4. La Factorización QR

Transcripción

1 Edgar Acuña/ESMA 6665 Lecc La Factorizació QR Dada ua matriz cuadrada y osigular A de orde x, etoces existe ua matriz ortogoal Q y ua matriz triagular superior R tal que A=QR esta es llamada la factorizació QR de A. Si la matriz A o es cuadrada y de orde m x co m mayor que etoces: R A = QR = O dode R es ua matriz triagular superior de orde x y es ua matriz de ceros de orde (m-) x. Si la matriz A es de orde m x co m meor que etoces ( R S ) A = QR = dode S es u matriz de orde (-m) por m. Existe tres métodos de obteer la factorizació QR a) Trasformacioes ouseholder b) Rotacioes Gives c) Proceso de ortogoalizació de Gram-Schmidt 4. Trasformacioes ouseholder Ua matriz de la forma uu' = I u' u es llamada ua matriz ouseholder, dode I es la matriz idetidad y u es u vector o ulo. Propiedades de la matriz : a) es ua matriz simétrica y ortogoal. b) x = x para todo vector x. Es decir, la matriz ouseholder o cambia la logitud del vector. c) = I d) Det()=-. La importacia de las matrices ouseholder es que ellas puede ser usadas para crear ceros e u vector y por lo tato puede dar lugar a matrices triagulares. Cosideremos el vector elemetal e =(,,,). Etoces para todo vector o ulo x e existe siempre ua matriz ouseholder tal que x es u múltiplo de e.

2 Edgar Acuña/ESMA 6665 Lecc4-5 5 Basta cosiderar el vector u=xsig(x ) x e y se puede ver que x=-sig(x ) x e. Si x es cero etoces se puede escoger los sigos o -. Para evitar overflow o uderflow e el cálculo de x se recomieda re-escalar el vector y usar e su lugar x/max{ x i }. Algoritmo para crear ceros u vector usado ua matriz ouseholder Dado u vector o ulo x, el siguiete algoritmo calcula u vector u y ua costate uu' σ tal que x=(- )x=(σ,,.,), u es guardado ecima de x. u ' u ) m=max{ x i ), i=,. ) u i =x i /m, i=,. 3) σ=sig(u ) 4) u =u σ 5) σ=-mσ u u.. u la siguiete fució housecero e MATLAB ejecuta el algoritmo fuctio [u,sigma] = housecero(x) %OUSECERO Crea ceros e u vector usado ua matriz ouseholder. %[u,sigma] = housecero(x) produce u vector u %que defie ua matriz ouseholder, y ua costate sigma %tal que x = [sigma,,., ]'. %iput : vector x %output : vector u, y costate sigma [m,] = size(x); mm = max(abs(x)); x = x/mm; s = sig(x()); if s == s = ; ed; sigma = s orm(x,); u = x sigma eye(m,); sigma = -mm sigma; Ejemplo: Obteer ceros e el vector x=(3,4,9) usado la fució housecero. allar el vector trasformado y la matriz ouseholder» x=[3;4;9] x = 3 4 9

3 Edgar Acuña/ESMA 6665 Lecc4-5 6» addpath c:\matlab\acua» [u,sigma]=housecero(x) u = sigma = -.956» u=uu'/(u'u) u = » % matriz ouseholder» =eye(3)-u = » as =.....» El vector trasformado sera x=(-.956,,). Ahora se mostrará el efecto de multiplicar ua matriz ouseholder por u vector y por ua matriz. Sea x u vector de dimesio y ua matriz ouseholder etoces

4 Edgar Acuña/ESMA 6665 Lecc4-5 7 uu' x=(iu )x=x-βu(u x) dode β=/(u u). u' Algoritmo para obteer el producto de ua matriz ouseholder por u vector cualquiera. Dado el vector dimesioal u que defie la matriz ouseholder =-βuu, y u vector cualquiera x=(x,x, x ). Etoces el siguiete algoritmo calcula el producto x superpoiedo x co x. Paso : Calcular β=/(u u). Paso. Calcular la suma s= u i x i Paso 3. Modificar β=βs Paso 4. For i=,, do x i =x i -βu i i= Cosideremos ahora ua matriz A, etoces A=A-βuu A. Luego, la etrada (i,j) de m A es igual a a ij -β ( u ) u i, cada columa puede ser calculada usado el i= ia ij algoritmo aterior. Similarmete, A=A-βAuu, cada fila de A puede ser calculada usado el algoritmo aterior. Notar que o hay que calcular explicitamete la matriz. La siguiete fució calcula el producto de ua matriz ouseholder por ua matriz A fuctio A = housemult(a,u) %OUSEMULT Postmultiplica ua matriz por ua matriz %ouseholder %A = housemult(a,u) calcula A, dode es ua matriz %ouseholder geerada por u vector u. %La matrix resultate A cotiee el producto A. %iput : Matriz A y vector u %output : Matriz A [m,] = size(a); beta = /(u'u); for i = : m s = ; s = s u(:) A(i,:); s = beta s; A(i,:) = A(i,:) - (su(:))'; ed; ed;

5 Edgar Acuña/ESMA 6665 Lecc La factorizació QR usado matrices ouseholder. Si A es ua matriz cuadrada etoces existe ua matriz ortogoal Q y ua matriz triagular superior R tal que A=QR, co la matriz Q=. - dode cada i es ua matriz de oseholder. La factorizació puede ser obteida e - pasos. Paso : Costruir ua matriz ouseholder tal que A tega zeros debajo de la etrada (,) e la primera columa. Es decir, A= ' ' Es suficiete costruir = I u u /( u u ) tal que a a =.. a Superpoer la matriz A co la matriz A () = A Paso : Costruir ua matriz ouseholder tal que A () tega zeros debajo de la etrada (,) e la seguda columa y que los ceros que ya se crearo e la primera columa de matriz A () o cambie. Es decir, A () = A () = puede ser costruido como sigue: primero costruir ua matriz ouseholder ' ' I u u /( u u ) de orde - tal que =

6 Edgar Acuña/ESMA 6665 Lecc4-5 9 = 3 a a a y luego defiir, = Superpoer A por A (). Paso : Costruir ua matriz ouseholder tal que A (-) tega zeros debajo de la etrada (,) e la -ésima columa y que los ceros que ya se crearo e los pasos ateriores o cambie. puede ser costruido como sigue: primero costruir ua matriz ouseholder ) /( ' ' = u u u u I de orde - tal que y luego defiir, = I Calcular A () = A (-). Superpoer A por A (). Al fial e el paso (-) la matriz resultate A (-) será la matriz triagular R. Como, A () = A (-), para =-,. Teemos R=A (-) = - A (-) = - - A (-3) =.= - - A acer, = a a a

7 Edgar Acuña/ESMA 6665 Lecc4-5 3 Q = - -. Como cada matriz es orthogoal tambie lo es Q. Así que R=Q A o A=QR. Algoritmo para obteer la factorizació QR usado Matrices ouseholder Dada ua matriz cuadrada A co el siguiete algoritmo se crea el vector u - =(u,..u ), para =,.- que defie las matrices hasta - y la matriz triagular superior R tal que A=QR co Q=. -. Las compoeetes u, hasta u so almaceadas e la posicioes (,) hasta (,) de A. Las primeras compoetes u so almaceadas e u vector uidemesioal v. For =, - do Paso. allar el vector u - =(u,..u ) que defie la matriz ouseholder costate σ tal que y la a σ a = a (Usar ousecero) Paso. Superpoer a por σ Paso 3. Almacear el vector u- como sigue: a i u i, I=,.., v u ' Paso 4. Calcular β=/ u u ) ( Paso 5. Modificar las etradas de la submatriz A que cotiee las filas hasta y las columas hasta. For j=,. do

8 Edgar Acuña/ESMA 6665 Lecc s=β u i= i a ij. a ij =a ij -su i (i=,,.,) La siguiete fució e MATLAB calcula la factorizació QR de ua matriz cudradada o o. usado matrices ouseholder fuctio [Q,R] = houseqr(a) %OUSEQR Factorizacio QR de ua matriz A usado matrices ouseholder %[Q,R] = houseqr(a) produce a ortogoal matriz Q %y ua matriz triagular superior R del mismo tamaño que A %co ceros debajo de la diagoal A tal que A = QR. %Este program llama a los programas OUSECERO y OUSEMULT. %iput : Matriz A %output : Matrices Q y R [m,] = size(a); S= mi(,m-); Q = eye(m,m); for = : S [x,sigma] = housecero(a(:m,)); Q(:m,:m) = housemult(q(:m,:m),x); A(,) = sigma ; s = size(x); A(:m,) = x(:s); v() = x(); beta = /(x'x); for j = : s = ; s = s x(:m-)' A(:m,j); s = beta s; A(:m,j) = A(:m,j) - s x(:m-); ed; ed; R = triu(a); ed; Ejemplo: Calcular la factorizacó QR de las matrices 4 A=

9 Edgar Acuña/ESMA 6665 Lecc B= Usado Matlab y R. Solució: E R, > A=rbid(c(4,,5),c(8,6,7),c(,9,5)) > A [,] [,] [,3] [,] 4 5 [,] [3,] 9 5 > rqa=qr(a) > qr.q(rqa) [,] [,] [,3] [,] [,] [3,] > qr.r(rqa) [,] [,] [,3] [,] [,] [3,] > > B=rbid(c(4, 5, 7),c(3,, ),c(, 7, ),c( 5, -, 4)) > B [,] [,] [,3] [,] [,] 3 [3,] 7 [4,] 5-4 > qrb=qr(b) > qr.q(qrb) [,] [,] [,3] [,] [,] [3,] [4,] > qr.r(qrb) [,] [,] [,3] [,] [,] [3,] > E Matlab» addpath c:\matlab\acua» A=[4 5;8 6 7; 9 5] A =

10 Edgar Acuña/ESMA 6665 Lecc » [q,r]=houseqr(a) q = r = » B=[4 5 7;3 ; 7 ; 5-4] B = » [q,r]=houseqr(b) q = r =»