Un sistema mecánico está conformado por los elementos siguientes: Elementos Representación gráfica Ecuación fundamental

Transcripción

1 em. odeldo temático Introducción EOÍA E ONOL r el estudio de los sistems de control es necesrio conocer el comportmiento de los elementos que eventulmente pueden ormr prte de un sistem controlr y del sistem de control. Este comportmiento se puede expresr en orm de un modelo mtemático. Se conoce como modelo mtemático ls expresiones que representn el comportmiento dinámico de un sistem. El estudio dinámico consiste entonces en determinr nlíticmente l respuest (slid) cundo l entrd experiment un vrición en el tiempo (excitción). icho de otr mner poder representr l respuest trnsitori del sistem. Los modelos mtemáticos de los sistems ísicos son ecuciones dierenciles, que pueden ser ordinris pr los sistems prámetros concentrdos o prciles pr los sistems distribuidos. Ests ecuciones dierenciles pueden ser lineles o no lineles según el rngo de uncionmiento en el cul se quiere estudire l sistem. En este cpítulo estudiremos los modelos mtemáticos, lineles y simpliicdos de lgunos tipos de sistems más comunes. uedn uer del lcnce de este cpítulo los modelos mtemáticos no lineles de los sistems ísicos, los cules son más precisos pero más complejos pr l correct comprensión del resto de l signtur. Sistems ecánicos Un sistem mecánico está conormdo por los elementos siguientes: Elementos epresentción gráic Ecución undmentl esorte F Kx Amortigudor Fricción s F F B dx dx B d x F onde: F : Fuerz x : esplzmiento : elocidd : Acelerción K : onstnte del resorte : onstnte del mortigudor B : oeiciente de ricción : s El modelo mtemático se obtiene hciendo un digrm de cuerpo libre sobre cd ms del sistem. Escuel de Ingenierí ecánic - ULA

2 EOÍA E ONOL Ejemplo : F El sistem posee en este cso un sol ms, se hce entonces un digrm de cuerpo libre en l ms: El modelo mtemático del sistem será: F Fr F F Kx d x dx Kx F dx d x O escrito ene. Orden común de un ecución dierencil ordinri: Est ecución es un relción del desplzmiento de l ms (slid) en unción de l uerz plicd (entrd). r simpliicr l escritur de l ecución dierencil se puede utilizr el operdor mtemático de derivd: ue pr un derivd de segundo orden es: on est representción l ecución de nuestro sistem mecánico se escribe: d x x Kx F Sistems ecánicos ottivos Un sistem mecánico rottivo está conormdo por los elementos siguientes: Elementos epresentción gráic Ecución undmentl d Ejes G ojinete s o olnte de inerci I N N ren de engrnes d d I I relción de velocidd relción de trbjo onde: : orque o momento : elocidd ngulr G : oeiciente de deormción de ejes I : omento de inerci de mss : esplzmiento ngulr o deormción ngulr : Acelerción ngulr : oeiciente de ricción viscos N : Numero de dientes de engrne El modelo mtemático se obtiene hciendo un digrm de cuerpo libre sobre cd volnte de inerci del sistem. Jen-Frnçois ULHOSE

3 em. odeldo temático Escuel de Ingenierí ecánic - ULA

4 4 EOÍA E ONOL Ejemplo : G Se hce el digrm de cuerpo libre sobre el volnte de inerci: G d d G I Y se escribe dicionlmente l ecución que relcion el momento plicdo con l extremo del eje con el que momento que recibe el volnte de inerci: G on ests dos ecuciones se puede hllr un expresión entre el momento plicdo l sistem (entrd) y el movimiento ngulr del momento de inerci: d d I G O escrito utilizndo el operdor mtemático: I G mbién se puede deinir un slid dierente por ejemplo el desplzmiento ngulr en el extremo del eje. En este cso se combinn ls dos ecuciones de un orm dierente: Se obtiene primero l expresión G L cul se sustituye en l primer relción obtenid: I G G G G I G I G G G G Sistems Eléctricos I G Un sistem eléctrico está conormdo por los elementos siguientes: Elementos epresentción gráic Ecución undmentl esistenci I, pcitor Bobin Elemento culquier t I 0 di L, L L ; I En un nodo I 0 En un mll 0 Jen-Frnçois ULHOSE

5 em. odeldo temático 5 Elementos en serie i Elementos en prlelo i onde: : oltje o dierenci de potencil I : Intensidd : Impednci : esistenci : pcitnci L : Inductnci Ejemplo : Hllr I y I rimer prte Sbemos inicilmente que: onde Luego I ; 4 ; ; 4 L4 L L I L 4 Segund prte Hllmos primero I Luego I I 4 L 4 L Escuel de Ingenierí ecánic - ULA

6 6 EOÍA E ONOL Anlogí Electromecánic Este es un método que permite resolver en orm reltivmente más sencill problems mecánicos, como i se trtse de sistems eléctricos. En este cso hcemos: nálogo F, e I nálogo x Elementos epresentción gráic Ecución undmentl esorte K Amortigudor A Fricción F B s Elemento culquier F x Elementos en serie i Elementos en prlelo i El método sirve pr sistems con un sol uerz y se resuelven los problems hciendo primero el digrm de impedncis. igrm de impedncis r relizr el digrm de impedncis: Se coloc en l prte superior un líne horizontl que represent l coordend donde está plicd l uerz. Se coloc en l prte inerior un líne que represent l tierr, o reerenci. Se colocn entre ls dos nteriores línes que representen ls otrs coordends existentes. Se colocn ls impedncis correspondientes cd elemento y se hce l conexión de este ls coordends correspondientes. Nótese que cd elemento estrá conectndo siempre dos coordends. En el cso de ls mss ests siempre irán conectndo l tierr y l coordend donde se encuentrn, mientrs que los otros elementos pueden conectr dos coordends dierentes l tierr. Jen-Frnçois ULHOSE

7 em. odeldo temático 7 Ejemplo 4: F F L ecución del sistem obtenid por éste método será: F x ; F A K F Kx x x x A x Sistems érmicos Esquem Un sistem térmico está conormdo por los elementos siguientes: Elementos epresentción gráic Ecución undmentl igrm de Impedncis red delgd (no bsorbe clor) Si : t t red grues (con lmcenmiento de clor) p t t t p ; d p p t onde: : Flujo de clor : esistenci térmic : empertur : pcitnci térmic (ms por clor especíico) Ejemplo 5: ermómetro de mercurio con pozo térmico de cobre. El termómetro está ormdo de tres predes que bsorben clor, más un elemento receptor que tmbién bsorbe clor: : ercurio, : idrio, : obre, Entre cd elemento se considern resistencis térmics: : resistenci térmic entre el mbiente y el cobre : resistenci térmic entre el cobre y el vidrio : resistenci térmic entre el vidrio y el mercurio Se requiere en este cso relcionr E E Escuel de Ingenierí ecánic - ULA

8 Jen-Frnçois ULHOSE 8 EOÍA E ONOL Ls ecuciones undmentles serán en este cso: () () () (4) E (5) (6) Obtenemos entonces 6 ecuciones con 7 vribles (,,,,,, E ) r obtener un expresión de E debemos entonces reducir nuestro sistem de ecuciones un ecución con dos vribles: on 4 y 5 en obtenemos E, : (7) E on 5 y 6 en obtenemos, : (8) on 6 en obtenemos : (9) on 9 en 7 obtenemos E, : (0) E on 9 y 0 en 8 obtenemos E : E E 4 on: 4

9 em. odeldo temático 9 Sistems Hidráulicos Un sistem hidráulico está conormdo por los elementos siguientes: Elementos epresentción gráic Ecución undmentl nques e h h s d h ; e s h h uctos e h s ; h e s h onde: : Flujo o cudl : resión h : Nivel : esistenci hidráulic (perdids que se producen en tuberís y ccesorios) h : pcitnci hidráulic (volumen que es cpz de bsorber) h Ejemplo 6: Hllr h e e h h h h s El sistem hidráulico está conormdo por dos tnques conectdos entre sí. Estos tienen un entrd de gu por el primer tnque y un slid por el segundo. Ls ecuciones undmentles del sistem, considerndo presiones mnométrics ( tm 0 ) serán: () h (6) s () h () e h (4) s h (5) Escuel de Ingenierí ecánic - ULA

10 0 EOÍA E ONOL enemos por lo tnto 6 ecuciones con 7 vribles ( h, h,,, e,, s ). ebemos entonces reducir el sistem un ecución que relcione h e : on 5 en obtenemos e, : (7) e h on 5 en 4 obtenemos on 6 en 8 obtenemos on 9 en 7 obtenemos e h h s, : (8) s h h : (9) e : (0) h on en 0 obtenemos h e h h h h e h : e hh h h h h h Sistems Neumáticos Un sistem neumático está conormdo por los elementos siguientes: Elementos epresentción gráic Ecución undmentl nques m e n m s d m n ; m e m s n m uctos e n s ; m n m e s n onde: m : Flujo másico : resión : esistenci neumátic (perdids que se producen en tuberís y ccesorios) n : pcitnci neumátic ( ) n Jen-Frnçois ULHOSE

11 em. odeldo temático Ejemplo 7: Hllr m El sistem const de dos tnque de ire comprimido interconectdos entre sí. Existe un entrd de ire y un slid en el tnque. Ls ecuciones undmentles del sistem, suponiendo presiones mnométrics, son: () () m m m m m m () (4) m m m tm Not: m debe ser conocido (entrd), o en su deecto l presión de entrd debe ser conocid. enemos por lo tnto 4 ecuciones con 5 vribles (,, m, m, m ). : ebemos entonces reducir el sistem un ecución que relcione m on en obtenemos : (5) on y en 4 obtenemos m on 5 en 6 obtenemos m m, : (6) m : m Escuel de Ingenierí ecánic - ULA

12 EOÍA E ONOL Ejercicios. Sistem mecánico Hllr: K K F x F x F y or los dos métodos x x. Sistem termo-neumático Gs m m m 4 m 4 tm 4 = te Hllr: m E, 4 Not: l ecución de relción entre los dos sistems: v m onde se supone: onstnte idrio obre E. Sistem termo-eléctrico Hllr, E E Not: l ecución de relción de los dos sistems es: I I E L L E Aire Aislnte red Jen-Frnçois ULHOSE

13 em. odeldo temático 4. Sistem hidráulico E h h h h h S h b 4 E Hllr S E, E 5. Sistem neumático con pistón istón de áre F m m m tm Hllr m F Not l ecución que relcion el sistem neumático con el pistón es: F A E 6. Sistem ecánico Hidráulico Hllr y E Not: pr l relción entre el sistem mecánico y el hidráulico Áre del tnque h Utilizr el método de l sill (nlogí electromecánic) y h K h S K y K Escuel de Ingenierí ecánic - ULA