Texto guía para prácticas Pascual Martí Montrull Gregorio Sánchez Olivares Pedro Martínez Castejón Concepción Díaz Gómez

Transcripción

1 Análss de Estructuras Teto guía para práctcas Pascual Martí Montrull Gregoro Sánchez Olvares Pedro Martínez Casteón Concepcón Díaz Gómez

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3 ÍNDICE LISTA DE FIGURAS... LISTA DE SÍMBOLOS... v 1. INTRODUCCIÓN ESTRUCTURA Y REALIZACIÓN DE LAS PRÁCTICAS Estructura de las práctcas Realzacón de las práctcas OBJETIVOS DE LAS PRÁCTICAS PROGRAMA DE PRÁCTICAS PRÁCTICAS... 5 Práctca 1: Utlzacón del programa de cálculo numérco MATLAB... 5 Práctca : Análss matrcal de estructuras artculadas sostátcas por el método de los nudos... 9 Práctca 3: Determnacón de las característcas elástcas de una peza de nerca varable... 1 Práctca 4: Obtencón drecta de la matrz de rgdez de una estructura Práctca 5: Desarrollo de un programa de análss matrcal de estructuras de nudos artculados Práctca 6: Desarrollo de un programa de análss matrcal de estructuras de nudos rígdos Práctca 7: Análss de una estructura plana de nudos rígdos Práctca 8: Análss de una estructura espacal de nudos rígdos... 75

4 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS Práctca 9: Análss de un emparrllado de cmentacón Práctca 10: Determnacón de la carga crítca de pandeo global de una estructura 89 Práctca 11: Desarrollo de un programa de análss por elementos fntos Práctca 1: Análss de errores en el método de los elementos fntos Práctca 13: Modelado análss de un elemento estructural contnuo medante el programa de elementos fntos AMEF Práctca 14: Modelado análss de un elemento estructural contnuo medante el programa de elementos fntos ANSYS Práctca 15: Análss epermental de una estructura metálca con técncas de etensometría eléctrca ANEXO I EL MÉTODO DE LAS RIGIDECES ANEXO II SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

5 LISTA DE FIGURAS Fgura 1.1 Vga a analzar... 5 Fgura.1 Estructuras a analzar... 9 Fgura. Sstemas de coordenadas, fuerzas esfuerzos Fgura.3 Formulacón matrcal del método de los nudos. Dagrama de fluo Fgura.4 Estructura nestable Fgura 3.1 Peza de nerca varable peza de nerca constante... 1 Fgura 3. Desplazamentos gros en la peza... Fgura 3.3 Peza perfectamente empotrada en ambos etremos... 3 Fgura 3.4 Pezas perfectamente empotradas en un etremo artculadas en el otro... 4 Fgura 3.5 Factores de transmsón... 5 Fgura 3.6 Rgdez al gro en un etremo con el otro etremo empotrado... 6 Fgura 3.7 Rgdez al gro en un etremo con el otro etremo artculado... 7 Fgura 3.8 Peza de nerca varable con seccón en doble T Fgura 3.9 Entramado frontal Fgura 3.10 Dagramas de momentos flectores Fgura 3.11 Flecha máma seccón de abscsa fma donde se produce Fgura 4.1 Estructura para obtener la matrz de rgdez Fgura 4. Sstema de coordenadas global grados de lbertad Fgura 4.3 Fuerzas generalzadas debdas al desplazamento D Fgura 4.4 Modelo de análss para DISSENY/ Fgura 4.5 Elemento : ees prncpales, seccón transversal plano de la estructura Fgura 5.1 Estructura plana de nudos artculados Fgura 5. Sstemas de coordenadas locales de la barra... 4

6 v ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS Fgura 5.3 Nudos grados de lbertad Fgura 5.4 Sstema de coordenadas global de la estructura sstemas de coordenadas locales de las barras Fgura 5.5 Codfcacón de nudos barras para el análss con DISSENY/ Fgura 5.6 Reaccones deformada de la estructura Fgura 5.7 Grados de lbertad Fgura 6.1 Estructura plana de nudos rígdos Fgura 6. Sstemas de coordenadas para estructuras planas de nudos rígdos Fgura 6.3 Vga con carga unformemente repartda Fgura 6.4 Vga con carga puntual Fgura 6.5 Nudos grados de lbertad Fgura 6.6 Sstema de coordenadas global de la estructura sstemas de coordenadas locales de las barras Fgura 6.7 Codfcacón de nudos barras para el análss con DISSENY/ Fgura 6.8 Estructura con artculacón en el nudo... 6 Fgura 6.9 Elemento : ees prncpales, seccón transversal plano de la estructura Fgura 7.1 Estructura plana con elementos de nerca varable Fgura 7. Modelo de análss para DISSENY/006: caso 1º Fgura 7.3 Modelo de análss para DISSENY/006: caso º Fgura 7.4 Modelo del empotramento elástco en la base con DISSENY/ Fgura 7.5 Modelo de análss para DISSENY/006: caso 3º Fgura 7.6 Modelo de análss para DISSENY/006: caso 4º Fgura 7.7 Esquema para comparacón de resultados del análss de una estructura plana de nudos rígdos Fgura 8.1 Slo metálco clíndrco para cemento Fgura 8. Modelo de análss: ees globales, ees locales seccones transversales de los elementos barra de nudos rígdos Fgura 8.3 Modelo de análss: tpo de elementos estados de carga Fgura 9.1 Emparrllado de cmentacón Fgura 9. Modelo de análss del emparrllado... 8 Fgura 9.3 Codfcacón de nudos elementos para el análss del emparrllado con DISSENY/ Fgura 9.4 Áreas del emparrllado asocadas a muelles Fgura 9.5 Seccón efcaz del hormgón para elementos del emparrllado Fgura 9.6 Sobrecargas sobre el emparrllado... 86

7 LISTA DE FIGURAS v Fgura 10.1 Estructura plana para la determnacón de la carga crítca de pandeo global Fgura 10.a Esquema para comparacón de resultados de la determnacón de la carga crítca modos de pandeo de una estructura plana de nudos rígdos. Carga vertcal smétrca Fgura 10.b Esquema para comparacón de resultados de la determnacón de la carga crítca modos de pandeo de una estructura plana de nudos rígdos. Carga vertcal vento por la zquerda Fgura 10.c Esquema para comparacón de resultados de la determnacón de la carga crítca modos de pandeo de una estructura plana de nudos rígdos. Carga vertcal vento en ambos lados Fgura 11.1 Peza en voladzo con carga puntual Fgura 11. Elemento trangular: coordenadas, desplazamentos tensones Fgura 11.3 Modelo de análss de la peza sometda a tensón plana Fgura 11.4 Modelo de análss alternatvo para la peza sometda a tensón plana 114 Fgura 1.1 Vga empotrada con carga en su etremo lbre Fgura 1. Condcones de contorno cargas Fgura 1.3 Modelo de dseño Fgura 1.4 Condcones de contorno modfcadas cargas Fgura 13.1 Elemento estructural contnuo con un aguero en el centro Fgura 14.1 Elemento estructural contnuo con un aguero en el centro Fgura 14. Modelo CAD Fgura 14.3 Modelo CAD Fgura 14.4 Modelo 3 de elementos fntos Fgura 15.1 Estructura metálca colocada en un marco de ensaos Fgura 15. Galga etensométrca por resstenca eléctrca Fgura 15.3 Puente de Wheatstone Fgura 15.4 Estructura metálca: geometría Fgura 15.5 Estructura metálca: modelo de nudos artculados Fgura 15.6 Estructura metálca: modelo de nudos rígdos Fgura I.1 Sstema de referenca cartesano Fgura I. Sstema global Fgura I.3 Sstemas de coordenadas locales Fgura I.4 Sstemas de coordenadas X-Y Fgura I.5 Ángulos entre sstemas de coordenadas Fgura I.6 Ensamblae de la matrz de rgdez de la estructura

8 v Fgura I.7 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS (a) Estructura a analzar; (b) fuerzas de empotramento perfecto; (c) fuerzas eterores equvalentes

9 LISTA DE SÍMBOLOS MAYÚSCULAS ROMANAS A Área de la seccón transversal de un elemento. C Constante. D Desplazamento del nudo. D X (D Y, D Z ) Desplazamento en el ee X (Y, Z). E Módulo de elastcdad longtudnal. E Voltae de ectacón. F, F Fuerzas puntuales. (, ) F F F Fuerza puntual según el ee X (Y, Z). X Y Z H ( ) F F Fuerza puntual horzontal (vertcal). V G Módulo de elastcdad transversal. G X (G Y, G Z ) Gro alrededor del ee X (Y, Z). I Momento de nerca. I Intensdad de corrente. J, I t Módulo de torsón. K Factor de sensbldad de galga. L Longtud. M Momento flector. M Le de momentos flectores. N, N Esfuerzos aales. N, N, N m Funcones de forma de los nodos, m. P (P ) Fuerzas puntuales en el ee () en el punto. R Resstenca eléctrca. R (R ) Reaccón según el ee () en el punto. T Temperatura. U e Energía potencal total del elemento e. v

10 v ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS V Esfuerzo cortante. V AC Dferenca de potencal entre los puntos A C. V( V, V z) Esfuerzo cortante según el ee (, z) local. MAYÚSCULAS ROMANAS (VECTORES Y MATRICES) B Matrz geométrca. BB (B B, B m ) Matrz geométrca para el nodo (, m). D Vector de desplazamentos generalzados. D Matrz de elastcdad. F e Vector de fuerzas nodales en el elemento e. I Matrz undad. K Matrz de rgdez de la estructura. K e Matrz de rgdez del elemento e. Matrz de rgdez de un elemento en el sstema global. K L N P R Matrz operador lneal. Matrz funcón de forma. Vector de fuerzas puntuales generalzadas. Matrz de rotacón del sstema global al local. MINÚSCULAS ROMANAS a, b, d, h, h 0 Longtudes. b Número de barras en una estructura. e b, t a, t Espesores. ds Dferencal de superfce. dv Dferencal de volumen. d Desplazamento relatvo, perpendcular al ee longtudnal, entre los etremos de una peza. d (d ) Desplazamento del nudo (). e Varacón de longtud de una barra debda al esfuerzo aal. 0 e f ck k k t m (m ) n p Varacón de longtud de una barra debda a una varacón de temperatura o a una falta de auste. Resstenca característca del hormgón. Rgdez de un empotramento elástco. Factor de concentracón de tensones. Momento aplcado en el nudo (). Número de nudos en una estructura. Esfuerzos ales.

11 LISTA DE SÍMBOLOS q q h q v r u (v) u (u, u m ) X ( Y Carga unformemente repartda. Carga unformemente repartda horzontal. Carga unformemente repartda vertcal. Número de restrccones en una estructura. Desplazamentos en dreccón (). Desplazamentos en dreccón del nodo (, m). u u ) Desplazamento del nudo según el ee X (Y). v v, (v, v m ) Desplazamento en la dreccón perpendcular al ee longtudnal del elemento. Desplazamentos en dreccón del nodo (, m). MINÚSCULAS ROMANAS (VECTORES Y MATRICES) a Vector de desplazamento. a e Vector de desplazamentos de los nodos del elemento e. a (a, a m ) Vectores de desplazamentos del nodo (, m). b Vector de carga volumétrca. d Vector de desplazamentos del elemento en el sstema local. f Vector de fuerzas de volumen. k Matrz de rgdez del elemento en el sstema local. p Vector de fuerzas superfcales. p Vector de esfuerzos del elemento. u Vector de desplazamentos. t Vector de carga superfcal. MAYÚSCULAS GRIEGAS Incremento (de longtud, de temperatura, etc.). MINÚSCULAS GRIEGAS Coefcente de dlatacón térmca. 1,, 3, Constantes., Ángulos. ( ) Factor de transmsón del etremo () al etremo () de la peza. ( ) Deformacón longtudnal. Flecha. Deformacón untara. Deformacón en dreccón ().

12 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS 0 ( ) Dámetro antes de la deformacón. Dámetro después de la deformacón. Deformacón transversal. Momento de empotramento perfecto en el etremo () del elemento. Gro en un nudo. ( ) eq 1, ( ) Gro en el etremo () de la peza. Peso específco. Resstvdad del materal. Tensón. Tensón equvalente de Von Mses. Tensones prncpales. Tensón normal en dreccón ( ). Le de relacón de nercas. ma Tensón tangencal máma. Tensón tangencal. Coefcente de Posson. MINÚSCULAS GRIEGAS (VECTORES Y MATRICES) Vector de deformacones. Vector de tensones.

13 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS 1 INTRODUCCIÓN Este teto guía se ha elaborado como apoo a la realzacón de las práctcas de Análss de Estructuras de las ttulacones de Ingenería Arqutectura. El avance de las técncas nformátcas en los últmos años ha provocado un aumento de la capacdad de cálculo de los ordenadores. El desarrollo contnuado del hardware del software permte ho en día el análss de estructuras de gran tamaño /o compledad, mpensable hace unos pocos años. La maor parte del teto está dedcado a las práctcas relaconadas con los métodos de análss de estructuras con ordenador. Para las estructuras dscretas, se proponen práctcas relaconadas con los métodos cláscos de análss de estructuras, como paso prevo a las práctcas relaconadas con los métodos matrcales (más adecuados para su mplementacón en programas de ordenador, debdo al carácter sstemátco de los msmos). Debdo al aumento que está epermentando el uso del Método de los Elementos Fntos en la ndustra, se han ncludo varas práctcas de programacón aplcacón del método para el análss de estructuras contnuas. Se ha ncludo una práctca de análss epermental para que los alumnos vean el comportamento real de una estructura en carga conozcan las técncas de medda de desplazamentos, deformacones tensones. Además, con esta práctca epermental, los alumnos pueden comparar el comportamento real de la estructura con los resultados obtendos medante las técncas numércas. Para la correcta realzacón de estas práctcas son necesaros los conocmentos proporconados por la Mecánca, la Elastcdad la Resstenca de Materales. Para las práctcas de Análss Matrcal del Método de los Elementos Fntos, es necesaro, tambén, tener conocmentos de álgebra matrcal de cálculo numérco. Fnalmente, para el desarrollo adecuado de las práctcas es necesaro tener unos conocmentos elementales de programacón, conocer los sstemas operatvos de los ordenadores personales (Wndows000/Me/XP). 1

14 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS ESTRUCTURA Y REALIZACIÓN DE LAS PRÁCTICAS.1 Estructura de las práctcas Como regla general, en cada una de las práctcas aparecen los sguentes apartados: 1 Obetvos. Se eponen los obetvos globales parcales de la práctca, con el fn de que el alumno conozca el problema que va a resolver los conocmentos que va a adqurr. Fundamentos teórcos. Se recogen los fundamentos teórcos más mportantes se complementan con otros necesaros para la realzacón de la práctca. 3 Desarrollo de la práctca. Se eponen los pasos que el alumno debe segur en la realzacón de la práctca. En cada uno de los pasos se ndcan las tareas operacones parcales a realzar. Se ndcan tambén algunas notas cuestones que el alumno debe tener en cuenta para saber lo que está hacendo en cada momento las alternatvas estentes. Estas notas cuestones son mu mportantes para que la práctca no se converta en la smple realzacón de una sere de operacones más o menos compleas. 4 Actvdades de aplcacón. Se proponen una sere de actvdades que el alumno debe ser capaz de poder realzar como resultado de los conocmentos adqurdos de las herramentas desarrolladas durante la práctca. Estas actvdades son complementaras a la práctca, srven para que el alumno pueda profundzar más en el análss de estructuras. 5 Bblografía. Se recogen los lbros manuales necesaros para la realzacón de la práctca para amplar los conocmentos relaconados con la msma. 6 Enlaces de nterés. Se recogen algunos enlaces a págnas web que pueden ser de nterés para la realzacón de la práctca para amplar los conocmentos relaconados con la msma. 7 Preguntas de evaluacón de aprendzaes. Se proponen una sere de cuestones /o problemas sobre los contendos de la práctca. Estas preguntas pueden servr para que el alumno evalúe su nvel de conocmentos. Igual que las actvdades de aplcacón, estas preguntas no son actvdades a realzar en el laboratoro. En unos pocos casos, en funcón de las característcas partculares de la práctca, se suprme alguno de estos apartados o se nclue alguno nuevo.. Realzacón de las práctcas Para la realzacón de las práctcas es recomendable formar grupos de dos o tres alumnos. Las sesones de práctcas serán de dos o tres horas. En el horaro de clases práctcas se realzarán las sguentes actvdades: 1 eplcacón de la práctca por parte del profesor, con el obeto de resaltar los aspectos más mportantes; realzacón de la práctca toma de datos, 3 entrega de un borrador de la práctca con los resultados obtendos. En horaro lbre, cada grupo de práctcas deberá realzar la memora completa de la práctca, elaborada según el modelo sguente: 1 Portada: Unversdad, Escuela, Ttulacón, Curso Asgnatura; número título de la práctca; número del grupo de práctcas nombre apelldos de los alumnos que lo forman,

15 OBJETIVOS DE LAS PRÁCTICAS 3 fecha de realzacón de la práctca fecha de entrega de la memora. Índces lstas: índce de teto; lsta de fguras, lsta de tablas. 3 Desarrollo de la práctca: lstado de programas dagramas de fluo (en caso de realzar programas de ordenador); lstado de fcheros de datos de resultados, tablas, gráfcos, fguras, etc. 4 Análss de los resultados conclusones: análss de resultados (tablas, gráfcos fguras), conclusones. 5 Actvdades de aplcacón realzadas (optatvo). 6 Preguntas de evaluacón de aprendzaes resueltas (optatvo). El plazo de entrega de la memora es de dos semanas desde la fecha de realzacón de la práctca en el laboratoro. En un plazo de dos semanas deben corregr las memoras de las práctcas devolverlas a los alumnos, con el obeto de que estos conozcan los resultados puedan meorar sus conocmentos de análss de estructuras. 3 OBJETIVOS DE LAS PRÁCTICAS El obetvo global de las práctcas de Análss de Estructuras es que el alumno tenga los conocmentos sufcentes para poder modelar analzar las estructuras que tendrá que dseñar durante su vda profesonal. Para cumplr este obetvo global es necesaro consegur tres obetvos parcales: consoldar los conocmentos teórcos adqurdos en las clases de teoría; aprender a utlzar programas de ordenador académcos /o comercales, conocer las técncas epermentales de medda de desplazamento, deformacones tensones. 4 PROGRAMA DE PRÁCTICAS Para cumplr los obetvos señalados en el apartado anteror se han elaborado 15 práctcas, dvddas en cuatro bloques: Famlarzacón con las herramentas necesaras para el análss numérco de estructuras Práctca 1: Utlzacón del programa de cálculo numérco MATLAB. Realzacón de programas de ordenador de aplcacón de los fundamentos teórcos del análss de estructuras Práctca : Análss matrcal de estructuras artculadas sostátcas por el método de los nudos. Práctca 3: Determnacón de las característcas elástcas de una peza de nerca varable. Práctca 5: Desarrollo de un programa de análss matrcal de estructuras de nudos artculados. Práctca 6: Desarrollo de un programa de análss matrcal de estructuras de nudos rígdos.

16 4 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS Práctca 10: Determnacón de la carga crítca de pandeo global de una estructura. Práctca 11: Desarrollo de un programa de análss por elementos fntos. Utlzacón de programas de ordenador académcos comercales Práctca 4: Obtencón drecta de la matrz de rgdez de una estructura. Práctca 7: Análss de una estructura plana de nudos rígdos. Práctca 8: Análss de una estructura espacal de nudos rígdos. Práctca 9: Análss de un emparrllado de cmentacón. Práctca 1: Análss de errores en el método de los elementos fntos. Práctca 13: Modelado análss de un elemento estructural contnuo, medante el programa de elementos fntos AMEF. Práctca 14: Modelado análss de un elemento estructural contnuo, medante el programa de elementos fntos ANSYS. Análss epermental de estructuras Práctca 15: Análss epermental de una estructura metálca con técncas de etensometría eléctrca.

17 Práctca 1 UTILIZACIÓN DEL PROGRAMA DE CÁLCULO NUMÉRICO MATLAB 1 OBJETIVOS El obetvo global de la práctca es famlarzar al alumno con las herramentas modernas de cálculo numérco adecuadas para la resolucón de problemas de análss de estructuras. Los obetvos parcales de la práctca son: 1 Conocer los comandos más útles de MATLAB para resolver problemas de análss de estructuras. Realzar un programa, medante comandos de MATLAB, para obtener las reaccones esfuerzos de la vga de la Fg A L 1 L P Y1 L P Y L = 10 m M 1 P M B L X 1 = 5 m B DATOS: L = 7,5 m P Y1 = -80 kn M 1 = -100 kn m P Y = -100 kn P X = 60 kn M B = -80 kn m Fgura 1.1 Vga a analzar. FUNDAMENTOS TEÓRICOS Las epresones de las reaccones esfuerzos de la vga de la Fg. 1.1 son las sguentes: 1 Reaccones a partr de las ecuacones de equlbro FY 0 ; FX 0 ; M 0 (1.1a) 5

18 6 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS se obtene R YA R R XA P X YB n 1 n 1 P ( L L ) M Y n 1 Y L P R YA (1.1b) (1.1c) (1.1d) Esfuerzos cortantes: sumando reaccones fuerzas vertcales a la zquerda de la seccón consderada (postvo según ee ) 1 V( L) R P (1.) YA Y k k 1 3 Momentos flectores: sumando momentos a la zquerda de la seccón consderada (horaro postvo) M ( L) R YA 1 k 1 P Yk L k M k (1.3) 4 Esfuerzos ales: sumando reaccones fuerzas horzontales a la zquerda de la seccón consderada (postvo según ee )) 1 V( L) R P (1.4) YA Y k k 1 Para más detalles puede consultarse la bblografía Rodríguez-Aval, DESARROLLO DE LA PRÁCTICA 3.1 Equpos, hardware software necesaros para la realzacón de la práctca Hardware: ordenador PC Pentum III o superor. Software: sstema operatvo Wndows 000/Me/XP, programa MATLAB, versón 4.0 o superor para Wndows. 3. Comandos de MATLAB Los comandos de MATLAB necesaros para desarrollar un programa de análss para la vga de la Fg. 1.1 son: COMANDOS DESCRIPCIÓN EJEMPLO DE USO help Proporcona tetos de auda sobre comandos MATLAB. % Delante de un teto hace que MATLAB lo consdere como comentaro (no eecutable). help format % esto es un comentaro

19 UTILIZACIÓN DEL PROGRAMA DE CÁLCULO NUMÉRICO MATLAB 7 COMANDOS DESCRIPCIÓN EJEMPLO DE USO format dar nput Defne el formato para la escrtura de datos. format long format long e Defne el fchero de salda de resultados. dar salda.res Da mensae para la ntroduccón de datos por el teclado los asgna a una varable. dsp Escrbe el valor de una varable. dsp(area) for k = 1:n operacón end f condcón operacón 1 else operacón end Repte una operacón o grupo de operacones n veces. Seleccona una/s operacón/es en funcón de que se cumpla o no una condcón lógca. s=nput( ntroducr s ) for n = 1:10 dsp(n) end f a > 1 a = a-1 else a = a+1 end plot Representa gráfcamente un/os vector/es. plot(v,v,vz) grd ttle label label Genera una retícula en una representacón gráfca. Añade un título general en una representacón gráfca. Añade un nombre al ee de abcsas en una representacón gráfca. Añade un nombre al ee de ordenadas en una representacón gráfca. plot(v) grd plot(v) ttle( esfuerzos cortantes ) plot(v) label( metros ) plot(v) label( toneladas ) 3.3 Desarrollo del programa de análss de la vga con comandos de MATLAB Se propone el sguente esquema de trabao: Nº TAREAS OPERACIONES PARCIALES COMANDOS NOTAS Y CUESTIONES 1 Elaboracón del dagrama de fluo. Defncones ncales. Encabezamento. Formatos numércos. Fcheros de resultados. Lectura de datos. 3 Entrada de datos. Geometría. Restrccones. Cargas. % format dar nput nput eval En el encabezamento se nclurá: - nº del grupo; - alumnos del grupo, - fecha de realzacón. 4 Cálculo de reaccones. Epresones (1.1b), (1.1c) (1.1d).

20 8 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS Nº TAREAS OPERACIONES PARCIALES 5 Cálculo de las lees de esfuerzos cortantes, momentos flectores esfuerzos ales. COMANDOS for... end f... else... end NOTAS Y CUESTIONES Para la eleccón del ntervalo de cálculo ha que tener en cuenta que ha que obtener los valores mámos. Epresones (1., ). 6 Gráfcas de los dagramas de esfuerzos. Dagrama de cortantes. Dagrama de flectores. Dagrama de ales. plot ttle label label grd Señalar los valores mámos las seccones de abscsa donde se producen. 3.4 Memora de la práctca Se realzará de acuerdo con las drectrces generales, deberá nclur, como mínmo: 1 El dagrama de fluo del programa desarrollado; el lstado del programa, 3 las gráfcas de los dagramas de esfuerzos. 4 ACTIVIDADES DE APLICACIÓN Como actvdades de aplcacón se proponen las sguentes: 1 Amplacón del programa desarrollado para poder consderar cargas unformemente repartdas. Amplacón del programa desarrollado para poder calcular dbuar la deformada de la vga. 5 BIBLIOGRAFÍA 1 Harrson, H.B. Structural analss desgn: some mcrocomputer applcatons ( tomos). Oford: Pergamon Press, MATLAB Hgh-Performance Numerc Computaton and Vsualzaton Software: user gude. Natck: The MathWorks, MATLAB Hgh-Performance Numerc Computaton and Vsualzaton Software: reference gude. Natck: The MathWorks, MATLAB Resumen de comandos para práctcas de análss de estructuras. Área de MMCTE, UPCT, Cartagena, Rodrguez-Aval, F. Resstenca de materales ( tomos). Seccón de Publcacones ETSII Unversdad Poltécnca, Madrd, ENLACES DE INTERÉS 1

21 Práctca ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS POR EL MÉTODO DE LOS NUDOS 1 OBJETIVOS El obetvo global de la práctca es desarrollar aplcar un programa de análss matrcal de estructuras artculadas sostátcas basado en el método de los nudos. Se pretende que el alumno adquera eperenca en el desarrollo utlzacón de programas de ordenador sencllos, conozca la problemátca asocada con casos partculares de nestabldad o condcones de apoo especales. Los obetvos parcales de la práctca son: 1 Desarrollar, medante comandos de MATLAB, un programa de análss matrcal de estructuras artculadas sostátcas por el método de los nudos. Aplcar el programa desarrollado para analzar las estructuras de la Fg kn 0 kn 50 kn 50 kn kn 3 60 kn 6 1 (a) NOTA: longtudes en metros 1 (b) 30º Fgura.1 Estructuras a analzar. 9

22 10 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS FUNDAMENTOS TEÓRICOS Se epone a contnuacón la formulacón matrcal del método de los nudos. Una eposcón más completa de la formulacón matrcal puede encontrarse en la bblografía (Martí, 003; West, 1984). Los fundamentos del método de los nudos pueden encontrarse, además, en (Norrs, 198). P h F P f Y g R F k R X (a) Y F X F F F Y -Y Y F X (b) X -X Fgura. Sstemas de coordenadas, fuerzas esfuerzos. En una estructura plana de nudos artculados, estátcamente determnada, se cumple: 1 en cada uno de los n nudos ha un sstema de fuerzas concurrentes, para el que pueden plantearse dos ecuacones ndependentes de equlbro, el número total de ncógntas (b esfuerzos en las barras r reaccones en los apoos) es gual al número de ecuacones de equlbro de fuerzas (n).

23 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS Se aísla la barra de la Fg... Los crteros adoptados para el análss son: Las fuerzas eterores (fuerzas aplcadas reaccones) se suponen postvas s actúan en las dreccones postvas del sstema de ees cartesano X-Y. Las fuerzas en las barras se toman de forma que su sentdo corresponda a un esfuerzo de traccón sobre la barra. En todos los equlbros se consderan accones sobre los nudos. En el etremo de la barra -, la fuerza F se puede descomponer en sus componentes F e F, dadas por las epresones X - X F = F cos = F = F l (.1a) L Y - Y F = F cos = F = F m (.1b) L En estas epresones l m son los cosenos drectores de la barra, a que dan los cosenos de los ángulos (meddos en sentdo contraro a las aguas del relo) entre los ees X e Y, la barra. En el etremo, la fuerza F se descompone en sus componentes F F, dadas por las epresones X-X F = F cos = F Fl (.a) L Y - Y F = F cos = F = F m (.b) L sendo l m los cosenos drectores de la barra. Debdo al equlbro nterno en la barra, F = F. Por otro lado, vendo las ecuacones (.1) (.) se observa que l = - l que m = - m. Así pues, puede escrbrse F = F l (.3a) F = F m (.3b) F = F (- l ) = -F (.3c) F = F (- m ) = -F (.3d) Aplcando las ecuacones de equlbro a los nudos se tene F = 0 F + F + F + F + R = 0 g h k F = 0 F + F + F + F + R = 0 g h k (.4a) (.4b) F = 0 F + F h + F k + F f + P = 0 (.4c) F = 0 F + F + F + F + P = 0 (.4d) h k f

24 1 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS Utlzando las ecuacones (.3), las ecuacones (.4) quedan en la forma sguente F = 0 F l + F l + F l + F l + R = 0 (.5a) g g h h k k F = 0 F m + F m + F m + F m + R = 0 g g h h k k F = 0 F l - F l + F l + F l + P = 0 h h k k f f F = 0 F m - F m + F m + F m + P = 0 h h k k f f (.5b) (.5c) (.5d) S la estructura tene un total de n nudos, se pueden escrbr n ecuacones smlares a estas. En forma matrcal estas ecuacones son barra/reaccón g h k h k f R R F F l l l l F m m m m F l l l l 0 0 F m m m m 0 0 F F R R g h k k g h k h k f h h k f k g h f 0 0 P P (.6) (n n) (n 1) (n 1) Puesto que ha n ecuacones, no pueden haber más de n ncógntas. S hubera más de n ncógntas, el sstema sería ndetermnado. Por el contraro, s hubera menos de n ncógntas, no habría una solucón únca, lo que ndcaría que la estructura es nestable. La ecuacón (.6) puede ponerse en forma abrevada como CF = - P (.7) sendo C la matrz de cosenos drectores, F el vector de fuerzas en barras reaccones desconocdas, P el vector de fuerzas eterores. Formalmente, la solucón de este sstema de ecuacones de equlbro se puede poner en la forma F = - C -1 P (.8) sendo C -1 la nversa de la matrz C. Para que la estructura sea nestable es necesaro que no esta la matrz nversa C -1. Esto se produce cuando el determnante de la matrz C es gual a cero. En la Fg..3 se muestra un posble dagrama de fluo para mplementar un programa de ordenador basado en el desarrollo teórco anteror.

25 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS INICIO k=b nhc n, b k=k+1 nnc nudos,x(),y() =1,,..,n restrccones kn, kg C(kn-+kg,k)=1 ncalzacón P( )=0 =1,,...,n fuerzas k,p,p Incalzacón C(, )=0 =1,,...,n =1,,...,n NO Todas las restrccones SI P(k-1)=P P(k)=P Cnv= nv(c) barras k,, NO SI Todos los nudos F=Cnv(- P) L(, )=[(X()-X())+(Y()-Y())]1/ C(-1,k)=l(, )=(X()-X())/L(, ) C(,k)=m(, )=(Y()-Y())/L(, ) C(-1,k)=l(,)=-l(, )=-C(-1,k) Esfuerzos Reaccones NO C(,k)=m(,)=-m(, )=-C(,k) Todas las SI 1 barras NO Todos los estados de carga SI FIN Fgura.3 Formulacón matrcal del método de los nudos. Dagrama de fluo.

26 14 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS 3 DESARROLLO DE LA PRÁCTICA 3.1 Equpos, hardware software necesaros para la realzacón de la práctca Hardware: ordenador PC Pentum III o superor. Software: sstema operatvo Wndows 000/Me/XP, programa MATLAB, versón 4.0 o superor para Wndows. 3. Desarrollo de un programa de análss matrcal de estructuras artculadas sostátcas basado en el método de los nudos Se propone el sguente plan de trabao: Nº TAREAS OPERACIONES PARCIALES 1 Defncones ncales. Encabezamento. Formatos numércos. Fcheros de resultados. Entrada de datos. Coordenadas. Elementos. Restrccones. Cargas. 3 Cálculo de la matrz de coefcentes (C). 4 Cálculo de los vectores de fuerzas en los nudos (P). 5 Obtencón de los esfuerzos en las barras de las reaccones. Cálculo de cosenos drectores. Cálculo de columnas de la matrz C para restrccones. Obtener el vector de fuerzas eterores (P) para cada estado de carga. Obtener la nversa de la matrz C. COMANDOS % format dar nput eval fopen fscanf fclose sort for var.=ep. Declaracón end for var.=ep. Declaracón end f varable declarac. 1 else declarac. end sqrt for var.=ep. declaracón end nv.* NOTAS Y CUESTIONES En el encabezamento se nclurá: - nº del grupo; - alumnos del grupo, - fecha de realzacón. Se planteará la utldad de hacer la lectura con una nterface gráfca de usuaro más avanzada. Dagrama de fluo de la Fg..3. Ecuacón (.6). Dagrama de fluo de la Fg..3. Dagrama de fluo de la Fg..3. Ecuacón (.8).

27 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS Nº TAREAS OPERACIONES PARCIALES Obtener el vector de esfuerzos en las barras reaccones (F) para cada estado de carga. COMANDOS NOTAS Y CUESTIONES Solo es necesaro calcular la nversa una vez. 6 Salda de resultados de esfuerzos reaccones. Esfuerzos. Reaccones. dsp plot grd ttle label label Para cada estado de carga. Representacones numércas gráfcas. 3.3 Análss de dos estructuras compleas con el programa desarrollado Se propone el sguente plan de trabao: Nº TAREAS OPERACIONES PARCIALES NOTAS Y CUESTIONES 1 Analzar la estructura de la Fg..1a. Entrada de datos. Eecucón. Análss de resultados. Comprobar, medante las ecuacones de equlbro, que el problema está ben resuelto. Provocar una nestabldad estátca. Provocar una nestabldad estátca. Analzar la respuesta del programa. Tener en cuenta que la estructura debe cumplr que b+r = n, sendo: - b = nº de barras - r = nº de restrccones - n = nº de nudos. 3 Provocar una nestabldad geométrca. 4 Sn modfcar el programa, n cambar el sstema de coordenadas global, analzar la estructura de la Fg..1b. Provocar una nestabldad geométrca. Analzar la respuesta del programa. Realzar una nueva entrada de datos añadendo la barra horzontal entre los nudos 1, cambando el apoo del nudo para que sea nclnado. Eecucón. Tener en cuenta que la estructura debe cumplr que b+r = n. El programa desarrollado no puede consderar, drectamente, apoos nclnados. Ha que smularlos. 3.4 Memora de la práctca Se realzará de acuerdo con las drectrces generales deberá nclur, como mínmo: 1 El dagrama de fluo del programa propuesto en el apartado 3.; el lstado del programa, 3 los gráfcos, tablas, Fgs., etc., necesaros para eplcar lo realzado en los puntos de la tabla del apartado ACTIVIDADES DE APLICACIÓN Como actvdades de aplcacón se proponen las sguentes: 1 Amplacón del programa para analzar estructuras artculadas espacales.

28 16 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS Amplacón del programa para analzar estructuras artculadas con apoos nclnados. 5 BIBLIOGRAFÍA 1 Martí, P. Análss de Estructuras. Métodos cláscos matrcales. Horaco Escarabaal Ed., Cartagena, 003. MATLAB Hgh-Performance Numerc Computaton and Vsualzaton Software: user gude. Natck: The MathWorks, MATLAB Hgh-Performance Numerc Computaton and Vsualzaton Software: reference gude. Natck: The MathWorks, MATLAB Resumen de comandos para práctcas de análss de estructuras. Área de MMCTE, UPCT, Cartagena, Norrs, Ch.H.; Wlbur, J.B., Utku, S. Análss Elemental de Estructuras, ª ed., McGraw-Hll, Bogotá, West, H.H. Análss de Estructuras. Una Integracón de los Métodos Cláscos Modernos. CECSA, Méco, New York, PREGUNTAS DE EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES 6.1 Cuestones 1 Demostrar que las nestabldades estátca geométrca de una estructura sostátca no dependen de las fuerzas aplcadas sobre la estructura. Como se detecta, utlzando un programa de análss matrcal de estructuras basado en el método de los nudos, que una estructura de nudos artculados es estable, nestable, sostátca o hperestátca? 6. Problemas 1 Utlzando un programa de análss matrcal de estructuras basado en el método de los nudos, demostrar que la estructura de la Fg..4 es nestable NOTA: longtudes en metros Fgura.4 Estructura nestable. 7 ENLACES DE INTERÉS 1

29 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS ANEXO.1 LISTADO DEL PROGRAMA ANMAT 1 INTRODUCCIÓN Se da a contnuacón el lstado de un programa modelo (ANMAT) realzado con MATLAB. Este lstado puede servr de apoo para la realzacón de la prmera parte de la práctca, como medo de comprobacón de los resultados del programa realzado como programa para resolver otros problemas. Este programa, mplementado según el dagrama de fluo de la Fg..3, está en el fchero anmat.m. Los datos de la estructura a analzar (Fg..1 a), están en el fchero datos.dat. Ambos fcheros están en el soporte nformátco que se adunta con el teto de práctcas. LISTADO DEL PROGRAMA ANMAT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Programa ANMAT para el analss matrcal de estructuras % artculadas sostatcas planas por el metodo de los nudos % % Fchero anmat.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Inco % ****** clear all format compact % Fchero de escrtura de resultados % ********************************** lec_fch=0; whle lec_fch == 0 fch_dat=nput('ntroducr nombre de fchero de datos ','s'); esc_fch=nput(' quere escrtura de resultados en un fchero? [s/no]','s'); f esc_fch == 's' fch_res=nput('ntroducr nombre de fchero de resultados ','s'); eval(['delete ',fch_res]) eval(['dar ',fch_res]) dar on end % Entrada de datos % **************** % Apertura del fchero de datos % ============================= fd=fopen(fch_dat,'rt'); f fd == -1 dsp(' NO EXISTE EL FICHERO!!!'); lec_fch=0; else lec_fch=1; end end % Lectura del numero de nudos (n) de barras (b) % =============================================== [tet]=fscanf(fd,'%s',4); [n]=fscanf(fd,'%',1); [tet]=fscanf(fd,'%s',1); [b]=fscanf(fd,'%',1); [tet]=fscanf(fd,'%s',1); % Lectura de coordenadas X e Y de los nudos % ========================================= for _coor=1:n

30 18 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS [nn(_coor)]=fscanf(fd,'%',1); [n(_coor)]=fscanf(fd,'%f',1); [n(_coor)]=fscanf(fd,'%f',1); end % Ordena los datos de coordenadas del nudo 1 al nudo n % ==================================================== coor=[nn' n' n']; [coor(:,1),_nn]=sort(coor(:,1)); for _ord=1:n coor(_ord,)=n(1,_nn(_ord)); coor(_ord,3)=n(1,_nn(_ord)); end =coor(:,); =coor(:,3); % Lectura de barras % ================= [tet]=fscanf(fd,'%s',1); for _barras=1:b % Numero de la barra % [kb(_barras)]=fscanf(fd,'%',1); % Nudo ncal de la barra % [b(_barras)]=fscanf(fd,'%',1); % Nudo fnal de la barra % [b(_barras)]=fscanf(fd,'%',1); end % Lectura de restrccones % ======================== [tet]=fscanf(fd,'%s',1); r=*n-b; for _rest=1:r % Numero del nudo restrngdo % [kn(_rest)]=fscanf(fd,'%',1); % Grado de lbertad restrngdo: 1 = X ; = Y % [kg(_rest)]=fscanf(fd,'%',1); end % Lectura de los vectores de fuerzas en los nudos % =============================================== [tet]=fscanf(fd,'%s',); % Numero de hpotess de carga % nhc=fscanf(fd,'%',1); add=0; for _nhc=1:nhc [tet]=fscanf(fd,'%s',1); % Numero de nudos cargados en la hpotess de carga _nhc % nnc=fscanf(fd,'%',1); for _nnc=1:nnc [p(_nnc+add,1)]=_nhc; [p(_nnc+add,)]=fscanf(fd,'%',1); [p(_nnc+add,3)]=fscanf(fd,'%f',1); [p(_nnc+add,4)]=fscanf(fd,'%f',1); end add=add+nnc; end % Cerre del fchero de datos % =========================== status=fclose(fd); % Matrz de coefcentes (C) % ************************** % Incalzacon de vectores matrces % ===================================== c=zeros(b+r,b+r); nfo=zeros(r,); % Matrz de coefcentes C: cosenos drectores de las barras % ==========================================================

31 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS for _cos=1:b k=kb(_cos); =b(_cos); =b(_cos); L=(sqrt((()-())^ + (()-())^)); c(*-1,k)=(()-())/l; c(*,k)=(()-())/l; c(*-1,k)=-c(*-1,k); c(*,k)=-c(*,k); end % Matrz de coefcentes C: cosenos drectores de las reaccones % ============================================================== for _res=1:r c(*kn(_res)-+kg(_res),_res+b)=1; % Matrz de nformacon para escrtura de reaccones % ================================================== f kg(_res)==1 nfo(_res,1)=kn(_res); else nfo(_res,)=kn(_res); end end % Analss por hpotess de carga % ******************************* % Incalzacon de vectores matrces % ===================================== q=zeros(*n,1); f=zeros(*n,1); % Calculo de la nversa de la matrz de coefcentes C % ==================================================== cnv=nv(c); % Analss % ======== for a=1:nhc % Calculo del vector de fuerzas en nudos % d=1; for _carg=1:sze(p,1) f p(_carg,1) == a q(*p(_carg,)-1)=-p(_carg,3); q(*p(_carg,))= -p(_carg,4); end end % Resolucon del sstema de ecuacones de equlbro % f=cnv*q; % Salda de resultados % ******************** dsp('=========================') dsp(['hpotess ' numstr(a)]) dsp('=========================') dsp(' Barra Esfuerzo ') dsp(' ') for _esf=1:b, dsp([numstr(_esf),' ', numstr(f(_esf))]) end dsp(' ') dsp(' Reaccones ') dsp(' ') for _reac=b+1:*n, f nfo(_reac-b,1)~=0 nudo=nfo(_reac-b,1); dsp(['reaccon en X nudo ',numstr(nudo),' = ',numstr(f(_reac))]); elsef nfo(_reac-b,)~=0 nudo=nfo(_reac-b,); dsp(['reaccon en Y nudo ',numstr(nudo),' = ',numstr(f(_reac))]); end end end dar off

32 0 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS 3 LISTADO DE DATOS DATOS DE CONTROL NN= 8 NB= 1 COORDENADAS ELEMENTOS RESTRICCIONES CARGAS NHC= NNC= NNC=

33 Práctca 3 DETERMINACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS ELÁSTICAS DE UNA PIEZA DE INERCIA VARIABLE 1 OBJETIVOS El obetvo global de la práctca es obtener las característcas elástcas los momentos de empotramento perfecto de una peza de nerca varable. q h 0 h() 3h 0 b L b q h 0 h() = constante b L DATOS: E = 19 GPa; L = 10 m; b = 0,3 m; h 0 = 0,4 m; q = 0 kn/m. Fgura 3.1 Peza de nerca varable peza de nerca constante. 1

34 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS Los obetvos parcales de la práctca son: 1 Desarrollar, medante comandos de MATLAB, un programa que calcule los momentos de empotramento perfecto las característcas elástcas de las pezas de la fgura 3.1: 1.1 momentos de empotramento perfecto: para la peza empotrada en el etremo empotrada en el etremo, 1.1. para la peza empotrada en el etremo artculada en el etremo, para la peza artculada en el etremo empotrada en el etremo. 1. factores de transmsón. 1.3 rgdeces al gro: en el etremo de la peza con el etremo empotrado, 1.3. en el etremo de la peza con el etremo empotrado, en el etremo de la peza con el etremo artculado, en el etremo de la peza con el etremo artculado. Inclur en el programa el cálculo de los gros, la flecha máma la seccón de abscsa fma donde se produce. 3 Comparar los resultados comentar cómo les afectan las varacones de geometría de condcones de contorno. FUNDAMENTOS TEÓRICOS Se eponen a contnuacón las epresones necesaras para obtener las característcas elástcas los momentos de empotramento perfecto de pezas rectas de nerca varable. Una eposcón más completa de la formulacón puede encontrarse en la bblografía (Martí, 003)..1 Teoremas de Möhr.1.1 Prmer Teorema de Möhr M() dagrama de momentos flectores entre A B peza d elástca E A d I() B AB d tangente en A AB tangente en B Fgura 3. Desplazamentos gros en la peza.

35 DETERMINACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS ELÁSTICAS DE UNA PIEZA... 3 Sea la peza de la fgura 3.. El Prmer Teorema de Möhr dce: El ángulo entre las tangentes a la elástca en dos puntos A B de una peza, vene dado por el área del dagrama de momentos flectores dvddo por EI(), entre esos puntos. La epresón del Prmer Teorema de Möhr es B M( ) AB ds (3.1a) EI( ) A sendo AB el ángulo entre las tangentes a la elástca en dos puntos A B; M() el momento flector en una seccón de abscsa ; E el módulo de elastcdad longtudnal de la peza, e I() el momento de nerca en una seccón de abscsa..1. Segundo Teorema de Möhr Sea la peza de la fgura 3.. El Segundo Teorema de Möhr dce: La dstanca desde un punto A de la elástca hasta la tangente a otro punto B de la elástca, es gual al momento estátco del área del dagrama de momentos flectores dvdda por EI(), respecto al punto A. La epresón del Segundo Teorema de Möhr es B M( ) AB ds (3.1b) EI( ) A sendo AB la dstanca desde un punto A de la elástca hasta la tangente a otro punto B de la elástca.. Momentos de empotramento perfecto..1 Peza perfectamente empotrada en ambos etremos q(), F, M I() E L Fgura 3.3 Peza perfectamente empotrada en ambos etremos. Sea la peza de la fgura 3.3, perfectamente empotrada en los etremos, a la que se le aplca un sstema de cargas q(), F, M. El momento de empotramento perfecto en el etremo ( ) es el momento que se produce en el etremo de la peza debdo a la aplcacón del sstema de cargas a las condcones de contorno mpuestas en los etremos. La epresón del momento de empotramento perfecto es

36 4 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) =- M d d M d d L ( ) d ( L) ( ) d - ( L) ( ) d ( ) d (3.a) sendo L la longtud de la peza; M () la le de momentos flectores de la peza sostátca (lberados los gros en los etremos) debda a la accón de las cargas eternas, I0 ( ) ; con I 0 que es el momento de nerca mínmo de la peza, e I() que es el I ( ) momento de nerca de la peza en una seccón de abscsa. Igualmente, el momento de empotramento perfecto en el etremo ( ) es el momento que se produce en el etremo de la peza debdo a la aplcacón del sstema de cargas a las condcones de contorno mpuestas en los etremos. La epresón del momento de empotramento perfecto es M( ) ( d ) ( L ) ( d ) - M( ) ( d ) ( L) ( d ) ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) d L d L d d L (3.b).. Peza perfectamente empotrada en un etremo artculada en el otro q(), F, M I() E (a) L q(), F, M I() E (b) L Fgura 3.4 Pezas perfectamente empotradas en un etremo artculadas en el otro.

37 DETERMINACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS ELÁSTICAS DE UNA PIEZA... 5 Sea la peza de la fgura 3.4a, perfectamente empotrada en el etremo artculada en el etremo, a la que se le aplca un sstema de cargas q(), F, M. El momento de empotramento perfecto en el etremo ( ) es el momento que se produce en el etremo de la peza debdo a la aplcacón del sstema de cargas a las condcones de contorno mpuestas en los etremos. La epresón del momento de empotramento perfecto es M ( )( L ) ( ) d L ( L ) ( ) d (3.3a) Igualmente, para la peza de la fgura 3.4b, perfectamente empotrada en el etremo artculada en el etremo, a la que se le aplca un sstema de cargas q(), F, M, el momento de empotramento perfecto en el etremo ( ) es el momento que se produce en el etremo de la peza debdo a la aplcacón del sstema de cargas a las condcones de contorno mpuestas en los etremos. La epresón del momento de empotramento perfecto es M ( ) ( ) d ( ) d L (3.3b).3 Factores de transmsón m (a) I() E L I() E m (b) L Fgura 3.5 Factores de transmsón. Sea la peza de la fgura 3.5a, artculada en el etremo perfectamente empotrada en el etremo, a la que se le aplca un momento m en el etremo. El factor de

38 6 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS transmsón del etremo al etremo ( ) es el cocente entre el momento de empotramento perfecto en ( ) el momento aplcado en (m ). La epresón del factor de transmsón es m ( L ) ( ) d ( d ) (3.4a) Igualmente, para la peza de la fgura 3.5b, artculada en el etremo perfectamente empotrada en el etremo, a la que se le aplca un momento m en el etremo, el factor de transmsón del etremo al etremo ( ) es el cocente entre el momento de empotramento perfecto en ( ) el momento aplcado en (m ). La epresón del factor de transmsón es m ( L ) ( ) d ( ) ( ) L d (3.4b).4 Rgdeces al gro.4.1 Rgdez al gro en un etremo con el otro etremo empotrado m = m E (a) I() L = m I() E m (b) L Fgura 3.6 Rgdez al gro en un etremo con el otro etremo empotrado. Sea la peza de la fgura 3.6a artculada en el etremo perfectamente empotrada en el etremo, a la que se aplca un momento m en el etremo. La rgdez al gro en el

39 DETERMINACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS ELÁSTICAS DE UNA PIEZA... 7 etremo (k ) es el cocente entre el momento aplcado (m ) el gro que en él se produce ( ). La epresón de la rgdez al gro es k m EI L 0 ( L ) ( d ) ( d ) (3.5a) Igualmente para la peza de la fgura 3.6b artculada en el etremo perfectamente empotrada en el etremo, a la que se aplca un momento m en el etremo. La rgdez al gro en el etremo (k ) es el cocente entre el momento aplcado (m ) el gro que en él se produce ( ). La epresón de la rgdez al gro es k m EI L 0 ( d ) ( L) ( d ).4. Rgdez al gro en un etremo con el otro etremo artculado (3.5b) m I() E (a) L I() E m (b) L Fgura 3.7 Rgdez al gro en un etremo con el otro etremo artculado. Sea la peza de la fgura 3.7a artculada en ambos etremos, a la que se aplca un momento m en el etremo. La epresón de la rgdez al gro en el etremo (k ) es m k 0 ( ) ( ) EI L L d (3.6a)

40 8 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. TEXTO GUÍA PARA PRÁCTICAS Igualmente, para la peza de la fgura 3.7b artculada en ambos etremos, a la que se aplca un momento m en el etremo, la epresón de la rgdez al gro en el etremo (k ) es m k EI L 0 ( )d (3.6b) 3 DESARROLLO DE LA PRÁCTICA 3.1 Equpos, hardware software necesaros para la realzacón de la práctca Hardware: ordenador PC Pentum III o superor. Software: sstema operatvo Wndows 000/Me/XP, programa MATLAB, versón 4.0 o superor para Wndows. 3. Desarrollo de un programa para el cálculo de las característcas elástcas de una peza recta de nerca varable Se propone el sguente plan de trabao: Nº TAREAS OPERACIONES PARCIALES 1 Defncones ncales. Encabezamento. Formatos numércos. Fcheros de resultados. COMANDOS % format dar NOTAS Y CUESTIONES En el encabezamento se nclurá: - nº del grupo. - alumnos del grupo. - fecha de realzacón. Entrada de datos de las pezas de la fgura Cálculo de las característcas elástcas de las dos pezas de la fgura 3.1. Geometría. Materal. Restrccones. Cargas. nput save global Elaboracón de un fchero de funcón con las epresones de las funcones a ntegrar para cada peza. Cálculo de ntegrales. Cálculo de: Momentos de empotramento perfecto (para las pezas empotradafuncton quad quad8 save global Se planteará la utldad de hacer la lectura desde un fchero de datos, o con una nterface gráfca de usuaro más avanzada. Para mas nformacón sobre el cálculo de ntegrales con MATLAB puede consultarse la bblografía (MATLAB, 1996). Se consderarán los sguentes casos: Inerca varable

41 DETERMINACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS ELÁSTICAS DE UNA PIEZA... 9 Nº TAREAS OPERACIONES PARCIALES COMANDOS NOTAS Y CUESTIONES 4 Obtencón de dagramas de momentos flectores. 5 Obtencón de gros flechas. 6 Comparacón de resultados. empotrada, empotradaartculada artculadaempotrada). Epresones (3.a), (3.b), (3.3a) (3.3b). Factores de transmsón (para las pezas artculadaempotrada empotradaartculada). Epresones (3.4a) (3.4b). Rgdeces al gro (para las pezas artculadaempotrada, empotradaartculada artculadaartculada). Epresones (3.5a), (3.5b), (3.6a) (3.6b). Elaboracón de un fchero de funcón con las epresones de las lees de momentos. Obtencón de gráfcas. Cálculo de gros abscsa donde el gro es nulo. Cálculo de la flecha para la abscsa donde el gro es nulo (flecha máma). Elaboracón de un croqus en donde se ncluan resultados de flechas mámas abscsa en los casos consderados en la tarea nº 3. Elaboracón de una tabla de resultados para comparar las functon plot ttle label label grd save global quad quad8 for var.=ep. Declaracón end f varable declarac. 1 else declarac. end numstr dsp peza empotradaempotrada. Inerca constante peza empotradaempotrada. Inerca varable peza empotradaartculada. Inerca constante peza empotradaartculada. Inerca varable peza artculadaempotrada. Inerca constante peza artculadaempotrada. Inerca varable peza artculadaartculada. Inerca constante peza artculadaartculada. Se sugere el formato de croqus del aneo 3.1. Se consderarán los casos epuestos en la tarea nº 3. Para el cálculo de gros se podrá utlzar el Prmer Teorema de Möhr, epresón (3.1a), para el cálculo de flechas el Segundo Teorema de Möhr, epresón (3.1b). Se sugere el formato de croqus del aneo 3.1. Se sugere el formato de tabla del aneo 3.1.