Curvas en el plano o en el espacio
|
|
- Luis Miguel de la Cruz Gallego
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Lección 3 Curvs en el plno o en el espcio 3.1. Cminos y curvs en R n Definiciones. Un cmino en R n es un función continu γ : [,b] R n con,b R, < b. Decimos tmbién que el conjunto Γ = γ(t) : t b} es un curv en form prmétric, o simplemente un curv en R n y que el cmino γ recorre o prmetriz l curv Γ. Los puntos γ() y γ(b) son, respectivmente, el origen y el extremo del cmino γ. Cundo γ() = γ(b) se dice que γ es un cmino cerrdo. Nos interesn solmente los csos n = 2 (cminos en el plno, curvs plns) y n = 3 (cminos en el espcio, curvs lbeds). Observmos que l curv Γ tiene un interpretción geométric direct, como subconjunto del plno o del espcio, mientrs el cmino γ es un función que nos proporcion un form de prmetrizr l curv Γ, puesto que cd punto de l curv prece en l form γ(t) pr lgún vlor del prámetro t. Pr tener un interpretción físic, bst pensr que [,b] es un intevlo de tiempo y que, pr cd t [,b], γ(t) es l posición de un móvil en el instnte t, con lo que el cmino γ nos drí l ecución del movimiento mientrs que l curv Γ serí l tryectori recorrid por el móvil. Es clro que cminos muy distintos pueden recorrer un mism curv; equivlentemente, sobre un mism tryectori se pueden desrrollr movimientos muy diferentes. Ecuciones prmétrics. Si γ : [,b] R 3 es un cmino en el espcio, podremos escribir: γ(t) = ( x(t),y(t),z(t) ) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ( t b) donde x,y,z son funciones continus de [,b] en R. Decimos entonces que el cmino γ tiene ecuciones prmétrics: x = x(t) y = y(t) ( t b). z = z(t) 15
2 3. Curvs en el plno y en el espcio 16 Por ejemplo, fijdos dos puntos (x 0,y 0,z 0 ) y (x 1,y 1,z 1 ) de R 3, ls ecuciones prmétrics x = x 0 + t (x 1 x 0 ) y = y 0 + t (y 1 y 0 ) (0 t 1) z = z 0 + t (z 1 z 0 ) definen un cmino que recorre el segmento que une dichos puntos, siendo (x 0,y 0,z 0 ) el origen del cmino y (x 1,y 1,z 1 ) su extremo. Nturlmente, un cmino en el plno, γ : [,b] R 2, tendrá l form γ(t) = ( x(t),y(t) ) ( t b) y diremos que sus ecuciones prmétrics son: x = x(t) y = y(t) ( t b). Por ejemplo, pr (x 0,y 0 ) R 2 y ρ 0 > 0, ls ecuciones prmétrics x = x 0 + ρ 0 cosθ ( π θ π) y = y 0 + ρ 0 senθ definen un cmino cerrdo que recorre l circunferenci de centro (x 0,y 0 ) y rdio ρ 0. Cmino opuesto. Ddo un cmino γ : [,b] R n el cmino opuesto de γ es, por definición, el cmino γ op : [,b] R n, ddo por γ op (t) = γ( + b t) ( t b). Observmos que γ op recorre l mism curv que γ pero, intuitivmente, l recorre en sentido contrrio; en prticulr γ op () = γ(b) y γ op (b) = γ(). Sum de cminos. Consideremos dos cminos γ : [,b] R n y σ : [c,d] R n que sen consecutivos, es decir, tles que el extremo de γ coincid con el origen de σ: γ(b) = σ(c). Podemos entonces definir un nuevo cmino, que llmremos sum de γ con σ y denotremos por γ σ. Intuitivmente el cmino sum consiste en efectur el movimiento indicdo por γ y continución el indicdo por σ. Concretmente definimos γ σ : [,b + d c] R n por: ( ) γ(t) si t b γ σ (t) = σ(t b + c) si b t b + d c Nótese que l condición γ(b) = σ(c) es l que segur l continuidd del cmino sum en el punto b. Si los cminos γ y σ recorren sends curvs Γ y Σ, es clro que l curv recorrid por γ σ es Γ Σ. El proceso de sum se puede iterr, pr obtener l sum de un número finito de cminos, γ 1 γ 2... γ N, siempre que cd uno de ellos se consecutivo del nterior. Se verific un propiedd socitiv en est operción de sum, que hce que tles sums finits se puedn definir sin mbigüedd. Por ejemplo, un sum finit de segmentos d como resultdo un cmino poligonl.
3 3. Curvs en el plno y en el espcio Cminos regulres, vector tngente Regulridd. Se dice que un cmino γ : [,b] R n es regulr cundo es un función de clse C 1 en el intervlo [,b]. Por ejemplo, los dos cminos que hn precido en el prtdo nterior, que recorrín un segmento en el espcio y un circunferenci en el plno, son cminos regulres. Es fácil observr que l sum de dos cminos regulres puede no ser regulr, piénsese por ejemplo lo que ocurre l sumr dos segmentos consecutivos que no estén linedos. Por ello conviene considerr un tipo de regulridd más generl. Decimos que un cmino γ : [,b] R n es regulr trozos cundo existe un prtición = t 0 < t 1 <... < t N = b del intervlo [,b] tl que, pr cd k = 1,2,...,N, l restricción de γ l subintervlo [t k 1,t k ] es un función de clse C 1. Si llmmos γ k dich restricción, es clro que γ k : [t k 1,t k ] R n es un cmino regulr, sí como que γ = γ 1 γ 2... γ N, luego γ se obtiene como sum finit de cminos regulres. Recíprocmente, es fácil comprobr que tod sum de cminos regulres es un cmino regulr trozos. En resumen, un cmino es regulr trozos si, y sólo si, se obtiene como sum de cminos regulres. Clrmente, l sum de dos cminos regulres trozos sigue siendo un cmino regulr trozos. Observmos tmbién que el cmino opuesto de un cmino regulr, o regulr trozos, es del mismo tipo. Vector velocidd y vector tngente. Si un cmino γ : [,b] R n es derivble en un punto t 0 [,b], el vector γ (t 0 ) R n recibe el nombre de vector velocidd del cmino en el instnte t 0 y su norm, γ (t 0 ), es l celeridd del cmino en el instnte t 0. L nomencltur procede clrmente de l interpretción físic. Cundo γ (t 0 ) 0 decimos tmbién que γ (t 0 ) es el vector tngente l cmino γ en el instnte t 0 y l rect que ps por el punto γ(t 0 ) con vector de dirección γ (t 0 ) recibe el nombre de rect tngente l cmino γ en el instnte t 0, lo cul tiene clr interpretción geométric. De hecho, considerndo l curv Γ recorrid por el cmino γ, suele hblrse de l rect tngente l curv Γ en el punto γ(t 0 ) unque con ello se comete un clro buso de lenguje. Cundo un cmino regulr γ : [,b] R n tiene rect tngente en cd punto, es decir, verific que γ (t) 0 pr todo t [,b], se dice que γ es un cmino suve. Si Γ es l curv recorrid por un cmino suve γ, decimos tmbién que Γ es un curv suve. Ecución de l rect tngente. Si el cmino γ : [,b] R 3 viene ddo por: γ(t) = ( x(t),y(t),z(t) ) ( t b), sbemos que γ es derivble en un punto t 0 [,b] si, y sólo si, lo son ls funciones x,y,z, en cuyo cso γ (t 0 ) = ( (x (t 0 ),y (t 0 ),z (t 0 ) ). Cundo se demás γ (t 0 ) 0, poniendo γ(t 0 ) = (x 0,y 0,z 0 ), ls ecuciones prmétrics de l rect tngente tomn l form x = x 0 + (t t 0 )x (t 0 ) y = y 0 + (t t 0 )y (t 0 ) z = z 0 + (t t 0 )z (t 0 )
4 3. Curvs en el plno y en el espcio 18 y ls ecuciones implícits serán x x 0 x (t 0 ) = y y 0 y (t 0 ) = z z 0 z (t 0 ) con los consbidos convenios pr el cso en que se nule lgún denomindor. Análogmente, pr un cmino en el plno tendremos: γ(t) = ( x(t),y(t) ) ( t b); γ(t 0 ) = (x 0,y 0 ); γ (t 0 ) = ( (x (t 0 ),y (t 0 ) ) y ls ecuciones de l rect tngente serán x = x 0 + (t t 0 )x (t 0 ) y = y 0 + (t t 0 )y (t 0 ) o bien x x 0 x (t 0 ) y y 0 y (t 0 ) = Longitud de un cmino Definición. L longitud de un cmino regulr γ : [,b] R n viene dd por: γ (t) dt. L existenci de l integrl está segurd, por ser el integrndo un función continu en el intervlo [, b]. Suponemos bien conocido el hecho de que est integrl relmente responde l ide de longitud de un cmino. L mism expresión puede usrse pr un cmino regulr trozos. En efecto, tomemos un prtición = t 0 < t 1... < t N = b del intervlo [,b] de form que l restricción de γ l subintervlo [t k 1,t k ] se un función de clse C 1 pr k = 1,2,...,N. Entonces γ es derivble en [,b] slvo, lo sumo, en el conjunto S = t 1,t 2,...,t N 1 } y en los puntos de S tiene derivds por l izquierd y por l derech que pueden no coincidir, con lo que deducimos que l función t γ (t) es continu y cotd en [,b] \ S. Por tnto, dndo vlores culesquier dich función en los puntos de S, obtenemos un función integrble en el intervlo [, b] cuy integrl no dependerá de dichos vlores. Así pues, l integrl que prece en ( ) tiene perfecto sentido y podemos usrl como definición de l longitud de un cmino regulr trozos. Observmos tmbién que, llmndo γ k l restricción de γ cd subintervlo [t k 1,t k ], tenemos: γ (t) dt = N tk γ N (t) dt = k=1 t k 1 L(γ k ). k=1 De mner más generl, si γ y σ son cminos regulres trozos consecutivos, se tiene que L(γ σ) = L(γ) + L(σ). Tmbién se comprueb fácilmente que L(γ op ) = L(γ). Si un cmino regulr trozos γ : [,b] R 3 tiene ecuciones prmétrics ( ) x = x(t); y = y(t); z = z(t) ( t b),
5 3. Curvs en el plno y en el espcio 19 su longitud vendrá dd por [ x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2] 1/2 dt, y pr un cmino regulr trozos en el plno, con nálog notción, tendremos simplemente [ x (t) 2 + y (t) 2] 1/2 dt, Función longitud de rco. Recordemos l interpretción físic de un cmino regulr trozos γ como l ecución de un movimiento durnte un intervlo de tiempo [,b]. El espcio recorrido por el móvil desde el instnte inicil hst un instnte t vendrá entonces ddo por l(t) = t γ (s) ds. L función l : [,b] R sí definid recibe el nombre de función longitud de rco pr el cmino γ. Cundo γ es regulr, el Teorem Fundmentl del Cálculo nos segur que l es un función de clse C 1 en [,b] verificndo que l (t) = γ (t) ( t b). ( ) Est iguldd tiene nuevmente un clr interpretción: l celeridd del movimiento en cd instnte es l derivd del espcio recorrido con respecto l tiempo. Por otr prte, l iguldd ( ) tmbién justific el simbolismo dl = γ (t) dt que más delnte será útil en el estudio de ls integrles de líne Curvs en el plno Vmos repsr ls tres forms en que puede describirse un curv en el plno. () Form explícit. Llmmos curv en form explícit l gráfic de un función continu f : [, b] R, es decir, el conjunto G = ( x, f (x) ) : x b } (.1) Observemos que l función f está determind en form únic por el conjunto G, lo cul es l principl ventj de est form explícit. Cundo f es derivble en un punto x 0 [,b] sbemos que f (x 0 ) es l pendiente de l rect tngente G en el punto (x 0,y 0 ) = ( x 0, f (x 0 ) ), luego l ecuciones implícit y prmétrics de dich rect serán: y y 0 = f x = x 0 + s (x 0 )(x x 0 ) y y = y 0 + s f (.2) (x 0 )
6 3. Curvs en el plno y en el espcio 20 Resltmos que, si l función f es derivble en todo el intervlo [, b], tenemos bien definid l rect tngente en cd punto de l curv G. L noción de curv en form explícit es demsido restrictiv, como se pone de mnifiesto l observr que el conjunto G definido en (.1) no puede contener dos puntos con l mism bcis. Eso explic l utilidd de l noción más generl de curv en form prmétric. Pr ver que efectivmente el conjunto G definido por (.1) es un curv en form prmétric, bst considerr el cmino γ : [,b] R 2 definido por γ(t) = ( t, f (t) ) pr t b. Es obvio que G = γ(t) : t b}, luego γ recorre l curv G. Vemos tmbién que l considerr l rect tngente l cmino γ en un instnte x 0 [,b], escribiendo como ntes y 0 = f (x 0 ), llegmos ls ecuciones (.2). En efecto, si f es derivble en x 0, tmbién lo es γ, con γ (x 0 ) = ( 1, f (x 0 ) ). Observmos que l condición γ (x 0 ) 0 se cumple utomáticmente, lo que explic que tengmos rect tngente con sólo que f se derivble. Ls ecuciones prmétrics e implícit de l rect tngente l cmino γ en el instnte x 0 nos precen pues en l form x = x 0 + (t x 0 ) y = y 0 + (t x 0 ) f y (x 0 ) x x 0 1 y y 0 f (x 0 ) = 0 que son precismente ls ecuciones (.2). Notemos finlmente que si l función f es de clse C 1 en el intervlo [,b], entonces γ es un cmino suve y Γ es un curv suve. (b) Form prmétric. Repsndo lo y dicho, un curv en form prmétric es l imgen de un función continu γ : [,b] R 2, es decir, el conjunto Γ = γ(t) : t b} = ( x(t),y(t) ) : t b } (b.1) Cundo γ se derivble en un punto t 0 [,b] con γ (t 0 ) 0, ls ecuciones prmétrics e implícit de l rect tngente l curv Γ en el punto (x 0,y 0 ) = γ(t 0 ) son x = x 0 + (t t 0 )x (t 0 ) y = y 0 + (t t 0 )y y (t 0 ) x x 0 x (t 0 ) y y 0 y (t 0 ) = 0 (b.2) con el buso de lenguje que y hbímos comentdo. Tendremos ocsión de usr tmbién l rect norml l curv Γ en un punto (x 0,y 0 ) = γ(t 0 ), que es l rect que ps por dicho punto y es ortogonl l rect tngente. L ecución implícit de dich rect es fácil de obtener: x (t 0 )(x x 0 ) + y (t 0 )(y y 0 ) = 0 (b.3) (c) Form implícit Se llm sí l descripción de un curv como lugr geométrico de los puntos del plno que verificn un ecución o, lo que es lo mismo, como conjunto de nivel de un función de dos vribles. Por tnto, dd un función g : Ω R donde Ω es un subconjunto bierto de R 2, considermos el conjunto: C = (x,y) Ω : g(x,y) = 0}. (c.1)
7 3. Curvs en el plno y en el espcio 21 En generl, los conjuntos de l form (x,y) Ω : g(x,y) = α} con α R son los conjuntos de nivel de l función g. Obvimente no se pierde generlidd tomndo α = 0. Supondremos que g es de clse C 1 en Ω, que g se nul en lgún punto de Ω (C /0) y que el grdiente de g no se nul en C, es decir, g(x,y) 0 (x,y) C. Con ests condiciones podemos decir que el conjunto C definido en (c.1) es un curv en form implícit. L nomencltur se justific porque l menos loclmente el conjunto C se puede hcer coincidir con un curv en form prmétric. De hecho, el Teorem de l Función Implícit nos segur que cd punto de C tiene un entorno cuy intersección con C es l curv recorrid por un cmino regulr cuy derivd no se nul en ningún punto, es decir, un curv suve. En l situción más fvorble, el propio conjunto C puede ser un curv en form prmétric, pero en generl esto no tiene por qué ocurrir: por ejemplo, C puede no estr cotdo. Clculemos hor, pr curvs en form implícit, l rect tngente en un punto. En efecto, se C l curv definid en form implícit por l iguldd (c.1), se (x 0,y 0 ) C y consideremos un cmino suve γ : [,b] C que recorr l curv U C donde U es un entorno de (x 0,y 0 ). Pongmos (x 0,y 0 ) = γ(t 0 ) con t 0 [,b] y vemos qué sbemos de γ (t 0 ). Si x = x(t) e y = y(t), con t b, son ls ecuciones prmétrics de γ, hbrá de verificrse que g ( x(t),y(t) ) = 0 pr t b. L regl de l cden nos dice entonces que g x (x 0,y 0 ) x (t 0 ) + g y (x 0,y 0 ) y (t 0 ) = 0, o equivlentemente g(x 0,y 0 ) γ (t 0 ) = 0. Deducimos que el vector g(x 0,y 0 ), que por hipótesis no se nul, es ortogonl l vector γ (t 0 ), que tmpoco se nul. Por tnto, l ecución implícit de l rect tngente l cmino γ en el instnte t 0 es: g(x0,y 0 ) (x x0,y y 0 ) = 0. (c.2) Observmos que est ecución no depende del cmino γ que hemos empledo, luego tiene perfecto sentido decir que l rect de ecución (c.2) es l rect tngente l curv C en el punto (x 0,y 0 ). Por otr prte, l rect norml C en (x 0,y 0 ) será l rect cuys ecuciones prmétrics e implícit vienen dds por: x = x0 + (t t 0 ) g x (x 0,y 0 ) y = y 0 + (t t 0 ) g y (x 0,y 0 ) y x x 0 y y 0 g x (x 0,y 0 ) g y (x 0,y 0 ) = 0. (c.3) Resltmos finlmente l interpretción geométric del grdiente que se h obtenido en el rzonmiento nterior. Se g un cmpo esclr de clse C 1 en un bierto Ω R 2 y (x 0,y 0 ) Ω tl que g(x 0,y 0 ) 0. Entonces existe un entorno bierto Ω 0 del punto (x 0,y 0 ) en el que g no se nul y tenemos tods ls condiciones pr firmr que el conjunto C = (x,y) Ω 0 : g(x,y) = g(x 0,y 0 )} es un curv en form implícit, l curv de nivel del cmpo g que ps por el punto (x 0,y 0 ). Pues bien, según hemos visto, el vector grdiente g(x 0,y 0 ) es el vector norml dich curv. Dd l rbitrriedd del punto (x 0,y 0 ), tenemos que el vector grdiente, en cd punto donde no se nule, es ortogonl l curv de nivel que ps por dicho punto.
Integrales de línea. 4.1. Integral de línea de un campo escalar
Lección 4 Integrles de líne 4.1. Integrl de líne de un cmpo esclr Definición. Se f : Ω R un cmpo esclr continuo, con Ω R n, y se : [,b] Ω un cmino regulr trozos. L integrl de líne de f lo lrgo de es, por
Más detallesCurvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Más detallesCurvas en el espacio.
Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos
Más detallesCurvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Más detallesIntegral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida
Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de
Más detallesIntegrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
Más detallesIntegral de línea de campos escalares.
Integrl de líne de cmpos esclres. Sen f : R n R un cmpo esclr y un curv prmetrizd por σ : [, b] R n de modo que i) σ (1) [, b]. ii) σ([, b]) D(f). iii) f σ es continu en [, b]. Se define l integrl de f
Más detallesLa integral de Riemann
L integrl de Riemnn Mrí Muñoz Guillermo mri.mg@upct.es U.P.C.T. Mtemátics I (1 o Ingenierí Electrónic Industril y Automátic) M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 1 / 33 Sums superior e inferior
Más detallesTema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias.
Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem 9: Cálculo de primitivs. Integrles definids e impropis. José M. Slzr Noviembre de 206 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem
Más detallesFunciones continuas. Mariano Suárez-Alvarez. 4 de junio, Índice
Funciones continus Mrino Suárez-Alvrez 4 de junio, 2013 Índice 1. Funciones continus................... 1 2. Alguns propieddes básics............ 3 3. Los teorems de Weierstrss y Bolzno... 6 4. Funciones
Más detallesAplicaciones de la integral.
Tem 10 Aplicciones de l integrl. 10.1. Áre de figurs plns. 10.1.1. Áre encerrd entre un curv y el eje de bsciss. Se f : [, b] R un función integrble, tl que f(x 0 x [, b]. El áre del recinto C = {(x, y
Más detallesPara demostrar la primera igualdad, se supondrá que la región D puede ser definida de la siguiente manera
.7. Teorem de Green en el Plno. Se un curv cerrd, simple, suve trozos positivmente orientd en el plno, se l región limitd por l curv, e incluendo. Si F ( ) F ( ),, son continus tiene primers derivds prciles
Más detallesFunciones Vectoriales
Pntoj Crhuvilc Cálculo Agend Algebr de Función Algebr de Función Consideremos un prtícul en movimiento sobre un plno. Su posición en un determindo instnte t viene determindo por dos coordends x(t) e y(t)
Más detallesTema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.
LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice: 1. Derivd de un unción. 1.1. Derivd de un unción en un punto. 1.. Interpretción geométric 1.3. Derivds lterles. 1.4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd
Más detalles1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)
Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv
Más detallesIntegración de funciones de una variable real
Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross
Más detallesJunio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A
Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu
Más detallesTEORÍA DE CÁLCULO II PARA GRADOS DE INGENIERÍA Elaborada por Domingo Pestana y José Manuel Rodríguez 4. INTEGRALES DE LÍNEA Y DE SUPERFICIE
TEORÍA E CÁLCULO II PARA GRAOS E INGENIERÍA Elbord por omingo Pestn y José Mnuel Rodríguez 4.1. INTEGRALES E LÍNEA 4. INTEGRALES E LÍNEA Y E SUPERFICIE Hbitulmente suele identificrse un tryectori : [,
Más detalles2. Estimar el área debajo de la gráfica de f(x) = cosx desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos
1. Estimr el áre debjo de l gráfic de f(x) = cosx desde x = hst x = π/2, usndo cutro rectángulos de proximción y como puntos muestr, los extremos derechos de los intervlos. Dibuje l curv y los rectángulos
Más detallesCALCULO VECTORIAL. Campos vectoriales
mpos vectoriles ALULO VETORIAL Un cmpo vectoril o cmpo de vectores es un función que sign un vector un punto del plno o del espcio. Si M y N son funciones de vriles definids en un región R del plno, un
Más detallesP 1 P 2 = Figura 1. Distancia entre dos puntos.
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LONGITUD DE UNA CURVA PARAMÉTRICA. Ddos dos puntos P 1 = (x 1, x 2,..., x n ), P 2 = (y 1, y 2,..., y n ) R n (pensemos en puntos del espcio, de R 3 ) sbemos clculr l distnci
Más detallesTema 9. La Integral de Riemann Construcción de la integral de Riemann.
Tem 9 L Integrl de Riemnn. 9.1. Construcción de l integrl de Riemnn. Definición 9.1.1. Se I = [, b] R un intervlo cerrdo y cotdo (compcto). Se llm prtición de I todo conjunto de puntos P = {x 0, x 1,,
Más detalles5.2 Integral Definida
80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos
Más detalles3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus
Más detallesdx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx
Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible
Más detallesCAPÍTULO 3. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN 3.1. Integración por cambio de variable 3.2. Integración por partes 3.2.1. Producto de un polinomio por una
CAPÍTULO. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN.. Integrción por cmbio de vrible.. Integrción por prtes... Producto de un polinomio por un eponencil... Producto de un polinomio por un seno o un coseno... Producto
Más detalles2. Cálculo de primitivas
5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv
Más detallesTema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja
Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores
Más detallesTema 4. Integración compleja
Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur.
Más detalles1.4. Integral de línea de un campo escalar.
.4. Integrl de líne de un cmpo esclr. L integrl de líne tiene vris plicciones en el áre de ingenierí, y un de ls interpretciones importntes pr tles plicciones es el significdo que posee l integrl de líne
Más detallesTema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales
Tem 8.4: Teorem de Runge. Aproximción de funciones holomorfs por funciones rcionles Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 Enrique de Amo, Universidd de Almerí Sbemos que ls funciones holomorfs
Más detalles7 Integral triple de Riemann
Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]
Más detallesPrimitivas e Integrales
Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que
Más detallesIntegrales de ĺınea complejas
Tem Integrles de ĺıne complejs. Integrles de líne.. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel llev socid un función vectoril de vrible rel, por lo que ls definiciones y resultdos
Más detallesNÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra
NÚMEROS COMPLEJOS Números reles Intervlos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorem fundmentl del Álgebr NÚMEROS REALES Números nturles, enteros rcionles e irrcionles En mtemátics son importntes
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3
Más detalles2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.
. Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto
Más detallesINTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS SOBRE CURVAS
INTEGRCIÓN DE FUNCIONES COMPLEJS SOBRE CURVS. Curvs de clse C trozos en R n Recordemos que un curv prmetrizd de clse C en R n es un plicción : [, b] R n de clse C, donde, b R, < b, tl que (t) 0 pr todo
Más detalles6. Curvas en el espacio
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del rmo Mtemátics Aplicds, de Felipe Álvrez, Jun Diego Dávil, Roberto Cominetti y Héctor
Más detallesEl Teorema Fundamental del Cálculo
del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su
Más detallesEn este tema supondremos al lector familiarizado con las técnicas más elementales de formas bilineales y cuadráticas sobre un espacio vectorial.
Cpítulo 4 El espcio euclídeo 4.1 Introducción En este tem supondremos l lector fmilirizdo con ls técnics más elementles de forms bilineles y cudrátics sobre un espcio vectoril. Definición 4.1.1. Un espcio
Más detallesLa Integral de Riemann
Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función
Más detallesVectores en el espacio. Producto escalar
Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Vectores en el espcio Producto esclr Espcios vectoriles Definición de espcio vectoril Un conjunto E es un espcio vectoril si en él se definen dos operciones,
Más detallesUniversidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales
Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr
Más detalles1.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Cualquier vector v tiene dos componentes (v 1. v = (4,3) 1 2 1 2 u v. u = v (u, u ) = (v, v )
º Bchillerto Mtemátics I Dpto e Mtemátics- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz-Curso 0/0 TEMA 8.- GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Concepto e vector Un
Más detallesINTEGRALES IMPROPIAS
NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES IMPROPIAS Ing. Jun Scerdoti Deprtmento de Mtemátic Fcultd de Ingenierí Universidd de Buenos Aires V INDICE INTEGRALES IMPROPIAS.- PUNTOS SINGULARES
Más detalles2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.
. Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )
Más detallesIntegración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.
Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición
Más detallesIntegración. Capítulo 1. Problema 1.1 Sea f : [ 3, 6] IR denida por: e x 2 2 x 6. (i) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f.
Cpítulo Integrción Problem. Se f : [, 6] IR denid por: + +
Más detallesMatemáticas Empresariales I. Integral Definida
Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31 Construcción de l integrl definid Se f un función definid
Más detallesC alculo Octubre 2010
Cálculo Octubre 2010 c Dpto. de Mtemátics UDC c Dpto. de Mtemátics UDC L integrl indefinid Sen I R un intervlo bierto y f : I IR Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I Teorem
Más detallesFUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:
FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De
Más detallesA modo de repaso. Preliminares
UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn
Más detallesCampos Vectoriales. = 2(x2 + y 2 ) = 1. θ = arc cos 2
Unidd Integrl de Líne. Integrl de funciones vectoriles Cmpos Vectoriles Denición. Un cmpo vectoril en el plno R es un función F : R R que sign cd vector x D R un único vector F (x) R con F (x) = P (x)i
Más detallesANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA
ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA Mrí Susn Montelr Fcultd de Ciencis Excts, Ingenierí y Agrimensur - UNR El problem del áre Dd f : [, b] R, tl que f(x) 0 pr todo x [, b] b x Se f un función no negtiv
Más detallesIntegrales de funciones de una variable.
Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y f (x) y el eje OX desde un punto y fx fx hst
Más detalles0.1 Sustituciones trigonométricas.-
Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC.. Sustituciones trigonométrics.- Cso.- El integrndo contiene un epresión de l form +. Se sugiere l sustitución = tn u d = sec udu de donde Z + = sec u d ( +)
Más detallesLa integral de Riemann
L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl
Más detallesCURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO
CURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO CÉSAR ROSALES. CURVAS Y SUPERFICIES Existen vris forms de presentr lo que intuitivmente entendemos por un curv. Vemos un ejemplo. Ddo p 0 R 2 y R > 0, l circunferenci
Más detallesDEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE RIEMANN. Sea una función f : [a, b] R, positiva (f 0) y cuya gráfica presenta una situación del tipo:
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE RIEMANN. Se un función f : [, b] R, positiv (f 0) y cuy gráfic present un situción del tipo: Figur 1. Aproximción por rectángulos. Antes de proximr
Más detalles7.1. Definición de la Integral de Riemann
Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo
Más detallesTema 11: Integrales denidas
Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl
Más detallesPrimitiva de una función.
Primitiv de un función. 1 / 29 Definición. Un función derivble F es primitiv de l función f en el intervlo I si F (x) = f(x), pr todo x I. Ejemplos 2 / 29 Ejemplo. Se f : R R tl que f(x) = 4x 3. i) F(x)
Más detallesEl problema del área. Tema 5: Integración. Integral de Riemann. Particiones de un intervalo. Sumas superior e inferior
Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Prticiones de un intervlo El problem del áre Tem 5: Integrción. Integrl de Riemnn El objetivo finl del tem es hllr el áre de
Más detallesTema 4: Integrales Impropias
Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem
Más detallesIntegrales de funciones de una variable.
Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y fx) y el eje OX desde y f x f x un punto hst
Más detallesVECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R 2 Y R 3
Profesionl en Técnics de Ingenierí VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R Y R 3 1. Puntos en R y R 3 Un pr ordendo (, ) y un tern ordend (,, c) representn puntos de IR y IR 3, respectivmente.,, c, se denominn
Más detalles1.4. Sucesión de funciones continuas ( )
1.4. Sucesión de funciones continus (18.04.2017) Se {f n } un sucesión de funciones f n, definids en I. Si {f n } converge uniformemente f en I y ls f n son continus en I, entonces f es continu en I. D:
Más detallesHéctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica
Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. L Integrl.-. Definición e interpretción geométric Dd un función continu f :[, b] R ynonegtiv (f (), [, b]), vmos considerr l región del plno bjo l gráfic de
Más detallesAplicaciones de la integral
5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle
Más detallesI.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.
I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,
Más detalles7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,
Más detalles5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.
5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
8 Pág. Págin 88 PRACTICA Vectores y puntos Ddos los puntos A 0 B0 C y D hll ls coordends de los vectores AB BC CD DA AC y BD. AB = 0 0 = DA = 0 = BC = 0 = AC = 0 = 7 CD = = 6 BD = 0 = 8 Ls coordends del
Más detalles3.- Matrices y determinantes.
3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot
Más detallesSeries de Fourier CAPITULO Funciones Seccionalmente Continuas 1.1. Preliminares sobre funciones continuas.
Contenidos Cpitulo. Series de Fourier 3. Funciones Seccionlmente Continus 3. Extensiones de Funciones Seccionlmente Continus 6 3. Cmbio de Intervlo 3 CAPITULO Series de Fourier. Funciones Seccionlmente
Más detallesLlamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura).
TEOREMA E GAU. 15. Hllr el flujo del cmpo i + j + z k trvés de l superficie z 1 +, z 1. ) irectmente. b) Aplicndo el teorem de Guss. olución Llmremos l superficie dd su proección sobre el plno XY (ver
Más detallesAplicaciones de la derivada
1 CAPÍTULO 8 Aplicciones de l derivd 8.1 Derivilidd monotoní 1 Como se se, si f es un función derivle en 0, entonces l derivd de f en 0 es un número rel fijo f 0. 0 /, el cul puede ser f 0. 0 / > 0 o ien
Más detallesTeorema de Green. 6.1 Introducción
SESIÓN 6 6.1 Introducción En est sesión se revis el primero de los 3 teorem clves del cálculo vectoril: el. Este teorem estblece que un integrl doble sobre un región del plno es igul un integrl de líne
Más detallesLa integral. En esta sección presentamos algunas propiedades básicas de la integral que facilitan su cálculo. c f.x/ dx C f.
CAPÍTULO L integrl.6 Propieddes fundmentles de l integrl En est sección presentmos lguns propieddes ásics de l integrl que fcilitn su cálculo. Aditividd respecto del intervlo. Si < < c, entonces: f./ d
Más detalles6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.
Tem 6. Aplicciones de l intergrl. Curso 217/18 6. APLCACONES DE LA NTEGRAL. 6.1. ntegrles impropis: convergenci. Se debe Cuchy l primer extensión de l integrl pr funciones denids en un intervlo no cotdo
Más detallesAnexo 3: Demostraciones
170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific
Más detallesPequeña síntesis de conceptos sobre sucesiones y series para la cátedra de Matemática II.
Pequeñ síntesis de conceptos sobre sucesiones y series pr l cátedr de Mtemátic II. Altmirnd Enzo - enzo.lt@gmil.com - V1.0 15 de diciembre de 2010 Este texto fue hecho en L A TEX con los puntes tomdos
Más detallesNotas de Integral de Riemann-Stieltjes
Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr
Más detallesDERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES
DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES Deinición de derivd prcil en un punto lim + Se : A R con A R se un punto interior de A. Se denominn derivds prciles de respecto ls vriles e en el
Más detallesFunciones Vectoriales
Apendice 2 Funciones Vectoriles Definition 1. Un función f : I R R n cuy regl de correspondenci es ft = f 1 t,f 2 t,...,f n t se denomin función vectoril de un vrible rel t. 1. El nombre de función vectoril
Más detalles4.6. Teorema Fundamental del Cálculo
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 07-2 SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl del Cálculo Proposición 4.5. Se un
Más detallesa (3, 1, 1), b(1, 7, 2), c (2, 1, 4) = 18,5 u 3
8 Clcul el volumen del prlelepípedo determindo por u(,, ), v (,, ) y w = u v. Justific por qué el resultdo es u v. w = u Ò v = (,, ) (,, ) = (, 6, 5) [u, v, w] = 6 5 u v = 9 + 6 + 5 = 7 = 7 Volumen = 7
Más detallesy se dice que dicha aplicación σ = σ(t) es una parametrización de la curva C.
Cpítulo I Concepto de curv 1. Curvs regulres Intuitivmente, un curv en R n es un conjunto C R n que puede describirse con un único prámetro que vrí en un intervlo I de l rect rel R. Dich descripción se
Más detallesLección 3. Cálculo vectorial. 3. El teorema de Green.
GRAO E INGENIERÍA AEROESPAIAL. URSO 0. MATEMÁTIAS II. PTO. E MATEMÁTIA APLIAA II Lección. álculo vectoril.. El teorem de Green. En est sección estudimos el teorem de Green, que relcion l integrl de líne
Más detallesTEMA 6.- DERIVADAS. La siguiente tabla da el precio, en euros, de un producto durante 8 años sucesivos:
TEMA 6.- DERIVADAS.- TASA DE VARIACIÓN MEDIA L siguiente tbl d el precio, en euros, de un producto durnte 8 ños sucesivos: Si llmmos P( l unción precio según el ño, podemos medir l vrición del precio en
Más detallesContenidos. Tema 1. Geometría Diferencial. Producto Escalar y Vectorial Producto escalar.
Contenidos Tem 1. Geometrí Diferencil Curvs en el espcio Análisis Vectoril y Estdístico Preliminres Operciones con vectores en R 3 Producto esclr Producto Vectoril Deprtmento de Mtemátic Aplicd E.P.S.
Más detallesCAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS
CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9
Más detallesSEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl
Más detallesDivergencia de un Campo Vectorial en el Plano (R 2 )
Unidd 4 Teorems Integrles 4.1 Teorem de l ivergenci en el Plno ivergenci de un Cmpo Vectoril en el Plno R 2 do un cmpo vectoril F : R 2 R 2, se tiene que F represent el cmpo de velociddes de un uido en
Más detallesFUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS TEMA 1: CURVAS 1. CÓNICAS * Prábols * Elipses * Hipérbols * Ecución Generl de un cónic. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA CURVA 3. COORDENADAS POLARES EN EL PLANO *
Más detallesTEMA 4. Cálculo integral
TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl
Más detalles