PROBLEMAS RESUELTOS SÓLIDO RÍGIDO

Transcripción

1 U POBEMS ESUETOS SÓIDO ÍGIDO Equipo docente ntonio J Babeo, lfonso alea, Maiano Henández. Escuela Técnica Supeio de gónomos (lbacete) Pablo Muñiz, José. de Too E.U.Ingenieía Técnica gícola (iudad eal) Depatamento Física plicada U

2 POBEM U En el esquema pesentado al magen la elocidad F de la pesa unida a la polea fija F es cm/s. Detemine la elocidad M de la pesa unida a la polea móil M. O M E 5 cm F omo el cento de la polea fija no se muee, el tamo de cable etical situado ente las dos poleas (tamo DE) se muee hacia aiba con elocidad F (estamos suponiendo que el cable es inextensible). Esto significa que el punto D de la polea móil también se muee hacia aiba con elocidad F. M cm Po ota pate, el tozo etical de cable unido al techo (tamo IO) está fijo, y el punto I también está fijo, su elocidad I es nula. Es deci, conocemos la elocidad de dos puntos de la polea móil ( I =, D = F ) y esto nos pemite calcula la elocidad angula de la polea móil y la elocidad de su cento, a la cual llamaemos. Esta elocidad es igual a la elocidad M de ascenso de la pesa colgada de la polea móil. I D F

3 POBEM (ontinuación) alculamos elocidad angula: = + = + ω D I D / I Datos M I = D = F j D / I = I D / I M i ω = ω k El poducto ectoial ω D / I tiene sentido j F ω = M D = F j = ω M j F ω = k álculo de M = I + / I = I + ω / I F F = k M i j = M = F M D F / I I D I D cm M M = M = cm/s = j (cm/s) D = F Y Z M X ω M 3 D D / esultados numéicos cm/s ω = k = k (ad/s) cm cm/s = j = j (cm/s) U I

4 POBEM U En el mecanismo del dibujo se sabe que en el instante mostado la baa B gia en sentido hoaio a. ad/s. Detemínese la elocidad angula de la baa B y la elocidad lineal de la coedea que se muee a lo lago de la anua. B 3 cm. ad/s 4 cm 4 cm Y Se conoce la elocidad angula ω B =. ad/s, y también se sabe que =, ya que el punto está fijo. on especto al sistema coodenado de la figua, y fijando el oigen de coodenadas en el punto 3 cm B /. ad/s B = (.4 i +.3 )m ω =.k ad/s B / j B Z X 4 cm 4 cm 4

5 POBEM (ontinuación) on esta infomación puede deteminase la elocidad B : B, está en eposo B = + B / = ωb B / i j k =. = (.6 i.8 j )m/s.4.3 U a elocidad angula ω B es desconocida, peo se sabe que su diección es la del eje Z pues el moimiento del mecanismo ocue en el plano XY, po lo tanto ω B = ωbk demás, la elocidad del punto debe tene la diección del eje X, ya que se muee en la anua hoizontal Y 3 cm B / / B = / B /. ad/s = B + / B = B + ωb / B B = (.8,,) (.4,.3,) = (.4,.3,) / B =.4 i / B =.3 j i Z X 4 cm 4 cm 5

6 POBEM (ontinuación) U = i = B + / B = B + ω B / B = (.6 i.8 j ) i j k + ωb.4.3 = i (.6 i.8 j ) + ωb = (.3ω i +. 4ω j ) =.8.4 =. ad/s = =. m/s B ω B = ω B B k = Igualando componentes:.6 +.3ωB =.8 +.4ω = =.k ad/s i =. i m/s B Sentido antihoaio 6

7 POBEM 3 U Una baa delgada de longitud desliza a lo lago de dos guías, una etical y ota hoizontal, según se indica en el esquema. Detemina la elocidad del extemo y la elocidad angula en función del ángulo. Dato: la elocidad el extemo B es. POEDIMIENTO Eligiendo B como efeencia, el moimiento de la baa es equialente a una taslación más una otación alededo de B. B B + / B ω B (fijo) B / B = + / B 7

8 POBEM 3 (ontinuación) U a diección de / B es pependicula a la baa Velocidad angula / B tan = 9º baa / B ω / B / B = ω = ω / B = ω sin 9 = ω / B = = ω cos = tan = tan j cos = / B B (fijo) ω = cos ω = k cos 8

9 POBEM 3 (ontinuación) POEDIMIENTO ω = ωk B Y Z = B + / B = B + ω / B / = = B = X i + ( sin i + cos j ) i sin j cos Igualando componentes: k ω = Puesto que se desplaza hacia abajo, su elocidad no tiene componente hoizontal = ( ω cos ) i ω sin j ω cos = j ω = cos = ω sin = tan ω = k j cos = tan 9

10 POBEM 4 Un caete cilíndico de cm de adio y kg se desenolla po efecto de la gaedad. Detemine la elocidad de su después de que se haya desenollado m de cueda (suponga que la cueda no desliza a medida que el caete baja). Enegía cinética total del caete: Masa del caete Velocidad del en un instante dado E Enegía cinética del Enegía cinética de = + moimiento del = m + Iω otación especto = ω E = m ω + Iω = m + I medida que la cueda se desenolla se cumple ( ) ( ) ω = U ( m + I ) ω = mgh Velocidad angula en el mismo instante Momento de inecia especto al Suponiendo que el caete patió del eposo, la enegía cinética se ha incementado desde hasta E, a expensas de disminui la enegía potencial en U=-mgh. E Po lo tanto la elocidad de es aete cilíndico I = m = ω mgh = m ( 3/ ) + I mgh mgh 4 = = gh = m + I m Véase que en el esultado no influyen ni la masa ni el adio del caete h = m = 3.6 m/s

11 POBEM 5 En un campeonato de bolos el expeto jugado Pedo Picapieda lanza la bola con una elocidad de 8 m/s. Inicialmente la bola tiene elocidad angula nula y desliza sin oda po el piso de la bolea, donde el coeficiente de ozamiento dinámico es µ =.5. uánto tiempo tadaá la bola en comenza a oda sin deslizamiento, y qué distancia ecoe hasta ese momento? I = / 5 m Momento de inecia de una esfea especto a un diámeto: ( ) Sean m, la masa y adio de la bola. uando la bola toma contacto con el piso (punto P), a su moimiento se opone la fueza de ozamiento dinámica F, ya que la bola desliza (hay elocidad elatia ente el punto de contacto y el suelo). Dicha fueza F educe pogesiamente la elocidad del (inicialmente = 8 m/s), y al mismo tiempo cea un momento especto al que hace que la bola empiece a gia, de modo que su elocidad angula ω cece mientas que la elocidad de su se educe. Hasta cuando se mantiene esta situación? a causa de la ficción dinámica es que el punto P tiene elocidad elatia especto al suelo. Peo en el momento en que se alcanzan unos aloes f y ω f que cumplen la condición f = ω f (condición de odadua) esto deja de ocui: P está instantáneamente en eposo especto al suelo. Po lo tanto la fueza de ozamiento dinámica deja de influi, y a pati de ese momento la bola odaá (ya no desliza). Deteminación de la elocidad del en función del tiempo antes de la odadua: F = µ N = µ mg Mientas due el deslizamiento esta fueza oigina un moimiento unifomemente etadado cuya aceleación es: Po lo tanto la elocidad en función del tiempo es: F a = = µ g =.45 m/s m ( t) = + at = µ gt = 8.45t (m/s) F F P ω P N

12 POBEM 5 (ontinuación) demás, la fueza F cea un momento especto al cuyo módulo es τ = F = µmg De acuedo con la ecuación fundamental de la dinámica de otación especto al y α es la aceleación angula. τ I α = µ mg τ µ mg 5µ g α = = = I y está asociado con un gio hoaio. =, donde I es el momento de inecia ( /5) m Esta es la aceleación angula mientas dua el deslizamiento: gacias a ella la elocidad angula cece desde hasta ω f = f / en el momento en que se inicia la odadua (alo de eocidad angula que se mantiene posteomente si se considea despeciable la esistencia a la odadua). Mientas dua el deslizamiento En el instante de comienzo de la odadua, una ez tanscuido un tiempo t f : elación ente ambas: f = ω f 5µ g ω ( t) = α t = t f Velocidad lineal del = µ gt = 8.45t f f 5µ g µ gt f = t f Velocidad angula 5µ g ω f = t f t = =.93s f 7 µ g Velocidad del en ese instante: f = µ gt f = = 5.7 m/s Se tata de un moimiento unifomemente etadado donde el espacio ecoido es: x f = f a 5.7 = 8 (.45) = 6.38 m

13 POBEM 6 Un cilindo macizo de masa m y adio ueda sin desliza a lo lago de un plano inclinado un ángulo sobe la hoizontal. En el punto más alto la elocidad del es. Haciendo uso del concepto de momento angula, calcule la elocidad del y la elocidad angula del cilindo en cualquie instante posteio. Detemine también cual es el alo mínimo del coeficiente de ozamiento ente el plano inclinado y el cilindo paa que éste caiga efectiamente odando sin desliza. Elegimos como efeencia el punto P de contacto ente el cilindo y el plano inclinado. Si ueda sin desliza, este punto de contacto P es el I, y su elocidad elatia a la supeficie inclinada es nula (aunque su aceleación no es nula). Momento angula especto al punto P: Velocidad angula = I ω ( k ) P = + m = j i m = = m( k ) mg cos F P N mg sin mg Z Y X Momento inecia especto al Velocidad del P = + m = ω ( I + m)( k ) = ω ( + m )( k ) I Si ueda sin desliza = ω 3

14 POBEM 6 (ontinuación) Momento de las fuezas especto al punto P: la única que cea un toque es la componente mgsin. d P Ecuación fundamental de la dinámica de otación: τ P = dt τ P = j mg sin i τ = mg sin k a caída del cilindo es un moimiento bidimensional en el plano XY. Todos los ectoes axiales están diigidos según Z. P ( ) Po eso podemos establece la siguiente elación ente los módulos: τ P = d P dt dω = α = dt mg sin mg sin I + m (Véase que la aceleación angula es constante) d[ ( I + m )] = ω d = ( I + m ) dt ω dt mg sin dω = I + m ω t dt ω mg cos F P N mg sin mg Z Y X Puesto que consideamos que ya en el punto más alto el cilindo ueda sin desliza debe eificase mg sin ω = + t = I + m + ( / ) mg sin m + m t ω = + ω = / g sin 3 t = + I mg sin t + m = mg sin + ( / ) m + m t = + g sin t 3 4

15 POBEM 6 (ontinuación) Se poduciá odadua mientas que la fueza de ozamiento sea infeio al alo máximo posible de ozamiento estático µn (N = mgcos). F < µn ondición paa odadua F P N N = mg cos F = mg sin plicando la ª ley de Newton: Momento ceado especto al punto de contacto P po la componente del peso paalela a la supeficie del plano inclinado: α F = I P F α = F I P F F = a = α F = F ma = F m I F = F ma = F m = (3/ ) m P mg sin 3 ma Paa que haya odadua F < µn mg sin < µ mg cos 3 µ > tan 3 5

16 POBEM 7 Un todoteeno con tacción en las cuato uedas está paado en una calle donde el coeficiente de ozamiento estático ente neumático y asfalto ale µ =.75. Si se pone en macha, cuál es el alo máximo posible de su aceleación sin que las uedas patinen?. a aceleación máxima de aance coesponde al ozamiento estático máximo ente las uedas y el asfalto. El moto del ehículo hace gia las uedas y, mientas éstas no esbalen, la fueza de ozamiento estática F, que se opone a la fueza que la supeficie de los neumáticos en contacto con el asfalto hacen sobe él, impulsa el ehículo hacia delante. Téngase en cuenta que la pate infeio de los neumáticos hace sobe el paimento una fueza diigida hacia atás. Es deci, la fueza de ozamiento estática detemina el moimiento del todoteeno hacia delante poque es la única fueza extena exteio que actúa en sentido hoizontal. Hay cuato puntos de contacto con el suelo, uno po cada neumático. Paa simplifica supondemos que el peso Mg del ehículo se epate po igual ente ellos, y que las cuato fuezas de ozamiento son iguales. N F = µ µ Mg 4 = 4 F = 4F = Ma µ Mg = Ma 4 Fueza de ozamiento ente cada neumático y el suelo ª ley de Newton: Mg F N 4 F a = µ g = = 7.35 m/s omentaio: si las uedas esbalasen sobe el teeno, entonces había elocidad elatia ente la supeficie infeio del neumático y el asfalto. Esto daía luga a un ozamiento dinámico, la fueza coespondiente también estaía diigida hacia delante, peo como el coeficiente dinámico es infeio al estático, la aceleación esultante seia meno. 6

17 POBEM 8 Un automóil iaja a 6 km/h po una caetea ecta y llana. De impoiso una caballeía cuza la caetea 5 m po delante del ehículo. Suponiendo que el conducto eaccione de foma instantánea y aplique el feno de inmediato, cómo le coniene hacelo paa eita el atopello, de foma busca bloqueando las uedas o de manea suae peo fime de manea que las uedas ueden sin desliza? Suponga que los fenos actúan po igual sobe las cuato uedas del ehículo y que los coeficientes de ozamiento estático y dinámico son, espectiamente, µ E =.6 y µ D =.35. aso de fena buscamente, bloqueando las uedas as uedas se deslizan sobe el asfalto y la fueza esponsable de la desaceleación seá el ozamiento dinámico. Suponiendo que el peso se epate po igual ente las cuato uedas, la fueza de ozamiento dinámica en cada una es 4F D = Ma D = a D x D = 6 km/h = 35 m/s Mg = 4µ D ad µ Dg 4 F N = µ D = 4 D µ D = = = 3.43 m/s Esta aceleación tiene sentido negatio, y hace disminui la elocidad de coche; el espacio ecoido hasta detenese seá: = (finalmente se detiene) x D 35 = = = 78.6 m a 3.53 D Mg 4 a fueza total que actúa sobe el ehículo es 4 F D F D Mg N F D 7

18 POBEM 8 (ontinuación) aso de fena suaemente, de modo que las uedas ueden sin desliza a fenada se debe a la fueza de ozamiento estática. Suponiendo, como antes, que el peso se epate po igual ente las cuato uedas, la fueza de ozamiento en cada una es: F N µ E = 4 Mg 4 E = µ E a fueza total que actúa sobe el ehículo es 4 F E 4F E = Ma E Mg = 4µ E ae µ Eg 4 = = = 5.88 m/s Esta aceleación también tiene sentido negatio, y hace disminui la elocidad del coche; el espacio ecoido hasta detenese seá: = a E x E x D 35 = = = 4. m a 5.88 E Véase que en el pime caso la distancia de fenada es mayo que la distancia al obstáculo (5 m), mientas que en el segundo caso puede eitase el atopello. 8

19 POBEM 9 U Una baa delgada y homogénea de longitud y peso está aticulada al suelo en su extemo infeio O. Inicialmente se encuenta colocada eticalmente y en eposo (éase figua). En un momento dado empieza a cae moiéndose en el plano etical de la figua. Se pide: a) b) Su elocidad angula y su aceleación angula en función del ángulo fomado con la etical. epeséntense gáficamente elocidad y aceleación angula en función del ángulo. as componentes nomal y tangencial de la eacción en O en función del ángulo fomado con la etical. epeséntense gáficamente ambas componentes en función del ángulo. O Supóngase ausencia de ficción en la aticulación. 9

20 POBEM 9 (ontinuación) U En ausencia de ozamiento se consea la enegía mecánica. Veamos la enegía mecánica cuando la baa estaba etical (), y cuando se encuenta fomando un ángulo (). El.M, que al pincipio ocupaba la posición, pasa a ocupa la posición. U U + + K = U K = ( cos ) / patado a) ω O Niel de efeencia de enegía potencial ( cos ) cos α K = I O ω (otación) F n F t DS en un instante cualquiea.

21 POBEM 9 (ontinuación) U Momento de inecia especto al extemo O DETEMINIÓN VEOIDD NGU K = I O ω = 3 g ω 3 g ( cos ) U = = ω = K 3g ω = cos ( ) 3g ω = cos ( ) ÁUO EEIÓN NGU: POEDIMIENTO Tomando momentos de las fuezas especto al punto O (éase DS) sólo queda el momento coespondiente al peso: τ O = sen Ecuación fundamental dinámica otación: τ I α O = O sen = α 3 g 3g α = sen

22 POBEM 9 (ontinuación) U ÁUO EEIÓN NGU: POEDIMIENTO dω α = dt dω d dω = = ω d dt d elación ente ω y 3g ω = cos ( ) dω 3g = d sen 3g epesentación gáfica de la elocidad angula y de la aceleación angula en función del ángulo ( cos ) 3g sen 3g = α = sen ω ω Unidades 3g α Unidades 3g (º)

23 POBEM 9 (ontinuación) U ÁUO EIÓN NOM patado b) a difeencia ente la componente del peso paalela a la baa cos y la eacción nomal F n debe se igual a la fueza centípeta F c. F g c = ω = ω g = cos 3g ω = cos ( ) F n F c F = cos c F n 3 g 3 = ( cos ) = ( cos ) g F n = ( 5cos 3) 3

24 POBEM 9 (ontinuación) U ÁUO EIÓN TNGENI a suma de fuezas tangenciales actuando sobe el.m. de la baa que cae ha de se igual a su masa po la aceleación tangencial (ª ley de Newton aplicada a la componente tangente). sen F = g t a t a aceleación tangencial del.m. es = a t = F t = α = α sen α g sen 3g α = sen F t = g 3g sen F t g a t F t = 4 sen 4

25 POBEM 9 (ontinuación) U epesentación gáfica de las eacciones en O F n = ( 5cos 3) F t = 4 sen F t Unidades F n Unidades (º) Qué significado debe atibuise al hecho de que paa algunos aloes de ángulo las eacciones sean negatias? -4 5

26 POBEM U Una ailla delgada de peso y longitud que se encuenta apoyada en una paed y un suelo lisos se desliza hasta que finalmente cae al suelo (considéese que todo el moimiento tiene luga en el plano de la figua). En el instante pesentado en el esquema, cuando el ángulo fomado po la pate supeio de la ailla con la paed es, su elocidad angula es ω (al tiempo que desliza sobe el suelo y la paed, la ailla está giando en sentido contaio a las agujas del eloj). Detemine la aceleación del de la ailla y su aceleación angula. ω B Y Z N X ω α = αk α N B B Fuezas que actúan: DS celeación del : ª ley de Newton: a F F x y Masa de la ailla: m = = a i + a x y j = N = m ax = NB = m ay Ecuación de momentos especto al : τ = N sin(9 ) + NB sin = Iα 6 g Estas dos componentes catesianas son desconocidas; hay que calculalas. + I = m

27 POBEM (ontinuación) Tenemos tes ecuaciones Y Z N X / ω α = αk α N B B N N = m a x = m B a y NB sin N cos = Iα y 5 incógnitas N N, a, a,α, B x y Paa esole esto, necesitamos dos elaciones adicionales, que obtendemos del hecho de que el extemo esbala hacia abajo a lo lago de la paed (y po eso no tiene aceleación según el eje X) y del hecho de que el extemo B esbala hacia la deecha sobe el suelo (y po tanto no tiene aceleación según el eje Y). celeación del especto de : ( i sin cos ) / = j a = a + α / ω / a + i sin = a j + a Igualando componentes = a i + a j = a j + j x cos k α y ω = ωk ω sin i + ω 7 U no tiene aceleación según el eje X! cos j ( α cos ω sin ) i + ( α sin + ω cos )j a x = ( α cos ω sin )i

28 POBEM (ontinuación) U celeación del especto de B: = ω = ωk a ab + α / B ω / B a B no tiene aceleación según el eje Y = a i + a j = a B i x y + ( i sin + cos ) / B = j Y Z N X / ω α = αk α / B N B B i sin a = a B i + j cos k α + ω sin i ω cos j ( α cos + ω sin ) i ( α sin + ω cos )j Igualando componentes a y = ( α sin + ω cos )j as componentes de la aceleación del son a x, a y. Falta detemina la aceleación angula. 8

29 POBEM (ontinuación) U N N = m a x = m B a y NB sin N cos = m sin N = m ( α cos ω sin ) m = ( α sin + ω cos ) N B Iα ( α sin + ω cos ) m cos = mg ( α cos ω sin ) = m α m + 4 m sin + 4 m cos α = mg sin ω sin cos + ω sin cos + α = g sin 4 3g α = sin Momento de inecia especto al I = m a = x ( α cos ω sin ) = ( α sin + ω cos ) a y 9

30 POBEM Demueste que la enegía cinética de un cuepo que ueda sin desliza es la suma de la enegía cinética de otación con especto al eje que pasa po el más la enegía cinética del moimiento lineal del cuepo como si toda su masa estuiese concentada en el. M I especto al I el cuepo odante tiene un moimiento de otación pua; po tanto la enegía cinética de su moimiento es: E ( I) = IIω Teoema de Steine: II = I + M Si ueda sin desliza = ω E ( I) = + ( I M ) ω = I ω + M ω = I M ( ) ω + ω E ( I) = Iω + M Enegía cinética de otación con especto al eje que pasa po el Enegía cinética de taslación del 3