2 EL EJEMPLO BÁSICO: LOS NÚMEROS REALES Hilert supone 4 l existeni de un sistem de entes números y de uns reliones entre ellos que se justn ierts ondiiones, los xioms, los ules distriuye en utro grupos, ser: Axioms de Enle (6), Axioms de Cálulo (6), Axioms de Ordenión (4) y Axioms de Continuidd (2). L existeni de un onjunto de números que stisfg este onjunto de xioms, slvo el nomre y l representión de los ojetos, orresponde on el mismo onjunto de los números reles ntes onstruido; en eseni, existe un solo onjunto de números reles 5, es deir que sólo un onjunto de números, slvo por el nomre de sus elementos, umple on los xioms estleidos. En l presentión xiomáti tul 6, los xioms que rterizn los números reles se lsifin en tres grupos: xioms de mpo (hen refereni ls propieddes ásis que umplen los reles on dos operiones definids: l diión y l multipliión), xioms de orden que estleen los riterios pr omprr números, identifindo uándo un número es myor, menor o igul que otro, y un xiom de ompletitud que nos permite introduir los números irrionles y estudir ls propieddes de ontinuidd de los números reles Axioms de mpo En el onjunto de los números reles están definids dos operiones l diión (+) y l multipliión, ells stisfen los siguientes xioms: L prej (R, +) es un grupo elino, esto signifi que C1. Si, son números reles, entones + es un número rel 8. C2. Propiedd soitiv de l diión: Si,, son números reles, entones form, los teorems se demuestrn prtir de los xioms siguiendo un mner de rzonr, sd en l lógi, generlmente, l lógi ivlente o lógi lási. 4 CAMPOS, A. (1994) Axiomáti y Geometrí desde Eulides hst Hilert y Bourki, Universidd Nionl de Colomi, Bogotá 5 MSHANE, E., BOTTS, T. (1970) Análisis Rel, Ed. Aguilr, Mdrid, pp Ver por ejemplo APÓSTOL, T. (1988) Clulus, Vol. I, Segund ediión, Ed. Reverté, Brelon o SPIVAK, M. (1996) Cálulo infinitesiml, Segund ediión, Ed. Reverté, Méxio. 7 No ordremos en detlle l uestión del xiom de ompletez, pues no es relevnte pr rterizr l estrutur lgeri de los números reles. 8 Muhos textos que hen un presentión xiomáti de los números reles exluyen este primer xiom y el nálogo éste on l multipliión, ddo que l determinr l diión y l multipliión omo operiones, en el sentido moderno, no los requieren; sin emrgo, Hilert en su versión xiomáti de, sí los inluye dentro del primer onjunto de xioms; nosotros tmién lo inluiremos ddo que no hemos definido qué es un operión. 2

3 ESTRUCTURAS ANÁLOGAS A LOS NÚMEROS REALES + ( + ) ( + ) + C3. Existe un elemento idéntio pr l diión en el onjunto de los números reles, que notmos 0 y es tl que pr ulquier número rel se umple que: C4. Pr d número rel existe un elemento que llmmos inverso ditivo, y notmos, tl que: + ( ) ( ) + 0. C5. Propiedd onmuttiv de l sum: Si, son números reles, entones + + L operión que llmmos multipliión y que notmos on el signo, es tl que l prej (R {0}, ) es un grupo elino, esto signifi que: C6. Si, son números reles, entones es un número rel. C7. Propiedd soitiv de l multipliión: Si,, son números reles, entones ( ) ( ) C8. Existe un elemento idéntio pr l multipliión el onjunto de los números reles, diferente de ero, que notmos 1, tl que pr ulquier número rel se umple que: 1 1 C9. Pr todo número rel diferente de ero ( 0) existe un número rel que llmmos el inverso multiplitivo de y notmos o 1, de tl mner que C10. Propiedd onmuttiv de l multipliión: Si, son números reles, entones. C11. Propiedd distriutiv de l multipliión on respeto l sum de números reles: Est propiedd estlee un vínulo entre ls dos operiones: Si,, son números reles, entones:

4 EL EJEMPLO BÁSICO: LOS NÚMEROS REALES ( + ) ( ) + ( ) Propieddes de ls operiones on respeto l iguldd entre números reles L iguldd entre números reles es omptile on ls operiones en el sentido de que: Pr todo,,, d números reles, si y d entones + + d y d. A est propiedd l llmmos tmién propiedd uniforme de l diión y l multipliión, respetivmente. Si, son números reles, definimos l sustrión entre y por: Definiiones y l división entre y por: siempre que no se 0. + ( ). 1, Asummos hor, que existe un onjunto de números, donde están definids dos operiones que llmremos, de igul form, sum y multipliión y que umplen los xioms de mpo que hemos enumerdo, on l slvedd de que en el xiom C8 no es neesrio que 1 se diferente de 0, puesto que {0} on l úni operión posile: 0 0 0, es un mpo, el mpo trivil. * * * Los teorems sore ls propieddes lgeris que se umplen en los números reles son válidos en ulquier mpo, puesto que en ls demostriones que hemos usmos omo rgumento, los xioms de mpo y los teorems que de ellos se vn deduiendo y no l nturlez de los números en uestión. * * * En lo que sigue demostrremos lgunos teorems que se umplen en un mpo y usremos l plr número, pr un elemento ulquier de un mpo no trivil. 4

5 ESTRUCTURAS ANÁLOGAS A LOS NÚMEROS REALES Teorems 1. El elemento idéntio de l sum, el ero 0, determindo en el xiom C3 es únio. Prue Supongmos que existen dos números 0 y 0 que umplen el xiom C3, entones y porque 0 es módulo porque 0 es módulo lo que impli que 0 0, por ser los dos igules un mismo número. 2. El elemento idéntio de l multipliión, el uno 1, tmién es únio. 3. Propiedd neltiv de l diión: Si, son números y Prue Como + + entones. + + por l propiedd uniforme de l diión, summos en mos ldos de l iguldd el mismo número y otenemos y por el xiom C2 ( ) + ( + ) ( ) + ( + ) (( ) + ) + (( ) + ) + hor, usmos el xiom C4, pr otener: y por el xiom C3, onluimos que 4. Propiedd neltiv de l multipliión: Si, son números y si on 0, entones. 5

6 EL EJEMPLO BÁSICO: LOS NÚMEROS REALES 5. El inverso ditivo de un número es únio. 6. El inverso multiplitivo de un número es únio. 7. Pr todo pr de números y, si Prue + 0 entones. Como + 0, por l propiedd uniforme de l diión: por el xiom C2 ( ) + ( + ) ( ) + 0 (( ) + ) + ( ) + 0 de uerdo on el xiom C4 0 + ( ) + 0 y finlmente, utilizndo el xiom C3. 8. Pr todo pr de números y, si 0 y 9. Pr todo número se tiene que entones no tiene inverso multiplitivo. Prue Supongmos que el ero si tiene inverso multiplitivo, entones: Por el xiom C Por el teorem 9. Pero esto ontrdie el xiom C8, y por lo tnto no es ierto que 0 teng inverso multiplitivo Pr todo número se umple que si 0, entones 0. 6

7 ESTRUCTURAS ANÁLOGAS A LOS NÚMEROS REALES 12. Pr todo número se umple que si 0, entones 1. Prue 1 Por l definiión de división 1 Por el xiom C Pr todo número, Pr todo número se tiene que Prue Por el xiom C4 semos que y por teorem 7 ( ). ( ) + 0 ( ). 16. Pr todo número se tiene que, si 0, entones Pr todo pr de números y se tiene que Prue ( + ) ( ) + ( ). Por el xiom C4, tenemos que + ( ) 0 7

8 EL EJEMPLO BÁSICO: LOS NÚMEROS REALES y + ( ) 0 Según l propiedd uniforme de l diión y el xiom C3, ( + ( )) + ( + ( )) 0 De uerdo on los xioms C2 y C5, ( + ) + (( )) + ( )) 0 Finlmente, por el teorem 7 y l simetrí de l iguldd: ( + ) ( ) + ( ). 18. Pr todo pr de números y diferentes de ero se tiene que: Pr todo pr de números y se tiene que ( ) ( ). 20. Pr todo pr de números y se tiene que Prue ( ) ( ). [( + ( )] ( ) ( ) + ( ) ( ) Por el xiom C11. 0 ( ) ( ) + ( ) ( ) Por el xiom C4. 0 ( ) + ( ) ( ) Por el teorem 9. 0 ( ) + ( ) ( ) Por el teorem 19 y C10. ( ) ( ) ( ( )) Por el teorem 7. ( ) ( ) Por el teorem 15. 8

9 ESTRUCTURAS ANÁLOGAS A LOS NÚMEROS REALES Pr todo número se tiene que Pr todo número se tiene que, Pr todo número, y se tiene que Prue ( ) + ( ). ( ) + ( ) ( + ( )) + ( + ( )) Por l definiión de sustrión. ( + (( ) + )) + ( ) Por el xiom C2. ( + 0) + ( ) Por el xiom C4. + ( ) Por el xiom C3. Por l definiión de sustrión. 25. Pr todo número, y se umple que 26. Pr todo número y se tiene que 27. Pr todo número se umple que ( ) ( ) ( ). si y sólo si. ( 1). 28. Pr todo pr de números y existe un número x tl que si: 29. Si x y 0 entones + x entones x. x Pr todo número se umple que si 0, entones 0. 9

10 EL EJEMPLO BÁSICO: LOS NÚMEROS REALES 31. Pr todo pr de números y se umple que si 0 y 0, entones 0. Por un rgui lógi, este teorem se puede esriir de otr mner, si 0 entones 0 o 0 en est form, se us lguns vees pr resolver euiones de segundo grdo. Demostremos l segund form. Prue Como 0 y suponiendo 0 entones 1 ( ) 1 0 Por l propiedd uniforme de l multipliión. ( 1 ) 0 Por el xiom C7, teorem 9 y xiom C Por el xiom C9. 0 Por el xiom C Si,,, d son números, y d son diferentes de ero, y si entones d. d 33. Si,,, d son números, y d son diferentes de ero, entones 34. Si 0 y 0, entones Prue. d d. Por el teorem 33 10

11 ESTRUCTURAS ANÁLOGAS A LOS NÚMEROS REALES 11 1 Por el teorem 12 Por C Si,, y d son números, on 0, 0 y d 0, entones d d d. 36. Si,, son números y 0, entones Si,,, d son números, 0 y d 0 entones d d d Si,, son números y 0 entones si 0. Prue. Demostremos primero que: 1 Por el xiom C8. ( ) 1 Por C10 y el teorem 19. ( ) 1 Por los teorems 14 y 33.

12 EL EJEMPLO BÁSICO: LOS NÚMEROS REALES Por el teorem 19 y el xiom C8.. Demostremos hor que: Prue Se ( ) x entones, por el teorem 29, x Por otr prte, si ( ) x, tenemos que:. ( x) Por el teorem 19. ( x) ( ) Por el teorem 15. ( 1) (x) ( 1) ( ) Por el teorem 27. x Por el teorem 4. De donde, x Finlmente,. L iguldd: por el teorem 29.. es onseueni de l trnsitividd. Como vemos, ests propieddes y ls que de ells se deduzn, son válids en ulquier onjunto de números on dos operiones, que por filidd llmmos tmién, sum y multipliión, siempre y undo stisfgn los xioms C1 C11, listdos l omienzo. Un estrutur onformd por un onjunto de números on dos operiones que umpl dihos xioms se llm un mpo 9. Demuestre los teorems enunidos que no hn sido demostrdos. Ejeriio 9 El término mpo y su definiión explíit fue introduido por Rihrd Dedekind en 1879, unque en l or de Ael y Glois, y est implíito. 12

13 ESTRUCTURAS ANÁLOGAS A LOS NÚMEROS REALES 1.2. Otros mpos No es neesrio ir muy lejos pr enontrr otros ejemplos de mpos, usquemos iniilmente l interior de los números reles: 1. Los números rionles, inluyendo los rionles positivos, negtivos y el ero; formn un mpo. 2. L extensión udráti de los números rionles que inluye 2, o se: Q( 2 ) {z x + y 2 : x, y Q} Con l sum omponente omponente y l multipliión dd por (x + y 2 )( z + t 2 ) (xz + 2yt) + (xt + yz) 2 tmién formn un mpo. 3. En relidd ulquier extensión udráti de los números rionles o de un extensión de ellos que inluy k, si est ríz no está en el mpo, es tmién un mpo. 4. Los números onstruiles y sus extensiones udrátis son mpos. 1. Presente otros ejemplos de mpos. Ejeriio 1.3. Cmpos ordendos Axioms de orden En el onjunto diiendo que de los números nturles definimos 10 el orden ditivo entre ellos, si y sólo si existe un nturl tl que +. En los números rionles positivos lo hiimos de mner similr y on los mismos resultdos 11. Pero, undo intentmos plir el mismo método pr definir el orden 10 LUQUE, C., MORA, L., PAEZ, J. (2002) Atividdes mtemátis pr el desrrollo de proesos lógios: Contr e Induir, Universidd Pedgógi Nionl, Ed. Antropos, Bogotá. 13

14 EL EJEMPLO BÁSICO: LOS NÚMEROS REALES en un onjunto que inluyer números negtivos, pree el prolem de que siempre existe un número rel que sumdo on otro nos d ulquier otro y sí, todos los números resultrín menores y myores que todos los demás. Sin emrgo, l posiilidd de rterizr los números reles positivos on respeto ls operiones, pr distinguirlos de los demás 12, nos permite definir un orden pr los números reles. Así, un mner pr definir un orden en un mpo, es estudir l posiilidd de enontrr un suonjunto de éste, que teng ls misms propieddes que ls de los números reles positivos en los números reles. Supongmos entones, que existe un suonjunto P de un mpo, que llmmos el onjunto de los números positivos, de tl mner que l sum de dos números positivos se positiv y el produto de positivos tmién se positivo, que el 0 del mpo, no se positivo y todo número del mpo diferente de 0, se positivo o su inverso ditivo se positivo. Ests rterístis del onjunto de los números positivos los sumiremos omo xioms y, omo nos permiten definir un orden entre los elementos del mpo, que es omptile on ls operiones, en un sentido que lrmos más delnte, los llmmos xioms de orden. Simólimente, O1. Si, son números positivos entones: + y son números positivos. O2. Si es un número, entones sólo un de ls siguientes firmiones es iert: P, 0, P Este xiom se onoe omo ley de triotomí Definiiones 1. < signifi que es un número positivo. < se lee menor que 2. > signifi que <. > se lee myor que 3. signifi que < o. se lee menor o igul que 4. signifi que > o. se lee myor o igul que 11 LUQUE, C., MORA, L. (2001) Un proximión los números rionles positivos, Universidd Pedgógi Nionl. 12 LUQUE, C., MORA, L., TORRES, J. (2004) Un presentión de los números negtivos. En: Memoris XIV Enuentro de geometrí y sus pliiones y II Enuentro de Aritméti. Universidd Pedgógi Nionl. 14

15 ESTRUCTURAS ANÁLOGAS A LOS NÚMEROS REALES Un onseueni inmedit de ls definiiones es que > 0 si y sólo si es positivo Deimos que es negtivo si < 0, y si 0 se die que es no negtivo. 39. L relión < es trnsitiv; es deir, que si Teorems < y < entones <. 40. L relión es un orden totl en el mpo: si y son números 13, se umple extmente un de ls siguientes situiones: <,, < Puesto que el número umple extmente un de ls situiones: > 0, 0, < L relión es reflexiv. 42. L relión es ntisimétri. 43. L relión es trnsitiv. Deimos que un relión de orden es omptile on ls operiones sum y multipliión en un mpo, o que el mpo es un mpo ordendo, si se umplen ls propieddes: 44. Monotoní de l diión. Pr todo pr de números x, y, si pr todo número z. x < y entones x + z < y + z, Prue Supongmos que x < y, entones y x P; por el xiom C3, tenemos que (y x) + 0 P 13 Aquí l plr número reemplz un elemento de un mpo ordendo, no trivil. 15

16 EL EJEMPLO BÁSICO: LOS NÚMEROS REALES o lo que es igul, por el teorem 23, (y x) + (z z) P pr un número z ulquier; y por los xioms C2, C5 y l definiión de sustrión, nos qued (y + z) (x + z) P lo que signifi que x + z < y + z. 45. Monotoní de l multipliión: Pr todo pr de números x, y, si pr todo número positivo z. x < y, entones x z < y z, En un mpo ordendo no trivil tmién se umple: 46. Pr todo pr de números x, y, si pr todo número negtivo z > 0. Esto signifi que 1 P. Prue x < y, entones x z > y z, Supongmos que 1 P entones, o ien 1 P Por el xiom O2. ( 1) ( 1) P Por el xiom O1. ( 1) ( 1) 1 1 P Por el teorem P Por el xiom C8. lo que ontrdie l hipótesis; o ien 1 0 Por el xiom O2. 16

17 ESTRUCTURAS ANÁLOGAS A LOS NÚMEROS REALES lo que ontrdie el xiom C8. Por lo tnto 1 P, o lo que es lo mismo 1 > Pr todo número, si > 0 entones 1 > Pr todo número, si < 0 entones 1 < Pr todo pr de números y, se umple que si Prue P y P > 0 y < 0 entones < 0. Por hipótesis. ( ) P Por el xiom O1. ( ) ( ) P Por el teorem 19. ( ) P Por el xiom O2. Por otr prte, omo 0 y 0, 0 Por el teorem 31. Luego, < 0 Por el xiom O Pr todo pr de números y, se umple que si > 0 entones > 0 y > 0 o < 0 y < Pr todo pr de números y, se umple que si < 0 entones > 0 y < 0 o < 0 y > Pr todo número, si 0 entones 2 > 0. 17

18 EL EJEMPLO BÁSICO: LOS NÚMEROS REALES Prue 0 Por hipótesis. P o P Por el xiom O2. Si P, 2 P Por el xiom O1. esto signifi que 2 > 0. Si P, ( ) ( ) P Por el teorem 20 y el xiom O1. esto signifi que 2 > Pr todo pr de números y, se umple que si < entones >. En resumen, hemos demostrdo que en ls desigulddes en un mpo ordendo:. Podemos sumr los miemros orrespondientes de dos desigulddes del mismo sentido y otendremos un desiguldd del mismo sentido. Podemos sumr (o restr) ntiddes igules mos miemros de un desiguldd y otendremos un desiguldd del mismo sentido. Podemos multiplir o dividir mos miemros de un desiguldd por un número positivo y otendremos un desiguldd del mismo sentido. Un difereni en el omportmiento de ls desigulddes, on respeto ls igulddes, omo suede on los números reles, es que undo se multiplin o dividen por un número negtivo, tenemos que mir el sentido de l desiguldd. 55. L densidd de los números de un mpo ordendo: Pr todo pr de números x y y, si x < y, existe un número z, tl que x < z < y 18

19 ESTRUCTURAS ANÁLOGAS A LOS NÚMEROS REALES Prue x < y Por hipótesis. x + x < y + x Por el teorem 42. x + y < y + y Por el teorem 42. Así, 2 x < y + x < 2y Por el xiom C5 y el teorem 39. y + x x < 2 Por tnto, existe un número z < y Por xiom C7, C9 y el teorem 45. y + x 2 tl que x < z < y. Ejeriio Demuestre los teorems enunidos que no hn sido demostrdos Ejemplos de mpos ordendos Los mpos enunidos nteriormente son mpos ordendos, por estr inmersos en el mpo ordendo de los números reles, tienen l mism relión de orden. Presente ejemplos de mpos ordendos. Ejeriio 1.5. Dominios de integridd Si usmos un poo más dentro de los números rionles, por ejemplo en los números enteros, perdemos un propiedd ási; y no se umple el xiom C9, es deir que y no todos los números enteros tienen un inverso multiplitivo; de heho, sólo los números 1 y 1 lo tienen. En su lugr tenemos lgo más déil, l propiedd neltiv de l multipliión de números enteros; est propiedd, es equivlente l teorem 31, pues si,, son números enteros y se umple que 0 entones 0 o 0 19

20 EL EJEMPLO BÁSICO: LOS NÚMEROS REALES podemos demostrr l propiedd neltiv, suponiendo que y que 0, entones, por el teorem 28, y por el teorem 25, de donde, por el teorem 31, y por lo tnto de nuevo, por el teorem 28. ( ) ( ) 0 ( ) 0 0, Y vievers, si suponemos que en un onjunto on dos operiones, sum y multipliión, se umplen todos los xioms C1 l C11, exepión del C9, entones si se umple l propiedd neltiv de l multipliión tmién se umple que 0 impli 0 o 0 Ejeriio Demuestre que 0 impli 0 o 0, suponiendo l propiedd neltiv, sin her uso del xiom C9. L estrutur resultnte de sustituir en los xioms de mpo el xiom C9 por l propiedd neltiv de l multipliión, o equivlentemente sumiendo el teorem 31 omo xiom, se onoe omo dominio de integridd o dominio entero 14. Por supuesto, el primer ejemplo y el modelo de ellos es el onjunto de los números enteros. En un dominio de integridd se onservn tmién ls propieddes de l uniformidd de l iguldd on respeto l diión, l multipliión y l definiión de sustrión. Algunos de los teorems que y hemos demostrdo sore ls propieddes lgeris que se umplen en un mpo, son válidos en un dominio de integridd; espeífimente, quellos teorems que no inluyen en su enunido o demostrión el xiom C9 o lgun de sus onseuenis. Por ejemplo, el teorem 9 que enuni: 14 LENTIN, A.; RIVAUD, J. (1971) Álger Modern, Terer ediión, Ed. Aguilr, Mdrid, p

21 ESTRUCTURAS ANÁLOGAS A LOS NÚMEROS REALES Pr todo pr de números y, si 0 y 1 entones 1, no se umple en un dominio de integridd, pues en su demostrión se requiere de l existeni del inverso multiplitivo de, y l propiedd neltiv de l multipliión no es sufiiente pr suplir este requerimiento. Enuniremos hor lgunos teorems, derivdos de los xioms de un dominio de integridd, que oiniden on los enunidos pr un mpo y uys demostriones son similres, undo no igules ls y dds; esto on el propósito de insistir en que los teorems que umplen los números no dependen de su signifido, sino de ls propieddes que los definen Teorems válidos en un dominio de integridd D1. El elemento idéntio de l sum, el ero 0, es únio. D2. El elemento idéntio de l multipliión, el uno 1, tmién es únio. D3. Propiedd neltiv de l diión: Si, son números y + + entones. D4. El inverso ditivo de un número es únio. D5. Pr todo pr de números y, si + 0 entones. D6. Pr todo número se tiene que 0 0. D7. Pr todo número se tiene que ( ). D8. Pr todo pr de números y se tiene que ( + ) ( ) + ( ). D9. Pr todo pr de números y se tiene que ( ) ( ). 21

22 EL EJEMPLO BÁSICO: LOS NÚMEROS REALES D10. Pr todo pr de números y se tiene que ( ) ( ). D11. Pr todo número se tiene que 0. D12. Pr todo número se tiene que, 0. D13. Pr todo número, y se tiene que ( ) + ( ). D14. Pr todo número, y se umple que D15. Pr todo número y se tiene que D16. Pr todo número se umple que ( ) ( ) ( ). si y sólo si. ( 1). D17. Pr todo pr de números y existe un número x tl que si: + x entones x. Ls demostriones de estos teorems son idéntis ls que se relizron on los mismos teorems en un mpo. A mner de ejemplo, vemos l demostrión del teorem D15, que orresponde l teorem 25 de un mpo: Prue ( ) ( + ( )) Por l definiión de sustrión. ( ) + ( ( )) Por el xiom C11 ( ) + ( ) Por el xiom C10 y el teorem D9 ( ) ( ) Por l definiión de sustrión. 22

23 ESTRUCTURAS ANÁLOGAS A LOS NÚMEROS REALES En el so en que existn inversos multiplitivos pr lgunos elementos en un dominio de integridd, los teorems enunidos pr los mpos, reltivos ellos, son válidos pr estos elementos Dominios de integridd Ordendos El orden ditivo de los números enteros Pr definir un orden sore el onjunto Z de los números enteros, podemos elegir dos minos que son equivlentes. El primero, es usr el orden definido en los números reles prtiulrizndo en los números enteros, en uyo so el onjunto de los números enteros positivos oinide on el onjunto de los números nturles exluyendo el ero. El segundo mino 15 es usr de mner diret el onjunto de los números nturles pr definir que es menor o igul que o tmién que es myor o igul que y lo notmos si y sólo si existe un número nturl tl que +. Notemos que el número es un nturl, no un entero ulquier, pues si sí fuer, todos los números serín menores o igules que ulquier otro, trivilizndo l relión. Est es un relión de orden, pues umple ls propieddes: i. Reflexiv: pr todo número entero se umple que. Prue El primer xiom de Peno 16 grntiz que el 0 es un número nturl y l propiedd modultiv de l sum firm que pr todo número nturl, se tiene que + 0, por lo tnto pr todo número entero. 15 Preferimos quí est form de presentión, porque nos permite definir otr relión en los números enteros, mindo l operión sum por l multipliión, riendo posiiliddes pr l onstruión de nuevs estruturs, omo veremos en el siguiente pítulo. 16 En ests demostriones empleremos el sistem xiomátio de Peno pr los números nturles, propuest en Peno señló omo términos primitivos, número nturl, el número 0 y el onepto de suesor, y ino xioms: (1) 0 es un número nturl, (2) el suesor de ulquier número nturl n es un número nturl, n +, (3) Dos números nturles diferentes no tienen nun el mismo suesor, es deir que si k n entones k + n +, (4) 0 no es suesor de lgún número nturl y (5) Si P es un propiedd tl que i) 0 tiene l propiedd P y ii) siempre que un número n tiene l propiedd P impli que su suesor n + tmién tiene l propiedd P, entones todo número nturl tiene l propiedd P. 23

24 EL EJEMPLO BÁSICO: LOS NÚMEROS REALES ii. Antisimétri: ddos dos números enteros ulesquier y, si se umple que y tmién se umple que entones dee umplirse que. Prue Si se umple que entones existe un número nturl tl que +, y si demás se umple que, existe tmién un número nturl d tl que + d. Si reemplzmos en l segund iguldd, otenemos: ( + ) + d plindo ls propieddes soitiv y neltiv de l diión de números enteros, l iguldd se onvierte en + d 0 lo que impli que d 0, porque si no fuer sí y uno de ellos, por ejemplo d fuer diferente de 0, existirí un número nturl p tl que p + d y entones + d + p + ( + p) + 0 lo que signifirí que 0 es suesor de ( + p), lo que ontrdie el 4 xiom de Peno. iii. Trnsitiv: ddos números enteros ulesquier, y, si se umple que y tmién se umple que entones dee umplirse que. Prue Si se umple que entones existe un número nturl k tl que + k, y si demás se umple que, existe tmién un número nturl d tl que + d. Si reemplzmos en l segund iguldd, otenemos: ( + k) + d plindo l propiedd soitiv de l diión, l iguldd se onvierte en + (k + d) 24

25 ESTRUCTURAS ANÁLOGAS A LOS NÚMEROS REALES lo que signifi que, puesto que (k + d) es un número nturl. Este es un ejemplo de orden totl o linel donde ddos dos elementos ulesquier y del onjunto siempre se tiene que: ó. Est relión de orden definid pr los números enteros respet ls operiones definids entre ellos, en el sentido de que se umplen ls propieddes de: i. Monotoní de l diión: Ddos números enteros ulesquier,, y d si y d entones: + + d Prue: Si entones existe un número nturl k tl que: + k Si d entones existe un nturl n tl que: Sumndo ls dos euiones: + n d ( + k) + ( + n) + d y plindo ls propieddes soitiv y onmuttiv de l sum, tenemos: Lo que signifi que: ( + ) + (k + n) + d + + d puesto que (k + n) es un número nturl. ii. Monotoní de l multipliión: Ddos,, números enteros, si y es un número nturl entones. Prue Si existe un nturl k tl que + k. 25

26 EL EJEMPLO BÁSICO: LOS NÚMEROS REALES Multiplindo est iguldd por, y plindo l propiedd distriutiv de l multipliión on respeto l sum otenemos: + k y omo k es un número nturl, esto signifi que: iii. Ddos, números enteros y un número nturl distinto de ero, si entones. Prue Supongmos que es ierto que pero que no es iert l onlusión; entones dee ser ierto que < y por lo tnto existe un nturl d (diferente de 0) tl que + d y si multiplimos est iguldd por un nturl diferente de 0 y plimos l propiedd distriutiv de l multipliión on respeto l sum otenemos que + d es deir que <, ontr lo que hímos supuesto. Entones no es posile que < y, por lo tnto,. El orden ditivo de los números enteros stisfe los teorems 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 52, 53 y 54 enunidos pr los mpos ordendos, los restntes no se umplen por estr referidos inversos multiplitivos, que no existen en los números enteros, ni en generl en los dominios de integridd. Un dominio de integridd donde esté definido un orden totl que se omptile on ls operiones, se denomin un dominio de integridd ordendo; nuestro primer ejemplo, por supuesto, es el dominio de integridd ordendo de los números enteros. 26 Ejeriio Propong forms pr definir reliones de orden omptiles on ls operiones en un dominio de integridd. Un suonjunto de los números enteros del que se esperrí que tuvier un uen estrutur lgeri es el onjunto de los números nturles, pues sirve omo fundmento en l onstruión de los otros tipos de números; sin emrgo, deido

27 ESTRUCTURAS ANÁLOGAS A LOS NÚMEROS REALES que su sum no tiene un estrutur de grupo elino, por reer de inversos ditivos, su estrutur no tiene un nomre prtiulr dentro del álger strt usul. En el siguiente pítulo, definiremos l relión de divisiilidd entre números enteros usndo l multipliión en lugr de l sum, lo que nos ondue onstruir otros ejemplos de mpos y nuevs estruturs (en este so, finits). 27