DESIGUALDAD, DIVERSIDAD Y CONVERGENCIA: (ALGUNOS) INSTRUMENTOS DE MEDIDA *

Transcripción

1 DESIGUALDAD, DIVERSIDAD Y CONVERGENCIA: (ALGUNOS) INSTRUMENTOS DE MEDIDA * Francsco J. Goerlch Correspondenca: Unversdad de Valenca. Departamento de Análss Económco. Campus de los Naranjos. Av. de los Naranjos, s/n (Ed. Departamental Orental) 460 Valenca. Tel: / Fax: E-mal: Francsco.J.Goerlch@uv.es. Web: Edtor: Insttuto Valencano de Investacones Económcas, S.A. Prmera Edcón Octubre ISBN: Depósto Leal: V * Este trabajo recoe los aspectos nstrumentales de un nforme más amplo ttulado Dnámca de la dstrbucón provncal de la renta. I: Un enfoque desde la óptca de la desualdad (Goerlch (1998a)) realzado para el Insttuto Valencano de Investacones Económcas (I.V.I.E.) y fue utlzado como materal en el curso Desualdad, Dversdad y Converenca: Instrumentos de Medda oranzado por dcho nsttuto. El autor aradece los comentaros realzados a una versón ncal del trabajo a M. Mas, lo que no mplca responsablzarla de los errores que, a buen seuro, todavían subssten. Se aradece la fnancacón recbda de la DGICYT, proyecto PB94-153, y del Insttuto Valencano de Investacones Económcas. 5

2 DESIGUALDAD, DIVERSIDAD Y CONVERGENCIA: (ALGUNOS) INSTRUMENTOS DE MEDIDA Francsco J. Goerlch R E S U M E N Este trabajo presenta, en prmer luar, un conjunto amplo de resultados referentes a índces de desualdad cuando estos se aplcan a undades eoráfcas que enloban a varos ndvduos, por ejemplo reones o países; se ofrece una descrpcón de dchos índces y de sus propedades, así como una comparacón entre ellos. Se pretende de esta forma ofrecer un nstrumental analítco para el análss, no sólo de la desualdad entendda en el sentdo mcroeconómco, sno tambén de fenómenos en los que se pretenda analzar, de forma más eneral, la dversdad entre undades económcas, como por ejemplo el debatdo problema de la converenca a nvel macroeconómco. En seundo luar, se explora el oren de la desualdad/dversdad examnando que índces son descomponbles en un certo sentdo seún el problema que estemos nteresados en tratar. El trabajo puede consderarse como un panorama muy selectvo de la lteratura, convenentemente adaptado a nuestros propóstos. PALABRAS CLAVE: Desualdad, dversdad y converenca. A B S T R A C T Ths paper offers a wde set of nown results on nequalty ndexes when they are appled to eoraphcal unts, such as reons or countres; a descrpton of the ndexes and ther propertes s ven, as well as a comparson amon them. In ths way we offer a set of analytcal tools that can be appled, not only for the study of nequalty at ndvdual level, but also for the analyss of dverence and converence amon eoraphcal economc unts. Eventually, the orns of nequalty are explored by examnn what ndexes can be decomposed nto factors accordn to a ven crtera. Ths paper can be consdered as a selectve survey of the lterature, convenently adapted to our purposes. KEY WORDS: Inequalty, dverence and converence. 6

3 1. INTRODUCCIÓN. Este trabajo realza la exposcón de una sere de técncas con el ánmo de proporconar un marco de referenca para una mejor comprensón de la evolucón dnámca de determnadas varables económcas. Aunque tomaremos como punto de referenca una varable clave en el proceso de crecmento económco, como es la renta per capta, los nstrumentos que expondremos son aplcables mucho más eneralmente; en eneral son aplcables a la medcón de la dspersón de cualquer varable, ya sea con contendo económco o no, en partcular son especalmente relevantes cuando consderamos la dstrbucón de una varable, por ejemplo la renta, la rqueza o los benefcos, sobre una determnada poblacón, por ejemplo ndvduos o propetaros del captal. Una vez dentfcada la evolucón dnámca de la varable objeto de estudo, la renta per capta, estaremos nteresados en conocer los determnantes de dcha evolucón, es decr trataremos de examnar, desde dversas perspectvas, que factores han nfludo en que la dspersón haya aumentado o dsmnudo, ello nos ayudará a determnar las causas de la desualdad o a dentfcar rupos no homoéneos dentro de la poblacón, lo que nos permtrá fnalmente obtener conclusones de polítca económca. El presente trabajo se centra exclusvamente en aspectos metodolócos y práctcos, las aplcacones de las técncas lustradas son numerosas y pueden verse, entre otros autores, en Ruz-Castllo (1987, 1993, 1997), Bosch, Escrbano y Sánchez (1989) y Goerlch y Mas (1997, 1998c) a partr de datos mcroeconómcos, en Cuadrado Roura (1991), Esteban (1994, 1996), Vllaverde Castro (1996, 1997) y Goerlch (1998b) a partr de datos reonales y en Goerlch y Mas (1998a,b) a partr de datos de países. Dos correntes de lteratura que han permanecdo separadas, pero que hasta certo punto son complementaras y cuyas técncas de análss pueden combnarse adecuadamente son: (1) la lteratura tradconal sobre la desualdad (Atnson (1970), Sen (1973), Shorrocs (1980, 198, 1984), Charavarty (1990), Esteban y Ray (1993, 1994), Cowell (1995)), centrada fundamentalmente en el estudo de la dstrbucón personal de la renta, y () la recente lteratura sobre la converenca económca (Barro (1991), Barro y Sala--Martn (1991,199,1995), Quah (1993a,b), Sala--Martn (1994)), preocupada por la converenca o dverenca de la renta per capta o productvdad de dversas undades eoráfcas, ya sean reones o países. Aunque ambas lteraturas han tenddo a permanecer separadas es evdente que tenen mportantes puntos de contacto. Basta para ello ojear los trabajos de Esteban y Ray (1993) o Esteban (1996) sobre la polarzacón o los de Baumol (1986), DeLon (1988) o Quah (1996a,b,1997) sobre la exstenca de clubs de converenca para darse cuenta de que, a 7

4 randes rasos, se está hablando de conceptos smlares, rupos de ndvduos o reones que presentan peculardades dstntas del resto. A este respecto vale la pena señalar que los últmos trabajos de Quah (1996c,1997) ncluyen numerosas referencas a la lteratura de la desualdad en un claro ntento de tender un puente entre ambas. Así pues aunque la lteratura sobre la desualdad parte del ndvduo y la del crecmento de una undad espacal consderablemente más ampla, las dos tratan de estudar la evolucón en el tempo de la dstrbucón de una varable económca consderada de especal relevanca desde el punto de vsta del benestar o de la actvdad económca. Debe ser obvo que las técncas de análss en un tpo de lteratura pueden utlzarse satsfactoramente en el otro, supuesto que dsponemos de los datos necesaros. De hecho alunos autores (Rabadán y Salas (1996)) han propuesto medr drectamente la converenca medante índces de desualdad; este enfoque, llevado hasta su extremo, podría sufrr de alunas de las crítcas de Quah (1993a,b) y Esteban (1996), ya que no parece adecuado reducr el concepto de converenca a unos pocos estadístcos. En este trabajo expondremos un conjunto amplo de resultados referentes a índces de desualdad, sufcentemente flexbles como para permtrnos dlucdar que se esconde detrás de la evolucón de los msmos. Dado que nuestra undad de referenca no es necesaramente el ndvduo, ntroducremos la dmensón poblaconal en el análss, de forma que todos los índces analzados serán estadístcos ponderados, donde las ponderacones vendrán dadas por las frecuencas relatvas de la varable objeto de estudo, poblacón relatva en el caso de la renta per capta. Esta dmensón poblaconal es normalmente recoda por la lteratura de la desualdad pero, sn embaro y sn causa aparente, parece haber sdo olvdada por la recente lteratura sobre la converenca económca. 1 Fnalmente dos breves reflexones, en prmer luar palabras como desualdad, dversdad, dferencacón y converenca son utlzadas como snónmos en muchas partes del trabajo, esto no deja de consttur, en otros contextos, un certo abuso del lenuaje; báscamente lo que subyace en todos los índces analzados es una medda de la dspersón de la dstrbucón de una varable y esa dspersón puede ser desnada de formas dferentes seún en que stuacones. S la dversdad es buena o mala, s debe aumentarse o dsmnurse medante polítcas adecuadas, es alo que depende de jucos de valor y sobre lo que no nos pronuncamos. 1 No obstante alunos autores s habían observado este olvdo. Rabadan y Salas (1996). 8

5 En seundo luar la desualdad, al ual que el proceso de crecmento de las economías, es un fenómeno complejo y multdmensonal. Por ello todo ntento de resumr el proceso de converenca en un únco estadístco está abocado al fracaso. Quah (1993a,b) ha enfatzado satsfactoramente este punto y a propuesto una sere de nstrumentos metodolócos complementaros para analzar la evolucón dnámca de dstrbucones en el corte transversal (model of explct dstrbuton dynamcs), estos nstrumentos serán objeto de atencón en un trabajo posteror. Este trabajo tan sólo utlza nstrumentos tomados prestados de la lteratura de la desualdad y se estructura de la suente forma. La seccón ntroduce los índces de desualdad más habtuales así como sus propedades. La seccón 3 explora el oren en la evolucón temporal de los índces atendendo a tres crteros, () un crtero basado en partconar la poblacón, () un crtero basado en una desareacón adtva de la renta y () un crtero basado en una desareacón multplcatva de la renta per capta. Fnalmente, la seccón 4 ofrece unas breves conclusones.. DESIGUALDAD Y CONVERGENCIA: ÍNDICES Y PROPIEDADES. Índces basados en la curva de Lorenz La lteratura de la desualdad es prolífca en índces (Charavarty (1990), Cowell (1995)), no entraremos a comentar la mayoría de ellos sno que smplemente utlzaremos alunos de los más populares que se ajustan a nuestras necesdades. En concreto, no expondremos exahustvamente índces relaconados con el enfoque de la funcón de benestar socal (Atnson (1970), Sen (1973)), salvo por unos breves comentaros, n tampoco los recentes ndces de polarzacón (Esteban y Ray (1993, 1994), Esteban (1996)). Al msmo tempo dejaremos de lado la problemátca específca sobre la medcón de la desualdad, para centrarnos en alunos resultados concretos. 3 Los índces de desualdad más comunes uardan una relacón muy estrecha con la llamada curva de Lorenz (Lorenz (1905)) para la dstrbucón de la renta, por ello resulta El concepto práctco de polarzacón está todavía en vías de desarrollo, sn embaro la relacón entre el concepto de polarzacón y su íntma relacón con la exstenca de más de una moda en una dstrbucón hace que sea un concepto muy nteresante en el debate de la converenca versus la exstenca de clubs. 3 Zubr (1985) y Ruz-Castllo (1986) ofrecen una ntroduccón asequble a dcha problemátca. Díaz-Gmenez, Quadrn y Ríos-Rull (1997) y Quadrn y Ríos-Rull (1997) muestran una nteracón de la lteratura tradconal sobre medcón de la desualdad con el moderno análss teórco de smulacón de modelos de equlbro eneral capaces de enerar desualdad en un mundo de ndvduos heteroéneos. 9

6 convenente comenzar nuestra dscusón con una exposcón de este darama. A menos que se ndque lo contraro razonaremos en térmnos de dstrbucones dscretas, ya que esta es normalmente la naturaleza de los datos dsponbles. Suponamos que dsponemos de n arupacones de ndvduos 4 cuya renta per capta desnamos por x, x = Y /N, sendo Y la renta 5 y N la poblacón de la arupacón = 1,,...,n. 6 Sea además p la frecuenca relatva, porcentaje de poblacón por arupacón, p = N /N, N la arupacón, y = Y /Y, Y n = Σ = 1 n = Σ= 1 N ; e y la proporcón de renta de Y, entonces la renta per capta meda para el areado Y n puede expresarse como una meda artmétca ponderada,µ = = Σ= 1 px. N Consderemos ahora, sn pérdda de eneraldad, que la renta per capta de las dversas arupacones han sdo ordenadas de forma no-decrecente, x 1 x x n, y llamemos a este vector ordenado de rentas per capta x = ( x 1, x,, x n ). Las arupacones se ordenan de acuerdo con x. A partr de aquí defnmos F s como la proporcón de poblacón que recbe una s renta per capta ual o nferor a x s, F p, y Φ s como la proporcón acumulada de s = Σ= 1 s renta correspondente al nvel de renta per capta x s, Φs = Σ=1 y, es decr Φ s es la proporcón de renta que recben las arupacones con nvel de renta per capta ual o nferor a x s. Defnendo F 0 = Φ 0 = 0, entonces la relacón entre Φ s y F s es la llamada curva de Lorenz. La curva de Lorenz, L(p), es pues una funcón de estadístcos de orden y muestra el porcentaje acumulado de renta correspondente al percentl p de la dstrbucón de la renta per capta, 0 p 1. Una representacón ráfca, para dstrbucones contnuas, de la curva de Lorenz se muestra en el ráfco 1. Por construccón la curva de Lorenz no estará por encma de la recta de 45 rados, s concde con esta ello mplca completa ualdad, y cuanto más lejos esté de dcha recta mayor será el rado de desualdad observado en la dstrbucón de la renta. 4 La mayor parte de la lteratura sobre desualdad ofrece sus arumentos en térmnos de ndvduos u hoares, en otros casos dsponemos de observacones sobre arupacones de ndvduos, por lo que una utlzacón adecuada de los índces requere alunas modfcacones en la formulacón para aplcar correctamente las ponderacones poblaconales de cada arupacón. El presente trabajo realza un esfuerzo en este sentdo. 5 x es la renta real equvalente per capta, es decr ha sdo adecuadamente deflactada y ajustada por las dferentes necesdades de las arupacones, famlas o ndvduos. (Deaton y Muellbauer (1980)). 6 Aunque es posble estudar la desualdad para dstrbucones con rentas neatvas (Shorrocs (1980), Cowell (1995)) supondremos que x 0 ; muchas meddas estándar de desualdad no están defndas para rentas neatvas y aquellas que lo están necestan normalmente ser renterpretadas. Alunas meddas de desualdad de las que consderaremos no están defndas para dstrbucones con rentas nulas. 10

7 11

8 Es fácl comprobar las suentes propedades de la curva de Lorenz: 0 Fs 1, 0 Φ s 1, s, F 0 = Φ 0 = 0 y F n = Φ n = 1 L(p) es convexa y su dervada, para dstrbucones contnuas, L (p), vene dada por L( p) = x, sendo x el nvel de renta per capta correspondente al percentl p. Para µ dstrbucones dscretas L(p) es contnua, pero no dferencable en todos sus puntos, su pendente es constante entre F s 1 y F s y vene dada por Φ s ys xs = =. 7 F p µ La pendente de la curva de Lorenz es ual a la undad en el percentl para el cual el nvel de renta per capta es ual a µ, de esta forma la proporcón de poblacón que recbe una renta menor o ual a la meda puede obtenerse drectamente del darama de Lorenz. La pendente de la curva de Lorenz aumenta conforme nos movemos haca los percentles superores, es decr los sectores más rcos, de la poblacón. s s La curva de Lorenz correspondente al caso en que todas las arupacones recben la msma renta per capta, x = µ, se muestra como la línea 0A en el ráfco 1, esta es la lnea de ualdad perfecta. 8 Muchos índces ntentan resumr la nformacón ráfca sumnstrada por la curva de Lorenz en una medda cuanttatva que muestre la dverenca entre dcha curva y la stuacón de ualdad perfecta. La más popular de estas meddas es el índce de Gn, G. (Gn (191)). 9 Desde el punto de vsta eométrco el índce de Gn se defne como el cocente del área entre la curva de Lorenz y la lnea de ualdad perfecta dvdda por el área del tránulo 0AB, que es ual a ½; por tanto G es equvalente a dos veces el área comprendda entre la curva de Lorenz y la lnea de ualdad perfecta; en consecuenca el índce de Gn varía, para dstrbucones contnuas, entre 0, ualdad perfecta, y 1, máxma desualdad, y será mayor cuanto más se aleje la curva de Lorenz de la lnea de ualdad perfecta. Alternatvamente, y tamben desde un punto de vsta eométrco (Rao (1969)), podemos defnr el índce de Gn como 1 menos dos veces el área bajo la curva de Lorenz. Sn embaro, desde el punto de vsta computaconal es convenente dsponer de una fórmula que nos dé el anteror resultado, en tal caso podemos defnr el índce de Gn como un medo 7 Suponemos que los puntos ntermedos se obtenen por nterpolacón lneal, lo cual es el procedmento habtual. Exsten, no obstante, otros procedmentos de nterpolacón más efcentes (Kawan y Podder (1973, 1976), Cowell y Mehta (198)). 8 En este caso la dstrbucón de la renta per capta tene toda su masa de probabldad concentrada en un punto, µ. 9 A pesar de su nombre el índce de Gn (191) ya fue utlzado por Helmert (1876) y otros estadístcos alemanes en la década de 1870 (Davd (1968)). 1

9 de la dferenca meda relatva (Kendall y Stuart (1963)) 1 G = ΣΣ ppj x xj (1) µ j donde Σ n debe entenderse como Σ =1. Otra medda alternatva de desualdad basada en el darama de Lorenz vene dada por la dstanca máxma entre la lnea de ualdad perfecta y la curva de Lorenz, M, QP en el ráfco 1 (Schutz (1951)). Dcha dstanca se maxmza en el punto donde la curva de Lorenz tene pendente ual a 1 y desde el punto de vsta estadístco esta medda resulta ser ual a un medo de la desvacón absoluta meda relatva (Sen (1973)), M 1 = Σ p x µ () µ Desde el punto de vsta eométrco M es ual al cocente del área del mayor tránulo que puede nscrbrse entre la curva de Lorenz y la lnea de ualdad perfecta dvdda por el área del tranulo 0AB, que es ual a ½. Al ual que el índce de Gn, M varía entre 0, ualdad perfecta, y 1, máxma desualdad, para dstrbucones contnuas. Es posble manar otras meddas de desualdad basadas en la curva de Lorenz. Por ejemplo, el porcentaje de poblacón con una renta ual o nferor a µ, 0C en el ráfco 1, o el porcentaje de poblacón para el que Φ = 05., 0D en el ráfco 1; en ambos casos se trata de coefcentes que tratan de medr ualdad entre proporcones. Estas meddas están sujetas, como veremos a contnuacón, a la msma crítca que M y no son habtualmente utlzadas como ndcadores úncos, sno más ben como ndcadores complementaros; no obstante el examen de proporcones es muy útl para analzar que es lo que sucede, prncpalmente, en los extremos de la dstrbucón. Propedades báscas Tres son las propedades báscas que razonablemente un índce de desualdad debe satsfacer: 13

10 1. Debe ser ndependente de la escala, es decr, el índce debe permanecer nalterado s la renta de cada ndvduo en la poblacón (o la renta per capta de cada arupacón) se ve alterada en la msma proporcón. Homoenedad de rado cero en rentas. Bajo esta propedad el índce es nsensble al nvel de renta medo, lo que mplca que la desualdad es consderada como un problema relatvo. 10. Debe ser ndependente del tamaño de la poblacón, es decr, el índce debe permanecer nalterado s el número de ndvduos en cada nvel de renta se ve alterado en la msma proporcón. Homoenedad de rado cero en poblacón. Con esta propedad el índce depende sólo de las frecuencas de poblacón relatvas en cada nvel de renta, no de las frecuencas de poblacón absolutas Debe satsfacer el prncpo de las transferencas de Pou (191)-Dalton (190), esto es, cualquer transferenca de un ndvduo rco a uno más pobre que no nverta sus ranns relatvos debe reducr el valor del índce (Sen (1973)). 1 Las propedades de ndependenca respecto a la escala y al tamaño de la poblacón mplcan, consderadas de forma conjunta, que el índce puede ser calculado a partr de la curva de Lorenz, en otras palabras, bajo estas propedades la renta meda y el volumen total de poblacón son nnecesaros para la obtencón del índce. Al msmo tempo un índce que puede ser calculado a partr de la curva de Lorenz obvamente satsface las propedades de ndependenca respecto a la escala y al tamaño de la poblacón. 10 Los índces de desualdad suelen abstraerse del crecmento en la renta para concentarse en problemas puramente dstrbutvos. Sn embaro, y aún suponendo una preferenca por la ualdad, las reduccones a lo laro del tempo en las desualdades no deben tomarse como snónmo de que la socedad está mejor ahora que antes ; así por ejemplo leras reduccones en la desualdad acompañadas de mportantes caídas en la renta meda, y por tanto en el volumen de renta a repartr, pueden ser consderadas como un empeoramento de la stuacón. Jucos de valor sobre lo que la evolucón de la desualdad snfca a nvel areado en economías en crecmento son dfícles de realzar. Alunas modfcacones en las meddas habtuales de desualdad, que tratan de recoer la evolucón del volumen total de renta a repartr, han sdo propuestas en la lteratura (Moyes (1989)), pero no serán objeto de atencón en este trabajo. El enfoque de la funcón de benestar socal, que será analzado más adelante, tambén puede ser utlzado para analzar esta cuestón (Cowell (1995)). 11 En el caso de dstrbucones contnuas esto es equvalente a que el índce pueda ser calculado sólo a partr de la funcón de densdad. 1 En la lteratura este prncpo se conoce como el prncpo débl de las transferencas porque todo lo que requere es que, dada una transferenca, la desualdad se reduzca; pero no dce nada acerca de cuanto debe reducrse. El prncpo de las transferencas en sentdo fuerte requere que la reduccón en la desualdad dependa sólo de la dstanca entre las proporcones de renta de los ndvduos, y no de los ndvduos en sí msmos. 14

11 Tanto el índce de Gn, G, como M satsfacen las propedades de ndependenca respecto a la escala y al tamaño de la poblacón, ya que han sdo defndos a partr de la curva de Lorenz. El índce de Gn satsface, además, el prncpo de las transferencas de Pou- Dalton; a partr de la defncón eométrca del índce de Gn obsérvese que una transferenca de una persona rca a una más pobre eleva toda la curva de Lorenz entre los correspondentes percentles, y por tanto reduce el valor del índce. Sn embaro aquellas meddas que, como M, son proporconales a la desvacón absoluta meda relatva no satsfacen dcho prncpo; a partr de la defncón eométrca de M es claro que dcho índce es nvarante a transferencas de renta entre ndvduos sólo por encma o sólo por debajo de µ; en este caso la dstanca QP en el ráfco 1 no se ve alterada. El prncpal nconvenente de G es su curosa valoracón de cambos en la dstrbucón de la renta en funcón de en que parte de la dstrbucón ocurran. En concreto una transferenca de un ndvduo rco a uno pobre tendrá mucho mayor efecto sobre el índce de Gn s los dos se encuentran cerca del centro de la dstrbucón que s se encuentran en los extremos de la msma. Por otra parte ambos extremos de la dstrbucón son tratados de forma smétrca. Fnalmente podemos preuntarnos que sucede con la desualdad s la renta per capta de cada arupacón se ncrementa en la msma cantdad absoluta, 13 damos δ>0, en este caso tanto el índce de Gn como M dsmnurán como una funcón de δ. De hecho puede demostrarse con facldad que G, M 0 conforme δ. Comparabldad Un índce de desualdad es, por tanto, una representacón numérca escalar de un fenómeno complejo y multdmensonal como es la dstrbucón de la renta sobre una poblacón determnada. Lamentablemente es certo que las comparacones entre dstrbucones son sensbles a la eleccón del índce de dspersón eledo, ya que las dferentes meddas de desualdad tenden a enfatzar de forma dferente la desualdad en dstntas partes de la dstrbucón. Resulta por ello útl examnar alunos conceptos relaconados con la comparabldad entre índces. Dados dos índces de desualdad dremos que son ordnalmente equvalentes s proporconan la msma ordenacón sobre dferentes vectores de renta, x; por tanto ante la 13 Para una dstrbucón eoráfca de la poblacón no unforme esto no es equvalente a que la renta de cada ndvduo en la poblacón se vea alterada en la msma cuantía absoluta. 15

12 preunta s la dstrbucón x (1) es más desual que la dstrbucón representada por x (), todos aquellos índces que sean ordnalmente equvalentes proporconarán la msma respuesta. En este sentdo el concepto de representacón numérca asocada al índce hace referenca al concepto de rann. Dos índces de desualdad dremos que son cardnalmente equvalentes s un índce es una transformacón lneal del otro; de forma que además de proporconar la msma ordenacón sobre dferentes vectores de renta, x, muestran el msmo porcentaje de varacón al comparar dos stuacones dferentes; es decr s comparamos la dstrbucón x (1) con la representada por x (), todos aquellos índces que sean cardnalmente equvalentes nos ndcarán el msmo porcentaje de varacón en la desualdad entre ambas stuacones. Obvamente equvalenca cardnal mplca equvalenca ordnal, pero no a la nversa. En vsta de ello no debemos atrbur un ran snfcado a afrmacones referentes al porcentaje de reduccón de la desualdad seún un determnado índce, a menos que un ran conjunto de índces ordnalmente equvalentes proporconen los msmos resultados cuanttatvos. El prncpo de las transferencas de Pou-Dalton y su relacón con los índces de desualdad puede ser entenddo mejor por medo del ráfco que muestra tres curvas de Lorenz, correspondentes a tres dstrbucones dferentes, A, B y C. Puesto que la curva de Lorenz A se stúa dentro, tanto de la curva de Lorenz B como de C, la dstrbucón representada por A puede alcanzarse medante transferencas de rcos a pobres sn necesdad de que ello altere sus ranns, tanto s partmos de la dstrbucón B como de C. En consecuenca cualquer medda de desualdad que satsfaa el prncpo de las transferencas de Pou-Dalton ndcará un menor nvel de desualdad en A, ya sea tanto con respecto a B como con respecto a C, en partcular G A < G B y G A < G C. Sn embaro, s comparamos B con C la stuacón es muy dstnta, ambas curvas de Lorenz se ntersectan, de forma que ante la preunta de cual de estas dos dstrbucones es más desual la respuesta dependerá del índce de desualdad partcular que utlzemos. La dstrbucón representada por B es más ual en el extremo nferor frente a la representada por C, que es más ual en el extremo superor. Que clase de desualdad es peor o mejor en esta stuacón es alo que depende de jucos de valor, más allá del prncpo de las transferencas. No es dfícl construr ejemplos en los que G B < G C mentras que en otras stuacones G C < G B y las curvas de Lorenz se ntersectan tal y como se representa en el ráfco (Schutz (1951)). Por ello cuando una dstrbucón domna a otra en el sentdo de Lorenz, tal y como sucede con A respecto a B o C, entonces todas aquellas meddas de desualdad que satsfaan el prncpo de las transferencas de Pou- 16

13 Dalton proporconarán el msmo rann entre dstrbucones, pero cuando no se da tal domnanca, como sucede con B y C, el rann dependerá de jucos de valor, mplíctos o explíctos, acerca de la mportanca de la desualdad en dferentes partes de la dstrbucón. Es por ello que resultaría útl consderar famlas de índces dependentes de un parámetro al que atrbur un snfcado específco en térmnos de la mportanca otorada a dstntas partes de la dstrbucón, de esta forma un índce de desualdad partcular resuelve la ambüedad producda al comparar stuacones como las representadas por B o C de una forma concreta e nterpretable. Los dos epírafes suentes se dedcan parcalmente a esta cuestón. 17

14 Índces basados en el concepto de entropía de la teoría de la nformacón Thel (1967) propuso dos nteresantes meddas de desualdad a partr del concepto de entropía de la teoría de la nformacón. 14 Estos índces pueden obtenerse como casos partculares de la clase de meddas eneralzadas de entropía (Cowell (1995)) que vene dada por β 1 x n T( β) = Σ p 1 β 01, donde µ = Σ= 1px (3) ββ ( 1) µ y que tambén es conocda en la lteratura como la famla de índces de Thel. Mentras que el límte nferor de T(β) es sempre 0, ualdad perfecta, el límte superor varía con el valor de β. Para β > 0 ( 1) T(β) presenta una cota superor, por el contraro cuando β 0 la famla de índces de Thel no está acotada superormente. 15 La famla de índces de Thel cumple la mayoría de propedades deseables que se le pueden exr a los índces de desualdad, es ndependente de la escala y del tamaño de la poblacón y satsface el prncpo de las transferencas de Pou-Dalton, además es descomponble en un certo sentdo que será analzado más adelante. Esta famla de meddas tene claras smltudes con las meddas propuestas por Atnson (1970) a partr del enfoque de la funcón de benestar socal, tal y como veremos a contnuacón. El parámetro β afecta a la sensbldad del índce ante transferencas entre rcos y pobres en funcón de en que parte de la dstrbucón se realcen. En este sentdo se puede demostrar (Shorrocs (1980)) que, conforme β dsmnuye el índce T(β) es más sensble a transferencas en la parte nferor de la dstrbucón. En el límte, conforme β, el índce se centra sólo en el extremo nferor de la dstrbucón. Por el contraro, conforme β aumenta el índce T(β) se vuelve más sensble a transferencas en la parte superor de la dstrbucón. De hecho para 14 La dea básca asocada a la teoría de la nformacón es la suente: Sea w la probabldad de que ocurra un certo suceso; entonces el contendo nformatvo de que tal suceso haya ocurrdo, h(w), será una funcón decrecente de w, cuanto menos probable sea un suceso, más nteresante será conocer que este ha ocurrdo. Una funcón, entre otras posbles, que satsface esta propedad y esta detrás de la formulacón ornal de los índces de Thel (1967), es h(w) = lo(1/w). 15 Para β > 0, T(β) puede ser normalzado de forma que su rano de varacón se stúe en el ntervalo [0, 1]. Sn embaro esta normalzacón afecta a la propedad de descomponbldad adtva por subrupos de poblacón que estudaremos en la seccón suente. Para β 0, T(β) no puede ser normalzado sn abandonar la propedad de descomponbldad adtva. (Shorrocs (1980)). 18

15 valores de β> el índce sólo parece mostrar sensbldad ante la ualacón de rentas entre los más rcos de la dstrbucón. Aunque el prncpo de las transferencas de Pou-Dalton se satsface para cualquer valor de β, en todo el domno de defncón de rentas, esta característca del índce ha llevado a alunos autores a preuntarse s T(β) no debería ser elmnado de su consderacón como índce de desualdad para valores elevados del parámetro β (Kolm (1976a,b), Love y Wolfson (1976)). Para β=1 la rela de L Hoptal aplcada a (3) permte obtener la prmera de las meddas propuestas por Thel (1967) T p x x () 1 = Σ lo µ µ (4) que varía entre 0, ualdad perfecta, y lo p, máxma desualdad, cuando la arupacón acapara todo el volumen de renta. Obsérvese que x es smplemente la pendente de la curva µ de Lorenz en el percentl correspondente al nvel de renta per capta x ; por tanto, T( 1, ) al ual que las meddas anterores, puede ser obtenda drectamente a partr de la curva de Lorenz. Alunas manpulacones alebracas permten entender mejor la estructura del índce. Escrbendo px y µ = observamos que T(1) pondera una medda de desualdad, lo x, por µ proporcones de renta. Además puesto que x µ y = podemos escrbr T(1) como p y T() 1 = Σ y lo (5) p lo que permte a Thel (1967, p.-95) nterpretar este índce como la nformacón esperada de un mensaje que transforma proporcones de poblacón en proporcones de renta. En el caso de una ualdad perfecta las proporcones de renta y poblacón de cada arupacón son déntcas y T(1) toma un valor En el caso de mayor desualdad, cuando hpotétcamente una arupacón dspone de todo el volumen de renta y el resto no dsponen de nada, todos los 16 Puede pensarse en T(1) como una funcón eneral de dstanca que mde la dverenca entre proporcones de renta y proporcones de poblacón. 19

16 elementos del vector x son cero, excepto el correspondente a la arupacón que concentra Y toda la renta, damos x = N ; es esta stuacón y es ual a 1 e y j es ual a 0 para j, por tanto T(1) toma su valor máxmo, lo p, al tender el resto de térmnos en el sumatoro (5) a 0, puesto que y.lo y 0 conforme y 0. Para β=0 la rela de L Hoptal aplcada a (3) permte obtener la seunda de las meddas propuestas por Thel (1967) x T( 0 ) = Σ p lo µ (6) que toma el valor 0 cuando exste ualdad perfecta, pero que sn embaro no está defnda para dstrbucones con renta per capta cero. De nuevo obsérvese que x es smplemente la µ pendente de la curva de Lorenz en el percentl correspondente al nvel de renta per capta x ; por tanto, T( 0 ) puede ser obtenda drectamente a partr de la curva de Lorenz. Esta medda es análoa a la anteror, excepto por el hecho de que ntercamba los papeles de las proporcones de renta y poblacón en T(1). Invrtendo estos térmnos en (5) obtenemos p µ T( 0 ) = Σ p lo = Σ p lo y x (7) lo que ndca que T(0) pondera una medda de desualdad, lo µ, por proporcones de x poblacón. Thel (1967, p.-15) nterpreta este índce como el contendo de nformacón esperada de un mensaje ndrecto que transforma proporcones de renta como probabldades a pror en proporcones de poblacón como probabldades a posteror. En el caso de una ualdad perfecta las proporcones de renta y poblacón de cada arupacón son déntcas y T(0) toma un valor La expresón (7) para T(0) puede reescrbrse como 17 Al ual que T(1), el índce T(0) trata de medr la dverenca entre proporcones de renta y proporcones de poblacón, pero utlza unas ponderacones dferentes sobre la msma funcón de dstanca. 0

17 µ T( 0 ) = loµ Σ plo x = lo µ ~ (8) donde µ ~ es la meda eométrca de la dstrbucón de la renta per capta, µ= ~ n p Π = 1 x. 18 En otras palabras T(0) es el loartmo de la rato entre la meda artmétca y la meda eométrca de la dstrbucón de la renta per capta. 19 El prncpal nconvenente de T(0) es que no está defndo para dstrbucones con renta cero, puesto que lo x conforme x 0; alo que puede consttur una sera lmtacón con datos ndvduales. Índces basados en la funcón de benestar socal Los jucos de valor sobre la desualdad sempre tenen alún contendo normatvo, ya sea explícto o mplícto. Esta es la razón por la que alunos autores preferen partr de la nterpretacón de la desualdad como una pérdda potencal en el benestar colectvo y a partr de una funcón de benestar socal, que refleje de forma explícta los jucos de valor acerca de la relacón entre desualdad y benestar, dervar una sere de índces de desualdad que satsfaan certas propedades; de hecho la mayoría de estadístcos de dspersón tradconales pueden ser nterpretados en térmnos de la funcón de benestar socal (Blacorby y Donalson (1978)). Es mportante señalar que no exste nnuna ndcacón en esta lteratura de que una ualdad completa es potencalmente alcanzable o ncluso deseable, en eneral cualquer ntento de conseur una dstrbucón más ualtara reducrá el volumen total de renta dsponble para repartr, por otra parte una ualdad completa es en ocasones smplemente nalcanzable. S ben fue Dalton (190) el prmer autor que arumentó que cualquer medda de desualdad debe estar referda al benestar económco, es la famla de índces normatvos de Atnson (1970) la más comúnmente utlzada (Kolm (1969, 1976a,b)). Aunque no entraremos en la problemátca teórca sobre la medcón de la desualdad y su relacón con el benestar convene ntroducr alunos conceptos. 0 Dado un volumen de renta total, Y, Atnson (1970) defne la renta ualtara equvalente, µ e, como aquel nvel de renta per capta tal que, s fuese dsfrutado por toda la poblacón, eneraría el msmo nvel 18 Obsérvese que el loartmo de la meda eométrca es ual a la meda artmétca de los loartmos. 19 Para valores no-neatvos la meda eométrca no es nunca mayor que la meda artmétca, µ µ ~, por tanto T( 0) 0. Cuando exste alún valor nulo la meda eométrca es cero, aunque en este caso carece de utldad como medda de poscón, y para valores neatvos no está defnda (Kendall y Stuart (1963)). 0 Deaton y Muellbauer (1980) Cap.9. 1

18 de benestar socal que la dstrbucón ncal de renta. A partr de esta dea Atnson (1970) defne una medda de la desualdad como e A = 1 µ µ (9) donde s la funcón de benestar socal es cóncava µ e µ ; por tanto (9) recoe la pérdda de benestar socal enerada por la desual dstrbucón de la renta. 1 En otras palabras, la medda de desualdad de Atnson (1970) no es más que el porcentaje de renta desperdcada por la desualdad exstente y valorada en térmnos de una funcón de benestar socal, así por ejemplo, s A = 0.3 el índce de desualdad de Atnson nos ndca que s la renta estuvera dstrbuda de forma ualtara sólo necestaríamos el 70% del volumen total del renta para alcanzar el msmo nvel de benestar socal. Dar contendo operatvo a (9) requere postular una funcón de benestar socal. Atnson (1970) restrne su análss a la famla de funcones de benestar socal utltarstas cuya funcón de valoracón de la renta per capta tena elastcdad constante. Esta famla de funcones vene dada por 1 Σ px W( x) = 1 ε Σ p lo x 1 ε ε 1 ε = 1 (10) para ε 0, lo que aseura la concavdad de W(x). Dcha concavdad es estrcta s ε>0. Concavdad mplca una preferenca por una dstrbucón más ualtara, por lo tanto ε>0 ndca aversón por la desualdad. El parámetro ε se nterpreta como el rado de aversón relatva a la desualdad por parte de la socedad y se supone constante. Para ε=0 no exste nnuna aversón socal a la desualdad, la funcón de benestar socal es lneal y fue propuesta ornaramente por Bentham (1907), a medda que aumenta ε aumenta el rado de aversón socal a la desualdad, 1 La medda de desualdad (9) supone, mplíctamente, que las dferentes dstrbucones de la renta no afectan a los ncentvos ndvduales para alterar sus esfuerzos en orden a enerar renta adconal, esto es, no afectan a la oferta de trabajo. La seunda ualdad en (10) se obtene por aplcacón de la rela de L Hoptal. Resulta nteresante observar como en este caso, ε=1, la funcón de benestar socal es ual al loartmo de la meda eométrca de la p dstrbucón de la renta per capta, W( x) = loπ x = lo µ ~.

19 en el límte, cuando ε, (10) tende a la funcón de benestar socal propuesta por Rawls (1971) que valora el benestar solamente del ndvduo más pobre. A partr del concepto de renta ualtara equvalente y la funcón de benestar socal (10) obtenemos la famla de índces normatvos de Atnson (1970), que vene dada por 1 p x 1 ε ε 1 1 Σ ε 1 µ A( ε) = p x x exp p lo = ε µ 1 Σ 1 Π = 1 µ (11) para ε 0. Obsérvese además que 1 1 ( ) A( ) = µ ~ µ. Cuando ε=0, es decr no hay aversón socal a la desualdad, A( 0) = 0, por lo que el valor socal de la desualdad es nula cualquera que sea la dstrbucón de la renta. Para ε >0 y dstrbucones contnuas el índce A( ε ) varía entre 0, ualdad perfecta, y 1, máxma desualdad. Puede demostrarse que A( ε ) 0 de forma que A( ε ) nunca decrece al aumentar la ε aversón relatva a la desualdad (Cowell (1995)). 3 Una propedad nteresante de la famla de índces normatvos de Atnson (1970) provene de la suente observacón. Para ε>0 y ε 1 Σ p x 1 ε A [ ε ] 1 ε = 1 ( ) (1) µ por lo que a partr de (3) y tomando β= 1 ε podemos escrbr la famla de índces de Thel como 1 T( 1 ε) = ε( 1 ε) 1 ε { 1 [ 1 A( ε) ] } (13) 3 No es posble obtener un resultado tan nítdo para T(β) en térmnos de β. 3

20 con lo que T( 1 ε) es una transformacón monótonamente crecente del índce de Atnson (1970), A( ε ), para un valor dado de ε>0 y ε 1. En consecuenca A( ε ) representa exactamente las msmas ordenacones sobre dferentes vectores de renta, x, que la clase de meddas eneralzadas de entropía, para un valor dado de ε y su correspondente β. 4 como Para ε=1 obtenemos el msmo resultado ya que (11) puede escrbrse a partr de (6) ( T ) A() 1 = 1 exp ( 0) (14) por lo tanto ( A ) T( 0) = lo 1 ( 1) (15) lo que muestra que T(0) es una transformacón monótonamente crecente de A(1). Por tanto A( ε ) y T( β ) para ε>0 y β= 1 ε son índces ordnalmente equvalentes, el rann proporconado por ambos índces para cualquer conjunto de curvas de Lorenz será el msmo. Sn embaro, dado que la relacón entre ambos índces no es lneal no son cardnalmente equvalentes y, en consecuenca, no proporconan la msma vsón acerca de la reduccón o amplfcacón de las desualdades. Otros índces Aunque no realzaremos una dscusón pormenorzada de estadístcos descrptvos que ayuden a caracterzar la dstrbucón de una varable convene ntroducr aquí alunas meddas comunes de dspersón que han sdo utlzadas en el contexto de la medcón de la desualdad. n n Dos de las más habtuales de estas meddas son, () el rano, Rx ( ) = max{ x} = 1 mn{ x} = 1, y () la varanza. El rano relatvo se defne como la dferenca entre los valores máxmo y mínmo dvddo por la renta per capta meda, 1 n R x ( x x n µ ( ) = max{ } = 1 mn { } = 1) (16) µ 4 Obsérvese que valores de ε > 0 mplcan β < 1, por tanto valores elevados de aversón a la desualdad se corresponden con valores de β muy neatvos, en partcular ε es equvalente a β. 4

21 y toma valores en el ntervalo [ 01, / p ]. Puesto que nora todo lo que sucede entre los valores extremos, el rano no verfca el prncpo de las transferencas de Pou-Dalton. Aunque (16) ha sdo normalzado por µ otras normalzacones son posbles, por ejemplo n n max{ x} = 1 mn{ x} = 1 Rmn( x) = 1, que toma valores en el ntervalo [ 0, ], o R x n max ( ) = 1, n mn{ x} = 1 max{ x} = 1 que toma valores en el ntervalo [ 0, 1 ]. Al parecer el nterés por acotar los valores extremos en la dstrbucón de la renta y la rqueza se remonta al menos hasta Platón (Saunders (1970)). La varanza, Var ( x) = Σ p ( x ) ω µ (17) s cumple el prncpo de las transferencas de Pou-Dalton, al ual que la propedad de ndependenca del tamaño de la poblacón, pero vola la ndependenca respecto a la escala. Una forma de soluconar este problema es dvdr la varanza por el cuadrado de la renta per capta meda, lo que enera el cuadrado del coefcente de varacón, CV ω ( x) Varω ( x) = (18) µ que satsface las tres propedades báscas menconadas anterormente. Obsérvese que para 1 β =, T( ) = CVω ( x), por lo que estos índces son cardnalmente equvalentes. A dferenca de lo que sucede con G el coefcente de varacón, CVω ( x), valora de forma unforme las transferencas de renta dentro de la dstrbucón, es decr la mantud del cambo en CVω ( x) ante transferencas de rcos a pobres es ndependente de en que parte de la dstrbucón se realzan dchas transferencas. Por ello esta no es una medda de desualdad apropada s queremos atrbur más peso al extremo nferor de la dstrbucón, pero es un índce de dspersón perfectamente váldo s no nos preocupa en que parte de la dstrbucón se está producendo la ualacón de rentas. Al contraro de lo que sucede con Var ω (x), la varanza de los loartmos 5 consttuye un índce de desualdad que es ndependente de la escala, 5 Todos los loartmos son neperanos, es decr de base e. 5

22 Var (lo x) = Σ p (lo x lo ~ ) ω µ (19) donde lo µ ~ =Σp lo x. La varanza de los loartmos tamben satsface la propedad de ndependenca respecto al tamaño de la poblacón. Sn embaro, no verfca el prncpo de las transferencas de Pou-Dalton para la totaldad del domno de defncón de rentas, en concreto dcho prncpo no se satsface para rentas superores a µe ~, donde e es la base de los loartmos neperanos (Cowell (1995)). Frente a esta característca ndeseable, una propedad nteresante de Var ω (lo x), como la varanza de cualquer varable, es que es descomponble en la suma de dos componentes, un componente nter-rupos y otro componente ntra-rupos. Las propedades de dcha descomposcón serán brevemente analzadas más adelante. Otras característcas atractvas dervan de su relacón con la dstrbucón lonormal (Atchson y Brown (1957)). La desvacón de los loartmos de la renta per capta se realza en ocasones respecto al loartmo de la meda artmétca, loµ, en luar de respecto al loartmo de la meda eométrca, lo µ ~ (Sen (1973)). Esto enera una medda de desualdad leramente dferente, la varanza loarítmca, ν ω (lo x) = Σ p(lo x lo µ ) (0) que tambén es ndependente de la escala. Al ual que sucede con Var ω (lo x), ν ω (lo x) satsface la propedad de ndependenca respecto al tamaño de la poblacón pero tampoco verfca el prncpo de las transferencas de Pou-Dalton para la totaldad del domno de defncón de rentas, en concreto dcho prncpo no se satsface para rentas superores a µe. (Cowell (1995)). Puede comprobarse que ν ω (lo x) = Var(lo x) + (lo µ lo µ ~ ) (1) pero obsérvese que (loµ lo µ ~ ) es una medda de desualdad, T(0). Por lo tanto ν ω (lo x) es realmente la suma de dos meddas dferentes de desualdad, Varω (lo x) y T(0). Tanto Varω (lo x) como ν ω (lo x ) tenen una mportante lmtacón, al ual que sucede con T(0), no están defndas para dstrbucones con renta cero. 6

23 En líneas enerales podemos observar como las meddas de desualdad propuestas en la lteratura pueden entenderse como una meda artmétca de funcones de dstanca entre puntos, donde la ponderacón es la frecuenca relatva. Dcho de otra forma, se trata de índces que son lneales en las frecuencas y convexos en las dstancas. 6 Cuando la dstanca se expresa como una funcón al cuadrado pero se desea mantener la comparabldad con el nvel de la sere ornal se suele utlzar la raíz cuadrada del índce en cuestón. Como se menconó en la ntroduccón obsérvese que todos los índces son estadístcos ponderados, para obtener los correspondentes estadístcos no ponderados basta smplemente con susttur p por 1/n,. Fnalmente señalar que la aproxmacón seuda en este epírafe ha sdo meramente descrptva y no ha tomado una fundamentacón de nferenca estadístca. Meddas de varabldad, para datos muestrales, de muchos de los índces consderados pueden encontrarse en Kendall y Stuart (1963) u obtenerse aproxmacones asntótcas medante el método delta (Rao (1973)) o técncas de bootstrapn (Mlls y Zandval (1997)). En térmnos de la teoría estadístca para nferr s los cambos en una dstrbucón o curva de Lorenz son o no snfcatvos los últmos años han vsto un mportante crecmento de las técncas dsponbles a pesar de la complejdad del tema, una aplcacón nteresante de estas técncas puede verse en Bshop, Formby y Thstle (199). 7 6 Por el contraro las meddas de polarzacón propuestas por Esteban y Ray (1993, 1994) y Esteban (1996) son lneales en las dstancas y convexas en las frecuencas. La razón es que la dea de polarzacón trata de poner énfass de forma prortara en la smltud o dspardad entre los tamaños de las frecuencas relatvas de los dstntos puntos, es por ello que el concepto de polarzacón es adecuado en contextos multmodales. 7 Sobre consderacones teórcas acerca de como nferr la domnanca de una dstrbucón o curva de Lorenz sobre otra pueden consultarse Gal y Gastwrth (1978), Beach y Davdson (1983), Gastwrth y Gal (1985), Beach y Kals (1986), Howes (1993), Bshop, Chow y Formby (1994), Bshop, Charabort y Thstle (1994) y Davdson y Duclos (1997). Una aplcacón para España de estas técncas puede verse en del Río y Ruíz-Castllo (1996). 7

24 3. EXPLORANDO EL ORIGEN DE LA DESIGUALDAD. Una de las posbles aplcacones de los índces de desualdad es la de proporconarnos nformacón acerca de cuales son las causas de la msma, así como su mportanca relatva. Este epírafe aborda esta cuestón desde dversas perspectvas. Descomponer un índce adtvamente en una sere de factores equvale a determnar que parte de la desualdad total observada es atrbuda a cada uno de esos factores. Para ello requermos que los índces utlzados sean de naturaleza cardnal, es decr que su valor nos proporcone nformacón no sólo acerca de un mayor o menor rado de desualdad, sno tamben de cuanto mayor o cuanto menor rado de desualdad. A contnuacón consderamos la descomponbldad de un índce en varos sentdos. Descomposcón de un índce de desualdad por subrupos de poblacón. Este tpo de descomponbldad consste en la subdvsón de la poblacón en rupos homoéneos, exhaustvos y mutuamente excluyentes, para analzar que parte de la desualdad total es atrbuble a cada uno de estos rupos. De acuerdo con esta dea un índce areado de desualdad se dce que es adtvamente descomponble en sentdo débl s puede ser escrto como la suma de un componente nter-rupos y un componente ntra-rupos, donde () el componente nter-rupos, que mde la desualdad externa, es el valor del índce de desualdad cuando cada membro del rupo recbe la renta per capta meda de dcho rupo, y () el componente ntra-rupos, que mde la desualdad nterna, es una suma ponderada de los índces de desualdad para cada uno de los rupos, donde los pesos en la suma dependen sólo de las proporcones de renta y/o poblacón de dcho rupo. La desualdad nterna es, por tanto, una suma ponderada de la desualdad dentro de cada uno de los rupos, donde la ponderacón trata de reflejar el peso de cada rupo dentro del total. El índce de Gn, G, no es, en eneral, descomponble en el sentdo anteror, sn embaro la famla de índces de Thel sempre es descomponble de acuerdo con la anteror defncón, así como tambén, aunque en un sentdo leramente dferente, la varanza de los loarítmos dada por (19). Fnalmente el índce de Atnson (1970) no es descomponble en el sentdo menconado. Aunque nuestra atencón prortara se centrará en la famla de índces de Thel comentaremos brevemente sobre alunos de los resultados dsponbles para el índce de Gn, así como la menconada descomposcón referente a la varanza de los loartmos. 8

25 Sea = 1,,...,n el índce para las undades económcas de partda y = 1,,...,G el índce que denota las arupacones de dchas undades económcas de partda. Ahora denomnamos n al número de undades económcas de partda pertenecentes a la arupacón, por tanto N = Σ N, Y = Σ Y, p es la poblacón relatva respecto al total de la arupacón, p y n n N = = Σ p, y es la renta relatva respecto al total de la arupacón, N n Y Y 1 = = Σ y y µ es la renta per capta meda la arupacón, µ = = Σ px Y n n. N p De acuerdo con esta nomenclatura y la defncón de descomponbldad dada anterormente un índce de desualdad enérco, damos I, es adtvamente descomponble en sentdo débl s puede ser escrto como 8 G I = ω I + I0 () = 1 donde ω = ω ( p, y ), = 1,...,G, son las ponderacones de los índces de desualdad dentro de cada uno de los rupos, I, que se utlzan para obtener el componente ntra-rupos G (desualdad nterna), Σ =1ω I, e I 0 es el índce de desualdad nter-rupos (desualdad externa). A partr de esta descomposcón la contrbucón ntra-rupos (nterna) es defnda G como el cocente entre el componente ntra-rupos y el índce lobal, Σ =1ω I / I ; y la contrbucón nter-rupos (externa) es defnda como el cocente entre el componente nterrupos y el índce lobal, I0 / I. El componente ntra-rupos (desualdad nterna), Σ G =1ω I, nos ndca el rado de desualdad atrbuble a las desualdades dentro de las dversas arupacones, cuando no exsten desualdades entre las arupacones. Por su parte el componente nter-rupos (desualdad externa), I 0, nos ndca el rado de desualdad que podemos atrbur a las desualdades entre arupacones, ndependentemente de las desualdades dentro de cada arupacón. Más adelante volveremos de nuevo sobre esta cuestón. Puede demostrarse (Zaer (1983)) que el índce de Gn, G, para el total de la poblacón satsface la suente desualdad 8 Obsérvese que esta descomposcón puede andarse s las arupacones se subdvden a su vez en rupos homoéneos, exhaustvos y mutuamente excluyentes, en este caso aparecerán tres térmnos en (), ya que cada I se descompondrá en dos térmnos adconales. 9

26 G G pyg + G0 (3) = 1 El prmer térmno de la parte derecha de la desualdad (3) representa efectvamente el G componente ntra-rupos (desualdad nterna), Σ =1 es una suma ponderada de los pyg índces de Gn para cada uno de los rupos, donde las ponderacones son el producto de la proporcón de poblacón, p, por la proporcón de renta, y, de cada rupo sobre el total. Por lo tanto las ponderacones del componente ntra-rupos, ω = py, suman menos de la undad; obsérvese que la defncón de descomponbldad dada anterormente no requere que las ponderacones sumen la undad, es decr el componente ntra-rupos no tene por que ser una meda ponderada de los índces de cada uno de los rupos, aunque como veremos a contnuacón ello enera problemas de nterpretacón a la hora de establecer la contrbucón porcentual a la desualdad lobal de cada una de las arupacones. El seundo térmno de la parte derecha de la desualdad (3) representa, por defncón, el componente nter-rupos (desualdad externa), G 0, que no es más que el índce de Gn aplcado a partr de los datos areados a las arupacones consderadas. La desualdad (3) se converte en ualdad sólo cuando las dstrbucones de los dferentes rupos no se solapan, úncamente en este caso el índce de Gn puede descomponerse en la suma de un componente ntra-rupos y un componente nter-rupos. Un ejemplo obvo de esta stuacón ocurre cuando la poblacón es dvdda en dos arupacones de acuerdo con un umbral de pobreza, de forma que tenemos un rupo de pobres y otro de nopobres, esta característca ha facltado la utlzacón del índce de Gn en la construccón de ndcadores de pobreza (Sen (1976), Blacorby y Donalson (1980), Shorrocs (1995), Charavarty (1983, 1990, 1997)), que cobran especal relevanca con la ut lzacón de datos mcroeconómcos. Otra crcunstanca en la que se produce esta stuacón es cuando G 0,, de forma que toda la desualdad provene de las dferencas entre arupacones, = en este caso G = G 0. Lo contraro no es, sn embaro, certo, cuando la desualdad externa es nula, G 0 = 0 porque µ = µ, y toda la desualdad provene de las dferencas dentro de las arupacones entonces, G = G Σ 1 p y G, ya que en este caso no se cumple la propedad de no solapamento entre las dstrbucones de los dferentes rupos. Así pues el índce de Gn no es, en eneral, descomponble adtvamente en el sentdo señalado al prncpo de este epírafe. Además, y aún en aquellos casos partculares en los que se verfca la menconada descomponbldad, el componente ntra-rupos no puede ser defndo como una meda, y no smplemente una suma, ponderada por las proporcones de 30