Divulgación. Un modelo para corregir la predicción canónica. Pedro Cervantes-Hernández *

Transcripción

1 Divulgaión Un modelo para orregir la prediión anónia Pedro Cervantes-Hernández * El análisis multivariado es una rama de la estadístia que se enarga del estudio simultáneo de diversos tipos de variables (métrias o numérias y no métrias) (Uriel 999). Los modelos que inluye esta rama son varios y se lasifian en tres grupos: a) modelos de prediión (e.g. Regresión Lineal Múltiple, Correlaión Canónia), b) modelos de ordenaión y/o lasifiaión (e.g. Análisis de Componentes Prinipales, Cluster, Análisis de Correspondenia) y ) la fusión de los modelos a y b (e.g. Análisis de Disriminante, Esalamiento Multidimensional) (Hair et al. 999). De los modelos antes menionados, el que interesa para el desarrollo de este trabajo es el modelo de Correlaión Canónia (CC) de Morrison (97). La CC es un modelo multivariado que se utiliza para predeir simultáneamente dos o más variables dependientes, analizando el efeto que tienen sobre de éstas dos o más variables independientes. El modelo de CC es el siguiente: () + + = n n Donde n son el grupo de las variables dependientes y n son le grupo de las variables independientes. Para que el grupo de las variables dependientes pueda ser predeible simultáneamente on base en un mismo grupo de variables independientes, se neesita un nivel de orrelaión alto y signifiativo en el grupo de las variables n (Calvo-Gómez 993, Dallas 00, Hair et al. 999, Sharon 999). Como se observa en la funión (), el modelo de CC está ompuesto por n euaiones lineales que se onsideran independientes u ortogonales (Dallas 00), esto es, ada euaión lineal predie una únia variable ; n sin embargo, al ejeutar las n euaiones lineales simultáneamente, el modelo adquiere la ualidad anónia. Para validar la prediión simultánea del grupo y n orroborar el efeto de las variables independientes sobre ada una de éstas, se utilizan los siguientes sellos de garantía estadístia: a) Correlaión Canónia (R ): Nivel de asoiaión o de orrelaión entre los grupos d e v a r i a b l e s d e p e n d i e n t e s e independientes. b) Determinaión Canónia ( R )Porentaje de varianza expliada del modelo de CC que se asigna a la prediión simultanea del grupo. n ) Índie de Redundania (Ir): Nivel de asoiaión o de orrelaión entre el grupo de variables dependientes. n Las variables que se onsideran omo dependientes en el área de la investigaión eológia y biológia (e.g. la abundania e índies de diversidad), generalmente están alta y signifiativamente orrelaionadas, por lo que la apliaión de un modelo de CC en esta área de la investigaión, no representa ningún problema, ya que se umplen los supuestos antes señalados. Sin embargo, de auerdo on la prátia, he observado que uanto mayor es Universidad del Mar, Instituto de Reursos, Ciudad Universitaria, ampus Puerto Ángel, Apdo. Postal 47, Puerto Ángel, Oaxaa, 7090, Méxio. Correo eletrónio: ph@angel.umar.mx Cienia y Mar 007, I (3):

2 la redundania entre el grupo de las variables n, la prediión de ada una de éstas resulta no onfiable, aeptándose en todos los asos la hipótesis alternativa Ha: valor esperado valor observado. A través de diversos ensayos en el área de la investigaión eológia y biológia, he orroborado que al aumentar la redundania en un modelo de CC, por ejemplo, en uno de dos variables dependientes y, las euaiones lineales dejan de ser ortogonales y se tornan dependientes una de la otra, ya que al aumentar la redundania, se requiere de para predeir a y vieversa, esto es: () = n = n En los sistemas eológio-biológios, ninguna variable poblaional o ambiental funiona aisladamente, todas están orrelaionadas entre sí, diha orrelaión entre las diferentes variables, se representa en el modelo de CC (), al inorporar en ada euaión lineal el efeto de las demás variables dependientes. El objetivo de este trabajo es dar a onoer un modelo que permita mejorar la prediión de las variables dependientes en los modelos de CC, uando en éste, se registre una alta redundania. Sea ƒ la variable seleionada en el modelo (3): (3) = ƒ = ƒ Al despejar ƒ en ada una de las euaiones lineales en (3), tenemos que: (4) ƒ ƒ Las euaiones lineales se igualan y se realiza la simplifiaión algebraia, de manera que: 3 (5) ( ) = ( ) El proeso de orreión ontinúa despejando las variables y en (5), esto es: () Cienia y Mar 007, I (3): Modelo a desarrollar Sea ƒ una variable independiente seleionada para predeir a y en 3, ƒ se distingue del resto de las variables independientes, ya que la orrelaión de ésta on respeto al grupo de las variables independientes es baja y su variabilidad anual está ondiionada úniamente por el efeto de y. El proeso para orregir la modelaión anónia omienza on la seleión de una variable independiente lave (en este aso es ƒ ), para que a partir de ésta se desarrolle el proeso en uestión. Esto es: Divulgaión 3 y en (), se sustituyen en (4) para generar dos nuevos oefiientes (ƒ: ) y (ƒ: ). Estos nuevos oefiientes se sustituyen por ƒ en (3), para obtener el modelo de CC orregido, el ual es: (7) Ŷ Ŷ ( : ) 33 ( : )

3 Donde: y son el grupo esperado de las variables dependientes onsiderando la orreión. ƒ es la variable independiente seleionada para realizar la orreión. (ƒ: ) es el oefiiente que designa el efeto de sobre en términos de ƒ. (ƒ: ) es el oefiiente que designa el efeto de sobre en términos de ƒ. ij es la j-enésima variable independiente ontenida en la funión anónia i i j es la j-enésima arga anónia orrespondiente a la variable jj ontenida en la funión anónia i. La seleión de la variable independiente on la ual se realiza todo el proeso de orreión del modelo CC, esta en funión de los riterios eológio biológios que ada investigador onsideré según los objetivos y planteamientos de sus investigaiones. Estudio de aso Se utilizó un modelo de CC para predeir r e t r o s p e t i v a m e n t e, l a a b u n d a n i a poblaional del amarón afé Farfantepenaeus azteus (Ives, 89) de junio 98 a septiembre 983, en la región Tamaulipas-norte de Veraruz. El modelo onsidera la prediión de dos índies poblaionales denominados: abundania de relutas (FR) y abundania de reprodutores (DA). Conjuntamente, se analiza el efeto del el esfuerzo de pesa (ƒ i), la preipitaión pluvial (Pp), la temperatura superfiial del mar (TSM) y lorofila a más feofitínas (PIG) sobre los valores esperados de ambos índies poblaionales. Después de orrer el modelo de CC on base en un programa de ómputo espeializado, los resultados que se obtienen se muestran en la Tabla I. De auerdo on ésta última, el modelo de CC generó dos euaiones lineales, éstas se Tabla I.Resultados del modelo de CC para el intervalo de junio de 98 a septiembre de 983. Variables dependientes Euaión lineal Euaión lineal DA FR Variables independientes i Pp TSM PIG identifiaron on base en el valor de arga de manera inversamente proporional en un anónia que resultó para ada índie 40.08% por el PIG y diretamente poblaional. DA generó una arga anónia proporional por ƒi (4.04%), Pp (57.99%) y signifiativa de (euaión lineal ) y FR TSM (5.45%). de 0.83 (euaión lineal ) (R = 0.58 y p< Con base en los resultados desritos en la 0.05). Tabla I, las euaiones lineales del modelo de El efeto o arga anónia de ada una de CC son las siguientes: las variables independientes sobre los índies FR y DA se interpreta por olumna en la Tabla FR i Pp 0.545TSM PIG I. De esta manera, en DA fue afetado de manera proporional en un 0.8% por el PIG (8) e inversamente proporional por ƒi (5.43%), Pp (38.08%) y TSM (4.0%). FR fue afetado DA i Pp 0.40TSM 0.08PIG Cienia y Mar 007, I (3): Prediión anónia... 4

4 Donde: FR es el índie esperado asoiado a la fuerza del relutamiento (0 organismos). DA es el índie esperado asoiado a la densidad de adultos reprodutores (0 organismos). ƒi es el índie observado asoiado al esfuerzo de pesa (número de viajes). Pp es el índie observado asoiado a la preipitaión pluvial (mm). TSM es el índie observado asoiado a la temperatura superfiial del mar ( C). PIG es el índie observado asoiado a la onentraión de Clorofila a más feofitínas -3 (mg m ) , , y son las respetivas argas anónias asoiadas a los índies ƒi, Pp, TSM y PIG en la euaión lineal , , y 0.08 son las respetivas argas anónias asoiadas a los índies ƒi, Pp, TSM y PIG en la euaión lineal Al apliar las euaiones lineales del modelo de CC (8), la prediión o valor esperado (esp) que se obtiene para los índies FR y DA, en omparaión on los valores observados (obs) se resume en la Tabla II. Al onfrontar estadístiamente estos resultados on base en la distribuión de jiuadrada ( ), se tiene que en el aso del índie FR, se aepta la hipótesis alternativa ( =79.9, =9.99, gl= 5 y p= ), mientras que en el aso del índie DA, la hipótesis que se aepta es la nula ( =0.5, = 4.99, gl = 5 y p =.09). Con base en lo anterior, se sugiere que el modelo de CC desrito en (8) resultó inviable para predeir simultáneamente a los índies FR y DA. La redundania obtenida entre ambos índies, resultó de Al respeto, Graia (99) y Cervantes-Hernández (999) indiaron que los índies FR y DA se enuentran altamente orrelaionados a través del ilo de vida de los amarones de la familia Peneidae; esto es, los adultos reprodutores mediante el proeso de reproduión generan las nuevas ohortes anuales de relutamiento, que sustituyen a las ohortes más viejas en la poblaión natural. De manera que para predeir la abundania FR, Tabla II. Prediión retrospetiva de los índies FR y DA en el intervalo de junio de 98 a septiembre de 983 (0 organismos). Cienia y Mar 007, I (3): Mes FR obs FR esp DA obs DA esp junio julio agosto septiembre otubre noviembre diiembre enero febrero marzo abril mayo junio julio agosto septiembre Divulgaión

5 es neesario integrar en la prediión la abundania los adultos reprodutores DA. Lo anterior no fue onsiderado al ejeutar el modelo de CC (8), por lo que la prediión de los índies FR y DA, se realizó úniamente en términos de ƒi, Pp, TSM y PIG. Debido a la alta redundania detetada entre los índies FR y DA, la funión anónia (8) fue orregida según el modelo antes desrito. Para ello, se onsideró el siguiente riterio para seleionar a la variable independiente lave: la variabilidad anual de la abundania de los índies FR y DA, ondiionan hasta ierto punto la variabilidad anual del esfuerzo de pesa en el año Nt y N t+, pero no así a las demás variables ambientales; esto es, los ambios en la abundania FR y DA no ondiionan la variabilidad espaial de Pp, TSM y PIG. Con base en lo anterior, ƒi se seleionó para desarrollar el proeso de orreión del modelo de CC (8). El proeso es el siguiente: Al despejar ƒi en ada una de las euaiones lineales en (8), tenemos que: (9) i i Las euaiones lineales se igualan y se realiza la simplifiaión algebraia, de manera que: (0) (FR Pp TSM PIG) = (-DA Pp TSM PIG) El proeso de orreión ontinúa despejando las variables FR y DA en (0), esto es: () FR Pp 0.545TSM PIG DA Pp 0.40TSM 0.08PIG ( i : FR) ( i : DA) 0.404DA Pp TSM 0.834PIG FR FR Pp TSM 0.834PIG DA FR y DA en (), se sustituyen en (9) para generar dos nuevos oefiientes (ƒi: FR) y (ƒi: DA). Estos nuevos oefiientes se sustituyen por (ƒi) en (8), para obtener el modelo de CC anónio orregido: Fˆ Rˆ () Dˆ Â 0.404( i : DA) Pp 0.545TSM PIG 0.543( i : FR) Pp 0.40TSM 0.08PIG Donde: FˆRˆ es el nuevo índie esperado asoiado a la fuerza del relutamiento (0 ) Dˆ Â es el nuevo índie esperado asoiado a la densidad de adultos reprodutores (0 ) ƒi es el índie observado asoiado al esfuerzo de pesa (número de viajes). Pp es el índie observado asoiado a la preipitaión pluvial (mm). TSM es el índie observado asoiado a la temperatura superfiial del mar ( C). PIG es el índie observado asoiado a la onentraión de Clorofila a más feofitínas -3 (mg m ). (ƒi: FR) es el oefiiente orregido que designa el efeto de DA sobre FR en términos deƒi. (ƒi: DA) es el oefiiente orregido que designa el efeto de FR sobre DA en términos de ƒi. Al apliar las euaiones lineales del modelo de CC (), la prediión o valor esperado (esp) que se obtiene para los índies FR y DA, en omparaión on los valores observados (obs) se resume en la Tabla III. Al onfrontar estadístiamente estos resultados on base en la distribuión de jiuadrada ( ), ambos asos ulminaron on la aeptaión de la hipótesis nula (FR- / =.899, = 4.99, gl= 5 y p= 0.999) y (DA- / = 4.95, = 4.99, gl= 5 y p= 0.99). Prediión anónia... Cienia y Mar 007, I (3):

6 Tabla III. Prediión retrospetiva de los nuevos índies y en el intervalo de junio de 98 a septiembre de 983 (0 organismos). Cienia y Mar 007, I (3): Con base en lo anterior, se sugiere que el modelo de CC (), resultó viable para predeir simultáneamente a los índies FR y DA. En ada aso la diferenia entre los valores esperados y observados resultó no signifiativa, para FR ( F= 35.77, p< 0.05) y para DA ( F= 09.9, p< 0.05). El modelo propuesto no aplia en los asos en los que la redundania es baja (< 0.50), ya que las euaiones lineales onservan su independenia. Es deisión del investigador la utilizaión de este modelo, ya que existen otras herramientas de análisis multivariado, que permiten mejorar la prediión de múltiples variables dependientes a partir de múltiples variables independientes, tal es el aso de los Modelos de Euaiones Estruturales (MEE) En los MEE, las variables involuradas f u n i o n a n s i m u l t á n e a m e n t e o m o dependientes e independientes, este análisis genera n euaiones lineales para predeir a todas y ada una de las variables tipifiadas por el modelo omo dependientes, mientras que el resto funiona omo variables independientes (Hair et al. 999). Las bases teórias de los MEE pueden onsultarse en diversos libros de estadístia multivariada y Agradeimientos Agradezo a Adolfo Graia Gasa (ICMyL, UNAM), al Instituto Naional de la Pesa (INP) y al Serviio Meteorológio del estado de Tamaulipas, Méxio, por permitir la utilizaión de la base de datos de amarón afé y parámetros ambientales para la realizaión del estudio de aso. Referenias Calvo-Gómez F Ténias estadístias multivariantes. Universidad de Deusto, Bilbao, España, 435 pp. Cervantes-Hernández, P Relaiones stokrelutamiento del amarón Farfantepenaeus duorarum en el Bano de Campehe. Tesis de Maestría, Instituto de Cienias del Mar y Limnología, UNAM, Méxio, 37 pp. Dallas, E.J. 00. Métodos multivariados apliados al análisis de datos. International Thomsom, London, 5 pp. Graia, A. 99. Spawning stok-reruitment relationship of white shrimp in the southwestern Gulf of Mexio. Trans.Amer. Fish. So. 0: Hair, F., E. Anderson, l. Tatham & C. Blak Multivariate data analysis. Prentie Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 745 pp. Morrison, D. 97. Multivariate statistial methods. MGraw-Hill, Nueva ork, 555 pp. Sharon, L Muestreo, diseño y análisis. Matemátias Thomsom, Méxio, 480 pp. en los manuales eletrónios de los programas Uriel, E Análisis de datos, series temporales y de omputo espeializados. análisis multivariante. Editorial AC, Madrid, España, 433 pp. Divulgaión