CAPÍTULO 3: SUCESIONES. 1. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

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1 3 CAPÍTULO 3: SUCESIONES.. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.. Defiicioes Ua sucesió de úmeros reales es ua secuecia ordeada de úmeros. Las siguietes secuecias so sucesioes: a),, 3, 4, 5, 6, b), 4, 6, 8, 0,, c),,,,,, Se llama térmio de ua sucesió a cada uo de los elemetos que costituye la sucesió. Para represetar los diferetes térmios de ua sucesió se usa ua misma letra co distitos subídices. Estos subídices idica el lugar que ocupa ese térmio e la sucesió. E la sucesió a) tedríamos que: a 5 = 5, ya que es el térmio de la sucesió que ocupa el quito lugar. E la sucesió b), el tercer térmio, se deotaría b 3 y correspodería al 6 E la sucesió c), por ejemplo c = Lo realmete importate a la hora de ombrar los térmios de ua sucesió es el subídice porque deota el lugar que ocupa e la sucesió. Las letras co las que se desiga la sucesió so distitas para sucesioes distitas y suele ser letras miúsculas. Se llama térmio geeral de ua sucesió al térmio que ocupa el lugar -ésimo y se escribe co la letra que deote a la sucesió (por ejemplo a) co subídice : (a ) E los casos que estamos cosiderado, los térmios geerales de las sucesioes sería: a, b y c. Si os fijamos, los valores que toma los subídices so úmeros aturales, pero los térmios de la sucesió o tiee por qué serlo, es decir, los valores que toma la sucesió so úmeros reales. Por eso, podemos defiir sucesió de úmeros reales de forma más rigurosa como: Defiició: Se llama sucesió de úmeros reales a ua aplicació que hace correspoder a cada úmero atural u úmero real. E las sucesioes ateriores, observamos que: a 003 = 003, b = 4 y c 37 = 37. Escribe los diez primeros térmios de las siguietes sucesioes: a),, 3, 4, b), 4, 9, 6, c), 3, 5, 7,. Escribe el térmio que ocupa el lugar 00 de cada ua de las sucesioes ateriores. 3. Sabemos que u cuerpo co desidad suficiete que cae libremete sobre la Tierra tiee ua velocidad que aumeta 9,8 m/s. Si e el primer segudo su velocidad es de 5 m/s, escribe e tu cuadero la velocidad e los segudos idicados e la tabla. Observas algua regla que te permita coocer la velocidad al cabo de 0 segudos? Represeta gráficamete esta fució. Tiempo e segudos 3 Velocidad e m/s 5.. Formas de defiir ua sucesió Existe varias formas de defiir ua sucesió: Dado ua propiedad que cumpla los térmios de esa sucesió Sucesió de los úmeros pares:, 4, 6, 8, 0, Sucesió de los úmeros primos:, 3, 5, 7,,.. Sucesió de los úmeros aturales acabados e 9: 9, 9, 9, 39,... Sucesió de los cuadrados de los úmeros aturales:, 4, 9, 6, Dado su térmio geeral o térmio -ésimo: Es ua expresió algebraica e fució de.

2 3 a = + 3 Sabiedo esto, podemos costruir los térmios de la sucesió si más que sustituir por los úmeros aturales. Así, tedríamos: a = + 3 = 4; a = + 3 = 7; a 3 = = ; a 4 = = 9; d = ( ) : d = ( ) = ; d = ( ) = ; d3 = ( ) 3 = ; d4 = ( ) 4 = Por ua ley de recurrecia: Es ua expresió que permite obteer u térmio a partir de los ateriores La sucesió:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, coocida como sucesió de Fiboacci se obtiee co la siguiete ley de recurrecia: a = a =, a = a + a Es decir, cada térmio, salvo los dos primeros, se obtiee como suma de los dos ateriores. Sea la sucesió de térmio geeral: a = + 3. Sus cico primeros térmios so: a = 5, a = 7, a 3 = 9, a 4 =, a 5 = 3 Dada la sucesió e forma recurrete: a =, a = a + 3 Sus cuatro primeros térmios so: a = (ya viee dado), a = + 3 = 4, a 3 = = 7, a 4 = = 0 4. Escribe los cuatro primeros térmios de las siguietes sucesioes: 4 a) a = + b = c =, c = 3c + 5 d =, d =5, d = d + d 3 5. Escribe la expresió del térmio geeral de las siguietes sucesioes: a) {,,,,,,,, } b) {0, 3, 8, 5, 4, 35, } c) {, 4, 6, 8, 0, } d),,,,, E ua sucesió el primer térmio es y los demás se obtiee sumado 4 al térmio aterior. Hallar los 6 primeros térmios de la sucesió. 7. U satélite artificial se puso e órbita a las 7 horas y 30 miutos. Tarda e dar ua vuelta completa a su órbita 87 miutos. A) Completa e tu cuadero la tabla adjuta. B) Escribe ua expresió geeral que te permita coocer la hora e que ha completado la vuelta -ésima. C) Busca ua expresió que te permita coocer la hora e fució de la hora de la órbita aterior. D) Busca ua expresió que te permita coocer la hora e fució de la primera. E) Cuátas vueltas completas habrá dado 0 días más tarde a las 4 horas? Nº de órbitas Hora e la que la ha completado. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Alicia tiee e siete días u exame de Matemáticas. Decide prepararlo haciedo cada día tres ejercicios más que el día aterior. Empieza hoy haciedo dos ejercicios. Si escribimos los ejercicios que va haciedo Alicia a medida que pasa los días, so:, 5, 8,, 4, Observamos que los térmios de la sucesió va aumetado e ua catidad costate: 3. Este tipo de sucesioes se llama progresioes aritméticas. Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros reales e la que la diferecia etre dos térmios cosecutivos de la sucesió es costate. A esta costate se le llama diferecia de la progresió y se suele deotar co la letra d. De otra forma, e ua progresió aritmética se verifica: a i+ a i = d siedo i cualquier úmero atural Es decir, cada térmio se obtiee sumado al aterior la diferecia, d: a i+ = a i + d

3 33 La sucesió formada por los úmeros aturales: {,, 3, 4, 5, } es ua progresió aritmética, ya que cada térmio se obtiee sumado al térmio aterior. Si a = 3 y d =, vamos a ver cómo se escribe los cico primeros térmios de la progresió aritmética: a = 3, a = a + d = 3 + = 5 a 3 = a + d = 5 + = 7 a 4 = a 3 + d = 7 + = 9 a 5 = a 4 + d = 9 + = 8. Señala razoadamete si la siguiete sucesió es ua progresió aritmética: {, 0, 00, 000, 00000,.}. 9. Calcula los tres primeros térmios de ua progresió aritmética sabiedo que el primero es y la diferecia es... Térmio geeral de ua progresió aritmética Ua progresió aritmética, al igual que ocurre co todas las sucesioes, queda perfectamete defiida si coocemos su térmio geeral. Vamos a calcularlo utilizado la defiició que hemos visto de progresió aritmética y supoiedo coocidos el primer térmio a y la diferecia de la sucesió, d. a dado a = a + d a 3 = a + d = a + d + d = a + d a 4 = a 3 + d = a + d + d = a + 3d a 5 = a 4 + d = a + 3d + d = a + 4d. De forma geeral: a = a + d = a + ( ) d + d = a + ( ) d Por tato, el térmio geeral de ua progresió aritmética es: a = a + ( ) d Geeralizado este resultado, podemos calcular el térmio geeral de ua progresió aritmética coociedo d y otro térmio de la progresió, o ecesariamete el primero: Más geeral, el térmio geeral de ua progresió aritmética es: a = a k + ( k) d Siedo a k el térmio de la progresió que ocupa el lugar k. NOTAS. Depediedo del valor de d, os podemos ecotrar co distitos tipos de progresioes aritméticas: a) Si d > 0, la progresió es creciete, es decir, cada térmio es mayor que los ateriores. Por ejemplo: {, 4, 6, 8, } b) Si d < 0, la progresió es decreciete, es decir, cada térmio es meor que los ateriores. Por ejemplo: {, 9, 6, 3, } c) Si d = 0, la progresió es costate, es decir, todos sus térmios so iguales. Por ejemplo: {4, 4, 4, 4, }. Depediedo de los datos que tegamos, calcularemos el térmio geeral de ua progresió aritmética de ua forma u otra: a. Si coocemos a y d, hemos visto que: a = a + ( ) d b. Si coocemos u térmio cualquiera a i y d, sabemos que: a = a k + ( k) d c. Si coocemos dos térmios cualesquiera a r y a s, os faltaría la diferecia d para poder aplicar la fórmula aterior. Pero, como sabemos que: a = a r + ( r) d y que a = a s + ( s) d ar as podemos despejar d e fució de r, s, a r y a s y os queda: d = Hallar el térmio geeral de ua progresió aritmética cuyo primer térmio es 7 y su diferecia tambié es 7. Basta co sustituir e la fórmula dada: a = a + ( ) d = 7 + ( )7 = = 7. Calcula el térmio que ocupa el lugar 5 e ua progresió aritmética cuyo primer térmio es y la diferecia es 3. E este caso, a 5 = a + (5 ) d = = + 4 = 44. Calcula el primer térmio de ua progresió aritmética co a 5 = 6 y d =. a 5 = a + (5 ) d. Despejamos a = a 5 4d = 6 4 ( ) = Dada ua progresió aritmética dos de cuyos térmios so: a 3 = 4 y a 0 = 8. A) Calcula su diferecia.. B) Calcula su térmio geeral.. Calcula el primer térmio de ua progresió aritmética co diferecia y a 30 = 60. r s

4 34. Cuál es el térmio geeral de ua progresió aritmética co a = 45 y d = 3? 3. Los lados de u petágoo está e progresió aritmética de diferecia 5. Sabiedo además que su perímetro es 65, calcula el valor de los lados. 4. Calcula los 5 primeros térmios de ua progresió aritmética de primer térmio y de diferecia 3. Represétalos gráficamete. Observa que su represetació gráfica es u cojuto de putos aislados que está sobre ua recta. 5. Calcula la expresió geeral de las progresioes aritméticas: a) De diferecia d =,5 y de primer térmio. b) De diferecia d = y de primer térmio 0. c) De diferecia d = /3 y de segudo térmio 5. d) De diferecia d = 4 y de quito térmio. 6. Cuátos múltiplos de 7 está compredidos etre el 4 y el 893?.. Suma de los térmios de ua progresió aritmética E ua progresió aritmética, la suma de dos térmios equidistates es costate. Es decir, si los subídices aturales p, q, r y s verifica que p + q = r + s, etoces: a p + a q = a r + a s La demostració de esta propiedad es muy secilla: a p + a q = a + d (p ) + a + d (q ) = a + d (p + q ) a r + a s = a + d (r ) + a + d (s ) = a + d (r + s ) Y como: p + q = r + s, etoces: a p + a q = a r + a s Queremos calcular la suma de los térmios de ua progresió aritmética, S. Es decir: S = a + a + a a + a + a Aplicado la propiedad comutativa de la suma, teemos que: S = a + a + a a 3 + a + a Sumado estas dos igualdades térmio a térmio obteemos: S = (a + a ) + (a + a ) + (a 3 + a ) (a + a 3 ) + (a + a ) + (a + a ) Como se observa, los subídices correspodietes a cada par de térmios etre parétesis suma +, por lo que la suma de sus térmios será siempre la misma, etoces: S = (a + a ) + (a + a ) + (a 3 + a ) (a + a 3 ) + (a + a ) + (a + a ) = (a + a ) ( a a ) Despejado S : S La suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética viee dada por: S ( a a ). Suma los 30 primeros térmios de la progresió aritmética: a = {7, 3, 9, 5,, }. Observamos que d = 4. Para aplicar la fórmula de la suma teemos que calcular primero el térmio que ocupa el lugar 30, a 30 : a 30 = a + ( )d = 7 +(30 ) ( 4) = ( 4) = 99 7 ( 99) Etoces: S 30 = Halla la suma de los úmeros impares meores que 000. Teemos que teer e cueta que los úmeros impares forma ua progresió aritmética de diferecia y además: 999 a =, = 500, a 500 = 999. Etoces: S 500 = 500 = Suma los 0 primeros térmios de la progresió aritmética: { 5, 4, 3,, 3, 40, } 8. Halla la suma de los 50 primeros múltiplos de E ua sucesió aritmética de u úmero impar de térmios el cetral vale, cuáto valdrá la suma del primero más el último? 0. El dueño de u pozo cotrata a u zahorí para coocer la profudidad a la que se ecuetra el agua y éste dictamia que a 5 m hay agua e abudacia. Pide u presupuesto a u cotratista, que le dice que el primer metro le costará 50 euros y por cada medio metro más 6 euros más que por el medio aterior. Cuáto le costará el pozo si se cumple las prediccioes?. Atoio se ha comprado u móvil, pero o puede pagarlo al cotado. Paga 60 euros cada semaa, pero el vededor le sube 5 euros cada semaa e cocepto de pago aplazado. Logra pagarlo e 0 semaas. Cuáto le costó? Cuáto pagó de más? Qué porcetaje supoe este recargo sobre el precio de veta?. U adador se etrea e ua piscia de 50 m y quiere cotrolar las pérdidas de velocidad por casacio. Croometra e cico días cosecutivos los tiempos que tarda e hacer, 5, 8,, 4 largos. A) Halla el térmio geeral de la sucesió a que da los metros recorridos e el día. B) Cuátos metros habrá adado e dichos croometrajes?

5 35 3. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS U padre plaea meter e ua hucha el día que su hijo recié acido cumpla u año y duplicar la catidad e cada uo de sus cumpleaños. Es decir, la sucesió cuyos térmios so el diero que mete e la hucha cada año es: {,, 4, 8, 6, }. Observamos que los térmios de la sucesió va aumetado de forma que cada térmio es el aterior multiplicado por. Este tipo de sucesioes se llama progresioes geométricas. Ua progresió geométrica es ua sucesió de úmeros reales e la que el cociete etre cada térmio y el aterior es ai costate. A esta costate se deomia razó de la progresió y se suele deotar co la letra r. Es decir, r siedo ai i u úmero atural y siempre que a i sea distito de cero. O lo que es lo mismo, cada térmio se obtiee multiplicado el aterior por la razó r: a i+ = a i r La sucesió: {, 3, 9, 7, 8, } es ua progresió geométrica, ya que tomado dos térmios cualesquiera cosecutivos, siempre se obtiee el mismo cociete, que es 3, razó de la progresió. 3 : = 9 : 3 = 7 : 9 = 8 : 7 = Térmio geeral de ua progresió geométrica Ua progresió geométrica, por ser ua sucesió, queda totalmete defiida si coocemos su térmio geeral. Vamos a obteerlo si más que aplicar la defiició de progresió geométrica: a = a r a 3 = a r = a r r = a r a 4 = a 3 r = a r r = a r 3 a 5 = a 4 r = a r 3 r = a r 4 a = a r = a r r = a r Por tato, el térmio geeral de ua progresió geométrica es: a = a r Geeralizado este resultado, podemos calcular el térmio geeral de ua progresió geométrica coociedo r y otro térmio de la progresió, o ecesariamete el primero: Más geeral, el térmio geeral de ua progresió geométrica es: a = a k r k siedo a k el térmio de la progresió que ocupa el lugar k. La sucesió a = 3 5 es ua progresió geométrica. NOTAS. Depediedo del valor de r, os podemos ecotrar co distitos tipos de progresioes geométricas: a) Si r >, la progresió es creciete, es decir, cada térmio es mayor que los ateriores. Por ejemplo: {, 4, 8, 6, } b) Si 0 < r <, la progresió es decreciete, es decir, cada térmio es meor que los ateriores. Por ejemplo: {90, 30, 0, 0/3, 0/9, } c) Si r < 0, la progresió es alterada, es decir, sus térmios va cambiado de sigo segú el valor de. Por ejemplo: {, 4, 8, 6, } d) Si r = 0, la progresió es la progresió formada por ceros a partir del segudo térmio. Por ejemplo: {7, 0, 0, 0, } e) Si r =, la progresió es la progresió costate formada por el primer térmio: {,,,, }. Depediedo de los datos que tegamos, calcularemos el térmio geeral de ua progresió geométrica de ua forma u otra: a) Si coocemos a y r, hemos visto que: a = a r. b) Si coocemos u térmio cualquiera a k y r, sabemos que: a = a k r k c) Si coocemos dos térmios cualesquiera a p y a q, co a p o ulo, os falta coocer la razó r para poder aplicar la fórmula aterior. Pero, como sabemos que: a = a p r p y que a = a q r q podemos despejar r e fució de p, a q, a p y a q y os queda: r = q p q a P

6 36 Hallar el térmio geeral de ua progresió geométrica cuyo primer térmio es 7 y su razó tambié es 7. Basta co sustituir e la fórmula dada: a = a r = 7 7 = 7. Calcula el térmio que ocupa el lugar 5 e ua progresió geométrica cuyo primer térmio es y razó 3. E este caso, a 5 = a r = 3 5 = 3 4 = 6. Calcula el primer térmio de ua progresió geométrica co a 3 = 6 y r =. Despejamos a de a = a r y teemos: a =. Para = 3, teemos: a = r a 6 ( ) 3. Averigua la razó de ua progresió geométrica cuyo primer térmio es 7 y el cuarto es El cuarto térmio de ua progresió geométrica es /9 y la razó /3. Halla el primer térmio. 5. Halla el sexto térmio de la siguiete progresió geométrica: {,,, 4, } 6. Dada ua progresió geométrica dos de cuyos térmios so: a 3 = 8 y a 6 = 048. A) Calcula su razó. B) Calcula su térmio geeral. 7. Cierta clase de alga, llamada clorella, se reproduce doblado su catidad cada dos horas y media. Al cabo de otras dos horas y media vuelve a doblar su catidad, y así sucesivamete. Si se tiee e el mometo iicial u kilo, al cabo de dos horas y media hay dos kilos. A) Haz ua tabla de valores e la que idiques para cada periodo de reproducció el úmero de kilos de clorella. B) Idica el térmio geeral. C) Al cabo de 4 días, ha trascurrido 40 periodos, cosideras posible este crecimieto? 3.. Producto de los térmios de ua progresió geométrica E ua progresió geométrica, el producto de dos térmios equidistates es costate. Es decir, si los subídices aturales p, q, t y s verifica que p + q = t + s, etoces: a p a q = a t a s La demostració de esta propiedad es muy secilla: a p a q = a r p a r q = a r p r q = a r p+q a t a s = a r t a r s = a r t r s = a r t+s Y como: p + q = t + s, etoces: a p a q = a t a s Queremos calcular el producto de los térmios de ua progresió geométrica, P. Es decir: P = a a a 3.. a a a Aplicado la propiedad comutativa del producto, teemos que: P = a a a.. a 3 a a Multiplicado estas dos igualdades: P = (a a a 3.. a a a ) (a a a.. a 3 a a ) P = (a a ) (a a ) (a 3 a ).. (a a 3 ) (a a ) (a a ) Como se observa, los subídices correspodietes a cada par de térmios etre parétesis suma +, por lo que el producto será siempre el mismo e cada factor, etoces: P = (a a ) Despejado P : a a = a r El sigo será positivo o egativo depediedo de la progresió. El producto de los primeros térmios de ua progresió geométrica viee dado por: P = a = a r a P = Halla el producto de los siete primeros térmios de ua progresió geométrica cuyo primer térmio es a = /8 y razó r = Observamos que todos los térmios de la sucesió so todos egativos, por lo que el producto de u úmero par de térmios es positivo y que el producto de u úmero impar es egativo. Calculamos a 7 para poder utilizar la fórmula deducida ateriormete: a 7 = a r = 7 = ( /8) 6 = 8. Etoces: P 7 = / = 8. El primer térmio de ua progresió geométrica es 3 y el octavo 384. Halla la razó y el producto de los 8 primeros térmios. 9. Calcula el producto de los 5 primeros térmios de la progresió: 3, 6,, 4, a r

7 Suma de los térmios de ua progresió geométrica A) Suma de u úmero limitado de térmios cosecutivos de ua progresió geométrica Jua ha comprado 0 libros, por el º ha pagado, por el º,, por el 3º, 4, por el 4º, 8 y así sucesivamete. Cómo podemos saber lo que ha pagado e total si ecesidad de hacer la suma? Se trata de ua progresió geométrica co a = y r =. Se trataría de calcular: a + a + a a 0. Vamos a verlo e geeral, para ua progresió geométrica cualquiera: Queremos calcular: S = a + a + a a + a. Para ello, multiplicamos esta igualdad por r: r S = r a + r a + r a r a + r a Pero como: a = r a a 3 = r a a 4 = r a 3. a = r a La igualdad aterior queda: r S = a + a 3 + a a + r a Restado: r S = a + a 3 + a a + r a S = a + a + a a + a r S S = a + r a r a a (r ) S = r a a S = siempre que r, y como a = a r r Etoces: a( r ) S = siempre que r. r La suma de los primeros térmios de ua progresió geométrica viee dada por: r a a a( r ) S = = siempre que r. r r Se cosidera r ya que si r = la progresió es la progresió costate formada por el primer térmio: {a, a, a, a, } y S = a Aalicemos la suma segú los distitos valores de r: a) Si r >, los térmios e valor absoluto crece idefiidamete y el valor de S viee dado por la fórmula aterior. b) Si r <, la suma de sus térmios cuado es grade se aproxima a S a, ya que si e S = elevamos la razó r < a ua potecia, cuato mayor sea el expoete, meor será el valor de r y si es suficietemete grade, r se aproxima a 0. Por eso, S a ( ) a r r c) Si r =, los térmios cosecutivos so opuestos:{a, a, a, a, } y S es igual a cero si es par, e igual a a si es impar. La suma de la serie oscila etre esos dos valores. Hallar la suma de los primeros térmios de ua progresió geométrica sabiedo que el primer térmio es y la razó 3. r a a S = = r 3 Hallar la suma de los 7 primeros térmios de ua progresió geométrica sabiedo que el séptimo térmio es 0480, el primero es 5 y la razó es 4. r a a r a7 a Ahora utilizamos la fórmula: S =. Sustituyedo: S 7 = r r U agricultor e su graja tiee litros de agua para dar de beber a los aimales. U día utilizó la mitad del coteido, al siguiete la mitad de lo que le quedaba y así sucesivamete cada día. Cuátos litros de agua utilizó hasta el sexto día? 3. Suma los quice primeros térmios de ua progresió geométrica e la que a = 5 y r = ½ r a ( r r )

8 38 B) Suma de u úmero ilimitado de térmios cosecutivos de ua progresió geométrica Qué ocurrirá si repetimos el proceso aterior idefiidamete? Es decir, qué ocurrirá si sumamos u úmero ilimitado de térmios? Depediedo del valor de r será posible o o obteer la suma de u úmero ilimitado de térmios: a) Si r =, la progresió es la progresió costate formada por el primer térmio: {a, a, a, a, } y si a es positivo la suma de los térmios será cada vez mayor (si fuera a egativo sería la suma cada vez mayor e valor absoluto, pero egativa). Por tato, si el úmero de térmios es ilimitado, esta suma será ifiita. b) Si r >, los térmios crece idefiidamete y el valor de S para u úmero ilimitado de térmios, tambié será ifiito. a c) Si r <, la suma de sus térmios se aproxima cuado es grade a S. r Observamos que la suma o depede del úmero de térmios, ya que al hacerse cada vez más pequeños, llega u mometo e que o se cosidera. d) Si r =, los térmios cosecutivos so opuestos: {a, a, a, a, } y S es igual a cero si es par, e igual a a si es impar. La suma de la serie oscila etre esos dos valores para u úmero fiito de térmios. Para u úmero de térmios ilimitado o sabemos si es par o impar, co lo que la suma o se puede realizar a o ser que a 0, caso a e que S 0. E el resto de los casos decimos que la suma de ifiitos térmios o existe pues su valor r es oscilate. e) Si r <, los térmios oscila etre valores positivos y egativos, creciedo e valor absoluto. La suma de sus ifiitos térmios o existe pues su valor tambié es oscilate. E resume, La suma de u úmero ilimitado de térmios de ua progresió geométrica sólo toma u valor fiito si r <, y etoces a viee dada por: S E el resto de los casos, o vale ifiito, o o existe pues oscila. r Calcula la suma de todos los térmios de la progresió geométrica cuyo primer térmio es 4 y la razó /. a 4 S = = 8 r E ua progresió geométrica la razó es /4 y la suma de todos sus térmios es 8. Cuáto vale el primer térmio? a Despejamos a de: S y: a = S ( r) = 8 ( /4) = 6 r 3. Calcula la suma de los ifiitos térmios de la sucesió: 6, 3, 3/, 3/4, 33. Teemos e la mao u cuadrado de área. Cortamos las cuatro esquias por los putos medios de los lados. El uevo cuadrado, qué área tiee? Dejamos los recortes ecima de la mesa. Qué área de recortes hay sobre la mesa? Co el uevo cuadrado que teemos e la mao efectuamos la misma operació de cortar las cuatro esquias y dejarlas sobre la mesa, y así sucesivamete. Qué área tiee los sucesivos cuadrados que tego e la mao? Y los recortes que queda sobre la mesa? Halla la suma de las ifiitas áreas de recortes así obteidas. 34. De uevo teemos u cuadrado de área e la mao, y lo cortamos por las líeas de putos como idica la figura. El trozo mayo lo dejamos sobre la mesa y os quedamos e la mao co el cuadrado, al que volvemos a cortar de la misma forma. Y así sucesivamete. Qué área tiee los sucesivos cuadrados que tego e la mao? Crece o dismiuye? Escribe el térmio geeral de la sucesió de áreas que teemos e la mao. Y los recortes que queda sobre la mesa? Crece el área o dismiuye? Vamos sumado áreas, calcula la suma de estas áreas si hubiéramos hecho ifiitos cortes.

9 Aplicacioes de las progresioes geométricas Fracció geeratriz El curso pasado estudiaste cómo pasar de u decimal periódico puro o periódico mixto a ua fracció. Ahora vamos a utilizar las progresioes geométricas para que compredas mejor el proceso. Si teemos u úmero decimal periódico puro, lo podemos escribir como:,37 = + 0,37 + 0, , O lo que es lo mismo: dode los sumados a partir del segudo forma ua progresió geométrica de razó r = a <, cuya suma ifiita vale: S 00 r = + = + = Por tato: + 00 = Si teemos u úmero decimal periódico mixto, se utiliza u proceso similar:,3 8 =,3 + 0, , O lo que es lo mismo:, E este caso, los sumados a partir del segudo forma ua progresió geométrica de razó r = <. Por tato: , = + 0,3 + = + + = Nota Co este proceso estamos ilustrado el cocepto de fracció geeratriz como aplicació de las progresioes geométricas, pero a efectos prácticos, es más cómodo efectuarlo segú el proceso visto. Capitalizació compuesta El iterés compuesto lo estudiarás deteidamete e el capítulo 6, pero ahora es iteresate que sepas que etoces vas a usar las progresioes geométricas para calcularlo, y que tiees ua hoja de cálculo para hacer las operacioes. Si depositamos e ua etidad fiaciera ua catidad de diero C 0 durate u tiempo t y u rédito r dado e tato por uo, obtedremos u beeficio: I = C 0 r t llamado iterés. La pricipal característica de la capitalizació compuesta es que los itereses que se geera e u año, pasa a formar parte del capital iicial y produce itereses e los periodos siguietes. Etoces: Al fial del primer año, el capital será el capital iicial C 0 juto co los itereses producidos durate ese año. Es decir: o C = C 0 + I = C 0 + C 0 r = C 0 ( + r) Al fial del segudo año, el capital que tedremos será el capital que teíamos al fializar el primer año más los itereses producidos ese segudo año. Es decir: C = C + C r = C ( + r) = C 0 ( + r) ( + r) = C 0 ( + r) Observado los capitales obteidos: C, C,, C cocluimos que se trata de ua progresió geométrica de razó ( + r). Por tato: El año -ésimo, tedremos: El capital fial obteido después de años dado u capital iicial C 0 y u rédito r dado e tato por uo, es: C = C 0 ( + r)

10 40 Veamos la fracció geeratriz de 3, 45 como aplicació de las progresioes geométricas. 3, 45 = 3 + 0,45 + 0, , O lo que es lo mismo: dode los sumados a partir del segudo forma ua progresió geométrica de razó r = <, cuya suma ifiita vale: a S. Por tato: 00 r = = 3 + = + = = Depositamos e u baco 500 al 3,5 % de capitalizació compuesta durate tres años. Cuáto diero tedríamos al fializar el tercer año? Utilizamos la expresió: C t = C 0 ( + r) t dode C 0 = 500, r = 0,035 pues es el tato por uo y t = 3 años. Por tato: C t = C 0 ( + r) t = 500( + 0,035) 3 = 663, Calcula la fracció geeratriz del úmero 4, U empresario acude a ua etidad fiaciera para iformarse sobre cómo ivertir los 6000 de beeficios que ha teido e u mes. Le platea dos opcioes. a) Mateer ese capital durate 5 años al 3,5 % aual o b) Recibir el 5 % del capital durate los dos primeros años y el 3 % los tres años restates. Qué opció le iteresa más? Progresió aritmética RESUMEN Es ua sucesió de úmeros reales e la que la diferecia etre dos térmios cosecutivos de la sucesió es costate. A esta costate se le llama diferecia de la progresió y se suele deotar co la letra d., 5, 8,, 4, 7, Térmio geeral a = a k + ( k) siedo a k el térmio que ocupa el lugar k a = + 3 Suma de los ( a a ) S S 8 = (8/) ( + ( + 3 8)) = primeros térmios 4 (4 + 4) = 4 8 = Progresió geométrica Es ua sucesió de úmeros reales e la que el cociete etre cada térmio y el aterior es costate. A esta costate se deomia razó de la progresió y se suele deotar co la letra r. Es decir, ai r siedo i u úmero atural. a i 3, 6,, 4,, /, /4, /8 Térmio geeral a = a k r -k siedo a k el térmio de la sucesió que ocupa el lugar k a = 3 - a = (/) Suma - Para r, y u úmero fiito de térmios: r a a a(r ) S = = r r a - Para r, y ua catidad ilimitada de térmios: S r S 8 = 3( 8 )/( ) = 3(56 ) = 3(55) = 765. S = /( /) = Producto de los primeros térmios P = a = a a r 8 9 P 9 = + ( 3 3 ) =(3 4 ) 9

11 4 EJERCICIOS Y PROBLEMAS.. Calcula el térmio que ocupa el lugar 00 de ua progresió aritmética cuyo primer térmio es igual a 4 y la diferecia es 5.. El décimo térmio de ua progresió aritmética es 45 y la diferecia es 4. Halla el primer térmio. 3. Sabiedo que el primer térmio de ua progresió aritmética es 4, la diferecia 7 y el térmio -ésimo 88, halla. 4. Halla el primer térmio de ua progresió aritmética y la diferecia, sabiedo que a 3 = 4 y a 0 = El térmio sexto de ua progresió aritmética es 4 y la diferecia /. Halla el térmio Calcula los lados de u triágulo rectágulo sabiedo que sus medidas, expresadas e metros, está e progresió aritmética de diferecia Halla tres úmeros que esté e progresió aritmética y tales que, aumetados e 5, 4 y 7 uidades respectivamete, sea proporcioales a 5, 6 y Calcula la suma de los múltiplos de 59 compredidos etre 000 y El producto de tres térmios cosecutivos de ua progresió aritmética es 80 y la diferecia es 3. Halla dichos térmios. 0. Cuátos térmios hay que sumar de la progresió aritmética, 8, 4,... para obteer como resultado 064?. La suma de úmeros aturales cosecutivos tomados a partir de es 75. Cuátos térmios hemos sumado?. Sabiedo que el quito térmio de ua progresió aritmética es 8 y la diferecia es, halla la suma de los ueve primeros térmios de la sucesió. 3. La suma de tres úmeros e progresió aritmética es 33 y su producto 87. Halla estos úmeros. 4. Tres úmeros e progresió aritmética tiee por producto 6640; el más pequeño vale 0. Halla los otros dos. 5. El producto de cico úmeros e progresió aritmética es 30 y su suma 40. Halla estos úmeros sabiedo que so eteros. 6. Calcula tres úmeros sabiedo que está e progresió aritmética, que su suma es 8 y que la suma del primero y del segudo es igual al tercero dismiuido e dos uidades. 7. La suma de los oce primeros térmios de ua progresió aritmética es 76 y la diferecia de los extremos es 30. Halla los térmios de la progresió. 8. Halla cuatro úmeros e progresió aritmética, coociedo su suma, que es, y la suma de sus cuadrados, La diferecia de ua progresió aritmética es 4. El producto de los cuatro primeros térmios es 585. Halla los térmios. 0. Halla los seis primeros térmios de ua progresió aritmética sabiedo que los tres primeros suma 3 y los tres últimos 4.. E ua progresió aritmética el oceavo térmio excede e uidades al octavo, y el primero y el oveo suma 6. Calcula la diferecia y los térmios mecioados.. E ua progresió aritmética, los térmios segudo y tercero suma 9, y los térmios quito y séptimo suma 40. Hállalos. 3. Sabiedo que las medidas de los tres águlos de u triágulo está e progresió aritmética y que uo de ellos mide 00º, calcula los otros dos. 4. Halla las dimesioes de u ortoedro sabiedo que está e progresió aritmética, que suma 78 m y que el volume del ortoedro es de 5470 m. 5. Los seis águlos de u hexágoo está e progresió aritmética. La diferecia etre el mayor y el meor es 60º. Calcula el valor de cada águlo. 6. Las logitudes de los tres lados de u triágulo rectágulo está e progresió aritmética y suma 36 metros. Cuáto mide cada lado? 7. U coroel mada 5050 soldados y quiere formar co ellos u triágulo para ua exhibició, de modo que la primera fila tega u soldado, la seguda dos, la tercera tres, etc. Cuátas filas tiee que haber? 8. Por el alquiler de ua casa se acuerda pagar 800 euros al mes durate el primer año, y cada año se aumetará el alquiler e 50 euros mesuales. Cuáto se pagará mesualmete al cabo de años? 9. Las edades de cuatro hermaos forma ua progresió aritmética, y su suma es 3 años. El mayor tiee 6 años más que el meor. Halla las edades de los cuatro hermaos. 30. U esquiador comieza la pretemporada de esquí haciedo pesas e u gimasio durate ua hora. Decide icremetar el etreamieto 0 miutos cada día. Cuáto tiempo deberá etrear al cabo de 5 días? Cuáto tiempo e total habrá dedicado al etreamieto a lo largo de todo u mes de 30 días? 3. E ua sala de cie, la primera fila de butacas dista de la patalla 86 dm, y la sexta, 34 dm. E qué fila estará ua persoa si su distacia a la patalla es de 30 dm? 3. Calcula el térmio oceavo de ua progresió geométrica cuyo primer térmio es igual a y la razó es. 33. El quito térmio de ua progresió geométrica es 8 y el primero es. Halla los cico primeros térmios de dicha progresió.

12 4 34. E ua progresió geométrica de primer térmio 7 y razó, u cierto térmio es 867. Qué lugar ocupa dicho térmio? 35. Sabiedo que el séptimo térmio de ua progresió geométrica es y la razó /, halla el primer térmio. 36. E ua progresió geométrica se sabe que el térmio decimoquito es igual a 5 y que el térmio décimo es igual a 6. Halla el primer térmio y la razó. 37. Descompó el úmero 4 e tres sumados que forme progresió geométrica, siedo 96 la diferecia etre el mayor y el meor. 38. El volume de u ortoedro es de 3375 cm 3. Halla la logitud de sus aristas, sabiedo que está e progresió geométrica y que la arista itermedia mide 0 cm más que la meor. 39. Halla el producto de los ocho primeros térmios de la progresió 3, 6,, 4, Halla la suma de los diez primeros térmios de la progresió geométrica 3, 6,, 4, La suma de los ocho primeros térmios de ua progresió geométrica es 7 veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razó. 4. Halla la suma de los térmios de la progresió ilimitada: 8, 4,,, Halla tres úmeros e progresió geométrica sabiedo que su suma es 6 y su producto Calcula el producto de los oce primeros térmios de ua progresió geométrica sabiedo que el térmio cetral vale. 45. Tres úmeros e progresió geométrica suma 55 y su producto vale u milló. Calcula dichos úmeros. 46. Determia cuatro úmeros e progresió geométrica de maera que los dos primeros sume 0,5 y los dos últimos 0, Cuátos térmios se ha tomado e ua progresió geométrica, sabiedo que el primer térmio es 7, el último 448 y su suma 889? 48. La suma de los siete primeros térmios de ua progresió geométrica de razó 3 es 765. Halla los térmios primero y séptimo. 49. Halla tres úmeros e progresió geométrica cuyo producto es 38509, sabiedo que el mayor excede e 5 a la suma de los otros dos. 50. Tres úmeros está e progresió geométrica; el segudo es 3 uidades mayor que el primero, y el tercero, 96 uidades mayor que el segudo. Halla los úmeros. 5. Halla los cuatro primeros térmios de ua progresió geométrica, sabiedo que el segudo es 0 y la suma de los cuatro primeros es Halla los águlos de u cuadrilátero, si se sabe que está e progresió geométrica y que el mayor es 7 veces el meor. 53. Las dimesioes de u ortoedro está e progresió geométrica. Calcula estas dimesioes sabiedo que su perímetro es 40 m y su volume 8000 m Divide el úmero e tres partes eteras que forma ua progresió geométrica tal que el tercer térmio sobrepasa al primero e La suma de tres úmeros e progresió geométrica es 48 y la diferecia etre los extremos 9. Halla dichos úmeros. 56. Halla cuatro úmeros e progresió geométrica sabiedo que la suma de los dos primeros es 8 y la suma de los dos últimos E ua progresió geométrica, los térmios primero y decimoquito so 6 y 54, respectivamete. Halla el térmio sexto. 58. Ua progresió geométrica tiee cico térmios, la razó es igual a la cuarta parte del primer térmio y la suma de los dos primeros térmios es 4. Halla los cico térmios. 59. Halla x para que x, x +, (x + ) esté e progresió geométrica. 60. A ua cuerda de 700 m de logitud se le da dos cortes, de modo que uo de los trozos extremos tiee ua logitud de 00 m. Sabiedo que las logitudes de los trozos está e progresió geométrica, determia la logitud de cada trozo. 6. Halla la fracció geeratriz del úmero decimal 0, , como suma de los térmios de ua progresió geométrica ilimitada. 6. Se tiee ua cuba de vio que cotiee 04 litros. El de octubre se vació la mitad del coteido; al día siguiete se volvió a vaciar la mitad de lo que quedaba, y así sucesivamete todos los días. Qué catidad de vio se sacó el día 0 de octubre? 63. Dado u cuadrado de m de lado, uimos dos a dos los putos medios de sus lados; obteemos u uevo cuadrado, e el que volvemos a efectuar la misma operació, y así sucesivamete. Halla la suma de las ifiitas áreas así obteidas.

13 Tres úmeros cuya suma es 36 está e progresió aritmética. Halla dichos úmeros sabiedo que si se les suma, 4 y 43, respectivamete, los resultados forma ua progresió geométrica. 65. Triágulo de Sierspiky: Vamos a costruir u fractal. Se parte de u triágulo equilátero. Se ue los putos medios de los lados y se forma cuatro triágulos. Se elimia el triágulo cetral. E cada uo de los otros tres triágulos se repite el proceso. Y así sucesivamete. A la figura formada por iteració ifiita se la deomia Triágulo de Sierspiky, y es u fractal. Imagia que el primer triágulo tiee u área A. Cuado aplicamos la primera iteració, el área es (3/4)A. Y e la seguda? Escribe la sucesió de las áreas. Es creciete o decreciete? Imagia ahora que la logitud de cada lado del triágulo iicial es L. Escribe la sucesió de las logitudes. Es creciete o decreciete? AUTOEVALUACIÓN. Cuál es la razó de la siguiete progresió geométrica: a 5 3? a) 5 b) 3 c) d) No es ua progresió geométrica. E la sucesió de múltiplos de 3, el 69 ocupa el lugar: a) b) c) 3 d) La suma de los diez primeros térmios de la progresió aritmética: 7, 3, 9, 3, es: a) 70 b) 34 c) 9 d) La sucesió 5, 5, 45, 35, 405, 5...: a) Es ua progresió geométrica de razó 5 b) Es ua progresió aritmética de diferecia 5 c) Es ua progresió geométrica de razó 3 d) Es ua progresió aritmética de diferecia Sea la sucesió:, 0, 50, 50, su térmio geeral es: a) a = 5 - b) a = - c) a = d) a = 5-6. Cuáto suma las potecias de compredidas etre y 0? a) 0 b) 046 c) 04 d) La progresió aritmética cuyo primer térmio es y su diferecia, tiee como térmio geeral: a) a = b) a = + c) a = d) a = 8. Cuál es el valor de la suma: ? a) b) c) d) María está preparado el exame de selectividad. Para o dejar toda la materia para el fial ha decidido estudiar cada día el doble de págias que el día aterior. Si el primer día estudió tres págias, cuátas habrá estudiado al cabo de 7 días? a) 38 b) 9 c) 765 d) A Roberto le ha tocado 6000 e la lotería y decide depositarlos e el baco a u tipo de iterés compuesto del 4 %. Cuáto diero tedrá al cabo de 5 años? a) 640 b) 604 c) 783,04 d) 799,9

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