Series numéricas Conceptos básicos. Lewis Carroll

Transcripción

1 Capítulo9 Series uméricas Aquiles alcazó a la tortuga y se setó cofortablemete sobre su espalda. e modo que has llegado al fial de uestra carrera? dijo la tortuga. A pesar de que realmete cosiste e ua serie ifiita de distacias? Yo creía que algú ecio había demostrado que esto o podía hacerse. Lewis Carroll 9.. Coceptos básicos E este capítulo cotiuamos co el estudio de las sucesioes empezado e el Capítulo 7. La ovedad es que ahora vamos a cosiderar u tipo particular de sucesioes que, si exagerar, puede afirmarse que so las más útiles del Aálisis. Estas sucesioes se llama series. E lo que sigue vamos a cosiderar sucesioes de úmeros reales por lo que evitaremos esa iecesaria precisió. 9. efiició. ada ua sucesió fa g, podemos formar a partir de ella otra sucesió, fa g, cuyos térmios se obtiee sumado cosecutivamete los térmios de fa g, es decir: A a ; A a C a ; A 3 a C a C a 3 ; : : : ; A a C a C C a ; : : : o, si te gusta más, A a y, para todo N, A C A Ca C. La sucesió fa g así defiida se llama serie de térmio geeral a o serie defiida por la sucesió fa g, y la represetaremos por >a X o, más secillamete, P X a. El úmero A a k se llama suma parcial de orde de la serie P a. 58 k

2 Coceptos básicos 59 ebe quedar claro desde ahora que ua serie es ua sucesió cuyos térmios se obtiee sumado cosecutivamete los térmios de otra sucesió. Ni que decir tiee que, siedo las series sucesioes, los coceptos y resultados vistos para sucesioes coserva su misma sigificació cuado se aplica a series. E particular, es iecesario volver a defiir qué se etiede cuado se dice que ua serie es acotada, covergete o positivamete divergete. Si ua serie P X a es covergete se usa el símbolo a para represetar el límite de la serie que suele llamarse suma de la serie. Naturalmete, X a lkımfa g lkım X a es el úmero defiido por:! k X a k : Por tato, la igualdad P a S quiere decir que para todo " > 0, hay u m " N tal que para todo > m " se verifica que ˇˇP k a k Sˇˇ < ". 9. Ejemplo (Serie geométrica). ado u úmero x, la sucesió f C x C x C C x g se llama serie geométrica de razó x. Observa que dicha serie se obtiee sumado cosecutivamete los térmios de la sucesió ; x; x ; x 3 ; : : : ; x ; : : :. Es costumbre represetar la serie geométrica de razó x co el símbolo X >0 x. icha serie coverge si, y sólo si, jxj <, e cuyo caso se verifica que: k0 X 0 x x : (9.) Todas las afirmacioes hechas se deduce de que si x, se tiee: X x k C x C x C C x x C x x : (9.) x C Si jxj < etoces lkım! x X x lkım 0 0 y obteemos que: X! k0 x k x.jxj < /: Si jxj > o x etoces la sucesió fx g o coverge; y si x etoces P k0 k C tampoco coverge. Te recuerdo que ya habíamos estudiado la serie geométrica e el ejemplo Ejemplo (Serie armóica). La serie de térmio geeral =, es decir, la sucesió fh g X dode H k, que simbólicamete represetamos por X, se llama serie armóica. k > Se verifica que la serie armóica diverge positivamete: X lkım f C = C C =g C :! Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

3 Coceptos básicos 50 E efecto, para todo N teemos que log y por tato x dx X j jc j x dx 6 X j jc j j dx X j lkım f C = C C =g > lkım log C!! j < C C C C X C : Este resultado es tambié cosecuecia directa de que, segú vimos e el ejercicio resuelto 6, la serie armóica es asitóticamete equivalete a la sucesió flog g: C = C =3 C C = lkım :! log 9.4 Ejemplo (Serie armóica alterada). Se llama así la serie de térmio geeral. / ; es decir, la serie X. /. Se verifica que la serie armóica alterada es covergete y su > suma es igual a log. X. / log : Esto ya ha sido probado e el ejercicio resuelto 6. Pero podemos dar otra prueba más directa. Sustituyedo x por x e la igualdad (9.), obteemos la siguiete igualdad válida para todo N y todo x : C x x C x x 3 C C. / x C xc C. / C x : (9.3) Itegrado esta igualdad etre 0 y teemos que: e dode log Y deducimos que C X k ˇˇˇ ˇ ˇlog lkım! C 3. / k k C X k ˇ ˇlog 4 C C. / C C. x C /C C x dx C. / C. / k k ˇ C X k 0 0 x C C x dx x C C x dx x C C :. / k k ˇ 0 log X. / : Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

4 Coceptos básicos 5 El siguiete ejemplo te ayudará a eteder el cocepto de serie covergete. Vamos a ver que modificado el orde de los térmios e ua serie covergete podemos obteer otra serie covergete co distita suma. 9.5 Ejemplo (Reordeado térmios e la serie armóica alterada podemos obteer otra serie co distita suma). Como hemos visto, la serie armóica alterada es la sucesió que se obtiee sumado cosecutivamete los térmios de la sucesió ( ). / ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0 ; ; ; : : : : : : (9.4) Vamos a cambiar el orde de los térmios e esta sucesió poiedo uo positivo seguido de dos egativos mateiedo sus posicioes relativas. Obteemos así la sucesió ; ; 4 ; 3 ; 6 ; 8 ; 5 ; 0 ; ; 7 ; 4 ; 6 ; : : : : : : ; (9.5) cuya serie asociada, obteida sumado cosecutivamete sus térmios, es la sucesió fs g dada por: Teemos que: S S S 3 S 4 S 5 S 6 : : : : : : : : : : : : S 9 : : : : : : : : : : : : X S 3 j 4 4 C 3 4 C 3 4 C 3 4 C 3 j S 3 4 C C C C 4 C 6 8 C 0 C 3 X. / j : j j 4 C 5 5 C C j 8 8 C 5 4j 0 C C 0 C C. / 4 6 C C Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

5 La particularidad del estudio de las series 5 educimos que: lkım! S 3 lkım! j X. / j log : j Es claro que lkım fs 3 S 3 g lkım fs 3 S 3 g 0 de dode se sigue que: lkım fs g log : Es decir, hemos probado que la serie obteida reordeado los térmios de la serie armóica alterada por el criterio de sumar uo positivo seguido de dos egativos, es covergete y su suma es log. 9.6 Observació (La suma de ua serie covergete o es ua suma). El ejemplo aterior poe claramete de maifiesto que la suma de ua serie covergete o es ua suma e el setido usual de la palabra, es decir, o es ua suma algebraica de úmeros. Observa que los cojutos de úmeros (9.4) y (9.5) so los mismos pero las series correspodietes tiee distita suma; la primera tiee suma log y la seguda log. Si la suma de ua serie cosistiera e sumar los ifiitos térmios de ua sucesió, etoces el orde e que los sumáramos sería idiferete porque la suma de úmeros tiee la propiedad comutativa. ebes teer claro, por tato, que cuado calculas la suma de ua serie o estás haciedo ua suma ifiita sio que estás calculado u límite de ua sucesió cuyos térmios se obtiee sumado cosecutivamete los térmios de otra sucesió dada. Isisto: calcular la suma de ua serie o es ua operació algebraica, o cosiste e sumar ifiitos térmios, es u proceso aalítico que supoe u límite La particularidad del estudio de las series Ahora viee la preguta del milló: si las series o so ada más que sucesioes, por qué dedicarles ua ateció especial? La respuesta a esta preguta es que e el estudio de las series hay ua hipótesis implícita que los libros silecia. A saber: se supoe que las series so sucesioes demasiado difíciles de estudiar directamete. La característica que distigue el estudio de las series es la siguiete: se trata de deducir propiedades de la serie fa g fa C a C C a g, a partir del comportamieto de fa g. Es decir, los resultados de la teoría de series da iformació sobre la sucesió fa g haciedo hipótesis sobre la sucesió fa g. Por qué esto es así?, o sería más lógico, puesto que lo que queremos es estudiar la serie fa g, hacer hipótesis directamete sobre ella? La razó de esta forma de proceder es que, por lo geeral, o se cooce ua expresió de A a Ca C Ca que permita hacer su estudio de forma directa; es decir, la suma a C a C C a o es posible realizarla e la práctica. Por ello, e el estudio de las series se supoe implícitamete que la sucesió fa g es el dato que podemos utilizar. Naturalmete, esto hace que el estudio de las series se preste a muchas cofusioes porque, auque su objetivo es obteer propiedades de la serie fa g, las hipótesis y la otació P a hace siempre referecia a la sucesió fa g, por lo que puede caerse e el error de creer que lo que se está estudiado es dicha sucesió fa g cuado lo que realmete se estudia es la sucesió fa C a C C a g. U error muy comú y que debes evitar es cofudir las sucesioes fa g y P a : so sucesioes muy diferetes! Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

6 La particularidad del estudio de las series 53 Si lo piesas u poco, esta forma de proceder o es del todo ueva. Ya estás acostumbrado a usar la derivada de ua fució para estudiar propiedades de la fució; pues bie, la situació aquí es parecida: para estudiar la serie P a fa C a C C a g (la fució) estudiamos la sucesió fa g (la derivada). U bue ejemplo de esto que digo so los criterios de covergecia que veremos detro de poco. Otra dificultad adicioal e el estudio de las series es la otació ta desafortuada que se X emplea. E la mayoría de los textos se represeta co el mismo símbolo, a, la serie (que es ua sucesió) y su suma (que es u límite que o siempre existe). Esto es u disparate: se está cofudiedo ua sucesió co u úmero. Es lo mismo la sucesió f=g que el úmero 0 que es su límite? E igua parte verás escrita la igualdad disparatada f=g 0 Por qué X etoces, al tratar co series, se cofude el úmero que es la sucesió k ( X ) k k? co X k> Quizás esto se debe a que, parece icreíble pero es cierto, o hay acuerdo uáime para represetar de forma apropiada la serie de térmio geeral a. La otació que estamos usado aquí, X > a, tiee la vetaja de que es clara y evita las cofusioes que estoy cometado, pues permite distiguir etre la serie y su evetual suma. Tiee el icoveiete de que la mayoría de los autores o la usa (quizás porque la descooce). Estoy covecido de que las vetajas de esta otació compesa ampliamete este posible icoveiete. Es más, cofío e que dicha otació acabe impoiédose y siedo aceptada uiversalmete. Pero esto o va a suceder pasado mañaa, por eso te advierto de que e los libros ecotrarás las usuales otacioes cofusas que o distigue etre la serie (ua sucesió) y su posible límite (su suma). Todavía queda ua última sorpresa. Estamos de acuerdo e que las series so sucesioes. Muy especiales? E absoluto. Toda sucesió podemos verla, si así os iteresa, como ua serie. Pues toda sucesió fa g es la serie defiida por la sucesió de sus diferecias, esto es, por la sucesió fd g dada por: Es claro que a d a ; d a a ; d 3 a 3 a ; : : : ; d C a C a ; : : : X d j. Por tato, toda sucesió podemos cosiderarla como ua serie. E j resume, series y sucesioes so lo mismo: toda serie es ua sucesió y toda sucesió puede ser vista como ua serie. Lo que distigue a la teoría de series es el puto de vista específico de su estudio, pero sus resultados puede aplicarse a cualquier sucesió. Creo que co lo dicho ya puedes hacerte ua idea correcta de lo que so las series. Isisto e esto porque e los libros ecotrarás disparates para todos los gustos. Voy a cometar seguidamete alguos de ellos. Mis cometarios está pesados para hacer reflexioar a los profesores que los lea. 9.7 Observació (Sobre alguas defiicioes usuales de serie). E alguos libros se da a siguiete defiició. Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

7 La particularidad del estudio de las series 54 efiició de serie a la Bourbaki. Ua serie es u par de sucesioes fx g; fs g dode para todo N S P k a k. La sucesió fs g se llama sucesió de sumas parciales de la serie. El problema co esta defiició está e las primeras 7 palabras: ua serie es u par de sucesioes. Quie lea esta defiició pesará que ua serie es algo diferete a ua sucesió. Si, además, como ocurre co más frecuecia de la deseada, el libro que da esta defiició vuelve a euciar para series e icluso a demostrar! alguos de los resultados ateriormete vistos para sucesioes, el desastre ya es total: el lector de ese libro acabará pesado que las series so algo diferete de las sucesioes. Esta defiició de serie adolece de la pedatería lametable de las defiicioes al estilo Bourbaki. So defiicioes excesivamete formalistas cuya precisió formal las hace cofusas e iiteligibles para quie o sabe de qué va la cosa. Co u ejemplo se etiede mejor lo que quiero decir. Tú sabes lo que es la derivada de ua fució. Sabes que para derivar ua fució primero tiee que darte la fució cuya derivada vas a usar. Por tato, el cocepto de derivada ivolucra a dos fucioes: la fució f y la fució f 0. Ua defiició al estilo Bourbaki de derivada sería como sigue: Ua derivada es u par de fucioes.f; f 0 /, dode f es ua fució defiida e u itervalo I, y para cada puto a I f 0.a/ es el úmero defiido por f 0 f.x/ f.a/.a/ lkım. x!a x a Estarás de acuerdo e que la supuesta mayor precisió formal de esta defiició está muy lejos de compesar su mayor dificultad de compresió. Esto es exactamete lo que se hace e la defiició de serie que estamos cometado. Para formar la serie fa g fa C a C C a g primero tiee que daros la sucesió fa g. Eso y o otra cosa es lo que sigifica la expresió ua serie es u par de sucesioes. Todos sabemos que el Tajo pasa por Toledo pero eso o os hace decir que Toledo es u par (Tajo,Toledo): : : Me explico? E el extremo opuesto del estilo Bourbaki está el estilo todo vale. efiició de serie al estilo todo vale. Ua serie es ua suma ifiita a C a C a 3 C C a C Ya está, eso es todo. efiicioes parecidas a esta se ecuetra co frecuecia e libros de autores igleses o orteamericaos. Se trata de ua defiició que o defie ada e itroduce símbolos cofusos. Etre el excesivo formalismo y la iformalidad absoluta, co otacioes iapropiadas y cofusas, la verdad es que la mayoría de los libros que coozco o ayuda a compreder el cocepto de serie i las particularidades de su estudio. Coveios de otació. Usaremos la otació P a para represetar la serie de térmio geeral a. Por tato, ua última vez lo repito, P P a es ua sucesió, más cocretamete, a es la aplicació de N e R que a cada úmero atural N hace correspoder el úmero P k a k. A pesar de lo dicho, tambié usaré de vez e cuado la otació fa C a C C a g para la serie de térmio geeral a. Creo que u uso adecuado de ambas otacioes es la mejor Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

8 Propiedades básicas de las series covergetes 55 forma de ayudarte para que tegas siempre presete que la sucesió que estamos estudiado es P a fa C a C C a g y o fa g. A veces coviee cosiderar, por comodidad, series que empieza e u ídice etero q Z, usaremos e tal caso la otació X a. Por ejemplo, es más cómodo escribir X log >q >3 que X auque ambas so la misma serie. log. C / > 9... Propiedades básicas de las series covergetes Es importate que te des cueta de que cambiar u solo térmio e la sucesió fa g se traduce e cambiar ifiitos térmios e la serie P a. El siguiete resultado os dice que si cambiamos u úmero fiito de térmios e ua sucesió fa g ello o afecta a la posible covergecia de la serie fa C a C C a g pero sí afecta a la suma de dicha serie. 9.8 Proposició. Sea fa g y fb g dos sucesioes y supogamos que hay u úmero q N tal que para todo >q C es a b. Etoces se verifica que las series fa C a C C a g y fb C b C C b g o bie coverge ambas o o coverge igua, y e el primer caso se verifica que: X qx X qx a j b j : a j emostració. Pogamos A a C a C C a, B b C b C C b, ˇ b j qx a j, qx b j. Las afirmacioes hechas se deduce todas de que para todo > q C se verifica la j igualdad: X kqc a k A X kqc b k B Observa que los úmeros y ˇ so costates fijas. e la igualdad A C B C ˇ, válida para todo > q C, deducimos que las series P a fa g y P b fb g ambas coverge o igua coverge. Cuado hay covergecia teemos que: lkım fa g lkım fa g lkım fb ˇg lkım fb g ˇ:!!!! ˇ j Lo que prueba la igualdad del euciado. Cosideremos ua serie X >a. ado q N defiamos b 0 para 6 6 q, b a para todo > q C. La serie X > b se llama serie resto de orde q de la serie X >a. Es usual Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

9 Propiedades asociativas y comutativas 56 represetar dicha serie resto co la otació X a. e la proposició aterior deducimos que las series X a y > >qc X a igua coverge o ambas coverge y, cuado esto ocurre es: >qc X a qx X a k a : k qc No lo olvides: para calcular la suma de ua serie debes teer siempre presete el ídice desde el que se empieza a sumar. El siguiete resultado es importate porque establece ua codició ecesaria geeral para la covergecia de ua serie. 9.9 Proposició (Codició ecesaria para la covergecia de ua serie). Para que la serie P a sea covergete es ecesario que lkımfa g 0. emostració. Si la serie P a es covergete, etoces lkımfa g lkımfa g S es u úmero real. Como para todo N co > teemos que a A A, deducimos que lkımfa g lkımfa g lkımfa g S S 0. Esta codició ecesaria o es suficiete: f g! 0 pero la serie armóica P o es covergete. Se trata de ua codició ecesaria para la covergecia de ua serie, por tato cuado dicha codició o se cumple la serie o es covergete. 9.0 Ejemplo. Las series X, X se, X e o so igua de ellas > > > covergete porque sus térmios geerales o coverge a 0:! e ; se! ; e! : Propiedades asociativas y comutativas Ya hemos dicho que el límite, L, de ua serie covergete, L lkım fa C a C C a g, o es, como a veces se dice, ua suma de los ifiitos térmios de la sucesió fa g. Qué setido tiee eso de sumar ifiitos térmios? Niguo, desde luego. Lo que dicho úmero ˇ verifica es que ˇL P j a jˇ se coserva meor que cualquier úmero " > 0, a partir de u cierto N e adelate. Si bie, puede ser sugerete la iterpretació de L como la suma de los térmios de la sucesió fa g, o hay que olvidar que esto o es más que ua forma de hablar, y que el límite de ua serie covergete es, justamete, el límite de ua sucesió de sumas y o debe cofudirse co ua operació algebraica. Por ello cabe pregutarse si las propiedades asociativa y comutativa de la adició se coserva para series covergetes. e hecho, ya hemos visto que la propiedad comutativa o se verifica e geeral, pues reordeado Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

10 Propiedades asociativas y comutativas 57 los térmios de ua serie covergete podemos obteer otra serie co suma distita. Las cosas va mejor e lo que se refiere a la asociatividad. Precisemos estas ideas. Sea fa C a C C a g la serie defiida por la sucesió fa g. ada ua aplicació estrictamete creciete W N! N, defiamos ua sucesió fb g por: b a C a C C a./ ; b C a./c C C a.c/.n/ (9.6) E estas codicioes se dice que la serie P b se ha obteido asociado térmios e la serie P a. Poiedo A a C a C C a, y B b Cb C Cb, se tiee que B A./, es decir la sucesió fb g es ua sucesió parcial de fa g. educimos el siguiete resultado. 9. Proposició. Toda serie obteida asociado térmios e ua serie covergete tambié es covergete y ambas series tiee la misma suma. Es importate advertir que asociado térmios e ua serie o covergete puede obteerse ua serie covergete. Por ejemplo, la serie defiida por la sucesió fa g f. / C g o es covergete, y la serie que se obtiee de ella asociado térmios dos a dos, es decir, la serie defiida por la sucesió b a C a 0, es evidetemete covergete. A este respecto tiee iterés el siguiete resultado que establece ua codició suficiete para que de la covergecia de ua serie obteida asociado térmios e otra pueda deducirse la covergecia de esta última. 9. Proposició. Sea W N! N ua aplicació estrictamete creciete, fa g ua sucesió y fb g la sucesió defiida como e (9.6). Supogamos que la serie P b es covergete y que la sucesió ja./c j C ja./c j C C ja.c/ j coverge a cero. Etoces la serie P a es covergete y tiee la misma suma que la serie P b. emostració. Para cada N, >./, defiamos:./ mkaxfk N W.k/ 6 g: Evidetemete,./ 6. C /. Además..// 6 <../ C /, y para todo p N..p// p. Pogamos A a C a C C a, B b C b C C b. Se comprueba fácilmete, usado que es creciete y o mayorada, que lkım B./ lkımfb g (observa que B./ es parecida a ua sucesió parcial de fb g). Para >./ teemos: A.a C C a./ / C C.a.. //C C C a..// / C a..//c C C a B./ C a..//c C C a : Por tato ˇ ˇA B./ˇˇ 6 ja..//c j C C ja j 6 ja..//c j C C ja../c/ j./! 0: e dode se sigue que lkımfa g lkım B./ lkımfb g. Estudiaremos seguidamete las series covergetes para las que se verifica la propiedad comutativa. Precisaremos estos coceptos. Sea fa C a C C a g la serie defiida por la Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

11 Propiedades asociativas y comutativas 58 sucesió fa g. ada ua biyecció W N! N, defiamos ua sucesió fb g por b a./. E estas codicioes se dice que la serie fb C b C C b g se ha obteido reordeado térmios e la serie fa C a C C a g. 9.3 efiició. Se dice que ua serie fa C a C C a g es comutativamete covergete si para toda biyecció W N! N, se verifica que la serie defiida por la sucesió fa./ g, es decir la serie fa./ C a./ C C a./ g, es covergete. Observa que, tomado como biyecció de N sobre N la idetidad, si la serie P a es comutativamete covergete etoces es covergete. E otras palabras, ua serie es comutativamete covergete, cuado es covergete y tambié so covergetes todas las series que se obtiee de ella por reordeació de sus térmios (e cuyo caso se verifica que todas ellas tiee la misma suma). La serie armóica alterada es u ejemplo de serie covergete que o es comutativamete covergete. El siguiete teorema da ua secilla caracterizació de las series comutativamete covergetes. ebes eteder lo que afirma el teorema pero o es preciso que leas su demostració. Si acaso, puede ser iteresate que leas el comiezo de la demostració de la implicació b/ a/ porque es muy parecida a la demostració del teorema Esto o es casual: hay bastates aalogías etre la covergecia de itegrales impropias y de series. 9.4 Teorema. Las siguietes afirmacioes so equivaletes: a) La serie fa C a C C a g es comutativamete covergete. b) La serie fja j C ja j C C ja jg es covergete. Además, e caso de que se verifique a) y b), se tiee que: X X a cualquiera sea la biyecció W N! N. a./ emostració. b/ a/ Pogamos A a C a C C a, B ja j C ja j C C ja j. Supogamos que fja j C ja j C C ja jg es covergete. Probaremos e primer lugar que la serie fa C a C C a g tambié es covergete. ado " > 0, la codició de Cauchy para fb g os dice que existe 0 N tal que ˇ ˇBq qx B pˇˇ ja k j < " ; para todos p; q N tales que q > p> 0: (9.7) kpc educimos que para todos p; q N tales que q > p> 0 se verifica que ˇ ˇAq A pˇˇ ˇˇapC C a pc C C a q j 6 qx kpc ja k j < " < ": Lo que prueba que la serie fa g cumple la codició de Cauchy y, por tato, es covergete. Pogamos A lkımfa g, y sea W N! N ua biyecció. ado " > 0, sea 0 N tal que se verifica (9.7) y además ˇˇA 0 Aˇˇ < "=. efiamos Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático m 0 mkaxfj N W.j / 6 0 g; F m f.k/ W 6 k 6 mg: Cálculo diferecial e itegral

12 Propiedades asociativas y comutativas 59 Para m>m 0, se verifica que F m f; ; : : : ; 0 g. Por tato, el cojuto HF m f; ; : : : ; 0 g o es vacío. Sea p mkı.h/, q mkax.h/. Teemos etoces que q>p> 0 C, y por tato: mx ˇ j a.j/ A ˇ Hemos probado así que X ˇ 6 ˇ a k k F m X 0 a k k A ˇ X 0 ˇ a k C X k k H A ˇ C X ja k j < " C k H a k Aˇ ˇ6 qx ja k j < " C " ": kp X a./ A y por tato que b/ implica a/. a/ b/ Probaremos que si la serie fb g o es covergete etoces la serie fa g o es comutativamete covergete. Supodremos, pues, e lo que sigue que fb g o es covergete. Teemos para la serie fa g dos posibilidades: o bie coverge o bie o coverge. Evidetemete, si fa g o coverge etoces, co mayor razó, o es comutativamete covergete. Cosideraremos, por tato, el caso e que fa g es covergete. Para uestro propósito es suficiete probar que, e tal caso, hay ua biyecció W N! N tal que la serie fa./ C a./ C C a./ g es positivamete divergete. Veamos cómo puede justificarse la existecia de dicha biyecció. e las hipótesis hechas se deduce que los cojutos U f N W a > 0g, y V N U so ifiitos. Sea y biyeccioes crecietes de N sobre U y V, respectivamete. Evidetemete, para todo N, se verifica que: por lo que, poiedo fk N W.k/ 6 g [ fk N W.k/ 6 g fk N W 6 k 6 g P X a.k/ ; Q X.k/6.k/6 a.k/ teemos que A P C Q y B P Q, de dode se sigue que igua de las sucesioes fp g y fq g es covergete y, como so moótoas, deducimos que fp g diverge positivamete y fq g diverge egativamete. Lo que sigue es fácil de eteder: vamos a ir formado grupos de térmios positivos cosecutivos de la sucesió fa g y, etre cada dos de tales grupos, vamos a ir poiedo cosecutivamete los térmios egativos de dicha sucesió. El criterio para ir formado los grupos de térmios positivos es que la suma de cada grupo co el térmio egativo que le sigue sea mayor que. Formalmete sería como sigue. efiimos W N! N por:./ mkıfq N W P.q/ C a./ > g.k C / mkıfq N W P.q/ P.k/ C a.kc/ > g para todo k N: Pogamos, por comodidad de otació.0/ 0. Nótese que el grupo k-ésimo de térmios positivos está formado por a..k /C/ ; a..k /C/C ; : : : ; a..k//, y dicho grupo va seguido por el térmio egativo a.k/. Pues bie, la biyecció W N! N, dada por:.j /.j k/ para.k/ C k C 6 j 6.k C / C k; k 0; ; ; : : :..k/ C k/ a.k/ ; k ; ; : : : Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

13 Propiedades asociativas y comutativas 530 es tal que la serie fa./ C a./ C C a./ g es positivamete divergete, pues para >.k/ C k teemos que: X.k/Ck X a.j/ > a.j/ j j kx X a.j/ C j kx a..j/cj/ C j k.qc/cq kx a.j/ C P.k/ j X a.j q0 j.q/cqc kx P.jC/ j >.C.k C/ C k: kx.qc/cq X q0 j.q/cqc q/ kx a.j/ C j a.j/.k/ X j a.j/ P.j/ C a.jc/ C P./ C a./ La utilidad del teorema que acabamos de probar está clara: para estudiar la covergecia comutativa de ua serie fa C a C C a g lo que se hace es estudiar la covergecia de la serie fja j C ja j C C ja jg. Es usual utilizar la siguiete termiología. 9.5 efiició. Se dice que la serie fa C a C C a g es absolutamete covergete, si la serie fja j C ja j C C ja jg es covergete. ebes eteder bie esta defiició. Que la serie X >a coverge absolutamete quiere decir que es covergete la sucesió X ja j fja j C ja j C C ja jg : > Y el teorema aterior afirma, etre otras cosas, que esto implica la covergecia de la sucesió X a fa C a C C a g : > So sucesioes muy diferetes! Naturalmete, si ua serie fa C a C C a g coverge, tambié coverge la sucesió que se obtiee tomado valores absolutos fja C a C C a jg; pero esta sucesió o es igual a fja j C ja j C C ja jg. Por eso puede ocurrir que ua serie sea covergete pero o sea absolutamete covergete. La serie armóica alterada es u ejemplo de serie covergete que o es absolutamete covergete. Co esta termiología, el teorema 9.4 afirma que la covergecia absoluta es lo mismo que la covergecia comutativa. E muchos libros a las series que so absolutamete covergetes las llama tambié icodicioalmete covergetes y a las series que so covergetes pero o so absolutamete covergetes las llama tambié codicioalmete covergetes. E mi opiió esta termiología solamete sirve para cofudir u poquito más. Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

14 Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos 45. Estudia la covergecia de las series: a) X.C/ y b) X > > 45. Justifica las igualdades: a) b) c) X k X k X k 4k 3 k 4k 3 C 4k 4k C 4k log k. 3 log. k log. 4k log C emuestra que si los térmios de la serie armóica alterada se permuta de tal modo que a cada grupo de p térmios positivos cosecutivos le siga u grupo de q térmios egativos cosecutivos, etoces la ueva serie así obteida es covergete co suma igual a log C log.p=q/ Sea fa g ua sucesió decreciete de úmeros positivos y supogamos que la serie P a es covergete. Prueba que fa g coverge a 0. Sugerecia. Cosidera A A Ejercicios resueltos Ates de ver la solució de u ejercicio debes itetar resolverlo! Ejercicio resuelto 3 Estudia la covergecia de las series: a) X.C/ y b)x C > >log..k C / Solució. a) k X k.k C / k.k C / k k C k.k C / C : k Luego X. C /!, es decir la serie X es covergete C. C / > > y su suma es igual a. b) log C log k C X log.k C / log k log C log. C /: k k k k Luego X log C flog. C /g!c, es decir la serie X es positivamete divergete.. C / > > Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

15 Ejercicios resueltos 53 Ejercicio resuelto 4 a) b) c) X k X k X k 4k 3 k Justifica las igualdades: 4k 3 C 4k 4k C 4k log k. 3 log. k log. 4k Solució. a) y b) Sabemos que la serie armóica alterada es covergete y su suma es X. / C igual a log. log. Tambié sabemos que ua serie obteida asociado térmios e ua serie covergete tambié es covergete y co la misma suma. Las series e a) y e b) se obtiee de la serie armóica alterada asociado térmios de 4 e 4 o de e respectivamete, lo que justifica las igualdades e a) y e b). Fialmete, observa que la serie e c) se obtiee sumado las series e a) y e b). Ejercicio resuelto 5 emuestra que si los térmios de la serie armóica alterada se permuta de tal modo que a cada grupo de p térmios positivos cosecutivos le siga u grupo de q térmios egativos cosecutivos, etoces la ueva serie así obteida es covergete co suma igual a log C log.p=q/. X. / kc Solució. Pogamos S. Cosideremos la sucesió S.pCq/ k N que k es precisamete la serie que se obtiee asociado térmios de p C q e p C q e la serie del euciado. Si dicha sucesió es covergete, aplicado la proposició 9. (co./.p C q/), se sigue que la serie del euciado tambié es covergete y su suma es igual a lkım! S.pCq/. Llamado, como de costumbre H estrategia 7.33, teemos que: S.pCq/ p X k k q X k k H p H p C p p X k k H q p C p C log.p / p C p p! log C log p q log C log p q : H q X k, y recordado la k p log.p/ q q C p log C p log! p q log.q/ Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

16 Criterios de covergecia para series de térmios positivos Criterios de covergecia para series de térmios positivos Ua serie P a tal que a > 0 para todo N, se dice que es ua serie de térmios positivos. Observa que ua serie de térmios positivos es ua sucesió creciete por lo que o bie es covergete (cuado está mayorada) o es positivamete divergete. 9.6 Proposició (Criterio básico de covergecia). Ua serie de térmios positivos X >a es covergete si, y sólo si, está mayorada, es decir, existe u úmero M > 0 tal que para todo X N se verifica que a k 6 M, e cuyo caso su suma viee dada por: k ( X X ) a sup a k W N : Ua serie de térmios positivos que o está mayorada es (positivamete) divergete. 9.7 Ejemplo. La serie X es covergete porque para todo > se verifica: > 0 0 X k 6 X k C X jc X jc X A k 6 A. j / k k j j C X j j j C X j k j k j < : Si X >a es ua serie de térmios positivos, suele escribirse dicha serie coverge. k j X a <C para idicar que Teiedo e cueta la proposició 9.8, los criterios que sigue puede aplicarse para estudiar la covergecia de series cuyos térmios so todos positivos a partir de uo de ellos e adelate. 9.8 Proposició (Criterio básico de comparació). Sea X a y X dos series de térmios positivos. Supogamos que hay u úmero k N tal que a 6 b para todo > k. > >b Etoces se verifica que si la serie X b es covergete, tambié X es covergete o, > >a equivaletemete, si la serie X > a es divergete tambié X >b es divergete. emostració. Pogamos A a C a C C a, B b C b C C b. Las hipótesis hechas implica que para todo > k es A 6B CA k. educimos que si fb g está mayorada tambié lo está fa g. Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

17 Criterios de covergecia para series de térmios positivos Ejemplos. La serie X log es divergete porque es de térmios positivos, log > y > la serie armóica es divergete. La serie X > log log. C / es covergete porque es de térmios positivos y:. C /. C /. C / log C C log C C < C C < ; y la serie X es covergete. La serie X log C es covergete. Para ello usamos la desigualdad (ver > (7.5)): C < log C < : e la que se deduce: 0 < log C < C. C / < : 9.0 Proposició (Criterio límite de comparació). Sea X > a y X >b dos series de térmios positivos, y supogamos que a) Si L C y X > lkım a b LR C o [ fc g : b es divergete tambié X >a es divergete. b) Si L 0 y X > b es covergete tambié X >a es covergete. c) Si LR C las series X > a y X >b so ambas covergetes o ambas divergetes. E particular, si dos sucesioes de úmeros positivos, fa g y fb g so asitóticamete equivaletes, las respectivas series, P a y P b ambas coverge o ambas diverge. emostració. Supogamos que L R C. Sea 0 < < L < ˇ. Todos los térmios de la sucesió fa =b g, a partir de uo e adelate, está e el itervalo ; ˇ Œ, es decir, existe k N tal que para todo > k es < a =b < ˇ, y, por tato, b < a < ˇ b. Cocluimos, por el criterio de comparació, que la covergecia de ua de las series implica la covergecia de la otra. Queda, así, probado el puto c) del euciado. Los putos a) y b) se prueba de maera parecida. Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

18 Criterios de covergecia para series de térmios positivos Ejemplos. La serie X > e es divergete porque es de térmios positivos y se verifica que e. Por la misma razó las series X se, X tg, X log C so todas ellas series > > > de térmios positivos divergetes, porque sus térmios geerales so asitóticamete equivaletes al térmio geeral de la serie armóica. r! La serie X 5 C es covergete porque es de térmios positivos, se verifica r > que 5 C P y la serie es covergete. 5 5 Observa el parecido de estos criterios co los correspodietes criterios de covergecia para itegrales impropias de fucioes positivas. El siguiete resultado establece, e u caso particular, ua relació aú más estrecha etre ambos tipos de covergecia. 9. Proposició (Criterio itegral). Sea f W Œ; C Œ! R ua fució positiva y decreciete. Etoces se verifica que C X k f.k/ 6 f.x/ dx 6 C E cosecuecia, la serie X > f./ y la itegral f.x/ dx ambas coverge o ambas diverge. C X f.k/ k emostració. Por ser f decreciete, para todo x Œk; k C es f.k C /6f.x/6f.k/. Itegrado, deducimos que: f.k C / 6 kc f.x/ dx 6 f.k/: k Sumado estas desigualdades desde k hasta k, obteemos la desigualdad del euciado. Para poder usar los criterios de comparació, ecesitamos coocer ejemplos de series covergetes co las que poder comparar ua serie dada. Uas series de térmios positivos muy útiles para comparar co otras series so las siguietes. 9.3 Proposició (Series de Riema). ado u úmero real, la serie X > serie de Riema de expoete. icha serie es covergete si, y sólo si, >. se llama emostració. Para que se cumpla la codició ecesaria de covergecia es preciso que sea > 0. Supuesto que esto es así, podemos aplicar el criterio itegral a la fució f.x/ =x y teer e cueta que la itegral C dx es covergete si, y sólo si, >. x Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

19 Criterios de covergecia para series de térmios positivos Ejemplos. Las series X arc tg, X log C coverge si, y sólo si, > porque so de térmios positivos y su térmio geeral es asitóticamete equivalete a. La serie X ˇ e, dode y ˇ so úmeros reales, o coverge para igú valor de ˇ si < 0, porque e tal caso su térmio geeral o coverge a 0. Si >0 coverge si y sólo si, ˇ > porque es ua serie de térmios positivos y su térmio geeral es asitóticamete equivalete a ˇ Si e el criterio límite de comparació hacemos b =, obteemos el siguiete criterio de covergecia. 9.5 Proposició (Criterio de Prisheim). Sea X >a ua serie de térmios positivos, u úmero real y supogamos que f a g! LR C o [ fc g. Etoces: i) Si L C y 6, X >a es divergete. ii) Si L 0 y >, X >a es covergete. iii) Si LR C, X >a coverge si > y diverge si 6. Observado que si a > 0, la desigualdad a 6 equivale a log.a / >, se deduce log el siguiete criterio de covergecia que es eficaz para estudiar la covergecia de series que puede compararse co series de Riema. 9.6 Proposició (Primer criterio logarítmico). Supogamos que a > 0 para todo N, y pogamos L log.a / log. i) Si fl g! L, dode L > o L C, la serie X >a es covergete. ii) Si fl g! L, dode L < o L, o bie si existe algú k N tal que L 6 para todo > k, etoces la serie X >a es divergete. 9.7 Ejemplo. La serie X a dode a > log y R, es ua serie de térmios positivos (a partir de uo de ellos e adelate) y se tiee que: log log log log log a log! : log log Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

20 Criterios de covergecia para series de térmios positivos 537 El primer criterio logarítmico os dice que si > la serie coverge y si < la serie diverge. log Si teemos que a. Recordado que C x! e x, podemos esperar que para suficietemete grade a cojeturar que a!. Teemos que: log log.a / log log log.log / log C log log Ð e log. Esto lleva a log C log log C log log. C x/ x Si ahora recuerdas que lkım x!0 x, se sigue que log.a /! 0, es decir, a!. El criterio de Prisheim implica que la serie P a es divergete. Vamos a estudiar a cotiuació uas series más geerales que las series de Riema. ados dos úmeros reales y ˇ, la serie X se llama serie de Bertrad de expoetes y.log /ˇ > ˇ 9.8 Proposició (Series de Bertrad). La serie X coverge si > cualquiera.log /ˇ > sea ˇ, y tambié si y ˇ >. E cualquier otro caso es divergete. emostració. Sabemos que cualesquiera sea > 0 y R se verifica que:.log / lkım! 0: Supogamos que > y sea u úmero verificado que < <. Podemos escribir:.log /.log /ˇ dode y ˇ. educimos así que lkım!.log 0: /ˇ El criterio de Prisheim implica que la serie X.log /ˇ > es covergete. Si < u razoamieto parecido muestra que la serie diverge cualquiera sea ˇ. Sea ahora. Etoces, si ˇ 6 0, teemos que.log > para todo > 3, y /ˇ el criterio de comparació implica que la serie es divergete. Sea, pues, ˇ > 0 y pogamos Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

21 Criterios de covergecia para series de térmios positivos 538 f.x/ t para x >. La fució f es positiva y decreciete e Œ; CŒ. Teemos: x.log x/ˇ 8 dx ˆ< x.log x/ˇ ˆ:.log x/ ˇˇˇt ˇ.log ˇ t/ ˇ.log / ; si ˇ : ˇ log.log x/ˇˇt log.log t/ log.log /; si ˇ : educimos que la itegral impropia C f.x/ dx es covergete si, y solo si, ˇ >. El criterio itegral os dice que la serie X f./ X coverge si, y sólo si, ˇ >..log /ˇ > > 9.9 Ejemplo. Se trata de estudiar la covergecia de la serie X log! r dode r R. E > el ejercicio resuelto 68 hemos visto que log! es asitóticamete equivalete a log. Por tato, a efectos de covergecia, la serie dada se comporta igual que la serie X log r la cual > es ua serie de Bertrad co ˇ y r. icha serie coverge si, y sólo si, r >, o sea, r >. Si a > 0, la desigualdad a 6.log equivale a log.a / > ˇ. Se deduce de aquí /ˇ log.log / el siguiete criterio de covergecia que es eficaz para estudiar la covergecia de series que puede comparase co ua serie de Bertrad de expoete Proposició (Segudo criterio logarítmico). Supogamos que a > 0 para todo N, y pogamos L log.a / log.log /. i) Si fl g! L, dode L > o L C, la serie X >a es covergete. ii) Si fl g! L, dode L < o L, o bie si existe algú k N tal que L 6 para todo > k, etoces la serie X >a es divergete. Vamos a estudiar a cotiuació dos criterios de covergecia que se aplica a series que puede compararse co ua serie geométrica. El primero de estos criterios parte de que la serie geométrica de térmio geeral a x, dode x > 0, coverge si a C x <, esto lleva, e el caso geeral de ua serie térmios positivos, X >a, a cosiderar el comportamieto de la sucesió fa C =a g. 9.3 Proposició (Criterio del cociete o de Alembert (768)). Supogamos que a > 0 para todo N y que lkım a C a LR C o [ fc g : a Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

22 Criterios de covergecia para series de térmios positivos 539 a) Si L < la serie X >a es covergete. b) Si L > o si L C o si hay u úmero k N tal que para todo >k es a C a >, etoces X >a es divergete y además fa g o coverge a 0. emostració. a) Sea u úmero tal que L < <. La defiició de límite implica que existe 0 N tal que para todo > 0 se verifica que: a a a a a a 0 C a 0 a a 0 a 0 0 : Como 0 < <, la serie X > es covergete. educimos, e virtud del criterio de comparació, que X >a es covergete. b) Si L > etoces, tomado tal que < < L y razoado como ates, obteemos que para todo > 0 es a > a 0 0. Como > se sigue que la sucesió fa g diverge positivamete y, co mayor razó, la serie X >a diverge positivamete. 9.3 Ejemplo. Sea la serie X.!/./! x, dode x es u úmero real. Es ua serie de térmios > positivos por lo que podemos aplicar el criterio del cociete para estudiar su covergecia. Pogamos a.!/./! x. Teemos que: a C a. C /.!/./! xc. C /. C /./!.!/ x. C /. C /. C / x! x 4 El criterio del cociete os dice que si x <, es decir, jxj <, la serie es covergete; si 4 x 4 >, es decir, jxj >, la serie o es covergete porque fa g o coverge a 0. El caso e que x 4, o sea x, se tiee que: a C a 4. C /. C /. C / C C > : Y cocluimos que la serie o coverge para x. El segudo criterio parte de que la serie geométrica de térmio geeral a x, dode x > 0, coverge si p a x <, esto lleva, e el caso geeral de ua serie de térmios positivos, X >a, a cosiderar el comportamieto de la sucesió f p a g. Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

23 Criterios de covergecia para series de térmios positivos Proposició (Criterio de la raíz o de Cauchy (8)). Sea X >a ua serie de térmios positivos y supogamos que lkım p a LR C o [ fc g: a) Si L < la serie X >a es covergete. b) Si L > o si L C o o si hay u úmero k N tal que para todo >k es p a > etoces X >a es divergete y además fa g o coverge a 0. emostració. a) Sea u úmero tal que L < <. La defiició de límite implica que existe 0 N tal que para todo > 0 es p a 6, es decir, a 6. Puesto que 0 < <, la serie X es covergete y, e virtud del criterio de comparació, se sigue que X es > >a covergete. b) Si L > etoces, tomado tal que < < L y razoado como ates, obteemos que para todo > 0 es a > y, como >, se sigue que la sucesió fa g diverge positivamete y, co mayor razó, la serie X >a diverge positivamete Ejemplo. Sea la serie X >! 3. Como es ua serie de térmios positivos podemos estudiar su covergecia usado el criterio de la raíz. Pogamos a Teemos que:! 3.!! p a!! e < : Cocluimos que la serie es covergete. Cuado a C 6 y lkım a C, tambié es lkım p a. E esta situació los criterios a a del cociete y de la raíz o proporcioa iformació suficiete sobre el comportamieto de la serie X a. Por ejemplo, para las series de Riema, a =, se tiee que lkım a C a > cualquiera sea. Observa que estos criterios solamete puede proporcioar iformació sobre la covergecia de series que puede compararse co ua serie geométrica. El siguiete criterio suele aplicarse cuado falla los ateriores Proposició (Criterio de Raabe (83)). Supogamos que a > 0 para todo N, y a C pogamos R. a Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

24 Criterios de covergecia para series de térmios positivos 54 i) Si fr g! L, dode L > o L C, la serie X >a es covergete. ii) Si fr g! L, dode L < o L, o bie si existe algú k N tal que R 6 para todo > k, etoces la serie >a X es divergete. emostració. i) Las hipótesis hechas implica que existe > y 0 N tales que para todo k > 0 es R k >. Sea ı > 0. Teemos que: R k.k / k a kc a k > ı.k > 0 /; por lo que a k 6 ı.k /a k ka kc.k > 0 /: Sumado estas desigualdades desde k 0 hasta k > 0, obteemos que: X a k 6 ı. 0 /a 0 a C < ı. 0 /a 0 : k 0 Por el criterio básico de covergecia para series de térmios positivos, deducimos que X >a es covergete. ii) Si R 6 para todo >k, etoces. /a a C 60 y resulta que la sucesió fa C g es creciete para > k, luego a C > ka kc, es decir, para todo > k es a C > ka kc y, por el criterio de comparació, deducimos que X >a es divergete. El criterio de Raabe suele aplicarse cuado el criterio del cociete o proporcioa iformació, es decir, cuado a C!. E tal caso la sucesió: a R a C a ac a es de la forma v.u / dode v y u a C a logarítmica teemos que:!. Aplicado el criterio de equivalecia lkım R L lkım ac co los coveios usuales para los casos e que L. a a! e L a C 9.36 Proposició (Forma alterativa del criterio de Raabe). Sea a > 0 para todo N y supogamos que lkım a C a. Pogamos S. a a C i) Si S! e L co L > o si S! C, la serie X >a es covergete. Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

25 Ejercicios propuestos 54 ii) Si S! e L co L < o si S! 0, la serie X >a es divergete. Los criterios de covergecia que acabamos de estudiar hace siempre hipótesis sobre la sucesió fa g para obteer iformació sobre el comportamieto de la serie X >a. Ya dijimos ates que esto es típico del estudio de las series. Pero o lo olvides: o estamos estudiado la sucesió fa g sio la sucesió X >a fa C a C C a g Ejercicios propuestos 455. Estudia la covergecia de las siguietes series dode a > 0 y R. a/ X.!/ b/ X. C / C c/ X = > > > d/ X. C / 3 e/ X f / X log!! a log. C / > > > g/ X a log h/ X log.log / i/ X e C = > > > p l/ X! C C C > j / X. p / > k/ X > m/ X a P j =j / X > > p C = p o/ X > se 3 p/ X./! 3 6.!/ 6 q/ X log. C / log > > s/ X log se t/ X cos 3 > > r/ X! e C > u/ X p log > Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

26 Ejercicios propuestos Estudia la covergecia de las siguietes series dode a > 0 y ; ˇ R. a/ X. = /I b/ X > >. 3p C 3p C / log c/ X 4p p C 4 a log I d/ X 4 6./ 5 7. C 3/ > > e/ X e. C =/ I f / X > > g/ X C C C I h/ X! X exp ˇ k > > k 457. Estudia la covergecia de las series. a) X 3! 3p C 3/ > 3 4. C / = b) X > c) X >.a C 5/ p p a/.a 3 a/.a p a/.a > 0/ d) X!.a > 0; R/ a.a C /.a C /.a C / > e) X a log log. C =/.a > 0/ > f) X >. p C p /.log. C =//ˇ ;. ; ˇ R/ g) X >. C /.3 C /.5 C /. C / ;. ; ˇ; R C /. C ˇ/.4 C ˇ/.6 C ˇ/. C ˇ/ 458. Sea fa g ua sucesió creciete de úmeros positivos. ar codicioes que garatice que la serie X es covergete. a a a 3 a > 459. ar ejemplos de sucesioes fa g! y decrecietes tales que la serie X a a a 3 a > sea e u caso covergete y e otro caso divergete Sea a > 0 para todo N. Prueba que las series X > o ambas diverge. a y X > a C a ambas coverge 46. Sea P a ua serie de térmios positivos covergete. Qué puede decirse de las series P a y P p a a C? Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

27 Ejercicios resueltos Sea P a ua serie de térmios positivos covergete. Prueba que la sucesió fz g dada para todo N por: es covergete. Y z. C a k /. C a /. C a /. C a / k 463. Sea P a ua serie de térmios positivos covergete. Prueba que para 0 < < la serie X a es covergete. Sugerecia. Utilizar la desigualdad de Hölder (ver ejercicio resuelto 37) Sea P a ua serie covergete de térmios positivos. Prueba que la serie X p a covergete si > =. a u ejemplo de ua serie P a covergete tal que la serie X p a p sea divergete Estudia la covergecia de las sucesioes: es a/ x X k p k p ; b/ y X k log k k.log / : Sugerecia. Estudia la covergecia de las respectivas series de diferecias cosecutivas Ejercicios resueltos Ates de ver la solució de u ejercicio debes itetar resolverlo! Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

28 Ejercicios resueltos 545 Ejercicio resuelto 6 Estudia la covergecia de las siguietes series dode a > 0 y R. a/ X.!/ b/ X. C / C c/ X = > > > d/ X. C / 3 e/ X f / X log!! a log. C / > > > g/ X a log h/ X log.log / i/ X e C = > > > p l/ X! C C C > j / X. p / > k/ X > m/ X a P j =j / X > > p p C = p/ X./! 3 6.!/ 6 q/ X log. C / log > > s/ X log se t/ X 3 cos > > o/ X > se r/ X! e C > u/ X p log Solució. Salvo ua excepció, so todas series de térmios positivos. Para estudiar su covergecia aplicaremos los criterios que acabamos de estudiar. a/ Pogamos a.!/. Aplicaremos el criterio del cociete: a C.. C /!/. C / a.c/.!/ C > C C 4! 0: La serie es covergete.. C / b/ Pogamos a C. Apliquemos el criterio del cociete: a C. C /C C C C3 a. C / C3. C / C C. C / C C3 C C C 4 C 4! e e : Además a C 6, por tato el criterio del cociete o proporcioa iformació sobre la a covergecia de esta serie. Cuado esto ocurre igual sucede co el criterio de la raíz. Esto os idica que la serie o es comparable co ua serie geométrica. El criterio de Raabe o parece fácil de aplicar. Podemos itetar el primer criterio logarítmico. Teemos que: log.a / log log. C / C. C / log log C log log 3 C! > : Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

29 Ejercicios resueltos 546 Por tato la serie es covergete. Este criterio os dice que la serie P a es comparable co ua serie de Riema de expoete. Que efectivamete esto es así es fácil de C comprobar. Si os fijamos e a y recordamos que la sucesió es creciete y coverge a e, eseguida os damos cueta de lo que sigue:. C / C a C 6 e lo que permite cocluir, por el criterio de comparació, que la serie es covergete Observació. Ates de empezar a aplicar criterios de covergecia, fíjate bie e la forma que tiee el térmio geeral de la serie e iteta relacioarlo co algua sucesió coocida. e/ Pogamos a! a C a a. C /!. Apliquemos el criterio del cociete: C a C a! a C! a e : educimos que si 0 < a < e la serie es covergete, si a > e la serie es divergete. Para a e el criterio o proporcioa iformació. Ni el criterio de Raabe i el primer criterio logarítmico parece fáciles de aplicar. Cuado o queda otro recurso hay que itetar aplicar el criterio de comparació. Supuesto que a e, teemos que: a! e >!!. C / C C C > e C > 5 : ode hemos usado que para todo k N es e < C kc kc kc, k k de dode se sigue que para todo N: e > Y k k kc! k C. C / : Cocluimos, por comparació co la serie armóica, que la serie es divergete para a e. log f / Pogamos a. Aquí o es apropiado aplicar el criterio del cociete porque o hay factores que se simplifique al calcular el cociete de u térmio log. C / al aterior. El criterio de la raíz puede aplicarse, pero o proporcioa iformació sobre el carácter de la serie porque, como debes comprobar, p a! y p a 6. Podemos aplicar el primer criterio logarítmico. log.a / log log.log. C //! C: La serie es covergete. educimos que se trata de ua serie que coverge más rápidamete que cualquier serie de Riema y meos rápidamete que cualquier serie geométrica. Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral

30 Ejercicios resueltos 547 h/ Pogamos a log. Es apropiado aplicar el criterio de la raíz..log / p a log.log / log e log! 0: La serie es covergete. i/ Pogamos a e C =. Observa que como C k k < e para todo k N, se tiee que a > 0. Los criterios del cociete, de la raíz, de Raabe y los logarítmicos o parece apropiados para estudiar esta serie. Cuado esto sucede hay que itetar aplicar u criterio de comparació. Si recuerdas el límite, que hemos visto varias veces: e lkım x!0. C x/ x x e ; se deduce que si fx g! 0 se verifica la equivalecia asitótica e. C x / =x e x. Por tato: a e C = e ; y deducimos que la serie coverge por el criterio límite de comparació. Tambié podemos usar el criterio básico de comparació usado que para todo k N se verifica que e < C kc. k Co ello se tiee: a e C < C C C C < e : j / Pogamos a. p /. Trata de aplicar alguos criterios de covergecia. Las series que cuesta más trabajo estudiar so aquellas e las que los criterios del cociete, de la raíz, de Raabe y los logarítmicos o sirve para estudiar su covergecia, ya sea porque los límites que hay que calcular so difíciles o porque dichos criterios o proporcioa iformació. Cuado esto ocurre hay que aplicar u criterio de comparació. E uestro caso teemos que: log p e log log a : educimos que la serie coverge si, y sólo si, >.! C l/ Pogamos a C C. espués de pesarlo u C C poco, parece apropiado usar el primer criterio logarítmico. Teemos que: log.a / log log log C C log C C log : Por tato: lkım! log.a / log C; si > I 0; si < : Uiversidad de Graada pto. de Aálisis Matemático Cálculo diferecial e itegral