Operadores autoadjuntos.

Transcripción

1 Operdores utodjuntos. 1. Propieddes del Producto esclr Sen u,v,w vectores de un espcio de Hilbert y c un número complejo. Recordemos que el producto esclr tiene ls siguientes propieddes que utilizremos más delnte 1. (u,v) = (v,u) 2. (u,cv) = c(u,v) 3. (cu,v) = c (u,v) 4. (u,v+w) = (u,v)+(u,w) 5. (u,u) = u 2 > 0 6. Si u y v son ortogonles (u,v) = 0 7. Se un bse ortogonl del espcio {u k }. Los elementos de mtriz del operdor A son A ij = (u i,au j ) 2. Adjunto de un operdor Se A un operdor linel y u,v vectores de un espcio de Hilbert. Se define el ADJUNTO A del operdor A l que stisfce l iguldd: (u,av) = (A v,w). Con est definición es fcil demostrr lguns propieddes. 1. Adjunto del producto: (AB) = B A (u,abv) = (A u,bv) = (B A u,v) 2. Adjunto del djunto: (A ) = A (u,av) = (A u,v) = (v,a u) = (A ) v,u) = (u,(a ) v) 3. Adjunto de l invers: (A ) 1 = (A 1 ) ) Prtmos de que I = I I = I = (AA 1 ) = (A 1 ) A por consiguiente debe cumplirse que I = (A 1 ) A o lo que es lo mismo (A 1 ) = (A ) 1 (1) 4. Combinciones lineles (c 1 A+c 2 B) = c 1 A +c 2 B 5. Los elementos de mtriz del djunto son (A ij ) = (u i,a u j ) = ((A ) u i,u j ) = (Au i,u j ) = (u j,au j ) = A ji 1

2 3. Definición y Ejemplos en espcios de dimension finit Se define como operdor AUTOADJUNTO l que es su propio djunto A = A o lo que es lo mismo, l que stisfce l ecución (u,av) = (Au,v) pr todo u,v. Un operdor ntiutodjunto stisfce l iguldd A = A Los elementos de mtriz de un operdor utodjunto tienen que stisfcer A ij = (A ji ) Ejemplos de utodjuntos en espcios de dimensión finit 1. Mtrices reles y simétrics. A ij = A ji 2. Mtrices Hermítics. A ij = A ji 3. Mtrices de Puli σ 1 = σ x = σ 2 = σ y = σ 3 = σ z = ( ) ( ) 0 i i 0 ( ) (2) (3) (4) 4. Espectro de Autodjuntos Autovlores reles. Supongmos que conocemos el espectro de un operdor utodjunto Por un ldo, utilizndo l ecución de utovlores: Av α = λ α v α (5) (v α,av α ) = (v α,λ α v α ) = λ α (v α,v α ) (6) Por otro ldo utilizndo l propiedd de ser utodjunto. Entonces igulndo mbs expresiones (v α,av α ) = (Av α,v α ) = λ α (v α,v α ) (7) (λ α v α,v α ) = λ α (v α,v α ) (8) y por consiguiente λ α = λ α. Es decir, los utovlores de un operdor utodjunto deben ser reles. 2

3 4.2. Autovectores formn bse ortogonl. (v β,av α ) = (v β,λ α v α ) = λ α (v β,v α ) (9) (v β,av α ) = (Av β,v α ) = λ β (v β,v α ) (10) donde hemos utilizdo que los utovlores de A son reles. Igulndo mbs expresiones o lo que es lo mismo : λ α (v β,v α ) = λ β (v β,v α ) (11) (λ α λ β )(v β,v α ) = 0 (12) es decir si(λ α λ β ) 0 entonces (v β,v α ) = 0 de lo que se deduce que utovlores distintos les corresponden utovectores ortogonles. Es inmedito construir un bse ortogonl del espcio con los utovectores de un operdor utodjunto no degenerdo. 5. Descomposición de Operdores en Autodjuntos y Antiutodjuntos. Ddo un operdor linel, es posible escribir l siguiente expresión C = 1 2 (C +C +C C ) (13) Podemos comprobr que A = 1 2 (C + C ) es utodjunto y que 1 2 (C C ) es ntiutodjunto. Podemos descomponer entonces un operdor linel C como donde A y B son utodjuntos y se definen como C = A+iB (14) A = 1 2 (C +C ) (15) B = i 2 (C C ) (16) 6. Ejemplos de operdores utodjuntos en espcios de funciones. Consideremos hor lgunos ejemplos de operdores utodjuntos en los espcios de funciones. Pr ello considerremos el producto esclr (u,v) = u(x) w(x)dx (17) 3

4 6.1. Operdor producto por un función. Consideremos el operdor V que ctu sobre un función f(x) multiplicndolo por otr función rel: G(x). definido como G : f(x) G(x)f(x) donde G(x) es un función rel. Se puede comprobr utilizndo el producto esclr en espcio de funciones que este operdor es utodjunto: (u,gw) = u(x) G(x)w(x)dx = (u(x)g(x) ) w(x)dx = (u(x)g(x)) w(x)dx = (Gu,w) (18) En el último pso hemos utilizdo el hecho de que G(x) es un función rel. Si G(x)=x el operdor definido de est form es el operdor de posición en Mecánic Cuántic. De l mism form, si G(x)=V(x) es l energí potencil clásic de un prticul, este operdor jueg el ppel de l energí potencil en Mecnic Cuántic Operdor momento en Mecánic Cuántic. Consideremos el espcio de funciones normlizbles en el intervlo [, b] l que podemos denominr L 2 [,b]. Supongmos dems que ls funciones f(x) de ese espcio stisfcen f() = f(b) = 0. En este espcio estudiremos el operdork = i. Slvo x el fctor, es el operdor momento en Mecánic Cuántic. (u,kw) = u(x) ( i w )dx (19) x hor integrmos por prtes con el propósito de hcer ctur l derivd sobre l función u. ( = i[u (x)w(x)] b i u ) w(x)dx (20) x Podemos cncelr el término de contorno, pues l funciones de ( = i u ) w(x)dx = (Ku,w) (21) x Luego en efecto, el operdor K es utodjunto. Notese que el operdor derivd primer D (1) no serí utodjunto. Se puede comprobr de form similr que su x djunto es D (1) =. Es decir x D(1) es un operdor ntiutodjunto El Operdor derivd segund. (u,d (2) w) = u(x) 2 w b x 2dx = [u (x)w (x)] b u w dx = (22) x x = [u (x)w(x)] b [u (x)w (x)] b + 2 u x2wdx (23) 4

5 Los términos de contorno se nuln si ls funciones f(x) que pertenecen este espcio de funciones stisfcen lgun de ls siguientes condiciones de contorno homogenes: 6.4. Operdor Integrl Autodjunto. f() = f(b) = 0 (24) f() = f(b) = 0 (25) f()+cf () = f(b)+cf (b) = 0 (26) (27) (u,kw) = = dxu (x) [ dx k(x,x )w(x )dx = dxk(x,x )u (x)w(x )dx =(28) ] (k(x,x ) u(x )) dx w(x ) = (K u,w) (29) luego pr que K = K el nucleo del operdor debe cumplir que k (x,x ) = k(x,x). 7. Proyector Ortogonl. Se un vector unitrio de un espcio de Hilbert (u,u) = 1. Definimos el PRO- YECTOR ORTOGONAL sobre el vector u P u = u u prtir de su cción sobre otro vector v P u v = u u v = (u,v)u Es decir P u clcul l proyección ortogonl sobre el vector u. 1. P u es un operdor utodjunto (w,p u v) = (w,(u,v)u) = (u,v)(w,u) = ((w,u) u,v) = ((u,w)u,v) = (P u w,v) (30) 2. Un proyector ortogonl stisfce l propiedd P 2 u = P u 3. u es utovector de P u con utovlor λ = 1 P 2 u = P up u = u u u u = u u = P u (31) P u u = u u u = (u,u)u = u (32) 4. Culquier vector v ortogonl u (u,v) = 0, es utovector de P u con utovlor cero. P u v = u u v = (u,v)u = 0 (33) Ejercicio: Se u un vector normlizdo y {u k } un bse ortogonl. Clcul los elementos de mtriz de P u en l bse {u k }. (P u ) ij = (u i,p u u j ) = (u i u u u j ) = u i u u u j (34) 5

6 8. Descomposición espectrl de los operdores utodjuntos. Se un operdor utodjunto del que conocemos su espectro Au i = λ α u i (35) Podemos expresrlo como un sum de proyectores ortogonles sobre sus utovectores ponderd por los utovlores. A = i λ i u i u i (36) Podemos comprobrlo reproduciendo su espectro Au j = i λ i u i u i u j = i λ i u i δ ij = λ j u j (37) de l mism mner l descomposición espectrl de l identidd es: I = i u i u i (38) Podemos comprobr est descomposición utilizndo que un vector v en es bse se expres como v = i u i(u i,v) Iv = v = i u i u i v = i u i (u i,v) (39) Operdores utodjuntos expresdos en un bse no ortogonl. Ejercicio: Emple l descomposición espectrl de l identidd pr expresr l ecución de utovlores en form mtricil: Insertmos l descomposición espectrl de l identidd: H v = λ v (40) H u j u j v = λ v (41) j }{{} I multiplicmos esclrmente por un vector de l bse u j : u i H j u j u j v = λ u j v (42) Utilizmos l linelidd del operdor H: u i H u j u j v = λ u i v (43) j 6

7 O lo que es lo mismo, l relción entre elementos de mtriz: H ij v j = λv i (44) j Luego los utovlores stisfcen l ecución seculr: det(h λi) = 0 (45) 9. Apéndice: Bses no ortogonles y Mtriz de Overlp. 1. En lguns ocsiones es necesrio expresr un operdor utodjunto en un bse no ortogonl. Esto puede generr lguns confusiones sobre sus elementos de mtriz y espectro. 2. Supongmos que tenemos un bse no necesrimente ortogonl {w k } que stisfce (w l,w k ) = S lk δ lk. Donde S lk son los elementos de mtriz de l llmd MATRIZ DE OVERLAP Expresemos v en l bse no ortogonl: v = k α k w k (46) sustituyendo en l ecución de utovlores: H k α k w k = λ k α k w k (47) multiplicmos esclrmente por w l y obtenemos: w l H k α k w k = λ k α k w l w k (48) utilizmos l linelidd de H: w l H w k α k = λ k k w l w k α k (49) En form mtricil: o tmbién: H lk α k = λ k k S lk α k (50) 7

8 (H lk λs lk )α k = 0 (51) k 3. L ecución seculr que stisfcen los utovlores es hor: det(h λs) = 0 (52) 4. Supongmos hor que tenemos un operdor escrito de l form H = lk H lk w l w k (53) Clculemos los elementos de mtriz H ij = w i H w j = lk w i H lk w l w k w j = lk w i w l H lk w k w j = lk S il Hlk S kj 5. Si S = I entonces H ij = H ij (54) 8