7.1 Campo magnético creado por cargas. 7.3 La ley de Gauss para el magnetismo

Transcripción

1 CAPÍTULO 7 Fuentes del campo magnético

2 Índice del capítulo Campo magnético ceado po cagas puntuales en movimiento. 7. La ley de Biot y Savat. 7.3 La ley de Gauss paa el magnetismo 7.4 La ley de Ampèe. 7.5 El magnetismo de la mateia.

3 7.1 Campo magnético ceado po una caga Cuando una caga puntual q se mueve con velocidad v, se poduce una campo magnético B en el espacio dado po µ B = 4π 0 qv ˆ donde es un vecto unitaio que apunta desde la caga que apunta desde la caga al punto del espacio y µ 0 es la pemitividad del vacío: Figua 7.1: Una caga puntual q que se mueve con velocidad v poduce un campo magnético B en un punto P en la diección v x, en donde es el vecto unitaio diigido desde la caga al punto P. 7 7 µ 0 = 4π 10 T m/a = 4π 10 N/A Ejemplo 7.1: Una caga puntual de módulo q = 4.5 nc se mueve con una velocidad de v = 36x m/s i paalelamente al eje x a lo lago de la ecta y = 3 m. Detemina el campo magnético poducido en el oigen po esta caga cuando se encuenta en el punto x = 44 m, y = 3 m, como indica la figua 7.. Figua 7.

4 7. La ley de Biot y Savat El campo magnético db ceado po un elemento de coiente Idl viene dad po (ve figua 7.3): db = µ 4π 0 Idl ˆ [La ley de Biot y Savat] Esta ecuación, conocida como la ley de Biot y Savat, fue también deducida po Ampèe. La fuente de campo magnético es una caga móvil o un elemento de coiente. El campo magnético debido a la coiente total que cicula po un cicuito puede calculase utilizando la ley de Biot y Savat paa calcula el campo debido a cada elemento de coiente y después sumando (integando) paa todos los elementos de coiente del cicuito. Figua 7.3: El elemento de coiente Idl poduce un campo magnético en el punto P 1 que es pependicula tanto a Idl como a. Este elemento no poduce campo magnético en el punto P que está en la misma línea de Idl.

5 7. La ley de Biot y Savat Campo magnético debido a una espia de coiente: a lo lago del eje dela espia, el campo sólo tiene componente x (ve figua 7.4) y ésta viene dada po db µ 0 IRdl = x 4 π ( x + R ) 3/ B µ πr = x π ( x + R I ) 3/ A gandes distancias de la espia: µ 0 πr I µ 0 µ B x = = 3 3 4π x 4π x Figua 7.4: Geometía paa el cálculo del campo magnético en un punto del eje de una espia de coiente cicula. donde µ = IπR es el momento magnético de la espia. Este esultado es válido paa cualquie punto del espacio, aunque no esté situado a lo lago del eje de la espia.

6 7. La ley de Biot y Savat Figua 7.5: Líneas de campo magnético de una espia de coiente cicula visualizadas mediante limaduas de hieo. Figua vueltas Ejemplo 7.:Una pequeña baa magnética de momento magnético µ = 0.03 Am se sitúa en cento de una bobina de adio 5 cm y 1 vueltas de modo que su momento magnético se encuenta en el plano xy y foma una ángulo de 30 0 con el eje x (ve figua 7.6). Despeciando cualquie vaiación del campo magnético en la egión ocupada po el imán, detemina el momento ejecido sobe el imán. Solución: τ = (9.04 x 10 6 Nm)k.

7 7. La ley de Biot y Savat Campo magnético debido a una coiente en un solenoide: Un solenoide es una alambe enollado en foma de hélice con espias muy póximas ente sí (ve figua 7.7). El campo magnético en el eje del solenoide se puede calcula usando el esultado de la espia de coiente haciendo uso de di = nidx (ve figua 7.8), donde n=n/l es el númeo de vueltas po unidad de longitud: B x x µ 0 = 0 x 1 4π ( x + πrπ R nidx 3/ R ) 1 x x1 B x = µ 0nI x + R x1 + R En el caso de un solenoide lago (L >> R): B x 0 Figua 7.7: Repesentación esquemática de un solenoide. x 1 x = µ ni Figua 7.8: Geometía paa el cálculo del campo magnético dento de un solenoide, sobe el eje.

8 7. La ley de Biot y Savat L/ L/ Figua 7.9: Gáfico del campo magnético sobe el eje inteio de un solenoide en función de la posición x sobe dicho eje. El campo inteio al solenoide es casi constante excepto ceca de los extemos. (c) Figua 7.10: (a) Líneas de campo magnético de un solenoide. Las líneas son idénticas a las de una baa imanada de igual foma, como en la figua (b). (c) Líneas de campo magnético de un solenoide indicadas po limaduas de hieo.

9 7. La ley de Biot y Savat Campo magnético ceado po un conducto ectilíneo: Laslíneas de campo son tangentes al a un cículo de adio R que odea al conducto. Además, si el conducto es suficientemente lago: B = µ 0 I 4π R Figua 7.11: Geometía paa el cálculo l del campo magnético en el punto P ceado po un conducto ectilíneo. Figua 7.1: Regla de la mano deecha paa detemina el sentido del campo magnético debido a un conducto lago y ecto, potado de coiente. Las líneas de campo magnético odean el conducto en el sentido de los dedos de la mano deecha cuando el dedo pulga apunta en la diección de la coiente.

10 7. La ley de Biot y Savat Ejemplo 7.3: Detemina el campo magnético en el cento de una espia de coiente cuadada, de lado L = 50 cm, po la cual cicula una coiente de 1.5 A (ve figua 7.13). Solución: B = x T (apuntando hacia fuea de la página). Figua 7.13 Ejemplo 7.4:Un conducto lago y ectilíneo que tanspota una coiente de 1.7 A en la diección z positiva, se encuenta a lo lagode la línea x = 3 cm, y = 0. Un conducto semejante que tanspota una coiente de 1.7 A en la diección z positiva está situado sobe la línea x = +3 cm, y = 0, como indica la figua Detemina el campo magnético en un punto del eje y en y = 6 cm. Solución: B = 9.07 x 10 6 T i. Figua 7.14

11 7. La ley de Biot y Savat Fueza magnética ente dos conductoes paalelos: Dos conductoes paalelos po los que ciculan sendas coientes se ejecen una fueza mutua que es atactiva si las coientes ciculan en el mismo sentido y epulsiva si lo hacen en sentidos opuestos. El módulo de dicha fueza po unidad de longitud viene dado po (ve figua 7.15): df µ 0 I1I dl π R = Figua 7.15: Dos conductoes ectilíneos lagos potadoes de coientes paalelas. El campo magnético B 1 debido a la coiente I 1 es pependicula a la El ampeio es aquella coiente que si se mantiene en dos conductoes ectos y paalelos de longitud infinita y sección tansvesal cicula despeciable, situados en el vacío con una sepaación de un meto, poduce ente estos dos conductoes una fueza igual a x 10 7 newtons po meto de longitud. coiente I. La fueza que actúa sobe la coiente I está diigida hacia la coiente I 1. Existe una fueza igual y opuesta ejecida po la coiente I sobe I 1. Las coientes, po tanto, se ataen mutuamente.

12 7. La ley de Biot y Savat Espejo Contactos de bode de cuchilla Haz desviado hacia aiba Haz del láse Figua 7.16: Diagama esquemático de la balanza de tosión de coiente. Las dos baas paalelas tanspotan coientes iguales y de sentido opuesto, y po lo tanto, se epelen ente sí. La fueza de epulsión está equilibada po pesos situados sobe la baa supeio, que foma pate de un ectángulo equilibado sobe las aistas de una cuchilla. El espejo de la pate supeio del apaato se utiliza paa efleja un haz de láse a fin de detemina exactamente la posición de la baa supeio.

13 7.3 La ley de Gauss paa el magnetismo Las líneas de campo magnético son ceadas. Esto implica que el flujo neto del campo magnético a tavés de cualquie supeficie ceada es igual a ceo: φ, = m neto BndA = 0 S [La ley de Gauss paa el magnetismo] (a) (b) Figua 7.17: (a) Líneas de campo eléctico de un dipolo eléctico. (b)líneas de campo magnético de un dipolo magnético. Lejos de los dipolos, las líneas de campo son idénticas. En la egión ente las cagas en (a) el campo eléctico es de signo opuesto al momento del dipolo, mientas que dento de la espia en (b), el campo magnético es paalelo al momento del dipolo.

14 7.4 La ley de Ampèe La ley de Ampèe elaciona la integal de línea de la componente tangencial B t alededo de una cuva ceada C con la coiente I C que ataviesa la supeficie limitada po dicha cuva: B = µ I dl = B dl = C Bt 0I C C [La ley de Ampèe] El sentido positivo paa el camino de integación viene dado po la diección de la coiente I C de acuedo con la egla de la mano deecha mostada en la figua La ley de Ampèe se cumple paa cualquie cuva siempe y cuando las coientes sean estacionaias y continuas. Aplicación simple: campo ceado po un conducto ectilíneo: B tdl = Bt dl B = C C µ 0 I πr C Figua 7.18: El sentido positivo paa la cuva ceada C a la que se aplica la ley de Ampèe integal es aquel que queda fijado po la egla de la mano deecha con el dedo pulga indicando el sentido de la coiente que ataviesa la supeficie enceada po dicha cuva.

15 7.4 La ley de Ampèe Ejemplo 7.5: Un alambe lago y ecto de adio R tanspota una coiente I unifomemente distibuida en toda el áea tansvesal del conducto (ve figua 7.19). Usa la ley de Ampèe paa detemina el campo magnético dento y fuea del alambe. Solución: B = µ 0 I, πr µ I 0 π, R R Figua 7.19 Figua 7.0

16 7.4 La ley de Ampèe Campo magnético ceado po un tooide: Un tooide está fomado po N espias de conducto enolladas alededo de una figua en foma de donut como indica la figua 7.1. Paa calcula B, aplicaemos la ley de Ampèe a una cicunfeencia de adio centada en el cento del tooide. Po simetía, B es tangente a este cículo y constante en módulo en todos los puntos de la cicunfeencia. Po tanto, C B dl = Bπ µ 0NI, a < < b = µ I B = 0 C 0, π < a o > b Figua 7.1: Un tooide está fomada po espias de alambe enolladas alededo de una figua en foma de neumático. El campo magnético a cualquie distancia puede deteminase aplicando la ley de Ampèe al cículo de adio.

17 7.5 El magnetismo en la mateia Imanación y suceptibilidad magnética: Cuando un mateial se sitúa en un campo magnético intenso, los momentos dipolaes magnéticos tienden a alinease dento del mateial, el cual se imana. Un mateial que sufe este poceso se descibe po su imanación M, definida como el momento dipola neto po unidad de volumen: Coiente supeficial M = d µ dv Figua 7.: Modelo de espias de coiente atómicas en el cual todos los dipolos atómicos son paalelos al eje del cilindo. La coiente neta en cualquie punto dento del mateial es ceo debido a la cancelación de los átomos vecinos. El esultado es una coiente supeficial semejante a la de una solenoide. Figua 7.3: Las coientes en las espias adyacentes en el inteio de una mateial unifomemente imanado se cancelan pemaneciendo sólo una coiente supeficial.

18 7.5 El magnetismo en la mateia La imanación M viene dada po la coiente supeficial po unidad de longitud: dµ A di di M = µ = = dv A dl dl p j Sea un cilindo de imanación unifome paalela a su eje. El campo magnético inducido po la imanación dento del cilindo viene paa dado po: B m = µ 0 M Si situamos un cilindo de mateial magnético dento de un campo magnético, el campo total dento del cilindo seá: B B + µ 0 M = ap 0 B M = χ En los mateiales paamagnéticos y diamagnéticos: B + µ 0 M = Bap(1 + χm) = KmBap ( Km = 1+ χ = = Bap m m Figua 7.4: Disco elemental paa el estudio de la elación ente la imanación My la coiente supeficial po unidad de longitud. ap µ 0 (χ m = suceptibilidad magnética) pemeabilidad elativa)

19 7.5 El magnetismo en la mateia Momentos magnéticos atómicos: Clásicamente el momento magnético obital de un electón en un átomo está elacionado con el momento angula L = mv (ve figua 7.5): µ = q L m Cuánticamente hay dos contibuciones al momento magnético del electón. La contibución obital es: Figua 7.5: Patícula de caga q y e h L L µ l = = µ masa m moviéndose en un cículo de B m h h adio. El momento angula está y la contibución tib ió dbid debido a su spin es: e eh S µ S = = µ B m h donde µ B es el magnetón de Boh: µ B = ehh m e e = A m S h = diigido hacia el papel y su magnitud es mv; el momento magnético está diigido hacia el papel (si q es positivo) y su magnitud es qv/. J/T = ev/t

20 7.5 El magnetismo en la mateia Paamagnetismo: El paa magnetismo se pesenta en mateiales cuyos átomos tienen momentos magnéticos pemanentes que inteactúan ente sí sólo débilmente, dando luga a una suceptibilidad magnética positiva y muy pequeña. Cuando no existe ningún campo magnético exteno, estos momentos magnéticos están oientados al aza. En pesencia de un campo magnético exteno tienden a alinease paalelamente al campo, peo esta alineación está contaestada po la tendencia que tienen los momentos magnéticos a oientase aleatoiamente debido a la agitación témica. En campos débiles, la imanación es apoximadamente popocional al campo aplicado: M = 1 µ B ap M s 3 k B T [La ley de Cuie] Figua 7.6: Imanación M en función del campo aplicado. En campos muy intensos, la imanación se apoxima al valo de satuación M s. Este valo sólo se alcanza a bajas tempeatuas. En campos débiles, la imanación es popocional al campo aplicado, esultado conocido como ley de Cuie.

21 7.5 El magnetismo en la mateia Feomagnetismo: El feomagnetismo se pesenta en mateiales como el hieo, el cobalto o el níquel. Los mateiales feomagnéticos tienen valoes positivos muy gandes de la suceptibilidad magnética. En estas sustancias un campo magnético exteno pequeño puede poduci un alto gado de alineación de los momentos magnéticos atómicos, que en algunos casos, puede pesisti incluso aunque no exista campo imanante exteno. Figua 7.7: (a) Ilustación esquemática de los dominios feomagnéticos. Dento de un dominio los dipolos están alineados, peo la diección de alineamiento vaía de un dominio a oto, de modo que el momento magnético neto es nulo. Un pequeño campo magnético exteno puede causa el ensanchamiento de los dominios o poducila otación de la diección de alineamiento dento de un dominio. (b) Dominios magnéticos éi sobe la supeficie fii de un cistal de Fe-3%Si obsevado mediante un micoscopio i electónico de baido con análisis de polaización. Los cuato coloes indican cuato posibles oientaciones de los dominios.

22 7.5 El magnetismo en la mateia Ciclo de histéesis de un mateial feomagnético: Figua 7.8: Repesentación gáfica de B en función del campo aplicado B ap. La cuva exteio se denomina ciclo de histéesis. El campo B, es el campo emanente, el cual pemanece cuando el campo aplicado etona a ceo. Figua 7.9: Ciclo de histéesis de un mateial magnéticamente blando. El campo emanente es muy pequeño compaado con el de un mateial magnéticamente duo, tal como el de la figua 7.8.

23 7.5 El magnetismo en la mateia Diamagnetismo: Los mateiales diamagnéticos son aquellos que tienen valoes negativos de la suceptibilidad magnética. El diamagnetismo fue descubieto po Michael Faaday en 1845 cuando descubió que un tozo de bismuto ea epelido po un polo cualquiea de un imán: lo que indica que el campo exteno del imán induce un dipolo magnético en el bismuto de sentido opuesto al campo. Este efecto se explica cualitativamente con la ayuda de la figua Figua 7.30: (a) Caga positiva que se mueve ciculamente en sentido contaio al de las agujas del eloj con un momento magnético diigido hacia el lecto. Al aplica un campo magnético exteno, diigido hacia el papel, la fueza magnética incementa la fueza centípeta tí t y, po tanto, t la velocidad idd de la patícula debe db aumenta. La vaiación positiva del momento magnético es hacia fuea. (b) Caga positiva moviéndose en sentido hoaio en un cículo con su momento magnético hacia el papel. Al aplica un campo magnético exteno hacia el papel la fueza magnética disminuye la fueza centípeta y la velocidad de la patícula disminuye. Como en el caso (a), el cambio en el momento magnético es hacia fuea.