17. Formas lineales, bilineales y cuadráticas

Transcripción

1 17. Forms lineles, bilineles y cudrátics 17.1 Forms lineles Estudiremos hor funciones esclres lineles de rgumento vectoril. Se V un espcio vectoril sobre un cuerpo K. Un form linel es un función F : V K que stisfce ls condiciones F(αv) = αf(v) v V, α K (1) F(v 1 +v ) = F(v 1 )+F(v ) v 1,v V () Un form linel puede ser considerd como un cso prticulr de trnsformción linel si se consider el cuerpo K como un espcio vectoril de dimensión 1 sobre el mismo K. Nótese que se stisfce F(0) = 0. Ejemplos (se dejn ls comprobciones pr el lector): 1) Si K = R y V = R, F(x,y) = x+y es clrmente un form linel, mientrs que G(x,y) = x+y y H(x,y) = 1+x no son forms lineles. ) Si V = R n n, l trz de un mtriz A V, Tr[A] = n A ii, es un form linel. 3) Si K = R y V = C [,b] (espcio de funciones continus f : [,b] R), T(f) = es un form linel, y tmbién lo es (pr ρ C [,b] ) T ρ (f) = b b f(x)dx f(x)ρ(x)dx. 4) En el mismo espcio nterior, y pr < 0 < b, T(f) = f(0) es tmbién un form linel. Nótese sin embrgo que en este cso no existe ρ(x) continu tl que T(f) = b f(x)ρ(x)dx. 5) Si V = R n y w es un vector fijo de R n, F w (v) = w v (producto esclr usul) es un form linel. Por ej. el primer cso de 1), F(x,y) = x+y, puede ser escrito como F(x,y) = (1,1) (x,y). Tod form linel en R n puede ser escrit de est mner en términos de un único vector w V, como se verá continución. Si dimv = n y F no es l form linel nul dimi(f) = 1, por lo que dimn(f) = n 1. Ejemplo: Hllr el núcleo de l form linel del ejemplo. En un espcio vectoril V de dimensión finit n, l form linel qued completmente determind por los vlores que sign los elementos de un bse: Si B = (b 1,,b n ) es un bse de V y v = n α ib i F(v) = F( α i b i ) = α i F(b i ) = [F] B [v] B donde es l mtriz fil que represent F en l bse B y [F] B = (F(b 1 ),,F(b n )) [v] B = lmtrizcolumndecoordendsdev endichbse. Elproducto[F] B [v] B puedeentoncesvisulizrsecomo el producto esclr usul de los vectores [F] B y ([v] B ) t de K n. En V = R n tod form linel puede pues ser escrit en l form F(v) = w v, con w = [F] e = (β 1,,β n ), siendo e l bse cnónic y β i = F(e i ) = w e i. Frente un cmbio de bse, b i = S ji b j, i = 1,,n con S un mtriz no singulr ( S 0) se obtiene F(b i ) = n S jif(b j ) y por lo tnto α 1 α n [F] B = [F] B S con lo cul, ddo que [v] B = S[v] B, F(v) = [F] B [v] B = [F] B S[v] B = [F] B [v] B. 1

2 Si F : V K y G : V K son dos forms lineles sobre V, l combinción linel αf +βg, definid por (αf +βg)(v) = αf(v)+βg(v), es tmbién un form linel α,β K, como es muy fácil comprobr. El conjunto de tods ls forms lineles F : V K es pues un espcio vectoril denomindo espcio dul V. Si V es de dimensión finit dimv = dimv y que existe un isomorfismo entre V y K n (definido por G B (F) = [F] B K n, con n = dimv) y por lo tnto entre V y V. Si B = (b 1,,b n ) es un bse ordend de V, l bse socid de V es l bse dul B = {F 1,,F n }, donde F i : V K está definido por F( i α ib i ) = α i, es decir, F i (b j ) = δ ij. F i es pues representdo por el vector fil [F i ] B = (0,,1 i,,0) = e i. 17. Forms bilineles Un función esclr de dos vribles vectoriles, A : V V K, es un form bilinel si stisfce A(αv,w) = αa(v,w), A(v 1 +v,w) = A(v 1,w)+A(v,w) v,v 1,v,w V, α K A(v,αw) = αa(v,w), A(v,w 1 +w ) = A(v,w 1 )+A(v,w ) w,w 1,w,v V, α K A es entonces un form bilinel si es linel con respecto sus dos rgumentos vectoriles. Ejemplos (se dejn ls comprobciones como ejercicio): 1) Si V = R y K = R, con v = (x,y), w = (z,t), ls siguientes funciones son forms bilineles: A(v,w) = v w = xz +yt (producto esclr) B(v,w) = xt yz (determinnte de ( x y z t )) ) Si V = C [,b] y K = R, ls siguientes funciones son forms bilineles: A(f,g) = b f(x)g(x)dx, B(f,g) = b f(x)g(x)ρ(x)dx, C(f, g) = b b f(x)k(x,x )g(x )dxdx donde ρ(x) y K(x,x ) son continus. 3) En el mismo espcio nterior, pr < 0 < b, tmbién son forms bilineles T(f, g) = f(0)g(0) y H(f,g) = f(0)g(c), con c [,b] fijo. Ests forms no pueden ser escrits en l form integrl del ejemplo nterior pr ρ y K continus. 4) En V = R n 1, A(v,w) = v t Aw donde v t = (α 1,,α n ), w = β 1 β n y A es un mtriz rel de n n, es un form bilinel. Tod form bilinel en R n 1 (y por lo tnto R n ) puede escribirse de est mner, como se verá continución. Por ejemplo, lsformsdelejemplo1)puedenserescritscomoa(v,w) = (x,y)( )(z t), B(v,w) = (x,y)( )(z t). Representción mtricil. En un espcio vectoril V de dimensión finit n, l form bilinel qued completmente determind por los vlores que sign pres ordendos de elementos de un bse B = (b 1,,b n ) de V. Si v = n α ib i, w = n β jb j A(v,w) = A( α i b i, β j b j ) = α i A(b i, β j ebj) = α i β j A(b i,b j ) L iguldd nterior puede escribirse en form compct mtricil como A(v,w) = [v] t B[A] B [w] B

3 donde [v] t B = (α 1,,α n ), [w] B = β 1 β n y [A] B = A(b 1,b 1 ) A(b 1,b n ) A(b n,b 1 ) A(b n,b n ) es l mtriz de n n que represent l form bilinel A en dich bse [([A] B ) ij = A(b i,b j )]. Por ej., si V = R, K = R y e es l bse cnónic, obtenemos, pr los csos del ejemplo 1) y v = (x,y) = xe 1 +ye, w = (z,t) = ze 1 +te, ( ) A(v,w) = xz +yt = (x,y)[a] e ( z 1 0 t), [A] e = 0 1 Por otro ldo, l mtriz [C] e = ( Un form bilinel es simétric si y ntisimétric B(v,w) = xt yz = (x,y)[b] e ( z t), [B] e = C(v,w) = ( x y )( ( ) determin l form bilinel )( ) z = xz +xt+3yz +4yt t A(v,w) = A(w,v) v,w V A(v,w) = A(w,v) v,w V Tod form bilinel puede escribirse como sum de un form bilinel simétric y otr ntisimétric: A(v,w) = A(v,w)+A(w,v) + A(v,w) A(w,v) ) = A s (v,w)+a (v,w) El conjunto de forms bilineles de V V sobre K form un espcio vectoril W (con ls operciones usules de sum y multiplicción por esclr) y l nterior descomposición corresponde l sum direct W = W s W, con W s, W los subespcios de forms bilineles simétrics y ntisimétrics sobre K. En espcios V de dimensión finit, ls correspondientes mtrices en culquier bse dd son simétrics y ntisimétrics respectivmente: A(v,w) = A(w,v) [A] t B = [A] B, pues A(b i,b j ) = A(b j,b i ) A(v,w) = A(w,v) [A] t B = [A] B, pues A(b i,b j ) = A(b j,b i ) En los ejemplos nteriores, el primero (producto esclr) es un form bilinel simétric mientrs que el segundo (determinnte) es un form ntisimétric. Dd un form bilinel A rbitrri, notemos que A(v, 0) = A(0, w) = 0 v, w V, como el lector podrá fácilmente demostrr. Si demás existe w 0 tl que A(v,w) = 0 v V, l form bilinel se dice que es singulr. En cso contrrio se dice no singulr. En un espcio V de dimensión finit, A es singulr si y sólo si l mtriz que l represent en un bse culquier, [A] B, es singulr. Dem.: Si [A] B es singulr, existe un vector column [w] B no nulo tl que [A] B [w] B = 0 y por lo tnto, A(v,w) = [v] t B [A] B[w] B = [v] t B 0 = 0 v V. Por otro ldo, si existe w 0 tl que A(v,w) = 0 v V, y B es un bse culquier de V [v] t B [A] B[w] B = 0 vector [v] t B Kn 1, lo que implic [A] B [w] B = 0. Como [w] B 0, l mtriz [A] B es entonces singulr. En espcios de dimensión finit, si w / A(v,w) = 0 v V u V / A(u,v) = 0 v V, pues si [A] B es singulr [A] t B es tmbién singulr ( [A]t B = [A] B = 0). Notemos tmbién que si A es no singulr y A(v,w 1 ) = A(v,w ) v V w 1 = w, y que en tl cso A(v,w 1 w ) = 0 v V y por lo tnto w 1 w = 0. 3

4 17.3 Cmbio de bse en forms bilineles Consideremos un form bilinel A. Frente un cmbio de bse se tiene A(b i,b k ) = A( S ji b j, b i = S ji b j, i = 1,,n S lk b l ) = l=1 Se obtiene entonces l ley de trnsformción l=1 [A] B = S t [A] B S donde ([A] B ) ij = A(b i,b j ) pr i,j = 1,,n. De est form, S ji A(b j,b l )S lk = (S t [A] B S) ik A(v,w) = [v] t B[A] B [w] B = (S[v] B ) t [A] B (S[w] B ) = [v] t B St [A] B S[w] B = [v] t B [A] B [w] B Nótese l diferenci con l ley de trnsformción de mtrices que representn operdores lineles F : V V en un bse, pr ls que [F] B = S 1 [F] B S. Notemos tmbién que ( denot el determinnte) [A] B = S t [A] B S = S t [A] B S = S [A] B por lo que el signo del determinnte no depende de l bse (pues S 0). Si A es singulr, [A] B = 0 y entonces [A] B = 0 en culquier bse. Otr consecuenci es que como S es no singulr ( S 0), el rngo de [A] B (dimensión del espcio fil o column de [A] B ) es tmbién independiente de l bse. Podemos tmbién corroborr que el crácter simétrico o ntisimétrico es independiente de l bse elegid: por lo que [A] t B = ±[A] B si [A] t B = ±[A] B. [A] t B = (St [A] B S) t = S t [A] t BS Ejemplo: Pr el cso del producto esclr usul en R n, [A] e = I n en l bse cnónic e y por lo tnto [A] e = S t [A] e S = S t S en un bse rbitrri e, tl como se delntó en el punte 4 sobre cmbio de bse. Ejemplo: Pr el cso del determinnte en R, [A] e = ( ) en l bse cnónic y por lo tnto, en un bse e determind por un mtriz S = [I] e e = ( b ) no singulr ( S 0), c d [A] e = S t [A] e S = ( c b d )( )( b c d ) = (d bc)( ) = S [A] e [A] e es pues proporcionl [A] e. Este resultdo es obvio pues [A] e debe ser ntisimétric y tod mtriz ntisimétric de debe ser proporcionl [A] e = ( ). Ejemplo: Si [A] B = ( ) y b 1 = (b 1 +b ), b = b b 1, S = ( ) y por lo tnto ( ) [A] B = S t 0 [A] B S = 0 Así, si v = xb 1 +yb = x b 1 +y b, w = zb 1 +tb = z b 1 +t b, o se, A(v,w) = (x,y)[a] B ( z t) = (x,y )[A] B ( z t ) A(v,w) = xt+yz = (x z y t ) lo que está de cuerdo con ( x y) = S( x y ) = ( x y x +y ), ( z t) = S( z t ) = ( z t z +t ) 4

5 18 Forms cudrátics Si A es un form bilinel de V V en K, l función à : V K dd por Ã(v) = A(v,v) se denomin form cudrátic. Notemos que stisfce Ã(αv) = α Ã(v) α K, v V: A(αv,αv) = αa(v,αv) = α A(v,v). Es importnte notr que l form cudrátic qued completmente determind por l prte simétric de l form bilinel, y que A (v,v) = [A(v,v) A(v,v)]/ = 0 y por lo tnto A(v,v) = A s (v,v) Asimismo, l prte simétric de un form bilinel qued completmente determind por l form cudrátic respectiv, y que A s (v +w,v +w) = A s (v,v)+a s (w,w)+a s (v,w) y por lo tnto A s (v,w) = [A s (v +w,v +w) A s (v,v) A s (w,w)]/ En un espcio vectoril V de dimensión finit n, podemos entonces escribir, pr A simétric, A(v,v) = [v] t B[A] B [v] B = α i A(b i,b j )α j = i, A(b i,b i )α i + i<j A(b i,b j )α i α j (3) Ejemplo: Si V = R y K = R, l longitud l cudrdo de un vector v = (x,y), es un form cudrátic y puede escribirse como con [A] e = I, A(v,w) = v w y e l bse cnónic. Tmbién es un form cudrátic v = x +y v = (x,y)( x y) = (x,y)[a] e ( x y) = A(v,v) B(v) = 3x +5y +xy = (x,y)[b] e ( x y), [B] e = ( Tod form cudrátic en V = R n o V = R n 1 puede escribirse como α 1 Ã(v) = v t Av = (α 1,,α n )A = ii αi + ij α i α j α n i<j con ij = A ij = ji los elementos de l mtriz rel simétric A de n n (A t = A). Ejemplo: Si V = C [,b] y K = R, f b es un form cudrátic. Tmbién lo es C(f) = b 18.1 Form cnónic de un form cudrátic [f(x)] dx = A(f,f) b K(x,x )f(x)f(x )dxdx. Teorem: Se V un espcio vectoril de dimensión finit n sobre un cuerpo K y se A : V V K un form bilinel simétric. Entonces existe un bse B en l que { A(b i,b 0 i j j) = i i = j ) 5

6 es decir, A(b i,b j ) = i δ ij. Esto implic, prtiendo de un bse rbitrri B, que existe un mtriz de cmbio de bse S tl que [A] B = S t [A] B S = n o se, ([A] B ) ij = i δ ij. En dich bse l form bilinel tom entonces l form digonl o cnónic A(v,w) = iα iβ i donde v = n α i b i, w = n β i b i, y l correspondiente form cudrátic tom l form cnónic Ã(v) = A(v,v) = iα i Antes de proceder l demostrción, cbe destcr que ni los coeficientes i, ni los vectores b i, son únicos. Por ejemplo, en l bse B definid por b i = γ ib i, i = 1,,n, tenemos A[b i,b j ] = γ i i δ ij, y por lo tnto A tom tmbién l form cnónic, con i i = γ i i. Notemos tmbién que si l form bilinel no es simétric, no es posible encontrr un bse en l que [A] B se digonl: Si existiese, [A] B serí simétric y por lo tnto [A] B = S t [A] B S serí tmbién simétric en culquier bse B (y l form bilinel serí entonces simétric). Demostrción: En el cso de que K = R, l demostrción es inmedit si recordmos que tod mtriz rel simétric A es siempre digonlizble, que todos sus utovlores son reles y que sus utovectores pueden siempre elegirse ortogonles y de longitud 1 (vése punte de utovlores). Por lo tnto, existirá un mtriz de cmbio de bse S formd por utovectores normlizdos de [A] B, con S 0 y S 1 = S t, tl que S 1 [A] B S = S t [A] B S es digonl. Si B es dich bse de utovectores, tendremos entonces con i = λ i los utovlores de [A] B. [A] B = S t [A] B S = λ λ λ n No obstnte, cbe destcr que digonlizr [A] B no es el único procedimiento pr llevr un form cudrátic un form digonl. Esto puede tmbién logrrse utilizndo l conocid y simple técnic de completr cudrdos, en l cul se bs l demostrción del teorem pr un cuerpo rbitrrio K, que dmos continución. En tles csos, los coeficientes digonles i no son necesrimente igules los utovlores de A. Notemos primero que si encontrmos un trnsformción linel de coordends α 1 α 1 = S α n α n (o se, [v] B = S[v] B ) con S un mtriz de n n no singulr ( S 0), tl que A(v,v) = i, i,j,k,l A(b i,b j )α i α j = S ik A(b i,b j )S jl α k α l = iα i hemos entonces encontrdo un bse cnónic pr l form bilinel, dd por b i = S ji b j i = 1,,n 6

7 y que en tl cso [v] B = S[v] B y ([A] B ) ij = (S t [A] B S) ij = i δ ij. El problem se reduce pues l de encontrr vribles α i relcionds linelmente con ls α i por un trnsformción no singulr, en ls que l form cudrátic se digonl. Procederemos hor por inducción sobre l dimensión n de V. Pr n = 1, tod form cudrátic tiene trivilmente l form cnónic en culquier bse: Si v V v = αb 1 y Ã(v) = 1 α, con 1 = A(b 1,b 1 ). Pr n > 1, supongmos que hemos demostrdo que tod form cudrátic en un espcio de dimensión n 1 puede escribirse en l form cnónic. Entonces, A(v,v) = nn α n +( n1 α n α 1 ++ n,n 1 α n α n 1 )+g(α 1,,α n 1 ) donde v = n α ib i, ij = A(b i,b j ) y g represent un form cudrátic de dimensión n 1. Si nn 0 podemos escribir n 1 n 1 A(v,v) = nn (αn +α n α j nj / nn )+g(α 1,,α n 1 ) = nn (α n + α j nj / nn ) +h(α 1,,α n 1 ) donde h = g nn ( n 1 α j nj / nn ). Por lo tnto n 1 A(v,v) = nn α n +h(α1,,α n 1 ), α n = α n + α j nj / nn Y como h represent un form cudrátic de dimensión n 1, podemos escribirl en form cnónic como h = n 1 i α i, donde α i son combinciones lineles de los α j, j = 1,,n 1. Finlmente obtenemos l form cnónic n 1 A(v,v) = nα n + iα i donde n = nn y l mtriz de trnsformción T = S 1 es de l form ( ) Tn 1 0 T = t 1 con T n 1 un mtriz no singulr de (n 1) (n 1) y t el vector de n 1 componentes determindo por α n (t i = ni / nn ). T es por consiguiente no-singulr y define un bse B determind por S = T 1 en l que A tiene l form cnónic. Si nn = 0 pero ii 0 pr lgún i < n, podemos proceder en form similr relizndo l correspondiente permutción i n. Finlmente, si todos los ii son nulos pero existe lgún elemento in 0 con i n (pues de lo contrrio tendrímos un form de dimensión n 1), podemos efectur primero el cmbio de vribles α n = α n + α i, α i = α n α i, con lo cul ij α i α j = ij ( α n α i ) y podemos entonces proceder como en los csos nteriores. Ejemplo: pr V = R, K = R y v = (x,y) = xe 1 +ye, consideremos que coresponde A(v,v) = (x,y)[a] e ( x y) = x +y +4xy [A] e = ( 1 1 Si optmos por el método (muy simple) de completr cudrdos, tenemos por lo que podemos escribir ) x +y +4xy = x +(y +x) 4x = 3x +(y +x) A(v,v) = 3x +y, con y = (x+y), x = x Esto corresponde l trnsformción ( x y ) = T(x y), T = ( 1 0 1) 7

8 Por lo tnto S = T 1 = ( 1 0 1) y l bse en l que A tom l form cnónic qued entonces determind por ls columns de S: Se verific entonces e 1 = e 1 e e = e [A] e = S t [A] e S = ( )(1 1)( 1 0 1) = ( ) es decir, A(e 1,e 1 ) = 3, A(e,e ) = 1, A(e 1,e ) = 0, como es posible corroborr directmente. Podemos tmbién optr por el método bsdo en l digonlizción de A. Tenemos [A] e λi = (1 λ) 4 = 0, de donde λ = 1±, o se, λ 1 = 3, λ = 1. Ls componentes de los utovectores correspondientes normlizdos son [e 1 ] e = 1 ( 1 1 ), [e ] e = 1 ( 1 1 ), o se, e 1 = (e 1 +e )/, e = ( e 1 +e )/, y l correspondiente mtriz de cmbio de bse es Se verific entonces S = 1 ( ), S 1 = S t = 1 ( ) [A] e = S t [A] e S = ( ) Es muy importnte que los utovectores esten normlizdos pr que S 1 = S t. Finlmente, se obtiene, A(v,v) = (x,y ) t [A] e ( x y ) = 3x y donde ( x y ) = [v] e = S 1 [v] e = S 1 ( x y) = 1 ( x+y x y ), o se, x = (x+y)/, y = (x y)/. Notemos que tnto los coeficientes digonles como ls bses obtenids con los dos procedimientos nteriores son distintos. L digonlizción puede llevr más tiempo pero posee l ventj que utomáticmente proporcion un bse ortogonl en l que l form cudrátic tiene l form cnónic, lo cul es muy importnte en diverss plicciones físics. Notemos tmbién que el número de coeficientes positivos y negtivos en l form cnónic obtenidos en mbos procedimientos es el mismo. Est conclusión es generl y se demostrrá en el siguiente teorem, de grn importnci. 18. Teorem de inerci de forms cudrátics: Se A(v,v) : V V R un form cudrátic sobre R. El número de coeficientes i nulos en culquier form cnónic de A es el mismo. Dem.: Consideremos dos forms cnónics distints, tl que positivos, negtivos y A(v,v) = i αi = iα i con v = n α ie i = n α i e i, A(e i,e j ) = i δ ij, A(e i,e j ) = i δ ij, y α 1 α n = S α 1 α n o se, α i = n S ijα j Supongmos hor que i pr i = 1,,n, con S 0. > 0 i = 1,,k < 0 i = k +1,,m 0 i = m+1,,n, i > 0 i = 1,,p < 0 i = p+1,,q 0 i = q +1,,n. Por consiguiente, A(v,v) = k m i αi i αi = i=k+1 p q i α i i α i i=p+1 8

9 Veremos hor que si se supone k < p se lleg un bsurdo. Si k < p, podemos elegir v V, v 0, tl que ls primers k componentes de v en l bse e sen nuls (α i = 0 si i k), y tl que sus últims n p componentes en l bse e sen tmbién nuls (α i = 0 si i > p). En efecto, esto conduce l sistem de k ecuciones homogénes 0 = p S ijα j pr i = 1,,k, con p > k incógnits α j, j = 1,,p, el cul posee entonces infinits soluciones (y por lo tnto, soluciones no nuls). Pr tl vector, tendrímos m A(v,v) = i αi = i=k+1 p i α i pero el segundo miembre es menor o igul 0 y el tercero myor que 0, lo que es imposible. Por lo tnto, no puede ser k < p. De l mism mner se prueb que no puede ser p < k. Por lo tnto, l únic posibilidd es k = p, es decir, que el número de coeficientes positivos es el mismo. De l mism form (se dejn los detlles pr el lector) se prueb que m k = q p (el número de coeficientes negtivos es el mismo). Finlmente, los dos resultdos nteriores implicn n m = n q, es decir, que el número de coeficientes nulos es el mismo. El número k (número de coeficientes positivos de l form cnónic) se denomin índice de inerci positivo y m k (número de coeficientes negtivos) índice de inerci negtivo. El rngo de un form bilinel simétric coincide con el rngo de l mtriz [A] e y es por lo tnto m (es decir, el número de coeficientes no nulos). Si A es no singulr m = n (el número de coeficientes nulos es 0). Ejemplo: Consideremos, pr V = R, R = K, Completndo cudrdos llegmos fácilmente A(v,v) = x +y +xy A(v,v) = (x+y) = 1x +0y con x = (x+y), y = y. Es decir, existe un coeficiente positivo ( 1 = 1) y uno nulo ( = 0). Si en cmbio optmos por digonlizr l mtriz correspondiente ([A] e = ( )), obtenemos A λi = (1 λ) 1 = 0 y por lo tnto λ = 1±1, o se, λ 1 =, λ = 0. Obtenemos entonces un utovlor positivo y uno nulo. Ejemplo: Consideremos, pr V = R 3, Completndo cudrdos, A(v,v) = x +y +z +xy +xz A(v,v) = (x+y +z) (y +z) +y +z = (x+y +z) yz = x +y z donde x = x+y +z, z = (z +y)/, y = (y z)/ (se reemplzó y = z +y, z = z y ) Estoimplicque[A] e = tendrádosutovlorespositivosyunonegtivo. Enefecto, A λi 3 = (1 λ)((1 λ) ) = 0 conduce λ 1 = 1 > 0, λ = 1+ > 0, λ 3 = 1 < 0. Obtendremos en l correspondiente bse de utovectores normlizdos l form cnónic A(v,v) = x +(1+ )y +(1 )z 18.3 Forms cudrátics positivs y plicciones Un form cudrátic sobre K = R se denomin definid positiv (o estríctmente positiv) si A(v,v) > 0 v 0 9

10 Es fácil ver que A es definid positiv si y sólo si los coeficientes digonles i de l form cnónic son todos positivos: i > 0 pr i = 1,,n (es decir, k = n). En efecto, en tl cso A(v,v) = i αi > 0 v 0 donde hor hemos escrito v = n α ib i, con B = (b 1,,b n ) un bse donde A tom l form cnónic (A(b i,b j ) = i δ ij ). Por otro ldo, si A(v,v) > 0 v 0, entonces i = A(b i,b i ) > 0. Pr un form cudrátic definid positiv, podemos siempre elegir un bse en l que i = 1 pr i = 1,,n: En efecto, si A(b i,b j ) = i δ ij, con i > 0, podemos definir l bse de elementos e i = b i / i en l que A(e i,e j ) = A(b i,b j )/ i j = ( i / i )δ ij = 1δ ij. Notemos tmbién que el determinnte de l mtriz que represent un form cudrátic positiv es positivo en culquier bse. En l bse B en l que A tom l form cnónic, [A] B = 1 n > 0 y en culquier otr bse B de V, A(b 1 [A] B =,b 1 ) A(b 1,b n) A(b n,b 1 ) A(b n,b = St [A] B S = S [A] B > 0 n) Además notemos que A sigue siendo positiv en culquier subespcio de V (pues A(v,v) > 0 v 0), por lo que el determinnte de culquier menor de [A] B (obtenido l suprimir un número ddo de columns y ls respectivs fils de [A] B ) es tmbién siempre positivo. Por ejemplo, si considermos el subespcio generdo por los primeros m n elementos de l bse B, tendremos [A] m > 0 donde [A] m es l mtriz de m m de elementos A(b i,b j ), i m, j m, que represent A en l bse (b 1,,b m) del subespcio nterior. Más ún, A es definid positiv si y sólo si todos los determinntes principles en un bse rbitrri B de V son positivos, es decir, si [A] m > 0 pr m = 1,,n. Dem.: Por inducción: Pr n = 1 es obvimente válido. Asumiendo hor que es válido pr n 1, entonces existe un bse cnónic (e 1,,e n 1 ) del subespcio generdo por los primeros n 1 vectores de l bse originl B, en l que A(e i,e j ) = δ ij. Definiendo hor n 1 e n = b n α i e i con α i = A(e i,b n), obtenemos A(e i,e n ) = A(e i,b n) α i = 0 pr i = 1,,n 1. Se obtiene sí un bse cnónic e = (e 1,,e n 1,e n ) de V en l que A(e i,e j ) = δ ij A(e i,e i ), con A(e i,e i ) = 1 si i n 1 y entonces A(e n,e n ) = [A] e > 0 (pues [A] e = S tr [A] B S y [A] e = S [A] B > 0). L form cudrátic es pues definid positiv. Aplicciones: 1) Clsificción de puntos críticos: Consideremos un cmpo esclr G : R n R derivble segundo orden orden en un entorno de un punto crítico r 0 donde G x i r= r0 = 0, i = 1,,n. ElpolinomiodeTylordesegundoordende G( r) = G( r) G( r 0 ) lrededor de r 0 es un form cudrátic en r = r r 0 = ( x 1,, x n ): G = 1 i, G x i x j r= r0 x i x j +R 3 = 1 ( r)h( r)t +R 3 10

11 donde H es un mtriz simétric de n n, denomind mtriz Hessin, de elementos H ij = G x i x j r= r0 y R 3 es el resto (lim r r0 R 3 / r r 0 = 0). Llevndo l form cudrátic nterior un form cnónic (y se completndo cudrdos o digonlizndo l mtriz H), obtenemos G = 1 i( x i) +R 3 Si i > 0 pr i = 1,,n, G > 0 pr r suf. pequeño y el punto crítico es un mínimo locl o reltivo. Si i < 0 pr i = 1,,n, G < 0 pr r suf. pequeño y el punto crítico es un máximo locl o reltivo. Y si existen i positivos y negtivos, se trt de un punto sill ( sddle point ). Finlmente, si lgunos i son nulos y i 0 pr i = 1,,n (o i 0 pr i = 1,,n) el presente criterio no decide y es necesrio un desrrollo orden más lto (que puede tmbién no ser concluyente) o bien un nálisis lterntivo. Por lo tnto, podemos clsificr el punto crítico en form inmedit conociendo los utovlores de l mtriz H (de n n), o bien simplemente completndo cudrdos y observndo los signos de los coeficientes digonles i. El último método es en generl más sencillo (pues no requiere determinr ríces de ningun ecución) pero el primero tiene l ventj de determinr l vez (medinte los utovectores de H) n direcciones ortogonles en ls que l form cudrátic tiene l form cnónic (y por lo tnto conocer ls direcciones ortogonles en ls que G es positivo ( i > 0) o negtivo ( i < 0)). (Ver práctic pr más detlles). Notemos tmbién que si definimos f r0 : R R como f r0 (t) = G( r 0 +t r) entonces f r 0 (0) = i,j G x i x j r= r0 x i x j = ( r)h( r) t lo cul es un form cudrátic en r definid por l mtriz simétric H. Si H es definid positiv f r0 (t) es cóncv hci rrib en t = 0 pr culquier dirección r, mientrs que si es definid negtiv, f r0 (t) será cóncv hci bjo pr culquier dirección r. En el cso generl, l concvidd dependerá de l dirección de r. ) Clsificción de curvs de nivel de forms cudrátics. Consideremos l ecución que puede reescribirse como x i ij x j = C i, ra( r) t = C con r = (x 1,,x n ) y A l mtriz (rel) de elementos ij, que puede suponerse siempre simétric ( ij = ji ). Llevándol un form cnónic obtenemos l ecución equivlente ix i = C con los x i relciondos linelmente con los x i. Si todos los i son positivos (y C > 0) l ecución nterior determin un elipsoide, mientrs que si los i tienen signos distintos l ec. determin un hiperboloide. Si l form cnónic se obtiene digonlizndo l mtriz A, los utovectores pueden elegirse normlizdos y ortogonles, en cuyo cso ls vribles x i serán ls coordends lo lrgo de ejes ortogonles en los que l form cudrátic tom l form cnónic (ejes principles). (vése práctic pr más detlles). Ejemplo: Consideremos G(x,y) = x +y +αxy 11

12 (0,0) es un pto. crítico de G y l mtriz H de derivds segunds es H = ( 1 α α 1 ). Sus utovlores son λ ± = (1±α) (obtenidos de l ec. H λi = ( λ) 4α = 0). Por lo tnto, Si α < 1 mbos utovlores son positivos y (0,0) es un mínimo de G (en este cso mínimo bsoluto). En cmbio, si α > 1, un utovlor es positivo y el otro negtivo (por ej., si α > 1, λ + > 0, λ < 0), por lo que (0,0) es en este cso un punto sill. Ls componentes de los utovectores normlizdos (y por su puesto ortogonles) de H son [v ± ] e = ( ±1 1 )/, por lo que S = ( )/ y podemos escribir G(x,y) = (1+α)x +(1 α)y con ( x y ) = S 1 ( x y) = ( x+y x y )/, como puede verificrse directmente. Si G represent l energí potencil de un sistem físico dependiente de dos coordends x, y en ls cercnís de un punto estcionrio, vemos pues que el sistem será estble sólo si α < 1. Si α > 0, l estbilidd del sistem en l dirección de e disminuye l umentr α, tornándose inestble pr α > 1. Cbe destcr, no obstnte, que l mism conclusión puede obtenerse simplemente completndo cudrdos, lo cul conduce G(x,y) = (x+αy) +y (1 α ) Vemos pues que el coeficiente de y es positivo si α < 1 y negtivo si α > 1, mientrs que el primero es siempre positivo. Si considermos hor l ec. x +y +αxy = C el mismo nálisis conduce que pr C > 0, l ec. nterior represent un elipse si α < 1, con ejes principles inclindos 45 grdos respecto de los originles (y rdios de longitud 1/ 1±α pr C = 1), mientrs que si α > 1 l ec. represent un hipérbol. Ejemplo: Consideremos G(x,y,z) = x +y +z +xy +xz que y fue nlizdo. (0, 0, 0) es clrmente un punto crítico. Completndo cudrdos, se obtiene G(x,y,z) = (x+y +z) (y +z) +y +z = (x+y +z) yz = x +y z donde x = x + y + z, z = (z + y)/, y = (y z)/, lo que implic que (0,0,0) es un punto sill. El mismo resultdo se obtiene de los utovlores de l mtriz H = 1 1 0, que son λ 1 = > 0, λ = + > 0, λ 3 = < 0. L ecución x +y +z +xy +xz = C corresponde, por lo tnto, un hiperboloide (de un hoj pr C > 0). Ejemplo: Consideremos l función T : R n R dd por (X = (x 1,,x n ) t ) T(X) = i,j x i A ij x j + i r i x i con A ij = A ji. Asumiendo que l mtriz de coeficientes A R n n es invertible, podemos reescribir T como T(X) = X t AX +(R t X +X t R) = Y T AY R t A 1 R donde X t = (x 1,,x n ), R t = (r 1,,r n ) y Y = X + C, con C = A 1 R. Es decir, T(X) es un form cudrátic en Y = X +A 1 R (o se, y i = x i + j A 1 ij r j) más un constnte R t A 1 R. Si A es singulr, podemos econtrr C tl que AC = R sólo si R EC(A) (espcio column de A). En tl cso T = Y t AY C t R sigue siendo un form cudrátic en Y = X + C, menos de un constnte C t R. 1