Universidad de los Andes Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Estadística. Técnicas de Conteo. Prof. Gudberto José León Rangel

Transcripción

1 Uiversidad de los Ades Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales Escuela de Estadística Técicas de Coteo Prof. Gudberto José Leó Ragel MÉRIDA- VENEZUELA, 2015

2 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Técicas de Coteo 1 Si (A) y () so grades para u experimeto aleatorio dado co u úmero fiito de resultados igualmete probables, el coteo e si puede covertirse e u difícil problema. Tal coteo puede frecuetemete facilitarse por el uso de ciertas fórmulas combiatorias. Es decir, las técicas de coteo so muy útiles para ecotrar la P(A) e espacios muestrales fiitos equiprobables. Es importate precisar los siguietes térmios: Selecció al Azar o Aleatoria: Se refiere a espacios equiprobables y sigifica que si se elige u puto muestral, todos tiee el mismo chace de ser seleccioados. Muestra: Si se tiee ua colecció de M objetos distitos, y se seleccioa al azar de esta colecció objetos, etoces podrá decirse que se ha extraído ua muestra de tamaño. Muestreo: Es el proceso de selecció de muestras. Muestreo co Reemplazo: El muestreo es co reemplazo o co reposició, si u objeto es retorado al lote ates de que el próximo sea seleccioado. E este caso, como el mismo objeto puede ser seleccioado más de ua vez, o hay límite para el tamaño de y podría ser cualquier etero positivo. Muestreo si Reemplazo: El muestreo es si reemplazo o si reposició si el objeto o puede ser retorado al lote después de ser seleccioado. Obviamete, co este tipo de muestreo hay u límite superior e el cual puede a lo sumo ser igual a M. 1 Esta secció está fudametada e Khazaie, Ramakat. Basic Probability Theory ad Applicatios. Pág Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 2

3 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística El Orde e la Selecció de la Muestra E cada uo de los casos dode el muestreo es llevado a cabo co o si reemplazo, se puede o o estar iteresados e el orde e el cual los objetos so seleccioados. Como resultado, se tiee las siguietes cuatro situacioes: Si reemplazo Co reemplazo Co orde Si orde Co orde Si orde Cosidérese lo siguiete: Supógase que hay cuatro objetos distitos represetados por las letras a, b, c, d, y dos de estas letras so seleccioadas. Los siguietes cuatro casos so posibles: a b c d a b c d a ab ac ad a ab ac ad b ba bc bd b bc bd c ca cb cd c cd d da db dc d Caso 1: Si reemplazo, co orde Caso 2: Si reemplazo, si orde Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 3

4 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística a b c d a b c d a aa ab ac ad a aa ab ac ad b ba bb bc bd b bb bc bd c ca cb cc cd c cc cd d da db dc dd d dd Caso 3: Co reemplazo, co orde Caso 4: Co reemplazo, si orde E los casos 1 y 2, el muestreo es llevado a cabo si reemplazo, y e cosecuecia, o hay posibilidades como: aa, bb, cc, dd. Esto explica por qué o hay etradas a través de la diagoal e estos casos. E el caso 2, además, o existe iterés e el orde, así que, por ejemplo, ab es listado, pero o ba. E el caso 3, so listadas todas las dieciséis posibilidades. E el caso 4, como el muestreo es co reemplazo, se tiee resultados como aa, bb, cc, dd. Si embargo, como el orde o es relevate, ab es el mismo que ba, y así sucesivamete. Aquí o hay etradas bajo la diagoal. Nota 1: 1. Cuado el orde es importate cada posibilidad es llamada u arreglo, o ua permutació. Si el orde o importa, ésta es llamada ua combiació. 2. Cuado objetos so seleccioados y el orde es importate, es coveiete escribir los putos muestrales como ua -úpla (x 1, x 2,, x ) dode el i-ésimo compoete x i, represeta el i-ésimo objeto seleccioado. Así, x 1 represeta el resultado de la primera extracció, x 2 de la seguda extracció, y así sucesivamete. Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 4

5 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Pricipios Básicos del Coteo El Pricipio de la Multiplicació Si u primer objeto puede escogerse etre e r posibles, y después de realizada esta selecció puede escogerse u segudo objeto etre k posibles, etoces puede escogerse rk pares diferetes de objetos 2. Para eteder este pricipio, supógase que los resultados del primer experimeto so escritos como A = {a 1, a 2,, a r } y los del segudo experimeto como B = {b 1, b 2,, b k }. Etoces los resultados del experimeto combiado puede ser represetados e u arreglo rectagular como pares ordeados (a i, b i ): Tabla 1. Resultados posibles de u primer experimeto A y u segudo experimeto B. b 1 b 2 b j b k a 1 (a 1, b 1 ) (a 1, b 2 ) (a 1, b j ) (a 1, b k ) a 2 (a 2, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a 2, b j ) (a 2, b k ) a i (a i, b 1 ) (a i, b 2 ) (a i, b j ) (a i, b k ) a r (a r, b 1 ) (a r, b 2 ) (a r, b j ) (a r, b k ) E otras palabras, los resultados del experimeto combiado puede ser represetados como el producto cartesiao A B. Claramete hay r k pares. Esto demuestra que ( A B) = (A)(B) Otra maera de ilustrar el pricipio aterior es mediate u diagrama de árbol, como se muestra e la Figura 1. 2 Basado e Nieto, José H. Teoría Combiatoria. Pág. 7 Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 5

6 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística a a 1 2 b1 b b 2 2 k bk b1 b a1, b1 a, b 1 2 a, b k a2, b1 a, b a, b k a r b1 b b 2 k a2, b1 a, b 2 2 a, b 2 k Figura 1. Esquema de u diagrama de árbol. Primero se lista los resultados de u experimeto, y etoces, correspodiedo a cada uo de estos, se lista los resultados del otro experimeto. El úmero total de ramas, r k, da todas las combiacioes posibles. El pricipio básico del coteo puede ser extedido a cualquier úmero de experimetos de ua maera obvia: Si u primer objeto puede escogerse etre 1 posibles, y para cada selecció puede escogerse u segudo objeto etre 2 posibles, y luego u tercero etre 3 posibles, etc., hasta u k-ésimo objeto que se puede escoger de k maeras, etoces el úmero de grupos ordeados de k objetos que puede seleccioarse es k. 3 3 Tomado de Nieto, José H. Op. Cit. Pág. 8 Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 6

7 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Ejemplo 1: a. Si se laza ua moeda y luego u dado, etoces hay 2*6=12 posibles resultados, como se observa e el siguiete diagrama de árbol: C S (C, 1) (C, 2) (C, 3) (C, 4) (C, 5) (C, 6) (S, 1) (S, 2) (S, 3) (S, 4) (S, 5) (S, 6) Figura 2. Diagrama de árbol para el experimeto de lazar ua moeda y u dado. b. Si ua persoa tiee 8 camisas diferetes, 6 corbatas diferetes, y 5 chaquetas diferetes, etoces el puede vestirse para ua ocasió de 865 = 240 maeras. c. Supoga que las placas de los vehículos está formadas co tres letras distitas seguidas por tres dígitos distitos. Etoces hay 27 formas de escoger la primera letra, 26 para la seguda y 25 para la tercera. Tambié, hay 10 formas de escoger el primer digito, 9 para el segudo, y 8 para el tercero. Fialmete, hay = placas diferetes. Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 7

8 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística El Pricipio de Adició 4 Supógase que u procedimieto, desigado co A, se puede hacer de maeras. Supógase tambié que u segudo procedimieto, desigado B, se puede hacer de m maeras. Además, o es posible que ambos, A y B, pueda ocurrir simultáeamete. Etoces, el úmero de maeras como se puede hacer A ó B es + m. Ejemplo 2: Para ir de la ciudad de Mérida a Sa Cristóbal, existe tres maeras por el sur de la ciudad y dos por el orte. El úmero total de maeras para ir de Mérida a Sa Cristóbal es etoces 3+2 = 5: Sur (Sur, 1) (Sur, 2) (Sur, 3) Norte 1 2 (Norte, 1) (Norte, 2) Figura 3. Maeras de viajar de Mérida a Sa Cristóbal. Ejemplo 3: Supógase que se plaea u viaje y se debe tomar la decisió etre usar trasporte por autobús o por tre. Si hay cuatro rutas para el autobús y dos para el tre, etoces hay 4+2 = 6 rutas diferetes dispoibles para el viaje. 4 Basado e: Meyer, Paúl. Probabilidad y Aplicacioes Estadísticas. Págs ; Rodríguez, José. El Arte de Cotar. Pág.3; Nieto, José H. Op. Cit. Pág Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 8

9 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Tambié este pricipio puede geeralizarse como sigue: si hay k procedimietos y el i-ésimo procedimieto se puede hacer de i maeras, i = 1, 2,, k, etoces el úmero de maeras como puede realizarse el procedimieto 1, ó el procedimieto 2 ó ó el procedimieto k está dado por 1 2 k, supoiedo que los procedimietos o se puede realizar e forma cojuta (es decir los procedimietos so mutuamete excluyetes). Caso 1: Si Reemplazo, Co Orde (Permutacioes) Ejemplo 4: Supógase que la colecció iicial de objetos es el cojuto {a, b, c, d} y que se seleccioa tres objetos. Si se lista todas las posibilidades, se obtiee los siguietes arreglos: abc abd acd bcd acb adb adc bdc bca bad cad cbd bac bda cda cdb cab dab dac dbc cba dba dca dcb El orde e el cual se escribe las letras es importate. Por ejemplo, abc y cab so arreglos diferetes, au cuado ambas usa las mismas letras a, b, c. Cualquier arreglo particular es llamado ua permutació. E la lista aterior hay 24 permutacioes e total. La razó es simple. Se seleccioa tres letras de u total de cuatro. La primera letra puede ser seleccioada de 4 maeras; ua vez hecho esto, la seguda letra puede ser seleccioada de 3 maeras; y después de seleccioar las primeras dos letras, la tercera puede escogerse de 2 Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 9

10 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística maeras. Etoces por el pricipio de la multiplicació, el úmero total de posibles seleccioes de tres letras es de 432 = 24. Cambiado al caso geeral, supógase que hay M objetos distitos y de estos so seleccioados si reemplazo. Cualquier arreglo particular de objetos es llamado ua permutació. Deótese el úmero total de permutacioes por M P. Hay M formas de extraer el primer objeto, M 1 formas de extraer el segudo objeto, M 2 formas de extraer el tercer objeto, y así sucesivamete. Fialmete, hay M ( 1) formas de seleccioas el -ésimo objeto. Así ua aplicació directa de la regla básica da: El úmero de permutacioes (o arreglos) de objetos seleccioados de ua colecció de M objetos distitos es: M P M( M 1)( M 2) ( M 1) Ejemplo 5: El úmero de permutacioes cuado 4 objetos so seleccioados de 8 objetos distitos es 8795 = 1680 E particular, M P M, el úmero de permutacioes (o arreglos) de M objetos tomados todos, es M(M 1)(M 2) 321. Tal producto de eteros cosecutivos es deotado por M P M M! (1) y se lee M factorial. Usado la otació factorial, puede escribirse M P como: Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 10

11 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística M ( M )( M 1) 1 P M( M 1) ( M 1) ( M )( M 1) 1 M P M! ( M )! (2) Se sabe que P M!. Se puede ver que la fórmula aterior es sigificativa cuado = M, etoces es M M coveiete defiir 0! = 1. Ejemplo 6: a. El úmero de permutacioes de las letras a, b, c, d será de 4! = 24 (muestras ordeadas si reemplazo) Ahora los grupos distitos de 2 letras que se puede formar so: 4! P 2! Estas será ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc, esto es, doce permutacioes. b. E u juego de béisbol se dispoe de 12 jugadores, pero siempre el pitcher y el catcher debe ser los mismos. El úmero de equipos diferetes que se puede formar es: 10*9*8*7*6*5*4 = P ! (10 7)! Ya que e el juego de béisbol participa ueve jugadores, pero se tiee a dos jugadores fijos: el pitcher y el catcher, del total de los 12 jugadores dispoibles. Así se tiee que formar lo que falta para completar el equipo (7 jugadores) co los 10 jugadores dispoibles. Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 11

12 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Caso 2: Si Reemplazo, Si Orde (Combiacioes) Se ha visto que si so seleccioadas tres letras de {a, b, c, d} y si el orde es importate, etoces se obtiee 24 permutacioes. E este caso, si embargo, o es de iterés el orde, y por tato hay 4 posibilidades: abc, abd, acd, y bcd. Cada ua de estas posibilidades es llamada ua combiació. Etre las 24 permutacioes del Caso 1 (ver págia 9) la primera columa cosiste de las permutacioes de las letras a, b, c y como ya se sabe, hay 3! de ellas. Esto es porque hay 3!=6 arreglos e la columa 1. Lo mismo se cumple para las columas 2, 3 y 4. E cosecuecia, se tiee del ejemplo, que el úmero de combiacioes, multiplicado por 3!, es el úmero de permutacioes (43!=24). Ahora, se tomará el caso geeral e dode so seleccioados objetos si reemplazo de M objetos distitos, y e el cual el orde o es importate. Simbólicamete se deotará el úmero de formas de hacer esto por M y será llamado el úmero de combiacioes de objetos de u cojuto M. El objetivo es derivar ua M expresió para. Obsérvese que si ua combiació tiee elemetos, etoces hay! posibles permutacioes de sus elemetos. De cada combiació surge! permutacioes, por tato resulta todas las permutacioes: M( M 1)( M 2) ( M 1) Así se tiee que: M M! *! M( M 1)( M 2) ( M 1) ( M )! Etoces, M M!! ( M )! (3) es el úmero de muestras o ordeadas de tamaño, que puede extraerse si reemplazo de M objetos distitos. Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 12

13 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Ejemplo 7: El úmero de formas de escoger u cojuto de 3 libros para leer de u cojuto de 8 libros es: 8 3 8! 56 3!*5! (Note que o estamos iteresados e el orde e el cual los libros so leídos) Nota 2: 1. Por coveiecia, las siguietes covecioes so adoptadas: M 1 0 (4) M 0, si 0 ó M (5) 2. Seleccioar objetos de u grupo de M es lo mismo que seleccioar (M ) objetos de M, de los que o perteece al grupo. Así, por ejemplo el úmero de formas de escoger 3 libros para leer de u cojuto de 8 libros es lo mismo que el úmero de formas de seleccioar 5 libros para o leer de 8. De esta maera, se tiee que: M M M (6) M Esto tambié puede ser visto, observado que y M M so ambos iguales a M!! ( M )! Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 13

14 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Caso 3: Co Reemplazo, Co Orde El úmero de formas de seleccioar objetos de M objetos distitos es M cuado los objetos so seleccioados co reemplazo y cuado el orde es importate. Esto es fácil de ver ya que e cada extracció hay M escogecias distitas. Ejemplo 8: a. Co los ueve dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se puede formar 9 3 = 729 úmeros distitos de tres dígitos. b. Si hay M celdas, etoces objetos puede ser colocados e ellas de M formas. (se está asumiedo que ua celda puede teer más de u objeto) colocado u objeto e ua celda viee a ser como seleccioar ua de las M celdas, y permitiedo a ua celda teer más de u objeto viee a ser como muestrear co reemplazo. c. Si 10 persoas va e u tre que se detiee e 6 estacioes, etoces hay 6 10 posibles formas e que las 10 pueda bajarse del tre. Nótese que ua persoa puede bajarse e cualquiera de las 6 estacioes así que él tiee 6 escogecias posibles. Esto se cumple para cada ua de las 10 persoas. Tambié, si ua persoa se baja e ua estació, ese o excluye que otra persoa pueda bajarse e la misma estació. Caso 4: Co Reemplazo, Si Orde La derivació de la fórmula e este caso es bastate difícil. Se tiee que el úmero de muestras o ordeadas de tamaño cuado los objetos so seleccioados co reemplazo de M objetos distitos es: M 1 (7) M Por ejemplo, el úmero de formas de colocar bolas o distiguibles detro de M celdas es (véase la aalogía etre bolas idistiguibles y la irrelevacia del orde) 1 Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 14

15 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Cosidérese la siguiete maera de deducir la fórmula aterior co u ejemplo 5. Sea M = 3 y = 3. Sea los símbolos 1, 2 y 3. Listado todos los arreglos e ua columa tal que a precede a b si y sólo si a, leída como u úmero ordiario de tres dígitos, es meor que b. E ua columa adyacete se lista u uevo cojuto de sucesioes formadas del cojuto aterior sumado 0 al primer dígito, 1 al segudo dígito y 2 al tercer dígito = (1+0, 1+1, 1+2) = (1+0, 1+1, 2+2) E la primera columa se tiee muestras o ordeadas de tamaño 3 (seleccioadas de M=3), co reemplazo. E la seguda columa se tiee muestras o ordeadas de tamaño 3 (seleccioadas e M=5), si reemplazo. De esta maera, se puede hacer ua correspodecia uo a uo etre muestras o ordeadas de tamaño (seleccioadas de M) co reemplazo, y muestras o ordeadas de tamaño (de M+1) si reemplazo. M1 Así el úmero de tales muestras es. 5 Basado e Ash, Robert. Basic Probability Theory. Págs Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 15

16 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística 6 Ua maera altera de ver muestras o ordeadas co reemplazo, es pesado e M celdas (cajas) e las cuales puede colocarse bolas (o estrellas). Etoces la idea es cotar todas las -úplas (a i1,, a i ), cada a ik {a 1,, a M }, sujeto a la restricció de que las -úplas tiee los mismos miembros de ocupació. Los k, el úmero de ocurrecias de a k, k=1, 2,..., so idetificados. Estos k so eteros o egativos ( k 0) que satisface: M =. De esta maera, debe cotarse el úmero de solucioes de eteros o egativos ( 1,..., M ) de la ecuació M =. Esto puede ser hecho combiatoriamete como sigue. Cosidérese u arreglo de estrellas y (M 1) barras: * * * * * * * * 1 = 1, 2 = 0, 3 = 3 1 = 1, 2 = 1, 3 = 2 (Muestra = a 1 a 3 a 3 a 3 ) (Muestra = a 1 a 2 a 3 a 3 ) U símbolo de esos empieza y termia ecesariamete co ua barra, es decir las barras exteriores so fijas. Para M = 3, = 4; cada arreglo correspode a ua solució de M =. El úmero de arreglos es el úmero de formas de seleccioar posicioes de (M + 1) para estrellas a ocurrir (o M 1 posicioes M1 para las barras); es decir, Para M = 3; = 4, hay 15 solucioes: MUESTRA a 3 a 3 a 3 a a 3 a 2 a 2 a a 1 a 1 a 1 a a 2 a 3 a 3 a a 2 a 2 a 3 a 3 6 Basado e: Ash, Robert. Op. Cit. Págs ; Feller, William. Itroducció a la Teoría de Probabilidades y sus Aplicacioes. Págs y Casella, George. Statistical Iferece. Pág. 16. Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 16

17 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística a 2 a 2 a 2 a a 1 a 3 a 3 a a 1 a 1 a 3 a a 1 a 1 a 1 a a 2 a 2 a 2 a a 1 a 1 a 2 a a 1 a 1 a 1 a a 1 a1 a 2 a a 1 a 2 a 2 a a 1 a 2 a 3 a 3 Así * * * * * * * * se usa como símbolo de ua distribució de = 8 estrellas e M = 6 cajas o celdas co úmeros de ocupació 3, 1, 0, 0, 0, 4. U símbolo de esos empieza y termia ecesariamete co ua barra, pero las restates M 1 barras y estrellas aparece e u orde arbitrario. Ejemplo 9: 7 Cuátas piezas de domió existe? Solució: Cotar estas piezas de domió es lo mismo que buscar todas las combiacioes de dos elemetos del cojuto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} si importar el orde y co reemplazo. Es decir: Tomado de Rodríguez, José. El Arte de Cotar. Pág. 34. Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 17

18 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Ejemplo 10: 8 Por u úmero de años la lotería del estado de Nueva York ha operado de acuerdo al siguiete esquema. Ua persoa puede adquirir u ticket co 6 úmeros los cuales puede ser del 1 al 44. El úmero gaador se decide aleatoriamete seleccioado seis úmeros de los cuareta y cuatro. Si la selecció es co reemplazo y si orde, Cuál es el úmero de tickets posibles? Solució: ! !*43! Nota 3: Aalogía etre las bolas idistiguibles (estrellas) y la irrelevacia del orde: 9 Como el orde o importa, etoces iteresa cotar cuatas bolas (estrellas) tiee cada celda, si importar el orde de las celdas. * * * * * * * * a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 Las a i (cajas) represeta a los objetos de iterés y las estrellas al úmero de veces que se repite las a i, es decir cada estrella (bola) correspode a la selecció de ua caja (a i ). De tal maera, si importa el orde la sucesió a 2 a 1 a 1 a 3 correspode a la primera bola detro de la caja 2, la seguda y tercera e la caja 1, y la cuarta e la caja 3. E geeral, u arreglo de bolas e M cajas correspode a ua muestra de tamaño de los símbolos a 1,, a M. Si se requiere que el muestreo sea co reemplazo, sigifica que ua caja dada puede coteer cualquier 8 Tomado de Casella, George. Op. Cit. Págs. 13 y Basado e Ash, Robert. Op. Cit. Págs Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 18

19 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística úmero de bolas. E el muestreo si reemplazo sigifica que ua caja dada o puede coteer más que ua bola. Si se cosidera muestras ordeadas, se está diciedo que las bolas so distiguibles. Por ejemplo, a 3 a 7 (bola 1 detro de la caja 3, bola 2 detro de la caja 7) es diferete de a 7 a 3 (bola 1 detro de la caja 7, bola 2 detro de la caja 3); e otras palabras, puede cosiderarse que las bolas ha sido umeradas 1, 2,,. Muestras o ordeadas correspode a bolas idistiguibles. Si o hay restricció sobre el úmero de bolas e ua caja dada, el úmero total de arreglos, tomado e cueta el orde e que las bolas so colocadas (es decir, las bolas so distitas), es el úmero de muestras ordeadas de tamaño (de {a 1,,a M }) co reemplazo, o M. Si puede haber a lo sumo ua bola e ua caja dada, el úmero de arreglos (ordeados) es M P. Si el orde e el cual las bolas so colocadas o es importate, simplemete se está escogiedo cajas de M para ser M ocupadas; o posibles seleccioes de cajas. Ua caja puede coteer u úmero ilimitado de bolas, pero las bolas o so distiguibles; es decir, el orde e el cual las bolas so colocadas o es importate, así que por ejemplo, a 2a1a1a 3 es idetificado co a a a. Por tato, el úmero de arreglos a cotar e este esquema es el úmero de muestras o ordeadas 1 3 1a2 M 1 de tamaño co reemplazo, o. Ejemplo 11: 10 Tres bolas so colocadas detro de tres cajas. Ecuetre la probabilidad de que exactamete ua caja estará vacía. 10 Tomado de Ash, Robert. Op. Cit. Págs Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 19

20 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Solució: Etoces se tiee las cajas a 1, a 2 y a 3 ; y sucesioes de logitud 3 (tres bolas so colocadas). Tómese todas las 3 3 = 27 muestras ordeadas co reemplazo como igualmete probables. Así, P {exactamete 1 caja esté vacia} P{caja 1 vacía, cajas 2 y 3 ocupadas} P{caja 2 vacía, cajas 1 y 3 ocupadas} P{caja 3 vacía, cajas 1 y 2 ocupadas} Además, P {caja 1 vacía, cajas 2 y 3 ocupadas} a o ocurra e la sucesió a a a, 1 i1 i2 i3 P pero a2 y a3 ocurre ambos Si a 1 o ocurre, tato a 2 ó a 3 puede ocurrir dos veces, y el otro símbolo ua vez. Puede escogerse el símbolo que es ocurrir dos veces de dos maeras; el símbolo que ocurra ua vez es etoces determiado. Si, supógase, a 3 ocurre dos veces y a 2 ua vez, la posició de a 2 puede ser cualquiera de tres posibilidades; la posició de las dos a 3 s es etoces determiada. Así la probabilidad de que la caja 1 estará vacía y las cajas 2 y 3 ocupadas es 2(3)/27 = 6/27 (de hecho los seis resultados favorables so a 2 a 2 a 3, a 2 a 3 a 2, a 3 a 2 a 2, a 3 a 3 a 2, a 3 a 2 a 3 y a 2 a 3 a 3 ) Así la probabilidad de que exactamete ua caja estará vacía es, por simetría, 3(6)/27 = 2/3 Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 20

21 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Resume de los Posibles Métodos de Coteo Tabla 2. Resume de los Métodos de Coteo. Si reemplazo Co reemplazo Ordeado No ordeado M! M! M M M 1 Nota 4: Se dice que ua muestra es aleatoria si el procedimieto de muestreo asiga la misma probabilidad a cada puto muestral. Así ua muestra es aleatoria si su probabilidad de ser extraída es: 1. 1 M si el muestreo es co orde, co reemplazo. 2. M 1 P si el muestreo es co orde, si reemplazo M si el muestreo es si orde, si reemplazo si el muestreo es si orde, co reemplazo. M 1 Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 21

22 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Referecias Ash, R. (1970). Basic Probability Theory. Nueva York: Joh Wiley ad Sos. Khazaie, R. (1976). Basic Probability Theory ad Applicatios. Califoria: Goodyear Publishig Compay, Ic. Meyer, P. (1998). Probabilidad y Aplicacioes Estadísticas. México: Addiso Wesley Logma. Nieto, J. (1996). Teoría Combiatoria. Maracaibo: Editorial de la Uiversidad del Zulia. Feller, W. (1975). Itroducció a la Teoría de Probabilidades y sus Aplicacioes. Volume 1. México, D.F.: Limusa. Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departameto de Estadística. Cubículo 258. Mérida Veezuela. 22