FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UNA GEOMETRÍA DE HILBERT

Transcripción

1 T LTINOMERIN DE MTEMÁTI EDUTIV VOL. 7 FUNIONES TRIGONOMÉTRIS EN UN GEOMETRÍ DE HILERT Gonzalo Rira, Rubén riss y Hrnán arrasco. U. atólica d hil, U. Digo ortals, U. d las méricas grira@mat.puc.cl, rubn.priss@udp.cl, hcarrasc@uamricas.cl. Rsumn En las gomtrías conocidas, tals como la Euclidiana, Esférica o Hiprbólica, damos por sntado muchas propidads lmntals sin mayor rflxión. or jmplo, n la Gomtría d Euclids sabmos qu todos los triángulos quilátros d lado son congrunts ntr sí, con ára igual a 3. Es intrsant ntoncs 4 conocr un modlo gométrico sncillo n l cual s prciso rplantars todas sas propidads, tals como la dfinición d un ángulo o l ára d un triángulo. Vrmos qu aquí no todos los triángulos quilátros d igual lado son congrunts ntr sí, aunqu podmos hablar d ángulos, distancias y funcions trigonométricas. El modlo qu plantamos s l d la Gomtría d Hilbrt n un triángulo qu ya fu xplicada n [ ]. En st trabajo mostramos algunos rsultados, con las potncialidads y bnficios ofrcidos por la Gomtría No-Euclidiana no solamnt dsd l punto d vista cintífico, sino también, dsd l punto d vista didáctico, toda vz qu s posibl usar st tipo d Gomtría como hrraminta para motivar intgrar a docnts y studiants n la comprnsión d la incia y a usar la tcnología ducativa como campo d xprimntación para dsarrollar abstraccions n mundos imaginarios difrnts, dond la gomtría s tratada por mdio d modlos qu toman como bas un conjunto convxo proporcionado por David Hilbrt y dond s hac ncsario studiar los concptos básicos como la structura y dfinición d un círculo y un ángulo, y nos concntramos n obtnr algunos tormas importants n la Gomtría hiprbólica. En rsumn, si bin los rsultados prsntados n st trabajo constituyn un aport crativo d conociminto n lo cintífico (n lo rspcta al studio, invstigación y obtnción d algunos d tormas d la Gomtría No-Euclidiana), constituyn también un aport dsd l punto d vista didáctico n la nsñanza d la Gomtría No Euclidiana. Introducción Rsumimos a continuación lo xplicado n [] para convnincia dl lctor. Dados cuatro puntos,,, D n una lína rcta n l plano uclidano (cartsiano) usual, la razón dobl s dfin por: ( D) = D. Esta razón s invariant bajo proycción dsd un punto. D D Figura D ( D ) = ( D ) Hilbrt considra la distancia siguint para dos puntos cualquira y n l intrior d un curpo convxo. 756

2 REFLEXIONES, MROS DE NTEEDENTES E ILUSTRIONES X (,) Log(XY) Y Es sta una distancia bin dfinida bajo la cual los puntos dl bord dl curpo convxo stán al infinito. Nustro spacio s l intrior d un triángulo d vértics,,. En s spacio vimos qu: (,) (,R) (,R) para puntos qu no ncsariamnt stán n lína rcta y studiamos la forma d la circunfrncia unitaria. 3 Figura oordnadas Rcordamos qu dados dos puntos y, ntoncs un punto divid al sgmnto n la razón k si / = k. Rsolvindo para s tin: = a + b con a + b = dond: ( ) ( ) La circunfrncia unitaria : ( O,) a = / + k, b = k / + k. Esta sgunda forma s indpndint dl orign scogido n la rcta por o n cualquir orign n ralidad. D igual forma, dados trs puntos, y n l plano, un punto n él s scribirá: a b c, a b c y los puntos al intrior dl triángulo corrspondn a: a 0, b 0, c 0. Llamarmos (a, b, c) las coordnadas proyctivas dl punto. Los puntos (0, b, c) corrspondn al lado y así también para los otros dos lados. Obsrvarmos una rlación ntr las coordnadas d y d su proycción n uno d los lados. 757

3 T LTINOMERIN DE MTEMÁTI EDUTIV VOL. 7 p c Si = (a, b, c) ntoncs: k = b /a. c a c b c D modo qu roposición Si = (a, b, c); = ( u, v, w) y la rcta qu los un intrscta los lados y ntoncs : (,) v a Log u b Dmostración: or proycción dsd s tndrá, Log X Y = Log ( ). v a ro D L / k, d dond s obtin la conclusión. u b ara rfrncia, las coordnadas d los puntos n la figura 3 son: 0 = ( /3, /3, /3),,,,,,,, 3, 4,,, 5,, y,, 6. dmás los sgmntos dl bord s paramtrizan por t, t, t t con t t, t t t; t t, t t; 5 t, t, t t t, t t t; t t, t, t. 3, 3 4, 4 ; 5 6, 6 Junto a stas coordnadas proyctivas considramos las coordnadas afins d un punto dfinidas por: x a / c Si = (a, b, c) con a + b + c = ntoncs: x, y con y b / c (Suponmos ntoncs al intrior stricto dl triángulo, dond a, b, c son positivos). Si conocmos las coordnadas afins [ x, y] podmos obtnr las coordnadas proyctivas por: ( ) ( ) ( ) a = x / + x + y ; b = y / + x + y ; c = / + x + y Estas coordnadas afins tinn la vntaja d sr dos (y no trs) n un spacio d dimnsión dos. La fórmula para la distancia n stas coordnadas varía sin mbargo y la scribimos aquí: = [ x, y] = [r, s] s x (,) Log r y 758

4 REFLEXIONES, MROS DE NTEEDENTES E ILUSTRIONES (, ) Log s y (,) Logx r En coordnadas afins las coordnadas d los puntos n la figura 3 son:,, ;, ; 3, ; 4, ;,, 6 0 ; 5 ; Funcions Trigonométricas Dbmos ahora considrar la dfinición d ángulo. onsidrmos dos smirctas qu s intrsctan n un vértic. or una isomtría podmos llvar al punto cntral O; las smirctas intrsctan a la circunfrncia unitaria n dos puntos. La longitud d s arco srá la mdida d nustro ángulo. V U0V= si. U, ) ( V) (, O U El ángulo complto mid ntoncs 6, pus la circunfrncia complta mid 6. El ángulo plano mdirá 3. Tal como n l caso clásico, tomamos ahora una smi-rcta n O qu mpiza a girar n l sntido contrario a las agujas d un rloj. Dfinimos, S como las coordnadas afins dl punto si O 0 = [ (), S () ] = [, ] Figura 7 759

5 T LTINOMERIN DE MTEMÁTI EDUTIV VOL. 7 roposición Las funcions trigonométricas tinn los valors siguints:. S si S S si S S si S si si si y s xtindn por priodicidad para 0 o también para 6. Dmostración Vrificamos la fórmula ) utilizando para llo las distintas vrsions d la distancia. O,,,, Log Log,,,, = Las otras fórmulas son similars. Log Log orolario La gráfica d la función ( ) s la siguint: En trs príodos compltos s vrá: Figura 8 760

6 REFLEXIONES, MROS DE NTEEDENTES E ILUSTRIONES La gráfica d S ( ) s similar Figura 9 Obsrvamos ntoncs qu: S rlación no inmdiata a partir d la dfinición. Ára d un Triángulo onsidrmos un triángulo n nustra gomtría d lados d longituds b y c y ángulo. b Es razonabl dfinir su ára por b.c (ára triángulo d lados y ángulo ). Esto nos llva a la prgunta: uánto val l ára d un triángulo d lados y c ángulo? O más prcisamnt aún: uánto val l ára d un triángulo quilátro d lados y ángulo? Si llvamos por una isomtría l vértic al orign 0, sa ára srá igual a ½ si los otros vértics son y. En fcto, l ára total dl círculo d cntro 0 y radio db sr 3. ro si los otros vértics no stán n sa posición, la rspusta varía. roposición 3 Supongamos qu un triángulo quilátro d lado tin un vértic n 0 y dmás vértics n, S,, S. Entoncs su ára s igual a Log Dmostración [ ( ),S( )] O X [ ( ),S( )] 76

7 T LTINOMERIN DE MTEMÁTI EDUTIV VOL. 7 OU,pus l ára total s O. D igual anra: O V. Entoncs: OUV OUX OVX 0X OU 0XOV OX OX. asta calcular ntoncs la distancia 0 X dond X s l punto d intrscción d las rctas por U, V y por O,. Eso da l rsultado d la proposición. orolario: No todos los triángulos quilátros d lado tin igual ára. ibliografía Rira, G., arrasco H., riss R. (999). La Gomtría d Hilbrt n un triángulo. Rvista haros, 6 (): ISSN Univrsidad d las méricas. hil. usman, H. (955). Th Gomtry of Godsics. cadmic rss Inc. Nw York. US. Hilbrt D. (97). Foundations of Gomtry. Opn ourt, La Sall. US. usr,. (99). Gomtry and Spctra of ompact Rimann Surfacs. irkhäusr. astlnuovo, G. (959). Lccions d Gomtría nalítica. Edit. alomino, La lata, rgntina. 76