ESPECIFICACIÓN, VERIFICACIÓN Y MANTENIMIENTO DE REQUISITOS FUNCIONALES CON TÉCNICAS DE DESCRIPCIÓN FORMAL
|
|
|
- Victoria Márquez Carmona
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 UNIVRSIDAD D VIGO Dpto. de Tecnologís de ls Comunicciones TSI de Telecomunicción TSIS DOCTORAL SPCIFICACIÓN, VRIFICACIÓN Y MANTNIMINTO D RQUISITOS FUNCIONALS CON TÉCNICAS D DSCRIPCIÓN FORMAL Autor: Jorge Grcí Duque Director: Dr. José J. Pzos Aris 000
2
3 A los míos
4 ii
5 iii Agrdecimientos Durnte el cmino recorrido pr relizr un trjo lrgo y costoso siempre se encuentrn ostáculos, momentos en los que uno se siente sólo nte el peligro. Sin emrgo, l finl del tryecto, cundo se ech l vist trás, es imposile evitr esozr es sonris de stisfcción. Los prolems psdos, quellos momentos de soledd, se ven hor desde otr perspectiv; y precen, csi sin querer, un montón de mnos tendids lo lrgo de todo el cmino. Y uno piens, cómo pude encontrr lgún inconveniente teniendo tnt gente, tnt yud mi ldo. Los prolems surgidos siempre se solventron grcis vuestros ánimos, vuestros consejos, vuestr compñí; en fin, grcis vosotros. Afortundmente, el finl del cmino te permite ver que siempre estuvisteis hí, sin hcer ruido, sin exigir nd. Otr vez tengo que sonreír, recordndo los momentos psdos. Por todo ello, quiero grdecer cd uno de vosotros tods y cd un de ls veces que estuvisteis mi ldo. De tnts mners distints. Tods me rieron ls puerts. Cd uno rió quélls que podí rir. Grcis. Perdond si durnte el cmino no supe vlorr vuestro poyo. Hy veces que sólo es posile ver mirndo hci trás. Perdond tmién si no os pongo nomre, pero vosotros me héis enseñdo que el nonimto de l yud desinteresd engrndece ún más el poyo prestdo. Por eso, todos os tiendo mi mno grdecid, esperndo que l reciáis con l mism stisfcción y orgullo con que yo recií l vuestr. De nuevo, Grcis. Quisier tmién grdecer l Xunt de Glici el poyo que nos h prestdo. L finncición reciid trvés del proyecto XUGA 306A97, LIRA: Contorno softwre de desenvolvemento de pliccións con técnics de descripción forml, nos h permitido relizr este trjo con los medios mteriles propidos.
6 iv
7 v Resumen st tesis se enmrc dentro de l Ingenierí del Softwre, disciplin que tiene como ojetivo proporcionr teorís, métodos y herrmients pr el desrrollo de softwre de clidd. L plicción de ls metodologís de desrrollo softwre trdicionles sistems softwre complejos (sistems distriuidos) supuso un detrimento en l clidd de los productos softwre desrrolldos, y un incremento en los costes de los mismos; deido, en grn medid, l imposiilidd de pror el sistem hst que se disponí de un implementción del mismo. Ls técnics formles, sds en l utilizción de ls mtemátics como vehículo pr crer especificciones de sistems con un sintxis y semántic formlmente definid, permiten verificr y vlidr el sistem en tods ls fses del proceso de desrrollo, reduciendo el riesgo de propgr errores lo lrgo de dicho proceso. Sin emrgo, y pesr de ls ventjs potenciles de los métodos formles, es escs su integrción en l industri del softwre. ste hecho está motivdo principlmente por: el desconocimiento (tnto de clientes como de diseñdores) de ests técnics; l inexistenci de herrmients propids que permitn su plicción práctic; sí como su deficiente integrción en el proceso de desrrollo softwre. Además, l principl ventj de ests técnics (posiilidd de verificr y vlidr en culquier fse del proceso de desrrollo) se ve notlemente reducid, deido l lto coste computcionl que requiere l verificción forml, cundo se plicn sistems de medio y grn tmño. Un lterntiv pr solucionr este prolem es ordr l verificción medinte refinmientos sucesivos del sistem, siendo l verificción de cd refinmiento mucho más simple. n est tesis se present un modelo de proceso de desrrollo softwre incrementl totlmente formlizdo. l trjo se centr en ls primers etps del proceso de desrrollo softwre (especificción, nálisis y verificción de requisitos), ordndo tmién l fse de diseño de l rquitectur del sistem y l fse de mntenimiento. l proceso incrementl definido permite trtr cd refinmiento del sistem (incremento) de diferente form, en función de l etp de desrrollo en que se produzc. st ide se s en dos spectos fundmentles: por un prte, provechr ls crcterístics complementris de los distintos tipos de técnics de descripción forml (orientds propieddes pr ls primers fses, y constructivs pr fses posteriores), cominándols en función de l etp de desrrollo; y por otr, decur el trtmiento de dichos refinmientos su nturlez. A continución, se resumen ls principles crcterístics y portciones de l metodologí forml desrrolld, clsificándols según ls diferentes etps del proceso de desrrollo propuesto: specificción y nálisis de requisitos: Se define un lógic temporl (técnic forml orientd propieddes) con un semántic cercn l lenguje nturl. L expresividd de dich lógic se enriquece con l introducción de un tercer grdo de especificción denomindo suespecificdo. Ls prtes suespecificds del sistem pueden ser especificds en refinmientos posteriores del sistem. Además, dd l importnci de estlecer con clridd
8 vi los requisitos iniciles del sistem, se proporcion un representción gráfic de los mismos trvés de un formlismo sdo en grfos con rcos en tres estdos: posiles, no posiles y suespecificdos. Los rcos suespecificdos proporcionn grdos de liertd y permiten utomtizr toms de decisión en ls siguientes fses de desrrollo. Verificción: Se proporcion un técnic de verificción sd en model checking, utilizndo l lógic temporl definid pr l especificción de requisitos y el grfo de representción pr relizr l verificción propimente dich. Pr umentr l expresividd de ls técnics utilizds, proporcionndo l myor informción posile l usurio, se define un relción de stisfcción con seis grdos de verdd; lo que permite expresr el grdo de stisfcción de un propiedd y su posile evolución en los refinmientos del sistem. Síntesis: A prtir de un conjunto de requisitos, se sintetiz utomáticmente un grfo de estdos según el formlismo definido, proporcionndo un prototipo del sistem. l proceso de síntesis se reliz de mner incrementl, medid que el usurio especific los requisitos del sistem. Dicho proceso utomtiz ls posiles toms de decisión, pudiendo sintetizr fmilis de sistems que stisfcen el conjunto de requisitos especificdos. Además, el proceso de síntesis definido permite reutilizr prte de l síntesis de sistems con conjuntos de requisitos comunes. Diseño de l rquitectur: L definición de requisitos de sincronizción y de operdores rquitectónicos permite construir un especificción con estructur del sistem. L elección de los operdores rquitectónicos de -LOTOS hce que el sistem otenido (rquitectur inicil del sistem) sirv como entrd en el entorno trnsformcionl LIRA [PA95, GS99], donde puede completrse, en un segund etp más orientd hci l implementción, el proceso de refinmiento. Mntenimiento: L definición incrementl del proceso de desrrollo permite definir un fse de mntenimiento nivel de requisitos, y que l especificción de cd requisito supone un cmio en el sistem, crendo versiones del mismo. Cd versión del sistem puede recuperrse prtir de los requisitos que stisfce y de ls toms de decisión llevds co en el proceso de síntesis. Como complemento l trjo teórico descrito se h implementdo un herrmient softwre que integr l totlidd de lgoritmos desrrolldos. Dich herrmient incluye un se de dtos y un interfz gráfic que fcilit su cceso en un entorno We.
9 vii Astrct This PhD. thesis is concerned with the discipline clled Softwre ngineering. The min gol of Softwre ngineering is to improve the qulity of softwre systems y providing theories, methods nd tools for their development. The qulity of softwre systems ws reduced when trditionl methods of softwre development were pplied to complex softwre systems (distriuted systems). It ws minly due to the impossiility of proving the system until its implementtion ws developed, incresing the costs of the product. Forml techniques, which re sed on using mthemtics s vehicle to mke system specifictions with formlly defined syntx nd semntics, llow proving nd vlidting systems t ll stges of the development process. Therefore, using forml techniques reduces the risk of propgting errors during the softwre development process. However, in the softwre industry there is still gret reluctnce to ccept mthemticlly sed softwre engineering methods. Some of the possile resons why forml methods hve not yet found widespred cceptnce in softwre engineering re: the users difficulty to understnd the forml specifictions; the lck of suitle tools (most of which re still prototypes, contin mny ugs nd re difficult to use); nd the deficient integrtion of forml methods in the softwre development process. Moreover, the min dvntge of these techniques (proving system t ll stges of the softwre development process) is notly limited when they re pplied to develop complex systems, due to the high computtionl lod of the forml verifiction. An lterntive to solve this prolem is mking simple verifictions y consecutive refinements of the system. This process ends when the expected product is otined. This thesis introduces n incrementl model of softwre development process which is totlly formlized. It is focused on the first stges of the softwre development process (specifiction, requirements nlysis nd verifiction) ut it lso supports the phses of rchitecturl design nd mintennce. The proposed softwre development model is sed on its incrementl nture, since the system is successively refined until the finl product is otined. ch refinement is del with in different wy, ccording to the development stge. This pproch is sed on two min spects: on the one hnd, to tke dvntge of the different kinds of forml description techniques; on the other hnd, to del with the refinements ccording to their context. Next, the min fetures nd contriutions of the proposed methodology re summrized. They re clssified ccording to the stge of the defined softwre development process: Requirements specifiction: A temporl logic ( property-oriented forml technique) with semntics close to nturl lnguge is defined for specifying system requirements. A new degree of specifiction is introduced (referred to s unspecified) to enrich the expressivity of the logic. Therefore, unspecified prts of system cn e specified in susequent system refinements. Besides, grphicl representtion of the logic is provided, due to the relevnce of estlishing the initil system requirements ccurtely. To chieve it, formlism sed on grphs with three-vlued (possile, non-possile nd unspecified) rcs is defined. Unspe-
10 viii cified rcs provide different wys to the system evolution nd llow utomticlly crrying out the decision mking of the system refinement process. Verifiction: A verifiction technique sed on model checking is provided. It uses the defined temporl logic to specify system properties, nd the three-vlued grphs to mke the verifiction. A stisfction reltion with six degrees of truth is defined. It llows enriching the expressivity of the defined formlisms nd providing detiled verifiction result, including the current stisfction degree of the property nd its possile evolution during the susequent system refinements. Synthesis: A system prototype is utomticlly synthesized from the requirements specifiction y using the formlism sed on grphs. The synthesis process is crried out in n incrementl wy, dding the requirements s the user specifies them. Decision mking is utomted into this process, eing possile synthesizing system fmilies which stisfy the specified requirements. Moreover, the defined synthesis process llows reusing prt of systems with susets of common requirements. Architecturl Design: System rchitecture is provided y defining requirements of synchroniztion nd rchitecturl opertors. The choice of the -LOTOS rchitecturl opertors mkes possile using the otined system (the initil rchitecture of the system) s the input of the trnsformtionl environment clled LIRA [PA95, GS99] in which the system cn e refined y specifying -LOTOS trnsformtions. Mintennce: ch specified requirement cuses system refinement. It llows defining system versions in which the mintennce is mde t the requirements specifiction level. A system version is identified y set of requirements nd the decision mking crried out during the synthesis process. A softwre tool hs een implemented s complement of the theoreticl work descried ove. It integrtes ll the developed lgorithms, including reltionl dtse nd WWW interfce.
11 Índice Generl I Introducción Ámito y Ojetivos de l Tesis 3. Introducción Ingenierí del Softwre Sistems Distriuidos Los Métodos Formles en el Proceso de Desrrollo Softwre Introducción Ls Técnics de Descripción Forml Verificción Forml Los Métodos Formles en l Industri del Softwre Ojetivos de l Tesis Orgnizción de l Memori stdo del Arte. Modelos del Proceso de Desrrollo Softwre Proceso de Desrrollo con FDTs Lengujes de specificción Forml Verificción Forml Model Checking Demostrdores de Teorems Conclusiones Conceptos Fundmentles Integrción de Métodos Model Checking y Demostrdores de Teorems ix
12 x ÍNDIC GNRAL.5.. Integrción en el Proceso de Desrrollo ducción y Trnsferenci Tecnológic II Definición de l Metodologí Forml SCTL-MUS 39 3 Modelo de Desrrollo Softwre 4 3. Cominción de FDTs en el Proceso de Desrrollo Softwre Modelo de Desrrollo Itertivo con Prototipdo Formlizción del Modelo Modelo de stdos Suespecificdos: MUS Introducción los Modelos de stdos Definición de MUS Representción Mtricil de MUS Introducción Definición de Grfo Suespecificdo Representción Mtricil de un Grfo Suespecificdo Operciones sore Grfos Suespecificdos jemplos Lógic Temporl Cusl Simple: SCTL Introducción Definición de SCTL jemplos Trducción SCTL-MUS Introducción Revisión de l Representción Mtricil de MUS Operdor A L Vez Operdor Antes Operdor Después Conclusiones de l Revisión de MUS Trducción de Requisitos SCTL Atómicos
13 ÍNDIC GNRAL xi 6.3. Algoritmo de Trducción de Requisitos Atómicos I vlución del Algoritmo de Trducción de Requisitos Atómicos I stdos de Aplicilidd de los Requisitos SCTL Algoritmo de Acciones de Aplicilidd Algoritmo de Aplicilidd Potencil Algoritmo de Trducción de Requisitos Atómicos II Algoritmo de Trducción SCTL-MUS Trducción de Requisitos Recursivos jemplo del Algoritmo de Trducción SCTL-MUS III Verificción 89 7 Grdos de Stisfcción de los Requisitos SCTL 9 7. Introducción Álger de Incertidumre del Punto Medio structur del Álger IPM: Un Álger de De Morgn Teorems Comunes del Álger IPM l Álger de Boole Regls y Teorems sore Igulddes en un Álger IPM Definición de l Relción de Stisfcción Propieddes Orden en el Álger IPM Verificción SCTL-MUS Introducción Interpretción de l Relción de Stisfcción Algoritmo de Verificción SCTL-MUS Descripción jemplo de Aplicción IV Fse de Diseño 9 Síntesis Incrementl 3 9. Introducción
14 xii ÍNDIC GNRAL 9. Descripción Generl del Proceso de Síntesis Incrementl Algoritmo de Síntesis: Un Primer Aproximción Comprción con el Algoritmo de Trducción Reutilizción de stdos Pseudocódigo del Algoritmo jemplo de Aplicción Conclusiones Pérdid de Suespecificción Vlorción del Algoritmo Otenido Reutilizción en el Proceso de Síntesis Incrementl 9 0. Algoritmo de Síntesis: n Busc de Reutilizción Solpmiento de stdos Pseudocódigo del Algoritmo jemplo de Aplicción Algoritmo de Síntesis: Aumentndo l Reutilizción Algoritmo de Reducción de stdos jemplo de Aplicción Algoritmo de Síntesis: n Busc de ficienci Algoritmo de Síntesis: Independenci de SCTL Pseudocódigo del Algoritmo Conclusiones de los Algoritmos de Síntesis Otenidos Algoritmo de Trducción SCTL-MUS: n Busc de Reutilizción Algoritmo de Trducción SCTL-MUS II Trducción MUS -LOTOS Diseño de l Arquitectur 49. Introducción Requisitos de Sincronizción Síntesis de un Proceso Sincronizdor Algoritmo de Sincronizción Pseudocódigo
15 ÍNDIC GNRAL xiii.. jemplos Procesos Sincronizdores Mínimos Introducción Síntesis del Sincronizdor Mínimo Pseudocódigo jemplo Reutilizción de Procesos Sincronizdores jemplo de Aplicción V Mntenimiento 67 Mntenimiento de specificciones SCTL-MUS 69. Procesos specificciones SCTL-MUS Requisitos SCTL Grfos MUS Reutilizción VI Implementción y jemplo de Aplicción 77 3 Implementción Diseño Genérico Diseño SCTL-MUS Protocolo CSMA/CD CSMA Descripción specificción de Acciones specificción de los Requisitos de un stción misor Trducción SCTL-MUS Síntesis Incrementl Síntesis Prcil Diseño de l Arquitectur
16 xiv ÍNDIC GNRAL Proceso Sincronizdor Proceso Sincronizdor Proceso Sincronizdor Glol Verificción CSMA/CD Descripción specificción de Acciones specificción de Requisitos Trducción SCTL-MUS Síntesis Incrementl Diseño de l Arquitectur Verificción VII Conclusiones 09 5 Conclusiones y Línes de Trjo Futurs 5. Conclusiones Definición de SCTL y MUS Integrción en un Metodologí Forml de Desrrollo Softwre Algoritmos Desrrolldos e Implementción Trjo Futuro VIII Apéndices 9 A jemplo del Algoritmo de Reducción de stdos B Algoritmos uxilires 5 B. Algoritmo de Notción Invers B. Algoritmo de Crdinlidd B.3 Algoritmo de Prtición B.4 Algoritmo de xtrcción de SuRequisitos Biliogrfí
17 Índice de Figurs. Modelo en cscd o convencionl Modelo evolutivo Modelo trnsformcionl Modelo en espirl specificción y diseño L especificción forml en el proceso softwre Ciclo de vid itertivo con prototipdo volución de un producto softwre Modelo de desrrollo softwre propuesto jemplo de MUS Sintxis de l lógic SCTL Grfo MUS del requisito tómico! Grfo MUS del requisito tómico #"$! Modelo de estdos suespecificdos: &%'( Grfo MUS del requisito tómico #%'! Trducción del requisito SCTL recursivo ) *, jemplo del Algoritmo de Trducción SCTL-MUS Álger de Incertidumre del Punto Medio Modelo de estdos suespecificdos.0/ *, Grfo MUS del sistem Grfo MUS del requisito 345 " xv
18 xvi ÍNDIC D FIGURAS 9. Sistem con infinitos estdos Grfo MUS.768 : Pérdids de suespecificción deids l reutilizción de estdos Grfo MUS.; :9< de un sistem en un fse intermedi del diseño Síntesis de >. Decisión I no se stisfce en A Síntesis de >. Decisión II no se stisfce en A Síntesis de >. Decisión III Síntesis de B I Síntesis de B II Grfo MUS del requisito )C :9< Unión de dos estdos Grfos MUS del sistem y de los requisitos D y Síntesis de > medinte el Algoritmo 0.. Decisión I Síntesis de >. Decisión II Síntesis de. Decisión III Grfo MUS.;FHG8IKJ Grfos MUS. FHG8IKJ y. FHG8IKJ L Grfos MUS. FM G8IKJ y. FN G8IKJ Grfos MUS. FHG8IKJ O y. FHG8IKJ P U 0.Grfo MUS.;:9< de un sistem en un fse intermedi del diseño Grfos MUS QR. FTSRU Grfos MUS QR. F V Resultdo del Algoritmo de Síntesis III Grfo MUS. de un proceso Tx Rx Proceso sincronizdor inicil WX :9< Procesos sincronizdores WY, WH, W[Z, W[Z Grfos MUS de los procesos \], \, ^_+`9< y ^ Síntesis del Proceso Sincronizdor W Q,c- V U y Q,c V U
19 ÍNDIC D FIGURAS xvii ^ Ẅ ^ L W L.6 Grfo MUS del proceso resultnte Síntesis del proceso sincronizdor Grfo MUS del proceso resultnte Síntesis del proceso sincronizdor Procesos sincronizdores mínimos Procesos sincronizdores Síntesis del proceso sincronizdor W[edgfih W M jẅ lkmkrwh, W N jw M kmkrw L Mntenimiento de un Sistem Distriuido Mntenimiento de Procesos Sincronizdores Mntenimiento de Procesos Componentes Mntenimiento de Incrementos, Versiones y Decisiones Mntenimiento de Requisitos SCTL Mntenimiento de Grfos MUS structur de los MetRequisitos y MetGrfos Implementción SCTL-MUS I Implementción SCTL-MUS II Implementción SCTL-MUS III Implementción SCTL-MUS IV Implementción SCTL-MUS V structur de MetRequisitos I structur de MetRequisitos II Grfo MUS inicil del sistem. c n 4.4 CSMA: Grfos utilizdos por el Algoritmo de Síntesis CSMA: Grfo finl de un estción emisor Grfo del proceso entrelzmiento ^+`9< Grfo resultnte ^H Proceso sincronizdor W Grfo resultnte ^ Proceso sincronizdor WX
20 M xviii ÍNDIC D FIGURAS 4.Grfo resultnte ^4oqp!r s Proceso sincronizdor W oqptr s Grfos comptiles de los procesos sincronizdores prciles Reutilizción del proceso de síntesis CSMA/CD: Grfos utilizdos por el lgoritmo de síntesis CSMA/CD: Grfo finl de un estción emisor n Z Grfo del proceso entrelzmiento ^ Z +e9u Grfo resultnte ^ oqp!r sv,oqw Proceso sincronizdor W oqptr sgv,oqw Grfo resultnte ^ Z oqp!r sv,oqw Proceso sincronizdor W oqptr sgv,oqw Z F. FL N. O. P z A. Grfo MUS.;FHG8IKJ A. Grfos G8IKJ y G8IKJ A.3 Grfos MUS.;FHG8IKJ y.xfhg8ikj A.4 Grfos MUS FHG8IKJ y FHG8IKJ A.5 Grfos MUS. Fy G8IKJ y. F G8IKJ. F. F L M N. O. P. F y. F z... F. F L. M A.6 Grfos MUS.;FHG8IKJ e{ y.xfhg8ikj, A.7 Grfos MUS e G8IKJ y G8IKJ A.8 Grfos MUS.;FHG8IKJ y.xfhg8ikj A.9 Grfos MUS FHG8IKJ y FHG8IKJ A.0 Grfos MUS G8IKJ y G8IKJ A. Grfos MUS FHG8IKJ,{ y FHG8IKJ A. Grfos MUS, G8IKJ y G8IKJ A.3 Grfo MUS FHG8IKJ
21 Índice de Tls 4. Posiles tipos del estdo A de un grfo suespecificdo Representción mtricil del requisito tómico $ Representción mtricil del requisito tómico > "! Representción mtricil del requisito tómico >&%'! Grfo MUS inicil Leyes no comunes l álger de Boole Grdos de stisfcción de un requisito SCTL xix
22 xx ÍNDIC D TABLAS
23 V Índice de Algoritmos 6. Algoritmo de Trducción de Requisitos Atómicos ( ~}$ugt ƒ ) Algoritmo de Acciones de Aplicilidd ( Q û 8 ŠmŠmŠm,Œ g U ) Algoritmo de Aplicilidd (Ž Q û 8 ŠmŠmŠm g U A ) Algoritmo de Aplicilidd Potencil (Ž Q Œ û 8 ŠmŠmŠm g U AC ) Algoritmo de Trducción de Requisitos Atómicos II (> } `! ƒ!` A[ ) Algoritmo de Trducción SCTL-MUS ( Q Œ û 8 ŠmŠmŠm g U A ) Algoritmo de Verificción (> A ) Algoritmo de Síntesis SCTL-MUS 3 A] t Algoritmo de Síntesis SCTL-MUS II > AC QRA F U QRA F ŠmŠmŠm A F U Algoritmo de Síntesis III `QRA U QRA F U Algoritmo de Trducción SCTL-MUS II (Ž Q Œ û 8 ŠmŠmŠm g U AC ) Algoritmo de Sincronizción I K\,\ :9u- U Algoritmo de Sincronizción II K\,\ :9u- U Algoritmo de Sincronizción III K\,\ :9u- U Unir stdos šw A < AYR B. Algoritmo de Crdinlidd ( QR œ: 8 ŠmŠmŠm œ g U ) B. Algoritmo de Prtición ( Q D: 8 ŠmŠmŠm g U ž ŒŸ B.3 Algoritmo de xtrcción Recursivo (Ž Q : 8 ŠmŠmŠm g U ) B.4 Algoritmo de xtrcción Itertivo (Ž Q D: 8 ŠmŠmŠm D g U ) xxi
24 xxii ÍNDIC D ALGORITMOS
25 Índice de jemplos 4. jemplo de tipo de estdos de un grfo suespecificdo Representción mtricil de MUS jemplo de requisitos SCTL jemplo de trzs de un requisito SCTL Tipos de especificción soportdos por MUS jemplo del Algoritmo de Acciones de Aplicilidd jemplo del Algoritmo de Trducción I jemplo del Algoritmo de Trducción II jemplo de requisitos equivlentes jemplo de los grdos de stisfcción de un requisito SCTL jemplo del Algoritmo de Verificción jemplo de Trducción MUS -LOTOS jemplo del Algoritmo de Sincronizción II jemplo del Algoritmo de Sincronizción III B. jemplo del Algoritmo de Notción Invers B. Items de un requisito SCTL B.3 jemplo del Algoritmo de Crdinlidd B.4 jemplo del Algoritmo de Prtición B.5 jemplo del Algoritmo de xtrcción Recursivo B.6 jemplo del Algoritmo de xtrcción Itertivo xxiii
CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES
Digrms en Bloques Un sistem de control puede constr de ciert cntidd de componentes. Pr mostrr ls funciones que reliz cd componente se costumr usr representciones esquemátics denominds Digrm en Bloques.
Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).
64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls
Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica
Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel
AUTOMATAS FINITOS Traductores
Universidd de Morón Lengujes Formles y Autómts AUTOMATAS FINITOS Trductores AUTOMATAS FINITOS Un utómt finito es un modelo mtemático que posee entrds y slids. Un utomát finito recie los elementos tester
Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3
Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd
PROTOCOLO DE PRUEBA DE CARACTERÍSTICAS TÉCNICAS DE PORTALES DE INTERNET NT CNTI 0003-1: 2008
PROTOCOLO DE PRUEBA DE CARACTERÍSTICAS TÉCNICAS DE PORTALES DE INTERNET NT CNTI 0003-1: 2008 Introducción Este documento tiene como objetivo describir el instrumento trvés del cul se especificn, desde
1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre
Protocolo de Prueba de Portales de Internet. Cómo probar
Protocolo de Prueb de Portles de Internet. Cómo probr Elbordo por: Cecili Mrdomingo R. El presente documento pretende profundizr en cunto cómo deben probrse tods ls disposiciones presentds en l Norm Técnic
A modo de repaso. Preliminares
UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos
Tema 25. AP con dos pilas. Más allá del autómata de pila. No-LLC. Máquina de Turing, Problema del paro y Tesis de Church
Tem 25 Máquin de Turing, Prolem del pro y Tesis de Church No-LLC LLC no-miguos LLC-Det LR Pl mrk Pl i i c i Dr. Luis A. Pined ISBN: 970-32-2972-7 LLC Proceso de i i c i : AP con dos pils Push tods ls s
Señaléticas Diseño gráfico de señales
Señlétics Diseño gráfico de señles El cálculo de perímetros y áres de figurs plns es de grn utilidd en l vid práctic, pues l geometrí se encuentr presente en tods prtes. En un min subterráne, ls señles
I.3.1.3 Hidroformilación bifásica de 1-octeno con sistemas de Rh/fosfina perfluorada P(C 6 H 4 -p-och 2 C 7 F 15 ) 3
I.3 Discusión de resultdos I.3.1.3 Hidroformilción ifásic de 1-octeno con sistems de Rh/fosfin perfluord P(C 6 H 4 -p-och 2 C 7 F 15 ) 3 Como y se h comentdo en l introducción l ctálisis ifásic en sistems
7. Integrales Impropias
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge
El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características
CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que
Integrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus
Inferencia Gramatical
3 Inferenci Grmticl 3.1 Introducci n L utilizci n en l pr ctic de los mžtodos sint cticos de reconocimiento de forms viene condiciond, no s lo por l necesidd de tener resuelt l etp de representci n, que
1. Indicar el lenguaje aceptado por los siguientes autómatas :
Universidd Rey Jun Crlos Grdo en Ingenierí de Computdores Máquins Secuenciles, Autómts y Lengujes Hoj de Prolems: Autómts Finitos Determinists Nivel del ejercicio : ( ) ásico, ( ) medio, ( ) vnzdo.. Indicr
Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.
Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por
APUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición
7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,
183.100.000 ptas. Con préstamo a largo plazo con la Entidad Bancaria X, interés del 13% y 14 años de plazo de amortización.
FECHA EMISION 8 1 1992 ORGANO EMISOR INTERVENCIÓN GENERAL DE LA ADMINISTRACIÓN DEL ESTADO PUBLICACION BOLETÍN INFORMATIVO DE LA IGAE nº 5, ño 1992. TITULO CONSULTA Nº 8/1992, formuld por l Intervención
PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO
PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este
Curvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
manual de normas gráficas
mnul de norms gráfics Normtiv gráfic pr el uso del mrc de certificción de Bioequivlenci en remedios genéricos. mnul de norms gráfics BIenvenido l mnul de mrc del logo Bioequivlente L obtención de l condición
Los Números Racionales
Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =
PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (LP)
PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (LP) Plntemiento del prolem de progrmción Linel Un prolem de progrmción linel es cundo l función ojetivo es un función linel y ls restricciones son ecuciones lineles; l
METODOLOGÍA PARA CAMBIO DE FLOTAS EN TRANSPORTE DE MERCANCIAS POR CARRETERA
METODOLOGÍA PARA CAMBIO DE FLOTAS EN TRANSPORTE DE MERCANCIAS POR CARRETERA Est metodologí es plicble ls ctividdes de proyecto que conllevn un cmbio de flot de vehículos pesdos en el trnsporte de mercncís
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio
CUESTIONES RESUELTAS
CUETIONE EUELTA ) Cuál es l principl diferenci entre un circuito de control nlógico y otro digitl? ) Indicr y justificr l principl ventj de uno frente otro. (electividd ndluz). Un circuito nlógico funcion
Semánticas de procesos y aplicaciones
Semántics de procesos y plicciones Clse 06: Puntos Fijos Qué vimos hst hor? cciones: multicciones: α 3 operdores sobre multicciones: α \ β, α β y α operdor de elección: + operdor de secuenci:. operdor
Tema 5. Trigonometría y geometría del plano
1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene
EL EXPERIMENTO FACTORIAL
DISEÑO DE EXPERIMENTOS NOTAS DE CLASE: SEPTIEMBRE 2 DE 2008 EL EXPERIMENTO FACTORIAL Se utiliz cundo se quiere nlizr el efecto de dos o más fuentes de interés (fctores). Permite nlizr los efectos de ls
103.- Cuándo un contrato de arrendamiento puede considerarse de tipo financiero?
103.- Cuándo un contrto pue consirrse tipo finnciero? Autor: Gregorio Lbtut Serer. Universidd Vlenci. Según el PGC Pymes, y el nuevo PGC, un contrto se clificrá como finnciero, cundo ls condiciones económics
GUÍA DOCENTE DE LA ASIGNATURA
Vicerrectordo de Ordención Acdémic GUÍA DOCENTE DE LA ASIGNATURA G409 - Fundmentos de Computción Grdo en Ingenierí Eléctric Básic. Curso 1 Curso Acdémico 2015-2016 Págin 1 Vicerrectordo de Ordención Acdémic
MATRICES DE NÚMEROS REALES
MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m
Protección de forjados de hormigón con Igniplaster. Resistencia al fuego 60, 90, 120 y 180 minutos.
Protección de forjdos de hormigón con Igniplster. Resistenci l fuego 60, 90, 0 y 80 minutos. Ensyo: LICOF - 56/0 0.06 Dtos técnicos: Forjdo de hormigón. Armdur de cero. Igniplster plicdo por proyección
3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.
3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej.
Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores
Semn 2 2 Repso de vectores Repso de vectores Empecemos! Estimdo prticipnte, en est sesión tendrás l oportunidd de refrescr tus seres en cunto l tem de vectores, los cules tienen como principl plicción
Además de las operaciones tradicionales, es posible expresar otras operaciones binarias. Tabla 1.1. Operación AND.
Grupos y Cmpos Definición de operción inri Operciones como l sum, rest, multiplicción o división de números son considerds operciones inris, y que socin un pr de números con un resultdo. En generl, un
MANUAL DE USO PARA LA GESTIÓN ON LINE DE SU PÓLIZA COLECTIVA
IMPRIMIR PORTAL SANITAS EMPRESAS MANUAL DE USO PARA LA GESTIÓN ON LINE DE SU PÓLIZA COLECTIVA Snits pone su disposición el portl de Empress, un herrmient on line muy útil que le permitirá gestionr todos
Resumen de Álgebra. Matemáticas II. ÁLGEBRA
Resumen de Álger. Mtemátics II. ÁLGEBRA.- RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE GAUSS El método Guss consiste en convertir l mtriz socid un sistem de ecuciones en otr mtriz equivlente tringulr superior, hciendo
Aplicación del Cálculo Integral para la Solución de. Problemáticas Reales
Aplicción del Cálculo Integrl pr l Solución de Problemátics Reles Jun S. Fierro Rmírez Universidd Pontifici Bolivrin, Medellín, Antioqui, 050031 En este rtículo se muestr el proceso de solución numéric
TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS
Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja
Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores
CONTENIDO PROGRAMÁTICO
CONTENIDO PROGRAMÁTICO Fech Emisión: 2011/09/15 Revisión No. 1 AC-DO-F-8 Págin 1 de 6 MATEMÁTICAS CÓDIGO 1724101 PROGRAMA Tecnologí en Atención Prehospitlri ÁREA DE FORMACIÓN Fundmentos de Biomédics -
Tratamiento contable y presupuestario de las operaciones de inversión de excedentes temporales de Tesorería.
CONSULTA DE LA IGAE Nº 13/1995 FORMULADA POR VARIAS CORPORACIONES LOCALES, EN RELACIÓN CON EL TRATAMIENTO CONTABLE DE LA RENTABILIZACIÓN DE EXCEDENTES TEMPORALES DE TESORERÍA. CONSULTA En virtud de ls
Depósito Legal: M -19598-2007 Imprime Din Impresores. Información sobre los trabajos y actividades con riesgo de exposición al amianto
Depósito Legl: M -19598-2007 Imprime Din Impresores Informción sobre los trbjos y ctividdes con riesgo de exposición l minto Est versión digitl de l obr impres form prte de l Bibliotec Virtul de l Comunidd
Algunas orientaciones para utilizar Photostage Por Prof. Sandra Angeli
Tller Tecnologí Eductiv en espcios dilógicos con docentes de los Jrdines de l UNRC Coordinción de Educción Distnci y Tecnologís Eductivs Secretrí Acdémic Secretrí de Bienestr Alguns orientciones pr utilizr
HIDRATOS DE CARBONO. ND: no determinado
HIDRATOS DE CARBONO Ls RDA se sron en el rol que tienen los hidrtos de crono como fuente de energí primri del cerero; y ls AMDR se sron en el rol como fuente de energí pr mntener el peso corporl. Grupo
2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR
1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid
GUÍA DOCENTE DE MARKETING TURISTICO. Curso 2013-2014
GUÍA DOCENTE DE MARKETING TURISTICO Curso 2013-2014 1 TITULACIÓN: GRADO TURISMO GUÍA DE DOCENTE DE LA ASIGNATURA: MARKETING TURISTICO Coordindor: Césr Tpis. I.- Identificción de l signtur: Tipo Mteri Periodo
1. Cuales son los números naturales?
Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l
Autómatas Finitos. Programación II Margarita Álvarez 0,1 0,1. q 3
Autómts Finitos 0,1 0,1 q 0 0 q 1 0 q 2 1 q 3 1 Progrmción II Mrgrit Álvrez Autómts Dispositivo mecánico cpz símolos. de procesr cdens de Ddo un lenguje L definido sore un lfeto A y un cden x ritrri, determin
Álgebra de Boole y circuitos con puertas lógicas
Tem 3 Álger de Boole y circuitos con puerts lógics Los circuitos que componen un computdor son muy diversos: los hy destindos portr l energí necesri pr ls distints prtes que componen l máquin y los hy
Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales
Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles
TEMA 9 - INMOVILIZADO
TEMA 9 - INMOVILIZADO 1. Considerciones generles. 1.1. Descripción. 1.2. Clsificción. 1.3. Registro y reconocimiento. 1.4. Forms de dquisición. 1.5. Vlorción. 1.6. Bjs de inmovilizdo 2. Inmovilizdo mteril.
RESUMEN 01 NÚMEROS. Nombre : Curso. Profesor :
RESUMEN 01 NÚMEROS Nomre : Curso : Profesor : PÁGINA 1 Números Los elementos del conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, } se denominn Números Nturles. Los Números Crdinles corresponden l unión del conjunto de los
8 - Ecuación de Dirichlet.
Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos
La Mecánica Cuántica
L Mecánic Cuántic 1. L Químic Computcionl L Químic Computcionl estudi l plicción de cálculos numéricos l conocimiento de l estructur moleculr. Un vez conocid l estructur, es posible predecir crcterístics
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN
http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el
TRABAJO PRACTICO No 7. MEDICION de DISTORSION EN AMPLIFICADORES DE AUDIO
TRBJO PRCTICO No 7 MEDICION de DISTORSION EN MPLIFICDORES DE UDIO INTRODUCCION TEORIC: L distorsión es un efecto por el cul un señl pur (de un únic frecuenci) se modific preciendo componentes de frecuencis
Facultad de Informática Universidad Complutense de Madrid PROBLEMAS DE FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES TEMA 5. Problemas básicos:
Fcultd de Informátic Universidd Complutense de Mdrid Prolems ásicos: PROBLEMAS DE FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES TEMA 5 1. Especifique como máquin de Moore un sistem secuencil cuy slid z se comport, en función
McAfee Email Gateway Blade Server
Guí de inicio rápido Revisión B McAfee Emil Gtewy Blde Server versión 7.x Est Guí de inicio rápido sirve como documento orienttivo de grn precisión pr l instlción de McAfee Emil Gtewy Blde Server. Consulte
Universidad del Magdalena Vicerrectoría de Docencia Plan de Trabajo MATEMATICAS. José Francisco Barros Troncoso. Grupo Cupos Horario Salón
Universidd del Mgdlen Vicerrectorí de Docenci Pln de Trbjo 1 Identificción 1.1 Código y Nombre del Curso MATEMATICAS 1.2 Profesor Responsble del Curso 1.3 Dtos del Grupo José Frncisco Brros Troncoso Grupo
Clase Auxiliar 5. Aútomatas Finitos Determinísticos (Diagramas de Estado)
CC2A Computción II Auxilir 5 Iván Bustmnte Clse Auxilir 5 Aútomts Finitos Determinísticos (Digrms de Estdo) Un utómt finito determinístico es un modelo de un sistem que tiene un cntidd finit de estdos
Tema 3: El Modelo Relacional. Ejemplo de una relación. Tipos de atributo. Estructura básica. Instancia de una relación. Esquema de una relación
Tem 3: El Modelo Relcionl Ejemplo de un relción Estructur de ses de dtos relcionles Conversión de diseños E- relciones Integridd de dominio y referencil Álger relcionl Operciones del álger relcionl extendid
el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1
el de mte de id: Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores
El ordenador como instrumento matemático.
El ordendor como instrumento mtemático. Autores: Joquín Jiménez Rmos y Mrí José Hro Delicdo joquin.jimenez@edu.jccm.es mjhro@ono.com Lugr de trbjo: I.E.S. Al-Bsit (Albcete-Espñ) Resumen: Construir el propio
TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,
AUTOMATAS FINITOS CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 2009
AUTOMATAS FINITOS Un utómt finito es un modelo mtemático de un máquin que cept cdens de un lenguje definido sore un lfeto A. Consiste en un conjunto finito de estdos y un conjunto de trnsiciones entre
Tema 4. Integración compleja
Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur.
Capítulo 8: Propiedades de Lenguajes Regulares
Cpítulo 8: Propieddes de Lengujes Regulres 8.1. Identificción de lengujes no regulres 8.1.1. Lem de Boeo 8.1.2. Aplicciones del lem de omeo 8.2. Propieddes de Cierre 8.2.1. Unión, Conctención, Clusur 8.2.2.
EJERCICIOS DE LA UNIDAD DIDÁCTICA 3
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Deprtmento de Ingenierí Eléctric, Electrónic de Control ASIGNATURA: TÉCNICAS AVANZADAS DE CONTROL E3. INTRODUCCIÓN EJERCICIOS DE LA UNIDAD DIDÁCTICA 3 Los
Universidad de Antioquia
Fcultd de Ciencis Ects Nturles Instituto de Mtemátics Grupo de Semilleros de Mtemátics (Semátic) Funciones inverss gráfics Mtemátics Opertivs Tller 7 0 El concepto mtemático de función epres l ide intuitiv
Análisis de Portafolio para la Optimización del Presupuesto de Trade-Marketing
Análisis de Portfolio pr l Optimizción del Presupuesto de Trde-Mrketing Empres: Profesor: Advisor: Coch: Reckitt Benckiser Lic. Gstón Frncese Lic. Lendro Notrfrncesco Lic. Rmiro Crrles Equipo de Alumnos:
12º CONGRESO IBEROAMERICANO DE ENGENIERIA MECANICA Guayaquil, 10 a 13 de Noviembre de 2015
12º CONGRESO IBEROAMERICANO DE ENGENIERIA MECANICA Guyquil, 10 13 de Noviemre de 2015 Análisis, Simulción y Optimizción Estructurl de un Puente Grú Birriel Medinte Perforciones en l Vig Principl. RESUMEN
MÉTODO DE KARNAUGH MÉTODO DE KARNAUGH... 1
MÉTODO DE KARNAUGH Jesús Pizrro Peláez MÉTODO DE KARNAUGH... 1 1. INTRODUCCIÓN... 1 2. MÉTODO DE KARNAUGH... 2 3. EJEMPLO DE APLICACIÓN (I)... 4 4. ESTADOS NO IMPORTA EN LAS FUNCIONES LÓGICAS... 6 5. EJEMPLO
Falso techo independiente continuo Resistente al fuego 120 minutos EI 120
Flso techo independiente continuo Resistente l fuego 0 minutos EI 0 LICOF - /0 0.0 Pneles de Promtect 00 de mm de espesor. ( plcs) Vrill roscd M-, fijd l estructur o forjdo. Perfil 0 x 0 x 0, mm. Perfilerí
Presentación Axiomática de los Números Reales
Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Sugerencis pr quien imprte el curso: Se esper que con l propuest didáctic presentd en conjunción con los prendizjes logrdos
x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0
Ecuciones cudrátics con un incógnit Sen, 1 y los tres números nturles consecutivos uscdos. El prolem nos indic que ( 1 ) ( ) 365 Un número con misterio! El número 365 tiene l crcterístic de ser l sum de
Guía para maestro. Igualdades y desigualdades. Guía para el maestro. Compartir Saberes
Guí pr mestro Guí relizd por Bell Perlt C. Mgister en Educción Mtemátic bellperltmth@gmil.com bperlt@colegioscomprtir.org Comprender el significdo del signo igul, myor, menor, myor o igul que, o menor
Tema 4: Integrales Impropias
Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem
Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos.
1.3. L función Logrítmic Con el uso de los ritmos, los procesos de multiplicción, división, elevción potencis extrcción de ríces entre números reles pueden simplificrse notorimente. El proceso de multiplicción
Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 12, N o 1. Agosto Febrero 2012.
Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel
O(0, 0) verifican que. Por tanto,
Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O
POLINOMIO GRADO TERM. INDEP. ORDENAR COMPLETAR 2x-x x 3 8-x 4 x+4x 4 2x-1+x 5
SECRETARIA DE EDUCACIÓN DE BOGOTÁ D.C. COLEGIO CARLOS ALBÁN HOLGUÍN I.E.D. Resolución de Aproción (SED N 8879 de Dic. 7 de 001 Resolución de Jornd Complet (SED N 08 de Nov. 17 de 01 En sus niveles Preescolr,
Capítulo 5. Medición de la Distancia por Medio de Triangulación
Cpítulo 5. Medición de l Distnci por Medio de Tringulción 5.1 Introducción Hemos visto cómo medir l distnci de un objeto un cámr cundo dicho objeto es cptdo por un sol cámr; sin embrgo, cundo el objeto
ESCUELA UNIVERSITARIA FRANCISCO TOMAS Y VALIENTE DIPLOMATURA EN RELACIONES LABORALES 5.3 OPERACIONES DE DESARROLLO. EL BALANCE DE COMPROBACIÓN
TEMA 5: EL CICLO CONTABLE 5.1 EL CICLO CONTABLE. CONCEPTO Y CONTENIDO 5.2 INICIACIÓN DE LA CONTABILIDAD 5.3 OPERACIONES DE DESARROLLO. EL BALANCE DE COMPROBACIÓN 5.4 DETERMINACIÓN DEL RESULTADO. OPERACIONES
SÍLABO DEL CURSO DE GESTIÓN DE CALIDAD Y SEGURIDAD. 1.4 Requisito: 160 Créditos aprobados + Construcción II
SÍLABO DEL CURSO DE GESTIÓN DE CALIDAD Y SEGURIDAD I. INFORMACIÓN GENERAL: 1.1 Fcultd: INGENIERÍA 1.2 Crrer Profesionl: INGENIERÍA CIVIL 1.3 Deprtmento: ------- 1.4 Requisito: 160 Créditos probdos + Construcción
56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado
56 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN.4 Resolución de Ecuciones de Segundo Grdo Introducción Hemos estudido cómo resolver ecuciones lineles, que son quells que podemos escribir de l form x + b = 0. Si
UNIDADES DE GUIADO TIPOLOGIA. La gama de unidades de guía es muy amplia. Las guías se pueden agrupar en diversas familias.
UNIDADES DE GUIADO TIPOLOGIA L gm de uniddes de guí es muy mpli. Ls guís se pueden grupr en diverss fmilis. Uniddes de guí pr l conexión con cilindros estándres. Ests son uniddes pr su conexión con un
Normativa de señalización exterior e interior
Normtiv de señlizción exterior e interior 6 Normtiv de señlizción exterior e interior L señlizción es un sistem de informción cuyo ojetivo principl es loclizr un lugr determindo, y se en l ví púlic, el
Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )
Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres
3 HERRAMIENTAS DE MATEMÁTICAS
HERRAMIENAS DE MAEMÁICAS Entre ls operciones mtemátics más comunes se encuentrn: Sum, Rest, Multiplicción, División, Elevción Potencis Etrcción de Ríces, que se indicn con los signos siguientes: -El signo
Taller de Matemáticas I
Tller de Mtemátics I Semn y Tller de Mtemátics I Universidd CNCI de México Tller de Mtemátics I Semn y Temrio. Los números positivos.. Representción de números positivos... Frcciones... Decimles... Porcentjes..4.
EL GRAFICO ABC COMO TECNICA DE GESTION DE INVENTARIOS
EL GRAFICO ABC COMO TECNICA DE GESTION DE INVENTARIOS Un specto importnte pr el nálisis y l dministrción de n inventrio es determinr qé rtíclos representn l myor prte del vlor del mismo - midiéndose s